直线和圆基础知识点(精华)
(完整版)直线与圆知识归纳
直线与圆◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2(tan πα≠=a k ，R k ∈斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为121221x x y y k P P --=3.直线方程的几种形式能力提升斜率应用例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则cc f b b f a a f )(,)(,)(的大小关系例2.已知实数y x ,满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，试求23++x y 的最大值和最小值两直线位置关系 两条直线的位置关系设两直线的方程分别为：222111:b x k y l +=或0:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A直线间的夹角：①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；③当0121=+k k 或02121=+B B A A o直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2(πθθα≤=或)2(πθθπα>-=；距离问题1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-=2.点到直线距离公式点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=3.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=4.直线系方程:若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)对称问题1.中点坐标公式：已知点),(),,(2211y x B y x A ，则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
高二数学直线与圆知识点
高二数学直线与圆知识点直线与圆是高中数学中的基础知识，也是解析几何的重要内容之一。
掌握直线与圆的性质和关系，对于理解几何图形的性质、解题以及拓展数学思维都有重要意义。
本文将介绍高二数学中与直线与圆相关的知识点。
一、直线的基本性质1. 直线的定义：直线是由无限多个点构成，且任意两点都在这条直线上。
2. 直线的表示方式：直线可以用两个点表示，也可以用方程表示。
3. 直线的斜率：斜率是直线的重要性质之一，可以用来描述直线的倾斜程度。
直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到。
二、圆的基本性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点距离固定的点的轨迹。
定点称为圆心，距离称为半径。
2. 圆的表示方式：圆可以用圆心和半径表示。
3. 弧长和扇形面积：圆上的弧长是圆心角所对的弧段的长度，扇形面积是圆心角所对的扇形的面积。
三、直线与圆的关系1. 直线和圆的位置关系：直线可以与圆相切、相离、相交。
相切时，直线只与圆相切于一点；相离时，直线与圆没有公共点；相交时，直线与圆相交于两个点。
2. 切线的性质：切线是与圆相切于一点的直线，切线与半径垂直。
3. 弦的性质：弦是圆上任意两点之间的线段，圆心角等于弦所对的弧的一半。
4. 弦切角的性质：弦切角是弦和切线的夹角，弦切角等于所对弧的圆心角。
四、直线与圆的方程1. 直线的方程：直线可以用点斜式、一般式、截距式等多种形式表示。
2. 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程是以圆心为原点，半径为r的圆的方程。
五、直线与圆的相关定理1. 切线定理：切线与半径垂直，且切点在切线上。
2. 弦切定理：切线与弦所夹角等于所对的弧的圆心角。
3. 弧切定理：切线与弦所夹的圆心角等于所对的弧的一半。
六、直线与圆的相关应用1. 直线与圆的位置关系的应用：可以根据直线与圆的位置关系求出点的坐标、判断线段的长度等。
2. 直线与圆的方程的应用：可以通过直线和圆的方程求解交点的坐标、判断直线与圆是否相交等。
(完整版)高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈(1）[0,)2πθ∈时，0k ≥；(2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0︒增加到90︒时，斜率从0增加到+∞;当倾斜角从90︒增加到180︒时，斜率从-∞增加到02．直线方程(1）点斜式：)(00x x k y y -=-（2）斜截式:y kx b =+（3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (4）截距式：1x y a b+= （5）一般式：0C =++By Ax3．距离公式（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y之间的距离：12PP =(2)点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离:d =（3）平行线间的距离:10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离:d =4．位置关系（1）截距式：y kx b =+形式重合：1212 k k b b == 相交:12k k ≠平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ⋅=-（2）一般式：0Ax By C ++=形式重合:1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B =平行:1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠5．直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l )二．圆1．圆的方程（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=(0R >）（2)一般式:220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--=2．