2016-2017年上海市闵行区七宝中学高三下学期开学数学试卷及答案
【解析版】上海市闵行区七宝中学2013届高三下学期摸底考试数学试卷 Word版含解析
2012-2013学年上海市闵行区七宝中学高三（下）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共56分）1．（4分）已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（0，1）．2．（4分）函数的最小正周期为π．解：函数=∴3．（4分）（2011•东城区一模）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于= 42．4．（4分）若tanα=﹣2，α是直线y=kx+b的倾斜角，则α=π﹣arctan2．（用α的反正切表示）5．（4分）（2011•南通一模）设（1+2i）z=3﹣4i（i为虚数单位），则|Z|=||．故答案为：6．（4分）（2013•嘉定区二模）求值：=﹣1．由二项式定理可知解：∵=7．（4分）已知平面向量，若，则=．表示出向量，的夹角为=，即，∴∴，，代入故答案为：8．（4分）（2013•嘉定区二模）设a＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y，函数y=f（x）的反函数图象经过点（2，1），则a=4．=9．（4分）已知P是椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，则的最小值为．（当且仅当∵∴∴≥∴的最小值为故答案为：10．（4分）（2010•镇江一模）已知{a n}是等差数列，设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|（n∈N*）．某学生设计了一个求T n的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对T n赋值，则空白处理框中应填入：T n←n2﹣9n+40．11．（4分）不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为[1，3]．若不等式解：∵∈∴|故不等式12．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，其中m，n∈R，且f（1）≠0．则f（2013）=4024[f（1）]2 +f（1）．13．（4分）设a∈R，若x＞0时均有（ax﹣1）（x2﹣2ax﹣1）≥0，则a=．，，（，代入得：故答案为14．（4分）（理）设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是①②③．①若ab＞c2；则C＜②若a+b＞2c；则C＜③若a3+b3=c3；则C＜④若（a+b）c＜2ab；则C＞．时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确．④所以由余弦定理得所以，所以①，所以．所以，即假设成立．所以③15．（文）对于任意的平面向量，定义新运算⊕：．若为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是①③．①=；②；③；④．解：①⊕⊕∵⊕=⊕∴⊕≠⊕∵⊕⊕=⊕）⊕）⊕∴（⊕）（⊕）⊕，故正确；∵⊕⊕=⊕⊕∴（⊕）⊕⊕，故不正确．二、选择题（每小题5分，共20分）17．（5分）已知圆x2+y2=2，直线l与圆O相切于第一象限，切点为C，并且与坐标轴相交的方程为相切于第一象限，∴≥18．（5分）（2012•松江区三模）已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量，，n∈N*．下列命题中真命题是（）∥∥⊥⊥⇒，即∴19．（5分）（理）方程sinx+xcosx=0的正根从小到大地依次排列为a1，a2，…，a n，…，则正20．（文）已知函数f（x）=2sinx+3tanx．项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（），（﹣，三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）21．（12分）试判断定义域为[﹣1，1]上的函数f（x）为奇函数是f（0）=0的什么条件？并说明理由．22．（14分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长1正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成的角为，求该棱柱的侧面积；（2）（理）若点C到平面AB1D1的距离为，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．（3）（文）设高AA1=2，求四面体AB1D1C的体积．所成的角为=则该棱柱的侧面积为∴⇔，则的体积为，的体积为的体积为．23．（14分）已知函数，a∈R且a≠0．（1）若对∀x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围；（2）若a≥2，且∃x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范围．）可变为：．令，则任意）．，则，恒成立的充要条件是，所以的充要条件是24．（16分）已知椭圆方程为C：=1，它的左、右焦点分别为F1、F2．点P（x0，y0）为第一象限内的点．直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．（1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0成立的条件（用k1、k2表示）．（3）又已知点E为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，直线F2E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足，求p的最大值．=﹣∴==﹣∵，∴=∴∵，则﹣（2t=时，取等号∴25．（18分）设数列{a n}的通项公式为a n=an+b（n∈N*，a＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（1）若a=2，b=﹣3，求b10；（2）若a=2，b=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（3）是否存在a和b，使得？如果存在，求a和b的取值范围；如果不存在，请说明理由．≥≤≤＜﹣．+≥＜＜﹣）a=，可得﹣﹣＜﹣﹣，即﹣，进过检验，满足条，使得，此时，，且﹣．。
2016届七宝中学第二学期开学摸底考试卷
七宝中学高三第二学期开学摸底考试卷班级 姓名 学号一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式31x x -<-的解集是 ． 2．方程3log (27)1x -=的解=x ．3．已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是111011-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += ． 4．若“条件α：24x ≤≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充分条件，则m 的取值范围是_________. 5．若复数arcsin i 6z a π=+（i 为虚数单位）在复平面上的对应点在直线y x =上，则实数a = ．6．已知直角坐标系内的两向量(1,3)a = ，(,23)b m m =-，使得平面内任一向量c 都可以唯一表示为c a b λμ=⋅+⋅，那么实数m 的取值范围为 ．7．如果直线l 与平面α所成的角为3π，那么直线l 与平面α内的直线所成的角的取值范围是 ．8．在北纬45东经30有一座城市A ，在北纬45东经120有一座城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的距离是___________.9．已知数列{n a }的通项公式为131n n a -=+，则01n C a +12n C a +23n a C + +nn n C a 1+的最简表达式为___________.10．祖暅原理对平面图形也成立，即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等.利用这个结论解答问题：函数()2xf x =、()21xg x =-与直线0,1x x ==所围成的图形的面积为_______.11．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线2:C22(4)(4)2x y -+-=上，则||PQ 的最小值为 ．12．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的8高调函数，那么实数a 的取值范围是 ．13．函数22223()()(1)(N )3x n n n f x x n n n *+=++∈+，当 1 2 3 n = ，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞= ．14．定义函数()f x 如下：对于实数x ，如果存在整数m ，使得1||2x m -<，则()f x m =．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为0q <，又123()()()3f a f a f a ++=，则q 的取值第11题图范围是 ．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．15．一组统计数据1x ,2x ,3x ,4x 与一组统计数据132x +，232x +，332x +，432x +相比较是（ ）（A ）标准差相同 （B ）中位数相同 （C ）平均数相同 （D ）以上都不同16． 如图，在斜三棱柱111A B C ABC -中，BC 的中点为M ，11A B a = ，11AC b = ，1A A c =，则1B M 可用a b c 、、表示为（ ） （A ）1122a b c -++（B ） 111222a b c ++（C ）1122a b c -+（D ） 1122a b c --+17．若数列{}n a 前n 项和2()n S an n a R =-∈，则数列{}n a（A ）必是等比数列 （B ） 必不是等比数列 （C ）一定是等差数列，也有可能是等比数列 （D ） 不一定是等差数列，也一定不是等比数列18．直线2x =与双曲线C ：2214x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OP aOA bOB =+ (a 、b ∈R ，O 为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）（A ）222a b +≥ （B ）2212a b +≥ （C ）222a b +≤ （D ）2212a b +≤三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB PD 、与平面ABCD 所成的角依次是45︒和1arctan2，2AP =，E F 、依次是PB PC 、的中点.（1）求直线EC 与平面PAD 所成的角(结果用反三角函数值表示)；（2）求三棱锥P AFD -的体积.A 1BC A M B 1第16题图C 1 FEDBCA P七宝中学高三第二学期摸底考试卷20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分,第（2）小题满分6分．在ABC △中已知2,1AB AC ==，且2cos 22sin 12B CA ++=． （1）求角A 的大小和BC 的长；（2）设M 为ABC △外接圆的圆心，求MC AB ⋅的值．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．已知函数()y f x =对任意x R ∈，有(1)()(0)f x af x a +=>，且当(]0,1x ∈时，()(1)f x x x =-.（1） 当(],1x n n ∈+时，求()f x 的解析式；（2） 确定实数a 的范围，使()y f x =在()0,+∞上的值域为一闭区间。
2015-2016年上海市闵行区七宝中学高一上学期数学期中试卷带答案
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）1．（4分）若集合A={（x，y）|x+y=5}，集合B={（x，y）|x﹣y=1}，用列举法表示：A∩B=．2．（4分）设全集U=R，若集合，则∁U A=．3．（4分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M 的非空真子集的个数为．4．（4分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是命题．（填入“真”或“假”）5．（4分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）=．6．（4分）已知集合，则M∩N=．7．（4分）函数y=的定义域是．8．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x+1，则f （x）的解析式为．9．（4分）已知函数y=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3（x∈R），写出y＞0的充要条件．10．（4分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．11．（4分）定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是．12．（4分）设[x]表示不超过x的最大整数，用数组组成集合A的元素的个数是．二、选择题（本大趣共4题，每题4分，满分16分）13．（4分）若关于x的不等式|x﹣4|+|x+3|＜a有实数解，则实数a的取值范围是（）A．a＞7 B．a＞1 C．a≥1 D．1＜a＜714．（4分）判断函数f（x）=的奇偶性（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数15．（4分）设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④16．（4分）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=（）A．4 B．3 C．2 D．1三、解答题（本大题共5题，满分56分10'+10'+10'+12'+14'=56'）17．（10分）已知集合A={x|}，实数a使得集合B={x|（x﹣a）（x﹣5）＞0}满足A⊆B，求a的取值范围．18．（10分）（1）试用比较法证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（m，n，a，b∈R）（2）已知x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．19．（10分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？20．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．21．（14分）已知集合A={x|x=m2﹣n2，m、n∈Z}（1）判断8，9，10是否属于集合A；（2）已知集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；（3）写出所有满足集合A的偶数．2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）1．（4分）若集合A={（x，y）|x+y=5}，集合B={（x，y）|x﹣y=1}，用列举法表示：A∩B={（3，2）} ．【解答】解：解方程组：，可得：∴集合A∩B=．故答案为：{（3，2）}2．（4分）设全集U=R，若集合，则∁U A={x|x≤0或x＞1} ．【解答】解：∵全集U=R．={x|0＜x≤1}，∴∁U A={x|x≤0或x＞1}．故答案为：{x|x≤0或x＞1}．3．（4分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M 的非空真子集的个数为14．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，∴M={5，6，7，8}，∴M的非空真子集的个数为：24﹣2=14．故答案为：14．4．（4分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是假命题．（填入“真”或“假”）【解答】解：若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的逆命题为：若x+y＞5，则x＞2且y＞3，此命题为假命题，原因：若x=4，y=1，此时x+y＞5，但是x＞2且y＞3不成立而命题的逆命题与否命题的真假相同可知原命题的否命题为假命题故答案为：假5．（4分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）={7，9} ．【解答】解：∵集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，∴∁U A={2，4，6，7，9}，∁U B={0，1，3，7，9}，则（∁U A）∩（∁U B）={7.9}，故答案为：{7，9}6．