第四讲 参数估计
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参数估计知识点总结
参数估计知识点总结一、参数估计的基本概念参数估计是统计学中的一个重要问题，它是指从样本数据中估计总体参数的值。
在实际问题中，我们往往对总体的某个特征感兴趣，比如总体的均值、方差等，而这些特征通常是未知的。
参数估计就是利用样本数据来估计这些未知的总体参数值的方法。
在参数估计中，有两种主要的估计方法：点估计和区间估计。
点估计是指利用样本数据来估计总体参数的一个具体值，它通常用一个统计量来表示。
而区间估计则是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围，通常用一个区间来表示。
二、点估计点估计是参数估计中的一种方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个具体值。
在点估计中，我们通常使用一个统计量来表示参数的估计值，这个统计量通常是样本数据的函数。
1. 无偏估计无偏估计是指估计量的期望值等于所估计的总体参数的真实值。
对于一个无偏估计而言，平均来说，估计值和真实值是相等的。
无偏估计是统计学中一个很重要的性质，在实际问题中，我们希望能够得到一个无偏估计。
2. 一致估计一致估计是指当样本大小趋于无穷时，估计量收敛于真实参数的概率接近于1。
一致性是估计量的另一个重要性质，它保证了在样本较大的情况下，估计值能够越来越接近真实值。
3. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来选择最有可能产生观测数据的参数值。
最大似然估计的原理是选择一个参数值，使得样本数据出现的概率最大。
最大似然估计的优点在于它的统计性质良好，且通常具有较好的渐近性质。
4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它是基于贝叶斯定理的一种参数估计方法。
贝叶斯估计将参数视为随机变量，通过引入先验分布和后验分布来对参数进行估计。
贝叶斯估计的优点在于它能够利用先验知识对参数进行更为准确的估计。
三、区间估计区间估计是另一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围。
区间估计的优点在于它能够提供参数值的估计范围，同时也能够反映估计的不确定性。
概率论与数理统计-参数估计_图文
或
于是得到
的置信水平为 的置信区间为
为已知
其中
于是得到
的置信水平为 的置信区间为
其中
例3 为比较 I ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱⅡ 两种型号步枪子弹的枪口
速度 ,随机地取 I 型子弹 10 发 ,得到枪口速度的平
均值 为
标准差
随
机地取 Ⅱ 型子弹 20 发 ,得到枪口速度的平均值为
标准差
假设两总
体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度
尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证 可靠度的条件下尽可能提高精度.
二、置信区间的求法
在求置信区间时，要查表求分位点.
定义 设
, 对随机变量X，称满足
的点 为X的概率分布的上 分位点.
若 X 为连续型随机变量 , 则有 所求置信区间为
X~N( )
样本均值是否是 的一个好的估计量？
样本方差是否是 的一个好的估计量？
这就需要讨论以下几个问题: (1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？ (2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？
(3) 如何求得合理的估计量？
常用的几条标准是：
1．无偏性 2．有效性 3．相合性
这里我们重点介绍前面两个标准 .
概率论与数理统计-参数估计_图文.ppt
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估 计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
估计废品率
在参数估计问题
估计降雨量 中，假定总体分 布形式已知，未
… 知的仅仅是一个 … 或几个参数.
参数估计课件
点估计
点估计
（概念要点）
1. 从总体中抽取一个样本，根据该样本的统计 量对总体的未知参数作出一个数值点的估计
▪ 例如: 用样本均值作为总体未知均值的估计值 就是一个点估计
• 2. 点估计没有给出估计值接近总体未 知参数程度的信息
3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、 最大似然法、最小二乘法等
1.96
0.15 9
21.302,21.498
我们可以95％的概率保证该种零件的平 均长度在21.302～21.498 mm之间
总体均值的区间估计
（非正态总体：实例）
【例】某大学从该 校学生中随机抽取 100 人 ， 调 查 到 他 们平均每天参加体 育 锻 炼 的 时 间 为 26 分 钟 。 试 以 95 ％ 的 置信水平估计该大 学全体学生平均每 天参加体育锻炼的 时间（已知总体方 差为36小时）。
总体1
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算X1
所有可能样本 的X1-X2
1 1
2 2
计算每一对样本 的X1-X2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
1 2
抽样分布
两个总体均值之差的估计
(12、22 已知)
• 1.
