湖北省武汉市—高一数学上学期期末联考

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2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围（） A ．0a ≤ B ．2a ≥ C ．2a > D ．2a ≤【答案】B【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】由11x -<解得111x -<-<即02x <<，所以{}02A x x =<<，因为A B ⊆，所以2a ≥，故选:B.2．命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是（） A ．x +∃∈R ，使得x e +∉R B ．x +∃∉R ，使得x e +∉R C ．x +∃∈R ，使得x e +∈R D ．x +∃∉R ，使得x e +∈R【答案】A【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是“x +∃∈R ，使得x e +∉R ”. 故选：A3．已知cos140m ︒=，则tan50︒等于（）AB C D 【答案】B【分析】利用诱导公式化简，求出sin50,cos50︒︒，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得. 【详解】()cos140cos 9050sin500m ︒=︒+︒=-︒=<，则sin50m ︒=-，cos50∴︒sin 50tan 50cos50︒∴︒==︒.故选：B.4．已知函数()tan 4(,R)f x a x a b =+∈且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =（）A ．-5B ．-3C ．3D ．随,a b 的值而定【答案】C【分析】先推导()()8f x f x +-=，再根据3lg log 10lg lg 30+=求解即可【详解】由题意，()()()tan 4tan 48f x a x a x f x =+++-+=-，又3lg10lg log 10lg lg3lg lg3lg10lg3⎛⎫+=⋅== ⎪⎝⎭，故3(lg log 10)(lg lg3)8f f +=.又3(lg log 10)5f =，故(lg lg3)853f =-= 故选：C5．已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B6．已知m 为正实数，且22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（） A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D 【分析】()22222max tan 1515sin tan sin sin ≥mx m x x x x+⇒≥-，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，可得()222max 15sin tan sin m x x x ≥-.()()()22422222221cos sin 15sin tan sin 151cos 151cos cos cos x xx x x x x xx--=--=--2211716179cos cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+≤-=，当且仅当22116cos cos x x=，即21cos 4x =时取等号.则9m ≥.故选：D7．设sin7a =，则（）A ．222log aa a <<B ．22log 2a a a <<C ．22log 2aa a << D ．22log 2aa a <<【答案】D【分析】分别判断出21142a <<2a <211log 2a -<<-，即可得到答案. 【详解】()sin7sin 72a π==-.因为7264πππ<-<，所以12a <<所以21142a <<；因为2x y =在R 1222a =<<因为2log y x =在()0,∞+上为增函数，且12a <<2221log log log 2a <<211log 2a -<<-；所以22log 2aa a <<.故选：D8．设函数()()()cos cos f x m x n x αβ=+++，其中m ，n ，α，β为已知实常数，x ∈R ，若()π002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（）A ．对任意实数x ，()0f x =B ．存在实数x ，()0f x ≠C ．对任意实数x ，()0f x >D ．存在实数x ，()0f x <【答案】A【分析】根据π(0)()02f f ==，可推出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=-，整理化简后可得m n =或m n =-，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.【详解】由题意知π(0)()02f f == ，即cos cos sin sin 0m n m n αβαβ+=--= ，即cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=- ，两式两边平方后可得 22m n =，故m n =或m n =-，若0m n =≠ ，则cos cos sin sin αβαβ=-=-，，故π2π,Z k k αβ=++∈，此时()cos(π2π)cos()cos()cos()0f x m x k m x m x m x ββββ=++++=-++=++ ，若0m n =-≠ ，则cos cos ,sin sin αβαβ== ，故2π,Z k k αβ=+∈ ，此时()cos(2π)cos()0f x m x k m x ββ=++-+= ，若0m n == 或0m n =-= ，则()0f x = ，故对任意实数x ，()0f x =，则A 正确，B,C,D 错误，故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m 和n 之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.二、多选题9．下列三角函数值为负数．．的是（） A ．3tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．tan505︒C ．sin7.6πD ．sin186︒【答案】BCD【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】对于A ，33tan tan (1)144ππ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭，故A 为正数；对于B ，tan505tan(360)tan145tan350145+︒︒=︒=︒=-︒<，故B 为负数；对于C ，sin7.6π2sin(80.4)sin05πππ=-=-<，故C 为负数；对于D ，sin186sin(1806)sin 60︒=︒+︒=-︒<，故D 为负数；故选：BCD10．下列计算或化简结果正确的是（） A ．若1sin cos 2θθ⋅=，cos tan 2sin θθθ+= B ．若1tan 2x =，则2sin 2cos sin x x x =- C ．若25sin 5α=，则tan 2α= D ．若α为第二象限角，则22cos sin 21sin 1cos αααα+=-- 【答案】AB【分析】利用22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.【详解】对于A 选项：1sin cos 2θθ=，cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos θθθθθθθθθ∴+=+==，故A 正确；对于B 选项：1tan 2x =，则122sin 2tan 221cos sin 1tan 12x x x x x ⨯===---，故B 正确；对于C 选项：∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定，故C 错误；对于D 选项：α为第二象限角， sin 0,cos 0αα∴><,22cos sin cos sin cos sin =0cos sin cos sin 1sin 1cos αααααααααααα∴++=-+=--,故D 错误. 故选：AB.11．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确的有（）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD【解析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解；对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解，所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确；对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确；对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解，所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解，所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =；（2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.12．已知函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11xg x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（） A ．1αβ+= B ．αββα=+C ．32αβ-<-D ．2αβ->-【答案】BD【分析】先说明,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称，由题意可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，化简可得αββα=+，判断B;写出αβ+的表达式，利用基本不等式可判断4αβ+>，判断A;利用零点存在定理判断出322α<<，写出αβ-的表达式，由此设函数13,(2)1()12x h x x x <<-=--，根据其单调性可判断C,D . 【详解】对于函数,11xy x x =≠- ，有,11y x y y =≠-，即函数,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称，由题意函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β，可知α为(),21,1x xy y x x ==>-的图象的交点的横坐标， β为()2,log ,11xy y x x x ==>-的图象的交点的横坐标，如图示，可得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，则2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，故1)(0ααβ--=，即αββα=+，故B 正确；由题意可知1,10αα>∴-> ，所以11(111122241)11ααααβαααα+=-+=-+-++≥-⋅≥--，由于()22221220,2f α=-≠-∴-≠=，即4αβ+>，A 错误；因为32332232123220f ⎛⎫=- ⎪⎝=-->⎭，()22202221f =-=-<-，且()()21111x f x x x =-+>-为单调减函数，故()()211x x f x x x =->-在3(,2)2上存在唯一的零点，即322α<< ，故13,(2)1112αβαααααα-=-=--<<--，设13,(2)1()12x h x x x <<-=--，则该函数为单调递增函数，故3311()122322212()h h x >=--=->--，且1(2)211()02h h x =--=-<，故3202αβ-<-<-<，故C 错误，D 正确，故选：BD【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，从而可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，然后写出αβ+以及αβ-的表达式，问题可解.三、填空题13．已知()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---.若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】13-【分析】利用三角函数的诱导公式化简()f θ，结果为cos θ，结合π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，再利用诱导公式化简5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为πcos()6θ--，即得答案.【详解】由题意()()()()π3πsin cos tan π(cos )sin (tan )22cos tan πsin π(tan )(sin )f θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===-----，由π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，故5π5πππ1cos cos[π()]cos()66663f θθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13-14．若正数a ，b 满足24log log 8a b +=，48log log 2a b +=，则82log log a b +的值为__________. 【答案】523-【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩即可求解.【详解】因为24log log 8a b +=，所以221log log 82a b +=，又因为48log log 2a b +=，所以2211log log 223a b +=，联立22221log log 8211log log 223a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩，所以8222152log log log log 33a b a b +=+=-，故答案为：523-. 15．已知实数,[0,2]a b ∈，且844a b +=，则22b a -的最大值是_______________．【答案】2【分析】由已知可得22b a-=，令2a x =，构造函数()[1,4]f x x =∈，根据函数的单调性，即可求出最大值. 【详解】解：由844a b +=，可知()()()()22844222222b a b a b a b a =-=-=+-，则82222b a b a -=+，且有2b =22b a ∴-=，令2a x =，[0,2]a ∈()[1,4]f x x =∈，可知()f x 在[1,4]上单调递减，max 8()(1)24f x f ∴====，即22b a -的最大值是2，故答案为：2.16．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么经过_______h 污染物减少50%（精确到1h ）？取lg 0.50.3=-，lg 0.90.045=- 【答案】33【分析】代入给定的公式即可求解. 【详解】由题知，当0=t 时，解得0P P =，当5t =时，()500110%ekP P P -=-=，解得：1ln 0.95k =-，所以500.9t P P =，当050%P P =时，则有：50000.950%0.5tP P P ==，即50.90.5t=，解得：0.9lg 0.50.35log 0.55533lg 0.90.45t -==⨯=⨯≈-. 故答案为：33.四、解答题17．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=.(1)解关于x 的不等式2tan cos tan 0x x βαβ-+<的解集（解集用α的三角值表示）； (2)求tan β的最大值.【答案】(1)1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】(1)根据题意2sin cos tan 1sin ααβα=+，用α的三角函数值替换β的三角函数值，从而解一元二次不等式即可； (2)利用基本不等式求解. 【详解】（1）2sin cos tan 1sin ααβα=+，∴()22sin 1sin sin 0x x ααα-++<， ()()sin 1sin 0x x αα⋅--<，因为1sin sin αα<所以1sin sin x αα<<， ∴原不等式解集1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）222sin cos tan tan 2sin cos 2tan 1αααβααα===++当且仅当22tan 1α=即tan α=时取得等号.18．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了min t 会与时针重合，一天内分针和时针重合n 次.(1)建立t 关于n 的函数关系；(2)求一天内分针和时针重合的次数n .【答案】(1)72011t n =. (2)22次. 【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案. 【详解】（1）设经过min t 分针就与时针重合，n 为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为()2ππrad/min 6030=，时针旋转的角速度为()2ππrad/min 1260360=⨯，所以ππ2π30360t n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即72011t n =. （2）因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ），所以720144011n ≤，于是22≤n , 故时针与分针一天内只重合22次.19．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=.(1)求函数()y f θ=的解析式，并求π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=()0,πθ∈，求4πtan 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，12(2) 【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【详解】（1）因为1sin 2α=-，且0m <，所以7π6α=，由此得()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ππ7π5π1sin sin 33662f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由()f θ=知7ππsin sin 664θθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由于()0,πθ∈，得ππ7π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，与此同时πsin 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭由平方关系解得：πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin cos 4π36tan tan ππ33cos sin 36θθπθθθθ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=-=== ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（a 为常数）.(1)当1a =，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（参考数据：lg30.5=，lg50.7=） (2)若函数()f x 为偶函数，求()f x 在区间[]2,1--上的值域.【答案】(1)0.3 (2)999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求a ，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当1a =时，()lg 254x x f x -=-，此时1122119lg 254lg 2lg 2lg3lg510.70.3255f -⎛⎫-=-=-==-=-= ⎪⎝⎭（2）函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++的定义域为()(),00,∞-+∞，()110110lg 52lg 52lg lg 55x xx x x x x x f x a a ---+-=-++=+()lg 110lg5lg 110lg5x x x x a =--++- ()101101lg 52lg 52lg lg 22x x x x x x x xf x a a ---+=-++=+ ()lg 101lg2lg 110lg2x x x x a =--++-由偶函数的定义得恒有()()=f x f x -即：lg5lg5lg 2lg 2x x x x a a --=--也就是恒有()lg2lg5lg5lg2x x x xa -=-,所以1a =-当[]2,1x ∈--时，()()()1102lg 25lg 52lg lg 1101101x x x x x x x f x ---⎛⎫=--+==-+ ⎪++⎝⎭，因为函数101x y =+为[]2,1--上的增函数，所以()f x 在[]2,1--单调递减，∴[]2,1x ∈--，()999lg ,lg 11101f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()f x 在[]2,1--上值域999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y （元）与发车时间间隔t （分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当812t ≤≤时，单程营业额Y 与60412t t-+成正比；当58t ≤≤时，单程营业额会在8t =时的基础上减少，减少的数量为()2408t -.(1)求当512t ≤≤时，单程营业额Y 关于发车间隔时间t 的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均120t 次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间[]8,12t ∈，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额R 最大？求出该最大值.【答案】(1)2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. (2)10t =时，max 22080R =,【分析】（1）由题意设当812t ≤≤时的函数表达式，由12t =时满载求得比例系数，进而求得当58t ≤≤时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得6012040412R t t t ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，采用换元并结合二次函数性质,求得答案. 【详解】（1）当812t ≤≤时，设60412Y a t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，a 为比例系数，由12t =时满载可知55042200Y =⨯=，即6041212220012a ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则40a =，当8a =时，6040481214608Y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，故当58t ≤≤时，()221460408406401100Y t t t -+=--=-, 故2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. （2）由题意可得6012040412R t t t⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，化简得211192001531R t t ⎛⎫=-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，令111,,812u u t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2192001531R u u =-++，当312(15)10u =-=-，即10t =时，[]108,12∈符合题意，此时max 22080R =. 22．已知函数()32x a f x x =+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a 是常数. (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)设函数()()2log g x f x a x =-，试问，函数()g x 是否有零点，若有，求a 的取值范围；若没有，说明理由.【答案】(1)⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭(2)答案见解析【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.【详解】（1）若()0f x ≥恒成立，即恒有32x a x ≥-⋅设()2x h x x =-⋅，任取121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且满足12x x <，由于1222x x <，由不等式性质可得121222x x x x -⋅>-⋅，即()()12h x h x >，所以函数()g x 在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()max 12h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以3a ≥a ≥；所以a 的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. （2）由题意可知232log 0x a a x x +-=，即232log 0x a x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数2x y =单调递增，23log y x x =-单调递减，所以231log ,72x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当0a ≥时，232log 0x a x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭；当a<0时，2312log ,,22x y a x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦单调递增，2312log 7,42x y a x a a x ⎛⎫⎤=+-∈+ ⎪⎥⎝⎭⎦，70a >或1402a +<即07a <<或8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.综上，a >8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.。

2019-2020学年湖北省武汉市(第二十三中学、第十二中学、汉铁高中)高一上学期期末联考数学试题(解析版)

湖北省武汉市高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P -，则sin α的值为（）A B ．C D ．【答案】D【解析】由三角函数的定义求解即可. 【详解】解：由三角函数的定义有：sin α==. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.2．若幂函数()a f x x =的图像过点(8,4)，则()f x =（） A ．32x B ．23xC ．32x -D ．23x -【答案】B【解析】将已知条件代入函数解析式求解即可. 【详解】解：将点(8,4)代入函数解析式中可得48a =，解得23a =. 即23()f x x =，故选：B. 【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，属基础题.3．下列函数中，在区间(0,)+∞上是增函数的是（） A ．22y x e =- B ．2cos y x e =+C ．2log (1)y x =-D ．tan y x =【答案】A【解析】结合函数的单调性逐一判断即可得解. 【详解】解：函数22y x e =-对称轴为y 轴，开口朝上，所以(0,)+∞上为增函数. 函数2log (1)y x =-在(0,)+∞为减函数，函数2cos y x e =+与函数tan y x =在(0,)+∞不具有单调性，故选：A. 【点睛】本题考查了函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.4．y a =（a 为常数）与tan 3y x =图像相交时，相邻两交点间的距离为（） A ．π B ．23π C ．3π D ．3a π 【答案】C【解析】由y a =（a 为常数）与tan 3y x =图像相交时，相邻两交点间的距离为函数tan 3y x =的一个周期，再结合函数周期的求法即可得解.【详解】解：tan 3y x =的周期为3π，所以y a =（a 为常数）与tan 3y x =图像相交时，相邻两交点间的距离为3π. 故选：C. 【点睛】本题考查了正切函数的周期，重点考查了函数的性质，属基础题.5．若23a =，sin 2b =，3log c = ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】A【解析】由23313)1sin 2log 2>>>=即可得解. 【详解】解：23313)1sin 2sin(2)sin log 62ππ>>=->==，故选：A. 【点睛】本题考查了对数值，指数幂及三角函数值的运算，属基础题.6．扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其圆心角的弧度数是（）A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或4【答案】D【解析】利用扇形弧长和面积计算公式完成求解. 【详解】设扇形的半径为r cm ，圆心角为(02)ααπ<<，则2261 2.2r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得14r α=⎧⎨=⎩或21.r α=⎧⎨=⎩，故选D. 【点睛】扇形的弧长和面积计算公式：弧长公式：l r α=；面积公式：21122S lr r α==，其中α是扇形圆心角弧度数，r是扇形的半径. 7．已知cos 3πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，(0,)θπ∈，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A．B．C．3D．【答案】C 【解析】由sin sin cos 6233ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求值. 【详解】因为362πππθθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由诱导公式知sin sin cos 6233ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：C. 【点睛】本题主要考查诱导公式sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭的灵活应用，属基础题. 8．已知函数()tan 1f x x x =++，若()3f a =-，则()f a -的值为（） A ．3B ．4C ．5D ．与a 有关【答案】C【解析】由函数()()1tan g x f x x x =-=+为奇函数，再求解即可. 【详解】解：根据题意，函数()()1tan g x f x x x =-=+，则函数()g x 为奇函数，则()()()1()10g a g a f a f a +-=-+--=，又由()3f a =-，则()5f a -=，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的性质的应用，属基础题.9．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位 B ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位C ．先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．先向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）【答案】C【解析】根据函数()f x 的图象，设f x Asin x ωϕ=+（）（），可得12222236A ，，．πππωω=⋅=-∴=再根据五点法作图可得2022633f x sin x πππϕϕ⨯+=∴=-=-，，（）（），故可以把函数()f x 的图象先向左平移6π个单位，得到222233y sin x sin x ππ=+-=（）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到2y sinx = 函数的图象，故选C ．10．函数()sin(2)||2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．12-B ．12C D ．1【答案】D【解析】先由函数的奇偶性求出ϕ，再利用三角函数值域的求法求出最大值即可. 【详解】解：函数图象向左平移6π个单位得sin 2sin 263y x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又||2ϕπ<， 03πϕ∴+=，得3πϕ=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，由于02x π≤≤，02x π∴≤≤，22333x πππ∴-≤-≤，当232x ππ-=，max ()1f x =，故选：D. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性的应用，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题. 11．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法一二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：函数()y f x =在1x x =，2x x =，()3123x x x x x =<<处的函数值分别为()11y f x =，()22y f x =，()33y f x =则在区间[]3,i x x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：()()()111212()f x y k x x k x x x x =+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，1231k k k x x -=-，若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算2sin 5π是（）A ．35 B ．1625C ．1725D ．2425【答案】D【解析】先阅读题意，再结合过两点的直线的斜率公式求解即可. 【详解】解：函数()sin y f x x ==在0x =，2x π=，x π=处的函数值分别为1(0)0y f ==，212y f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，3()0y f π==，故211212y y k x x π-==-，32322y y k x x π-==--，122314k k k x x π-==--.故2222444()2f x x x x x x πππππ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，即2244sin x x x ππ≈-+，22224(2)4224sin 55525πππππ≈-⨯+⨯=，故选：D. 【点睛】本题考查了斜率公式，重点考查了阅读理解能力，属中档题. 12．已知定义在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()y f x =满足3344f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当34x π≥时，()cos f x x =，如果关于x 的方程()f x a =有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为（） A ．54π B ．32π C ．94π D ．3π【答案】A【解析】讨论直线y a =与函数()y f x =的图象的位置关系，结合函数()f x 的对称性求解即可. 【详解】解：依题意作出在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的简图，当直线y a =与函数()y f x =的图象有交点时，则可得10a -≤≤，①当202a -<≤，()f x a =有2个解，此时32S π=； ②当2a =-时，()f x a =有3个解，此时94π=S ；③当212a -<<-时，()f x a =有4个交点，此时3S π=； ④1a =-时，()f x a =有2个交点，此时32S π=. 故S 不可能为54π，故选：A.【点睛】本题考查了方程的根与函数图像交点的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、填空题13．已知函数sin (0)()4(0)3xx x f x x π>⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则((1))f f -的值为________.【解析】结合分段函数解析式求解即可. 【详解】解：由分段函数解析式可得：1433((1))sin 3442f f f f πππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2. 【点睛】本题考查了分段函数求值问题，属基础题.14．求值：sin14cos16sin 76cos74︒︒︒︒+=________. 【答案】12【解析】由三角函数的诱导公式结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】解：由两角和的正弦公式可得：sin14cos16sin 76cos74︒︒︒︒+sin14cos16cos14sin16︒︒︒︒=+()sin 1416︒︒=+1sin302︒==，故答案为：12. 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，重点考查了两角和的正弦公式，属基础题.15．下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O 距离水面1米，已知水轮自点M 开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M 距水面的高度d （米）（在水平面下d 为负数）与时间t （秒）满足函数关系式sin()1d A t ωϕ=++0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，则函数关系式为________.【答案】22sin 1156d t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】先阅读题意，再求出,,A ωϕ即可得解. 【详解】解：Q 水轮的半径为2，水轮圆心O 距离水面1，2A ∴=. 又Q 水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，215T πω∴==，215ωπ∴=. 顺时针旋转0t =Q 时，26t k πωϕπ+=-，2()6k k Z πϕπ∴=-∈，||2πϕ<Q ，6πϕ∴=-.22sin 1156d t ππ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，故答案为：22sin 1156d t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了对数据的处理能力，属中档题. 16．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且当[1,1]x ∈-时，()tan4f x x π=，则下列四个命题：①(2020)0f =；②()f x 的最小正周期为2：③[2020,2020]x ∈-时，方程1()2f x =有2020个根：④5()log ||f x x =有4个根，正确命题序号为________. 【答案】①③【解析】先由函数的奇偶性、对称性推出周期性，再结合函数的周期性及方程的解的个数与函数图像的交点个数的关系逐一判断即可得解. 【详解】解：(2)()f x f x +=-Q ，则(4)(2)f x f x +=-+，可得(4)()f x f x +=.4T ∴=，则每个选项判断如下：对于①4T =Q ，(2020)(0)tan 00f f ∴===，正确. 对于②最小正周期为4，错误. ③当[3,1]x ∈--时，2[1,1]x +∈-，则1(2)tan (2)4tan 4fx x x ππ⎡⎤+=+=-⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎪⎝⎭， 1()tan 4f x x π∴=⎛⎫ ⎪⎝⎭. [1,1]x ∴∈-时，1()tan42f x x π==有1个根； [3,1]x ∈--时，11()2tan 4f x x π∴==⎛⎫ ⎪⎝⎭有1个根，由于4T =，说明每个周期内1()2f x =都有2个根，故[2020,2020]x ∈-，一共有404010104=个周期，则有2020个根，正确. ④图像如下：由图可得有5个交点，错误. 故答案为：①③.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性及周期性，主要考查了方程的解的个数与函数图像的交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.三、解答题17．已知2tan 3α=，求下列式子的值：（1）sin()4cos 2sin cos παααα-++；（2）sin cos αα. 【答案】（1）2；（2）613. 【解析】（1）将分子分母同时除以cos α即可得解；（2）将分子分母同时除以2cos α即可得解. 【详解】解：（1）原式sin 4cos tan 42sin cos 2tan 1αααααα++==++. 2tan 3α=Q ，∴原式24322213+==⨯+. （2）原式22222sin cos tan 63sin cos tan 113213αααααα⋅====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了齐次式的求法，重点考查了诱导公式及同角三角函数的关系，属基础题. 18．已知集合1|282x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{|B x y =. （1）求()R A B ⋂ð；（2）当()R x A B ∈I ð时，求函数2()2xf x -=的值域.【答案】（1）{|21}x x -<≤-；（2）[8,16).【解析】（1）解指数不等式及对数不等式可得集合,A B ,再求解即可；（2）利用指数函数的单调性求函数值域即可. 【详解】解：（1）由1282x <<，知{|13}A x x =-<<，由22log (2)020x x -+≥⎧⎨+>⎩，知{|22}B x x =-<≤， }{|13R C A x x x ∴=≤-≥或，{|21}R C A B x x ∴=-<≤-I .（2）由（1）知(2,1]x ∈--任取1,x 2,x 1221x x -<<≤-，则()()21121212221211222244222x x x x x x x x f x f x --+-⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎝⎭，12x x <Q ，2122x x ∴>，21220x x∴->，()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴>()f x ∴在(2,1]--上单调递减，(1)()(2)f f x f ∴-≤<-，即8()16f x ≤<，函数2()2xf x -=在(2,1]x ∈--时的值域是[8,16).【点睛】本题考查了指数不等式及对数不等式的解法，重点考查了指数型函数值域的求法，属中档题.19．已知函数44()cos sin 2sin cos 1f x x x x x =---. （1）求()f x 的最小正周期，并求出()f x 的单调递减区间；（2）求函数()y f x =的零点.【答案】（1）π，3,,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈；（2）x k π=或()4x k k Z ππ=-+∈.【解析】（1）先利用降幂公式化简可得()f x 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再求函数最小正周期及单调递减区间即可；（2）解三角方程cos 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【详解】解：（1）由题意知：44()cos sin 2sin cos 1f x x x x x =---()()2222cos sin cos sin sin 21x x x x x =-+--cos2sin 21x x =--214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22w Tπ==Q ，T π∴=，令222,4k x k ππππ≤+≤+k Z ∈，3,88k x k ππππ∴-≤≤+k Z ∈，()f x ∴的单调减区间为3,,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈.（2）令()2104f x x π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，则cos 242x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2244x k πππ+=+或2()4k k Z ππ-+∈，即函数零点为x k π=或()4k k Z ππ-+∈.【点睛】本题考查了三角恒等变换及辅助角公式，重点考查了三角方程的解法，属中档题. 20．王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：（1）有下列函数模型：①2016x y a b-=⋅；②sin2016xy a b π=+；③lg()y a x b =+.(0,1)a b >>试从以上函数模型中，选择模型________（填模型序号），近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y （万吨）与年份x 的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式；（2）若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？（参考数据：lg 20.3010,=lg30.4771=）【答案】（1）①，2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）2022年【解析】（1）由题意可得函数单调递增，且增长速度越来越快，则选模型①，再结合题设数据求解即可；（2）由题意有201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，再两边同时取对数求解即可.【详解】解：（1）依题意，函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型①符合，设2016x y a b -=⋅，将2016x =，4y =和2017x =，6y =代入得201620162017201646a b a b --⎧=⋅⎨=⋅⎩；解得432a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 故函数模型解析式为：2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.经检验，2018x =和2019x =也符合.综上：2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）令201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，解得20163102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边同时取对数得：20163lg lg102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，3(2016)lg 12x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，11(2016)3lg 3lg 2lg 2x -≥=-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 120162021.7lg3lg 2x ∴≥+≈-.综上：从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨. 【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属中档题. 21．已知函数1()2sin cos 62f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）已知1(),3f α=5,612ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos2α的值；（2）已知0>ω，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值. 【答案】（1（2）1【解析】（1）由三角恒等变换可得()f x sin 26x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再结合1()3f α=求值即可；（2）由函数()sin 3g x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得52266k k x ππππωωωω-+≤≤+，再求解即可. 【详解】解：（1）1()2sin cos 62f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 12sin cos cos sin cos 662x x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21cos cos 2x x x =+-12cos 22x x =+ sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.1(),3f α=Q 5,612ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 2,63πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭2,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，cos 263πα⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭， cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）()sin 2123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 在R 上的单增区间有：22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，0ω>Q ，52266k k x ππππωωωω∴-+≤≤+. 因为函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以21126322T πππω⎛⎫--≤= ⎪⎝⎭，52,6366ππππωω-≤-≥，所以1ω≤. 即ω的最大值为1. 【点睛】本题考查了三角恒等变换及给值求值问题，重点考查了函数单调性的应用，属中档题.22．已知函数()x xk f x a ka -=+，（k Z ∈，0a >且1a ≠）.（1）若1132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求1(2)f 的值；（2）若()k f x 为定义在R 上的奇函数，且01a <<，是否存在实数λ，使得(cos 2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立若存在，请写出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）47；（2）存在，3λ< 【解析】（1）由指数幂的运算求解即可.（2）由函数()k f x 的性质可将问题转化为cos252sin x x λ<-对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，分离变量后利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】解：（1）由已知11221132f a a -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，21112229a a a a --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，17a a -∴+=， ()2122249a aa a --∴+=++=，2247a a -∴+=，即221(2)47f a a -=+=.（2）若()k f x 为定义在R 上的奇函数，则(0)10k f k =+=，解得1k =-，01a <<Q ，()x xk f x a a -∴=-，在R 上为减函数，则(cos 2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->，可化为(cos 2)(2sin 5)(52sin )k k k f x f x f x λλ>--=-，即cos252sin x x λ<-对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即25cos 22sin 42sin 2sin 2sin sin x x x x x xλ-+<==+，对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令sin ,t x =[0,1]t ∈，则2y t t=+为减函数，当1t =时，y 取最小值为3，所以3λ<. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了均值不等式，属中档题.。

湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷

湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高一上学期期末数
学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．下列说法正确的是（）
三、填空题
故()()()()g h x f h x >恒成立，只需()2h x >恒成立，
即()()221123224432
H k k H k k ì=-+-+>ïí=-+-+>ïî，解得12k <<，综上所述：存在实数k ，使得()()()()g h x f h x >恒成立，k 的取值范围为()1,2．
【点睛】难点点睛：本题考查了二次函数以及指对数函数的应用问题，涉及到函数的单调性以及零点和不等式恒成立问题，综合性强，解答的难点在于（2）中求解是否存在的问题；解答时要根据()g x 的定义域，得到()g x 在()0,¥+是增函数，若()()()()g h x f h x >恒成立，则首先要满足()0h x >恒成立，然后利用换元法结合()g t 在(]0,3上是增函数，()f t 在(]0,3上是减函数，进行求解．。

湖北省武汉市洪山2024-2025学年高一上学期9月考试数学试卷(解析版)

武汉市洪山2027届高一第一学期9月考试数学试卷（答案在最后）命题人：试题分值：150分考试时长：120分钟2024.09.19一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题p ：x ∀∈R ，2430x x -++>，则命题p 的否定为（）A.x ∀∈R ，2430x x -++≤B.x ∀∈R ，2430x x -++<C.x ∃∈R ，2430x x -++≤D.x ∃∈R ，2430x x -++<【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定求得结果.【详解】根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反，则命题p 的否定为“x ∃∈R ，2430x x -++≤”.故选：C .2.下列各组函数是同一个函数的是（）A.321x x y x +=+与y x= B.y =1y x =-C.2x y x=与y x= D.x y x=与1y =【答案】A 【解析】【分析】根据相同函数的定义，依次判断选项即可.【详解】A ：函数3222(1)11x x x x y x x x ++===++和y x =的定义域为R ，解析式一样，故A 符合题意；B ：函数1y x ==-与1y x =-的定义域为R ，解析式不一样，故B 不符合题意；C ：函数2x y x x==的定义域为{}0x x ≠，y x =的定义域为R ，解析式一样，故C 不符合题意；D ：函数1x y x==±的定义域为{}0x x ≠，1y =的定义域为R ，解析式不一样，故D 不符合题意.3.“a b >”是“1ba<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可．【详解】解：0a >时，由1ba<，解得：a b >，0a <时，解得：a b <，不是必要条件，反之a b >也推不出1ba<，比如0,1a b ==-，不是充分条件，故“a b >”是“1ba<”的既不充分也不必要条件．故选：D ．4.若a b >，d c >，且()()0c a c b --<，()()0d a d b -->，则（）A.b a c d <<<B.b c a d <<<C.c d b a <<<D.b c d a<<<【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式，求出b c a <<，d a >或d b <，结合d c >，得到正确答案.【详解】因为a b >，()()0c a c b --<，所以b c a <<，又因为()()0d a d b -->，所以d a >或d b <，因为d c >，所以d b <不合要求，所以d a >，综上：b c a d <<<.故选：B5.已知集合12,Z 3A x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，21,Z 3k B x x k ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，则（）A.A B⊆ B.A B =∅C.A B= D.A B⊇【解析】【分析】由集合A ，B 中的元素特征判断可得.【详解】1612,Z ,Z 33k A x x k k x x k ⎧⎫⎧⎫+==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，当Z k ∈时，21k +表示2的整数倍与1的和，61k +表示6的整数倍与1的和，故A B ⊆，故选：A6.不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可得方程20ax bx c -+=的两个根为2x =-和=1x ，且0a <，结合二次方程根与系数的关系得到a 、b 、c 的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】因为20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，所以方程20ax bx c -+=的两根分别为2-和1，且0a <，则()21,21,b ac a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩变形可得,2,b a c a =-⎧⎨=-⎩故函数()()22221y ax bx c ax ax a a x x =-+=+-=+-的图象开口向下，且与x 轴的交点坐标为()1,0和()2,0-，故A 选项的图象符合.故选：A7.关于x 的不等式()21220x a x a -++<的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围是（）A.{}2134a a a -≤<-<≤或 B.{}2134a a a -≤≤-≤≤或C.131222a a a ⎧⎫-≤<-<≤⎨⎬⎩⎭或 D.131222a a a ⎧⎫-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭或【答案】C 【解析】【分析】分类讨论12a =，12a >与12a <三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，列不等式即可得到a 的取值范围．【详解】由()21220x a x a -++<可得(1)(2)0x x a --<，当12a =时，2(1)(2)(1)0x x a x --=-≥，即原不等式无解，不满足题意；当12a >时，原不等式解得12x a <<，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得324a <≤，即322a <≤；当12a <时，原不等式解得21a x <<，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为1-和0，因此由数轴法可得221a -≤<-，即112a -≤<-；综上：112a -≤<-或322a <≤，所以实数a 的取值范围为1{|12a a -≤<-或32}2a <≤．故选：C ．8.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合[]{}03A x x =∈<<Z ，()(){}2220B x x axxx b =+++=，且 R A B ⋂=∅ð，则集合B 的子集个数为（）．A.4B.8C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =，再由()A B ⋂=∅R ð可知A B ⊆，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数.【详解】由题设可知，[]{}{}Z |031,2A x x =∈<<=，又因为()A B ⋂=∅R ð，所以A B ⊆，而()(){}22|20B x x axxx b =+++=，因为20x ax +=的解为=0x 或x a =-，220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=-，所以1,2分属方程20x ax +=与220x x b ++=的根，若1是20x ax +=的根，2是220x x b ++=的根，则有221+1=02+22+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩，解得=1=8a b -⎧⎨-⎩，代入20x ax +=与220x x b ++=，解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =-，故{}0,1,2,4B =-；若2是20x ax +=的根，1是220x x b ++=的根，则有222+2=01+21+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩，解得=2=3a b -⎧⎨-⎩，代入20x ax +=与220x x b ++=，解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =-，故{}0,1,2,3B =-；所以不管1,2如何归属方程20x ax +=与220x x b ++=，集合B 总是有4个元素，故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16.故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．9.已知非空集合,,A B C 都是R 的子集，满足B A ⊆，A C ⋂=∅，则（）A.A B A =B.()A C A ⋂=R ðC.B C B =D.()R B C B⋂=ð【答案】ABD 【解析】【分析】根据交集、并集、补集的定义及性质判断各选项.【详解】对于A ，由B A ⊆可得A B A = ，故A 正确；对于B ，由A C ⋂=∅，可得A C ⊆R ð，从而()A C A ⋂=Rð，故B 正确；对于C 、D ，结合B A ⊆与A C ⋂=∅，可知B C =∅ ，又B A C ⊆⊆R ð，所以()RB C B ⋂=ð，故C错误，D 正确.10.已知函数22,1()1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨+-<<⎩，下列关于函数()f x 的结论正确的是（）A.()f x 的定义域是RB.()f x 的值域是(),5-∞C.若()3f x =，则x = D.()f x 的图象与直线2y =有一个交点【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的定义域、值域、由函数值求自变量、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()f x 的定义域是(),2∞-，所以A 选项错误.B 选项，当1x ≤-时，21x +≤，当12x -<<时，2204,115x x ≤<≤+<，所以()f x 的值域是(),5∞-，所以B 选项正确.C 选项，由B 选项的分析可知，若()3f x =，则21213x x -<<⎧⎨+=⎩，解得x =C 选项正确.D 选项，画出()f x 的图象如下图所示，由图可知，D 选项正确.故选：BCD11.已知()0,0,214a b ab a b >>++=，则下列正确的是（）A.ab 的最大值为11-B.3322a b +++C.()1a b +最大值为8D.2a b +的最大值为6【答案】BC【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，()0,0,214a b ab a b >>++=，A 选项，()2142ab a b ab ++=≥+⨯2140+≤，解得02<≤-+当且仅当()214a bab a b =⎧⎨++=⎩，即2a b ==-+时等号成立，所以(20222ab <≤-+=-，所以A 选项错误.B 选项，()214ab a b ++=，()()()422218ab a b a b +++=++=，()()()3322132222226a b a b a b a b ++++=⨯=+++++++1163≥⨯==，当且仅当22,2a b a b +=+==-+时等号成立，所以B 选项正确.D 选项，()()211221422222222b a ab a b b a b a b a ++⎛⎫=++=+++≤++ ⎪⎝⎭，整理得()()221221080b a b a +++-≥，()()218260,26b a b a b a +++-≥+≥，当且仅当224b a =+=时等号成立，所以D 选项错误.C 选项，()()142212ab a b ab b a b b a a b =++=+++=+++，由D 选项的分析可知：()()11421468b a a b +=-+≤-=，所以C 选项正确.故选：BC【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,1]-∞【解析】【分析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A B ⊆可得实数a 的取值范围.【详解】如图，在数轴表示,A B ，因为A B ⊆，故1a ≤，填(],1-∞.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.13.函数1()f x x=+的定义域是_________．【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =+100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃14.定义集合{|}P x a x b =≤≤的“长度”是b a -，其中a ，b ∈R ．已如集合1{|}2M x m x m =≤≤+，3{|}5N x n x n =-≤≤，且M ，N 都是集合{|12}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是_____；若65m =，集合M N ⋃的“长度”大于35，则n 的取值范围是__________.【答案】①.110##0.1②.8179,,25105⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】【分析】空1：根据区间长度定义得到关于,m n 的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入65m =得到617510M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，再根据区间长度大于35，得到关于n 的不等式组，解出即可.【详解】集合1{|}2M x m x m =≤≤+，3{|}5N x n x n =-≤≤，且M ，N 都是集合{|12}x x ≤≤的子集，由1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，可得312m ≤≤，由3152n n ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩，可得825n ≤≤．要使M N ⋂的“长度”最小，只有当m 取最小值、n 取最大或m 取最大、n 取最小时才成立.当1m =，2n =，7352M N x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭，“长度”为3712510-=，当32m =，85n =，3825M N x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎩⎭，“长度”为8315210-=，故集合M N ⋂的“长度”的最小值是110；若65m =，617510M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，要使集合M N ⋃的“长度”大于35，故31735105n -<-或63,55n >+即1710n <或9,5n >又825n ≤≤，故8179,,25105n ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.故答案为：110；8179,,25105⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知R 为全集，集合21|1,R 1x A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}11B x a x a =-≤≤+．（1）求集合A ；（2）若R B A B ⋂=ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}12A x x =-<≤（2）{2a a ≤-或}3a >【解析】【分析】（1）将分式不等式化为()()21010x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解出解集，得到集合A ；（2）由（1）得到R A ð，根据R B A B ⋂=ð得到R B A ⊆ð，从而列出不等式，求出实数a 的取值范围.【小问1详解】因为2111x x -≤+，即21101x x --≤+，即021x x ≤-+，所以()()21010x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得：12x -<≤，故{}12A x x =-<≤；【小问2详解】由（1）得：{}12A x x =-<≤，所以{R 1A x x =≤-ð或}2x >，因为R B A B ⋂=ð，所以R B A ⊆ð，又{}11B x a x a =-≤≤+，因为11a a -<+，故B ≠∅，则11a ≤-+或12a ->，解得：2a ≤-或3a >，综上：实数a 的取值范围为{2a a ≤-或}3a >.16.已知集合{}2560A x x x =--<，{}121B x m x m =+<<-且B ≠∅.（1）若“命题:p x A ∃∈，x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若:s x B ∈是:t x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|25m m <<（2）7|22m m ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）由命题:,p x A x B ∃∈∈是真命题，可知A B ≠∅ ，又B ≠∅，可得m 的取值范围；（2）由:s x B ∈是:t x A ∈的充分不必要条件,得B 是A 的真子集，又B ≠∅，可得m 的取值范围.【小问1详解】因为B ≠∅，所以2112m m m ->+⇒>命题:,p x A x B ∃∈∈是真命题，可知A B ≠∅ ，因为{}|16A x x =-<<，{}|121B x m x m =+<<-，2116m m >⎧⎨-<+<⎩，25m ∴<<,故m 的取值范围是{}|25m m <<.【小问2详解】若:s x B ∈是:t x A ∈的充分不必要条件,得B 是A 的真子集，B ≠∅，21111216m m m m ->+⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得722<≤m ，故m 的取值范围是7|22m m ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.17.已知0a b c >,,，且234a b c ++=．（1）证明:222(23)(3)(2)82233b c a c a b a b b c a c+++++≥+++．（2）若23b c =，求11212333a abc -++++的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得()2(23)22232b c a b b c a b +++≥++，()2(3)232323a c b c a c b c+++≥++，()2(2)3223a b a c a b a c+++≥++，求和即可证明；（2）原不等式可化为111922123332123a abc a b -+=+-+++++，且()()2142321a b +++=，利用基本不等式可求得11212333a abc -++++的最小值.【小问1详解】()2(23)22232b c a b b c a b +++≥++，①()2(3)232323a c b c a c b c +++≥++②()2(2)3223a b a c a b a c +++≥++③①+②+③得()()222(23)(3)(2)2234232233b c a c a b a b c a b c a b b c a c++++++++≥+++++，即()222(23)(3)(2)22382233b c a c a b a b c a b b c a c+++++≥++=+++，当且仅当4233a b c ===时，等号成立．【小问2详解】由23b c =，得44a b +=，即44a b =-，所以111144114610212333212323212323a b b a b c a b b a b b ---+-+=-+=-++++++++++1922123a b =+-++由44a b +=，得288a b +=，得()()2142321a b +++=，即()()121423121a b ⎡⎤+++=⎣⎦，所以()()()()42392119119121423372123212123212123b a a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=++++=++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦17[37213≥+=．所以11212333a a b c -++++的最小值为71233-=，当且仅当()()4239212123b a a b ++=++，即31,4a b ==时，等号成立．18.LED 灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED 灯需投入的年固定成本为4万元每生产x 万件该产品，需另投入变动成本()W x 万元，在年产量不足6万件时，()212W x x x =+，在年产量不小于6万件时，()100739W x x x =+-．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．（1）写出年利润()L x (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）()2154,06,210035, 6.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．【解析】【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分06x <<和6x ≥即可求出L (x )的解析式；(2)根据二次函数和基本不等式分别求出L (x )在06x <<和6x ≥时的最大值，比较即可得到答案．【小问1详解】∵每件产品售价为6元，∴x 万件产品的销售收入为6x 万元，依题意得，当06x <<时，()2211645422L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当6x ≥时，()1001006739435L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴()2154,06,210035, 6.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】当06x <<时，()()2117522L x x =--+，当5x =时，()L x 取得最大值172．当6x ≥时，()1003535352015L x x x ⎛⎫=-+≤--= ⎪⎝⎭，当且仅当100x x =，即10x =时，()L x 取得最大值15．∵17152<，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．19.问题：正实数a ，b 满足1a b +=，求12a b +的最小值.其中一种解法是：()12121b a b a b a b a ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭223a b+++≥，当且仅当2b a a b =且1a b +=时，即1a =且2b =.学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数x ，y 满足1x y +=，求23x y+的最小值；（2）若实数a ，b ，x ，y 满足22221x y a b-=，求证：()222a b x y -≤-；（3）求代数式M =的最小值，并求出使得M 最小的m 的值.【答案】（1）5+（2）证明见解析（3）136m =时，M 取得最小值63．【解析】【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值；（2）利用已知，222222222222222222()1()()()x y b x a y a b a b a b x y a b a b -=-⨯=--=+-，然后由基本不等式进行放缩：2222222b x a y xy a b+≥，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．（3）令x =y =22221x y a b -=，即以2231x y -=，即221113x y -=，然后利用（2）的结论可得．【小问1详解】因为0,0x y >>,1x y +=，所以32()()5552323x y x y y x x x y y =+=++≥++++，当且仅当32x y y x=，即2,3x y ==-所以x y +的最小值是5+【小问2详解】222222222222222222()1()()()x y b x a y a b a b a b x y a b a b -=-⨯=--=+-，又2222222b x a y xy a b +≥=，当且仅当222222b x a y a b =时等号成立，所以22222222(b x a y x y a b +-+2222222()x y xy x y xy x y ≤+-≤+-=-，所以222()a b x y -≤-，当且仅当222222b x a y a b =且,x y 同号时等号成立．此时,x y 满足22221x y a b -=.【小问3详解】令x =y =，由35020m m -≥⎧⎨-≥⎩得2m ≥，()()22352230x y m m m -=---=->，又0,0x y >>，所以x y >，构造22221x y a b-=，由2231x y -=，可得221113x y -=，因此2211,3a b ==，由（2）知M =3x y =-≥==，取等号时，22133x y =且,x y 同正，结合2231x y -=，解得,26x y ==2=，136m =．所以136m =时，M 取得最小值63．。