（4分）已知集合，则M∩N={z|z≥﹣1} ．【解答】解：集合，可得M={y|y≥﹣2}，N={x|x≥﹣1}，则M∩N={z|z≥﹣1}．故答案为：{z|z≥﹣1}．7．（4分）函数y=的定义域是{x|x＜0，且x≠﹣1} ．【解答】解：若使函数y=的解析式有意义，自变量x须满足解得x＜0且x≠﹣1故函数的定义域为{x|x＜0，且x≠﹣1}故答案为：{x|x＜0，且x≠﹣1}8．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x+1，则f（x）的解析式为f（x）=．【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x+1，所以f（0）=0，则x＞0时，﹣x＜0，所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2+（﹣x）+1]=﹣x2+x﹣1．f（x）=，故答案为：f（x）=．9．（4分）已知函数y=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3（x∈R），写出y＞0的充要条件a≥1或a＜﹣．【解答】解：若y=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3＞0，则当a2﹣1=0，即a=1或a=﹣1，当a=1时，不等式等价为3＞0，满足条件．当a=﹣1时，不等式等价为﹣2x+3＞0，x＜，不满足条件．当a≠±1时，要使y＞0，则，即，得，，得a＞1或a＜﹣，综上a≥1或a＜﹣，反之也成立，故答案为：a≥1或a＜﹣10．（4分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是5．【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5当且仅当即x=2y=1时取等号故答案为：511．（4分）定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是2．【解答】解：由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），∵|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b⇔（﹣2，2（a+b）﹣2），∴2（a+b）﹣2=2，⇒a+b=2，∴a2+b2≥（a+b）2=2，当且仅当a=b时取等号，则a2+b2的最小值是2．故答案为：2．12．（4分）设[x]表示不超过x的最大整数，用数组组成集合A的元素的个数是76．【解答】解：根据题意，令A n=，显然0≤A n≤100，若A n=0，即0≤＜1，解可得：n=1、2、3、…9，若A n=1，即1≤＜2，解可得：n=10、11、…14，若A n=2，即2≤＜3，解可得：n=15、16、17，若A n=3，即3≤＜4，解可得：n=18、19，若A n=4，即4≤＜5，解可得：n=20、21、22，若A n=5，即5≤＜6，解可得：n=23、24，若A n=6，即6≤＜7，解可得：n=25、26，若A n=7，即7≤＜8，解可得：n=27、28，若A n=8，即8≤＜9，解可得：n=29，若A n=9，即9≤＜10，解可得：n=30、31，若A n=10，即10≤＜11，解可得：n=32、33，若A n=11，即11≤＜12，解可得：n=34，若A n=12，即12≤＜13，解可得：n=35、36，若A n=13，即13≤＜14，解可得：n=37，若A n=14，即14≤＜15，解可得：n=38，若A n=15，即15≤＜16，解可得：n=39，若A n=16，即16≤＜17，解可得：n=40、41，若A n=17，即17≤＜18，解可得：n=42，若A n=18，即18≤＜19，解可得：n=43，若A n=19，即19≤＜20，解可得：n=44，若A n=20，即20≤＜21，解可得：n=45，若A n=21，即21≤＜22，解可得：n=46若A n=22，即22≤＜23，解可得：n=47，若A n=23，即23≤＜24，解可得：n=48，若A n=24，即24≤＜25，解可得：n=49，当n≥50时，（n+1）2﹣n2=2n+1＞100，即当n≥50时，每一个n对应一个[]的值，故一共有25+51=76个不同的数值，即组成集合A的元素的个数是76；故答案为：76．二、选择题（本大趣共4题，每题4分，满分16分）13．（4分）若关于x的不等式|x﹣4|+|x+3|＜a有实数解，则实数a的取值范围是（）A．a＞7 B．a＞1 C．a≥1 D．1＜a＜7【解答】解：由于|x﹣4|+|x+3|表示数轴上的x对应点到4和﹣3对应点的距离之和，其最小值为7，再由关于x的不等式|x﹣4|+|x+3|＜a有实数解，可得a＞7，故选：A．14．（4分）判断函数f（x）=的奇偶性（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【解答】解：∵函数，∴f（﹣x）+f（x）=+==0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴函数是奇函数，故选：A．15．（4分）设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：∵a、b是正实数，∴①a+b≥2⇒1≥⇒≥．当且仅当a=b时取等号，∴①不恒成立；②a+b＞|a﹣b|⇒a＞|a﹣b|﹣b恒成立；③a2+b2﹣4ab+3b2=（a﹣2b）2≥0，当a=2b时，取等号，例如：a=2，b=1时，左边=5，右边=4×1×2﹣3×22=﹣4∴③不恒成立；④ab+≥2=2＞2恒成立．故选：D．16．（4分）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等价于x2+ax=0 ①或x2+ax+2=0 ②，又由A={1，2}，且A*B=1，∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，∴a=0；2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得a=±2，综上所述a=0或a=±2，∴C（S）=3．故选：B．三、解答题（本大题共5题，满分56分10'+10'+10'+12'+14'=56'）17．（10分）已知集合A={x|}，实数a使得集合B={x|（x﹣a）（x﹣5）＞0}满足A⊆B，求a的取值范围．【解答】解：A=（3，4）…..（2分）a≥5时，B=（a，+∞）∪（﹣∞，5），满足A⊆B；…..（6分）a＜5时，B=（5，+∞）∪（﹣∞，a），由A⊆B，得a≥4，故4≤a＜5，…..（10分）综上，得实数a的取值范围为a≥4．…..（12分）18．（10分）（1）试用比较法证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（m，n，a，b∈R）（2）已知x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．【解答】（1）证明：左边=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2，右边=a2x2+2abxy+b2y2，左边﹣右边=a2y2+b2x2﹣2abxy=（ay﹣bx）2≥0，…（2分）∴左边≥右边，命题得证．…（3分）（2）解：∵x2+y2=2，∴由柯西不等式得：（x2+y2）（）≥，…（5分）∴的最小值为．…（7分）19．（10分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），则（0＜x≤210），（4分）当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（6分）（2）设年利润为u（万元），则=．（11分）所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．（12分）20．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．21．（14分）已知集合A={x|x=m2﹣n2，m、n∈Z}（1）判断8，9，10是否属于集合A；（2）已知集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；（3）写出所有满足集合A的偶数．【解答】解：（1）∵8=32﹣1，9=52﹣42，∴8∈A，9∈A，假设10=m2﹣n2，m，n∈Z，则（|m|+|n|）（|m|﹣|n|）=10，且|m|+|n|＞|m|﹣|n|＞0，∵10=1×10=2×5，∴或，显然均无整数解，∴10∉M，∴8∈A，9∈A，10∉A，（2）∵集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，则恒有2k+1=（k+1）2﹣k2，∴2k+1∈A，∴即一切奇数都属于A，又∵8∈A，∴x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”，（3）集合A={x|x=m2﹣n2，m、n∈Z}，m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）成立，①当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，（m﹣n）（m+n）为4的倍数，②当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，综上所有满足集合A的偶数为4k，k∈Z．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2016-2017年上海市七宝中学高二(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年上海市七宝中学高二（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．2．（3分）已知向量，，若，则实数x的值是．3．（3分）球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．4．（3分）一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．5．（3分）正四面体侧面与底面所成二面角的余值．6．（3分）圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为．7．（3分）如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8．（3分）把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9．（3分）下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a ∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是．10．（3分）由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式．11．（3分）如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为．12．（3分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）二.选择题13．（3分）已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交14．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π15．（3分）连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD 的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．（3分）四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O1且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆的面积S=πab）．2016-2017学年上海市七宝中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，∴AD⊥A1B，∴异面直线A1B与AD所成的角大小为．故答案为：．2．（3分）已知向量，，若，则实数x的值是﹣4或1．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【解答】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x=0整理得到x2+3x﹣4=0，解得x=﹣4或1．故答案为：﹣4或1．3．（3分）球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【解答】解：∵球的表面积为16πcm2，∴S=4πR2=16π，即R=2∴V==×8=故答案为：4．（3分）一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是平行．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：假设直线a与平面α相交，则A，B，C三点中必有两个点在平面α同一侧，不妨设为A，B，过A，B分别作平面α的垂线，垂足为M，N，则AM∥BN，AM=BN，∴四边形AMNB是平行四边形，∴AB∥MN，又MN⊂α，AB⊄α，∴AB∥α，这与假设直线a与平面α相交矛盾，故假设错误，于是直线a与平面α平行．故答案为：平行．5．（3分）正四面体侧面与底面所成二面角的余值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，∴正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故答案为：．6．（3分）圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π．故答案为：4π．7．（3分）如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是直角三角形（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）【考点】LB：平面图形的直观图．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图；故答案为：直角三角形．8．（3分）把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离R•arccos（结果用反三角表示）【考点】HV：反三角函数．【解答】解：设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R•cos30°= R，根据A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，可得∠AO1B=60°，∴△AO1B为等边三角形，即AB=r=R．△AOB中，由余弦定理可得AB2=R2=R2+R2﹣2R2•cos∠AOB，求得cos∠AOB=，∴∠AOB=arccos，∴A、B两点间的球面距离=R•∠AOB=R•arccos，故答案为：R•arccos．9．（3分）下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a ∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是（4）．【考点】MI：直线与平面所成的角．【解答】解：对于（1），当n条斜线段与平面所成角不等时，斜线段长相等，它们在平面内的射影长不相等，故（1）错误；对于（2），直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b或a与b异面，故（2）错误；对于（3），与同一平面所成的角相等的两条直线位置关系有平行、相交或异面，故（3）错误；对于（4），当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成角为0°角，平面内所有直线与该直线所成角都大于等于0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°，平面内所有直线与该直线所成角都等于90°；当直线为平面的斜线OA时，如图，过A作AB⊥α，垂足为B，则直线与平面所成角为∠AOB=θ，若平面内直线l与OB平行（或是OB），l与OA所成角为θ；若l与OB不平行，平移直线l过O，过B作BC⊥l=C，连接AC，l与OA所成角为∠AOC，∵sinθ=，sin∠AOC=，而AC＞AB，∴sin∠AOC＞sin∠θ，有∠AOC＞∠θ，故（4）正确．综上，正确命题的序号是（4）．故答案为：（4）．10．（3分）由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式V1=V2．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积．【解答】解：设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π（22﹣2|y|）S2=π（4﹣y2）﹣π[1﹣（|y|﹣1）2]=π（22﹣2|y|），∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，即V1=V2．故答案为：V1=V2．11．