位置关系（1)点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系:当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上当22200()()x a y b R -+->时,点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外（2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系:判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离d =R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）；当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当d R <时，直线和圆相离（无交点)；3．圆和圆的位置关系 判断圆心距12d OO =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系 当12d R R >+时,两圆相离,有4条公切线；当12d R R =+时,两圆外切，有3条公切线;当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线； 当12d R R =-时，两圆内切,有1条公切线；当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：l =。
高二《直线与圆》知识点总结
高二《直线与圆》知识点总结直线与圆是高中数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中具有广泛的应用。
掌握了直线与圆的相关知识，对于理解和解决几何和代数问题都有很大的帮助。
本文将对高二学生需要掌握的直线与圆的知识点进行总结。
一、直线与圆的基本概念和性质：1. 直线的定义和性质：直线是一条无限延伸的连续直线，具有无宽度和无端点的特点。
直线的特征是经过其中任意两点的直线上的所有点。
2. 圆的定义和性质：圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。
圆由圆心和半径唯一确定，其中半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
相离表示直线与圆没有任何交点；相切表示直线与圆有且仅有一个交点；相交表示直线与圆有两个交点。
4. 切线的定义和性质：切线是与圆相切且与圆的切点相同的直线，切线与半径垂直。
二、直线与圆的方程和解析几何：1. 直线的一般方程：直线的一般方程可以写为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
2. 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程可以写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
3. 圆的方程：圆的方程可以写为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
4. 直线与圆的位置关系的方程：要判断直线和圆的位置关系，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到判别式。
判别式小于0时，直线和圆相离；判别式等于0时，直线和圆相切；判别式大于0时，直线和圆相交。
三、直线与圆的交点和切线：1. 直线与圆的交点：若要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到交点的坐标。
2. 切线的判定和方程：若要确定直线是否为圆的切线，可以计算直线的斜率，然后计算圆心到直线的距离。
若斜率与圆心到直线的距离相等，则直线为圆的切线。
切线方程可以使用直线方程得出。
第2章 直线和圆的方程基础知识点汇总
Ax0 By0 C A2 B2
.
（3）两平行线间的距离公式：
l1 ： Ax By C1 0 与 l2 ： Ax By C2 0 间的距离 d 为：Βιβλιοθήκη d C1 C2 . A2 B2
2.4 圆与方程
1.圆的方程：
⑴标准方程： x a2 y b2 r 2 (其中圆心为 (a, b) ，半径为 r .)
（一）对于直线 l1 : y k1x b1, l2 : y k2 x b2 有：
⑴ l1
// l2
bk11
k2 b2
；
⑵ l1 和 l2 相交 k1 k2 ；
⑶ l1
和 l2
重合
bk11
k2 b2
；
⑷ l1 l2 k1k2 1.
（二）对于直线 l : Ax By C 0 ：
2.直线和圆相交弦长公式： l 2 r 2 d 2 （ d 表示圆心到直线的距离）
3.两圆位置关系： d O1O2
（1）外离： d R r ； （2）外切： d R r ； （3）相交： R r d R r ； （4）内切： d R r （ R r ）； （5）内含： d R r （ R r .
斜率分别为 k1，k2 的两条不重合的直线l1, l2 ，有l1 / /l2 k1 k2 .
斜率分别为 k1，k2 的两条直线 l1, l2 ，有 l1 l2 k1k2 1 .
2.2 直线的方程
1.直线方程：
⑴点斜式： y y0 kx x0 （不能表示斜率不存在的直线）
⑵斜截式： y kx b（不能表示斜率不存在的直线，b 是直线与 y 轴的交点纵坐标（即 y
l1 l2 A1 A2 B1B2 0 .
2.3直线的交点坐标与距离公式
高三直线和圆知识点
高三直线和圆知识点直线和圆是高中数学中的重要知识点，对于理解几何图形的性质和解题能力起着至关重要的作用。
本文将为大家详细介绍高三直线和圆的相关知识。
一、直线的定义和性质直线是由无数个点按照同一方向延伸而成的图形。
直线的特点是无限延伸，并且上面的任意两点都可以用直线段相连接。
直线的性质有以下几点：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。
2. 直线上的任意一点，都在直线上。
二、圆的定义和性质圆是由平面上与某一点的距离相等的所有点组成的图形。
这个距离称为圆的半径，通常用字母r表示。
圆心是与所有这些点距离相等的点。
直径是通过圆心的两个点，并且是圆的最长的一条线段，长度等于半径的两倍。
圆的性质有以下几点：1. 圆上所有点到圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是圆的最长直线段，且等于半径的两倍。
3. 圆的周长公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
4. 圆的面积公式为A=πr²，其中A表示面积，r表示半径。
三、直线和圆的关系直线和圆是几何图形中经常会出现的组合。
它们之间的关系有以下几种情况：1. 直线与圆的位置关系：a) 直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，此时交点为切点。