2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

华中师大一附中2022—2023学年度上学期高一期末检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（）U M N P UA. B. ()M N P ⋂⋂()M N P ⋃⋂C.D.()()U M N P ⋂⋂ ()()UM N P ⋃⋂ 【答案】C 【解析】【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可.M N P 【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，M N P 即.()()UM N P ⋂⋂ 故选：C.2. 若，均为实数，则“”是“”的（）a b 22a b >a b >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】通过不等式的性质一一验证其充分性与必要性即可.【详解】若，则，则或，故充分性不成立；22a b >a b >a b >a b<-若，则，故必要性成立；a b>22a b >故“”是“”的必要不充分条件.22a b >a b >故选：B.3. 下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（）tan 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A. B. C. D. 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭3,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的性质即可求得对称中心.【详解】由已知，令()3,Z 42612k k x x k ππππ-=⇒=+∈当时，，ABD 均符合题意，0,1,2k =35,,121212x πππ=故选：C4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震级数之间的关系式为.2022年9月18日14时44分在中E M lg 4.8 1.5E M =+国台湾花莲发生的6.9级地震所释放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的倍，则下列各数中最接近的值为（）m m A. 100 B. 310C. 500D. 1000【答案】C 【解析】【分析】根据地震释放出的能量与地震级数之间的关系式，将两次地震等级分别代E M lg 4.8 1.5E M =+入，利用对数运算法则可得两次能量的比值，近似计算可确定选项.E 【详解】设6.9级地震所释放出来的能量是，日本5.1级地震所释放出来的能量是，1E 2E 则，；1lg 4.8 1.5 6.9E =+⨯2lg 4.8 1.5 5.1E =+⨯可得，所以1122lg lg lg2.7E E E E -==()2.7 2.53121010,10E m E ==∈而，即.52.521010316==≈()316,1000m ∈故选：C5. 函数的部分图象形状大致是（）()21sin 1πxf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先根据函数解析式可判断函数为偶函数，再利用特殊值的符号通过排除法即可得出结果.()f x 【详解】根据题意可知，定义域为，()2π11sin sin 1ππ1x xxf x x x -⎛⎫=-⋅=⋅ ⎪++⎝⎭x ∈R 而，()()π11ππ1sin()sin sin ()π1π1π1x x x x x x f x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++所以函数为偶函数，图像关于轴对称，可排除CD ；()f x y 根据图象可利用可排除B.()2221sin 201πf ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭>故选：A6. 若扇形的周长为定值，圆心角为，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角l ()02παα<<的值为（）αA. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，将面积写成关于的表达式，再利用二次函数性质即可求得S l 结果.【详解】设扇形的半径为，弧长为，r L 因此，22L r r r l α+=+=扇形的面积，2111(2)222S Lr l r r r lr ==-=-+由二次函数性质可知，当时，扇形面积取到最大值；4lr =此时，.2lr α=2α=故选：B 7. 设，，，则（）3log 2a =6log 4b =135log 40c =A. B. C. D. c b a <<a b c<<b a c<<a c b<<【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式将表示成分式形式，再利用加糖不等式和对数函数单调性即可判断出大小.,,a b c 【详解】由题意可知，，3lg 2log 2lg 3a ==，6lg 42lg 2lg 2lg 2lg 6lg 3lg 2lg 3lg 2log 4b =+=++==利用加糖不等式可知；(0,0)m m k m n k n n k +<<+a b <又13135131lg 2lg 5lg 40lg 5lg83lg 2lg 5lg 2lg 53log 401lg135lg 5lg 273lg 3lg 5lg 3lg 5lg 3lg 53c ++++======++++又因为，1358,lg 5lg 2<<同理根据加糖不等式，，即.1313lg 2lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 5++++<<a c b <<故选：D8. 定义在上的偶函数满足，且当时，R ()f x ()()22f x f x -=+[]0,2x ∈，若关于的方程至少有8个实数解，则实数的取值范()21,012sin 1,122x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩x ()ln x f x λ=λ围是（）A. B. 11,ln 6ln 5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,ln 6ln 5⎛⎤- ⎥⎝⎦C.D. 11,,ln 6ln 5⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,00,ln 6ln 5⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】根据函数的周期性画出函数的图像，利用对称性判断轴两个函数图像交点个数列出不等式，解y 不等式即可得到范围.【详解】由已知满足，且函数为偶函数，()f x ()()22f x f x -=+()f x 所以，()()()()2222f x f x f x f x +=-=--=-⎡⎤⎣⎦令，()2(4)t x f t f t =-⇒+=所以函数是周期为的周期函数.()f x 4又因为与函数都是偶函数，由对称性可知()f x ln xλ由于关于的方程至少有8个实数解，x ()ln x f x λ=故当时，与至少有个交点.0x >()y f x =ln y x λ=4函数与图像如图所示.()y fx =ln y x λ=由图可知：当时，只需，解得0λ>ln 51λ≤10ln 5λ<≤当时，只需，解得0λ<ln 61λ≥-1ln 6λ-≤<当时，显然符合题意.0λ=综上所述：.11,ln 6ln 5λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 若，则下列说法中正确的是（）()*0,1,N n a b a n n =>>∈A. 当为奇数时，的次方根为 B. 当为奇数时，的次方根为n b n a n a n b C. 当为偶数时，的次方根为 D. 当为偶数时，的次方根为n a n b ±n b n a±【答案】AD 【解析】【分析】根据，讨论为奇数和偶数两种情况，求出的次方根即可判断得()*0,1,N n a b a n n =>>∈n b n 出结果.【详解】当为奇数时，可知的次方根只有一个，为，n b n a 当为偶数时，由于，所以的次方根有两个，为;n ()n na ab ±==b n a ±所以只有AD 正确.故选：AD10. 已知，则下列不等式正确的是（）1m n >>A.B.22n nm m +<+11m n m n +>+C. D.3322+>m n m n 11+>+m n n m【答案】BD 【解析】【分析】通过对选项利用不等式性质进行拆解，在通过已知条件反证一一推导即可.【详解】对于选项A ：，1m n >> ，22m n ∴>，22mn m mn n ∴+>+，()()22m n n m ∴+>+都大于零,m n ，22n nm m +∴>+故选项A 错误；对于选项B ：，1m n >> ，且，1mn >∴1m n ->，()mn m n m n∴->-，22m n mn m n ∴->-，22m n n mn m ∴+>+，11m n m n +>+∴故选项B 正确；对于选项C ：当，时，3m =2n =，33227835236m n m n +=+=<=故选项C 错误；对于选项D ：，1m n >> ，110n m ∴>>，11m n n m +>+∴故选项D 正确.故选：BD11. 已知，，则下列结论正确的是（）()0,θπ∈7sin cos 5θθ-=A.B.C.D. ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4cos 5θ=-3tan 4θ=-2tan 121tan 25θθ=-+【答案】AD 【解析】【分析】由已知得，，确定的范围判断A ，求解与值判断B 与C ，把sin 0θ>cos 0θ<θcos θtan θ代入，化简判断D.tan θ2tan 1tan θθ+【详解】对于A ：由，，两边平方得：，()0,πθ∈7sin cos 5θθ-=4912sin cos 25θθ-=则,得，，则,故A 正确；242sin cos 025θθ=-<sin 0θ>cos 0θ<π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对于B 、C 、D ：∵，则，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴，(πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭又，1sin cos 5θθ+====±当时，联立，解得，，1sin cos 5θθ+=1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-∴，；sin 4tan cos 3θθθ==-24tan 123161tan 2519θθ-==-++当时，联立，解得，，1sin cos 5θθ+=-1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3sin 5θ=4cos 5θ=-∴，.sin 3tan cos 4θθθ==-23tan 12491tan 25116θθ-==-++故B 、C 错误，D 正确.故选：AD.12. 设函数是定义在上的减函数，并且同时满足下列两个条件：①对，都()f x ()0,∞+(),0,x y ∀∈+∞有；②；则下列结论正确的是（）()()x f f x f y y⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21f =-A.()10f =B. 不等式的解集为()()21f x f x +-<01x x ⎧⎪<<+⎨⎪⎩C.()42f =-D. 使关于的不等式有解的所有正数的集合为x ()()22f kx f x +-<k 14k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值法判断选项A ，C ，根据函数的单调性化简不等式，求其解，即可判断B ，根据函数的单调性化简不等式，根据不等式有解列不等式求的范围判断D ．k 【详解】因为对，都有，(),0,x y ∀∈+∞()()x f f x f y y⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，即，则，故选项A 正确；1x y ==(1)(1)(1)f f f =-(1)0f =令，则，又，所以，故选项C 正确；4,2x y ==(2)(4)(2)f f f =-()21f =-()42f =-令，则，所以，12,2x y ==()()1422f f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，，可化为，()()21f x f x +-<(0,2)x ∈()()122f x f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭故，所以()()()1122f x f f f x ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭()122f x f x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭因为函数在上单调递减，所以，且，()f x ()0+∞，122x x >-02x <<解得：，所以的取值范围为，故选项B错误；11x <<+x 11x x ⎧⎪-<<+⎨⎪⎩不等式可化为，()()22f kx f x +-<()()11222f kx f f f x ⎛⎫⎛⎫-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，所以且，，()1242f kx f x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭1242kx x >-02x <<0k >得，此不等式有解，等价于，14(2)k x x >-min 14(2)k x x ⎡⎤>⎢⎥-⎣⎦在的范围内，由基本不等式，当且仅当，即时等号成02x <<22(2)12x x x x +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭2x x =-1x =立，，，故即为所求范围，故选项D 正确，4(2)4x x -≤114(2)4x x ≥-14k >故选：ACD ．【点睛】问题解决的关键在于通过赋值法求函数值，利用已知关系及函数单调性化简不等式.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一小问2分，第二小问3分.13. 函数的单调递增区间是______.()()213log 65f x x x =-+-【答案】##(3,5)[3,5)【解析】【分析】由对数函数的真数大于零可得的定义域，根据复合函数单调性同增异减原则，即求()f x 的单调递减区间即可.265u x x =-+-【详解】由有意义可得，所以，故函数()()213log 65f x x x =-+-2650x x -+->15x <<的定义域为，()()213log 65f x x x =-+-()1,5令，，265u x x =-+-15x <<又根据二次函数的图象与性质可知，函数在区间上单调递增，265u x x =-+-(1,3]在区间上单调递减，[3,5)又由函数为单调递减函数，13log y u=根据复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为.()f x [3,5)故答案为：.[3,5)14.______.())21lg122log 392lg 5lg 2·lg 5014-⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭【答案】133【解析】【分析】通过指对运算一步一步运算即可得出答案.【详解】())21lg122log 392lg 5lg 2·lg 5014-⎛⎫++-+- ⎪⎝⎭()())102243lg 5lg 2·lg 5lg1019⎛⎫=+++-+⎪⎝⎭()()223lg 5lg 2·lg 5113=+++-+()210lg 5lg 2·lg 5lg 23=+++()10lg 5·lg 5lg 2lg 23=+++()10lg 5·lg10lg 23=++10lg 5lg 23=++1013=+133=故答案为：.13315. 在中，为它的三个内角，且满足，，则ABC ,,A B C 3sin 4cos 6A B +=3cos 4sin 1A B +=______.C =【答案】##π630【解析】【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可1sin()2A B +=求得结果.【详解】由题意可知，将两边同时平方得3sin 4cos 63cos 4sin 1A B A B +=⎧⎨+=⎩将两式相加得22229sin 16cos 24sin cos 369cos 16sin 24cos sin 1A B A B A B A B ⎧++=⎨++=⎩，即，所以24(sin cos cos sin )12A B A B +=1sin()2A B +=1sin 2C =可得或；π6C =5π6C =又因为，得，13cos 4sin 0A B -=>11cos 32A <<由余弦函数单调性可得，所以不合题意；π3A >5π6C =因此.π6C =故答案为：π616. 已知函数的图象是一个中心对称图形，它的对称中心为______；函数()1117122f x x x x =+++--的图象与函数图象的交点分别为，，，…，（为正整()f x ()132121x x g x -⋅+=+()11,x y ()22,x y (),m m x y m 数），则______.()()()()112233m m x y x y x y x y ++++++++= 【答案】 ①.②. 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，92m 【解析】【分析】证明函数为奇函数，由此确定函数的对称中心，证明与的对称中()712f x +-()f x ()g x ()f x 心重合，结合对称性及加法的运算律求值.【详解】因为，所以，()1117122f x x x x =+++--()7111212f x x x x -=++--设，则函数的定义域为，()()71111211h x f x x x x =+-=+++-()h x ()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞且，()()1111111111h x h x x x x x x x ⎛⎫-=++=-++=- ⎪-+----+⎝⎭所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，即函数的图象关于原点对称，()h x ()h x ()712f x +-所以函数的图象关于对称，()f x 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为，所以，()132121xx g x -⋅+=+()()17321752512212212x x xxg x +⋅+⋅-+-=-=++所以，()()()()()()521512771122221212xx x x g x g x ----⎡⎤-+-===-+-⎢⎥++⎣⎦所以函数为奇函数，故函数的图象关于对称，()712g x +-()g x 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，又函数的图象与函数图象的交点分别为，，…，，()f x ()132121x x g x -⋅+=+()11,x y ()22,x y (),m m x y ，点不在函数图象上，所以为偶数，设，()712g =71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x m 2m k =不妨设，则，122k x x x <<⋅⋅⋅<1222112k k k k x x x x x x -++=+=⋅⋅⋅=+=，1222117k k k k y y y y y y -++=+=⋅⋅⋅=+=所以，()()()1212121222112k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x k m+--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=++++⋅⋅⋅++==同理，121212772k k k k m y y y y y y k +-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++==.()()()()()()11223312212292m m k k m x y x y x y x y x x x y y y ++++++++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=【点睛】本题解决的关键在于通过证明，为奇函数，确定其对称性，结合对称()712f x +-()712g x +-性求解问题.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集，集合，非空集合，其中.U =R 12324x A x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭{}232B x a x a =-≤≤+a ∈R （1）若，求；1a =()U A B ∩ （2）从下列三个条件中任选一个作为已知条件，求的取值范围.①；②a ()()UUUA B B ⋃= ；③的一个充分条件是.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个条件的解()U B A =∅x A ∈x B ∈答计分.【答案】（1）{}21x x -≤<（2）113a -≤<【解析】【分析】（1）将代入，求出集合，再求出集合，进一步求解即可；1a =B A （2）三个条件都说明，所以利用子集关系及非空集合列不等式计算即可.B A ⊆B 【小问1详解】当时，，或，又，1a ={}15B x x =≤≤{1U B x x =< }5x >{}25A x x =-≤<则.(){}21U A B x x ⋂=-≤< 【小问2详解】选择条件①：因为，所以，()()UUUA B B ⋃= ()()UUA B Í 即，又已知非空集合，BA ⊆{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a aa a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<选择条件②：因为，则，()U B A =∅B A ⊆又已知非空集合，{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a aa a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<选择条件③：的一个充分条件是，则，x A ∈x B ∈B A ⊆又已知非空集合，{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<18. 已知函数.()2f x mx nx=-（1）若的解集为，求不等式的解集；()f x t≥{}21x x -≤≤20nxmx t ++≤（2）若，且，求的最小值.0m >0n >()10f >14m m n n ++-【答案】（1） {|12}x x -≤≤（2）6【解析】【分析】(1)根据题意可得：和方程的两根，利用韦达定理得出2-120(0)mx nx t m --=<，，将要解的不等式化简整理即可求解；n m =-2t m =(2)由可得，然后利用基本不等式即可求解.()10f >0m n ->【小问1详解】因为的解集为，()f x t≥{}21x x -≤≤所以和方程的两根，由韦达定理可知：，2-120(0)mx nx t m --=<12nm t m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩则有，，所以不等式可化为，n m =-2t m =20nx mx t ++≤220mx mx m -++≤因为，所以不等式可化为，解得：，0m <220x x --≤12x -≤≤所以不等式的解集为.20nx mx t ++≤{|12}x x -≤≤【小问2详解】因为，也即，又因为，，()10f >0m n ->0m >0n >所以，1414()6m m n n m n n m n n ++=-+++≥=--（当且仅当和同时成立时取等，也即时取等）1m n m n -=-4n n =3,2m n ==所以的最小值为.14m m n n ++-619. 已知函数（其中，）的最小正周期为，当时，取()()sin 2f x x ωϕ=+0ω>ϕπ<23π4xπ=()f x 到最大值.（1）求函数的单调递增区间；()f x （2）当时，若函数在区间上的值域为，求实数，的值.0a >()()g x af x b =+,363ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3a b 【答案】（1）， 22,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2），43a =53b =【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的周期公式，求出，再结合当时，取到最大值，ω4x π=()f x 推出的解析式，再结合三角函数的单调性即可得出答案；()f x （2）结合（1）的结论，的取值范围，得出的范围，即可得出的值域，根据已知条件列出方x ()f x ()g x 程组求解即可得出答案.【小问1详解】函数（其中，）的最小正周期为，()()sin 2f x x ωϕ=+0ω>ϕπ<23π，则，3223πωπ∴==()()sin 3f x x ϕ=+又当时，取到最大值，4x π=()f x ，，3242k ππϕπ∴⨯+=+k ∈Z解得，，24k πϕπ=-k ∈Z ，，则，ϕπ< 4πϕ∴=-()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，，232242k x k πππππ-+≤-≤+k ∈Z 解得，，2212343k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 故函数的单调递增区间为，；()f x 22,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 【小问2详解】，，,363x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 33,464x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 3,142x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()12a b g x a b∴-+≤≤+函数在区间上的值域为， ()()g x af x b =+,363ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3，解得，.1123a b a b ⎧-+=⎪∴⎨⎪+=⎩43a =53b =20. 两社区和相距2km ，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一A B ABAB A B 点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区C 的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响A A B 度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为B K A B 对社区和社区的噪音影响度之和.记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社A B C A km x C A 区的总噪音影响度为.统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪B yAB A B 音影响度为0.05.（1）将表示成的函数；y x （2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？AB A B 若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由.A 【答案】（1）22119(02)1004y x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭<<（2）存在，当该点到社区的距离时，袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.A 1x =A B 【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可得出，再根据反比例函数定义和已知条件可解得，224BC x =-0.09K =即可写出关于的函数；（2）利用整体代换和基本不等式确定的最小值，验证等号成立时的取值是y x y x 否符合题意，即可判断得出结论并确定位置.【小问1详解】由为直径可得，所以AB ACBC ⊥224BC x =-由题意可知，220.01(02)4Ky x x x =+-<<又当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05，AB A B 即时，，代入得，x =0.05y =0.09K =所以，220.010.09(02)4y x x x =+-<<即关于的函数为y x 22119(02)1004y x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭<<【小问2详解】口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小，A B y 由（1）知2222222211984211004100(4)25(4)x x y x x x x x x ++⎛⎫=+== ⎪---⎝⎭22242222211222122192542525119551222442x x x x x x x x ++=⨯=⨯=⨯-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--+++- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭令，则可得2119,222x t ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭2192554y t t=⨯-+-，当且仅当时，等号成立；99555244t t t t ⎛⎫-+-=-++≤-+= ⎪⎝⎭32t =且，所以，9504t t -+->212119252522554y t t =⨯≥⨯=-+-即，此时，即，解得.min 125y =32t =21322x +=1x =因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对社区和社AB A 1x =A 区的总噪音影响度最小.B 21. 已知函数（且）为奇函数.()412x f x a a =-+0a >1a ≠（1）求实数的值及函数的值域；a ()f x （2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.()()()12x g x mmf x =+-(],2-∞m 【答案】（1），的值域为2a =()f x ()1,1-（2）2017⎤-⎥⎦【解析】【分析】（1）根据函数解析式可判断定义域，再根据奇函数性质利用可计算的值，将代入根()00f =a a 据指数型函数值域得求法即可求得函数的值域；（2）将函数在区间上有两个不同的()f x ()g x (],2-∞零点转化成方程在上有两个不相等的实数根，利用换元法根据二次函数根()20212x x m m +++=(],2-∞的分布情况即可求得实数的取值范围.m 【小问1详解】由题意可知，函数的定义域为，()f x x ∈R 由奇函数性质可知，，得；()044011022f a a a =-=-=++2a =所以，；()411222221x x f x =-=-⨯++又因为，所以()211,x+∈+∞()20,221x ∈+因此()()211,121x f x =-∈-+即函数的值域为.()f x ()1,1-【小问2详解】由得，，()()()12xg x m mf x =+-()()212121x x g x m m ⎛⎫=+- ⎪⎝+⎭-又函数在区间上有两个不同的零点，()g x (],2-∞即方程在区间上有两个不同的实数根；()0112122x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭-+(],2-∞整理得，()20212x x m m +++=令，由得，2xt =(],2x ∈-∞(]0,4∈t 即在上有两个不相等的实数根；()210m t t m +++=(]0,4∈t 所以，且或10m +≠14(1)0m m ∆=-+>1m -<1m -<时，需满足，解得1m -<()()22100014401042(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++<⎪⎪+⨯++≤⎨⎪⎪<-<+⎪⎩0201798m m m ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪<-⎪⎩2017m ≤-当时，需满足，该不等式组无解；1m -<()()22100014401042(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++>⎪⎪+⨯++≥⎨⎪⎪<-<+⎪⎩综上可知，实数，m 2017m≤-即2017m ⎤∈-⎥⎦22. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定()y f x =D 的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.x x D -∈()()1f x f x ⋅-=()y f x =（1）已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；()10xf x =()22xg x x -=+()y f x =()y g x =（2）若是定义在上的倒函数，当时，，方程是否有整数解？()f x R 0x ≤()413x f x x -=+()2023f x =并说明理由；（3）若是定义在上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上单调递增.记，()f x R R ()()()21f x F x f x ⎡⎤-⎣⎦=证明：是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【答案】（1）函数为倒函数，函数不是倒函数，理由见解析；()f x ()g x （2）方程没有整数解，理由见解析；()2023f x =（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；()f x ()g x （2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数0x <()()0,1f x ∈()2023f x =0x 00x >，利用零点存在定理可得出结论；()()2023h x f x =-（3）推导出函数的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件()F x ()F x 的定义证明可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，对任意的，，()f x R x ∈R ()()10101x x f x f x -⋅-=⋅=所以，函数为倒函数，()f x 函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，()22xg x x -=+{}2x x ≠-故函数不是倒函数；()g x 【小问2详解】当时，则，由倒函数的定义可得，0x >0x -<()()413x f x x f x ==+-由满足倒函数的定义，()01f =当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，0x >3x y =4y x =()f x ()0,∞+当时，，，，当时，，0x >31x >40x >()1f x >0x <()()()10,1f x f x =∈-若函数有整数解，则，()2023f x =0x ()00,x ∈+∞设，则函数在上单调递增，()()2023h x f x =-()h x ()0,∞+因为，，()5453520230h =+-<()6463620230h =+->故方程无整数解，()2023f x =【小问3详解】因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，()y f x =R 0R 所以，，()()()()()()()211f x F x f x f x f x f x f x ⎡⎤-⎣⎦==-=--任取、且，则，所以，，，m n ∈R m n >m <n --()()f m f n >()()f n f m ->-所以，()()()()()()F m F n f m f m f n f n -=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()0f m f n f n f m =-+--->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以，函数为上的增函数，()F x R 因为，故函数为上的奇函数.()()()()F x f x f x F x -=--=-()F x R当时，即，则，所以，，120x x +>12x x >-()()()122F x F x F x >-=-()()120F x F x +>即“”“”；120x x +>⇒()()120F x F x +>若，则，所以，，即.()()120F x F x +>()()()122F x F x F x >-=-12x x >-120x x +>所以，“”“”.120x x +>⇐()()120F x F x +>因此，是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

数学理卷·2016届湖北省武汉市部分重点中学高一上学期期末联考(2014.01)

小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为q ，大正方形的面积是1 ，小正
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方形的面积是
1 25
,则sin 2
q
-
cos 2
q
的值等于
A．1
B．
-
7 25
C． 7 25
D． -高考 24 25
8.函数
f
(x)
=
Asin(wx + f)( A >
0,w
>
0,| f
| 1，∴ f (x) 在[1, a] 上单调递减，
∴
ì í î
f f
(1) = a (a) = 1
，
∴
ì1 íîa2
- 2a + - 2a2
5 +
= 5
a =1
，
∴a = 2
4分
（Ⅱ）∵ f (x) 在区间 (-¥, 2] 上是减函数， ∴ (-¥, 2] Í (-¥, a] ∴ a ³ 2
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湖北省武汉市 2013-2014 学年度上学期高一期末考试
数学试卷（理）
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
A
C
A
A
B
D
D
D
二.填空题
11、 -
3 2
12、 -2 2
三、解答题
、13、
1 2
14、
y
=
sin(-