（3分）如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为，，．【考点】M8：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：∵=，=，=，=，=，∴=+．∴，．故答案为：，，．12．（3分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是[，] 、{3} （用集合表示）【考点】L2：棱柱的结构特征．【解答】解：连结A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B设平面α与平面ABB1A1的交线为EF，则AC1⊥EF，∴EF∥A1B，同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设=λ，则=B1E=λ，∴=1﹣λ，∴EF+DE=λ+（1﹣λ）=，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长l为定值3．∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积为=，当截面为正三角形时，截面面积最小，最小面积为=．故答案为：，．二.选择题13．（3分）已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【解答】解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则m∥n．故选：B．14．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选：B．15．（3分）连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD 的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】L*：球面距离及相关计算．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选：C．16．（3分）四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．【考点】J3：轨迹方程；LY：平面与平面垂直．【解答】解：∵MP=MC，∴M在PC的中垂面α上，点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线，∵ABCD为正方形，侧面PAD为等边三角形，∴PD=CD，取PC的中点N，有DN⊥PC，取AB中点H，可证CH=HP，∴HN⊥PC，∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是HD．故选：B．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MI：直线与平面所成的角．【解答】解：（Ⅰ）连接FE，由已知可得FA⊥平面ABC∴∠FEA即为FE与底面所成角∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点∴AE=∵△AEF中AF=，AE=∴∠AEF=45°即FE与底面所成角45°（Ⅱ）取AB的中点G，连接FG，EG则可得FG∥BA1所以∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）由（Ⅰ）可得FE=2，为FG=，EG=1所以可得∠GFE=30°异面直线EF和A1B所成角的大小为30°18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【解答】解：（1）该储蓄罐的直观图如右图所示．（4分）（2）若设AD=a，则五边形CDEFG的面积为，得容积，解得a=10，（8分）其展开图的面积，因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2．（12分）19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．【考点】L3：棱锥的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：（1）如图，连接AC、AB1，由，知A1ACC1是平行四边形，则，所以∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角．﹣﹣﹣﹣﹣（2分）在△B 1CA中，，，则，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给（3分），有解答的再给（5分）．而提出一些没有多大价值的问题则不给分．若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣（3分）问题解答：如图，因为DD1∥平面B1BCC1，所以D1D上任意一点到平面B1BCC1的距离相等，因此三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）而，所以三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）说明：1）若提出的问题为求三棱锥E﹣B1BC的体积，则根据上述解答相应给分．2）若在侧面B1BCC1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在侧面A1ABB1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣（3分）为定值，问题解答：因为，知S△ADC随着DE增大而增大，又因为则三棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADCDE∈（0，8），﹣﹣﹣﹣（3分）即三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣（2分）说明：1）若提出的问题是求三棱锥E﹣ADC的体积范围，也可相应给分．=8，而，DE∈（0，8），﹣﹣﹣﹣（3分）解答：因为S△ADC则．﹣﹣﹣﹣（2分）．2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在底面A1B1C1D1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），可相应给分．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AD=AC=a．在△PAB中，由PA=AB=a，知PA2+AB2=2a2=PB2，则PA⊥AB．同理PA⊥AD．又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD；（2）解：在棱PB上不存在点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥．事实上，假设在棱PB上存在点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥．过F作底面ABC的垂线，垂直为O，则O为△ABC的中心，在平面PAB内，过F作FM∥PA，交AB于M，则FM⊥平面PAB，这样，过平面ABC外一点F，有两条直线FO，FM与平面ABC垂直，错误．故假设不成立，即在棱PB上不存在点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥．（3）解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，作GH ⊥AC于点H，连接EH，则EH⊥AC，∴∠EHG为二面角E﹣AC﹣D的平面角，大小为θ．∵PE：ED=2：1，∴a，AG=a，a．从而，即．21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O1且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆的面积S=πab）．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解答】解：（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥侧面展开图的半径为l，弧长为2πr，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴2πr=πl，∴l=2r，∴圆锥的轴截面为等边三角形，∴圆锥的母线与底面所成的角为．（2）设抛物线的顶点M，则M为AC的中点，设抛物线方程为y2=2px，把y=r代入抛物线方程得x=，∴OM=，于是母线l=AB=2OM=，又由（1）可知l=2r，即=2r，∴r=2p，l=4p，∴圆锥的全面积为πr2+πrl=12πp2．（3）设AB的中点为N，则N和C为椭圆的长轴顶点，取CN的中点P，则P为椭圆的中心，连接AP并延长，交BC于Q，过Q作QR ⊥BC，交圆锥底面圆周于R，则CN=2a=r，即r=，过N作NS∥BC交AQ于S，由△NPS∽△CPR可知QC=NS，又，∴Q为BC靠近C的三等分点，∴QR=，AQ=，AP=，∴=，∴b=r，即b=a，∴椭圆面积S=πab=．。
上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷
上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷一、填空题1．直线l 过点()1,2，法向量为()1,2n =r，则l 的一般式方程为. 2．已知集合{}31,|03,2A xB x x x N x ⎧⎫=<-=<<∈⎨⎬-⎩⎭，则A B =I . 3．已知i 为虚数单位，3i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚根，则p q +=. 4．若2510a b ==，则11a b+=5．已知直线:30l x y +-=，点(3,)M m 到直线l m =6．若将直线y ＝3x －3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为． 7．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为α，大正方形的面积为1，小正方形的面积是13，则sin cos αα+=．8．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是．9．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 10．如图，1==u u u r u u u r OA OB ，2π,3OA OB =u u u r u u u r ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，则CA CBu u u r u u u r g 的取值范围是.11．已知函数()2221,0log ,0x x x f x x x ⎧--+<⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，41223416x x x x x ⋅++⋅的取值范围是.. 12．设定义域为[]12,x x 的函数()y f x =的图象为C ，图象的两个端点分别为A 、B ，点O 为坐标原点，点()(),M x f x 是C 上任意一点，向量()()1122,,,OA O x y x y B ==u u u r u u u r，且满足()()12101x x x λλλ=+-<<，又设向量()1ON OA OB λλ=+-u u u r u u u r u u u r，现定义函数()y f x =在[]12,x x 上“可在标准k 下线性近似”是指MN k ≤u u u u r恒成立，其中0k >为常数.给出下列结论：①A 、B 、N 三点共线；②直线MN 的法向量可以为()1,0a =r；③函数25y x =在[]0,1上“可在标准1下线性近似”；④函数1y x x =-在[]1,2上“可在标准k 下线性近似”，则32k ≥其中所有正确结论的序号为.二、单选题13．已知非零平面向量a r ，b r ，那么“a b μ=r r”是“a b a b +=-r r r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知i 为虚数单位，复数z 满足1i z z +=-，则i z +的最小值为（ ）AB ．12C ．13D ．015．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，k 为常数且,2k k ∈≥N ，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列，则120k a a a ⋅=L L 是12210k S S S -⋅=L L 的充分非必要条件，②若{}n a 是等比数列，则10k k a a ++=是120k S S S ⋅=L L 的充要条件，那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①、②都是真命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①、②都是假命题16．若存在常数a ，b ，使得函数()y f x =对定义域内的任意x 值均有()()22f x f a x b +-=，则()y f x =关于点(),a b 对称，函数()y f x =称为“准奇函数”.现有“准奇函数”()y g x =，对于任意x ∈R ，都有()()4g x g x +-=，则函数()()sin 21h x x x g x =++-在区间[]2024,2024-上的最大值与最小值的和为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列. (1)求{}n a 的通项公式：(2)若272n a n b -=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →+∞. 18．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，BC 边上的高AD 所在直线的方程为220x y -+=，A ∠的平分线所在直线的方程为0y =，点B 的坐标为()1,3.(1)求直线BC 的方程；(2)求直线AC 的方程及点C 的坐标.19．如图，某城市为升级沿河直线绿道AB 的沿途风景，计划在以AB 为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林CDEF （C ，D 在AB 上，E ，F 在半圆上，O 为圆心），已知AB 全长160m .(1)求枫叶林CDEF 面积的最大值；(2)为方便游客休憩打卡，计划在AB 的另一侧修建观景木质栈道A G B --，已知AG 段每米的造价为a 元，BG 段每米的造价是AG 段的两倍，π3AGB ∠=，求修建观景木质栈道A G B --所需的费用最多为多少元（结果用a 表示）.20．已知函数21()2x x f x a+=+为奇函数．(1)求实数a 的值；(2)求关于x 的不等式()3f x >的解集；(3)设函数22()log log 24x xg x m =⋅+，若对任意的1[2,8]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得()()12g x f x =成立，求实数m 的取值范围．21．已知直线:0l ax by c ++=和点00(,)P x y ，点P 到直线l 的有向距离(,)d P l 用如下方法规定：若0b ≠，(,)d P l =，若0b =，0(,)ax cd P l a+=． (1)已知直线1:34120l x y -+=，直线2:230l x +=，求原点O 到直线12,l l 的有向距离12(,),(,)d O l d O l ；(2)已知点(2,1)A 和点(3,1)B -，是否存在通过点A 的直线3l ，使得3(,)2d B l =？如果存在，求出所有这样的直线3l ，如果不存在，说明理由；(3)设直线4:cos 2sin 20l x y αα+-=，问是否存在实数0t >，使得对任意的参数α都有：点12(,0),(,0)F t F t -到4l 的有向距离()()1424,,,d F l d F l 满足()()1424,,1d F l d F l ⋅=？如果满足，求出所有满足条件的实数t ；如果不存在，请说明理由．。
上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案和详细解析)
所以 tan
b
，结合离心率公式即可得解.
a
b
x 的倾斜角为 ，则 2 60 ，即 30 ，
a
b
3
b2 2 3
，离心率 e 1 2
.
a
3
a
3
2 3
, .
故答案为：
3
9．直线 l 的方程为 2 x 2 1 y 3 0 R ，当原点 O 到直线 l 的距离最大时，
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8．已知 O a 0, b 0 的右支上存在两点 A ， B ，使得
a2 b2
AOB 60 ，则 C 的离心率的取值范围是.
2 3
,
【答案】
3
【分析】由题意得出 30 ，其中 tan
3
由直线的夹角公式可得 tan
2
1
3
π
π
1 ，又 [0, ] ，所以 .
1
4
2
1 ( 2) ( )
3
π
故答案为： .
4
2．平行直线 l1 : 3 x 4 y 1 0 与 l2 : 6 x 8 y 1 0 之间的距离是.
【答案】
1
的值为．
【答案】
1
3
【分析】整理直线方程，建立方程组，求其定点的坐标，结合直线垂直的斜率公式，可得答
案.