假定条件
▪ 两个样本是独立的随机样本
▪ 两个总体都服从正态分布
n(1- p )=60>5，= 0.95，Ｚ/2=1.96
pˆ Z 2
pˆ (1 pˆ ) n
样本。在对其进行访 问 时 ， 有 140 人 说 他 们离开该企业是由于
0.7 1.96 0.7(1 0.7) 200
同管理人员不能融洽
0.636,0.764
第4章参数估计和假设检验ppt课件
SPSS输出结果（数据：tv.xls） 操作：分析->描述统计->探索
均值 均值的 95% 置信区间
5% 修整均值 中值 方差 标准差 极小值 极大值
下限 上限
统计量 27.191 25.530 28.852 26.977 26.500 70.104 8.3728
9.5 50.3
标准 误
.8373
0.217(1 0.217) 0.217 1.645
995 0.217 0.0215
结论：我们有90％的把握认为悉尼青少年中每 天都抽烟的青少年比例在19.55%~23.85%之间。
中央财经大学统计学院 26
SPSS的计算结果
均值
在SPSS中将 “是否吸烟”
均值的 90% 置信区间
输入为取值为1 5% 修整均值
中央财经大学统计学院 2
点估计
点估计: 用估计量的数值作为总体参数的估 计值。
一个总体参数的估计量可以有多个 。例如， 在估计总体方差时，
n
(xi x)2 和
i 1
n 都可以作为估计量。
n
(xi x)2
i 1
n 1
中央财经大学统计学院 3
点估计量的常用评价准则：无偏性
无偏性：估计量的数学期望与总体待估参 数的真值相等： E(ˆ)
P(X )
B
较小的样本容量
A
X
中央财经大学统计学院 6
区间估计
根据事先确定的置信度1 - 给出总体参数 的一个估计范围。
置信度1 - 的含义是：在同样的方法得到 的所有置信区间中，有100(1- )% 的区间 包含总体参数。
抽样分布是区间估计的理论基础。
置信区间
《统计学》课件参数估计
05
06
假设检验法：通过假设检验确定总体参数 是否落在某个范围内。
02
点估计
点估计的概念
数学模型
用样本均值、中位数等统计量 估计总体均值、中位数等参数
样本
来自总体的随机样本，具有代 表性
点估计
用样本统计量估计未知参数的 方法
参数
需要估计的未知量，如总体均 值、方差等
统计量
样本的函数，如样本均值、样 本方差等
区间估计在统计学中具有重要的意义，它可以帮助我们了解未知参数的取值范围，提供更全面的信息 。此外，区间估计还可以用于比较不同样本或不同条件下的参数估计结果，从而进行统计推断和决策 。
单个正态总体参数的区间估计
均值μ的区间估计
对于单个正态总体，我们可以通过样本均值来估计总体均值μ。假设样本容量 为n，样本均值为x，则总体均值μ的95%置信区间为[x-1.96*SE, x+1.96*SE]， 其中SE为样本标准误差。
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总体方差的假设检验
提出假设、计算样本方差、计算卡方 统计量、确定临界值、做出推断结论 。
两个正态总体参数的假设检验
两个总体均值差的假设检验
提出假设、计算样本均值和标准差、计算t统计量、确定临界值、做出推断结论。
两个总体方差比的假设检验
提出假设、计算样本方差、计算卡方统计量、确定临界值、做出推断结论。
用单一的数值估计总体参数，如 用样本均值估计总体均值。
区间估计
给出总体参数的估计区间，如 95%置信区间。
参数估计的方法
点估计方法
01
02
直接估计：根据样本数据直接计算估计量。
插值法：利用已知的点估计结果，通过插 值方法得到更精确的估计。
第四讲参数估计PPT课件
0.50
均数 的均 数
4.99
5.00
均数标准差
0.2212 0.1580
5.00 0.0920
n
0.2236 0.1581 0.0913
由表1可见，从同一总体中随机抽取样本含 量n=10的若干样本，各样本算得的样本均 数并不等于相应的总体均数，且各样本均 数也不完全相同。这种由于随机抽样而造 成的来自同一总体的样本均数之间及样本 均数与相应的总体均数之间的差异，称之 为均数的抽样误差。
总体均数可信区间的计算
Hale Waihona Puke 总体均数可信区间的计算 需考虑： （1）总体标准差 是否已知， （2）样本含量n的大小 通常有两类方法： （1）t分布法
（2）u分布法
1. 单一总体均数的可信区间 (1) 未 知 ： 按 t 分 布 。
双 侧 1 可 信 区 间 则 为 ：
X t 2 , S X < X t 2 , S X ( X t S 2 , X , X t 2 , S X )
由于样本均数与相应的总体均数之间存在着 差异，由数理统计推理可知：从正态总体中 随机抽取样本含量为n的样本，每抽取一个 样本可计算一个样本均数，重复100次抽样可 得到100个样本均数。
这些样本均数服从均数为
，方差为
2 x
的正态分布.其中 x 为样本均数的总
体标准差，计算公式为： / n X
2. 两总体均数之差的可信区间: 从相 等，但 不等的两个正态总体 N(1, 2)和 N(2, 2)进行随机抽样。则两总体均数之差
( 1 2 )的双侧1 可信区间为
(X 1X2)t/2,SX1X2
( n 1 1 ) ( n 2 1 ) n 1 n 2 2
S X1X 2
均数 的均 数
4.99
5.00
均数标准差
0.2212 0.1580
5.00 0.0920
n
0.2236 0.1581 0.0913
由表1可见，从同一总体中随机抽取样本含 量n=10的若干样本，各样本算得的样本均 数并不等于相应的总体均数，且各样本均 数也不完全相同。这种由于随机抽样而造 成的来自同一总体的样本均数之间及样本 均数与相应的总体均数之间的差异，称之 为均数的抽样误差。
总体均数可信区间的计算
Hale Waihona Puke 总体均数可信区间的计算 需考虑： （1）总体标准差 是否已知， （2）样本含量n的大小 通常有两类方法： （1）t分布法
（2）u分布法
1. 单一总体均数的可信区间 (1) 未 知 ： 按 t 分 布 。
双 侧 1 可 信 区 间 则 为 ：
X t 2 , S X < X t 2 , S X ( X t S 2 , X , X t 2 , S X )
由于样本均数与相应的总体均数之间存在着 差异，由数理统计推理可知：从正态总体中 随机抽取样本含量为n的样本，每抽取一个 样本可计算一个样本均数，重复100次抽样可 得到100个样本均数。
