2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲 第2课时 三角函数的图象与性质(二)

第2课时 三角函数的图象与性质(二)考点一 三角函数的周期性与奇偶性(基础型) 复习指导| 借助正弦、余弦、正切的图象，了解三角函数的奇偶性及周期性．核心素养：逻辑推理、数学运算(1)函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4【解析】 (1)因为f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x . 所以T ＝2π2＝π，f (x )＝sin 2x 是奇函数．故函数f (x )是最小正周期为π的奇函数．(2)因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，所以函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最小正周期是π.由2πω＝π得ω＝2. 因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，所以θ＝π2＋k π，k ∈Z .又0＜θ＜π，所以θ＝π2，故选A ．【答案】 (1)A (2)A(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω求解．1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：选B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，不符合题意；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是T ＝π的奇函数，符合题意；同理C ，D 均不是奇函数．2．(2020·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π4 ⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增 解析：选A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π4，因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π4.f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，所以φ－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝－cos 2x ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递减，故选A ．考点二 三角函数的对称性(基础型) 复习指导| 正弦、余弦函数图象的对称轴与x 轴交点的横坐标均在三角函数取最值的地方(即波峰和波谷)取得，对称中心的横坐标均在三角函数值为0的地方(即平衡位置)取得．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是( )A ．⎝⎛⎭⎫π3，1B ．⎝⎛⎭⎫π12，0C ．⎝⎛⎭⎫5π12，0D ．⎝⎛⎭⎫－π12，0 【解析】 由题意可得2πω＝π，所以ω＝2，可得f (x )＝A sin(2x ＋φ)，再由函数图象关于直线x ＝π3对称，故f ⎝⎛⎭⎫π3＝A sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±A ， 故可取φ＝－π6.故函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 可得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，故函数的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π12，0，k ∈Z . 所以函数f (x )图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π12，0. 【答案】 B三角函数图象的对称轴和 对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解．(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝（2k ＋1）π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32C ．1D ．12解析：选A ．依题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2×(3π4－π4)＝π，解得ω＝2，选A ．2．已知函数f (x )＝|sin x ||cos x |，则下列说法错误的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的周期为π2C ．(π，0)是f (x )的一个对称中心D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减解析：选A ．f (x )＝|sin x ||cos x |＝|sin x cos x |＝12·|sin 2x |，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝12|sin π|＝0，则f (x )的图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；函数周期T ＝12×2π2＝π2，故B 正确；f (π)＝12|sin 2π|＝0，则(π，0)是f (x )的一个对称中心，故C 正确；当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，此时sin 2x ＞0，且sin 2x 为减函数，故D 正确．考点三 三角函数的图象与性质的综合问题(综合型) 复习指导| 此类问题常与三角恒等变换综合考查，其思路为：先将三角函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等．已知函数f (x )＝sin (2π－x )·sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x －3cos 2x ＋ 3. (1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值． 【解】 (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2x ＋3＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋3＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．(2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6，由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，即0≤sin(2x －π3)＋32≤2＋32. 故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. (1)求函数的最大值及相应的x 值的集合； (2)求函数f (x )的图象的对称轴方程与对称中心． 解：(1)当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋3π8，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2；故f (x )的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3π8＋k π，k ∈Z . (2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .即函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .由2x －π4＝k π，k ∈Z 得x ＝π8＋12k π，k ∈Z ，即对称中心为⎝⎛⎭⎫π8＋12k π，0，k ∈Z .[基础题组练]1．函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π解析：选C ．因为y ＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以T ＝2π2＝π. 2．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0 B ．3 C ．－1D ．－2解析：选A ．因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2， 即tan b ＋sin b ＝1.所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.3．若⎝⎛⎭⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C ．因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.4．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减解析：选D ．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误．5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称解析：选B ．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.函数f (x )的对称轴为x 2＋π6＝π2＋k π，解得x ＝23π＋2k π(k ∈Z )；令k ＝0得x ＝23π.函数f (x )的对称中心的横坐标为x 2＋π6＝k π，解得x ＝2k π－13π(k ∈Z )，令k ＝1得f (x )的一个对称中心⎝⎛⎭⎫53π，0.6．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为________．解析：由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，所以ωmin ＝2.答案：27．(2020·无锡期末)在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos 2x |；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；④y ＝tan 2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为________．解析：①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②y ＝cos 2x ，最小正周期为π，由图象知y ＝|cos 2x |的最小正周期为π2；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan 2x 的最小正周期T ＝π2.因此①③的最小正周期为π.答案：①③8．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.答案：6π59．已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心．解：因为f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1，所以f (x )的最小正周期为2π2＝π，图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，1，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． 所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 已知上式对∀x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． [综合题组练]1．(多选)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z 解析：选ABC ．函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期T ＝π12＝2π，故A 错误；函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的值域为[0，＋∞)，故B 错误； 当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，即x ＝5π3不是f (x )图象的对称轴，故C 错误；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，故D 正确．故选ABC ． 2．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜ω＜1，|φ|＜π2的图象经过点(0，1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π12，2π3上是减函数B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0C ．f (x )≥1的解集是⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π3，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－π3，0 解析：选D ．由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6.因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，所以⎝⎛⎭⎫－π3，0是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D ．3．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫－π8的值为________． 解析：由于f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6为偶函数，可得φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋2π3，k ∈Z ，由于0<φ<π，可得φ＝2π3，又其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，则最小正周期T ＝π2×2＝π，可得ω＝2πT ＝2，则有f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－π6＝2cos 2x ，可得f ⎝⎛⎭⎫－π8＝ 2. 答案： 24．(2020·江西赣州摸底改编)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则f ⎝⎛⎭⎫3π4＝________，函数f (x )的单调递增区间为________． 解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4，得T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋12.则f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin π3＋12＝3＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z . 答案：3＋12⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z 5．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解：(1)因为f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，且T ＝π，所以ω＝2.于是，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )． (2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8，π2.6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．11 解：(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，所以cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.。