【详解】由 2 x 2 1 y 3 0 ，整理可得 x 2 y 1 2 x y 3 0 ，
x 2 y 1 0
上海市2018-2019学年度七宝中学高三第二学期数学开学考试卷(解析版)
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷（3月份）一、填空题1．已知复数z满足z（1+i）＝2（i是虚数单位），则|z|＝．2．已知集合A＝{x||x﹣1|＜2，x∈R}，B＝{x|2x≥1，x∈R}，则A∩B＝．3．已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），则f﹣1（0）＝．4．已知a，b＞0，2a＝3b＝m，且a、ab、b成等差数列，则m＝5．若二项式（x+）6展开式的常项数为20，则a＝．6．实数x，y满足不等式组，那么目标函数z＝2x+4y的最小值是．7．长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，且AB＝BC＝2，AA1＝2，则A、B两点之间的球面距离为．8．已知F1，F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是．9．已知数列{a n}中，若a1＝0，a i＝k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k＝1，2，3，…），则满足a i+a2i ≥100的i的最小值为．10．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．11．已知函数f（x）＝，记a n＝f（n）（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．12．设整数n≥3，集合P＝{1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：．二、选择题13．函数的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π14．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行15．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．B．C．D．16．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f（x）＝sin（x）；②f（x）＝2x2﹣1；③f（x）＝|1﹣2x|；④f（x）＝log2（2x﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．①②③B．②③C．①③D．②③④三、解答题17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1＝2，E为棱CC1的中点．（1）求异面直线AE与BC1所成角的大小；（2）求三棱锥B1﹣ADE的体积．18．已知向量，，函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B 为锐角，且f（B）＝1，求的值．19．记数列{a n}的前n项和为S n，其中所有奇数项之和为S n′，所有偶数项之和为S n″．（1）若{a n}是等差数列，项数n为偶数，首项a1＝1，公差d＝，且S n″﹣S n′＝15，求S n；（2）若数列{a n}的首项a1＝1，满足2tS n+1﹣3（t﹣1）S n＝2t（n∈N*），其中实常数t∈（，3），且S n′﹣S n″＝，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列．20．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F为圆C：x2+y2﹣4x+3＝0的圆心．（1）求抛物线的方程与其准线方程；（2）直线l与圆C相切，交抛物线于A，B两点；①若线段AB中点的纵坐标为4，求直线l的方程；②求的取值范围．21．若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）＝，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）＝log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y＝f（x）（x∈R）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．参考答案一、填空题1．【解答】解：∵z（1+i）＝2，∴，则|z|＝．故答案为：．2．【解答】解：A＝{x||x﹣1|＜2，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2x≥1，x∈R}＝{x|x≥0}，则A∩B＝{x|0≤x＜3}＝[0，3）故答案为：[0，3）3．【解答】解：f（x）＝，∴f﹣1（x）＝，∴f﹣1（0）＝﹣1故答案为：﹣14．【解答】解：∵a，b＞0，2a＝3b＝m≠1，∴a＝，b＝．∵a、ab、b成等差数列，∴2ab＝a+b，∴2××＝+．∴lgm＝＝＝lg．则m＝．故答案为：．5．【解答】解：二项式（x+）6展开式的通项公式：T r+1＝x6﹣r＝a r x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3．∴常项数为20＝a3，则a＝1．故答案为：1．6．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z＝2x+4y过（3，﹣3）时，Z取得最小值﹣6．故答案为：﹣6．7．【解答】解：由AB＝BC＝2，AA1＝2，得AC1＝BD1＝4，∴△ABO为正三角形，∠AOB＝，∴A，B两点间的球面距离为2×＝，故答案为：．8．【解答】解：，因为2≤PF1≤6且函数在x∈[2，6]上单调递增，所以，故．故答案为：[0，2]．9．【解答】解：∵a i＝k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k＝1，2，3，…），∴a i+a2i＝k2+（k+1）2≥100，故k≥7；故i的最小值为27＝128，故答案为：128．10．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴＝﹣18cosθ+6sinθ+18＝12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．11．【解答】解：要使函数f（x）＝x2﹣3tx+18在x≤3（x∈N*）时单调递减，则＞，解得t；要使函数f（x）＝在x＞3单调递减，则必须满足t﹣13＜0，解得t＜13．又函数f（x）在x∈N*时单调递减，则f（3）＝27﹣9t＞f（4）＝（t﹣13）•，解得t ＜4．故t的取值范围是．故答案为：．12．【解答】解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，故A的个数为：++…+＝2k﹣1，B中必不含元素1，2，…，k，另元素k+1，k+2，…，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：++…+＝2n﹣k﹣1，从而集合对（A，B）的个数为2k﹣1•（2n﹣k﹣1）＝2n﹣1﹣2k﹣1，∴a n＝（2n﹣1﹣2k﹣1）＝（n﹣1）•2n﹣1﹣＝（n﹣2）•2n﹣1+1．故答案为：（n﹣2）•2n﹣1+1．二、选择题13．【解答】解：∵＝2sin（2x+），∴最小正周期T＝＝π．故选：C．14．【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．15．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有A33•A66•A72种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：．故选：B．16．【解答】解：①函数f（x）＝sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A＝[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A＝[﹣1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A＝[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A＝[﹣1，1]一个．③A＝[0，1]为函数f（x）＝|2x﹣1|的“可等域区间”，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，函数单调递增，f（0）＝1﹣1＝0，f（1）＝2﹣1＝1满足条件，∴m，n取值唯一．故满足条件．④∵f（x）＝log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），若存在“可等域区间”，则满足，即，∴m，n是方程2x﹣2x+2＝0的两个根，设f（x）＝2x﹣2x+2，f′（x）＝2x ln2﹣2，当x ＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）＝2x﹣2x+2＝0不可能存在两个解，故f（x）＝log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”．故选：B．三、解答题17．【解答】解：（1）取BC的中点，连接EF、AF，因为EF∥BC1，所以∠AEF（或其补角）为异面直线AE与BC1所成角，又AE＝＝3，EF＝，AF＝，所以cos∠AEF＝＝，又0＜∠AEF＜π，所以异面直线AE与BC1所成角的大小为，故答案为（2）取BB1的中点H，连接EH，则EH∥AD，则V＝V＝V＝V＝＝，故答案为：．18．【解答】解：（Ⅰ）＝＝﹣2＝＝＝．故f（x）max＝1，此时，得．所以取得最大值的x的集合为{x|}．（Ⅱ）由f（B）＝，又∵0＜B＜，∴．∴，∴．由a，b，c成等比数列，则b2＝ac，∴sin2B＝sin A sin C．∴＝＝．19．【解答】解：（1）若数列{a n}项数n为偶数，由已知，得S″﹣S'＝15＝，解得n ＝20，Sn＝1×20+＝305．（2）在2tS n+1﹣3（t﹣1）S n＝2t（n∈N*）中，令n＝1，得a2＝，∵2tS n+1﹣3（t﹣1）S n＝2t（n∈N*）①可得2tS n﹣3（t﹣1）S n﹣1＝2t（n∈N*，n＞1）②①减去②得：＝，且，∵t∈（，3），∴0＜||＜1，．（当t＝1时，数列为1，0，0…，显然不合题意）所以，{a n}是首项a1＝1，公比q＝的等比数列，且公比0＜|q|＜1，设项数n＝3，∵S'﹣S″＝，∴∴，解得或（舍），由解得，∈（，3），所以，当t＝﹣2时，对应的数列为1，，．设数列{a n}为无穷数列，由题意，得S'＝，S″＝，∵S'﹣S″＝，∴＝，∴q＝﹣，由＝﹣解得∈（，3），∴当t＝时，对应的数列为：1，﹣，，……．20．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣4x+3＝0配方可得：（x﹣2）2+y2＝1，可得圆心C（2，0）．∴抛物线的焦点F（2，0）．∴＝2，解得p＝4．∴抛物线的准线方程为：x＝﹣2．（2）设直线l的方程为：my+t＝x，A（x1，y1），B（x2，y2）．∵直线l与圆C相切，∴＝1，化为：（t﹣2）2＝m2+1≥1．∴t≥3，或t≤1．联立，化为：y2﹣8my﹣8t＝0，△＝64m2+32t＞0．∴t＞﹣2m2．∴t≥3，或﹣2m2＜t≤1．∴y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8t．①∵线段AB中点的纵坐标为4，∴4m＝4，∴m＝，∴（t﹣2）2＝m2+1＝4，解得t＝0或t＝4，故直线l的方程为x﹣y＝0或x﹣y﹣4＝0②•＝（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（my1+t﹣2）（my2+t﹣2）+y1y2＝（m2+1）y1y2+m（t﹣2）（y1+y2）+（t﹣2）2＝﹣8t（m2+1）+8m2（t﹣2）+（t﹣2）2＝﹣8t（t﹣2）2+8[（t﹣2）2﹣1]（t﹣2）+（t﹣2）2＝﹣15t2+52t﹣44，＝﹣15（t﹣）2+∈（﹣∞，﹣7]．∴的取值范围是（﹣∞，﹣7]．21．【解答】解：（1）若函数f（x）＝，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥＝恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）＝log2x的定义域为（0，+∞），令x1＝，x2＝，则f（）﹣f（）＝log2﹣log2＝﹣1﹣（﹣2）＝1，而2|x1﹣x2|＝，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）＝log2x不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）＝M，f（b）＝m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m＝f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m＝f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。
上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)
七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．函数的定义域为______．2．计算______．3．已知是1与9的等比中项，则正实数______．4．在的展开式中，的系数为______（用数字作答）．5．在复平面内，复数对应的点位于第______象限。
6．已知，则______．7．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______．8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）．9．已知函数．在中，，且，则______．10．如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段y =(4log =a a =4(x -2x 2ii-π1sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭{}22,,A a a x y x y ==+∈N ,x y A ()f x '()f x ()f x y e '=()f x ,,,a b c d ()22cos 2xf x x =+ABC △()()f A f B =a b ≠C ∠=,AD BC O ,,,AB AD BC CD {}1,3,5,,90x ABO DCO ∠=∠=︒x 24y x =F ,,l A B π3AFB ∠=AB的中点在准线上的投影为，则的最大值是______．12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D14．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）A ．不存在，使得的倾斜角为B ．对任意的与都不垂直C ．存在，使得与重合D ．对任意的与都有公共点15．一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．816．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．M l N MNAB(0,1)λλλ>≠,,a b c 1,2,1a c b a b ===⋅=1122c a c b ++-a 1a a>2211a a a a+≥+12a a+>-≥-1:10l x y --=()()2:10l k x ky k k +-+=∈R k 2l π21,k l 2l k 1l 2l 1,k l 2l 3n ≥12,,,n a a a k k S 1k k S S +>11k n ≤≤-3n ≥12,,,n a a a 3n ≥12,,,n a a a 1111ABCD A B C D -P 1BD 11D PD Bλ=（1）求证：；（2）若异面直线与所成角为，求的值．18．已知点是坐标原点．（1）若，求的值：（2）若实数满足，求的最大值．19．英语学习中学生喜爱用背单词"神器"提升自己的英文水平，为了解上海中学生和大学生对背单词“神器”的使用情况，随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款背单词“神器”，结果如下：百词斩扇贝单词秒词邦沪江开心词场中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对背单词“神器”的喜爱互不影响．（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用“百词斩”的概率；（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记X 为这3人中最喜爱使用“扇贝单词”的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为的方差为．写出的大小关系．（结论不要求证明）20．在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．