这些样本均数服从均数为
，方差为
2 x
的正态分布.其中 x 为样本均数的总
体标准差，计算公式为： / n X
2. 两总体均数之差的可信区间: 从相 等，但 不等的两个正态总体 N(1, 2)和 N(2, 2)进行随机抽样。则两总体均数之差
( 1 2 )的双侧1 可信区间为
(X 1X2)t/2,SX1X2
( n 1 1 ) ( n 2 1 ) n 1 n 2 2
S X1X 2
第四章 参数估计
x
n
总体标准差，若 未知，可用样本
标准差代替
36
总体均值的置信区间引例
(２ 未知)
例：某商场从一批袋装食品中随机抽取10袋，测得 每袋重量（单位：克）分别为789，780，794， 762，802，813，770，785，810，806，要 求以95%的把握程度，估计这批食品的平均每袋 重量的区间范围。假定食品重量服从正态分布。
0.95，Ｚ/2=1.96
x Z 2
n
,
x
Z
2
n
26 1.96 6 ,26 1.96 6
100
100
24.824,27.176
我们可以95％的概率保证平均每天 参加锻炼的时间在24.824～ 27.176 分钟之间。
一般置信水平
一般使用的置信水平是：90%, 95%, 99%
Confidence Level
▪ 总体服从正态分布,且总体方差（２）已知 ▪ 如果不是正态分布，可以由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量Ｚ
Z
x s
m ~ N (0,1)
n
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
s
s
x
Za 2
,x n
Za 2 n
总体均值的置信区间
(２ 已知)
抽样极限误差:
s x Za 2 n
❖ 定理1
当总体 X ~ N ( m , s 2 ) 时，抽自该总体
的简单随机样本 x1 , x 2 , , x n 的样本平均数
服从数学期望为 ，方差为 s2的正态分布，
n
即 x ~ N (m, s2 ) 。
n
Z x ~ N (0,1) n
医学统计学ppt课件第4章参数估计pptx
二项分布参数估计
样本比例
用于估计二项分布中的成功概率。
置信区间
构建关于成功概率的置信区间，以评估估计的准确性。
假设检验
基于二项分布的参数估计结果进行假设检验，以验证 研究假设。
泊松分布参数估计
样本均值
用于估计泊松分布中的平均发生率。
置信区间
构建关于平均发生率的置信区间，以评估估计 的准确性。
假设检验
医学统计学ppt课件第4章参 数估计pptx
contents
目录
• 参数估计基本概念 • 参数估计方法 • 参数估计应用举例 • 区间估计原理及方法 • 非参数Bootstrap方法简介 • 参数估计软件实现及结果解读
01
参数估计基本概念
参数与统计量
参数
描述总体特征的数，如总体均数、总 体率等。
SAS
功能强大的统计分析软件，支持多种复杂统计模型的参数估计。操作指南涉及程序编写、数据导入、模型运行、结果查看 等环节。
R语言 开源的统计计算和图形展示软件，具有强大的数据处理和参数估计能力。操作指南涵盖数据导入、数据 处理、模型拟合、结果可视化等方面。
结果解读与注意事项
结果解读
关注参数估计值、标准误、置信区间、假设检验等关键结果，理解各指标的含义和统计意义。
单个正态总体均值和方差区间估计
单个正态总体均值区间估计
未知方差时，使用t分布进行区间 估计。
使用卡方分布进行区间估计；
已知方差时，使用z分布进行区间 估计；
单个正态总体方差区间估计
需要考虑样本量对区间估计的影 响。
两个正态总体均值差和方差比区间估计
01
两个正态总体均值差区间估计
02
两总体方差已知且相等时，使用z分布进行区间估计；
第四讲_(计量经济学第二章)
^ − ^ − ^ − β0 = Y − β1 X1 − β2 X2 ^ ( ∑ yi x1i )∑ x22i −( ∑ yi x2i )∑ x1i x2i 2 2 2 β1 = ∑ x1i ∑ x2 i −( ∑ x1i x2 i ) ^ ( y x ) x2 −( y x ) x x β 2 = ∑ i 2i 2∑ 1i 2 ∑ i 1i ∑2 1i 2i ∑ x1i ∑ x2 i −( ∑ x1i x2 i )
∑x1i x2i )x2i ]Y
= ∑k1iYi
∑ x12i −( ∑ yi x1i )∑ x1i x2i β2 = ∑ x2 x2 −( ∑ x x )2 1i 2 i 1i ∑ 2 i 2 ∑[(∑ x1i ) x2 i yi ]−∑[(∑ x1i x2 i ) x1i yi ] = 2 2 2 ∑ x1i ∑ x2 i −( ∑ x1i x2 i ) 2 [(∑ x1i ) x2 i −( ∑ x1i x2 i ) x1i ] = ∑{ ∑ x2 x2 −( ∑ x x )2 yi } 1i 2 i 1i ∑ 2 i
二元线性回归 模型参数的普 通最小二乘估 计。
1、将解简化： 、将解简化：
β1 =
=
∑[(
^
( ∑ yi x1i )
∑ ∑x1i x2i 2 2 2 ∑ x1i ∑x2i −( ∑ x1i x2i )
2 x2i −( ∑ yi x2i )
∑
2 x2i )x1i yi ]−∑[(
∑
(
x1i x2i )x2i yi ]
α
2
1 − α p{| T1 |< t } = 1 − α
^ ^
^ ^ 2 1 2 1
得置信区间： 得置信区间： ( β 1 − t α × S β , β 1 + t α × S β )
参 数 估 计
8
1.总体平均数的区间估计
用区间估计的方法来估计总体平均数 x ，必须具备三要
素：点估计量即样本平均数、平均数的抽样极限误差Δx 和置信度F(t)。公式如下：
P(x x X x x) F (t) 1
其中
x tx t x
9
1.总体平均数的区间估计
例6.7：从某校全部学生中，随机抽取 100名学生，x 平均体重 =58kg，x 抽样
（2）允许误差（极限误差）Δ，即Δ的数值。 （3）概率度t 。 （4）抽样方法。 （5）抽样的组织方式。
14
（二）必要抽样数目的计算
1．重复抽样条件下平均数的必要抽样数目的确定
因为
x tx
t x
t
n
所以
t 2 2
n x2
15
（二）必要抽样数目的计算
例6.10：某城市组织职工家庭生活抽样 调查，根据历史资料知，职工家庭平均每 户每月收入的标准差为11.50元 ,要求把 握程度为95.45% ,允许误差为1元,问需 抽选多少户?