b) 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
c) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
2. 圆上的点到直线的距离：a) 圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于直线的垂直距离，即圆心到直线的距离是最短的。
b) 圆上任意一点到直线的距离：圆上的任意一点到直线的距离都等于它到直线的垂直距离。
3. 直线和圆的方程：a) 直线的方程：直线的方程可以用斜截式、一般式、点斜式等形式表示，根据题目给定的条件来确定具体的方程形式。
b) 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0，其中a、b为圆心的坐标，r为半径。
圆与直线知识点总结
圆与直线知识点总结一、圆的基本概念圆是平面上与一个给定点距离相等的点的集合。
这个给定点叫做圆心，与圆心距离相等的距离叫做半径。
圆通常用“O”表示圆心，“r”表示半径。
如果圆心为坐标原点(0,0)，那么圆的方程可以表示为x²+y²=r²。
圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，其长度为圆的半径的两倍，可以表示为d=2r。
圆的常见性质：1. 圆的周长：圆的周长叫做圆的周长，通常用C表示。
圆的周长可以用圆的直径或者半径表示。
圆的周长公式为：C=2πr或者C=πd。
其中π是一个无限不循环小数，它约等于3.14159。
2. 圆的面积：圆的面积叫做圆的面积，通常用S表示。
圆的面积公式为S=πr²。
3. 圆的弧长与扇形面积：圆的一部分叫做弧，连接两个圆周上的点的线段叫做弦，弧与弦所夹的部分叫做扇形。
弧的长度叫做圆的弧长，可以表示为l=α/180°×πr。
扇形的面积可以表示为S=1/2r²θ。
二、圆与直线的位置关系1. 直线与圆的相交：直线与圆的位置关系主要有相交、外切、内切和相离四种情况。
直线与圆相交的情况有两点相交和两点重合两种情况。
2. 判别方法：通过解析几何的方法可以判别直线与圆的位置关系。
设直线的方程为y=kx+b，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，通过联立直线方程与圆的方程，可以求解直线与圆的交点。
根据交点的数量和位置可以判断直线与圆的位置关系。
三、圆与直线的解析几何1. 直线的方程：直线的方程通常用一般式、点斜式、斜截式等形式表示。
一般式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。
点斜式为y-y₁=k(x-x₁)，其中k是斜率，(x₁,y₁)是直线上的一个点。
斜截式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
2. 圆的方程：圆的方程通常用标准方程和一般方程表示。
标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0。
直线与圆知识点及经典例题(含答案)
圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 （一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。
说 明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？ 将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()222D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆 心，以2242D E F+-为半径的圆。
,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零； （2）没有xy 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 （2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r 时，直线与圆相离；当d ＝r 时，直线与圆相切;当d<r 时，直线与圆相交。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程1.直线的定义：直线是由一切与它上面两点P、Q相应的全体点构成的集合。
在坐标平面中，直线可以由一般式方程、对称式方程、斜截式方程、截距式方程等多种形式表示。
2.一般式方程：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
一般式方程表示直线的一种常用形式，它能够直观地反映直线的方向和位置。
3.对称式方程：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。
对称式方程通过给出直线上两个点的坐标，从而确定直线的方程。
4. 斜截式方程：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜截式方程将直线的方程转化为了y和x的关系，便于直观地理解直线的特征。
5.截距式方程：x/a+y/b=1，其中a和b为直线与x轴和y轴的截距。
截距式方程能够直观地表达直线与坐标轴的交点，并通过截距反映直线的位置和倾斜情况。
二、圆的方程1.圆的定义：圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的轨迹。
在坐标平面中，圆可以由一般式方程、截距式方程、标准方程等多种形式表示。
2.一般式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般式方程为圆的一种常用形式，能够直观地描述圆的位置和形状。
3.截距式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
截距式方程通过圆的截距反映了圆的位置和形状。
4.标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
通过圆的标准方程，可以直观地反映圆的位置、形状以及与坐标轴的交点等信息。
5. 圆的三角方程：由半径与直径、半径与斜边等关系来定义圆的方程，例如sinθ = r/l，其中θ为圆心角的弧度，l为圆弧的长度。
圆的三角方程常用于解决涉及圆的三角学问题。
直线与圆知识点总结
直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。
- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。
- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。