（1）求该粗圆的离心率；（2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值；（3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．21．若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为．已知曲线1AP B C ⊥AP 11D B π3λ()())1,1,1,1,,A B CO θθ-BC BA -=sin2θ,m n π,0,2mOA nOB OC θ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭22(3)m n ++1234,,,x x x x 21s 1234,,,y y y y 2212341234;,,,,,,,s x x x x y y y y 23s 222123,,s s s 12,F F 22143x y +=1F l ,A B 2F l d l 2F AB △11,,AF l BF d k 12,l l ():C y f x =12,l l C C 12,l l 12,l l C C k ()d k．（1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；（2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由．（3）对于任意的正实数，函数是否都存在"双夹线"？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．2025届七宝中学高三（上）期中考试参考答案一、填空题1、； 2、； 3、3； 4．18； 5、四；6．；7、； 8、a ； 9、；10、4；11、1； 12、10、【答案】412、【答案】二、选择题13～16、BDBC三、解答题17、（1）证明：如图，连接．由已知可得，平面平面，所以，又是正方形，所以，又平面平面，所以平面，又动点在对角线上，所以平面，所以平面，所以．():sin C f x mx n x =+0,1m n ==C 1,1m n ==-1:1l y x =+2:1l y x =-()y f x =()d k ,m n ()y f x =()d k ()1,+∞3412{}0,1,2,4π311,BC AD AB ⊥111,BCC B B C ⊂11BCC B 1AB B C ⊥11BCC B 11B C BC ⊥1BC ⊂11,ABC D AB ⊂111,ABC D AB BC B = 1B C ⊥11ABC D P 1BD P ∈11ABC D AP ⊂11ABC D 1AP B C ⊥（2）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，设，则，则．由已知，可得，设点，则，所以，所以，即，所以，．又异面直线与所成角为，所以，即，解得或0，因为，所以满足条件．18、【答案】（1）； （2）16．19、【答案】（1）； （2）； （3）20．【答案】（1）； （2 （3）．21、【答案】（1）存在；（2）是，3）是，C 1CD CB CC 、、x y z 、、1CD =()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,0C D B C D B A ()11111,1,0,D B D B =-=11D PD Bλ=11D P D B λ= ()000,,P x y z ()10001,,1D P x y z =-- 00011x y z λλλ-=-⎧⎪=⎨⎪-=-⎩00011x y z λλλ=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩()1,,1P λλλ-+-+(),1,1AP λλλ=---+AP ==AP 11D B π311π1cos ,cos 42AP D B 〈==〉 11cos ,2AP D 1λ=01λ<<45λ=12-320[]34E X =222231s s s <<12()d k =()0)d k n =>。
2017年七宝中学高一年级下学期期中考试数学试卷
2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高一年级下学期期中考试数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第__________象限．【答案】 三 【解析】20160=3600´5+21602160在第三象限2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________．【答案】2【解析】圆心角a =l r =168=2 3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+__________．【答案】41【解析】sin a -cos a sin a +2cos a =tan a -1tan a +2=2-12+2=144． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ___________． 【答案】10103 【解析】)⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∴⎝⎛∈2,42,2ππθππθ 02sin >θ542sin21cos 2-=-=∴θθ101032sin =∴θ 5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A=，则ABC ∆的形状一定是_____________三角形.【答案】等腰【解析】cos cos sin cos sin cos a B b A A B B A =∴=Qsin cos sin cos 0sin()0A B A B A B -=∴-=Q\A =B6． 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的 图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是_____________． 【答案】()2sin()6f x x π=π+ 【解析】由图像可知A =2,T 4=56-13=12,所以T =2,w =2p T=p 若将点P (13,2)代入y =2sin(p x +j ),得sin p 3+j æèçöø÷=1,又j <p2，所以j =p6,故所求解析式为f (x )=2sin p x +p 6æèçöø÷(k ÎR ) 7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________． 【答案】11{,}412ππ【解析】根据题目信息可得2pw =p ，w =2 \f (x )=2sin(2x +p3)=1\sin(2x +p3)=12 (]7513110,2(,)2,333366412x x x or x πππππππππ∈∴+∈+=∴=Q ， 8． 设锐角βα、满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=__________． 【答案】4π【解析】由题意可知，cos a =255,sin b =1010故cos a +b ()=cos a cos b -sin a sin b =255´31010-55´1010=22又0<a +b <p ，故a +b =p49. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________．【答案】89 【解析】22211119cos 2sin 12sin sin 2(sin sin )12(sin )216848y x x x x x x x =+=-+=--+++=--+\当x =14,函数取最大值9810． 设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是____________．【答案】]2,4[ππ-【解析】∵x =cos a ,a Î-p 4,3p 4éëêùûú\-22£cos a £1,即122≤≤-x 由反正弦函数的定义可得,2arcsin 4ππ≤≤-x 即arcsin x 的取值范围为-p 4,p 2éëêùûú 11． 某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为____________． 【答案】sin αα+【解析】由正弦定理得BC =2R sin a =2sin a 连接BO ，CO ，该图形面积为1´2sin a ´12+2ap360=sin a +a12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为___________． 【答案】0 【解析】∵csc x =1sin x则(sin x +csc x )2=sin 2x +csc 2x +2 即sin 2x +csc 2x =(sin x +csc x )2-2第11题22()(sin csc )(sin csc )f x x x x x ∴=+-+=2219(sin csc )(sin csc )2sin csc 24x x x x x x ⎛⎫+-+-=+-- ⎪⎝⎭1sin csc sin 2sin x x x x+=+≥Q 219()(2)024f x ∴≥--=二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( ) 【A 】()cos 2f x x = 【B 】 函数()f x 的图像关于直线0x =对称 【C 】 ()f x 的最小正周期为π 【D 】 ()f x 的对称中心为(,0),k k Z π∈ 【答案】D【解析】22()cos sin cos 2f x x x x =-=()()cos 2cos2()f x x x f x -=-==，所以()f x 是偶函数，图像关于y 轴即0x =对称 ()f x 的最小正周期22T ππ==，()f x 的对称中心为(,0),24k k Z ππ+∈ 故选D14．在ABC ∆中，3,2,3ac B π===，则=b …………………………………… ( ) 【A 】 19 【B 】 7【C【D 【答案】D【解析】由余弦定理得：2222cos 94232cos 73b ac ac B π=+-=+-⨯⨯⨯=故选D 15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x……………………………… ( ) 【A 】2m 【B 】2m ±【C【D 】 【答案】C 【解析】cos 6x m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭则cos cos cos cos cos sin sin 333x x x x x πππ⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭3cos 26x x x π⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ 故选C16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ= ……………( )【A 】512π【B 】 3π【C 】 4π【D 】 6π【答案】D【解析】本题考查三角函数的图像和性质的相关知识。
2018-2019学年度第二学期上海市七宝中学期末考试 高一数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一（下）期末数学试卷一.填空题1．（3分）方程cos x＝sin的解为x＝．2．（3分）设{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝π，则a2+a8＝．3．（3分）求值：＝．4．（3分）函数y＝arccos（sin x），的值域是．5．（3分）设数列{a n}的前n项和S n，若a1＝﹣1，S n＝0（n∈N*），则{a n}的通项公式为．6．（3分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n＝k”变到“n＝k+1”时，左边增加了项．7．（3分）若f（x）＝2sin x﹣1在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）上至少含有30个零点，则b﹣a的最小值为．8．（3分）设数列{an}的通项公式为a n＝，则（a1+a2+…+a n）＝．9．（3分）已知数列{a n}中，其前n项和为S n，，则S9＝10．（3分）对于正项数列{a n}，定义为{a n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{a n}的通项公式为．11．（3分）△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，则A的取值范围为．12．（3分）关于x的方程x2﹣4 arctan（cos x）+π•a2＝0只有一个实数根，则实数a＝．13．（3分）等差数列{a n}前n项和为S n，已知（a2﹣2）3+2013（a2﹣2）＝sin，（a2013﹣2）3+2013（a2013﹣2）＝cos，则S2014＝．14．（3分）数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下运算和结论：①a24＝；②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为T n＝；④若存在正整数k，使S k＜10，S k+1≥10，则a k＝．其中正确的结论是．（将你认为正确的结论序号都填上）二.选择题15．（3分）已知{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，且＝2，S n＝a1+a2+…+a n，则的值为（）A．2B．﹣1C．1D．不存在16．（3分）设{a n}是公比为q（0＜|q|＜1）的无穷等比数列，若{a n}的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列{a2n﹣1}是（）A．公比为的等比数列B．公比为的等比数列C．公比为或﹣的等比数列D．公比为或﹣的等比数列17．（3分）函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为（）A．B．C．D．18．（3分）若数列{a n}的前n项和为S n，则下列命题：（1）若数列{a n}是递增数列，则数列{S n}也是递增数列；（2）数列{S n}是递增数列的充要条件是数列{a n}的各项均为正数；（3）若{a n}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2…S k＝0的充要条件是a1•a2…a k＝0．（4）若{a n}是等比数列，则S1•S2…S k＝0（k≥2，k∈N）的充要条件是a n+a n+1＝0．其中，正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个三.解答题19．已知函数f（x）＝x2+（2﹣n）x﹣2n的图象与x轴正半轴的交点为A（a n，0），n＝1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有b n+1＞b n？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）＝2sin x cos x+3sin2x+cos2x﹣2，x∈R；（1）求函数f（x）在（0，π）上的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）＝2，C＝．，c＝2，求△ABC的面积S△ABC的值；21．已知函数f（x）＝2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω＝1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象．对任意a∈R，求y＝g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．22．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝，b n＝a2n﹣2；（1）求a2、a3、a4；（2）求证：数列{b n}为等比数列，并求其通项公式；（3）求和T n＝a2+a4+…+a2n；23．已知{a n}，{b n}为两非零有理数列（即对任意的i∈N*，a i，b i均为有理数），{d n}为一无理数列（即对任意的i∈N*，d i为无理数）．（1）已知b n＝﹣2a n，并且（a n+b n d n﹣a n d n2）（1+d n2）＝0对任意的n∈N*恒成立，试求{d n}的通项公式．（2）若{d n3}为有理数列，试证明：对任意的n∈N*，（a n+b n d n﹣a n d n2）（1+d n2）＝1恒成立的充要条件为．（3）已知sin2θ＝（0＜θ＜），d n＝，试计算b n．2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）方程cos x＝sin的解为x＝2k（k∈Z）．【解答】解：因为方程cos x＝sin＝cos＝cos（﹣），所以x＝2kπ±（k∈z），故答案为：2kπ±（k∈z）．2．（3分）设{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝π，则a2+a8＝．【解答】解：∵a1+a5+a9＝π＝3a5，∴a5＝，∴a2+a8＝2a5＝，故答案为：3．（3分）求值：＝．【解答】解：由题意，sin[arccos（﹣）]＝＝．故答案为：．4．（3分）函数y＝arccos（sin x），的值域是．