20
（二）必要抽样数目的计算
例6.12，设某工地有土方工人2000名，拟用不重复抽 样推断，来测定其平均工作量，要求抽样误差不超过0.1 立方米，把握程度为99.73%，已知上次抽样调查所得 的方差为2.25，试求必要抽样数目。
3
一、点估计
(1) 无偏性。如果估计量 的ˆ数学期望值等于总体参数θ， 即E( )=θ，则是θ的ˆ 无偏估计量。
ˆ
(2) 即
有效,性。则如是果2 θ对 的比2*有任ˆ效何估一计个量估。计量
, 有最小方差，
ˆ (3)一致性。如果估计nl量im P[，ˆ 随着样 ]本 1容量n的增大而趋
近于θ，即ˆ 则 是θ的一致估计量。
1.总体平均数的区间估计
用区间估计的方法来估计总体平均数 x ，必须具备三要
素：点估计量即样本平均数、平均数的抽样极限误差Δx 和置信度F(t)。公式如下：
P(x x X x x) F (t) 1
其中
x tx t x
9
1.总体平均数的区间估计
例6.7：从某校全部学生中，随机抽取 100名学生，x 平均体重 =58kg，x 抽样
（2）允许误差（极限误差）Δ，即Δ的数值。 （3）概率度t 。 （4）抽样方法。 （5）抽样的组织方式。
14
（二）必要抽样数目的计算
1．重复抽样条件下平均数的必要抽样数目的确定
因为
x tx
t x
t
n
所以
t 2 2
n x2
15
（二）必要抽样数目的计算
例6.10：某城市组织职工家庭生活抽样 调查，根据历史资料知，职工家庭平均每 户每月收入的标准差为11.50元 ,要求把 握程度为95.45% ,允许误差为1元,问需 抽选多少户?
20
（二）必要抽样数目的计算
例6.12，设某工地有土方工人2000名，拟用不重复抽 样推断，来测定其平均工作量，要求抽样误差不超过0.1 立方米，把握程度为99.73%，已知上次抽样调查所得 的方差为2.25，试求必要抽样数目。
3
一、点估计
(1) 无偏性。如果估计量 的ˆ数学期望值等于总体参数θ， 即E( )=θ，则是θ的ˆ 无偏估计量。
ˆ
(2) 即
有效,性。则如是果2 θ对 的比2*有任ˆ效何估一计个量估。计量
, 有最小方差，
ˆ (3)一致性。如果估计nl量im P[，ˆ 随着样 ]本 1容量n的增大而趋
近于θ，即ˆ 则 是θ的一致估计量。
第4讲系统动力学参数及估计方法
第4讲系统动力学参数及估计方法在系统动力学建模中，参数是指描述系统行为的数值化量，而参数的估计是指根据观测到的数据来确定参数的过程。
系统动力学参数的估计方法有多种，下面将介绍其中的几种常用方法。
第一种方法是经验估计法。
这种方法是根据经验或专家知识来估计模型参数。
例如，在建立经济系统的动力学模型时，可以根据相关经济理论和经济数据的特征来估计参数。
虽然这种方法简单直观，但由于缺乏严格的数学依据，估计结果的准确性难以保证。
第二种方法是极大似然估计法。
这种方法是在给定观测数据的条件下，寻找模型参数的最大似然估计。
具体而言，极大似然估计法是通过最大化似然函数来确定参数的值，似然函数是描述观测数据和模型之间关系的函数。
估计结果是使似然函数取得最大值的参数值。
极大似然估计法的优点是可以利用观测数据来确定参数值，并且具有统计性质好的特点。
第三种方法是最小二乘法。
最小二乘法是通过最小化残差平方和来确定参数的值，其中残差是观测值与模型预测值之间的差异。
最小二乘法可以直接求解出参数的解析表达式，从而得到参数的估计值。
这种方法适用于线性模型和非线性模型，并且具有较好的数学性质。
第四种方法是贝叶斯估计法。
贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理的估计方法，它将参数视为随机变量，并通过考虑先验分布和观测数据来更新参数的后验分布。
贝叶斯估计法可以通过抽样方法（如马尔科夫链蒙特卡洛方法）来获取参数的后验分布，并且可以考虑不确定性信息。
在实际应用中，选择适当的参数估计方法需要考虑多方面的因素，包括数据的可用性、模型的结构和复杂度、参数的先验信息等。
此外，还需要对估计结果进行检验和验证，以确保参数估计的准确性和可靠性。
因此，在进行参数估计时，需要综合考虑以上因素，并选择合适的方法来估计系统动力学的参数。
参数估计
结论：不管总体X服从何种分布， 结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差 的矩估计量分别为样本均值、样本方差， 的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即
1 n µ = X = ∑ Xi n i =1 1 n σ 2 = ∑ ( X i − X ) 2 = Sn2 n i =1
估计值为
1 n µ = x = ∑ xi n i =1
ˆ L( x1 , x2 ,L , xn , θ ) = max L( x1 , x2 ,L , xn , θ )
ˆ 为参数θ的极大似然估计值。 则称 θ 为参数θ的极大似然估计值。
参数的极大似然估计法
求解方法： 求解方法： （1）构造似然函数 L(θ ) = f ( x1 , x2 ,L , xn , θ ) = Π f ( xi , θ ) ） （2）取自然对数 ） （3）令 ）
$ 将样本观测值 x1 , x2 ,L , xn 代入 θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ) ， $ 参数θ 称为参数 的估计值。 得到的值 θ ( x1 , x2 ,L , xn ) 称为参数θ的估计值。
点估计（ 如果构造一个统计量 点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。 试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。 解 由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为 由数字特征法，
1 20 µ = x = ∑ xi = 5.21 20 i =1 1 20 2 2 2 σ =S = ∑ ( xi − 5.21) = 0.049 20 − 1 i =1
n
ln L( x1 , x2 ,L , xn ,θ ) = ∑ ln f ( xi , θ )
i =1
n
参 数 估 计
二、参 数 估 计
【例5-5】 设X～B(1,p)，(X1，X2,…,Xn)是取自总体X的一个子样， 试求参数p的极大似然估计量。
解：设(x1,x2,…,xn)是子样(X1，X2,…,Xn)的一组相应的取值。总体X 的分布律为
则似然函数为 取对数后，有 令
二、参 数 估 计
从而得p的极大似然估计值为 p的极大似然估计量为
项目
参数估计
二、参 数 估 计
一、 参数估计的基本原理
参数估计是指由样本指标值（统计量）估计总体指标值 （参数），即当总体的分布性质已知，但其所含参数真值未 知时，根据一组样本的观察值X1，X2,…,Xn来估计总体中未 知参数θ或θ的某函数。首先从样本(X1，X2,…,Xn)中提取有 关总体X的信息，即构造样本的函数——统计量 g(X1X2,…,Xn)；然后用样本值代入，求出统计量 g(x1,x2,…,xn)的值，用该值来作为相应待估参数的值。
二、参 数 估 计
二 、 评价估计量的标准
