直线斜率与倾斜角

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高中数学-直线斜率与倾斜角

高中数学-直线斜率与倾斜角
例2 关于直线的倾斜角和斜率,下列哪些说
法是正确的( D, F )
A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π; D.两直线的斜率相等,它们的倾斜角相等; E.两直线的倾斜角相等,它们的斜率相等; F.直线斜率的范围是(-∞,+∞).
直线的倾斜角
▪ 倾斜角的取值范围是
0。 180。
y
l
x o
▪ 坐标平面上的任何一条直线都有唯一 的倾斜角;而每一个倾斜角都能确定 一条直线的方向.
▪ 倾斜角直观地表示直线对x轴正方向的 倾斜程度.
日常生活中表示倾斜程度的量?
日 常 生 活 中 , 我 们 经 常用 “ 升 高 量 与 前 进 量 的比 ” 表 示 倾 斜 面 的 “ 坡 度 ”( 倾 斜 程 度 ) , 即
举例
例3 如图,直线l1 的倾斜角α1=300,直
线l2⊥l1,求l1,l2 的斜率.
y
解:
l1的斜率k1
tan
1
tan
30。
3 3
l2
1
l2的倾斜角2 90。 30。 120。 O
l1
2 x
l
的斜
2
率k
2
tan
120。
tan( 180。
60。)
tan 60。 3
举例
例4 求过A(-2,0),B(-5,3)两 点的直线的倾斜角和斜率.
1且0。

180
45。
当k
1时 ,tan
1且0。

180
135。
所 求 直 线 的 倾 斜 角 为45。或135。
再见
y y

直线斜率与倾斜角的关系

直线斜率与倾斜角的关系

直线斜率与倾斜角的关系
倾斜角与斜率的关系:k=tanα。

k是斜率,α是倾斜角。

斜率等于倾斜角的正切值,比如简单的正比例函数y=x,斜率是1,倾斜角是45度,tan45°=1。

斜率与倾斜角
斜率k=tanα(α倾斜角)
所以只能说斜率的绝对值越大,所表示的直线越靠近y轴
而因为tan180度=0
所以实际上,当倾斜角接近180度时,斜率的绝对值是接近于0的
斜率的定义
斜率亦称“角系数”,表示平面直角坐标系中表示一条直线对横坐标轴的倾斜程度的量。

直线对X 轴的倾斜角α的正切值tgα称为该直线的“斜率”,并记作k,k=tgα。

规定平行于X轴的直线的斜率为零,平行于Y轴的直线的斜率不存在。

对于过两个已知点(x1,y1) 和(x2,y2)的直线,若x1≠x2,则该直线的斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)。

即k=tanα=(y1-y2)/(x1-x2)。

直线的倾斜角和斜率 课件

直线的倾斜角和斜率  课件

【解析】 (3)∵l 与 x 轴交于点 P,且倾斜角为 α,∴0°< α<180°.
又∵逆时针旋转后得到倾斜角为 α+45°, ∴0°≤α+45°<180°. 综上:00°°<≤αα<+18405°°,<180°,解得 0°<α<135°. 【答案】 (1)B (2)90° (3)0°<α<135°
【思路分析】 直接用斜率公式去求. 【解析】 (1)kPQ=--21--11=32. (2)∵x1=x2,∴斜率不存在. (3)当 m=2 时,斜率不存在; 当 m≠2 时,kPQ=m2--12=m-1 2.
题型三 直线的倾斜角与斜率的关系
例 3 (1)已知过点 A(2m,3),B(2,-1)的直线的倾斜角为 45°,求实数 m 的值;
题型二 直线的斜率的求法
例 2 如图,已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息:①已知三点 A、 B、C 的坐标;②通过斜率判断直线 AB,BC,CA 的倾斜角.
解答本题可通过斜率的定义,求出直线的斜率,根据斜率的 正、负确定直线倾斜角是锐角还是钝角.
(2)数形结合是一种常用的方法. (3)直线逆时针旋转,k 变大,顺时针旋转,k 变小.
思考题 4 经过点 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(2,
1),B(2,-3)的线段总有公共点,求直线的倾斜角与斜率的取值 范围.
【解析】 连接 PA,PB,kPA=1-2(--01)=1,α1=45°, kPB=-3-2- (0-1)=-1,α2=135°,
探究 2 根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角 0°≤α< 90°时,斜率是非负的;当倾斜角 90°<α<180°时,斜率是负 的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题.