2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。
设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。
设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。
将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。
4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
直线与圆知识点总结
直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。
如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，πππ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______（答：2,13-） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
高中直线和圆数学知识点(详细)
高中直线和圆数学知识点(详细)高中直线和圆数学知识点1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;直线方向向量的意义(或)及其直线方程的向量式((为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况?2.知直线纵截距，常设其方程为或;知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或知直线过点，常设其方程为.(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是。
而其到角是带有方向的角，范围是4.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.5.圆的方程：最简方程 ;标准方程 ;6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!”(1)过圆上一点圆的切线方程如果点在圆外，那么上述直线方程表示过点两切线上两切点的“切点弦”方程.如果点在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于(为圆心)的直线方程， (为圆心到直线的距离).7.曲线与的交点坐标方程组的解;过两圆交点的圆(公共弦)系为，当且仅当无平方项时，为两圆公共弦所在直线方程.高考数学答题有什么策略1.调适心理，增强信心(1)合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考;(2)合理安排饮食，提高睡眠质量;(3)保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示;(4)静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。
直线圆的知识点总结
直线圆的知识点总结直线圆是指平面上一条直线和一个圆相交的情况。
在几何学中，直线和圆是两种基本的几何图形，它们的相交情况具有一定的规律和特点。
本文将从直线圆的性质、定理和应用等方面进行总结。
一、直线圆的性质1. 相交情况直线和圆有三种相交的情况：相离、相切和相交。
相离是指直线和圆没有公共点；相切是指直线和圆有且只有一个公共点；相交是指直线和圆有两个不同的公共点。
2. 相交点的位置关系当直线和圆相交时，直线上的两个交点分布在圆的两侧。
如果直线与圆的圆心相交，那么直线必定是圆的直径；如果直线与圆的中点相交，那么直线必定是圆的切线。
3. 直线圆的夹角直线圆的夹角是指直线和圆的切点之间的夹角。
根据几何知识，直线与切线的夹角等于切点到圆心的距离与切线长度的比值。
这一性质在数学教学中有很多应用。
4. 直线圆的长度关系直线和圆的长度关系也是研究的重点之一。
例如，如果一条直线与一个圆相交，那么这条直线的长度可以通过圆的半径和直线与圆心的距离来表示。
5. 直线圆的对称性直线圆具有一定的对称性。
当直线与圆相交时，直线和圆的交点具有对称性。
通过对称性，可以研究出一些相交点的性质和定理。
二、直线圆的定理1. 切线定理切线定理是研究直线与圆相切的性质和定理。
根据切线的定义和性质，可以得出一些切线定理，如切线与半径的垂直关系、一条直线同时是两个圆的切线等。
2. 弦定理弦定理是研究直线与圆相交的性质和定理。
根据弦的定义和性质，可以得出一些弦定理，如弦的长度与角度的关系、弦的对称性等。
3. 直径定理直径定理是研究直线与圆直径的性质和定理。
根据直径的定义和性质，可以得出一些直径定理，如直径的长度关系、直径的对称性等。
4. 圆心角定理圆心角定理是研究直线与圆心角的性质和定理。
根据圆心角的定义和性质，可以得出一些圆心角定理，如圆心角与弦的关系、圆心角的对称性等。
5. 切割定理切割定理是研究直线如何切割圆的性质和定理。
根据切割的定义和性质，可以得出一些切割定理，如切线如何切割圆、切线截线定理等。
直线与圆知识点归纳高三
直线与圆知识点归纳高三直线与圆知识点归纳直线和圆是解析几何中常见的两种几何图形，它们有着丰富的性质和联系。
本文将对直线和圆的相关知识点进行归纳总结，帮助高三学生复习和掌握这一部分内容。
一、直线的定义和性质1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的路径，它没有宽度和长度，可以无限延伸。
2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点可以确定一条直线；(2) 任意一条直线可以通过两个点确定；(3) 直线可以延伸到无穷远，也可以延伸到无穷近。
二、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离某一点固定距离的所有点构成的图形。
2. 圆的性质：(1) 圆上任意两点都在圆周上；(2) 圆心到圆周上的任一点的距离都相等，称为半径；(3) 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，长度为半径的两倍；(4) 圆的周长是圆周的长度，记作C，公式为C = 2πr，其中r 为半径；(5) 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，记作S，公式为S = πr²。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系：(1) 直线可与圆相交，相切或不相交；(2) 如果直线与圆相交，可能有两个交点，一个交点或没有交点；(3) 如果直线与圆相切，有且只有一个切点；(4) 如果直线不与圆相交或切，那么直线与圆之间的距离等于直线到圆心的距离。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) 利用勾股定理：如果直线与圆的距离小于半径，那么直线与圆相交；如果直线与圆的距离等于半径，那么直线与圆相切；如果直线与圆的距离大于半径，那么直线与圆不相交也不相切。