湖北省高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，则（）{}{}20,1,2,3,8A B x x ==≤A B = A ． B ． {}0,1,2{}1,0,1-C ． D ．{}0,1,2,3{}2,1,0,1,2--【答案】A【解析】先解出集合B,再求.A B ⋂【详解】∵，而{}{282B x x x x =≤=-≤≤{}0,1,2,3A =∴ A B = {}0,1,2故选：A【点睛】集合的交并运算： (1)离散型的数集用韦恩图； (2) 连续型的数集用数轴． 2．已知，，则“”是“”的（） a b ∈R a b >1>abA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】由或，即可判断出结论. 1ab>⇔0a b >>0a b <<【详解】当时，成立，当时，，故充分性不成立，0a b >>1>a b0b <1ab <当时，若则，若，则，则必要性不成立. 1>ab0,b >a b >0b <a b <所以“”是“”的既不充分又不必要条件. a b >1>ab故选：D3．已知函数的定义域为（） ()ln(3)f x x =++()f x A ． B ．C ．D ．(3,)+∞()3,3-(,3)-∞-(,3)-∞【答案】A【解析】要使函数，解出即可. ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩【详解】要使函数 ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩解得3x >所以函数的定义域为 ()f x (3,)+∞故选：A4．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1SN可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比从1000提升至5000，则C 大约SN增加了（）（附：） lg 20.3010≈A ．20% B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解. 【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C 大约增加了SN()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++.222lg 5000lg1000log 5001log 1001lg 51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=故选：B.5．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则26()3x f x a -=+0a >1a ≠A A θ（）sin cos sin cos θθθθ-=+A ．B ．0C ．7D ．17-17【答案】D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. ()3,4A 【详解】解:令得,故定点为, 260x -=3x =A ()3,4A 所以由三角函数定义得，4tan 3θ=所以41sin cos tan 1134sin cos tan 1713θθθθθθ---===+++故选：D6．函数的图像大致为（）()2x xe ef x x --=A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过函数的奇偶性，变化趋势，特殊值排除答案. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称()f x {}0x x ≠，函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除A 选()()()22x xx x e e e e f x f x x x -----===-- ∴()f x 项；又，故排除D 选项；()1121101e e f e e--==-> ，当时，，即在()()()()()243222xx x x x x ee x e e xx e x e f x xx---+--⋅-++'==2x >()0f x ¢>()f x 上单调递增，故排除C 选项. ()2+∞，故选：B.7．已知偶函数在上是增函数，若，，，则，()g x ()0,+¥()2log5.1a g =-()0.82b g =()3c g =a b，的大小关系为（） c A ． B ． C ． D ．a b c <<c b a <<b a c <<b<c<a 【答案】C【解析】由于为偶函数，所以，然后利用对数函数和指数函数的()g x 22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=性质比较大小，再利用在上是增函数，可比较，，的大小0.82log 5.1,2,3()g x ()0,+¥a b c 【详解】解；由题意为偶函数，且在上单调递增，()g x ()0,+¥所以，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=又，， 2222log 4log 5.1log 83=<<=0.8122<<所以，故，0.822log 5.13<<b a c <<故选：C.8．若函数y =f （x ）图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y =f （x ）的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f （x ）=，则此函数的“黄金点对“有（） 222040412324x x x x x x x x ，＜，，＞⎧⎪-+≤≤⎨⎪-+⎩A ．0对 B ．1对C ．2对D ．3对【答案】D【分析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x ＜0时函数f （x ）关于y 轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可．【详解】由题意知函数f （x ）=2x ，x ＜0关于y 轴对称的函数为，x ＞0， 122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭作出函数f （x ）和，x ＞0的图象，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭由图象知当x ＞0时，f （x ）和y=（）x，x ＞0的图象有3个交点． 12所以函数f （x ）的““黄金点对“有3对．故选D ．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x ＜0时函数f （x ）关于y 轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、多选题9．下列结论正确的是（） A ．是第二象限角 43π-B ．若为锐角，则为钝角 α2αC ．若，则 αβ=tan tan αβ=D ．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为6ππ3π【答案】AD【分析】为锐角时，为不一定为钝角；α2α 时，没有意义.2παβ==tan α【详解】对于A ：， 42233πππ-=-+是第二象限角，所以A 正确； ∴43π-对于B ：时，并不是钝角，所以B 错误； 10α= 220α= 对于C ：时，没有意义，所以C 错误；2παβ==tan α对于D ：，， l rα=∴66l r ππα===，D 正确.∴116322S lr ππ==⨯⨯=扇∴故选：AD.10．已知，且，则下列不等式恒成立的有（）>>c a b 0ac <A ． B ．C ．D ．<0c b a ->b c a a 11>a c22>b a c c【答案】BC【解析】根据不等式的性质判断．错误的可举反例．【详解】，且，则，>>c a b c<0a 0,0a c ><，，A 错误； 0b a -<0b ac->，则，B 正确； ,0b c a >>b ca a>，则，C 正确； 0a c >>110a c>>与不能比较大小．如，此时，，D 错误． 2a 2b 2,3,4a bc ==-=-21a c =-2914b c =-<-故选：BC ．11．对于实数x ，符号表示不超过x 的最大整数，例如，，定义函数[]x []3π=[]1.082-=-，则下列命题中正确的是（）()[]f x x x =-A ．函数的最大值为1 B ．函数的最小值为0 ()f x ()f x C ．方程有无数个根 D ．函数是增函数()102f x -=()f x 【答案】BC【分析】首先根据题意画出函数的图像，再依次判断选项即可. ()f x 【详解】画出函数的图象，如下图所示：()[]f x x x =-，对选项A ，由图象得，函数无最大值，故A 不正确； ()f x 对选项B ，由图知：函数的最小值为0，故B 正确； ()f x 对选项C ，函数每隔一个单位重复一次， ()f x 所以函数与函数有无数个交点， ()y f x =12y =即方程有无数个根，故C 正确； ()102f x -=对选项D ，图象可知函数不是单调递增，故D 不正确. ()f x 故选：BC .12．已知函数，若方程有三个实数根，，，且12log ,04()10,4x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()f x a =1x 2x 3x 123x x x <<，则下列结论正确的为（）A ．121=x x B ．的取值范围为 a 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．的取值范围为 312x x x [)5,+∞D ．不等式的解集为 ()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】分析给定函数的性质，作出函数的图象，数形结合逐一分析各选项判断作答. ()f x 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，()f x (0,1](1,4](4,)+∞方程的三个实数根分别是直线与函数图象交点的横坐标，如图，()f x a =y a =()y f x =123,,x x x由，必有，而，则，即，解得12()()f x f x =111222|log ||log |x x =12x x <111222log log 0x x +=1122log 0x x =，A 正确；121=x x 因在上单调递增，，当时，直线与函数的图象只有两个()f x (1,4](4)2f =2<a <52y a =()y f x =公共点，因此，方程有三个实数根，当且仅当，B 不正确； ()f x a =02a <≤在中，当时，，而函数在上单调递减，则当时，10(4)y x x=>2y =5x =()f x (4,)+∞02a <≤35x ≥，，C 正确； 3312[5,)x x x x =∈+∞当时，因当时，，于是得，且，解得04x <≤14x ≤≤12|log |2x ≤01x <<11221log 2log 4x >=， 104x <<当时，，解得，所以不等式的解集为，D 正确. >4x 102x >45x <<()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：ACD三、填空题13．已知集合，集合，若，则实数__________． {}0,1M ={}0,2,1N m =-M N ⊆m =【答案】0【分析】依题意可得，即可得到，解得即可；1N ∈11m -=【详解】解：由题意知，又集合，因此，即．故． M N ⊆{}0,1M =1N ∈11m -=0m =故答案为：. 014．已知，则______． ()7sin cos 0π13ααα+=<<tan α=【答案】 125-【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解. 【详解】解：已知①，则， 7sin cos 13αα+=()2sin cos 12sin cos 69491αααα+=+=， 60sin cos 0169αα=-<，，则，，0πα<< sin 0α∴>cos 0α<sin cos 0αα->②， 17sin cos 13αα∴-===联立①②，得，12sin 13α=5cos 13α=-， 12tan 5α∴=-故答案为：. 125-15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若的R ()f x ()()1f x f x -=-12x >1()f x x m x =++()f x 值域为，则实数的取值范围为________． R m 【答案】(],2-∞-【分析】由可得关于对称，再分析得当时，的值域包含()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭12x >()f x 即可()0,∞+【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，12x >1()2f x x m m m x =++≥=+1x x =1x =故当时，，又由可得关于对称，且由12x >()[)2,f x m ∈++∞()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭可得， 11122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故只需包含区间即可，故，[)2,m ++∞()0,∞+20m +≤故 (],2m ∈-∞-故答案为：(],2-∞-四、双空题16．设函数，.①的值为_______；②若函11,0()2(2),0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩()log (1)a g x x =-(1)a >(2019)f 数恰有个零点，则实数的取值范围是___________. ()()()h x f x g x =-3a 【答案】 1【解析】①根据分段函数的解析式，求得的值. ②求得的部分解析式，由此画()f x ()2019f ()f x 出和两个函数图象，根据两个函数图象有个交点，确定的取值范围. ()f x ()g x 3a 【详解】①.()()()11201920171112f f f -⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭②当时，，所以.02x <≤220x -<-≤()()21212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.24x <≤022x <-≤()()41212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.46x <≤224x <-≤()()61212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.68x <≤426x <-≤()()81212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭画出和两个函数图象如下图所示，由，由.由()f x ()g x ()log 413,a a -==()log 613,a a -==图可知，当两个函数图象有个交点，也即函数恰有个零点时，的取值范围是3()()()h x f x g x =-3a故答案为：（1）；（2）1【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.五、解答题 17．计算：(1) ()()1201980.54-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2) 2log 3491lg2log 27log 8100--⋅【答案】(1)32(2)74-【分析】（1）由指数的运算以及指数幂与根式的互相转化即可求解；（2）由对数的运算以及指数幂与根式的互相转化，并利用换底公式即可求解.【详解】（1）解：原式.11331122222-⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭（2）原式. 1332222lg 27lg81lg 3lg 2197lg10ln e 323lg 4lg 92lg 2lg 3244-=-+-⋅=--+-⋅=-=-18．已知正数满足；,x y 82xy x y =+（1）求的最小值，并求出取得最小值时的的值；xy ,x y （2）求的最小值.42x y +【答案】（1）最小值为64，；（2）xy 4,16x y ==24+【分析】（1）对等式右边直接使用基本不等式，转化为求关于xy 的不等式；（2）把条件转化为，再进行求解. 82xy x y =+281x y+=【详解】解：（1）因为是正数，所以,x y 82xy x y =+≥=即8≥64xy ≥当且仅当即，时取等号82x y =4x =16y =所以最小值为64 xy （2）即为 82xy x y =+281x y+=所以 2843242(42)()2424y x x y x y x y x y+=++=++≥+当且仅当即 432y x x y=2x =+8y =+19．（1）求函数，的值域； ()222log log x x =+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）解关于的不等式：（，且）． x ()2log (1)log 3a a x x +>-0a >1a ≠【答案】（1）；（2）时，原不等式的解集为；时，原不等式的1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1a >{1x x -<<∣01a <<解集为． {11}xx -<<∣【分析】（1）令，，，然后利用二次函数的知识求解即2log t x =[1,1]t ∈-221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可；（2）分、两种情况，结合对数函数的单调性解出不等式即可.1a >01a <<【详解】（1）令，由于，则． 2log t x =1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[1,1]t ∈-于是原函数变为， 221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭图象为开口向上的抛物线，对称轴，且， ()y t 12t =-11(1)122⎛⎫⎛⎫---<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当，取最小值；当时，取最大值2． 12t =-y 14-1t =y 所以原函数的值域为． 1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）当时，原不等式可化为：1a >， 223013x x x ⎧->⎨+>-⎩即 12x x x ⎧<⎪⎨><-⎪⎩或1x <<故时，原不等式的解集为．1a >{1x x -<<∣当时，原不等式可化为：01a <<， 21013x x x+>⎧⎨+<-⎩即，解得． 121x x >-⎧⎨-<<⎩11x -<<故时，原不等式的解集为． 01a <<{11}xx -<<∣综上：时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为. 1a >{1x x -<<∣01a <<{11}xx -<<∣20．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函()y f x =()y f x =数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数()y f x =(),P a b 为奇函数.()y f x a b =+-（1）若.32()3f x x x =-①求此函数图象的对称中心；②求的值；()()()()2018201920202021f f f f -+-++（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数()y f x =y ()y f x =为偶函数”的一个推广结论.【答案】（1）①；②；（2）函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是()1,2-8-()y f x =x a =函数为偶函数.()y f x a =+【解析】（1）①设函数图象的对称中心为，根据题意可知函数()323f x x x =-(),P a b 为奇函数，利用奇函数的定义可得出，可得出关于、()()g x f x a b =+-()()2f x a f x a b -+++=a 的方程组，解出、的值，即可得出函数的对称中心的坐标；b a b ()y f x =②推导出，由此可计算得出所求代数式的值；()()114f x f x -+++=-（2）根据题中结论可写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶()y f x =y ()y f x =函数”的一个推广结论.【详解】解：（1）①设函数图象的对称中心为，，()323f x x x =-(),P a b ()()g x f x a b =+-则为奇函数，故，故，()g x ()()g x g x -=-()()f x a b f x a b -+-=-++即，()()2f x a f x a b -+++=即. ()()()()3232332x a x a x a x a b ⎡⎤⎡⎤-+--+++-+=⎣⎦⎣⎦整理得，故，解得， ()2323330a x a a b -+--=3233030a a a b -=⎧⎨--=⎩12a b =⎧⎨=-⎩所以函数图象的对称中心为；()323f x x x =-()1,2-②因为函数图象的对称中心为，32()3f x x x =-()1,2-所以，，()()114f x f x -+++=-故()()()()2018201920202021f f f f -+-++()()()()2018202020192021f f f f =-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()20191201912020120201f f f f =-++++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；428=-⨯=-（2）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.()y f x =x a =()y f x a =+【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性及其应用，可利用以下结论来转化：①函数的图象关于点对称，则；()f x (),a b ()()22f x f a x b +-=②函数的图象关于直线对称，则.()f x x a =()()2f x f a x =-21．已知函数.(),(0,1,)x f x a a a x R =>≠∈（1）当时，2a =①若函数满足求的表达式，直接写出的递增区间； ()g x (())g f x =()g x ()g x ②若存在实数使得成立，求实数的取值范围； []0,1x ∈1()()()()1f x mf x f x f x +<+--m （2）若函数满足当时，恒有，试确定a 的()g x (()),g f x x =[]2,3x a a ∈++(3)()1g x a g x a -+-≤取值范围.【答案】（1）①，增区间为；②；（2）. 221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩(2,)+∞4(,)3+∞【分析】（1）①应用换元法，令即可求的表达式，根据含对数的复合函数单调性可写出2x t =()g x 的递增区间；②由参变分离得，根据在闭区间存在使不等式成立，即()g x 211(2)21x x m >+-+x 即可求的取值范围； min 21[1(2)21x x m >+-+m （2）由题设求得，利用对数函数的性质可知，再由不等式恒成立，结合二次()log a g x x =01a <<函数的性质列不等式组求a 的取值范围.【详解】解：（1）①由题意知：，若，则，(2)1x g x ==-2x t =21og x t =∴，即， 2()log 1(0)g t t t =->221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩∴函数单调递增区间为.[2,)+∞②由题设有，，即有， 122221x x x x m -+<⋅+-[]0,1x ∈211(2)21x x m >+-+，则，即，[]0,1x ∈ []21,2x ∈[]2(2)211,3x x -+∈∴由使不等式成立知：当时，即可. []0,1x ∃∈2(2)213x x -+=43m >∴m 取值范围是 4(,)3+∞（2）由题意知：，令，则，即，()x g a x =x t a =()log a g t t =()log a g x x =∴由题设不等式中可知：，而(3),()g x a g x a --230a a +->0,1a a >≠，又，01a ∴<<(3)()1g x a g x a -+-≤∴，即有，对恒成立，若令221log (43)1a x ax a -≤-+≤22143a x ax a a≤-+≤[]2,3a a a ∀∈++，其对称轴为且开口向上，而，2243()x h x ax a -+=2x a =22a a <+∴在区间上递增，()h x []2,3a a ++∴上式等价于，解得0119644a a a a a<<⎧⎪⎪-≤⎨⎪-≥⎪⎩0a <≤【点睛】关键点点睛：（1）应用换元思想求函数解析式，结合对数型复合函数的单调性确定单调区间；由参变分离法有，根据存在使不等式能成立，即在对应区间内只需求参数范围；()m f x >min ()m f x >（2）根据对数函数的性质，结合不等式在闭区间内恒成立，列不等式组求参数范围.22．已知函数()，且满足. ()x a f x x -=0a >112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求a 的值；（2）设函数，()，若存在，，使得成立，()()g x xf x =()2x h x t t =-1t >1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =求实数t 的取值范围；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程恰有4个不同的正根，求实数()22220x a x x a mx ---+=m 的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3） 2t ≥10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，代入函数值，即可求解；（2）根据题意，求解函数和值域，若存在，，使得成立，转()g x ()f x 1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =化为值域有交集，即可求解参数取值范围；（3）由（1）分析函数的值域，可知时，有两根；再观察方程，同除后方程可()f x ()()0,1f x ∈x 2x 化简为，只需使方程在上有两根，即可求解.()()2220f x f x m -+=()()0,1f x ∈【详解】（1）由，得或0. 1121122a f -⎛⎫== ⎪⎝⎭1a =因为，所以，所以. 0a >1a =()1x f x x -=（2）， ()()1,1211,12x x g x xf x x x -≤≤⎧⎪==⎨-≤<⎪⎩所以;故的值域为()01g x ≤≤()g x []0,1A =因为时，在， 1t >()2x h x t t =-1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦()222t h x t t ≤≤-所以的值域为，由题意， ()hx 22,2B t t t ⎤=-⎦A B φ⋂≠，所以，解得;20t <220t t -≥2t ≥综上:实数t 的取值范围是2t ≥（3）当时，，在上为增函数; 1x >()111x f x x x-==-()f x ()1,+∞当时，. ()1,x ∈+∞()()110,1f x x=-∈可得在上为减函数，当时，. ()f x ()0,1()0,1x ∈()()110,f x x =-∈+∞方程可化为， ()2221120x x x mx ---+=2211220x x m x x ---+=即.()()2220f x f x m -+=设，方程可化为.()s f x =2220s s m -+=要使原方程有4个不同的正根，则关于s 方程在有两个不等的根，，2220s s m -+=()0,11s 2s 则有，解得， 211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩1016m <<所以实数m 的取值范围为. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】（1）考查计算能力，基础题；（2）转化与化归思想解题，考查求函数值域，交集不空的参数范围，属于中等题；（3）转化方程与已知函数关联，考查函数与方程思想，转化与化归思想，一元二次方程根的限定条件，综合性较强，属于难题.。

湖北省武汉市重点中学4G联合体2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题

湖北省武汉市重点中学4G 联合体2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}ln 2A x y x ==-，集合{}220B x x x =-<，则A B =（）A ．{}0x x ，则命题p 的否定是（） A ．x ∃∈R ，210x x ++≤ B ．x ∃∉R ，210x x ++≤ C ．x ∀∈R ，210x x ++≤D ．x ∀∉R ，210x x ++>3．已知函数()2f x +的定义域为()1,1-，则函数()21y f x =-的定义域为（） A ．()1,1-B ．()3,1-C ．()0,1D ．()1,24．设函数()()22211x f x x -=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（） A ．0B ．1C ．2D ．45．已知函数(),0(2)3,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（） A ．()0,1a ∈B ．()2,a ∈+∞C ．10,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭6．已知1ln 2a =，sin 6b π=，122c - =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，0y >，且211x y +=，则22yx y x++的最小值为（）A ．5+B ．3+C ．9D ．78．已知满足()()e ln 4e 3xf f x x --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（）A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,e二、多选题9．设, , a b c R ∈，a b <，则下列不等式一定成立的是（）A ．a c b c +<+B ．a b e e -->C ．22ac bc <D ．11a b> 10．下列说法正确的是（） A ．7π6是第三象限角 B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2C ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则2α为钝角．11．已知函数()()2ln 1f x x bx b =--+，下列说法正确的有（）A ．当0b =时，函数()f x 的定义域为RB ．当0b =时，函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 有最小值的充要条件为：2440b b +-<D ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数b 的取值范围是5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12．若函数()f x 在其定义域内是奇函数或偶函数，则称()f x 具有奇偶性.以下函数中，具有奇偶性的函数是（） A ．()(11f x x =-B ．()2f x =C ．()311212x f x =+- D ．411()0,111,1x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩，三、填空题13．已知函数31log ,0()23,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则1()9f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________． 14．已知cos sin 2cos sin αααα+=-，则2sin 2sin cos ααα-=______．15．已知函数23y x x a =-+-与1y x =+的图像上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是______．16．已知函数()2211212x x f x x =-++，若[]1,4m ∃∈，使得不等式()()2432f ma f m m -++≤成立，则实数a 的最大值是______．四、解答题 17．（1）已知sin α=，且α为第二象限角，求cos α，tan α的值；（2）化简求值：()()13483964log 3log 3log 2log 227-⎛⎫+⋅++ ⎪⎝⎭ 18．已知2:560p x x --<，:13q m x m -≤≤+． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围； (2)若p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．19．2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产x 千件该产品，需另投入成本()F x 万元，且()210100,060810090121980,60x x x F x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完． (1)求出全年的利润()G x 万元关于年产量x 千件的函数关系式；(2)试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润． 20．已知函数()xf x ax b=+（a ，b 为常数，且220a b +≠），满足()21f =，方程()f x x =有唯一解．(1)求函数()y f x =的解析式(2)如果()f x 不是奇偶函数，证明：函数()f x 在区间()2,-+∞上是增函数． 21．我们知道，函数()y f x =的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图像关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，(1)求函数()1xf x x =-的对称中心； (2)已知()1xf x x =-，()12g x mx m =+-，若对任意的[]12,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．22．已知1x =是函数()232g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=． (1)求实数a 的值；(2)若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．参考答案：1．C【分析】先化简集合A 、B ，进而利用交集定义求得A B ⋂.【详解】(){}{}ln 22A x y x x x ==-=<，{}{}22002B x x x x x =-<=<<，则{}{}{}20202A B x x x x x x ⋂=<⋂<<=<<. 故选：C 2．C【分析】根据特称命题的否定可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：命题p 的否定为x ∀∈R ，210x x ++≤. 故选：C. 3．D【分析】求抽象函数的定义域，只需要牢记对应法则括号中的式子取值范围相同即可. 【详解】设2x t +=，则()()2f x f t +=，因为函数()2f x +的定义域为()1,1-，所以当11x -<<时，()2f x +有意义，所以123x <+<，故当且仅当13t <<时，函数()f t 有意义，所以函数()f t 的定义域为()1,3，由函数()21f x -有意义可得1213x <-<，所以12x <<，所以函数()21f x -的定义域为(1,2)，故选：D. 4．D【分析】将()f x 整理为()2421xf x x =-+，令()()2g x f x =-，由奇偶性定义可证得()g x 为奇函数，则()()max min 0g x g x +=，由此可求得M m +的值. 【详解】()()()222222142142111x x x x f x x x x +--===-+++，∴可令()()2421x g x f x x =-=-+，则()()224411x xg x g x x x --=-==-++， ()g x ∴为定义在R 上的奇函数，()()max min 0g x g x ∴+=，则220M m -+-=，4M m ∴+=. 故选：D. 5．B【分析】根据不等式可以确定函数的单调性，根据分段函数的单调性的性质进行求解即可. 【详解】不妨设12x x >，由()()()()()()1212121200f x f x f x f x f x f x x x ->⇒->⇒>-，因此该函数是实数集上的增函数，于是有01202(2)03a a a a a a >⎧⎪->⇒>⎨⎪≤-⋅+⎩，故选：B 6．A【解析】分别将,,a b c 与0,1进行比较，然后可判断.【详解】1ln ln102a =<=，1sin 62b π==，122- ==c a b c <<.故选：A. 7．A【分析】根据()222221y yx y x y x xx y ⎛++=+⎫+⎝+ ⎪⎭，化简后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为0x >，0y >，且211x y+=，所以()222221y y x y x y x xx y ⎛++=+⎫+⎝+ ⎪⎭45525x y x y =++≥+=+当2x =1y = 所以22yx y x++的最小值为5+ 故选：A. 8．D【分析】先利用题给条件求得函数()f x 的解析式，再利用零点存在定理即可求得函数()f x的零点所在区间.【详解】设()e ln 4x f x x t --+=，则()e ln 4xf x t x =++-，()e 3f t =-则()11e ln14e 4f t t =++-=+-，()1e 3f =-又()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，则e 4e 3t +-=-，解之得1t =，则()e ln 3xf x x =+-则()1e 30f =-<，()e ee e lne 3e 2e 20f =+-=->->()222e 2e e e ln e 3e 5e 50f ----=+-=-<-<()111e 1e e e ln e 3e 4e 40f ----=+-=-<-<则函数()f x 的零点所在区间为()1,e . 故选：D 9．AB【解析】由不等式的性质，x y e =的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误.【详解】A ：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即a c b c +<+，正确；B ：因为x y e =在定义域内为增函数，由题意知a b ->-，故有a b e e -->，正确；C ：当0c 时，22ac bc =，故错误；D ：当0a b <<时，11a b <，故错误；故选：AB. 10．ABC【分析】根据象限角定义、扇形弧长和面积公式、任意角三角函数的定义和锐角、钝角的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，7π6终边位于第三象限，7π6∴为第三象限角，A 正确；对于B ，设扇形的半径为r ，则ππ3r =，解得：3r =，∴扇形面积21π3π232S r =⨯=，B 正确；对于C ，α终边过点()3,4P -，3cos 5α∴==-，C 正确；对于D ，当π04α<<时，π022α<<，此时2α是锐角，D 错误. 故选：ABC. 11．ACD【分析】求得当0b =时函数()f x 的定义域判断选项A ；求得当0b =时函数()f x 的值域判断选项B ；求得函数()f x 有最小值的充要条件判断选项C ；求得实数b 的取值范围判断选项D.【详解】选项A ：当0b =时，函数()()2ln 1f x x =+，()f x 的定义域为R.判断正确；选项B ：当0b =时，函数()()2ln 1f x x =+，211x +≥,故函数()f x 的值域为[)0,∞+.判断错误；选项C ：若函数()()2ln 1f x x bx b =--+有最小值，则21u x bx b =--+有最小正值，则()()2410b b ---+<，即2440b b +-<. 又当2440b b +-<时，21u x bx b =--+有最小正值，则函数()()2ln 1f x x bx b =--+有最小值.则函数()f x 有最小值的充要条件为：2440b b +-<.判断正确；选项D ：若()()2ln 1f x x bx b =--+在区间[)2,+∞上单调递增，则2222210bb b ⎧≤⎪⎨⎪--+>⎩，解之得53b <.则实数b 的取值范围是5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.判断正确.故选：ACD 12．BCD【分析】选项A ，因为定义域不关于原点对称，所以很容易识别；选项B 、C ，先看看函数定义域是否关于原点对称，然后再求解()f x -与()f x 的关系，选项D ，可以根据图像来识别.【详解】选项A ，令101xx +≥-，则(1)(1)010x x x +-≥⎧⎨-≠⎩，解得1<1x -≤. 所以函数()1f x 的定义域是[)1,1-，定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性；选项B ，为使函数()2f x的分子有意义，x ⎡∈⎣，于是30x -<恒成立，故())(2f x x ⎡==∈⋃⎣，因为()()22f x f x -==-，故()2f x 是奇函数；选项C ，函数()3f x 的定义域是{}0x x ≠∣，()()311221121212221221x x x x x f x +-+=+==⋅---，()()33121112221212x xx xf x f x --++-=⋅=⋅=---，故()3f x 为奇函数；选项D ，画出411()0,111,1x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩，的图象，如图，图象关于y 轴对称，故()4f x 为偶函数. 故选：BCD ． 13．11【解析】根据分段函数的解析式，先计算1()9f ，然后计算1()9f f ⎛⎫⎪⎝⎭即可. 【详解】由题可知：31log ,0()23,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩ 所以23311()log log 3299f -===-，则()()121()223119f f f --⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭故答案为：11 14．12-##0.5-.【分析】由题意求出1tan 3α=，将要求的式子化简为22tan 2tan tan 1ααα-+，求解即可.【详解】cos sin 2cos sin αααα+=-分子分母同除cos α得，1tan 21tan αα+=-，解得：1tan 3α=，所以22222212sin 2sin cos tan 2tan 193sin 2sin cos 1sin cos tan 1219ααααααααααα----====-+++. 故答案为：12-15．5a ≤【分析】根据题意，点(),m n 关于x 轴对称点为(),m n -，即对于任意的点(),m n 在23y x x a =-+-上，则点(),m n -在1y x =+上，列出方程即可得到结果.【详解】设点(),m n 在函数23y x x a =-+-上，则23n m m a =-+- 则点(),m n -在函数1y x =+上，即1n m -=+所以()213m m m a -+=-+-，化简可得2410m m a -+-=即()()24410a ∆=--⨯-≥，解得5a ≤ 故答案为: 5a ≤ 16．8【分析】根据不等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性、奇偶性，结合对钩函数的单调性、存在性的性质进行求解即可.【详解】构造函数()()222111111()212212xx x g x f x x x =-=-+-=-++，因为()()222111112()()102122122121x xx x x g x g x x x x -⎛⎫+-=-+-=+-= ⎪++++⎝⎭，所以函数()g x 是奇函数，当210x x >>时，21212121111111112212121200212122212212x x x x x x x x >>⇒+>+>⇒<<<⇒-<-<-<++++ 2111110212212x x ⎛⎫⎛⎫-->--> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为210x x >>，所以22210x x >>，因此有21222111110212212x x x x ⎛⎫⎛⎫-->--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以有()()()210,g x g x g x <<，因此此时函数()g x 单调递减，而()00g =，函数()g x 是奇函数，所以函数()g x 是实数集上的减函数，()()()()2243241[31]f ma f m m f ma f m m -++≤⇒--≤-+-()()()22243343g ma g m m g m m ma m m ⇒-≤-+=--⇒-≥--，因为[]1,4m ∈，所以由224334m m a m m m a m -≥--⇒++≥，43a m m ≤++，令[]4()3,1,4,g m m m m=++∈ 当12m ≤<时， ()g m 单调递减，当24m <≤时，()g m 单调递增，因为(2)7g =，()(1)48g g ==∴()g m 在[2,4]上的最大值为8，要想[]1,4m ∃∈，使得不等式()()2432f ma f m m -++≤成立，只需 8a ≤，则实数a 的最大值是8故答案为：8【点睛】关键点睛：构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性，结合对钩函数的单调性是解题的关键.17．（1）1cos 2α=-，tan α=（2）2．【分析】（1）利用同角三角函数的关系即可求得cos α，tan α的值；（2）利用指对数运算规则即可求得该代数式的值.【详解】（1）由sin α，且α为第二象限角，可得1cos 2α=-，sin 2tan 1cos 2ααα===-；（2）()()13483964log 3log 3log 2log 227-⎛⎫+⋅++ ⎪⎝⎭ 133********log 3log 3log 2log 22323-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12353453log 3log 2262344-⎛⎫=⨯+=+= ⎪⎝⎭ 18．(1)[)3,+∞；(2)(),2-∞【分析】（1）先化简条件p ，再利用p 是q 的充分条件列出关于实数m 的不等式，解之即可求得实数m 的取值范围；（2）按实数m 分类讨论，利用p 是q 的必要条件列出关于实数m 的不等式，解之即可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）由2560x x --<，可得16x -<<，则:16p x -<<又:13q m x m -≤≤+，且p 是q 的充分条件，可得1163m m -≤-⎧⎨≤+⎩，解之得3m ≥，则实数m 的取值范围为[)3,+∞；（2）由（1）得:16p x -<<，:13q m x m -≤≤+当1m <-时，13m m ->+ ，:q x ∈∅，此时，p 是q 的必要条件，符合要求；当1m ≥-时，由p 是q 的必要条件，可得11631m m m ->-⎧⎪>+⎨⎪≥-⎩，解之得12m -≤<，综上，实数m 的取值范围为(),2-∞.19．(1)()2108006200,060810015780,60x x x G x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元【分析】（1）利用分段函数即可求得全年的利润()G x 万元关于年产量x 千件的函数关系式；（2）利用二次函数求值域和均值定理求值域即可求得该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元.【详解】（1）当060x <<时，()()22900101006200108006200G x x x x x x =-+-=-+-，当60x ≥时，()8100810090090121980620015780G x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2108006200,060810015780,60x x x G x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）若060x <<，则()()210409800G x x =--+，当40x =时，()max 9800G x =；若60x ≥，()8100157801578015600G x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当8100x x=，即90x =时，等号成立，此时()max 15600G x =．因为156009800>，所以该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元． 20．(1)()2x f x =或()()10f x x =≠或()()222x f x x x =≠-+； (2)证明见解析.【分析】（1）根据a ，b 的正负性，结合代入法进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义，结合函数单调性的定义进行证明即可.【详解】（1）由()f x x =，得到x x ax b =+， ∴0a =，0b ≠，则()x f x b=，由()21f =得2b =，即()2x f x =； ∴若0a ≠，0b =，则()()10f x x a =≠，由()21f =得1a =，即()()10f x x =≠； ∴0a ≠，0b ≠，由x x ax b =+得()210ax b x +-=，由Δ0=得1b =，又由()21f =得12a =，即()()222x f x x x =≠-+． ∴函数的解析式为()2x f x =或()()10f x x =≠或()()222x f x x x =≠-+；（2）因为()()2x f x f x -=-=-，所以函数()2x f x =是奇函数，因为()()()10f x f x x -==≠，所以函数()()10f x x =≠是偶函数，若()f x 不是奇、偶函数，由（1）知()()222x f x x x =≠-+ 任取1x ，()22,x ∈-+∞，且12x x < ()()()()()121212121242202222x x x x f x f x x x x x --=-=<++++，即()()12f x f x <， ∴()f x 在区间()2,-+∞是增函数．21．(1)()1,1(2)m 1≥【分析】（1）求出()11111x y f x x x+=+-=-=，判断1y x =为奇函数，即可证明；（2）若对任意的[]12,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使()()12f x g x =成立，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集．分别求出()y f x =和()y g x =的值域，即可得出答案.【详解】（1）因为()11111x y f x x x+=+-=-=，而1y x =为奇函数，所以()y f x =的图象是关于点()1,1成中心对称.（2）若对任意的[]12,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使()()12f x g x =成立，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集．∴函数()111f x x =+-,易得函数()f x 在[]2,3上单调递减，求出函数()f x 的值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，下讨论()12g x mx m =+-的值域．∴当0m =时，()g x 为常数，不符合题意舍去；∴当0m >时，()g x 的值域为[]1,1m +，只需12m +≥，解得m 1≥；∴当0m <时，()g x 的值域为[]1,1m +，不符合题意舍去，综上，m 的取值范围为m 1≥.22．(1)1a =(2)2133k -<<-【分析】（1）依据题给条件列出关于实数a 的方程，解之即可求得实数a 的值；（2）先将题给方程化简整理，利用换元法转化为二次方程有二根，再利用指数函数列出关于实数k 的不等式，解之即可求得实数k 的取值范围．【详解】（1）∴1x =是函数()232g x ax ax =-+的零点∴()132220g a a a =-+=-=，解之得1a =；（2）由（1）得()232g x x x =-+，则()23f x x x=-+，则方程()3213021x x f k k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭ 可化为23213302121x x x k k -+-+-=--， ∴0x ≠，∴两边同乘21x -得：()2213321320x x k k --+-++=，则此方程有三个不同的实数解. 令21x t =-则0t >，则()233320t k t k -+++=，解之得1t =或32t k =+，当1t =时，211x -=，得1x =；当32t k =+时，2132x k -=+，则此方程有两个不同的实数解，则0321k <+<，解之得2133k -<<-．则实数k 的取值范围为2133k -<<-．。