在参数估计中，用样本估计量 作为总体参数θ的估 计量，实际上，对于同一参数，用不同的估计方法求出的估 计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量。 也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，从原则上 讲，任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪 一个估计量好呢？这就涉及估计量的评价问题，而判断估计 量好坏的标准是：有无系统偏差，波动性的大小，伴随样本 容量的增大是否越来越精确，这就是估计的无偏性、有效性 和一致性。
区间的概念，并给出在一定可信程度的前提下求置信区间的
方法，使区间的平均长度最短。
二、参 数 估 计
用给定的置信度1－α说明区间估计的可靠程度
，通常α取值很小，如取0.05、0.01，有时取0.1。
第四章参数估计
即：当样本单位数增加0.5倍时，抽样平均误差为原来的0.8165倍。
第5章 参数估计
20
（三）抽样允许误差(Ultimate sampling error)
1、含义：进行区间估计时，对应于一定置信水平下 允许出现的最大误差范围。
2、抽样允许误差的表示： E x E p
Ex
x max
Ep
p max
0.150.05
x
n
9
1- = 0.95查标准正态概率
分布表得：Ｚ /2 =1.96
下限为：
x 2 x 2 .1 4 1 .9 6 * 0 .0 5 2 .0 4 2
该种零件的平均长度95％
的 置 信 区 间 为 （ 2.042 ，
2.238）
第5章 参数估计
33
【例6】已知某灯泡的寿命服从正态分布，现从一批 灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命如下: (小时)1510 1450 1480 1520 1480 1460 1480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470 试确定该批灯泡平均使用寿命95％的置信区间。
应总体参数的点估计值。 若总体标准差已知，进入下一步。否则， 计算样本标准差以推算抽样平均误差。 根据给定的抽样极限误差，估计参数的区间下限
和上限，给出估计区间。 将抽样极限误差除以抽样平均误差求Z值，查《标
准正态分布概率表》求出相应的置信水平。 给出结论。
第5章 参数估计
24
总体均值的区间估计（已知抽样允许误差）
用样本均值或中位数作为总体均值的估计值， 用样本比率作为总体比率的估计值， 用修正样本方差作为总体方差的估计值。 2、点估计误差不能准确计算，且没有给出估计值接 近总体未知参数程度的信息。
第5章 参数估计
20
（三）抽样允许误差(Ultimate sampling error)
1、含义：进行区间估计时，对应于一定置信水平下 允许出现的最大误差范围。
2、抽样允许误差的表示： E x E p
Ex
x max
Ep
p max
0.150.05
x
n
9
1- = 0.95查标准正态概率
分布表得：Ｚ /2 =1.96
下限为：
x 2 x 2 .1 4 1 .9 6 * 0 .0 5 2 .0 4 2
该种零件的平均长度95％
的 置 信 区 间 为 （ 2.042 ，
2.238）
第5章 参数估计
33
【例6】已知某灯泡的寿命服从正态分布，现从一批 灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命如下: (小时)1510 1450 1480 1520 1480 1460 1480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470 试确定该批灯泡平均使用寿命95％的置信区间。
应总体参数的点估计值。 若总体标准差已知，进入下一步。否则， 计算样本标准差以推算抽样平均误差。 根据给定的抽样极限误差，估计参数的区间下限
和上限，给出估计区间。 将抽样极限误差除以抽样平均误差求Z值，查《标
准正态分布概率表》求出相应的置信水平。 给出结论。
第5章 参数估计
24
总体均值的区间估计（已知抽样允许误差）
用样本均值或中位数作为总体均值的估计值， 用样本比率作为总体比率的估计值， 用修正样本方差作为总体方差的估计值。 2、点估计误差不能准确计算，且没有给出估计值接 近总体未知参数程度的信息。
统计建模与R软件-第四讲-(2017)
极大似然法
定义1：设总体X的概率密度函数或分布律为 f ( x, ), 是未知参数，X1 , X 2 ,, X n 为来自总体X的样本，称
L( ; x) L( ; x1, x2 ,, xn ) f ( xi , )
i 1 n
为θ的似然函数(likelihood function). 定义2：设总体X的概率密度函数或分布律为 f ( x, ),
i
~ N (
2
, 2 )
2
n1S1n1 (n2 1) 2 2 ~ F (n1 1, n2 1) 2 n2 S2 n 2 (n1 1)1
两个完全不同的正态分布母体诱导F分布
i ~ N (1 , 2 )
i
~ N (
2
, )
2
( ) ( 1 2 )~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
主函数：
x<-rbinom(100, 20, 0.7); n<-length(x) M1<-mean(x); M2<-(n-1)/n*var(x) source("moment_fun.R"); source("Newtons.R") K0,p0 p<-c(10,0.5); Newtons(moment_fun, p) f,J $root [1] 20.9158983 0.6564385 $it [1] 5
2
(x ) 0
i
L n 1 2 2 2 2 4
( xi ) 0
2
1 n ˆ Xi x n i 1 1 n 2 ˆ ( X i X )2 n i 1
参数估计方法
第七章 参数估计第一节 基本概念1、概念网络图{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧单正态总体的区间估计区间估计一致性有效性无偏性估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计从样本推断总体2、重要公式和结论例7．1：设总体),(~b a U X ，求对a, b 的矩估计量。
例7．2：设n x x x ,,,,21 是总体的一个样本，试证（1）;2110351321x x x ++=∧μ （2）;12541313212x x x ++=∧μ（3）.12143313213x x x -+=∧μ都是总体均值u 的无偏估计，并比较有效性。
例7．3：设n x x x ,,,,21 是取自总体),(~2σμN X 的样本，试证∑=--=ni i x x n S 122)(11 是2σ的相合估计量。
第二节 重点考核点矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计第三节 常见题型1、矩估计和极大似然估计例7．4：设0),,0(~>θθU X ，求θ的最大似然估计量及矩估计量。
例7．5：设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥=--.,0,1)(/)(其他μθθμx e x f x其中θ>0, θ,μ为未知参数，n X X X ,,,21 为取自X 的样本。
试求θ,μ的极大似然估计量。