(2) 利用方程求解：已知直线和圆的方程，将直线方程代入圆的方程中，求解得到交点或切点。
四、直线和圆的相关定理1. 直径定理：如果一条直线通过圆的圆心，并且两个端点都在圆上，那么这条直线的长度等于圆的直径。
2. 切线定理：过圆外一点引一条直线与圆相交，那么这条直线与圆的切点到圆心的线段垂直于直线。
3. 弦切角定理：相交弦所夹的圆心角等于它们所对的弧所夹的圆心角的一半。
直线与圆的知识点总结
直线与圆的知识点总结1. 直线的基本性质直线是没有宽度和厚度的，只有长度的几何图形。
直线上的任意两点可以确定一条直线，直线也可以延伸到无穷远。
直线有无穷多条平行直线。
直线和直线之间可以相交，也可以平行。
2. 圆的基本性质圆是由平面上与一个固定点的距离恒定的所有点组成的集合。
这个固定点叫做圆心，恒定的距离叫做半径。
圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段。
圆有无穷多条切线，切线与半径的夹角是直角。
圆周上的任意两点与圆心的连线组成的角叫做圆心角，这个角的弧长等于圆周上它所对的圆弧的长度的角叫做圆心角。
3. 直线与圆的关系直线与圆之间有着丰富的关系，包括直线和圆的相交，直线和圆的切线，以及圆的切线定理等。
3.1 直线和圆的相交直线和圆有三种可能的相交关系：相离、相切和相交。
相离是指直线和圆不相交，相切是指直线和圆只有一个公共的切点，相交是指直线和圆有两个公共的交点。
这些相交关系在解决一些几何问题的时候非常重要。
3.2 直线与圆的切线直线与圆的切线是指直线与圆只有一个公共的切点，并且这个切点是切线与圆的切点，切线与半径的夹角是直角。
切线的存在定理指出，直线与圆相交于两点，在这两点中可以找到一条切线。
切线与圆的切点处的切线定理为切线与圆的切点处切线的性质提供了重要的条件。
3.3 圆的切线定理圆的切线定理是指直线与圆相交于两点，则切线与直线的两切点连线的对角线相交于圆心。
这个定理在解决一些几何问题的时候有着重要的作用，它是几何学中重要的基本定理之一。
除了以上提到的基本性质和关系以外，直线与圆的知识还涉及到诸如圆心角、圆锥曲线、圆锥曲线的性质、圆锥曲线的方程、圆锥曲线的应用等方面的内容。
因此，掌握直线与圆的知识是极为重要的，它不仅可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，还可以为我们解决实际问题提供有力的工具和方法。
高二数学知识点汇总-直线与圆
直线与圆知识点1直线的方程1、直线的倾斜角（1）定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．2、直线的斜率（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是π2的直线没有斜率．（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3、直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x 0，y 0)，斜率k y －y 0＝k (x －x 0)与x 轴不垂直的直线斜截式纵截距b ，斜率k y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与x 轴、y 轴均不垂直的直线截距式横截距a ，纵截距bx a ＋y b＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0（A 2＋B 2≠0）平面直角坐标系内所有直线【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．知识点2两条直线的位置关系1、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.（2）两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2、两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 21x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3、三种距离公式（1）平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.（2）点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4、直线系方程的常见类型（1）过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；（2）平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；（3）垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；（4）过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2)．知识点3圆的方程1、圆的定义及方程2点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内3、二元二次方程与圆的关系不要把形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D 2＋E 2－4F 的符号，只有大于0时才表示圆．若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：（1）当F ＝0时，圆过原点．（2）当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上．（3）当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点．（4）当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切．知识点4直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系及判断（1）三种位置关系：相交、相切、相离．（2）两种判断方法：①代数法――――――――――――――――联立方程得方程组消去x 或y得一元二次方程，Δ＝b 2－4ac ＞0⇔相交＝0⇔相切＜0⇔相离②几何法――――――――――――圆心到直线的距离为d半径为r＜r ⇔相交＝r ⇔相切＞r ⇔相离2、圆的切线与切线长（1）过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.