2019-2020年湖北省武汉市高一上册期末数学试题(有答案)

湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A． B．C．∁U A∩∁UB D．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A． B．C． D．﹣3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（）=2+2|| B．f（）=•si n C．f（）=2+2﹣ D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6）C．（6，7）D．（﹣7，6）5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（）=a+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（）=loga（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（）=2+4+2在（0，+∞）上是增函数6．（5分）若将函数y=2sin2的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．=﹣（∈）B．=+（∈）C．=﹣（∈）D．=+（∈）7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍B．10倍C．倍D．倍8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．19．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．10．（5分）已知函数f（）=2•sin（﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A． B．C．D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（）满足f（）+f（+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（）=2+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f （sinA）＜f（cosB）12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（）=f（）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）已知tanα=2，则= ．15．（5分）已知，，则tanα的值为．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则+y= ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．19．（12分）函数f（）=Asin（ω+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式．（2）函数y=f（）的图象可以由y=sin的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f（）=Asin（ω+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．（1）请将表格补充完整，并写出f（）的解析式．（2）若，求f（）的最大值与最小值．21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（）在上是单调函数，求θ的取值范围．22．（12分）若函数f（）对于定义域内的任意都满足，则称f（）具有性质M．（1）很明显，函数（∈（0，+∞）具有性质M；请证明（∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（）=|ln|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，，当h（）的定义域为[m，n]时，其值域为[m，n]，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A． B．C．∁U A∩∁UB D．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，∁UA={﹣1，0，1，2，6}，∁UB={﹣1，0，2，4，5}，∴（∁U A）∩（∁UB）={ 2，﹣1，0}．故选：C．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A． B．C． D．﹣【解答】解：tan60°=m，则cos120°=cos260°﹣sin260°===，故选：B．3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（）=2+2|| B．f（）=•sin C．f（）=2+2﹣ D．【解答】解：A，f（）=2+2||，由f（﹣）=2+2|﹣|=f（），为偶函数；B，f（）=•sin，由f（﹣）=﹣sin（﹣）=sin=f（），为偶函数；C，f（）=2+2﹣，由f（﹣）=2﹣+2=f（），为偶函数；D，f（）=，由f（﹣）==﹣=﹣f（），为奇函数．故选：D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6）C．（6，7）D．（﹣7，6）【解答】解：▱ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），设D点的坐标为（，y），则=，∴（﹣6，8）=（1﹣，2﹣y），∴，解得=7，y=﹣6；∴点D的坐标为（7，﹣6）．故选：A5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（）=a+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数C．函数f（）=logaD．函数f（）=2+4+2在（0，+∞）上是增函数【解答】解：对于A，∵a0=1∴函数f（）=a+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1），正确；对于B，根据幂函数的性质可判定，函数在[0，+∞）上是增函数，正确；（a＞1）在（0，+∞）上是增函数，故错；对于C，函数f（）=loga对于D，函数f（）=2+4+2的单调增区间为（﹣2，+∞），故在（0，+∞）上是增函数，正确；故选：C．6．（5分）若将函数y=2sin2的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．=﹣（∈）B．=+（∈）C．=﹣（∈）D．=+（∈）【解答】解：将函数y=2sin2的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（+）=2sin（2+），由2+=π+（∈）得：=+（∈），即平移后的图象的对称轴方程为=+（∈），故选：B．7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍B．10倍C．倍D．倍【解答】解：由题意，令70=10lg，解得，I1=I×107，令60=10lg，解得，I2=I×106，所以=10故选：B．8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．1【解答】解：∵，∴，∴=，∵P是BD上的点，∴m+=1．∴m=．故选：A9．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=2，∴f[f（﹣1）]===1，解得：a=﹣2，故选：B10．（5分）已知函数f（）=2•sin（﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A． B．C．D．【解答】解：f（）=2•sin（﹣π）=﹣2•sin，∴f（﹣）=﹣（﹣）2•sin（﹣）=2•sin=﹣f（），∴f（）奇函数，∵当=时，f（）=﹣＜0，故选：D11．（5分）定义在R上的偶函数f（）满足f（）+f（+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（）=2+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）【解答】解：由f（）+f（+1）=0，∴f（+2）=f（），∴函数的周期为2，∵f（）在[﹣3，﹣2]上为增函数，∴f（）在[﹣1，0]上为增函数，∵f（）为偶函数，∴f（）在[0，1]上为单调减函数．∵在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，∴A+B＞，∴﹣B＜A，∵A，B是锐角，∴0＜﹣B＜A＜，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，∴f（）在[0，1]上为单调减函数．∴f（sinA）＜f（cosB），故选D．12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（）=f（）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）【解答】解：∵g（）=f（）﹣b有两个零点∴f（）=b有两个零点，即y=f（）与y=b的图象有两个交点，由于y=2在[0，a）递增，y=2在[a，+∞）递增，要使函数f（）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．即a∈（2，4），故选C．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是（﹣1，3）∪（3，+∞）．【解答】解：由+1＞0且﹣3≠0，可得＞﹣1且≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），14．（5分）已知tanα=2，则= ．【解答】解：∵tanα=2，∴==．故答案为：．15．（5分）已知，，则tanα的值为．【解答】解：∵，∴cosα=，∵，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，故答案为：．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则+y=．【解答】解：以B为坐标原点建立如下图所示的坐标系：∵|AB|=4，|BC|=3，，，∴=（4，1），=（2，3），=（4，3），∵，∴，两式相加得：5（+y）=7，故+y=，故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．【解答】解：（1）+log318﹣log36+=3﹣2+log3+（tan）•（﹣cos）=3﹣2+1﹣sin=3﹣2+1﹣=．（2）解：∵A是△ABC的一个内角，，∴cosA＜0，∴=．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．【解答】（1）解：∵向量，，，∴∵，∴（y﹣2）=（+4）y，∴=﹣2y；（2）证明：∵．∴，∴，∴，∵有公共点C，∴A、B、C三点共线且=2．19．（12分）函数f（）=Asin（ω+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式．（2）函数y=f（）的图象可以由y=sin的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．【解答】解：（1）由函数图象可得：A=2，f（0）=﹣1，∴，∵，∴，∵，∴，…（3分）∴，∵，∴=1，ω=3，…（5分）∴．…（6分）（2）把y=sin（∈R）的图象向右平移个单位，可得y=sin（﹣）的图象；把所得图象上各点的横坐标变为原的倍，可得y=sin（3+）的图象；再把所得图象上各点的纵坐标变为原的2倍，可得y=2sin （3+）的图象．（三步每步表述及解析式正确各2分，前面的步骤错误，后面的正确步骤分值减半）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f （）=Asin （ω+ϕ）+t （其中A ＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．（1）请将表格补充完整，并写出f （）的解析式．（2）若，求f（）的最大值与最小值．【解答】解：（1）将表格补充完整如下：f （）的解析式为：．…（6分）（2）∵，∴，…（8分）∴时，即时，f （）最小值为，∴时，即时，f （）最大值为6…（12分）21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f （）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（）在上是单调函数，求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（）是偶函数，∴∴（1分）①tanθ=（4分）②=（7分）（2）f（）的对称轴为，或，或（9分），∵θ∈[0，2π），∴，∴，∴，∴，，∴（12分）22．（12分）若函数f（）对于定义域内的任意都满足，则称f（）具有性质M．（1）很明显，函数（∈（0，+∞）具有性质M；请证明（∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（）=|ln|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，，当h（）的定义域为[m，n]时，其值域为[m，n]，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（）=+=+=f（），∴函数f（）具有性质M．任取1、2且1＜2，则f（1）﹣f（2）=（1+）﹣（2+）=（1﹣2）+（﹣）=（1﹣2）•，若1、2∈（0，1），则0＜12＜1，12＞0，1﹣2＜0，∴f（1）﹣f（2）＞0，∴f（1）＞f（2），∴f（）在（0，1）上是减函数．若1、2∈（1，+∞），则12＞1，1﹣2＜0，∴f（1）﹣f（2）＜0，∴f（1）＜f（2），∴f（）在（1，+∞）上是增函数．（2）∵，∴g（）具有性质M （4分）由|ln|=t得，ln=﹣t或ln=t，=e﹣t或=e t，∵t＞0，∴e﹣t＜e t，∴，∴，∴，∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣e t）2=[2﹣（e﹣t+e t）]（e t﹣e﹣t）由（1）知，在∈（0，+∞）上的最小值为1（其中=1时）而，故2﹣（e﹣t+e t）＜0，e t﹣e﹣t＞0，|AB|＜|AC|（7分）（3）∵h（1）=0，m，n，均为正数，∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n（8分）当0＜m＜n＜1时，0＜＜1，=是减函数，值域为（h（n），h（m）），h（n）=m，h（m）=n，∴，∴，∴1﹣n2=1﹣m2故不存在（10分）当1＜m＜n时，＞1，=是增函数，∴h（m）=m，h（n）=n，∴，∴（1﹣）m2=1，（1﹣）n2=1，，不存在综合得，若不存在正数m，n，满足条件．（12分）。

2021-2022学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一上学期期末考试数学试卷含详解

C. D.
7.“函数在上是增函数”是：“实数 ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知实数满足，函数有两个零点，则关于函数的零点的下列关系式一定正确的是（）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
19.如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，设，四边形的周长为 .
（1）求函数的解析式；
（2）关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
20.函数 .
（1）若，求；
（2）若函数的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求的取值范围（不需要证明唯一性）.
9.下列计算结果为有理数的有（）
A. B.
C. D.
ACD
【分析】由对数的运算法则和性质可判断A,C选项；选项B.求出的值可判断；选项D. ，由正弦的二倍角公式可判断.
【详解】选项A. ,是有理数.
选项B. ,不是有理数.
选项C. ，是有理数.
选项D. 是有理数.
故选：ACD
10.已知角是锐角，若是关于的方程的两个实数根，则下列关于实数的判断正确的是（）
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知，且 .
（1）求的值；
（2）求的值.
18.已知函数图象过点，且图象上与点最近的一个最低点坐标为 .
（1）求函数的解析式；（2）若将函数的图象向左平移个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到的图象，写出函数在区间上的单调递增区间（不需要写过程）；并求出函数在区间上的值域.

湖北省武汉市部分学校2020-2021学年上学期高一10月联考数学试卷+PDF版含答案

A．(a＋b)2≥4ab
B．当 a＝b 时，A1，B1，C1，D1 四点重合 C．(a－b)2≤4ab
D．(a＋b)2>(a－b)2
⒓下列命题正确的是（）
A. a R，x R ，使得 ax 2
C.
是
的必要不充分条件
B. 若 c>a>b>0,则 a b ca cb
D.若 a≥b＞-1，则
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答．题．卡．对．应．题．号．的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。)
∴ y 200 x2 4x
………………3＇
S= 4200x2 210 4xy 1 y2 4 80 …………6＇ 2
38000
4000 x 2
400000 x2
…………………8＇
38000 2
4000 x 2
400000 x2
118000
………10＇
当且仅当 x= 10 时，等号成立。 ………………11＇
A.3 B. 4
C. 7
D.8
⒊
已知集合 C
(x, y) y x ，集合
D
( x,
y)
2x x 4
y y
1 5
，则下列正确的是（
）
A. C D B. C D
C. C D
D. D C
⒋已知 t a 4b ， s a b2 4 ，则 t 和 s 的大小关系是（）
A. t s
1 4
,
4
……………………12＇
⒚ （本小题 12 分）某商品每件成本价 80 元，售价 100 元时，每天售出 100 件．若售价降低 x 成(1

湖北省武汉市高一上学期数学期末考试试卷

湖北省武汉市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知a、b、c为非零实数，代数式 + + + 的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（）A . 0∉MB . ﹣4∉MC . 2∈MD . 4∈M2. （2分）下列函数中，既是奇函数又增函数的为（）A . y=x+1B . y=﹣x2C . y=﹣D . y=x|x|3. （2分） (2016高一下·衡阳期中) 已知P1（2，﹣1），P2（0，5）且点P在P1P2的延长线上，| |=2||，则点P的坐标为（）A . （2，11）B .C .D . （﹣2，11）4. （2分） (2016高一上·石嘴山期中) 已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=ax（x＞0且a≠1），且f（log 4）=﹣3，则a的值为（）A .B . 3C . 9D .5. （2分）若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx﹣sinxcosx的最小值是（）A . -+B . +C . 1D .6. （2分） (2018高一下·攀枝花期末) 设是内一点，且，，设，其中、、分别是、、的面积.若，则的最小值是（）A . 3B . 4C .D . 87. （2分） (2016·新课标Ⅰ卷理) 若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则评议后图象的对称轴为（）A . x= –(k∈Z)B . x= + (k∈Z)C . x= –(k∈Z)D . x= + (k∈Z)8. （2分）(2019·南昌模拟) 若函数的值域为，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .二、二.填空题 (共6题；共15分)9. （1分） (2017高三下·黑龙江开学考) 定义区间[x1 ， x2]长度为x2﹣x1（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值是________．10. （1分） (2016高一上·桓台期中) 三个数a=30.7、b=0.73、c=log30.7的大小顺序为________．11. （1分）在平面直角坐标系xOy中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．已知点P （x，y）是角θ终边上一点，|OP|=r（r＞0），定义f（θ）= ．对于下列说法：①函数f（θ）的值域是；②函数f（θ）的图象关于原点对称；③函数f（θ）的图象关于直线θ= 对称；④函数f（θ）是周期函数，其最小正周期为2π；⑤函数f（θ）的单调递减区间是[2kπ﹣，2kπ+ ]，k∈Z．其中正确的是________．（填上所有正确命题的序号）12. （1分）设 =（x，3）， =（2，﹣1），若⊥ ，则|2 + |=________．13. （1分）函数y=loga（x﹣1）+8（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f （3）=________14. （10分） (2016高一上·蓟县期中) 已知函数．（1）求f（f（5））的值；（2）画出函数的图象．三、三.解答题 (共5题；共40分)15. （5分） (2016高一上·万全期中) 已知x∈[﹣3，2]，求函数f（x）= 的最小值和最大值．16. （10分）已知函数f（x）=sin[ωπ（x+ ）]的部分图象如图，其中P为函数图象的最高点，PC⊥x 轴，且tan∠APC=1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的取值范围．17. （10分） (2018高一上·大石桥期末) 已知角的张终边经过点，且为第二象限．（1）求的值；（2）若，求的值．18. （5分）定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0 ，有f（x0）=x0 ，则称x0是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围.19. （10分） (2015高三下·湖北期中) 已知 =（sinx，sin（x﹣））， =（sinx，cos（x+ ）），f（x）= • ．（1）求f（x）的解析式及周期；（2）求f（x）在x∈[﹣， ]上的值域．参考答案一、一.选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、二.填空题 (共6题；共15分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、14-2、三、三.解答题 (共5题；共40分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、。

湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一上学期10月联考数学试题含答案

武汉市部分重点中学2022——2023学年度上学期10月联考高一数学试卷命题学校：汉阳一中命题教师：涂元审题教师：尹青考试时间：2022年10月11日上午8:00——10：00 试卷满分：150分一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。

)1．设集合{}21,N A x x n n ==+∈，{}41,N B x x n n ==+∈，则A B =（） A ．{}41,N x x n n =+∈ B ．{}42,N x x n n =+∈C ．{}43,N x x n n =+∈D ．∅2．已知命题p ：200R x x ∃∈，+1>0，则p ⌝为（） A ．200R x x ∃∈，+1≤0 B ．200R x x ∃∈，+1>0C ．2R x x ∀∈，+1<0D ．2R x x ∀∈，+1≤03．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．0,0)2a ba b +≥>>B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+D ．0,0)2a b a b +>>4．集合{1,2,4}A =，{}2B x x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（）A ．B ．C ．D ．5．“23x <<”是“112x >-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若0a b >>，则下列不等式一定成立的是（） A ．b a a b a b ->- B ．11b b a a +>+ C ．11a b a b+>+ D ．22a b aa b b +>+ 7．下列函数中最小值为4的是（）A ．14y x x =+B ．当0x >时，2251x x y x ++=+C ．当32x <时，12123y x x =-+-D．y =8．已知函数2()(2)1f x ax a x =--+，()g x x =，若对于任意实数,()x f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是A ．0a ≤≤ B．44a -<<+ C ．04a ≤<- D．04a ≤<+二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市2024-2025学年高一上学期10月考数学试卷含答案