【解答】解：当时，＜sin x≤1，由于反余弦函数是定义域[﹣1，1]上的减函数，且arccos（﹣）＝，arccos1＝0，所以值域为故答案为：．5．（3分）设数列{a n}的前n项和S n，若a1＝﹣1，S n＝0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n＝．【解答】解：n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+1﹣，化为：a n+1＝3a n．n＝1时，﹣1＝a1＝a2，解得a2＝﹣2．不满足上式．∴数列{a n}在n≥2时成等比数列．∴n≥2时，a n＝﹣2×3n﹣2．∴a n＝．故答案为：a n＝．6．（3分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n＝k”变到“n＝k+1”时，左边增加了2k项．【解答】解：由题意，n＝k时，最后一项为，n＝k+1时，最后一项为，∴由n＝k变到n＝k+1时，左边增加了2k+1﹣（2k+1）+1＝2k，故答案为：2k．7．（3分）若f（x）＝2sin x﹣1在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）上至少含有30个零点，则b﹣a的最小值为．【解答】解：根据f（x）＝2sin x﹣1＝0，即sin x＝，故x＝2kπ+，或x＝2kπ+，∵f（x）＝2sin x﹣1在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）上至少含有30个零点，∴不妨假设a＝（此时，k＝0），则此时b的最小值为28π+，（此时，k＝14），∴b﹣a的最小值为28π+﹣＝，故答案为：π8．（3分）设数列{an}的通项公式为a n＝，则（a1+a2+…+a n）＝．【解答】解：数列{a n}的通项公式为a n＝，则a1+a2+…+a n＝1+2+3+＝6+，则（a 1+a2+…+a n）＝[6+]＝．故答案为：．9．（3分）已知数列{a n}中，其前n项和为S n，，则S9＝377【解答】解：，则S9＝（1+4+16+64+256）+（3+7+11+15）＝+36＝341+36＝377．故答案为：377．10．（3分）对于正项数列{a n}，定义为{a n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{a n}的通项公式为．【解答】解：∵∴a1+2a2+…+na n＝∵∴a1+2a2+…+na n＝①∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1＝②①﹣②得﹣＝∴故答案为：11．（3分）△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，则A的取值范围为（0，60°]．【解答】解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C得：a2≤b2+c2﹣bc，变形得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cos A＝≥＝，又A为三角形的内角，则A的取值范围是（0，60°]．故答案为：（0，60°]12．（3分）关于x的方程x2﹣4 arctan（cos x）+π•a2＝0只有一个实数根，则实数a＝±1．【解答】解：设f（x）＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4arctan（cos （﹣x））+π•a2＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2＝f（x）∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，又依题意f（x）只有一个零点，故此零点只能是x＝0，所以0﹣4arctan（cos0）+π•a2＝0，∴﹣4arctan1+π•a2＝0，∴﹣4×+π•a2＝0，∴a2＝1，∴a＝±1，故答案为：±113．（3分）等差数列{a n}前n项和为S n，已知（a2﹣2）3+2013（a2﹣2）＝sin，（a2013﹣2）3+2013（a2013﹣2）＝cos，则S2014＝4028．【解答】解：（a2﹣2）3+2013（a2﹣2）＝sin＝，①（a2013﹣2）3+2013（a2013﹣2）＝cos＝﹣，②①+②得，（a2﹣2）3+2013（a2﹣2）+（a2013﹣2）3+2013（a2013﹣2）＝0，即（a2﹣2+a2013﹣2）[（a2﹣2）2﹣（a2﹣2）（a2013﹣2）+（a2013﹣2）2]+2013（a2﹣2+a2013﹣2）＝0，∴a2﹣2+a2013﹣2＝0，即a2+a2013＝4，∴S2014＝＝1007×（a2+a2013）＝4028，故答案为：4028．14．（3分）数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下运算和结论：①a24＝；②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为T n＝；④若存在正整数k，使S k＜10，S k+1≥10，则a k＝．其中正确的结论是①③④．（将你认为正确的结论序号都填上）【解答】解：①前24项构成的数列是：，，，，，，，，，，，，…，，，，∴a24＝，故①正确；②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是，1，，2，…，由等差数列定义＝（常数）所以数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等差数列，故②不正确．③∵数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知：Tn＝，故③正确；④由③知S k＜10，S k+1≥10，即：，，∴k＝7，a k＝．故④正确．故答案为：①③④．二.选择题15．（3分）已知{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，且＝2，S n＝a1+a2+…+a n，则的值为（）A．2B．﹣1C．1D．不存在【解答】解：因为{a n}和{b n}都是公差不为零的等差数列，所以设b n＝b1+（n﹣1）d1a n＝a1+（n﹣1）d2故＝＝2，可得d1＝2d2又因为a1+a2+…+a n＝na1+和b2n＝b1+（2n﹣1）d1代入则＝（2×）＝＝1．故选：C．16．（3分）设{a n}是公比为q（0＜|q|＜1）的无穷等比数列，若{a n}的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列{a2n﹣1}是（）A．公比为的等比数列B．公比为的等比数列C．公比为或﹣的等比数列D．公比为或﹣的等比数列【解答】解：根据题意，若{a n}的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则S n＝2S4，又由{a n}是公比为q（0＜|q|＜1）的无穷等比数列，则＝2，变形可得q4＝，则q＝±，数列{a2n﹣1}为{a n}的奇数项组成的数列，则数列{a2n﹣1}为公比为q2＝的等比数列；故选：B．17．（3分）函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数图象的对称轴方程为：x＝k∈Z，函数图象的一条对称轴在内，所以当k＝0 时，φ＝故选：A．18．（3分）若数列{a n}的前n项和为S n，则下列命题：（1）若数列{a n}是递增数列，则数列{S n}也是递增数列；（2）数列{S n}是递增数列的充要条件是数列{a n}的各项均为正数；（3）若{a n}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2…S k＝0的充要条件是a1•a2…a k＝0．（4）若{a n}是等比数列，则S1•S2…S k＝0（k≥2，k∈N）的充要条件是a n+a n+1＝0．其中，正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，故S n＝a1+a2+a3+…+a n，若数列{a n}是递增数列，则数列{S n}不一定是递增数列，如当a n＜0 时，数列{S n}是递减数列，故（1）不正确．由数列{S n}是递增数列，不能推出数列{a n}的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…，满足{S n}是递增数列，但不满足数列{a n}的各项均为正数，故（2）不正确．若{a n}是等差数列（公差d≠0），则由S1•S2…S k＝0不能推出a1•a2…a k＝0，例如数列：﹣3，﹣1，1，3，满足S4＝0，但a1•a2•a3•a4≠0，故（3）不正确．若{a n}是等比数列，则由S1•S2…S k＝0（k≥2，k∈N）可得数列的{a n}公比为﹣1，故有a n+a n+1＝0．由a n+a n+1＝0可得数列的{a n}公比为﹣1，可得S1•S2…S k＝0（k≥2，k∈N），故（4）正确．故选：B．三.解答题19．已知函数f（x）＝x2+（2﹣n）x﹣2n的图象与x轴正半轴的交点为A（a n，0），n＝1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有b n+1＞b n？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设f（x）＝0，x2+（2﹣n）x﹣2n＝0得x1＝﹣2，x2＝n．所以a n＝n（4分）（2）b n＝3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，若存在λ≠0，满足b n+1＞b n恒成立即：3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1＞3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，（6分）恒成立（8分）当n为奇数时，⇒λ＜1（10分）当n为偶数时，⇒（12分）所以（13分），故：λ＝﹣1（14分）20．已知函数f（x）＝2sin x cos x+3sin2x+cos2x﹣2，x∈R；（1）求函数f（x）在（0，π）上的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）＝2，C＝．，c＝2，求△ABC的面积S△ABC的值；【解答】解：（1）因为f（x）＝2sin x cos x+3sin2x+cos2x﹣2＝sin2x+2sin2x﹣1＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤+2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，又x∈（0，π），所以0＜x≤或≤x＜π，所以函数f（x）在（0，π）上的递增区间为：（0，]，[，π），（2）因为f（A）＝2，∴2sin（2A﹣）＝2，∴sin（2A﹣）＝1，∴2A﹣＝+2kπ，k∈Z，∴A＝+kπ，k∈Z，∵0＜A＜π，∴A＝．∴B＝，在三角形ABC中由正弦定理得＝，∴a＝＝＝，S△ABC＝ac sin B＝×2×sin＝．21．已知函数f（x）＝2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω＝1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象．对任意a∈R，求y＝g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．【解答】解：（1）f（x）＝2sin x，F（x）＝f（x）+f（x+）＝2sin x+2sin（x+）＝2（sin x+cos x），F（）＝2，F（﹣）＝0，F（﹣）≠F（），F（﹣）≠﹣F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f（x）＝2sin2x，将y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）＝2sin2（x+）+1．令g（x）＝0，得x＝kπ+或x＝kπ+（k∈z），因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．综上，y＝g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．22．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝，b n＝a2n﹣2；（1）求a2、a3、a4；（2）求证：数列{b n}为等比数列，并求其通项公式；（3）求和T n＝a2+a4+…+a2n；【解答】解：（1）a1＝1，a n+1＝，可得a2＝1+a1＝1+＝；a3＝a2﹣4＝﹣，a4＝3+a3＝；（2）证明：b n＝a2n﹣2＝a2n﹣1+2n﹣1﹣2＝（a2n﹣2﹣4n+4）+2n﹣1﹣2＝（a2n﹣2﹣2）＝b n﹣1，可得数列{b n}为公比为，首项为﹣等比数列，即b n＝﹣（）n；（3）由（2）可得a2n＝2﹣（）n，T n＝a2+a4+…+a2n＝2n﹣（++…+）＝2n﹣＝2n﹣1+（）n．23．已知{a n}，{b n}为两非零有理数列（即对任意的i∈N*，a i，b i均为有理数），{d n}为一无理数列（即对任意的i∈N*，d i为无理数）．（1）已知b n＝﹣2a n，并且（a n+b n d n﹣a n d n2）（1+d n2）＝0对任意的n∈N*恒成立，试求{d n}的通项公式．（2）若{d n3}为有理数列，试证明：对任意的n∈N*，（a n+b n d n﹣a n d n2）（1+d n2）＝1恒成立的充要条件为．（3）已知sin2θ＝（0＜θ＜），d n＝，试计算b n．【解答】解：（1）∵，∴，即，∴，∵a n≠0，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵{a n}，{b n}，为有理数列，{d n}为无理数列，∴，∴，以上每一步可逆．（3），∴25tanθ＝12+12tan2θ．∵，∴，当n＝2k（k∈N*）时，∴当n＝2k﹣1（k∈N*）时，∴，∴为有理数列，∵，∴，∴，∵{a n}，{b n}，为有理数列，{d n}为无理数列，∴，∴，∴当n＝2k（k∈N*）时，∴当n＝2k﹣1（k∈N*）时，∴，∴．。
2025届上海市七宝中学高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2025届上海市七宝中学高三第二次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．192．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<<D ．116a > 3．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个4．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12 B ．32- C ．12- D ．325．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ）A ．±6B ．6C ．-6D ．1326．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥ 7．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1 C ．0D ．2 9．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( )A ．()112n n +B ．()1312n n -C ．2n n 1-+D ．222n n -+10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13C ．12D ．14 11．已知复数11i z i+=-，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．1 12．已知函数()ln x f x x =，()x g x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．24eD ．21e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年上海市闵行区七宝中学高三下学期开学数学试卷与解析答案