2、估计量的优劣例7．6：设n 个随机变量n x x x ,,,21 独立同分布，,)(11,1,)(122121∑∑==--===n i i n i i x x n S x n x x D σ 则（A ）S 是σ的无偏估计量；（B ）S 是σ的最大似然估计量； （C ）S 是σ的相合估计量；（D ）x S 与2相互独立。
例7．7：设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=,,0,0),(6)(3其他θθθx x xx fn X X X ,,,21 是取自X 的简单随机样本。
（1） 求θ的矩估计量∧θ；（2） 求∧θ的方差D （∧θ）；（3） 讨论∧θ的无偏性和一致性（相合性）。
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得， t0.05/ 2,60 2.000 ，代入公式，则
两总体 IL-2 均数之差( 1 2 )的双侧 95%可信区间为
(20.10 16.89) 2.000 2.0023 0.79, 7.21 (IU/ml)
故两组治疗前基线的 IL-2 总体均数之差的 95%可信区间为(-0.79, 7.21)(IU/mL)。
单侧1 可信区间则为:
X t , S X
X t , S X 或
例
在 n=10 的抽样试验当中抽得第 15 号样本的均
数 X 166.95 (cm)，标准差 S 3.64 (cm)，求其总体均 数的 95%可信区间。
本例 n=10，算得样本均数的标准误为
第四讲
参数估计
统计推断 statistical inference
内容：
总体
参数
如：总体均数
抽取部分观察单位
样本
统计推断
统计量
如：样本均数 X 样本标准差S 样本率 P
1. 参数估计 (estimation of parameters) 包括：点估计与 区间估计 2. 假设检验（test of hypothesis)
2 x
统计上通常将统计量（如样本均数、 样本率p等）的标准差称为标准误 (standard error，SE）。所以，样本均
X 又称为样本均数的标准 数的标准差
误，是反映样本均数抽样误差大小的指 标。
特点：
１． x 的大小与总体标准差成正比，与样本
含量的平方根成反比。即当样本含量n一定时，标
3. 3. 4. 4. 4.
50 0
71 92 12 33 54
3. 4. 12 4. 33 54 4. 4.
均数
4. 74 95 5. 1 5. 5 36 5. 5 5. 7 77 5. 9 6. 8 19
4. 4.
均数
74 95 5. 5. 5. 5. 5. 6. 15 36 57 77 98 19
2 SC −−合并方差。
同理，两总体均数之差( 1 2 )的单侧 1 可信区间为
( 1 2 ) ( X 1 X 2 ) t , S X 1 X 2
( 1 2 ) ( X 1 X 2 ) t , S X 1 X 2
当两样本的样本含量均较大时，可按正态分布处理。
例 为了解氨甲喋呤(MTX)对外周血IL-2水 平的影响，某医生将61名哮喘患者随机分为两
组。其中对照组29例( n)，采用安慰剂；实验组 1
32例( n2)，采用小剂量氨甲喋呤(MTX)进行治疗。 测 得 对 照 组 治 疗 前 IL-2 的 均 数 为 20.10 IU/ml ( X )，标准差为7.02 IU/ml ( S1 )；试验组治疗前 1 IL-2的均数为16.89 IU/ml ( X )，标准差为8.46
3.64 1.96 0.0849 (3.47, 3.81)(mmol/L)
故该地正常成年人血清胆固醇均数的双 侧95%可信区间为(3.47, 3.81)mmolL。
2. 两总体均数之差的可信区间: 从相 等，但 不等的两个正态总体 N(1, 2)和 N(2, 2)进行随机抽样。则两总体均数之差 ( 1 2 )的双侧1 可信区间为
（可信区间会变宽），势必降低可信区间的实
际应用价值，故不能笼统认为99%可信区间比 95%可信区间要好。
相反，在实际应用中，95%可信区间更为常用 。
在可信度确定的情况下，增加样本含量 可减小区间宽度，提高精确度。
区别点 含 义
总体均数可信区间
参考值范围
按预先给定的概率，确定的未知参数 的可能范围。实际上 “正常人”的解剖，生理， 一次抽样算得的可信区间要么包含了总体均数， 要么不包含。 生化某项指标的波动范围。 但可以说：当=0.05 时，95%CI 估计正确的概率为 0.95，即 有 95%的可能性包含了总体均数。 总体均数的波动范围 计算 公式 用途 个体值的波动范围 正态分布： X u S 偏态分布：PX~P100X 绝大多数(如 95%)观察对象 某项指标的分布范围
例 某地抽取正常成年人200名，测得其
血清胆固醇的均数为3.64 mmol/L，标准差为 1.20mmol/L，估计该地正常成年人血清胆固
醇均数的95%可信区间。
本例 n=200，故可采用正态近似的方法 计算可信区间。今 X =3.64、 S =1.20、 n =200、 S X =0.0849， 取双尾 0.05 得 u0.05/ 2 1.96 。
总体均数可信区间的计算
总体均数可信区间的计算 需考虑： （1）总体标准差是否已知， （2）样本含量n的大小 通常有两类方法： （1）t分布法 （2）u分布法
1. 单一总体均数的可信区间
(1) 未知：按 t 分布。 双侧1 可信区间则为：
X t 2, S X <X t 2, S X ( X t 2, S X , X t 2, S X )
3个抽样实验结果图示
n 10; S X 0.1580
1000份样本抽样计算结果
总体 的均 数 5.00 5.00 总体 标准 差s 0.50 0.50 均数 的均 数 4.99 5.00 均数标准差
0.2236 0.1581
n
n=5 n=1 0
0.2212 0.1580
n=3 0
5.00
二、总体均数的估计
（一） 总体均数的点估计（point estimation）与区间估计
点估计：由样本统计量 X、S、p 参数的估计
直接估计 总体参数 、、
区间估计：在一定可信度 （Confidence level） 下 ，同时考虑抽样误差
统计学中的统计推断包括两个重要的方面：一是利 用样本统计量的信息对相应总体参数值做出推断 ，如用样本均数估计总体均数，用样本标准差S估 计总体标准差等，称之为点估计。另一个是利用
可信区间的确切涵义
1. 95%的可信区间的理解：
（1）所要估计的总体参数有95%的可能在我们所估计 的可信区间内。 （2）从正态总体中随机抽取100个样本，可算得100 个样本均数和标准差，也可算得100个均数的可信区间
，平均约有95个可信区间包含了总体均数 。
2.可信区间的两个要素
2．区间估计(interval estimation)：
按预先给定的概率(1)所确定的包含 未知总体参数的一个范围。 总体均数的区间估计：按预先给定的 概率(1)所确定的包含未知总体均数的一 个范围。
如给定=0.05,该范围称为参数的95%可信
区间或置信区间； 如给定=0.01,该范围称为参数的99%可信 区间或置信区间。
与标准差，幵对1000份样本的均数作直方图。
按上述方法再做样本含量n＝10、样本含量n＝30 的抽样实验；比较计算结果。
抽样试验（n=5）
抽样试验（n=10）
抽样试验（n=30）
频数
100 150 200 250 300 350 400 450
3.