2024-2025学年上学期武汉市10月月考高一数学试卷（答案在最后）试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|41A x x =∈-≤-N ，则集合A 的真子集个数为（）A.7B.8C.15D.16【答案】C 【解析】【分析】先解不等式得到{}0,1,2,3A =，从而求出真子集个数.【详解】{}{}33|0,1,2,A x x =≤=∈N ，共有4个元素，故集合A 的真子集个数为42115-=.故选：C2.已知集合1,0A y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬⎩⎭，{B x y ==，则A B = （）A.2,+∞ B.[]2,3 C.(]0,3 D.[)2,3【答案】B 【解析】【分析】先分别求出集合A 、B ，再求A B ⋂.【详解】因为函数1y x x =+在()0,1单减，在()1,+∞上单增，所以{}1,02A y y x x y y x ⎧⎫==+>=≥⎨⎬⎩⎭，要使函数=y 有意义，只需30x -≥，解得3x ≤，所以{{}3B x y x x ===≤，所以A B = []2,33.集合{}{}|04,|02A x x B y y =≤≤=≤≤，下列不能表示从A 到B 的函数的是（）A.1:2f x y x →=B.1:3f x y x →=C.2:3f x y x →=D.:f x y →=【答案】C 【解析】【分析】ABD 选项，求出值域均为集合B 的子集，且对每一个x ，有唯一确定的y 与其对应；C 选项，求出值域不是集合B 的子集，故C 不能表示从A 到B 的函数.【详解】A 选项，12y x =，当04x ≤≤时，02y ≤≤，且对每一个x ，有唯一确定的y 与其对应，故A 能表示从A 到B 的函数；B 选项，13y x =，当04x ≤≤时，[]40,0,23y ⎡⎤∈⊆⎢⎥⎣⎦，且对每一个x ，有唯一确定的y 与其对应，故B 能表示从A 到B 的函数；C 选项，23y x =，当04x ≤≤时，[]80,0,23y ⎡⎤∈⊇⎢⎥⎣⎦，故C 不能表示从A 到B 的函数；D选项，y =04x ≤≤时，[]0,2y ∈，且对每一个x ，有唯一确定的y 与其对应，故D 能表示从A 到B 的函数；故选：C4.命题“对[1,2]x ∀∈，20ax x a -+>”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A.12a ≥B.12a >C.1a ≥D.25a ≥【答案】C 【解析】【分析】先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可．【详解】因为[12]x ∀∈，，20ax x a -+>等价于[12]x ∀∈，，21xa x >+恒成立，设2()1xh x x =+，则()h x =21211152x x x x⎡⎤=∈⎢+⎣⎦+，．所以命题为真命题的充要条件为12a >，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为≥1．故选C ．【点睛】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解．5.一元二次不等式2260kx x k -+≥的解集是空集，则实数k 的取值范围是（）A.6k <-或6k > B.66k -<<C.66k -≤≤ D.6k <-【答案】D 【解析】【分析】分析可知，一元二次不等式2260kx x k -+<对任意的x R ∈恒成立，可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围.【详解】由题意可知，一元二次不等式2260kx x k -+<对任意的x R ∈恒成立，所以，204240k k <⎧⎨∆=-<⎩，解得6k <-.故选：D.6.命题()0:0p x ∞∃∈+，使得20010x x λ-+<成立，若p 是假命题，则实数λ的取值范围是（）A.(]2-∞，B.[)2+∞，C.[]22-，D.()2[2)∞∞--⋃+，，【答案】A 【解析】【分析】由p 是假命题，则命题p 的否定为真命题，写出命题p 的否定，利用分离参数的方法求解即可．【详解】命题()0:0,p x ∃∈+∞，使得20010x x λ-+<成立，若p 是假命题，则命题p 的否定为：()0,x ∀∈+∞，210x x λ-+≥成立，为真命题．所以1x xλ≤+在0x >上恒成立，由12x x +≥=，当且仅当1x =时取得等号，所以2λ≤.故选：A7.若正实数x 、y 满足1x y +=，且不等式241312m m x y +<++有解，则实数m 的取值范围是（）．A.3m <-或32m > B.32m <-或3m >C.332m -<< D.332m -<<【答案】A 【解析】【分析】将代数式411x y ++与()112x y ++⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可求得411x y++的最小值，可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】因为正实数x 、y 满足1x y +=，则()12x y ++=，即()1112x y ++=⎡⎤⎣⎦，所以，()4114114119155********y x x y x y x y x y ⎡⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥+=⎡⎤⎢⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭⎣，当且仅当121x y x y +=⎧⎨+=⎩时，即当1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，即411x y ++的最小值为92，因为不等式241312m m x y +<++有解，则23922m m +>，即22390m m +->，即()()2330m m -+>，解得3m <-或32m >.故选：A.8.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]3π=，[]5.16-=-.已知函数22()1xf x x =+，则函数[]()y f x =的值域为（）A.{}1- B.{}1,0- C.{}1 D.{}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】先根据基本不等式求得[]()1,1f x ∈-，进而由高斯函数可得结果.【详解】因为对任意R x ∈，22112x x x +=+≥，则2211xx ≤+，即[]()1,1f x ∈-，所以函数[]()y f x =的值域为{}1,0,1-.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的为（）A.集合{}2|20,A x ax x a x R =++=∈，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的值为1±B.若一元二次不等式2680kx kx k -++≥的解集为R ，则k 的取值范围为01k <≤C.设集合{1,2}M =，{}2N a=，则“1a =”是“N M ⊆”的充分不必要条件D.若正实数x ，y ，满足21x y +=，则218x y+≥【答案】BCD 【解析】【分析】根据各选项中的条件逐一分析，对于选项A ，结合条件可知集合A 中只有一个元素，分类讨论0a =和0a ≠两种情况，求出a 的值，即可判断A 选项；对于选项B ，一元二次不等式2680kx kx k -++≥的解集为R ，可得0k >⎧⎨∆≤⎩，求出k 的取值范围，即可判断B 选项；对于选项C ，根据子集的含义和充分不必要条件的定义，即可判断C 选项；对于选项D ，根据基本不等式求和的最小值，即可判断选项D.【详解】解：对于A ，因集合{}220,A x ax x a a R =++=∈有且仅有2个子集，则集合A 中只有一个元素，当0a =，{0}A =，符合题意；当0a ≠，2440a ∆=-=1a ⇒=±，综上所述，可得0a =，1±，故A 选项不正确；对于B ，因一元二次不等式2680kx kx k -++≥的解集为R ，已知2680kx kx k -++≥为一元二次不等式，可知0k ≠，可得0k >且2(6)4(8)001k k k k ∆=-+≤⇒<≤，故B 选项正确；对于C ，当1a =时，{}1N M =⊆，当N M ⊆时，21a =或22a =，则1a =±或a =，所以“1a =”是“N M ⊆”的充分不必要条件，故C 选项正确；对于D ，因正实数,x y 满足21x y +=，则21214(2)()4x y x y x y x y y x +=++=++48≥+=，当且仅当4x y y x =，即122x y ==时取等号，故D 选项正确.故选：BCD.10.已知不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，则下列四个结论中正确的是（）A.24a b =B.214a b+≥C.若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D.若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【答案】ABD 【解析】【分析】由三个“二次”的关系可知，相应方程有两个相等的实根，结合韦达定理就可判断.【详解】由题意．240a b ∆=-=，∴24a b =，所以A 正确；对于B ：222144a a b a +=+≥=等号当且仅当224a a=，即a =时成立，所以B 正确；对于C ：由韦达定理，知21204a x xb =-=-<，所以C 错误；对于D ：由韦达定理，知21212,4a x x a x xbc c +=-=-=-，则12||24x x -==，解得4c =，所以D 正确；故选：ABD ．11.下列选项中正确的是（）A.若0a >，则4a a+的最小值为4B.若0ab <，则a bb a+的最大值为2-C.若x ∈R2D.若11,23x y >>，且31202131x y +=--，则12x y +的最大值为7【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，直接使用基本不等式即可；B 选项，变形后使用基本不等式；C 选项，使用基本不等式，但不满足等号成立的条件，C 错误；D 选项，设310,02131s t x y =>=>--，则1213,31s tx s y t ==++，20s t +=，从而得到12118631x y s t ⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭，利用基本不等式“1”的妙用求出1131s t +++的最小值，从而得到12x y+的最大值.【详解】A 选项，若0a >，则40,0a a>>，由基本不等式得44a a +≥=，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，故A 正确；B 选项，若0ab <，则0,0a bb a<<，故2a b a b b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当a bb a-=-，即a b =-时，等号成立，B 正确；C2≥=，当且仅当=时，等号成立，=无解，故最小值取不到，C 错误；D 选项，设310,02131s t x y =>=>--，则1213,31s tx s y t ==++，20s t +=，则()()23661612261186313131s t s t x y s t s t s t +-+-⎛⎫+=+=+=-+ ⎪++++++⎝⎭，因为20s t +=，所以3112424s t +++=，其中()()1111311133131242412243241s t t s s t s t s t ++++⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭11126≥+=，当且仅当()()13243241t ss t ++=++，即9,11s t ==时，等号成立，故1211186867316x y s t ⎛⎫+=-+≤-⨯= ⎪++⎝⎭，D 正确.故选：ABD【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知:210p x -≤≤，:11(0)q m x m m -≤≤+>，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．【答案】03m <≤【解析】【分析】利用集合法，将p 是q 的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于m 的不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】因为:210p x -≤≤，:11(0)q m x m m -≤≤+>，且p 是q 的必要不充分条件，所以{|11}x m x m -≤≤+是{|210}x x -≤≤的真子集，且{|11}x m x m -≤≤+不是空集.所以121100m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩且等号不同时成立，解得03m <≤，所以实数m 的取值范围是03m <≤，故答案为:03m <≤.【点睛】解决根据充分条件和必要条件条件求参数取值范围的问题：一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系，列出关于参数的不等式(组)求解.13.若函数()1f x +的定义域为(]23-，，则函数()21f x +的定义域为___________.【答案】3(1,2-【解析】【分析】根据抽象函数的定义域，利用替换思想求解即可.【详解】因为()1f x +的定义域为(]23-，，所以114x -<+≤，所以1214x -<+≤，解得312x -<≤，所以函数()21f x +的定义域为3(1,2-.故答案为：3(1,2-.14.已知存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x ≥-+成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】1[,)2+∞【解析】【分析】问题转化为22()2min x a x x -+ 即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x =-+-+，令221()1f x x x =-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值，根据二次函数的性质求出()f x 的最大值，从而求出a 的范围即可．【详解】若存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x -+ 成立，即22()2min x a x x -+ 即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x=-+-+，令221()1f x x x=-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值，而2117()2()48f x x =-+，[1,)x ∈+∞的最大值是2，故221(22min x x x =-+，故12a ，故答案为：1[,)2+∞【点睛】方法点睛：本题考查函数的有解问题，一般通过变量分离，将不等式有解问题转化为求函数的最值问题：1.()f x m >有解max ()f x m ⇔>；2.()f x m <有解min ()f x m ⇔<.四、解答题，本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合603|x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{}{}2|16,|30B x x C x x m =≤=+<．（1）求()R A B ⋃ð；（2）若x C ∈是x A ∈的必要条件，求m 的取值范围．【答案】（1）(){R 6A B x x ⋃=<-ð或}4x >；（2）(],9-∞-【解析】【分析】（1）解不等式得到{}63A x x =-≤<，{}|44B x x =-≤≤，利用并集和补集的概念求出答案；（2）根据必要条件得到A C ⊆，从而得到不等式，求出m 的取值范围.【小问1详解】603x x +≥-等价于()()63030x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得63x -≤<，{}{}24|16|4B x x x x ==-≤≤≤，故{}{}{}63|4464A B x x x x x x ⋃=-≤<⋃-≤≤=-≤≤，则(){R 6A B x x ⋃=<-ð或}4x >；【小问2详解】x C ∈是x A ∈的必要条件，故A C ⊆，{}|30|3m C x x m x x ⎧⎫=+<=<-⎨⎬⎩⎭，{}63A x x =-≤<，故33m -≥，解得9m ≤-，故m 的取值范围是(],9-∞-16.（1）已知不等式220(2)x ax a a -+->>的解集为()()12,,x x -∞+∞ ，求12121x x x x ++的最小值．（2）设不等式2220x ax a -++≤的解集为A ，若{}13|A x x ⊆≤≤，求实数a 的取值范围．【答案】（1）4；（2）1115a -<≤【解析】【分析】（1）12,x x 为方程220x ax a -+-=的两个根，由韦达定理得到两根之和，两根之积，再利用基本不等式求出最小值；（2）分A =∅与A ≠∅两种情况，得到不等式，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题意得12,x x 为方程220x ax a -+-=的两个根，由韦达定理得1212,2x x a x x a +==-，则1212112x x a x x a ++=+-，因为2a >，所以120,02a a ->>-，由基本不等式得()12121122242x x a x x a ++=-++≥+=-，当且仅当122a a -=-，即3a =时，等号成立，故12121x x x x ++的最小值为4；（2）{}|13A x x ⊆≤≤，当A =∅时，()2Δ4420a a =-+<，解得1a 2-<<，当A ≠∅时，要满足{}|13A x x ⊆≤≤，则2212203620Δ003a a a a a ⎧-++≥⎪-++≥⎪⎨≥⎪⎪≤≤⎩，解得1125a ≤≤，故实数a 的取值范围是1115a -<≤.17.2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产x （百辆），需另投入成本()C x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？【答案】（1）()2104003000,050100006000(),50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩；（2）产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）分050x <<与50x 两种情况分别求出()L x 的表达式后，将其写成分段函数的形式即可．（2）当050x <<时，利用二次函数的性质求出()L x 的最大值，当50x 时，利用对勾函数的性质求出()L x 的最大值，再比较即可得到()L x 的最大值和相应的x 的取值．【详解】（1）当050x <<时，22()6100102003000104003000L x x x x x x =⨯---=-+-，当50x ≥时，1000010000()6100601900030006000()L x x x x x x=⨯--+-=-+.综上所述，()2104003000,050100006000(),50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩．（2）当050x <<时，2()10(20)1000L x x =--+，所以当20x =时，max ()(20)1000;L x L ==当50x ≥时，10000()6000(L x x x=-+，()L x 在()50100，上单调递增，在()100+∞，上单调递减；所以当100x =时，max ()(100)58001000.L x L ==>所以当100x =，即2019年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为5800万元.18.已知()()21311ax b x y x x ++-=≠-．（1）当1a =，2b =时，求y 的取值范围；（2）当0a =，b ∈R 时，求1y ≤时x 的取值集合．【答案】（1）3y ≤或7y ≥；（2）答案见解析；【解析】【分析】（1）根据分式的性质，利用分子常数化，转化为基本不等式进行求解即可．（2）将分式不等式等价转化为一元二次不等式，讨论参数b 的取值范围进行求解即可．【详解】解：（1）当1a =，2b =时，23311511x x y x x x +-==-++--，(1)x ≠，当1x >时，即10x ->，11552571y x x ∴=-+++=+=- ，当且仅当111x x -=-，即2x =时取等号；当1x <时，()10x -->，11155(1)525311y x x x x ⎡⎤=-++=-----=-+=⎢⎥--⎣⎦ ，当且仅当1(1)1x x --=--，即0x =时取等号；所以y 的取值范围为3y ≤或7y ≥（2）当0a =时，(1)311b x y x +-=≤-，即201bx x -≤-，(2)(1)010bx x x --≤⎧⇔⎨-≠⎩，①当0b =时，解集为{|1}x x >；②当0b <时，解集为{|1x x >或2}x b≤；③当21b =，即2b =，解集为∅；④当21b >，即02<时，解集为2|1x x b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭；19.已知实数集{}12,,,(3)n A a a a n =≥ ，定义{}(),,i j i j A a a a a A i j ϕ=∈≠．（1）若{}2,0,1,2A =-，求()A ϕ；（2）若(){}0,6,8,12,12,18,24A ϕ=---，求集合A ；（3）若A 中的元素个数为9，求()A ϕ的元素个数的最小值．【答案】（1）(){}4,2,0,2A ϕ=--（2）{}0,2,3,4,6A =-或者{}0,2,3,4,6A =---.（3）13【解析】【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；（2）根据(){}0,6,8,12,12,18,24A ϕ=---可得0A ∈，然后分A 中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可；（3）分A 中没有负数和A 中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解.【小问1详解】(){}4,2,0,2A ϕ=--;【小问2详解】首先，0A ∈；其次A 中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.记{}0,,,,A a b c d =，不妨设0a b c d <<<<或者0a b c d <<<<--①当0a b c d <<<<时，{}{}{}{},,6,8,12,,,12,18,24ab ac ad bc bd cd =---=，相乘可知372576bcd a bcd ==-，，从而382a a =-⇒=-，从而{}{},,3,4,6b c d =，所以{}0,2,3,4,6A =-；②当0a b c d <<<<时，与上面类似的方法可以得到382d d =⇒=进而{}{},,3,4,6b c d =---，从而{}0,2,3,4,6A =---所以{}0,2,3,4,6A =-或者{}0,2,3,4,6A =---.【小问3详解】估值+构造需要分类讨论A 中非负元素个数.先证明()13A ϕ≥．考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合()A ϕ不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：情况一：A 中没有负数．不妨设1290a a a ≤<<< ，则1223242939890a a a a a a a a a a a a ≤<<<<<<< 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是()A ϕ的元素，这表明()14.A ϕ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,s b b b 是A 中的全部负元素，12,,,t c c c 是A 中的全部非负元素.不妨设11120ss t b b b c c c -<<<<≤<<< 其中,s t 为正整数，9,4,5s t s t +=≤≥．于是有1112120t t s tb c b c b c b c b c ≥>>>>>> 以上是()A ϕ中的18s t +-=个非正数元素：另外，注意到2324253545c c c c c c c c c c <<<<它们是()A ϕ中的5个正数．这表明()13.A ϕ≥综上可知，总有()13.A ϕ≥-另一方面，当{}230,1,2,2,2A =±±±±时，(){}234560,1,2,2,2,2,2,2A ϕ=-±±±±±-中恰有13个元素.综上所述，()A ϕ中元素个数的最小值为13.。

精练03 基本不等式-高一上学期数学期末考点(新教材人教A版必修第一册)

精练03基本不等式1．【内蒙古赤峰市2019-2020学年高一期末】已知0x >，0y >满足22280x y xy y x +--=，则2y x +的最小值为（）A ．B ．4C ．D【答案】C 【详解】由22280x y xy y x +--=知：(2)8xy x y y x +=+，而0x >，0y >∴182y x x y +=+，则21816(2)(2)()101018y x y x y x x y x y +=++=++≥=∴2y x +≥ 故选：C2．【湖北省荆州市2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足21x y +=，则12x y+的最小值为（）A ．4B ．3+C ．8D ．9【答案】C 【详解】解：因为正数x ，y 满足21x y +=，所以()12422248x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即11,42x y ==时取等号，所以12x y+的最小值为8，故选：C3．【宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高一期末】下列函数的最小值为2的是（） A ．1y x x=+B ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<<C ．y =D ．1tan (0)tan 2y x x x π=+<<【详解】对于A. 1y x x=+,当0x <时，0y <，所以最小值为不是2，A 错误；对于B. 1sin 0sin 0sin 2y x x x x π⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭，，所以1sin 2sin x x +≥=时，即sin 1x =，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B 错误.对于C.2y =≥2=，此方程无解，则y 的最小值取不到2，C 错误；对于D,1tan (0)tan?2y x x x π=+<<，因为tan 0x >，所以1tan 2tan x x +≥=，当且仅当tan 1x =，即4x π=时，y 有最小值2，满足，D 正确；故选：D.4．【江西省南昌市2019-2020学年高一期末】已知a ，0b >，且满足21a ab +=，则3a b +的最小值为（）A B C ．D ．【答案】C 【详解】 ∵21a ab +=， ∴1b a a=-．即11332a b a a a a a +=+-=+≥=当且仅当2a =时取等号．∴3a b +的最小值为5．【河北省石家庄市2019-2020学年高一期末】如果x ＞0，y ＞0，且111x y+=，则xy 有（） A ．最小值4 B ．最大值4 C ．最大值14D ．最小值14【答案】A 【详解】x ＞0，y ＞0，且111x y+=，又11x y +≥1≤，114xy ≤，即4xy ≥，当2x y ==时取等号, 则xy 有最小值4，故选：A6．【贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高一期末】已知正实数a ，b 满足1a b +=，则2241a ba b--+的最小值为（） A ．11 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【详解】解：因为正实数a ，b ，且1a b +=，所以2241a b a b--+41a b a b =-+- 41()b a a b =+-+ 41()()1b a a b =+⋅+- 44b a a b =++4≥8=当且仅当4b a a b =即223a b ==时，取等号. 所以2241a b a b--+的最小值为8. 故选：C.7．【广东省佛山市禅城区2019-2020学年高一期末】若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（）A ．1ab ≤B ≤C ．22a b +≥D ．223a b +≥【答案】A 【详解】对于A ，0a >，0b >，a b ∴+≥12a b+≤=，即1ab ≤，当且仅当1a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，224a b =++=+≤2≤，当且仅当1a b ==时取等号，故B 错误；对于C ，不妨设32a =，12b =时，23172244a b =+=<+，故B 错误；对于D ，()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，当且仅当1a b ==时取等号，故D 错误. 故选：A8．【广东省佛山市南海区2019-2020学年高一期末】若函数()()40,0af x x x a x=+>>当且仅当2x =时取得最小值，则实数a 的值为（） A ．12 B ．24C ．16D ．36【答案】C 【详解】()4af x x x=+≥24x a =，∴22x ==，解得：16a =，故选：C.9．【黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2019-2020学年高一期末】已知0,0x y >>，231x y +=，则48x y+的最小值为（）A ．8B ．6C ．D ．【答案】C 【详解】∵00x y >>，，231x y +=，∴232482x y x y ≥+=+= 当且仅当2322x y =即11,46x y ==时，等号成立，所以48x y +的最小值为. 故选：C10．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C 【详解】由已知可得31155x y +=，则3194123131234()(34)555555555y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最小值5，应选答案C ．11．【山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一期末】若两个正实数,x y 满足112x y+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（）A ．()1,2-B ．()4,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-+∞【答案】C 【解析】正实数x ,y 满足112x y+=，则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2x y m m +<-有解,可得22m m ->，解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.12．【安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一期末】已知2m >，0n >，3m n +=，则112m n+-的最小值为（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【详解】因为2m >，0n >，3m n +=，所以21m n -+=，则()1111222224222n m m n m n m n m n-⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪---⎝⎭，当且仅当22n m m n -=-且3m n +=，即51,22m n ==时取等号，故选：B.13．【安徽省宣城市2019-2020学年高一期末】已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（） A ．72B ．7C ．8D ．4【答案】A 【详解】 ∵m ，0n >，4121m n+=+， ∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号，故m n +的最小值72.故选：A.14．【湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一期末】已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为（） A ．9 B ．10 C ．11D ．726+【答案】B 【详解】1x >，10x ->，又0y >，且1211x y+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++[]12(1)211x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪-⎝⎭22(1)61y x x y -=++- 22(1)621y x x y-+⋅-10=，当且仅当22(1)1y x x y-=-，解得4x =，3y =时等号成立，故2x y +的最小值为10．故选：B ．15．【湖南省长沙市长沙县实验中学2019-2020学年高一期末】设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?3xy xy x y zx xy y x y y xy x===-++--，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号，即212x y z+-的最大值是1．故选：D16．【广东省惠州市2019-2020学年高一期末】函数2241y x x =++的最小值为__. 【答案】3 【详解】函数2241y x x =++，即()224111y x x =++-+1413≥=-=，当且仅当212+=x ，即1x =±时，取等号，则函数的最小值为3，故答案为：3.17．【吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一期末】已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【答案】(),1-∞ 【详解】由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <，因此，实数k 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.18．【湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一期末】设1x >，则函数151y x x =++-的最小值为_____ 【答案】8【详解】 1x >，∴函数115(1)62(1)68111y x x x x x x =++=-++-+=---，当且仅当2x =时取等号．因此函数151y x x =++-的最小值为8．故选：A ．19．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4 【详解】0a >，0b >，，可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号．)120∴≥，∴2≥1≤-（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．20．【四川省凉山州2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则1aa b+的最小值为______．【答案】3 【详解】依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=. 当且仅当12a b ==时等号成立. 故答案为：321．【河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一期末】若441x y +=，则x y +的取值范围是____________．【答案】(],1-∞- 【详解】由基本不等式可得1144222x y x y x y +++=+≥=⨯=，10x y ∴++≤，解得1x y +≤-.所以，x y +的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-.22．【安徽省淮南市第一中学2019-2020学年高一期末】已知x ，0y >，且194x y+=，则x y +的最小值________．【答案】4 【详解】因为x ，0y >，且194x y+=，所以x y +()11919110104444⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝y x x y x y x y 当且仅当9y xx y=，,即1,3x y ==时，取等号，所以x y +的最小值为4，故答案为：423．【山西省2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则161a b+的最小值为__________. 【答案】25 【详解】()1611611617b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭17172425≥+=+⨯= 当且仅当2216a b =，即45a =，15b = 时取等号. 故答案为：2524．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一半期考试】设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值.【答案】20202019-【详解】由已知有：22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b++=+=++212020≥-+221140392202020202020=-+⨯=，当且仅当0a <，22020a b a b =时，等号成立. 即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 25．【四川省乐山市2019-2020学年高一期末】已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．【答案】10【详解】49abc a b =+4994a b c ab a b+∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号）故答案为：1026．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比；若在距离车站2km 处建仓库，则1y 和2y 分别为10万元和1.6万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出这个最小值.【答案】5km 处，最小值为8万元..【详解】解：设仓库建在距离车站km x 处时，两项费用之和为y 万元.根据题意可设1y x λ=，2y x μ=.由题可知，当2x =时，110y =，2 1.6y =，则20λ=，45μ=. 所以()20405y x x x =+>.根据均值不等式可得8y ≥=，当且仅当2045x x =，即5x =时，上式取等号. 故这家公司应该把仓库建在距离车站5km 处，才能使两项费用之和最小，且最小值为8万元.27．【安徽省池州市2019-2020学年高一期末】已知函数2(4)()x f x x+=(0)x >．（1）解不等式：f （x ）＞503；（2）求函数f （x ）的最小值．【答案】（1）8|03x x ⎧<<⎨⎩或}6x >；（2）16 【详解】（1）220(4)50()(4)5033x x f x x x x>⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩⎩或}6x >. （2）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=，当且仅当16x x =，即4x =时函数2(4)()x f x x+=取得最小值16. 28．【浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >且3a b +=．（Ⅰ）求11()a b +的最大值及此时a ，b 的值；（Ⅱ）求2231a b a b +++的最小值及此时a ，b 的值．【答案】（Ⅰ）32a b==时，11a b⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值为2-；（Ⅱ）6a=-，3b=-+3+；【详解】解：（Ⅰ）1133224233333333333a b a b b a b aa b a b a b a b a b+++=+=+=+++=，当且仅当33b aa b=且3a b+=，即32a b==时取等号，311423loga b⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭即最大值为2-，（Ⅱ）3a b+=，∴223313131(1)121111a ba b a ba b a b a b a b++=++-+=+-++=++++++3113(1)3(2()()332314444(1)4(1)a b b aba b a b b++=+++=+++=+++，当且仅当3(1)44(1)b aa b+=+且3a b+=，即6a=-3b=-+29．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一期末】已知0a>，0b>.（1）求证：()2232a b b a b+≥+；（2）若2a b ab+=，求ab的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b+-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b+≥+.（2）∵0a>，0b>，∴2ab a b=+≥2ab≥1，∴1≥ab.当且仅当1a b==时取等号，此时ab取最小值1.和分析法来一起证明，属于中档题.30．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．【答案】（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米，因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<；（2）()80016001600 4280828084S x x x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=，当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立．因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．。

湖北省武汉市问津教育联合体2023-2024学年高一下学期3月联考数学试题

则
2 x
+
1 y
=
æ çè
2 x
+
1 y
ö ÷ø
(
x
+
2y)
=
4
+
4y x
+
x y
³
4
+2
4y x
×
x y
= 8，
ì4y
当且仅当
ï í
x
=
x y
时，即
x
=
1 2
,
y
=
1 4
时，等号成立，
ïîx + 2 y = 1
所以
2 x
+
1 y
的最小值为
8
.
故选：D 8．B
答案第41 页，共22 页
【分析】利用三角函数图象的变换规律求得
(2)已知
f
æa çè 2
ö ÷ø
=
0
，求 (sina )4
+
(sinacosa )2
的值.
16．如图所示，
O
是边长
1
的正六边形
ABCDEF
的中心，且
uuur OA
=
ar,
uuur OB
=
r b
.
试卷第41 页，共33 页
(1)请用向量
ar,
r b
表示向量
uuur CE
，并求
uuur CE
×
uuur CF
湖北省武汉市问津教育联合体 2023-2024 学年高一下学期 3
月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