2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷一.填空题1．（3分）不等式的解集是．2．（3分）已知直线l1：x﹣y+2=0，l2：3x+y﹣5=0，则直线l1与l2的夹角是．3．（3分）函数f（x）=的最大值是．4．（3分）i为虚数单位，z=对应的点在第二象限，则θ是第象限的角．5．（3分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．6．（3分）从二项式（1+x）11的展开式中取一项，系数为奇数的概率是．7．（3分）命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m取值范围是．8．（3分）函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，则m的取值范围是．9．（3分）若平面向量满足，，则的取值范围为．10．（3分）已知数列{a n}，a1=1，，n∈N*，则=．11．（3分）已知函数f（x）=x+（a＞0），若对任意的m、n、，长为f（m）、f（n）、f（p）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a的取值范围是．12．（3分）已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n+1=ka n+2k﹣2，其中k为不等于0与1的常数，若a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a1所有可能值的和为．二.选择题13．（3分）已知实数m、n，则“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（）A．B．C．D．15．（3分）已知数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x16．（3分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2016＞0 B．若a4＞0，则a2017＞0C．若a3＞0，则S2017＞0 D．若a4＞0，则S2016＞0三.解答题17．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；（1）计算球O的表面积和体积；（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）18．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，cosA=，tan，c=21；（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．19．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R；（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），求b的取值范围．20．已知抛物线Γ：y2=2px上一点M（3，m）到焦点的距离为4，动直线y=kx （k≠0）交抛物线Γ于坐标原点O和点A，交抛物线Γ的准线于点B，若动点P 满足，动点P的轨迹C的方程为F（x，y）=0；（1）求出抛物线Γ的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程F（x，y）=0；（不用指明范围）（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④y＞0时，写出由F（x，y）=0确定的函数y=f（x）的单调区间，不需证明．21．已知无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；（1）若a1=1，a2=2，求数列前10项和；（2）若a1=1，a2=x，x∈Z，且数列{a n}前2017项中有100项是0，求x的可能值；（3）求证：在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）不等式的解集是{x|0＜x＜1} ．【解答】解：∵＞1，∴﹣1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．（3分）已知直线l1：x﹣y+2=0，l2：3x+y﹣5=0，则直线l1与l2的夹角是．【解答】解：因为直线l1的斜率为，故倾斜角为60°，直线l2的斜率为﹣，倾斜角为120°，故两直线的夹角为60°，即两直线的夹角为，故答案为．3．（3分）函数f（x）=的最大值是5．【解答】解：f（x）==3sinx+4cosx=5sin（x+θ），∴函数f（x）=的最大值是5，故答案为5．4．（3分）i为虚数单位，z=对应的点在第二象限，则θ是第一、三象限的角．【解答】解：z===cos2θ+isin2θ对应的点在第二象限，∴cos2θ＜0，sin2θ＞0，∴＜2θ＜2kπ+π，k∈Z．解得kπ+＜θ＜kπ+，k∈Z．k=2n（n∈Z）时，2nπ+＜θ＜2nπ+，θ为第一象限角．k=2n﹣1（n∈Z）时，2nπ﹣＜θ＜2nπ﹣，θ为第三象限角．综上可得：θ是第一、三象限的角．故答案为：一、三．5．（3分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．6．（3分）从二项式（1+x）11的展开式中取一项，系数为奇数的概率是．=x r，（r=0，1，2，…，【解答】解：二项式（1+x）11的展开式中通项公式T r+111）．其中r=0，1，2，3，8，9，10，11，为奇数．∴系数为奇数的概率==．故答案为：．7．（3分）命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：当时，tanx∈[0，1]，若tanx＜m恒成立，则m＞1．∵命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，∴m≤1．∴实数m取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．8．（3分）函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，则m的取值范围是（3，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，∴函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）单调，∵函数的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），y=x2﹣4x+3的对称轴为x=2，∴m∈（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．9．（3分）若平面向量满足，，则的取值范围为[2，6] ．【解答】解：设的夹角为θ，∵=2•2•||cosθ+≤4||+，∴||≥2 或||≤﹣6（舍去）．又∵=2•2||cosθ+≥﹣4||，∴6≥||≥﹣2．综上，6≥||≥2，故答案为：[2，6]．10．（3分）已知数列{a n}，a1=1，，n∈N*，则=．【解答】解：∵，n∈N，∴a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n﹣2+a2n﹣1），=1+++…+，=1+，=1+﹣，=﹣，∴=（﹣）=，故答案为：11．（3分）已知函数f（x）=x+（a＞0），若对任意的m、n、，长为f（m）、f（n）、f（p）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a的取值范围是（，）∪[1，）．【解答】解：函数f（x）=x+（a＞0）的导数为f′（x）=1﹣，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．当≥1即a≥1时，[，1]为减区间，即有f（x）的最大值为+3a；最小值为1+a．由题意可得只要满足2（1+a）＞+3a，解得1≤a＜；当≤＜1且f（）≤f（1）即≤a≤时，[，]为减区间，（，1）为增区间，即有f（x）的最大值为1+a；最小值为2．由题意可得只要满足1+a＞4，解得0＜a＜7﹣4，不成立；当≤＜1且f（）＞f（1）即＜a＜1时，[，]为减区间，（，1）为增区间，即有f（x）的最大值为+3a；最小值为2．由题意可得只要满足+3a＞4，解得0＜a＜，不成立；当＜，即0＜a＜时，[，1]为增区间，即有f（x）的最小值为+3a；最大值为1+a．由题意可得只要满足2（+3a）＞1+a，解得＜a＜．综上可得，a的取值范围是（，）∪[1，）．故答案为：（，）∪[1，）．12．（3分）已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n+1=ka n+2k﹣2，其中k为不等于0与1的常数，若a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a1所有可能值的和为．【解答】解：∵a n=ka n+2k﹣2，+1+2=k（a n+2），∴a n+1∴①若a1=﹣2，则a1+1+2=k（a1+2）=0，a2=﹣2，同理可得，a3=a4=a5=﹣2，即a1=﹣2复合题意；②若a1≠﹣2，k为不等于0与1的常数，则数列{a n+2}是以k为公比的等比数列，∵a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2，3，4，5，a n+2可以取﹣270，﹣30，10，90，∴若公比|k|＞1，则k=﹣3，由a2+2=10=﹣3（a1+2）得：a1=﹣；若公比|k|＜1，则k=﹣，由a2+2=﹣270=﹣（a1+2）得：a1=808．综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣2，﹣，808．∴a1所有可能值的和为：﹣2=．故答案为：．二.选择题13．（3分）已知实数m、n，则“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．14．（3分）将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（）A．B．C．D．【解答】解：将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器，设这个盖圆锥形底面半径为r，则πR=2πr，解得r=，这个盖圆锥形母线长l=R，∴这个盖圆锥形的高h==，∴这个无盖圆锥形容器（不计损耗）的容积：V====．故选：A．15．（3分）已知数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，可得1﹣=，即1﹣=．解得m=9．双曲线=1的渐近线方程：y=±x．故选：C．16．（3分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2016＞0 B．若a4＞0，则a2017＞0C．若a3＞0，则S2017＞0 D．若a4＞0，则S2016＞0【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，若a3＞0，则＞0，则a1＞0．∴S2017=＞0．a2016=与0的大小关系不确定．若a4＞0，则＞0，则a1与q同号，则a2017=，S2016=与0的大小关系不确定．故选：C．三.解答题17．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；（1）计算球O的表面积和体积；（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）【解答】解：（1）连接OA，由题意得，截面小圆半径为4，（2分）在Rt△OAO1中，O1A=4，OO1=3，由勾股定理知，AO=5，（4分）∴球O的表面积为：4π•25=100π（7分）（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角）．（9分）在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，则AC=4，（10分）连接OC，在△OAC中，OA=OC=5，由余弦定理知：cos∠OAC===，∴∠OAC=，∴异面直线AC与MN所成的角为．18．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，cosA=，tan，c=21；（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）由tan==，得sinB=，∵cosA=，∴sinA=＞sinB，∴B为锐角，可得cosB=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．（2）∵c=21，∴a===20，=acsinB=×20×21×=126．∴S△ABC19．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R；（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），求b的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣4x+a+3的函数图象开口向上，对称轴为x=2，∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数，∵函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，∴f（﹣1）f（1）≤0，即a（8+a）≤0，解得：﹣8≤a≤0．（2）a=3时，f（x）=x2﹣4x+6，∴f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，∴f（x）在[2，4]上的最小值为f（2）=2，最大值为f（4）=6．即f（x）在[2，4]上的值域为[2，6]．设g（x）在[1，4]上的值域为M，∵对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），∴M⊆[2，6]．当b=0时，g（x）=5，即M={5}，符合题意，当b＞0时，g（x）=bx+5﹣2b在[1，4]上是增函数，∴M=[5﹣b，5+2b]，∴，解得0＜b≤．当b＜0时，g（x）=bx+5﹣2b在[1，4]上是减函数，∴M=[5+2b，5﹣b]，∴，解得﹣1≤b＜0．综上，b的取值范围是．20．已知抛物线Γ：y2=2px上一点M（3，m）到焦点的距离为4，动直线y=kx （k≠0）交抛物线Γ于坐标原点O和点A，交抛物线Γ的准线于点B，若动点P 满足，动点P的轨迹C的方程为F（x，y）=0；（1）求出抛物线Γ的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程F（x，y）=0；（不用指明范围）（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④y＞0时，写出由F（x，y）=0确定的函数y=f（x）的单调区间，不需证明．【解答】解：（1）由题意，3+=4，∴p=2，∴抛物线Γ的标准方程为y2=4x；（2）设P（x，y），则y=kx，与抛物线方程联立，可得x=，y=，即A（，），与x=﹣1联立，可得B（﹣1，﹣k），∵，∴（x，y）=（+1，+k），∴x=+1，y=+k，消去k可得；（3）由，可得①关于x轴对称；②x∈（1，+∞），y∈（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）；③渐近线x=1；④在（1，2]上递减，在[2，+∞）上递增．21．已知无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；（1）若a1=1，a2=2，求数列前10项和；（2）若a1=1，a2=x，x∈Z，且数列{a n}前2017项中有100项是0，求x的可能值；（3）求证：在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．=|a n+1﹣a n|，n∈N*；a1=1，a2=2，【解答】解：（1）数列{a n}，满足a n+2则a3=1，a4=1，a5=0，a6=1，a7=1，a8=0，a9=a10=1．∴数列前10项和S10=1+2+6=9．（2）当x=1时，数列数列{a n}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有672项为0；当x=2时，数列数列{a n}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有671项为0；当x=3时，数列数列{a n}的各项为1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有671项为0；当x=4时，数列数列{a n}的各项为1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…所以在前2017项中恰好含有670项；当x=5时，数列数列{a n}的各项为1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有670项为0；…由上面可以得到当x=1144或x=1145时，在前2017项中恰好含有100项为0；当x=﹣1141或x=﹣1140时，在前2017项中恰好含有100项为0；（3）证明：假设数列{a n}中不存在a k（k∈N*），使得0≤a k＜1，则a k＜0或a k≥1（k=1，2，3，…）．=|a n+1﹣a n|，n∈N*，由无穷数列{a n}，满足a n+2可得a k≥1，由于无穷数列{a n}，对于给定的a1，a2，总可以相减后得到0，故假设不成立．在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
精品解析：上海市闵行区七宝中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学试题(解析版)
一、填空题
2 1.复数 i 的 虚部是______.
【答案】-2
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【详解】
2 i
2 i i i
2i
,故虚部为-2
故答案为：-2
【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．
x 3 4t
（4）． 1
【详解】an+2Sn﹣1•Sn＝0（n≥2），S1 2 ， 1 1
可得 Sn﹣Sn﹣1＝﹣2Sn﹣1•Sn＝0（n≥2），即有 Sn Sn1 2，
1 { Sn }是首项、公差均为 2 的等差数列，故（1）正确；
可得
1 Sn
2+2（n﹣1）＝2n，即 Sn
， OC
满足
OC 1 an OA an1 an1 OB n 2, n N * ，若点 A ， B ， C 在同一直线上，则 S2019 ______.