50 0
71 92 12 33 54 74 95 15 36 57 77
(2)n 较大时：按 u 分布。
u / 2
已知：
X
X
u / 2 即 X u 2 X X u 2 X
( X u 2 X , X u 2 X )
u / 2
未知但 n 较大：
X u / 2 即 X u 2 S X X u 2 S X SX
3. 4. 4. 4. 4. 4.
均数
5. 5. 5. 5. 5. 6. 98 19
n 5; S X 0.2212
n 30; S X 0.0920
频数
100 150
频数
200 250 300 350 400 450
100
150
200
250
300
350
400
450
3.
50 0
71 92
样本统计量来推断我们是否接受一个事先的假设
，称之为假设检验。本章只讨论参数估计，假设
检验将在下一章中讨论。而参数估计又分为点估
计与区间估计。
1.点估计 总体均数的点估计(point estimation)就是用样本均数来直接地 估计总体均数，这种方法比较简单 ，由于没有考虑到抽样误差，只适 合大样本资料的统计推断。
( X u 2 S X , X u 2 S X )
总体均数双侧1 可信区间可简写为
X u
2
X 或 X u 2 S X
同理，总体均数的单侧1 可信区间则为
X u X 或 X u S X
X u X 或 X u S X
（1）准确度：用可信度（1）表示：即区间包含总 体均数的理论概率大小 。
当然它愈接近1愈好，如99%的可信区间比95%的可信 区间要好 。
（2）精确度：即区间的宽度 区间愈窄愈好，如95%的可信区间比99%的可信区间 要好 。
当n确定时，上述两者互相矛盾。
提高准确度（可信度），则精确度降低
随机抽取样本含量为n的样本，每抽取一个 样本可计算一个样本均数，重复100次抽样可
得到100个样本均数。
这些样本均数服从均数为 ，方差为 的正态分布.其中 x为样本均数的总 X 体标准差，计算公式为： / n
为了与反映个体差异的标准差（或 ）相区别，样本均数的标准差用 X 表示。
准差越大，即样本的个体差异越大，标准误就越
两总体 IL-2 均数之差( 1 2 )的双侧 95%可信区间为
(20.10 16.89) 2.000 2.0023 0.79, 7.21 (IU/ml)
故两组治疗前基线的 IL-2 总体均数之差的 95%可信区间为(-0.79, 7.21)(IU/mL)。
单侧1 可信区间则为:
X t , S X
X t , S X 或
例
在 n=10 的抽样试验当中抽得第 15 号样本的均
数 X 166.95 (cm)，标准差 S 3.64 (cm)，求其总体均 数的 95%可信区间。
本例 n=10，算得样本均数的标准误为
第四讲
参数估计
统计推断 statistical inference
内容：
总体
参数
如：总体均数
抽取部分观察单位
样本
统计推断
统计量
如：样本均数 X 样本标准差S 样本率 P
1. 参数估计 (estimation of parameters) 包括：点估计与 区间估计 2. 假设检验（test of hypothesis)
2 x
统计上通常将统计量（如样本均数、 样本率p等）的标准差称为标准误 (standard error，SE）。所以，样本均
X 又称为样本均数的标准 数的标准差
误，是反映样本均数抽样误差大小的指 标。
特点：
１． x 的大小与总体标准差成正比，与样本
含量的平方根成反比。即当样本含量n一定时，标
3. 3. 4. 4. 4.
50 0
71 92 12 33 54
3. 4. 12 4. 33 54 4. 4.
均数
4. 74 95 5. 1 5. 5 36 5. 5 5. 7 77 5. 9 6. 8 19
4. 4.