湖北省武汉市珞珈山中学2022年高一数学理联考试题含解析

湖北省武汉市珞珈山中学2022年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数f ( x ) = x 3– 3 x 2 + 6 x – 6，且f ( a ) = 1，f ( b ) =- 5，则a + b =（）（A）- 2 （B）0 （C）1 （D）2参考答案：D2. 锐角三角形中，若，则下列叙述正确的是（）.①②③④A.①②B.①②③C.③④D.①④参考答案：B3. 已知全集I＝｛0，1，2，3，4｝，集合M＝｛1，2，3｝，N＝｛0，3，4｝，则=（）A. B.｛3，4｝ C.｛1，2｝ D. ｛0，4｝参考答案：D4. 如图给出的四个对应关系，其中构成映射的是（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）（4）参考答案：B【考点】映射．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义，在集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．【解答】解：（1）（4）可以构成映射；在（2）中，1，4在后一个集合中找不到对应的元素，故不是映射；在（3）中，1对应了两个数3，4，故也不是映射；故选B．【点评】本题考查了映射的定义，属于基础题．5. 已知随机事件A发生的频率为0.02，事件A出现了1000次，由此可推知共进行了次试验．A. 50B. 500C. 5000D. 50000参考答案：D【分析】利用频数除以频率即可得到结果.【详解】由题意知：本题正确结果：D【点睛】本题考查频数、频率、总数之间的关系问题，属于基础题.6. （5分）函数f（x）=，则f[f（5）]=（）A．7 B． 6 C． 3 D．4参考答案：A考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可．解答：函数f（x）=，则f（5）=5+1=6．f[f（5）]=f（6）=6+1=7．故选：A．点评：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．7. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（A）（B）（C）（D）参考答案：D8. 《九章算术》中有如下问题：今有浦生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为( ).(结果精确到0.1，参考数据: ，)A. 2.2天B. 2.4天C. 2.6天D. 2.8天参考答案：C【分析】设蒲的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n；莞的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．利用等比数列的前n项和公式及对数的运算性质即可得出．【详解】设蒲的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n，则A n=.莞的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则B n，由题意可得：，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．∴n=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 函数y=log［(1－x)(x+3)］的递减区间是( )A.(－3,－1]B.(－∞,－1)C.(－∞,－3)D.(－1，＋∞)参考答案：A10. 函数的单调递增区间是A．B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数=4x2-4x ++2的图像与x轴的两个交点横坐标分别为x1,x2,当x12+x22取到最小值时，的值为___________参考答案：-112. 设，则=___________参考答案：13. 已知，，且与的夹角为60°，则．参考答案：【分析】把已知条件代入向量的模长公式计算可得【详解】，，的夹角为则有则故答案为【点睛】本题主要考查的是平面向量数量积的运算以及向量模的计算，解题时可以采用平方的思想，属于基础题14. 已知△ABC中，，则= ．参考答案：﹣7【考点】正弦定理的应用；向量在几何中的应用．【分析】利用向量的数量积和向量夹角的定义，将转化为=，再应用正弦定理将边转化为角表示，即可得到sinAcosB=﹣7cosAsinB，把化为正余弦表示代入即可得答案．【解答】解：∵，∴，根据向量数量积的和向量夹角的定义，∴=4，∴，根据正弦定理，可得﹣3sinBcosA+3cosBsinA=4sinC，又4sinC=4sin（A+B）=4sinAcosB+4cosAsinB，∴sinAcosB=﹣7cosAsinB，=．故答案为：﹣7．15. 设点A(2，0)，B(4，2)，点P在直线AB上，且||=2||，则点P的坐标为____________．参考答案：(3，1)或(1，-1)16. 两平行直线与间的距离为__ ____．参考答案：1直线即，它与直线平行，，则它们之间的距离是.17. 已知函数f（x）=，若关于x的函数g（x）=f（x）﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是．参考答案：（1，2]【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）的同学，画出y=m的图象，通过图象的交点个数确定m的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，若关于x的函数g（x）=f（x）﹣m有两个零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有两个交点，如图：∴实数m的取值范围是：（1，2]．故答案为：（1，2]．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，参数范围的求法，考查数形结合以及判断能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年湖北省武汉市武昌黄鹤楼中学高一数学理联考试题含解析

2019-2020学年湖北省武汉市武昌黄鹤楼中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是第四象限角，，则的值分别为A．B．C．D．参考答案：C，，故选C.2. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为( ) A．B．﹣C．2 D．﹣2参考答案：A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，计算log4f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，图象过点（3，），∴3α=，∴α=，∴f（x）=（x≥0）；∴log4f（2）=log4=log42=×=；故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式以及利用函数解析式求值的问题，是基础题．3. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C略4. 角α（0<α<2）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为（）A．B．C．D．或参考答案：D略5. 已知e是自然对数的底数，函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是A．B．C．D．参考答案：6. 函数的最小正周期是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用函数的周期公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，所以函数的最小正周期是：.故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的求法，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7. 已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧棱底面,且,则该四棱锥的体积是（）A、288B、96C、48D、144参考答案：B8. 下列函数中，表示同一函数的一组是()A.B.C.D.参考答案：9. 2100°的弧度数是（）A. B. 10π C. D.参考答案：A【分析】利用角度与弧度的互化公式计算即可.【详解】由题意得，故选A.【点睛】本题考查了弧度制的转化，考查了角的表示方法，属于基础题.10. 与函数有相同图像的一个函数是A. B.其中C. D.其中参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a＞0，若不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是．参考答案：（1，+∞）【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】法一：利用绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a+b|（当且仅当a与b同号取等号），求出原不等式左边的最小值，让a大于求出的最小值，即可得到满足题意的实数a 的取值范围．法二：由绝对值的几何意义知|x﹣4|+|x+3|表示实数轴上的点到﹣3和到4两点的距离之和，故范围可求出，由题意a大于|x﹣4|+|x+3|的最小值即可．【解答】解：法一：∵|x﹣4|+|x+3|≥|x﹣4﹣3﹣x|=7，∴|x﹣4|+|x+3|的最小值为7，又不等式|x﹣4|+|x+3|≤a的解集不是空集，∴a＞7．法二：由绝对值的几何意义知|x﹣4|+|x+3|表示实数轴上的点到﹣3和到4两点的距离之和，故|x﹣4|+|x+3|≥7，由题意，不等式|x﹣4|+|x+3|＜a在实数集上的解不为空集，只要a＞（|x﹣4|+|x+3|）min即可，即a＞7，故答案为：（1，+∞）【点评】本题考查绝对值不等式的性质及其解法，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．12. 下列命题：①a＞b?c﹣a＜c﹣b；②a＞b，；③a＞b?ac2＞bc2；④a3＞b3?a＞b，其中正确的命题个数是．参考答案：2【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的性质依次判断可得结论．【解答】解：①a＞b?﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b；不等式两边同时加减同一个数，大小不变．∴①对．②a＞b，，当b＜0时，不成立，②不对．③a＞b?ac2＞bc2；当c=0时，不成立，∴③不对．④a3＞b3??a＞b，∴④对．正确的是①④．故答案为2．13. 计算参考答案：1略14. 球的半径扩大为原来的倍,它的体积扩大为原来的_______倍.参考答案：815. 定义映射f：(x，y)→(，)，△OAB中O(0,0)，A(1,3)，B(3,1)，则△OAB在映射f 的作用下得到的图形的面积是________．参考答案：16. 已知直线l过点，斜率为2，则直线l的方程是。

湖北省武汉市马房山中学2024届高三上学期期末综合测评数学试题含答案解析

武汉市马房山中学2024届高三上学期1月期末综合测评数学本试卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合{1,2,3}A =，{}(1)(2)0B x Z x x =∈+-<，则A B = （）A.{1,2,3} B.{1,2}C.{2,3}D.{1}2.若z=3-i ，z'=24i1i++，则（）A.z'=zB.z'+z=2C.z'=zD.z'+z=43.已知向量(a = ，(2,b =-，则a 与b的夹角为（）A.6π B.56π C.3πD.34π4.已知正三棱锥V ABC -，6AB =，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（）A.)213B.13- C.23D.135.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（）A.6B.7C.6或7D.86.某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A 不去同一处景点游玩，女生B 与女生C 去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（）A.564B.484C.386D.6407.已知ABC 中，(1)AO AB AC λλ=+- ，且O 为ABC 的外心．若BA 在BC上的投影向量为BC μ ，且12cos ,33AOC ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则μ的取值范围为（）A.25,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.45,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.已知()()32ln 14f x a x x x =--+，()3e ln 4xg x x x x =---，若不等式()()0f x g x >的解集中只含有2个正整数，则a 的取值范围为（）A.2572,ln5ln6⎛⎤⎥⎝⎦ B.9,0ln3⎛⎤- ⎥⎝⎦C.9,0ln2⎛⎤-⎥⎝⎦D.2572,ln4ln5⎛⎤⎥⎝⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知正数x ，y 满足2x y +=，则（）A.1B.22x y +的最大值为2C.的最小值为2D.21x y +的最小值为32+10.袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球，从中取三次球，每次取一个球，取球后不放回，设事件{}A =第一个球是红球，{}B =第二个球是黄球，{}C =第三个球是蓝球，则下列结论正确的是（）A.()()P A P B = B.()14P C =C.A 与B 相互独立D.()512P A C =11.已知等比数列{a n }满足126a a +=，4232a a a =+，设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A.2q =B.2n n a =C.102048S = D.n nS a ≥12.已知()e e 2x x a f x +=，()()()22e 2xg x a x x =--+，0a ≠则（）A.当1a =-时，()f x 为奇函数B.当1a =时，存在直线y t =与()y f x =有6个交点C.当21,0e a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()g x 在()0,∞+上单调递减D.当1a <-时，()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为__________．（用数字作答）14.已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点，若112PF QF =，且12π3PF Q ∠=，则椭圆C 的离心率为__________．15.若1sin 2m m α+=+，cos 2mm α=+，则tan α=______________．16.函数()1f x x =-与函数()()5π2cos 12g x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的图象所有交点的横坐标之和为______．四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18～22题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角ABC 中，,,A B C 的对应边分别是,,a b c ，且22222cos 22c a b Ab c +-=．（1）求cos B 的取值范围；（2）求2a cb+的取值范围．18.已知首项为正数的等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，满足412S S S =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()114cos πn n n n b n a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动.喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上22⨯列联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；（2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为n P ，即11P =.①求3P （直接写出结果即可）；②证明：数列13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小.()20P x χ≥0.1000.0500.0250.0100.0010x 2.7063.8415.0246.63510.828附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，N 是PB 的中点，点M ，Q 分别在线段PD与AP 上，且DM MP λ= ，AQ QP μ=．（1）当1λ=时，求平面MDN 与平面DNC 的夹角大小；（2）若MQ ∥平面PBC ，求2μλ的最小值．21.已知函数()()sin ln 1f x x ax =-+．（1）若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围；（2）设*n ∈N ，证明：()113213sin ln lnsin 32124nk n n k k =++-<<++∑．22.已知点F 是抛物线2:4C x y =的焦点，直线l 与抛物线C 相切于点()()000,0P x y x >，连接PF 交抛物线于另一点A ，过点P 作l 的垂线交抛物线于另一点B ．（1）若01x =，求直线l 的方程；（2）求三角形PAB 面积S 的最小值．武汉市马房山中学2024届高三上学期1月期末综合测评数学本试卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合{1,2,3}A =，{}(1)(2)0B x Z x x =∈+-<，则A B = （）A.{1,2,3} B.{1,2}C.{2,3}D.{1}【答案】D 【解析】【分析】先求得集合{}0,1B =，再根据交集定义得解.【详解】∵{}{}{}(1)(2)0120,1B x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=，{1,2,3}A =，∴A B = {1}，故选：D.2.若z=3-i ，z'=24i1i++，则（）A.z'=zB.z'+z=2C.z'=zD.z'+z=4【答案】C 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z '，再结合复数的相关定义判断选项即可．【详解】因为24(24)(1)31(1)(1)i i i z i i i i ++-'===+++-；故3z z i '==+；6z z '+=；故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知向量(a =，(2,b =-，则a 与b的夹角为（）A.6πB.56π C.3πD.34π【答案】B 【解析】【分析】利用cos ,a b a b a b ⋅=⋅和平面向量的数量积和模的坐标表示计算，然后求得.【详解】213cos ,2a b a b a b+⨯-⋅===-⋅,所以,a b = 56π，故选：B.4.已知正三棱锥V ABC -，6AB =，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（）A.)213B.13- C.23D.13【答案】B 【解析】【分析】根据正三棱锥底面边长为6，且侧面与底面所成角的正切值为，求出三棱锥的高和侧高，利用勾股定理求出外接球半径，再利用等体积法求出内切圆半径即可.【详解】因为三棱锥V ABC -为正三棱锥，底面边长为6，，所以可得正三棱锥的高h =3；设正三棱锥底面中心为D ，其外接球的半径为R ，内切球半径为r ，则有222OD DA R +=，也即22)+12=R R -，解得：362R =，正三棱锥的体积11113633323ABC ABC V S h r S r =⋅=⨯⨯⨯⨯⨯+⋅ ，也即193r ⨯=+，解得：3262r -==，所以13r R ==，故选：B.【点睛】内切球的球心到各面的距离是相等的，球心和各面可以组成四个等高的三棱锥，那么内切球的半径乘以正三棱锥的表面积再乘以三分之一就等于体积，通常用等体积法求解内切球的半径.5.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（）A.6B.7C.6或7D.8【答案】A 【解析】【分析】根据条件得12,11d a ==-，从而得出2(6)36n S n =--，即可求出结果.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，又1514a a +=-，927S =-，则12414a d +=-①，1989272a d ⨯+⨯=-②，由①②解得12,11d a ==-，所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，当6n =时，n S 取最小值为36-，故选：A.6.某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A 不去同一处景点游玩，女生B 与女生C 去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（）A.564 B.484C.386D.640【答案】A 【解析】【分析】先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加法、乘法计数原理即可得解.【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.第一种情况分成2人，2人，4人：女生,B C 去同一处景点，当,B C 成2人组时，其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生A 不同组，有1242C A 8=种方法；当,B C 在4人组时，有112222444222C C C C A 36A +=种方法.第二种情况分成2人，3人，3人：当,B C 成2人组时，有24C 6=种方法；当,B C 在3人组时，有1211225432C C C C A 44+=种方法.故这8名同学游玩行程的方法数为()33836644A 564+++⨯=.故选：A.7.已知ABC 中，(1)AO AB AC λλ=+- ，且O 为ABC 的外心．若BA 在BC上的投影向量为BC μ ，且12cos ,33AOC ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则μ的取值范围为（）A.25,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.45,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据题意B ，O ，C 三点共线．因为O 为ABC 的外心，即有||||||OA OB OC == ，所以ABC 为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解.【详解】因为(1)AO AB AC AB AC AC λλλλ=+-=+- ，则)(AO AC AB AC λ-=- ，所以CO CB λ=，即B ，O ，C 三点共线．因为O 为ABC 的外心，即有||||||OA OB OC ==，所以ABC 为直角三角形，因此AB AC ⊥，O 为斜边BC 的中点．因为12cos ,33AOC ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，所以AOC ∠为锐角．如图，过点A 作AQ BC ⊥，垂足为Q ．因为BA 在BC 上的投影向量为BQ = BC μ ，所以112μ<<，所以OA 在BC 上的投影向量为1122OQ BQ BO BC BC BC μμ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭．又因为1||||2OA BC = ，所以12cos 2112BCOQAOC OABC μμ⎛⎫- ⎪⎝⎭∠===-．因为12cos ,33AOC ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，所以1221,33μ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故μ的取值范围为25,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：A ．8.已知()()32ln 14f x a x x x =--+，()3e ln 4xg x x x x =---，若不等式()()0f x g x >的解集中只含有2个正整数，则a 的取值范围为（）A.2572,ln5ln6⎛⎤⎥⎝⎦ B.9,0ln3⎛⎤- ⎥⎝⎦C.9,0ln2⎛⎤-⎥⎝⎦D.2572,ln4ln5⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】由已知()3e ln 4xg x x x x =---，二次求导，可得当1x >时，()0g x >，由()()0f x g x >有且只有2个正整数解，即()0f x >有且只有2个正整数解，求导可知()0f x '=至多有一个解，则需满足()20f >，()30f >，()40f ≤，再根据导数可得()f x 在()4,+∞上单调递减，即可证当[)4,∈+∞x 时，()0f x <，即可得参数范围.【详解】由()3e ln 4xg x x x x =---，可得()()11e xg x x x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，设()1e xG x x=-，则()21e 0xG x x '=+>，所以()G x 在()0,∞+上单调递增，又()1e 10G =->，所以当1x ≥时，()()10G x G ≥>，即当1x ≥时，()()11e 0xg x x x ⎛⎫'=+-> ⎪⎝⎭，()g x 单调递增，所以当1x ≥时，()()71e 04g x g ≥=->，所以若不等式()()0f x g x >的解集中只含有2个正整数，即不等式()0f x >的解集中只含有2个正整数，又()()32ln 14f x a x x x =--+的定义域为()1,+∞，且()32802ln1242f a =⨯=->+，则()3223743411a x x x a f x x x x x -+-+'=-+=--，设()32374F x x x x a =-+-+，则()227139144999F x x x x ⎛⎫'=-+-=--+ ⎪⎝⎭，当2x ≥时，()()212F x F ''≤=-，所以()F x 在[)2,+∞上单调递减，且()0F x =至多有一个解，所以若()0f x >有且只有2个正整数解则需满足()()32323ln234304ln 34440f a f a ⎧=-+⨯>⎪⎨=-+⨯≤⎪⎩，解得90ln 2a -<≤，现证当90ln 2a -<≤时，()0f x ≤在()4,+∞上恒成立，由()4,x ∞∈+时，()()3232374447444960F x x x x a F a a =-+-+<=-+⨯-⨯+=-+<，即当()4,x ∞∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当()4,x ∞∈+时，()0f x <，综上所述90ln 2a -<≤，故选：C.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知正数x ，y 满足2x y +=，则（）A.1B.22x y +的最大值为2C.的最小值为2D.21x y +的最小值为32+【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，由基本不等式求出1≤；B 选项，求出222x y +≥；C 选项，在A2≤；D 选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】A 选项，正数x ，y 满足2x y +=，由基本不等式得2x y =+≥1≤，当且仅当1x y ==时，等号成立，A 正确；B 选项，()()22222224x yx y xy x y +≥++=+=，故222x y +≥，当且仅当1x y ==时，等号成立，故22x y +的最小值为2，B 错误；C 选项，由A 1≤，故224x y =+++，当且仅当1x y ==2+≤的最大值为2，C 错误；D 选项，由于正数x ，y 满足2x y +=，故()2112112132132222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫+=++++≥+=+ ⎪⎭⎝⎭⎛⎫+=⎝⎪⎝ ，当且仅当2y xx y=，即42x y =-=-时，等号成立，D 正确.故选：AD10.袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球，从中取三次球，每次取一个球，取球后不放回，设事件{}A =第一个球是红球，{}B =第二个球是黄球，{}C =第三个球是蓝球，则下列结论正确的是（）A.()()P A P B = B.()14P C =C.A 与B 相互独立D.()512P A C =【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定条件，利用列举法，结合古典概率逐项计算判断即得.【详解】红球，黄球，蓝球，黑球分别记为a b c d ,,,，不放回取球三次的试验的样本空间：{,,,,,,,,,,,,,,,abc abd acd acb adb adc bac bad bcd bca bda bdc cab cad cbd Ω=,,,,,,,,}cba cda cdb dab dac dbc dba dca dcb ，共24个，它们等可能，{,,,,,}A abc abd acd acb adb adc =，共6个，{,,,,,}B abc abd cbd cba dbc dba =，共6个，{,,,,,}C abc adc bac bdc dac dbc =，共6个，{,}AB abc abd =，共2个，{,,,,,,,,,}A C abc abd acd acb adb adc bac bdc dac dbc = ，共10个，61()()()244P A P B P C ====，AB 正确；1()()()12P AB P A P B =≠，A 与B 相互不独立，C 错误；()1052412P A C == ，D 正确，故选：ABD11.已知等比数列{a n }满足126a a +=，4232a a a =+，设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A.2q =B.2n n a =C.102048S =D.n nS a ≥【答案】ABD 【解析】【分析】由已知条件可求出q ，1a ，进而可得通项公式n a 和前n 项和n S ，进而可判断A ，B ，C ，再由作差法判断D.【详解】对于A ，由4232a a a =+，得()43232a a a a +=+，所以2q =，A 正确；对于B ，又因为126a a +=，所以1126a a +=，故12a =，所以1222n nn a -=⨯=，B 正确；对于C ，()12122212nn nS +⨯-==--，所以1110222046S =-=，C 错误；对于D ，因为122222n n n n n S a +-=--=-，因为1n ≥且n *∈N ，所以220n -≥，即n n S a ≥，D 正确.故选：ABD12.已知()e e 2x x a f x +=，()()()22e 2xg x a x x =--+，0a ≠则（）A.当1a =-时，()f x 为奇函数B.当1a =时，存在直线y t =与()y f x =有6个交点C.当21,0e a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()g x 在()0,∞+上单调递减D.当1a <-时，()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点【答案】ACD 【解析】【分析】AB 两个选项比较好判断；对C ，可以利用函数在给定区间上的单调性，分离参数，转化为恒成立问题求参数的取值范围；对D ，分析函数的单调性和一些特殊点的函数值符号，判断零点个数.【详解】当1a =-时，()0f x =，可以说是奇函数，故A 正确；当1a =时，()e xf x =在R 上单调递增，与y t =最多一个交点，故B 错误；因为()()()22e2xg x a x x =--+，所以()()22e 22e 1x xg x a x ⎡⎤=+--⎣⎦'()2e 231x a x =--.对C ：()g x 在()0,+∞上递减，需有()2e2310xa x --≤（0x >）恒成立.当32x >时，()21e 23xa x ≤-，又()210e 23x x >-，且当x →+∞时，()210e 23x x →-，所以0a <.当302x <<时，()21e 23x a x ≥-.设()()2e23xh x x =-，则()()2e 44x h x x '=-，由()0h x '>⇒1x >，所以()h x 在()0,1上递减，在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，所以()h x 的最小值为()21e h =-，所以21ea ≥-.所以0a <且21e a ≥-，即21,0e a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.故C 正确；对D ：设()()2e231xm x a x =--，则()()24e 1x m x a x '=-.因为1a <-，所以当01x <<时，()0m x '>；当1x >时，()0m x '<.所以()m x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()m x 的最大值为()21e 10m a =-->，又()0m =310a -->，所以()0m x =只在()1,+∞有一解，设为0x 即()020e 2310x a x --=，所以()g x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减.且()()0210g a =-+>，且当x →+∞时，()()()22e2xg x a x x =--+→-∞，所以()g x 在()0,+∞上有且仅有一个零点.故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：已知函数的单调区间，求参数的取值范围问题，常常要分离参数，转化为恒成立或存在性问题，进而求函数的最大或最小值来解决.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为__________．（用数字作答）【答案】40-【解析】【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式，结合2xy+，得到34,T T ，得到42x y 的系数.【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r rr r r T x y x y --+=-=-，令2r =得，()22424236C 260T x y x y =-=，此时4242602120x y x y ⋅=，令3r =得，()33333346C 2160T x y x y =-=-，此时3342160160xx y x y y-⋅=-，故42x y 的系数为12016040-=-故答案为：40-14.已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点，若112PF QF =，且12π3PF Q ∠=，则椭圆C 的离心率为__________．【答案】3【解析】【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，再根据椭圆的定义求出12,PF PF ，再在12PF F △中，利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =，由12π3PF Q ∠=，得12π3F PF ∠=，因为112PF QF =，所以122PF PF =，又122PF PF a +=，所以1242,33a aPF PF ==，在12PF F △中，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即2222164421442993323a a a a a c =+-⨯⨯⨯=，所以33c a =，即椭圆的离心率3c e a ==.故答案为：3.15.若1sin 2m m α+=+，cos 2mm α=+，则tan α=______________．【答案】0或43【解析】【分析】根据22sin cos 1αα+=，代入整理求解得出m 的值，进而得出sin ,cos αα的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，22sin cos 1αα+=，所以，2222222124114m m m m m m m m ++⎛⎫⎛⎫ +++==⎪ ⎪+⎝++⎝⎭⎭，整理可得，2230m m --=，解得1m =-或3m =.当1m =-时，sin 0α=，cos 1α=-，sin tan 0cos ααα==；当3m =时，4sin 5α=，3cos 5α=，sin 4tan cos 3ααα==.综上所述，tan 0α=或4tan 3α=.故答案为：0或43.16.函数()1f x x =-与函数()()5π2cos 12g x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的图象所有交点的横坐标之和为______．【答案】10【解析】【分析】判断函数()f x 的性质与最小值，判断函数()g x 的性质，作出函数()f x 与()g x 的大致图象，判断两个图象在()1,∞+上的交点情况，根据对称性得结果.【详解】因为()()2211f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()f x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()f x 的最小值为()10f =．()()5π5π5π5π2cos 12cos 2sin 2222g x x x x⎡⎤⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以函数()g x 的图象关于直线1x =对称，且()g x 的最大值为2．由于()f x 的图象和()g x 的图象都关于直线1x =对称，所以先考虑两个图象在()1,∞+上的情形，易知()g x 在71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在79,55⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在911,55⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1113,55⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在13,35⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．易知1313812555f ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，()3312f =-=，所以可作出函数()f x 与()g x 的大致图象如图所示，所以()f x 的图象和()g x 的图象在()1,∞+上有5个交点．根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线1x =对称，因此所有交点的横坐标之和为2510⨯=．故答案为:10.四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18～22题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角ABC 中，,,A B C 的对应边分别是,,a b c ，且22222cos 22c a b Ab c +-=．（1）求cos B 的取值范围；（2）求2a cb+的取值范围．【答案】（1）23,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭（2）()2【解析】【分析】（1）借助余弦定理、正弦定理与两角差的正弦公式可得2A B =，结合ABC 为锐角三角形即可得B 的取值范围，即可得cos B 的取值范围；（2）借助正弦定理将边的比例式转化为角的三角函数的比例式后，结合三角恒等变换公式可得2214cos 22a c B b +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，结合cos B 的取值范围计算即可得.【小问1详解】22221cos 2cos 2cos 222c a b A Ab b b b Ac +-+==⨯=+，由222cos 2c a b B ac+-=，故cos cos a B b b A =+，由sin sin sin a b cA B C==，故sin cos sin sin cos A B B B A =+，则()sin sin cos sin sin cos B B B A A A B =-=-，由ABC 为锐角三角形，故A B B -=，即2A B =，则有02B π<<，022B π<<，π0π22B B <--<，可得64B ππ<<，故23cos 22B <<，即23cos ,22B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】由sin sin sin a b cA B C==，2A B =，则()2sin 2sin π322sin sin 2sin 2sin 3sin sin sin B B a c A C B Bb B B B+-+++===24sin cos sin cos 2sin 2cos 2sin cos 4cos cos 2sin sin B B B B B B B B B B B B ++=++=2224cos 2cos 12cos 4cos 4cos 1B B B B B =+-+=+-214cos 22B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由（1）知cos ,22B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故23213cos 14222B ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，故212a c b ++<<+，即()21,2a c b+∈+.18.已知首项为正数的等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，满足412S S S =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()114cos πn n n n b n a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+（2）当n 为偶数时，11233n T n =-+，当n 为奇数时，11233n T n =--+.【解析】【分析】（1）根据等差数列前n 和公式即可求出1a ，则得到其通项公式；（2）分n 为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.【小问1详解】由题意得{}n a 是公差为2的等差数列，且412S S S =⋅，即()11141222a a a +=+，又因为10a >，所以13a =，所以数列{}n a 的通项公式1(1)21n a a n d n =+-=+.【小问2详解】由（1）知()()()()()2123214111cos πc 23os πn n b n n n n n n +⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⋅⎝+++⎭+，当n 为偶数时，11111111113557792123233n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n 为奇数时，1111111,(3)2132123233n n n T T b n n n n n -=+=---=--≥++++，经检验，1n =时，满足11233n T n =--+，综上，当n 为偶数时，11233n T n =-+，当n 为奇数时，11233n T n =--+.19.篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动.喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上22⨯列联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；（2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为n P ，即11P =.①求3P （直接写出结果即可）；②证明：数列13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小.()20P x χ≥0.1000.0500.0250.0100.0010x 2.706 3.841 5.0246.63510.828附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.（2）①12；②证明见解析，第9次触球者是甲的概率大.【解析】【分析】（1）直接带公式即可.（2）①根据题义写即可；通过分析1n P -与n P 的概率关系式，再利用数列知识计算结果.【小问1详解】（1）根据列联表数据，经计算得220.001200(60802040)10010.828100*********x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯,根据独立性检验：即有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.【小问2详解】①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的一人，故传给甲的概率为12，故312P =.②第n 次触球者是甲的概率记为n P ，则当2n ≥时，第n 1-次触球者是甲的概率为1n P -，第n 1-次触球者不是甲的概率为11n P --，则()()11111011,22n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=-从而1111323n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又112033P -=≠，所以13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以23为首项，公比为12-的等比数列，18991091021121112111,,,,32332333233n n P P P P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+∴=⨯-+>=⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故第9次触球者是甲的概率大.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，N 是PB 的中点，点M ，Q 分别在线段PD与AP 上，且DM MP λ= ，AQ QP μ=．（1）当1λ=时，求平面MDN 与平面DNC 的夹角大小；（2）若MQ ∥平面PBC ，求2μλ的最小值．【答案】（1）π6（2）8【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面MDN 与平面DNC 的夹角；（2）利用空间向量法把线面平行转化为得向量垂直，从而利用数量积的运算化简即可得μ与λ的关系，再结合基本不等式可得2u λ的最小值；【小问1详解】因为90BAD ∠=，PA ⊥底面ABCD ，如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，当1λ=时，()0,0,0A 、()0,2,0B 、()1,1,0C 、()1,0,0D 、()0,0,2P 、1,0,12M ⎛⎫⎪⎝⎭、()0,1,1N ，则()0,1,0DC = ，1,0,12DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,1DN =- ，设平面MDN 的法向量为()111,,m x y z = ，则11111012m DN x y z m DM x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取12x =，可得()2,1,1m =，设平面DNC 的法向量为()222,,n x y z = ，则222200n DC y n DN x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取21x =，可得()1,0,1n =，所以3cos ,2m nm n m n ⋅===⋅，设平面MDN 与平面DNC 的夹角为θ，所以3cos cos ,2m n θ==，所以π6θ=，故平面MDN 与平面DNC 的夹角为π6.【小问2详解】()0,2,2PB =- ，()1,1,2PC =- ，设平面PBC 的法向量为()333,,t x y z =，则3333320220t PC x y z t PB y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取31y =，可得()1,1,1t = ，因为DM MP λ= ，AQ QP μ= ，所以12,0,11M λλλ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，20,0,1Q μμ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则122,0,111MQ μλλμλ⎛⎫=-- ⎪+++⎝⎭ ，因为//MQ 平面PBC ，所以MQ t ⊥ ，即0MQ t ⋅=，所以12210110111μλλμλ⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯+-⨯= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，即212011μλμλ+-=++，所以()()()12011μλμλ-+=++，所以12μλ=+，所以()221214448u λλλλλ+==++≥+=，当且仅当14λλ=，即12λ=时取等号，所以2u λ的最小值为8.21.已知函数()()sin ln 1f x x ax =-+．（1）若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围；（2）设*n ∈N ，证明：()113213sin ln lnsin 32124nk n n k k =++-<<++∑．【答案】（1）21πa -<≤（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）由题意求得函数定义域，并对参数a 进行分类讨论，构造函数并利用导数判断出函数单调性，根据不等式恒成立即可求得实数a 的取值范围为21πa -<≤；（2）利用（1）中的结论可知当1a =时()sin ln 1x x ≥+在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，且不等式sin x x <在0x >恒成立，再利用裂项相消求和即可得出证明.【小问1详解】根据题意可得10ax +>，当0a ≥时，可得10ax +>在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，当a<0时，由10ax +>可得1,x a ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭，易知需满足π10,,2a ⎡⎤⎛⎫⊆-∞- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，解得20πa -<<，又()()1cos cos 11ax x a a f x x ax ax+-'=-=++，令()()1cos g x ax x a =+-，()01g a =-，当20πa -<≤时，()0g x >在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()0f x ¢>在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即可得()()00f x f >=恒成立；当0a >时，()()cos 1sin g x a x ax x '=-+，令()()()cos 1sin h x g x a x ax x '==-+，则()()2sin 1cos h x a x ax x '=--+，所以()0h x '≤在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又因为()00h a =>，ππ1022a h ⎛⎫⎛⎫=-+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在定理可得0π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =；当[)00,x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，所以()g x 在[)00,x 上单调递增；0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；（i ）若01a <≤时，()100g a =-≥，所以当[)00,x x ∈时，()0g x ≥，又π02g a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，即10π,2x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x =；当[)10,x x ∈时，()0g x ≥，即()0f x ¢>，所以()f x 在[)10,x 上单调递增，当1π,2x x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在12,πx ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，又因为()00f =，所以要使()0f x ≥在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上恒成立，只需ππ1ln 1022a f ⎛⎫⎛⎫=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得()2e 1πa -≤，又()2e 11π->,所以可得01a <≤；（ii ）当1a >时，()010g a =-<，又()g x 在[)00,x 上单调递增，所以一定20x x ∃<使得[)20,x x ∈时，()0g x <；即()0f x '<，所以()f x 在[)20,x 上单调递减,即可得()()00f x f ≤=，这与()0f x ≥在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上恒成立矛盾，不合题意；综上可得21πa -<≤【小问2详解】令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥恒成立，所以()sin m x x x =-在R 上单调递增，又()00m =，所以当0x >时，()sin 0m x x x =->，即sin x x <，所以()()11111111111113sin 2222212412nnn k k k k k k k k k n n ===⎛⎫⎛⎫<=-=+-< ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑；即不等式右侧恒成立；由（1）可得得：当1a =时，对于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()sin ln 10f x x x =-+≥恒成立，即()sin ln 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立；取()*1,2N x k k k =∈+，易知()1π0,22k k ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，*N k ∈可得()()()()211112sin ln 1ln ln ln 2221k k k k k k k k k k k ⎛⎫+++>+==- ⎪ ⎪++++⎝⎭，所以()12111212sin sin ln ln sin ln ln 2313132nn k k k k n k k k k n ==+++⎛⎫>+-=+- ⎪+++⎝⎭∑∑,综上可得：()113213sin ln lnsin 32124nk n n k k =++-<<++∑.【点睛】方法点睛：在证明导数与数列不等式综合问题时，经常将第一问的结论直接应用到证明当中去，再综合考虑不等式特征合理选取方法巧妙放缩求和，即可实现问题求解.22.已知点F 是抛物线2:4C x y =的焦点，直线l 与抛物线C 相切于点()()000,0P x y x >，连接PF 交抛物线于另一点A ，过点P 作l 的垂线交抛物线于另一点B ．（1）若01x =，求直线l 的方程；（2）求三角形PAB 面积S 的最小值．【答案】（1）1124y x =-（2）16【解析】【分析】(1)求得11,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再对24xy =求导，由点斜式方程即可求出答案.(2)设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据A ,F ,P 三点共线求得104x x =-，再化简求得A 到直线PB 的距离，进而表达出三角形PAB 面积，再利用基本不等式的方法求最小值即可.【小问1详解】由200041x y x ⎧=⎨=⎩得01x =，014y =．所以11,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211422x x xy y ==⇒=='所以24x y =在点P 处的切线l 方程为：()11142y x -=-，即1124y x =-．【小问2详解】设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()0,1F ，则200,14x FP x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu r ，211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu r ．因为A 、F 、P 三点共线，所以2201101144x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()()01101404x x x x -+=，由于10x x ≠，故104x x =-，即104x x =-．所以20044,A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由于PB l ⊥，所以()22200201412x x x x x -⋅=--得2008x x x =--．直线PB 方程：()200024x y x x x ==--，即2002204x x y x +--=．设A 到直线PB 的距离为d ，则2022x x d ⎛⎫+ ⎪=又0200008222x PB x x x x =-=+=+所以33001124216222x S PB d x ⎛⎛⎫=⋅=⨯⨯+≥⨯= ⎪ ⎝⎭⎝．当且仅当02x =时，等号成立．所以PAB 面积的最小值为16．。

