巩固练习_基础

【巩固练习】
1.若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是( )
A.()()a b c a b c ++=++
B.()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅
C.m(a b +)=m a +m b
D.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅
2.设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①(a ·b )c -(c ·a )b = ②|a |-|b |<|a -b |
③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直④(3a +2b )(3a -2b )=9|a |2-4|b |2中，
是真命题的有( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么( )
A.AO OD =
B.2AO OD =
C.3AO OD =
D.2AO OD =
4.如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD =( )
A.1
2BC BA -+ B.1
2BC BA -- C.1
2BC BA - D.1
2BC BA +
5．（2015 湛江二模）若平面向量(1,2)a =-与b 的夹角是180°，且||35b =，则b 坐标为（
）
A ．（6，―3）
B ．（―6，3）
C ．（―3，6）
D ．（3，―6）
6.P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
7．（2017 东山模拟）已知向量(1,3)BA =-，向量(4,2)BC =-，则△ABC 的形状为（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．等边三角形
C ．直角非等腰三角形
D ．等腰非直角三角形
8.已知a 、b 均为单位何量，它们的夹角为60°，那么|a + 3b |=( ) A.7 B.10 C.13 D.4
9.已知向量a ≠e ，|e |=1，对任意t ∈R ，恒有|a -t e |≥|a -e |，则( )
A.a ⊥e
B.a ⊥(a -e )
C.e ⊥(a -e )
D.(a ＋e )⊥(a -e )
10.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=___.
11.已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则(2a -b )·a =________.
12.在ABCD 中，3AB a AD b AN NC ===，，，M 为BC 的中点，则MN =______.(用a b ，表示)
13．（2017 湖北模拟）已知向量(1,2),(2,)a b y =-=-，且//a b ，则|32|a b +=________．
14．（2015秋 吉林期末）已知向量(1,3)a =，(2,0)b =-．
（1）求||a b -；
（2）求向量a b -与a 的夹角；
（3）当t ∈[－1，1]时，求||a tb -的取值范围．
15.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，
又点
(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t π
θθ≤≤
(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ； (2)若向量AC 与向量a 共线，当4k >时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC ⋅.
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】因为()||||cos a b c a b c θ⋅⋅=⋅⋅，而()||||c o s
a b c b c a θ⋅⋅=⋅⋅；而c 方向与a 方向不一定
同向.
2.【答案】D
【解析】①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a -b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［(b ·c )a -(c ·a )b ］·c =(b ·c )a ·c -(c ·a )b ·c =0，所以垂直.故③假；④(3a +2b )(3a -2b )=9·a ·a -4b ·b =9|a |2-4|b |2成立.故④真. 3.【答案】A
【解析】()()220O A O B O C O A D ++=+++，220DB DC OA OD =-∴+=，，AO OD ∴=.
4.【答案】A 【解析】12CD CB BD BC BA =+=-+
5．【答案】D
【解析】设(,)b x y =， 由两个向量的夹角公式得cos1801||||53a b a b ⋅︒=-==⋅⨯
∴x －2y =15 = ②，
由①②联立方程组并解得x =3，y =－6，即(3,6)b =-， 故选D ．
6.【答案】D
【解析】∵PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则由PA PB PB PC ⋅=⋅得
()0,0,PB PC PA PB AC PB AC ⋅-=⋅=∴⊥即
同理AB PC BC PA ⊥⊥,
，即P 是垂心.
7．【答案】A
【解析】∵(1,3)BA =-，(4,2)BC =-，
∴(3,1)AC BC BA =-=， ∴||||10BA AC ==
又13310BA AC ⋅=⨯-⨯=．
∴△ABC 的形状为等腰直角三角形．
故选A ． 8.【答案】C 【解析】已知a 、b 均为单位何量，它们的夹角为60°，那么12a b ⋅= ∴|a +3b |2=22
6913a a b b +⋅+=. 9.【答案】C 【解析】已知向量a ≠e ，|e |=1，对任意t ∈R ，恒有|a -t e |≥|a -e | 即 |a -t e |2≥|a -e |2 ∴2
2210t a et a e -⋅+⋅-≥ 即22(2)4(21)01010a e a e a e a e ∆=⋅-⋅-≤⋅-≤∴⋅-=即（）
200a e e e a e ⋅-=∴⋅-=（）
10.【答案】23
- 【解析】向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，
∴ (4,7),(2,2)AB k AC k =--=--
又A 、B 、C 三点共线，故(4-k ，-7)=λ(-2k ，-2)，∴k=23-
11.【答案】13
【解析】(2a -b )·a =22a - a ·b =213)21(5222=-⨯⨯-⨯ 12.【答案】()
31114244MN a b a b a b ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭ 【解析】由3AN NC =得()14332AN AC a b AM a b ==+=+，
， 所以，()
31114244MN a b a b a b ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭.
13【解析】根据题意，向量(1,2),(2,)a b y =-=-，且//a b ，
则有1×y =(－2)×(－2)，
解可得y =4，则向量(2,4)b =-；
故32(1,2)a b +=-；
则2|32|(1)a b +=-=
14．【答案】（1）（2）6
π；（3）[3，12]． 【解析】（1）因为向量(1,3)a =，(2,0)b =-，
所以(1,3)(2,0)a b -=--=；
||23a b -=．
（2）因为()6a b a -⋅=，
所以()cos ,||||43
a b a a b a a b a -⋅〈-〉===-⋅ 所以向量a b -与a 的夹角为
6π； （3）因为2222||2a tb a ta b t b -=-⋅+221
4444()32
t t t =++=++， 所以当t ∈[－1，1]时，最小值是3，最大值是12；
所以||a tb -的取值范围是[3，12]．
15.【解析】(1)(8,),
820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=， 又2225||||,564(3)5OB AB n t t =∴⨯=-+=，得8t =±. (24,8)OB ∴=或(8,8)OB =--
(2)(sin 8,)AC k t θ=-
AC 与a 向量共线， 2sin 16t k θ∴=-+
232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k k
θθθθ=-+=--+ 4,104k k ∴>∴>>，∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32k 由324k =，得8k =，此时,(4,8)6
OC πθ== (8,0)(4,8)32OA OC ∴⋅=⋅=.。