直线的倾斜角和斜率,直线方程

直线的倾斜角和斜率,直线方程

直线的倾斜角和斜率,直线方程一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角概念的注意点:1)注意旋转方向:逆时针2)规定平行x轴(或与x轴重合)的直线倾斜角为0°3)直线倾斜角的范围是0°≤<180°2.直线的倾率:直线的倾斜角的正切值tan(倾斜角不为90°时)。

概念注意点:1)倾斜角为90°的直线无斜率2)斜率k可以是任何实数,每条直线都存在唯一的倾斜角,但不是每条直线都有斜率3)=0°时,k=0;0°<<90°时,k>0;=90°时,k不存在;90°<<180°时,k<0。

3.斜率公式:设直线l的倾斜角为(≠90°),P1(x1,y2),P2(x2,y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点,直线l的斜率为k,则:k=tan=,当=90°时,或x1=x2时,直线l垂直于x轴,它的斜率不存在。

例1.求过A(-2,0),B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角。

解:k==-1,即tan=-1,∵0°≤<180°,∴=135°。

点评:已知直线的斜率,可以直接得出直线的倾斜角,但要注意角的范围。

例2.设直线l的斜率为k,且-1<k<1,求直线倾斜角的范围。

解法1:当-1<k<0时,∈(),则,当k=0时,=0,当0<k<1时,∈(0,),则0<<解法2:作k=tan,∈[0,π)时的图形:由上图可知:-1<k<1时,∈[0,)()。

点评:1、当直线的斜率在某一区间内时,要注意对倾斜角范围的讨论。

2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。

二、直线方程的四种形式1.两个独立的条件确定一条直线,常见的确定直线的方法有以下两种(1)由一个定点和确定的方向可确定一条直线,这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。

高中数学——直线的倾斜角和斜率

高中数学——直线的倾斜角和斜率

()
课堂小结
1. 直线的倾斜角和斜率的概念; 2. 根据倾斜角和斜率的概念解决
相关问题; 3. 利用斜率公式解决问题; 4. 数形结合思想,函数思想.
课后作业
作业:P76习题2-1 1,2, 3.
谢谢
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功!
说法是正确的( D,F )
A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π; D.两直线的斜率相等,它们的倾斜角相等; E.两直线的倾斜角相等,它们的斜率相等; F.直线斜率的范围是(-∞,+∞).
例题解析
例3. 如图,直线l1 的倾斜角α1=300,
解:设该直线的斜率为k, 倾斜角为
则由斜率公式得k tan 3 0 1 5 (2)
0。 180。 135。 综上可知:直线的斜率为 1,倾斜角135。
例题解析
例5. 直线 l1、 l2、 l3的斜率分别是k1、 k2、 k3,
试比较斜率的大小.
l1
l2
l3
k1 k3 k2
y y y y
tan 2 1 2 1
x1 x2 x2 x1
直线的斜率计算公式:
y
P2(x2,y2)
P
P1(x1,y1)
O
x
y y
即 k 2 1
x2 x1
例题解析
例1.直线l的倾斜角为45°,则斜率k为 1
直线l的倾斜角为120°,则斜率k为 3 例2. 关于直线的倾斜角和斜率,下列哪些
O
x
(2)
y
0。
k值不存在
k 0
O
x
(3)