均数
74 95 5. 5. 5. 5. 5. 6. 15 36 57 77 98 19
2 SC −−合并方差。
同理，两总体均数之差( 1 2 )的单侧 1 可信区间为
( 1 2 ) ( X 1 X 2 ) t , S X 1 X 2
( 1 2 ) ( X 1 X 2 ) t , S X 1 X 2
当两样本的样本含量均较大时，可按正态分布处理。
例 为了解氨甲喋呤(MTX)对外周血IL-2水 平的影响，某医生将61名哮喘患者随机分为两
组。其中对照组29例( n)，采用安慰剂；实验组 1
32例( n2)，采用小剂量氨甲喋呤(MTX)进行治疗。 测 得 对 照 组 治 疗 前 IL-2 的 均 数 为 20.10 IU/ml ( X )，标准差为7.02 IU/ml ( S1 )；试验组治疗前 1 IL-2的均数为16.89 IU/ml ( X )，标准差为8.46
3.64 1.96 0.0849 (3.47, 3.81)(mmol/L)
故该地正常成年人血清胆固醇均数的双 侧95%可信区间为(3.47, 3.81)mmolL。
2. 两总体均数之差的可信区间: 从相 等，但 不等的两个正态总体 N(1, 2)和 N(2, 2)进行随机抽样。则两总体均数之差 ( 1 2 )的双侧1 可信区间为
（可信区间会变宽），势必降低可信区间的实
际应用价值，故不能笼统认为99%可信区间比 95%可信区间要好。
相反，在实际应用中，95%可信区间更为常用 。
在可信度确定的情况下，增加样本含量 可减小区间宽度，提高精确度。
区别点 含 义
总体均数可信区间
参考值范围
按预先给定的概率，确定的未知参数 的可能范围。实际上 “正常人”的解剖，生理， 一次抽样算得的可信区间要么包含了总体均数， 要么不包含。 生化某项指标的波动范围。 但可以说：当=0.05 时，95%CI 估计正确的概率为 0.95，即 有 95%的可能性包含了总体均数。 总体均数的波动范围 计算 公式 用途 个体值的波动范围 正态分布： X u S 偏态分布：PX~P100X 绝大多数(如 95%)观察对象 某项指标的分布范围
例 某地抽取正常成年人200名，测得其
血清胆固醇的均数为3.64 mmol/L，标准差为 1.20mmol/L，估计该地正常成年人血清胆固
醇均数的95%可信区间。
本例 n=200，故可采用正态近似的方法 计算可信区间。今 X =3.64、 S =1.20、 n =200、 S X =0.0849， 取双尾 0.05 得 u0.05/ 2 1.96 。
总体均数可信区间的计算
总体均数可信区间的计算 需考虑： （1）总体标准差是否已知， （2）样本含量n的大小 通常有两类方法： （1）t分布法 （2）u分布法
1. 单一总体均数的可信区间
(1) 未知：按 t 分布。 双侧1 可信区间则为：
X t 2, S X <X t 2, S X ( X t 2, S X , X t 2, S X )
3个抽样实验结果图示
n 10; S X 0.1580
1000份样本抽样计算结果
总体 的均 数 5.00 5.00 总体 标准 差s 0.50 0.50 均数 的均 数 4.99 5.00 均数标准差
0.2236 0.1581
n
n=5 n=1 0
0.2212 0.1580
n=3 0
5.00
二、总体均数的估计
（一） 总体均数的点估计（point estimation）与区间估计
点估计：由样本统计量 X、S、p 参数的估计
直接估计 总体参数 、、
区间估计：在一定可信度 （Confidence level） 下 ，同时考虑抽样误差
统计学中的统计推断包括两个重要的方面：一是利 用样本统计量的信息对相应总体参数值做出推断 ，如用样本均数估计总体均数，用样本标准差S估 计总体标准差等，称之为点估计。另一个是利用
可信区间的确切涵义
1. 95%的可信区间的理解：
（1）所要估计的总体参数有95%的可能在我们所估计 的可信区间内。 （2）从正态总体中随机抽取100个样本，可算得100 个样本均数和标准差，也可算得100个均数的可信区间
，平均约有95个可信区间包含了总体均数 。
2.可信区间的两个要素
2．区间估计(interval estimation)：
按预先给定的概率(1)所确定的包含 未知总体参数的一个范围。 总体均数的区间估计：按预先给定的 概率(1)所确定的包含未知总体均数的一 个范围。
如给定=0.05,该范围称为参数的95%可信
区间或置信区间； 如给定=0.01,该范围称为参数的99%可信 区间或置信区间。
与标准差，幵对1000份样本的均数作直方图。
按上述方法再做样本含量n＝10、样本含量n＝30 的抽样实验；比较计算结果。
抽样试验（n=5）
抽样试验（n=10）
抽样试验（n=30）
频数
100 150 200 250 300 350 400 450
3.
50 0
71 92 12 33 54 74 95 15 36 57 77
(2)n 较大时：按 u 分布。
u / 2
已知：
X
X
u / 2 即 X u 2 X X u 2 X
( X u 2 X , X u 2 X )
u / 2
未知但 n 较大：
X u / 2 即 X u 2 S X X u 2 S X SX
3. 4. 4. 4. 4. 4.
均数
5. 5. 5. 5. 5. 6. 98 19
n 5; S X 0.2212
n 30; S X 0.0920
频数
100 150
频数
200 250 300 350 400 450
100
150
200
250
300
350
400
450
3.
50 0
71 92
样本统计量来推断我们是否接受一个事先的假设
，称之为假设检验。本章只讨论参数估计，假设
检验将在下一章中讨论。而参数估计又分为点估
计与区间估计。
1.点估计 总体均数的点估计(point estimation)就是用样本均数来直接地 估计总体均数，这种方法比较简单 ，由于没有考虑到抽样误差，只适 合大样本资料的统计推断。
( X u 2 S X , X u 2 S X )
总体均数双侧1 可信区间可简写为
X u
2
X 或 X u 2 S X
同理，总体均数的单侧1 可信区间则为
X u X 或 X u S X
X u X 或 X u S X
（1）准确度：用可信度（1）表示：即区间包含总 体均数的理论概率大小 。
当然它愈接近1愈好，如99%的可信区间比95%的可信 区间要好 。
（2）精确度：即区间的宽度 区间愈窄愈好，如95%的可信区间比99%的可信区间 要好 。
当n确定时，上述两者互相矛盾。
提高准确度（可信度），则精确度降低
随机抽取样本含量为n的样本，每抽取一个 样本可计算一个样本均数，重复100次抽样可
得到100个样本均数。
这些样本均数服从均数为 ，方差为 的正态分布.其中 x为样本均数的总 X 体标准差，计算公式为： / n
为了与反映个体差异的标准差（或 ）相区别，样本均数的标准差用 X 表示。
准差越大，即样本的个体差异越大，标准误就越