2021-2022学年湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中高一上学期12月联考数学试题(解析版)

2021-2022学年湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中高一上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合A ={x |2x -1>0}，{02}B x x =<<，则()U A B ⋂=（） A ．1|2x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭B ．{}|2x x ≤C ．1|02x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D ．1|22x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【分析】先求得UA ，根据交集运算的概念，即可得答案.【详解】由题意得12UA x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，所以()102U A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭.故选：C2．下面四组函数中，()f x 与()g x 表示同一个函数的是（）．A ．()||f x x =，2()g x =B ．()2f x x =，22()xg x x=C ．()f x x =，()g xD ．()f x x =，()g x【答案】C【分析】分别求出两个函数的定义域，将函数解析式化简，再根据相等函数的定义即可得出答案.【详解】解：对于A ，函数()||f x x =的定义域为R ，函数2()g x =的定义域为[)0,+∞，所以这两个函数不是相等函数；对于B ，函数()2f x x =的定义域为R ，函数22()xg x x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，所以这两个函数不是相等函数；对于C ，函数()f x x =，()g x x =两个函数的定义域都是R ，所以这两个函数是相等函数；对于D ，()f x x =，()g x R ，又()g x x ==，所以这两个函数不是相等函数. 故选：C.3．设a ，b R ∈，则“a b <”是“22a b ab +⎛⎫< ⎪⎝⎭”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件关系，利用推出关系得充分不必要条件．【详解】若a b <，则()222220244a b a b a b ab ab -++-⎛⎫-==> ⎪⎝⎭即22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭，若22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭即()222220244a b a b a b ab ab -++-⎛⎫-==> ⎪⎝⎭，则0a b ->或0a b -<，所以若,a b R ∈，则“a b <是22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充分不必要条件.故选：A 4．函数21()1f x x =-的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用函数的定义域，奇偶性以及特值，结合选项得到答案．【详解】函数定义域为{}|1x x ≠± 21()()1f x f x x-==-，则()f x 为偶函数，排除选项CD 又211(2)0123f ==-<-，排除B故选：A5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+单调递减，设233231log ,2,24a f b f c f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】A【分析】根据()f x 在()0,∞+上单调递增，根据偶函数形成将a 化为()34log f ；利用指数、对数函数的性质判定23323log 4,2,2--的大小关系，结合函数单调性可得结果. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减则：()()3331log log 4log 44a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭33log 4log 3=1>，2303202221--<<<=，∴23323log 422-->>，()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：a c b << 故选：A.【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小的问题，关键是利用偶函数的性质将各个待比较的量转化为题目中给出的范围内的数的函数值，并注意利用指数、对数函数的性质比较各值得大小，进而利用函数的单调性得到结论.6．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 后的温度T 满足()012t ha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，h 称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（）（参考数据：lg30.4771≈，lg50.6990≈，lg11 1.0414≈） A ．4分钟 B ．5分钟 C ．6分钟 D ．7分钟【答案】C【分析】根据已知条件代入公式计算得到1101112h⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.【详解】根据题意，()11752580252h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1101112h⎛⎫= ⎪⎝⎭设茶水从75℃降至55℃大约用时t 分钟，则()1552575252ht ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即3152ht⎛⎫= ⎪⎝⎭，即310511t⎛⎫= ⎪⎝⎭ 两边同时取对数：()31010lg lg lg 1lg1151111tt t ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得lg 3lg 551lg11t -=≈-，所以从泡茶开始大约需要等待516+=分钟故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.7．已知f （x ）＝(31)4,1,log ,1aa x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（）A ．(0，1)B ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,93⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1≥x 时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解不等式组即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =. 要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数， ()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：B ．【点睛】考查根据分段函数的单调性求参数的问题，根据单调性的定义，注意在分段点处的函数值的关系，属于中档题.8．若定义在R 的奇函数()f x 在(),0-∞单调递减，且()20f =，则满足()()210x f x ++≥的x 的取值范围是（） A ．[][)3,21,--⋃+∞ B ．[][]5,32,1--⋃-- C ．[][)3,21,--⋃-+∞ D ．[][]3,21,1--⋃-【答案】D【分析】根据题意，做出草图，再分2x <-，2x >-，2x =-三种情况讨论求解即可. 【详解】根据题意，画出函数示意图：当2x <-时，210x -≤+≤，即32x -≤<-；当2x >-时，012x ≤+≤，即11x -≤≤；当2x =-时，显然成立，综上[][]3,21,1x ∈--⋃-. 故选：D 二、多选题9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（） A ．21()x x -=- B 1263(0)y y y =>C ．33441(0)xx x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭D ．314232()(0)x x x ⎡⎤-=<⎣⎦【答案】BC【分析】根据分数指数幂的定义判断．【详解】12x -，A 错；2163(0)y y y ==>，B 正确；34x-=C 正确； 31432432(()()0)x x x ⎡⎤=-=-<⎢⎥⎣⎦，D 错．故选：BC ．10．下列说法正确的是（） A ．命题“2,1x R x ”的否定是“2,1xR x ”.B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“x y >”是“x y >”的必要条件.D ．“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件【答案】BD【分析】根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题判断A,B 选项，根据充分条件，必要条件的定义判断C,D 选项. 【详解】对于A 选项，命题“2,1x R x ”的否定是“x R ∃∈，21x ≤-”，故A 选项错误；对于B 选项，命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，故B 选项正确；对于C 选项，||||x y 不能推出x y >，x y >也不能推出||||x y ，所以“x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故C 选项错误；对于D 选项，关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩,所以“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件,故D 选项正确. 故选：BD【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定，充要条件的判断，考查逻辑推理能力，是中档题.本题D 选项解题的关键在于根据韦达定理和判别式得等价条件4400m m ->⎧⎨<⎩，进而解不等式求得讨论即可. 11．下列说法正确的有（）A ．21x y x+=的最小值为2B ．已知1x >，则4211y x x =+--的最小值为1 C ．若正数x ，y 为实数，若23x y xy +=，则2x y +的最大值为3 D ．设x ，y 为实数，若2291x y xy ++=，则3x y +的最大值为7【答案】BD【分析】对于A 选项，当0x <时，0y <，故A 选项错误；对于C 选项，可以利用基本不等式求出2x y +的最小值为3，所以C 选项错误；对于BD 选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.【详解】解：对于A 选项，当0x <时，210x y x +=<，故A 选项错误，对于B 选项，当1x >时，10x ->，则44212(1)122(1)1111y x x x x x =+-=-++-=--，当且仅当1x =时，等号成立，故B 选项正确，对于C 选项，若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2213x y xy x y+==+， 12112212(2)()(5)(523333x y x y x y x y y x +=++=+++=，当且仅当1x y ==时，等号成立，故C 选项错误，对于D 选项，()()()()222222355719333333412x y x y xy x yx yx y x y +=++=+-⋅⋅+-⋅=+，所以212(3)7x y +，可得22137x y +，当且仅当3y x =时，等号成立，故3x y +，D 选项正确．故选：BD ．12．已知函数()22log ,0log 1,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩.若()()()()1234f x f x f x f x ===且1234x x x x >>>，则下列结论正确的有（）A ．12340x x x x ++++C ．12341x x x x ≥D ．123401x x x x <<【答案】BD【分析】作出函数图象，根据数形结合，结合均值不等式，不等式的性质，即可求解.【详解】作出函数()22log ,0log 1,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩的图象，由数形结合可得：12340x x x x >>>>且12341,2x x x x =+=-，所以121222x x x x +>=，故1234220x x x x +++>-=，又()()3434342201x x x x x x =-+->-⨯-<<，所以123401x x x x <<，故选：BD【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，对数函数的图象，考查了均值不等式，不等式的性质，属于中档题. 三、填空题13．已知()532015f x ax bx cx =-++，若32009f=，则(3f -=_______．【答案】2021【分析】计算得出()()4030f x f x +-=，结合已知条件即可得答案. 【详解】解：由已知可得()()()()5353201520154030f x f x ax bx cx ax bx c +-=-+++-+-+=，故()(340303403020092021f f -=-=-=.故答案为：2021.14．函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为_______. 【答案】1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】先由22530x x -->，求得函数的定义域，然后令2253t x x =--，由复合函数的单调性求解.【详解】由22530x x -->，解得 12x <-或 3x >，所以函数()213log 253y x x =--的定义域为{1|2x x <-或 }3x >，因为2253t x x =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，13log y t =在()0,∞+递减，所以函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数y ＝f [g (x )]，先求定义域，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．15．函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图象上，则f （3）＝________. 【答案】27【分析】由对数函数的图象所过定点求得A 点坐标，设出幂函数解析式，代入点的坐标求得幂函数解析式，然后可得函数值．【详解】由题意231x -=，2x =，则8y =，定点A 为(2,8)，设f (x )＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f (x )＝x 3，∴f （3）＝33＝27. 故答案为：2716．已知()24f x x mx =-+，()2log g x x =，若“[]11,4x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12f x g x >成立”为真命题，则实数m 的取值范围是_________.【答案】(,-∞【解析】当[]22,4x ∈，有()[]21,2g x ∈，由题意等价于[]11,4x ∀∈，()11f x >恒成立，即230x mx -+>，在[]1,4x ∈上恒成立，参变分离可得：3x m x+>，再根据基本不等式性质，即可得解.【详解】当[]22,4x ∈，有()[]21,2g x ∈，则[]11,4x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12f x g x >成立，等价于[]11,4x ∀∈，()11f x >，即230x mx -+>，在[]1,4x ∈上恒成立，参变分离可得：3x m x+>，当[]1,4x ∈，min 3x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭x =所以m <故答案为：(,-∞.【点睛】本题考查了恒成立和存在性问题，考查了利用基本不等式求最值，考查转化思想，属于中档题. 四、解答题17．记函数()f x=A ，函数()g x (1)a <的定义域为B . （1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围. 【答案】(]1,2,12⎡⎫-∞-⋃⎪⎢⎣⎭【解析】（1）求函数的定义域，就是求使得根式有意义的自变量x 的取值范围，然后求解分式不等式即可；（2）因为1a <，所以一定有21a a <+，从而得到()2,1B a a =+，要保证B A ⊆，由它们的端点值的大小列式进行计算，即可求得结果. 【详解】（1）要使函数()f x 有意义，则需3201x x +-≥+，即101x x -≥+，解得1x <-或1≥x ，所以()[),11,A =-∞-+∞；（2）由题意可知，因为1a <，所以21a a <+，由()()120x a a x --->，可求得集合()2,1B a a =+，若B A ⊆，则有111a a <⎧⎨+≤-⎩或121a a <⎧⎨≥⎩，解得2a ≤-或112x ≤<，所以实数a 的取值范围是(]1,2,12⎡⎫-∞-⋃⎪⎢⎣⎭.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解，以及根据集合之间的包含关系确定参数的取值范围的问题，属于简单题目.18．已知函数2()121x f x =-+．（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性．（2）判断并用定义法证明函数()f x 的单调性，并求不等式2(3)(22)f x x f x +<+的解集．【答案】（1）奇函数；（2）{}|21x x -<<.【解析】【详解】试题分析：（1）()f x 的定义域为R ，关于原点对称，进而验证()()f x f x -=可得函数为奇函数；（2）任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，判断()()12f x f x -的正负可得单调性，从而根据函数单调性解不等式即可. 试题解析：（1）()f x 是奇函数，证明如下：()f x 的定义域为R ，关于原点对称， ()2121x xf x -=+， ∴()()211221211221x x x x x x f x f x ------===-=-+++，所以()f x 为奇函数．（2）()f x 在(),-∞+∞上为增函数．证明：任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()122112122222221212121x x x x x x f x f x --=-=++++， ∵1x ，()2,x ∈-∞+∞，且12x x <， ∴12220x x -<，1210x +>，2210x +>， ∴()()120f x f x -<即()()12f x f x <， ∴()f x 在(),-∞+∞上为增函数，∵()f x 在(),-∞+∞上为增函数且()()2322f x x f x +<+，∴2322x x x +<+， ∴21x -<<，即()()2322f x x f x +<+的解集为{}|21x x -<<．点睛：本题主要考查函数函数单调性的证明与应用，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数. 19．美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)ay kx x =>，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.【答案】（1）生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式分别为0.25y x =，y x =(0)x >，（2）9千万元【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解【详解】解：（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设()0y mx m =>，因为当1x =时，0.25y =，所以0.25m =，所以0.25y x =，即生产A 芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式为0.25y x =，对于生产B 芯片的，因为函数(0)ay kx x =>图像过点(1,1),(4,2)，所以142a k k =⎧⎨⋅=⎩，解得112k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以12y x =，即生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为y x =(0)x >，（2）设投入x 千万元生产B 芯片，则投入()40x -千万元生产A 芯片，则公司所获利用21()0.25(40)22)94f x x =-=-+，2=，即4x =千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元 20．函数()log (01)a f x m x a a =+>≠,的图像过点(9,4)和(1,2) (1)求函数()f x 的解析式；(2)当()f x 的定义域为[1,81]，求22[()]()y f x f x =+的最大值及y 取最大值时x 的值．【答案】(1)()()32log 0f x x x =+>(2)当9x =时，函数()()22[]y f x f x =+的最大值为22【分析】（1）解方程组即得解；（2）由题得23(log 3)3y x =+-，再求出30log 2x ≤≤，再利用二次函数的图象和性质求解. (1)解：由题得4log 9a m =+，2log 1a m =+，所以2m =，3a =.所以()32log 0)f x x x =+>（ (2)()()222233[](2log )2log y f x f x x x =+=+++233(2log )22x log x =+++233(log )66x log x =++23(log 3)3x =+-．又因为函数()f x 的定义域为[]181，，所以要使函数()()22[]y f x f x =+有意义，则有2181181x x ⎧⎨⎩，，所以19x ≤≤，所以30log 2x ≤≤，所以当3log 2x =，即9x =时，22max y =．所以当9x =时，函数()()22[]y f x f x =+的最大值为22．21．已知函数()1lg1xf x x-=+；(1)若(),1,1a b ∈-，求()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+- ⎪+⎝⎭的值；(2)若方程()m f x x =-在90,11⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围【答案】(1)0； (2)20,011⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据对数的运算法则进行运算求解即可；（2）根据复合函数单调性的性质进行求解即可. (1)()()()()()()11111lglg lg lg 11111a b a ba b ab f a f b a b a b a b ab------++=+==+++++++， 11111lg lg lg 111111a b a b aba b a b ab ab ab f a b a b ab ab a b ab ab ab+--+-+--+⎛⎫++=== ⎪++++++++⎝⎭+++， ()()01a b f a f b f ab +⎛⎫∴+-= ⎪+⎝⎭；(2) ()()2112lglg lg 1111x x f x x x x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭， 211t x=-+在()1,1-上单调递减，lg y t =在()0,∞+上单调递增，由复合函数单调性知：()f x 在()1,1-上单调递减，()f x x ∴-在()1,1-上单调递减，∴当90,11x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()99001111f f x x f ⎛⎫-≤-≤- ⎪⎝⎭，即()20011f x x -≤-≤，∴若方程()m f x x =-在90,11⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则20011m -≤≤，即实数m 的取值范围为20,011⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.22．已知定义在R 上的函数()f x 对任意m ，n ∈R 都有等式()()()1f m n f m f n +=+-成立，且当0x >时，有()1f x >．（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若()34f=，关于x不等式)3ft f+<恒成立，求t 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）1t <-【解析】（1）先设两个变量12,x x ∈R 并给定大小关系，通过将()2f x 变形为()121f x x x +-，再根据已知条件得到()()12,f x f x 的大小关系，从而判断出()f x 为单调增函数；（2）利用已知条件将原不等式变形为)2ft <，然后根据()f x 的单调性以及不等式恒成立思想求解出参数t 的取值范围.【详解】（1）任取1x ，2x ∈R ，且12x x <，则210x x ->，∴()211f x x -> 因为()()()()21211211f x f x x x f x f x x =+-=+--，所以()()()212110f x f x f x x -=-->所以()()21f x f x >，故()f x 在R 上是单调递增函数．（2）()()()()()()()312111111312f f f f f f f =+-=-++-=-，∴()12f =，原不等式等价于))()121ft fft f +-=<=，因为()f x 在R 1t <恒成立，1t -恒成立()()22222x x ++-≤=⎝⎭，当且仅当0x =时取等号所以max1t =<-所以1t <-【点睛】思路点睛：用定义法证明函数单调性的一般步骤：（1）设：设两个自变量12,x x ，并给定大小关系；（2）作差：计算()()12f x f x -；（3）变形：将()()12f x f x -的结果化简至容易判断出正负；（4）判号：根据()()12f x f x -的化简结果并结合12,x x 的大小，判断出()()12f x f x -的正负；（5）下结论：说明()f x 的单调性.。