专题--直线的倾斜角和斜率习题与知识点

专题--直线的倾斜角和斜率习题与知识点

直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念:当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、 倾斜角α的取值范围: 0°≤α<180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x13.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 22、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即基础卷一.选择题:1.下列命题中,正确的命题是(A )直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α (B )直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α(C )任何一条直线都有倾斜角,但不是每一条直线都存在斜率 (D )直线的斜率为0,则此直线的倾斜角为0或π2.直线l 1的倾斜角为30°,直线l 2⊥l 1,则直线l 2的斜率为(A )3 (B )-3 (C )33 (D )-333.直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是(A )[0, 2π] (B )[0, π) (C )[-4π, 6π] (D )[0, 4π]∪[43π,π)4.若直线l 经过原点和点(-3, -3),则直线l 的倾斜角为(A )4π (B )54π (C )4π或54π (D )-4π5.已知直线l 的倾斜角为α,若cos α=-54,则直线l 的斜率为 (A )43 (B )34 (C )-43 (D )-346.已知直线l 1: y =x sin α和直线l 2: y =2x +c ,则直线l 1与l 2 (A )通过平移可以重合 (B )不可能垂直(C )可能与x 轴围成等腰直角三角形 (D )通过绕l 1上某一点旋转可以重合 二.填空题:7.经过A (a , b )和B (3a , 3b )(a ≠0)两点的直线的斜率k = ,倾斜角α= .8.要使点A (2, cos 2θ), B (sin 2θ, -32), (-4, -4)共线,则θ的值为 .9.已知点P (3 2),点Q 在x 轴上,若直线PQ 的倾斜角为150°,则点Q 的坐标为 . 10.若经过点A (1-t , 1+t )和点B (3, 2t )的直线的倾斜角为钝角,则实数t 的取值范围是 .提高卷一.选择题:2.过点P (2, 3)与Q (1, 5)的直线PQ 的倾斜角为(A )arctan2 (B )arctan(-2) (C )2π-arctan2 (D )π-arctan23.直线l 1: ax +2y -1=0与直线l 2: x +(a -1)y +a 2=0平行,则a 的值是 (A )-1 (B )2 (C )-1或2 (D )0或14.过点A (-2, m ), B (m , 4)的直线的倾斜角为2π+arccot2,则实数m 的值为(A )2 (B )10 (C )-8 (D )0 二.填空题:6.若直线k 的斜率满足-3<k <33,则该直线的倾斜角α的范围是 .8.已知直线l 1和l 2关于直线y =x 对称,若直线l 1的斜率为3,则直线l 2的斜率为 ;倾斜角为 .9.已知M (2, -3), N (-3,-2),直线l 过点P (1, 1),且与线段MN 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是 .综合练习卷一.选择题:1.下列命题正确的是(A )若直线的斜率存在,则必有倾斜角α与它对应 (B )若直线的倾斜角存在,则必有斜率与它对应(C )直线的斜率为k ,则这条直线的倾斜角为arctan k (D )直线的倾斜角为α,则这条直线的斜率为tan α2.过点M (-2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为-21,则a 等于(A )-8 (B )10 (C )2 (D )43.过点A (2, b )和点B (3, -2)的直线的倾斜角为43π,则b 的值是(A )-1 (B )1 (C )-5 (D )54.如图,若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3,则 (A )k 1<k 2<k 3 (B )k 3<k 1<k 2 (C )k 3<k 2<k 1 (D )k 1<k 3<k 26.若直线l 的斜率为k =-ab(ab >0),则直线l 的倾斜角为(A )arctan a b (B )arctan(-ab)(C )π-arctan a b (D )π+arctan ab二.填空题:7.已知三点A (2, -3), B (4, 3), C (5, 2m)在同一直线上,则m 的值为 .8.已知y 轴上的点B 与点A (-3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°,则点B 的坐标为 .9.若α为直线的倾斜角,则sin(4-α)的取值范围是 .10.已知A (-2, 3), B (3, 2),过点P (0, -2)的直线l 与线段AB 没有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是 . 三.解答题:11.求经过两点A (2, -1)和B (a , -2)的直线l 的倾斜角。

直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率

求P 点坐标.
思考: 已知a,b,c ? R + , 且a
b,求证 a+c > a . b+ c b
小结:
1。正确理解直线方程与方程的直线概念
2。
直线的倾斜角
定义
三要素
取值范围 0,180
斜率 K
K tan
K ,
斜率公式
K y2 y1 x2 x1
K ,
P.89习题3.1 A组 1,2, 3,4,5
坡度(比)
升高量 前进量