（2）过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.（3）切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ar d.【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．3、圆的弦长直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：（1）几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.（2）代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|.4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d ＜|r 1－r 2|【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．一、直线的倾斜角与斜率范围的求法1、求倾斜角的取值范围的一般步骤（1）求出斜率k ＝tan α的取值范围．（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2、斜率取值范围的2种求法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0l 1与l 2平行的充分条件A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)l 1与l 2相交的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)四、两条直线的交点与距离问题1、求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．五、对称问题的求解方法1、点关于点：点P (x ，y )关于点Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．3、点关于线：点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，六、求圆的方程的两种方法1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．七、解决有关弦长问题的常用方法及结论1、几何法：如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB ，圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则有关系式：|AB |＝2r 2－d 22、代数法：若斜率为k 的直线与圆相交于A (x A ，y A )，B (x B ，y B )两点，则|AB |＝1＋k 2· x A ＋x B 2－4x A x B ＝1＋1k2y A －y B |(其中k ≠0)．特别地，当k ＝0时，|AB |＝|x A －x B |；当斜率不存在时，|AB |＝|y A －y B |，八、求过一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的方法1、几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；2、代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证九、求与圆有关的轨迹问题的方法1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；3、几何法：利用圆的几何性质列方程；4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式。
直线与圆知识归纳
直线与圆知识归纳直线和圆是几何中常见的基本元素，它们之间的关系和性质对于几何问题的解决至关重要。
在本文中，我们将对直线与圆的基本概念、关系以及一些重要的定理进行归纳总结。
一、直线的基本知识直线是几何中最简单的图形，它没有起点和终点，可以无限延伸。
直线由无数个点组成，我们可以通过两个点确定一条直线，这两个点称为直线上的两个端点。
直线不同于线段，线段是直线的一部分，它有起点和终点，长度是有限的。
二、圆的基本知识圆是一个平面图形，由一条曲线组成，这条曲线上的任意两点到圆心的距离都相等。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到任意一点的距离。
一个圆由圆心和半径唯一确定。
圆内的所有点到圆心的距离都小于半径，而到圆心的距离等于半径的点在圆上。
三、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系分为三种情况：相离、相切和相交。
2. 当直线与圆没有交点时，称直线和圆相离。
当直线与圆有且仅有一个交点时，称直线与圆相切。
当直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交。
四、直线与圆的性质1. 切线的性质：- 直线与圆只有一个交点时，这条直线称为圆的切线。
- 切线和半径垂直。
2. 弦的性质：- 直线与圆有两个交点时，这条直线称为圆的弦。
- 弦的中点与圆心连线垂直于弦。
3. 弧的性质：- 弦所对的弧是两个相交圆内部的部分，它们所对的弧长相等。
五、直线与圆的重要定理1. 切线定理：切线与半径的关系- 切线与半径的夹角等于该切线所对的弧所对圆心角的一半。
2. 切割定理：一条直线同时切割两个相交圆的两个切点，这两个切点的线段乘积等于这条直线与两个相交圆的切点之间的线段乘积。
3. 集中定理：多条切线共点- 若两个相离的圆内切于某一点P，那么连接圆心的线段与这个点P以及切点的两条切线共点。
4. 同位角定理：切线与弦的夹角- 同位角相等：若一条切线与一条弦相交，那么切线与弦的夹角等于这两个弧所对的圆心角的一半。
总结：直线与圆的知识是几何学的基础，掌握它们的基本概念、位置关系、性质和定理，可以帮助我们解决各类几何问题，提升几何思维能力。
数学直线圆知识点总结
数学直线圆知识点总结一、直线的定义和性质直线是由无数个点组成的一条无限延伸的几何图形，它具有以下几个重要的性质：1. 直线上的任意两点可以确定一条唯一的直线。
这是直线的基本性质，也是它和其他几何图形的最大区别之一。
2. 直线上的任意一点都只有一个坐标。
在数学坐标系中，直线上的任意一点可以通过一个坐标来唯一确定。
3. 直线可以分为有限直线和无限直线。
有限直线是指有两个端点的直线，而无限直线是指没有端点的直线。
4. 直线的斜率是直线的一个重要性质。
