苏科版八年级数学上册第一章《全等三角形》典型题分类解析.docx

初中数学试卷 桑水出品
第一章《全等三角形》典型题分类解析
1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF =CB ，连接CD ，将线段CD 绕
点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF ．
(1) 求证：△BCD ≌△FCE ；
(2) 若EF ∥CD ，求∠BDC 的度数．
考点 全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
分析 (1) 由旋转的性质可得：CD =CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD =∠FCE ，再根据全等三
角形的判定方法即可证明△BCD ≌△FCE ；
(2) 由(1)可知：△BCD ≌△FCE ，所以∠BDC =∠E ，易求∠E =90°，进而可求出∠BDC 的度数．
解答 (1) 证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，
∴CD =CE ，∠DCE =90°，
∵∠ACB =90°，
∴∠BCD =90°－∠ACD =∠FCE ，
在△BCD 和△FCE 中，
CB CF BCD FCE CD CE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
∴△BCD ≌△FCE (SAS)．
(2) 解：由(1)可知△BCD ≌△FCE ，
∴∠BDC =∠E ，
∵E F ∥CD ，
∴∠E =180°一∠DCE =90°，
∵∠BDC =90°．
点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
2．如图，已知：△ABC 中，AB =AC ，M 是BC 的中点，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且BD =CE ．求
证：MD =ME.
考点 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
专题 证明题．
分析 根据等腰三角形的性质可证∠DBM =∠ECM ，可证△
BDM ≌△CEM ，
可得MD =ME ，即可解题．
解答 证明：△ABC 中，
∵AB =AC ，
∴∠DBM =∠ECM ，
∵M 是BC 的中点，
∴BM =CM ，
在△BDM 和△CEM 中，
BD CE DBM ECM BM CM =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
∴△BDM ≌△CEM (SAS)，
∴MD =ME .
点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．
3． 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC ，对角线BD 平分么ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ．
(1) 求证：∠ADB =∠CDB ；
(2) 若∠ADC =90°，由(1)中的条件可得四边形MPND 是矩
形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND 是
正
方形．
考点 全等三角形的判定与性质．
专题 证明题．
分析 (1) 根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD ≌△CBD ，由全等三角形的性质
即可得到：∠ADB =∠CDB ；
(2) 若∠ADC =90°，由(1)中的条件可得四边形砒MPND 是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形
即可证明四边形MPND 是正方形．
解答 证明：(1) ∵对角线BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD =∠CBD ，
在△ABD 和△CBD 中， AB CB ABD CBD BD BD =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
∴△ABD ≌△CBD ，
∴∠ADB =么CDB ．
点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解题的关键是熟记各种几何图形的性
质和判定．
4 ．【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法 (即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”) 和直角三角形全等的判定方法 (即
“HL ”) 后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =D F ，BC=EF ，∠B =∠E ，然后，对
∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．
(1)如图①，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E =90°，根据 ，可以知道Rt △ABC
≌Rt △DEF ．
第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ，
(2)如图②，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B ，∠E 都是钝角，求证：△ABC
≌△DEF ．
第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC △DEF 不一定全等．
(3)在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B ，∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作
出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等．(不写作法，保留作图痕迹)
(4) ∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF ? 请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，
AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B ，∠E 都是锐角，若 ，则△ABC ≌△DEF ．
分析 (1) 根据直角三角形全等的方法“HL ”证明；
(2) 过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ，根据等角的补角相等求出∠CBG =∠FEH ，再利用“角角边”证明△CBG 和△FEH 全等，根据全等三角形对应边相等可得CG =FH ，再利用“HL ”证明Rt △ACG 和Rt △DFH 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A =∠D ，然后利用“角角边”证明△ABC 和△DEF 全等；
(3) 以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧，与AB 相交于点D ，E 与B 重合，F 与C 重合，得到△DEF 与△ABC 不全等；
(4) 根据三种情况结论，∠B 不小于∠A 即可．
解答 (1)解：HL ；
(2)证明：如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ， ∵∠B =∠E ，且∠B ，∠E 都是钝角，∴180°－∠B=180°－∠E ，
即∠CBG =∠FEH ，
在△CBG 和△FEH 中，90CBG FEH G H BC EF ∠=∠∠=∠=︒=⎧⎪⎨⎪⎩
，∴△CBG ≌△FEH (AAS)，∴CG =FH ，
在Rt △ACG 和 Rt △DFH 中，AC DE
CG FH ==⎧⎨⎩，∴Rt △ACG ≌Rt △DFH (HL)，∴∠A =∠D ，
在△ABC和△DEF中，
A D
B E
AC DF
∠=∠
∠=∠
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
，∴△ABC≌△DEF (AAS)；
(3) 解：如图，△DEF和△ABC不全等；
(4) 解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
故答案为：(1) HL (4) ∠B≥∠A．
点评本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．。