前进量
1、直线斜率的定义: a 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这
条直线的斜率。
用小写字母 k 表示,即:
k tan a
(1)是否每条直线都有倾斜角? (2)是否每条直线都有斜率?
2、探究:由两点确定的直线的斜率
设直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 求此直线的斜率.
综上所述,我们得到经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线的斜率公式:
k = y2 - y1 x2 - x1
例1:
(1)直线l1的倾斜角a1=30o, 直线l1与l2垂直 求l1与l2的斜率.
(2)已知直线l经过点A(0,1),B(
1 sinq
,2),
求l的倾斜角的取值范围.
例2 : 已知直线l过原点O,且与线段MN相交,又 M(-2,4),N(3,2)
(1)求直线OM ,ON,MN的斜率.
(2)设M, N , P(4,a)三点共线, 求a的值.
(3)求直线l的斜率的取值范ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
(4)若MN
与l交与点P(x,y),求

课件2:2.2.1 第1课时 直线的倾斜角与斜率

课件2:2.2.1 第1课时 直线的倾斜角与斜率

【新知初探】
1.直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与 x 轴 相交,将 x 轴绕着它们的交点按 逆时针方向旋转到与直线重合时所 转的最小正角记为 θ,则称 θ 为这条直线的倾斜角. (2)当直线与 x 轴平行或重合时,规定该直线的倾斜角为 0°. (3)倾斜角 α 的范围为 [0°,180°) .
的应用.(难点) 核心素养.
5.掌握直线的方向向量和法向量.(重点)
【情境引入】
我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线,那么,经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗?如图所示,过一点 P 可以作无数多条直 线 a,b,c,…我们可以看出这些直线都过点 P,但它们的“倾斜 程度”不同,怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢?
[跟进训练] 1.已知直线 l1 的倾斜角为 α1=15°,直线 l1 与 l2 的交点为 A,直线 l1 和 l2 向上的方向之间所成的角为 120°,如图所示,求直线 l2 的倾斜角.
[解] ∵l1 与 l2 向上的方向之间所成的角为 120°,l2 与 x 轴交于点 B, ∴倾斜角∠ABx=120°+15°=135°.
【初试身手】
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法. ( ) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应. ( ) (3)一个倾斜角 α 不能确定一条直线. ( ) (4)斜率公式与两点的顺序无关. ( ) (5)直线的方向向量与法向量不唯一. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
[跟进训练] 2.已知坐标平面内三点 A(-1,1),B(1,1),C(2, 3+1). (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角; (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点,求直线 CD 斜率 k 的变化范围.

直线的斜率与倾斜角ppt

直线的斜率与倾斜角ppt

斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$,斜率$m$可由下式计算: $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时,斜率不存在 ,表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系,即斜率等于倾斜角正切值, 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角,通 常用α表示,取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α),其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系,即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时,斜 率为正,表示直线从左下到右上上升; 当α在(π/2,π)范围内时,斜率为负,表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ,表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性,用于描 述直线的方向和倾斜程度,是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角,可以计 算直线上的点到直线的垂直距离, 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时,如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等,需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中,直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹, 如自由落体运动、抛物线运动等。

《直线倾斜角和斜率》课件

《直线倾斜角和斜率》课件
斜率决定了直线与x轴之间的夹角,即倾斜角。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变,平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时,其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$,其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义,斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时,斜率不存在。
在电磁学中,斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中,斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中,斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系,即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系,供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时,其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下,直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态,如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴,以 斜率为纵轴,使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。

直线倾斜角及斜率的求法

直线倾斜角及斜率的求法

直线倾斜角及斜率的求法
直线倾斜角是指直线与水平方向(即 x 轴)之间的夹角,可以通过斜率来求出直线倾
斜角。

斜率的定义:如果直线上有两点 (x1, y1) 和 (x2, y2),则这条直线的斜率 k 是由这两
点的坐标计算出来的,公式为 k = (y2 - y1)/(x2 - x1)。

如果斜率k 大于0,则直线向右上方倾斜;如果斜率k 小于0,则直线向左下方倾斜;如果斜率 k 等于 0,则直线水平;如果斜率 k 无限大,则直线竖直。

因此,可以通过求出直线的斜率 k,再利用下面的公式求出直线倾斜角θ:
θ = tan^(-1)k
其中,tan^(-1) 是反正切函数(arctan)的简写,用来求出角度值。