斜率可以用来描述直线的倾斜程度，如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的。
5. 直线可以通过方程来表示。
在数学中，我们通常使用一般式方程、点斜式方程或截距式方程来表示直线。
二、圆的定义和性质圆是由一个固定点到平面上任意一点的距离等于一个常数的全部点构成的集合，它具有以下几个重要的性质：1. 圆的直径是圆的一个重要性质。
直径是连接圆上任意两点并通过圆心的线段，它的长度恰好等于圆的半径的两倍。
2. 圆的周长是圆的另一个重要性质。
圆的周长等于两倍的π乘以半径，即C=2πr。
3. 圆的面积是圆的重要性质之一。
圆的面积等于π乘以半径的平方，即A=πr^2。
4. 圆的切线是圆的一个重要性质。
切线是与圆相切的一条直线，它的斜率恰好等于圆的半径。
5. 圆可以通过方程来表示。
在数学中，我们通常使用标准方程或一般方程来表示圆。
三、直线和圆的相关知识直线和圆作为数学中最基本的图形之一，它们之间有着许多重要的关系和性质，下面我们来总结一下它们的相关知识点：1. 直线与圆的位置关系。
直线与圆可以有三种不同的位置关系，即相离、相切和相交。
当直线与圆没有任何公共点时，它们是相离的；当直线与圆有且仅有一个公共点时，它们是相切的；当直线与圆有两个公共点时，它们是相交的。
2. 直线与圆的相交性质。
如果直线与圆相交，那么它们会有两个交点；如果直线经过圆，那么它们会有两个共同的交点，即切点；如果直线和圆只有一个交点，那么它们是相切的。
直线与圆知识点汇总
直线与圆知识点汇总（一） 直线的倾斜角α与斜率k 求k 方法：1．已知直线上两点1p （1x ，1y ）2p （2x ，2y ）(1x ≠2x ) 则 2．已知α时，k=tan α(α≠900) k 不存在（α=900） 3．直线Ax+By+C=0，（A ，B 不全为0，） B=0时k 不存在， B ≠0时 k=-BA（二）直线方程1212y y x x k --=(三）位置关系判定方法：当直线不平行于坐标轴时（要特别注意这个限制条件）（四）点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离是2200B A C By Ax +++d=两平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为 d= .（五）直线过定点。
如直线（3m+4）x+(5-2m)y+7m-6=0,不论m 取何值恒过定点（-1，2） （六）直线系方程（1）与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法: Ax+By+m=0 (m ≠C)( 2 ) 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法: Bx-Ay+m=0（3）经过直线1l ∶1A x+1B y+1C =0，2l ∶2A x+2B y+2C =0交点的直线设法： 1A x+1B y+1C +λ（2A x+2B y+2C ）=0（λ为参数，不包括2l ） （七）关于对称（1）点关于点对称（中点坐标公式）（2）线关于点对称（转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行） （3）点关于线对称（点和对称点的连线被线垂直平分，中点在对称轴上、kk’= -1二个方程）（4）线关于线对称（求交点，转化为点关于线对称）2221B A C C +-（八）圆的标准方程： 222b)-(y a)-(x r =+ 圆心（a,b ） 半径r ＞0圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）圆心（2,2ED ） r= （九）点与圆的位置关系设圆C ∶222b)-(y a)-(x r =+，点M(00,y x )到圆心的距离为d ，则有：(1)d ＞r 点M 在圆外；(2)d=r 点M 在圆上； (3)d ＜r 点M 在圆内． （十）直线与圆的位置关系设圆 C ∶222b)-(y a)-(x r =+，直线l 的方程Ax+By+C=0，圆心(a ，b)到直线l 的距离为d,判别式为△，则有：(几何特征) (1)d ＜r 直线与圆相交； (2)d=r 直线与圆相切; (3)d ＞r 直线与圆相离; 弦长公式：或（代数特征）(1)△＞0 直线与圆相交，圆C 和直线l 组成的方程组有两解； (2)△=0 直线与圆相切， 圆C 和直线l 组成的方程组有一解； (3)△＜0 直线与圆相离， 圆C 和直线l 组成的方程组无解。
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[)00,90tan (90)x l x l x k k ααπαα⎧⎪
⎪⎨⎪⎪⎩
︒≠︒（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到 和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。
倾斜角：（2）当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为。
（3）倾斜角的范围。
（1）定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝；斜率 直线()121112221212
000090(,)(,)=(,)(),,y y y P x y P x y k x x x x x x y k y y k x x x y b k y kx b x P ⎧⎪⎪⎪︒⎨⎪∆-⎪=
≠∆-⎪⎩-=-=+ 倾斜角为的直线没有斜率（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为它不包括垂直于轴的直线。
斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为它不包括垂直于轴的直线。
方程两点式：已知直线经过111112222121(,)(,),,10(A,B 0)1y y x x x y P x y y y x x x y x y a b a b Ax By C b y kx b ⎧⎪⎪⎪⎪--⎪
=⎨--⎪
⎪+=⎪⎪
⎪++=⎩=+、两点，则直线方程为
，它不包括垂直于坐标轴的直线。
截距式：已知直线在轴和轴上的截距为则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
一般式：任何直线均可写成不同时为的形式。
（）知直线纵截距，常设其方程为；
设直线方程常用技巧00000001102(0)3(,)()4:005:00(,x x my x x y y k x x y x x l Ax By C Ax By C l Ax By C Bx Ay C P x y ⎧⎪
=+⎪⎪=-+=⎨⎪++=++=⎪⎪++=-+=⎩（）知直线横截距，常设其方程为它不适用于斜率为的直线；（