【答案】8
【解析】
【分析】
由题意得出 an﹣1+an+1＝an，由 Sn 为数列{an}的前 n 项和，a1＝2，a2＝4，得到数列{an}是以 6 为周期的周
（﹣1，﹣3）的距离的最大值为 2 (0 1)2 (0 3)2 2 10 ，
③当{|
a
|，|
b
|}＝{2，3}，|
c
|＝1，则
a
b
2，3，
设
c
x，y
，则
x2+y2＝1
∴
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2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷一.填空题1．（3分）不等式的解集是．2．（3分）已知直线l1：x﹣y+2=0，l2：3x+y﹣5=0，则直线l1与l2的夹角是．3．（3分）函数f（x）=的最大值是．4．（3分）i为虚数单位，z=对应的点在第二象限，则θ是第象限的角．5．（3分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．6．（3分）从二项式（1+x）11的展开式中取一项，系数为奇数的概率是．7．（3分）命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m取值范围是．8．（3分）函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，则m的取值范围是．9．（3分）若平面向量满足，，则的取值范围为．10．（3分）已知数列{a n}，a1=1，，n∈N*，则=．11．（3分）已知函数f（x）=x+（a＞0），若对任意的m、n、，长为f（m）、f（n）、f（p）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a的取值范围是．12．（3分）已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n+1=ka n+2k﹣2，其中k为不等于0与1的常数，若a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a1所有可能值的和为．二.选择题13．（3分）已知实数m、n，则“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（）A．B．C．D．15．（3分）已知数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x16．（3分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2016＞0 B．若a4＞0，则a2017＞0C．若a3＞0，则S2017＞0 D．若a4＞0，则S2016＞0三.解答题17．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；（1）计算球O的表面积和体积；（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）18．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，cosA=，tan，c=21；（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．19．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R；（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当a=3时，若对任意的x 1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），求b的取值范围．20．已知抛物线Γ：y2=2px上一点M（3，m）到焦点的距离为4，动直线y=kx （k≠0）交抛物线Γ于坐标原点O和点A，交抛物线Γ的准线于点B，若动点P 满足，动点P的轨迹C的方程为F（x，y）=0；（1）求出抛物线Γ的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程F（x，y）=0；（不用指明范围）（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④y＞0时，写出由F（x，y）=0确定的函数y=f（x）的单调区间，不需证明．21．已知无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；（1）若a1=1，a2=2，求数列前10项和；（2）若a1=1，a2=x，x∈Z，且数列{a n}前2017项中有100项是0，求x的可能值；（3）求证：在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）不等式的解集是{x|0＜x＜1} ．【解答】解：∵＞1，∴﹣1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．（3分）已知直线l1：x﹣y+2=0，l2：3x+y﹣5=0，则直线l1与l2的夹角是．【解答】解：因为直线l1的斜率为，故倾斜角为60°，直线l2的斜率为﹣，倾斜角为120°，故两直线的夹角为60°，即两直线的夹角为，故答案为．3．（3分）函数f（x）=的最大值是5．【解答】解：f（x）==3sinx+4cosx=5sin（x+θ），∴函数f（x）=的最大值是5，故答案为5．4．（3分）i为虚数单位，z=对应的点在第二象限，则θ是第一、三象限的角．【解答】解：z===cos2θ+isin2θ对应的点在第二象限，∴cos2θ＜0，sin2θ＞0， ∴＜2θ＜2kπ+π，k ∈Z ．解得kπ+＜θ＜kπ+，k ∈Z ． k=2n （n ∈Z ）时，2nπ+＜θ＜2nπ+，θ为第一象限角．k=2n ﹣1（n ∈Z ）时，2nπ﹣＜θ＜2nπ﹣，θ为第三象限角．综上可得：θ是第一、三象限的角． 故答案为：一、三．5．（3分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 0.1 ． 【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1， ∴该组数据的方差：S 2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．6．（3分）从二项式（1+x ）11的展开式中取一项，系数为奇数的概率是 ．【解答】解：二项式（1+x ）11的展开式中通项公式T r +1=x r ，（r=0，1，2，…，11）．其中r=0，1，2，3，8，9，10，11，为奇数．∴系数为奇数的概率==．故答案为：．7．（3分）命题“对任意，tanx ＜m 恒成立”是假命题，则实数m 取值范围是 （﹣∞，1] ．【解答】解：当时，tanx∈[0，1]，若tanx＜m恒成立，则m＞1．∵命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，∴m≤1．∴实数m取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．8．（3分）函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，则m的取值范围是（3，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，∴函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）单调，∵函数的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），y=x2﹣4x+3的对称轴为x=2，∴m∈（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．9．（3分）若平面向量满足，，则的取值范围为[2，6] ．【解答】解：设的夹角为θ，∵=2•2•||cosθ+≤4||+，∴||≥2 或||≤﹣6（舍去）．又∵=2•2||cosθ+≥﹣4||，∴6≥||≥﹣2．综上，6≥||≥2，故答案为：[2，6]．10．（3分）已知数列{a n}，a1=1，，n∈N*，则=．【解答】解：∵，n∈N，∴a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n﹣2+a2n﹣1），=1+++…+，=1+，=1+﹣，=﹣，∴=（﹣）=，故答案为：11．（3分）已知函数f（x）=x+（a＞0），若对任意的m、n、，长为f（m）、f（n）、f（p）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a的取值范围是（，）∪[1，）．【解答】解：函数f（x）=x+（a＞0）的导数为f′（x）=1﹣，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．当≥1即a≥1时，[，1]为减区间，即有f（x）的最大值为+3a；最小值为1+a．由题意可得只要满足2（1+a）＞+3a，解得1≤a＜；当≤＜1且f（）≤f（1）即≤a≤时，[，]为减区间，（，1）为增区间，即有f（x）的最大值为1+a；最小值为2．由题意可得只要满足1+a＞4，解得0＜a＜7﹣4，不成立；当≤＜1且f（）＞f（1）即＜a＜1时，[，]为减区间，（，1）为增区间，即有f（x）的最大值为+3a；最小值为2．由题意可得只要满足+3a＞4，解得0＜a＜，不成立；当＜，即0＜a＜时，[，1]为增区间，即有f（x）的最小值为+3a；最大值为1+a．由题意可得只要满足2（+3a）＞1+a，解得＜a＜．综上可得，a的取值范围是（，）∪[1，）．故答案为：（，）∪[1，）．12．（3分）已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n+1=ka n+2k﹣2，其中k为不等于0与1的常数，若a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a1所有可能值的和为．【解答】解：∵a n=ka n+2k﹣2，+1+2=k（a n+2），∴a n+1∴①若a 1=﹣2，则a1+1+2=k（a1+2）=0，a2=﹣2，同理可得，a3=a4=a5=﹣2，即a1=﹣2复合题意；②若a1≠﹣2，k为不等于0与1的常数，则数列{a n+2}是以k为公比的等比数列，∵a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2，3，4，5，a n+2可以取﹣270，﹣30，10，90，∴若公比|k|＞1，则k=﹣3，由a2+2=10=﹣3（a1+2）得：a1=﹣；若公比|k|＜1，则k=﹣，由a2+2=﹣270=﹣（a1+2）得：a1=808．综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣2，﹣，808．∴a1所有可能值的和为：﹣2=．故答案为：．二.选择题13．（3分）已知实数m、n，则“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．14．（3分）将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（）A．B．C．D．【解答】解：将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器，设这个盖圆锥形底面半径为r，则πR=2πr，解得r=，这个盖圆锥形母线长l=R，∴这个盖圆锥形的高h==，∴这个无盖圆锥形容器（不计损耗）的容积：V====．故选：A．15．（3分）已知数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，可得1﹣=，即1﹣=．解得m=9．双曲线=1的渐近线方程：y=±x．故选：C．16．（3分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2016＞0 B．若a4＞0，则a2017＞0C．若a3＞0，则S2017＞0 D．若a4＞0，则S2016＞0【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，若a3＞0，则＞0，则a1＞0．∴S2017=＞0．a2016=与0的大小关系不确定．若a4＞0，则＞0，则a1与q同号，则a2017=，S2016=与0的大小关系不确定．故选：C．三.解答题17．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；（1）计算球O的表面积和体积；（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）【解答】解：（1）连接OA，由题意得，截面小圆半径为4，（2分）在Rt△OAO1中，O1A=4，OO1=3，由勾股定理知，AO=5，（4分）∴球O的表面积为：4π•25=100π（7分）（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角）．（9分）在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，则AC=4，（10分）连接OC，在△OAC中，OA=OC=5，由余弦定理知：cos∠OAC===，∴∠OAC=，∴异面直线AC与MN所成的角为．18．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，cosA=，tan，c=21；（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）由tan==，得sinB=，∵cosA=，∴sinA=＞sinB，∴B为锐角，可得cosB=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．（2）∵c=21，∴a===20，=acsinB=×20×21×=126．∴S△ABC19．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R；（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），求b的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣4x+a+3的函数图象开口向上，对称轴为x=2，∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数，∵函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，∴f（﹣1）f（1）≤0，即a（8+a）≤0，解得：﹣8≤a≤0．（2）a=3时，f（x）=x2﹣4x+6，∴f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，∴f（x）在[2，4]上的最小值为f（2）=2，最大值为f（4）=6．即f（x）在[2，4]上的值域为[2，6]．设g（x）在[1，4]上的值域为M，∵对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），∴M⊆[2，6]．当b=0时，g（x）=5，即M={5}，符合题意，当b＞0时，g（x）=bx+5﹣2b在[1，4]上是增函数，∴M=[5﹣b，5+2b]，∴，解得0＜b≤．当b＜0时，g（x）=bx+5﹣2b在[1，4]上是减函数，∴M=[5+2b，5﹣b]，∴，解得﹣1≤b＜0．综上，b的取值范围是．20．已知抛物线Γ：y2=2px上一点M（3，m）到焦点的距离为4，动直线y=kx （k≠0）交抛物线Γ于坐标原点O和点A，交抛物线Γ的准线于点B，若动点P 满足，动点P的轨迹C的方程为F（x，y）=0；（1）求出抛物线Γ的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程F（x，y）=0；（不用指明范围）（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④y＞0时，写出由F（x，y）=0确定的函数y=f（x）的单调区间，不需证明．【解答】解：（1）由题意，3+=4，∴p=2，∴抛物线Γ的标准方程为y2=4x；（2）设P（x，y），则y=kx，与抛物线方程联立，可得x=，y=，即A（，），与x=﹣1联立，可得B（﹣1，﹣k），∵，∴（x，y）=（+1，+k），∴x=+1，y=+k，消去k可得；（3）由，可得①关于x轴对称；②x∈（1，+∞），y∈（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）；③渐近线x=1；④在（1，2]上递减，在[2，+∞）上递增．21．已知无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；（1）若a1=1，a2=2，求数列前10项和；（2）若a1=1，a2=x，x∈Z，且数列{a n}前2017项中有100项是0，求x的可能值；（3）求证：在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．=|a n+1﹣a n|，n∈N*；a1=1，a2=2，【解答】解：（1）数列{a n}，满足a n+2则a3=1，a4=1，a5=0，a6=1，a7=1，a8=0，a9=a10=1．∴数列前10项和S10=1+2+6=9．（2）当x=1时，数列数列{a n}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有672项为0；当x=2时，数列数列{a n}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有671项为0；当x=3时，数列数列{a n}的各项为1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有671项为0；当x=4时，数列数列{a n}的各项为1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…所以在前2017项中恰好含有670项；当x=5时，数列数列{a n}的各项为1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有670项为0；…由上面可以得到当x=1144或x=1145时，在前2017项中恰好含有100项为0；当x=﹣1141或x=﹣1140时，在前2017项中恰好含有100项为0；（3）证明：假设数列{a n}中不存在a k（k∈N*），使得0≤a k＜1，则a k＜0或a k≥1（k=1，2，3，…）．=|a n+1﹣a n|，n∈N*，由无穷数列{a n}，满足a n+2可得a k≥1，由于无穷数列{a n}，对于给定的a1，a2，总可以相减后得到0，故假设不成立．在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．。