例如,设直线的斜率 k 为 2,则直线倾斜角θ = tan^(-1)2 = 63.43°。

直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率
y
l1
o
1 2
l2
解: 的斜率为 k1 tan1 3 l1 3 l2 的倾斜角为 2 90 0 30 0 120 0 x l2 的斜率为 k2 tan 2 3

l
y
y p
l
l
y p o
l
y o p x
o
x
o
x
p
x
3、直线的斜率
定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示,即: 当 =0°时,k值如何? 当0°< < 90°时,k值如何?
k tan
当 90°时,k值如何? =
当 90° < <180°时,k值如何?
④直线的斜率公式:
y 2 y1 k x2 x1
OP P P 1 2
已知P1(x1,y1),P2(x2,yຫໍສະໝຸດ ) Y P1 α O P2 α P X
P P2 x2 x1 , y2 y1 , 1
Px2 x1 , y2 y1 ,
y2 y1 y2 y1 tan 即K x2 x1 x2 x1
y 2 y1 k x2 x1
小结:⒈斜率公式与两点的顺序无关。 ⒉若y1=y2,x1≠x2时,直线与x轴平行 则k=0,若y1≠y2,x1=x2,直线与x轴垂直则 k不存在。
⒊在同一直线上的任何两点所确定 的斜率都等。
例1:直线 l1 的倾斜角 1 =30°,直线 l2 l1 , 求 l1 , l 2 的斜率。
1、直线的方程(方程的直线)的定义:
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的 点,反过来,这条直线上的所有点坐标都是这个方 程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程, 这条直线就叫做这个方程的直线。