）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；
（）与直线平行的直线可表示为；（）与直线垂直的直线可表示为。
点到直线的距离：点
距离01122111122221221122112)0:0,:0:0:0002Ax By C d l Ax By C l Ax By C d l A x B y C l A x B y C A B A B B C B C A B ⎧++==⎪⎪⎨
⎪++=++==⎪⎩
++=++=⇔-=-≠⇔到直线的距离平行直线间距离：两平行线间的距离为直线与直线的位置关系： （1）平行（斜率）且
（在轴上截距）直线与直线位置关系 （）相交2112211221111122221212121221
121203004:0:001(0,tan (1)1A B A B A B B C B C l A x B y C l A x B y C A A B B l l l l k k k k k k θθπθ⎧⎪⎪⎪-≠⎨⎪⇔-=-=⎪⎪++=++=⇔+=⎩∈-=≠-+；
（）重合且。
（）直线与直线垂直。
（）到角：到的角是指直线绕着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角，）到角和夹角公式 且；（211212122,(0,]tan (1)21k k l l k k k k πθθ⎧⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪-⎪∈=≠-⎪⎪+⎩⎪⎪⎩）夹角：与与的夹角是指不大于直角的角，且︱︱。
直线的轴对称和中心对称：找对称点并代入。
在解题中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。
直线和圆基础知识点（精华版）
()(
)()()()()()()22
22222
2222222002000(D E 4F 0)D E 4F 00(,)22M ,C 0C M M 1C x a y b r x y Dx Ey F x y Dx Ey F x y y b r r r x a y D E b -+-=++++=>>++++=+-=>⇔>⇔-+-⎧⎪⎪⎨⎪⎪--⎩（1）圆的标准方程：
圆的方程（2）圆的一般方程： 只有当时，方程才表示圆心为已知点及圆 （）点在圆外点与圆的位置关系圆＋－＋－：x-a ()()()()()()()22222002220022
2CM CM C 2M C 3M C :0000r r x a l Ax By y b r r x a y b r x a y b r r C ><⇔-+-<⇔⎧⎪
⎪
⎪⎨⇔⎪⎪⎪⎩++=∆>⇔=∆<⇔⇔-+-=-+-=∆=>；
（）点在圆内； （）点在圆上。
直线和圆有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断（一般用几何方法比较简捷）：相交 （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）
相离直线与圆的位系：置关121212121212121023|O O ,O O O O <|O O r r r r r r r d r d d r d r r ⎧⎪
⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⇔⎪⎩⎪<⇔⎧⎪⎪⎪>⇔⎨⎪⎪=⇔⎪⎩⎩>+=+-相切相交 （2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为相离相切用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为）当时，两圆外离 （）当时，两圆外切
圆与圆的位置关系 （），则：当， （12121212
2222000022220020011245(,)()O ()(,)()()()O |0|O O |()x y R P x y xx yy R x a y b R P x y x a x a y a y r r r r r r a R ⎧⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪
⎪⎩+=+=-+-=--|<+=|-≤|--+<|-=时，两圆相交 （）当时，两圆内切 （）当时，两圆内含（1）过圆上一点圆的切线方程是：（2）过圆上一点圆的切线方程是：（3）从圆外一点切线圆的切线与弦长2220022
“”()()(,)0x a y x y b R P Dx Ey F x y +++-+-+==引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法 （抓住圆心到直线的距离等于半径）来求。
（4）过两切点的直线（即切点弦）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆 与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程。
（5）切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为22
21211().22:(,)0:(,)0()(,)(,)01(,)(,)0d l r r d l C f x y C g x y f x y g x y f x y g x y λλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=+==+==-+=(1)圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：弦长(2)过两圆、交点的圆公共弦系为，当时，方程 为两圆公共弦所在直线()⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
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⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪
⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩方程.重要经验：解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用
如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等解直线、直线与圆的相关题目时要时常将函数、导数、不等式、三角函数和初中的平面几何的知识结合起来，注意联想和转换
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
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