知识讲解_直线的倾斜角与斜率_基础

知识讲解_直线的倾斜角与斜率_基础

直线的倾斜角与斜率【学习目标】1.了解直线倾斜角的概念,掌握直线倾斜角的范围;2.理解直线斜率的概念,理解各倾斜角是90时的直线没有斜率;3.已知直线的倾斜角(或斜率),会求直线的斜率(或倾斜角);4.掌握经过两点111(,)P x y 和222(,)P x y 的直线的斜率公式:2121y y k x x -=-(12x x ≠); 5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.【要点梳理】要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α,则α叫做直线的倾斜角.规定:当直线和x 轴平行或重合时,直线倾斜角为0,所以,倾斜角的范围是0180α≤<. 要点诠释:1.要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向;②x 轴正向;③小于180的角.2.从运动变化观点来看,直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3.倾斜角α的范围是0180α≤<.当0α=时,直线与x 轴平行或与x 轴重合.4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度,每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置,但是,直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.要点二、直线的斜率1.定义:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示,即tan k α=. 要点诠释:(1)当直线l 与x 轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;(2)直线l 与x 轴垂直时,α=90°,k 不存在.由此可知,一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.2.直线的倾斜角α与斜率k 之间的关系由斜率的定义可知,当α在(090),范围内时,直线的斜率大于零;当α在(90180),范围内时,直线的斜率小于零;当0α=︒时,直线的斜率为零;当90α=︒时,直线的斜率不存在.直线的斜率与直线的倾斜角(90除外)为一一对应关系,且在)090⎡⎣,和(90180),范围内分别与倾斜角的变化方向一致,即倾斜角越大则斜率越大,反之亦然.因此若需在)090⎡⎣,或(90180),范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可,反之亦然.要点三、斜率公式已知点111(,)P x y 、222(,)P x y ,且12P P 与x 轴不垂直,过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率公式2121y y k x x -=-. 要点诠释:1.对于上面的斜率公式要注意下面五点:(1) 当x 1=x 2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α=90°,直线与x 轴垂直;(2)k 与P 1、P 2的顺序无关,即y 1,y 2和x 1,x 2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;(3)斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4)当y 1=y 2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°,直线与x 轴平行或重合;(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.2.斜率公式的用途:由公式可解决下列类型的问题:(1)由1P 、2P 点的坐标求k 的值;(2)已知k 及1122,,,x y x y 中的三个量可求第四个量;(3)已知k 及1P 、2P 的横坐标(或纵坐标)可求12||PP ;(4)证明三点共线.要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21//l l ,则1l 与2l 的倾斜角1α与2α相等.由21αα=,可得21tan tan αα=,即21k k =.因此,若21//l l ,则21k k =.反之,若21k k =,则21//l l .要点诠释:1.公式2121//k k l l =⇔成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为21k k ,;②21l l 与不重合;2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时,21l l 与的倾斜角都是90︒,则21//l l .要点五、两直线垂直的条件设两条直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21l l ⊥,则121-=⋅k k .要点诠释:1.公式12121-=⋅⇔⊥k k l l 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在;2.当一条垂直直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两条直线也垂直.【典型例题】类型一:直线的倾斜角与斜率例1.设直线l 与x 轴的交点为P ,且倾斜角为α,若将其绕点P 按逆时针方向旋转45°,得到直线l 的倾斜角为α+45°,则( )A .0°≤α<90°B .0°≤α<135°C .0°<α≤135°D .0°<α<135°【答案】D【解析】 ∵α,α+45°均为倾斜角,∴0180045180αα︒≤<︒⎧⎨≤+︒<︒⎩,∴0°≤α<135°.又∵直线l 与x 轴相交,∴α≠0°.故选D .【总结升华】 (1)倾斜角的概念中含有三个条件:①直线向上的方向;②x 轴的正方向;③小于平角的正角.(2)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度.(3)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.(4)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可.例2.下列说法正确的是________.①若两直线的倾斜角相等,则两直线平行或重合;②若一直线的倾斜角为150°,则此直线关于y 轴的对称直线的倾斜角为30°;③若α,2α,3α分别为三条直线的倾斜角,则α不大于60°;④若倾斜角α=90°,则此直线与坐标轴垂直.【答案】 ①②【解析】 若倾斜角相等,则两直线平行或重合,故①正确;若两直线关于y 轴对称,则其倾斜角互补,故②正确;当α=60°时,3α=180°,故③错误;若α=90°,则直线与x 轴垂直.故④错误.【总结升华】本题考查直线的倾斜角定义中的条件及倾斜角的取值范围.理解倾斜角的定义是解决此题的关键.举一反三:【变式1】 下图中各标注的直线的倾斜角是否正确?为什么?【答案】(1)不正确(2)不正确(3)不正确(4)不正确【解析】题图(1)中的角α的一边取的是x 轴的负方向,因此标注不正确;题图(2)中的角α的一边取的是直线向下的方向,因此标注不正确;题图(3)中的角α的两边分别取的是x 轴的负方向和直线向下的方向,因此标注不正确,但是它的大小等于直线的倾斜角.题图(4)中的角α是x 轴正方向与直线向上方向所成的角,因此标注不正确.【高清课堂:直线的倾斜角与斜率381490例2】例3.如图所示,直线1l 的倾斜角130α=︒,直线1l 与2l 垂直,求1l ,2l 的斜率.【答案】1k = k 2=【解析】由图形可知,2190αα=+︒,则k 1,k 2可求.直线1l的斜率11tan tan 30k α==︒=. ∵直线2l 的倾斜角2α=90°+30°=120°,∴直线2l 的斜率k 2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=【总结升华】(1)本例中,利用图形的形象直观挖掘出直线1l 与2l 的倾斜角之间的关系是解题的关键.(2)公式tan(180°-α)=-tan α是一个重要公式,它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键,即把钝角的正切转化为锐角的正切.熟记30°,45°,60°角的正切值可快速求解.举一反三:【变式1】(2016 山西曲沃县模拟)过两点A (3―m ―m 2,―2m ),B (m 2+2,3―m 2)的直线的倾斜角为135°,求m 的值.【答案】m =―2【解析】依题意可得:直线的斜率为―1又直线过两点A (3―m ―m 2,―2m ),B (m 2+2,3―m 2) 即:22223132m m m m m --+=----- 整理的2223121m m m m --=+-可求得m =―2或m =―1 经检验m =―1不合题意,故m =―2.类型二:过两点的直线斜率公式的应用例3.经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率.(1)(1,―1),(―3,2);(2)(1,―2),(5,―2);(3)(3,4),(―2,―5);(4)(3,0),(3,.【答案】(1)34-(2)0(3)95(4)不存在 【解析】 当倾斜角α=90°时,斜率不存在;当α≠90°时,2121y y k x x -=-. (1)2(1)3314k --==---;(2)2(2)051k ---==-;(3)549235k --==--;(4)∵倾斜角α=90°,∴k 不存在.【总结升华】 应用斜率公式求斜率时,首先应注意这两点的横坐标是否相等,若相等,则这两点的连线必与x 轴垂直,即直线的倾斜角为90°,故其斜率不存在,也就不能运用斜率公式求斜率.事实上,此时若将两点坐标代入斜率公式,则其分母为零无意义,即斜率不存在;其次,在运用斜率公式时,分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标.举一反三:【变式1】 直线l 过点A (1,2),B (m ,3),求l 的斜率. 【答案】不存在或11m - 【解析】若m=1,此时l 的倾斜角为2π,显然直线斜率不存在,; 若m ≠1,则直线斜率存在,设此时斜率为k ,倾斜角为α,321tan 11k m m α-===--. 例4.已知A (a ,2),B (5,1),C (―4,2a )三点在同一条直线上,求a 的值.【答案】2 或 72【解析】 ∵A ,B ,C 三点共线,∴k AB =k BC ,∴2121545a a --=---,解得a=2或72a =. 故所求的a 的值为2或72. 【总结升华】 由于直线上任意两点的斜率都相等,因此A ,B ,C 三点共线⇔A ,B ,C 中任意两点的斜率相等(如k AB =k AC ).斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的,直线上任意两点所确定的方向不变,即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等.这正是利用斜率可证三点共线的原因.举一反三:【变式1】已知A (―3,―5),B (1,3),C (5,11)三点,试判断这三点是否在同一直线上.【答案】在同一直线上【解析】由题意可知直线AB 的斜率35213AB k +==+,直线BC 的斜率113251BC k -==-.因为k AB =k BC ,即两条直线的斜率相同,并且它们过同一点B ,所以A ,B ,C 三点在同一直线上.例5.(2015春 三明月考)已知两点A (―3,4),B (3,2),过点C (2,―1)的直线l 与线段AB 有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围.【思路点拨】根据题意,画出图形,结合图形,求出满足条件的直线l 斜率k 的取值范围.【答案】k ≤-1或k ≥3.【解析】如图所示,∵A (―3,4),B (3,2),C (2,―1), ∴14123AC k --==-+, 12323BC k --==-; 要使过点C 的直线L 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤-1或k ≥3.【总结升华】本题考查了已知两点的坐标求直线斜率的应用问题,也考查了数形结合的应用问题.举一反三:【变式1】 已知直线l 过点(2,1)A -且与线段BC 相交,设(1,0),(1,0)B C -,则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 【答案】113k -≤≤- 【解析】画出图形,数形结合类型三:两条直线平行的条件例6.已知1l 经过A (―3,3),B (―8,6),2l 经过21,62M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,9,32N ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求证:12//l l . 【解析】 直线1l 的斜率为16338(3)5k -==----, 直线2l 的斜率为26(3)3219522k --==---, ∵k 1=k 2,∴12//l l .【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是:当这两条直线均不与x 轴垂直时,只需看它们的斜率是否相等即可,反过来,两条直线平行,则隐含着这两条直线的斜率相等(当这两条直线均不与x 轴垂直时).判定两条直线是否平行,只要研究两条直线的斜率是否相等即可,但是要注意斜率都不存在的情况,以及两条直线是否重合.举一反三:【变式1】 判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行.(1)1l 经过点A (―1,―2),B (2,1),2l 经过点M (3,4),N (―1,―1);(2)1l 的斜率为1,2l 经过点A (1,1),B (2,2);(3)1l 经过点A (0,1),B (1,0),2l 经过点M (―1,3),N (2,0)(4)1l 经过点A (―3,2),B (―3,10),2l 经过点M (5,―2),N (5,5).【解析】 (1)11(2)12(1)k --==--,2145134k --==--,∵k 1≠k 2,∴1l 与2l 不平行. (2)k 1=1,221121k -==-, ∵k 1=k 2,∴1l ∥2l 或1l 与2l 重合.(3)101110k -==--,20312(1)k -==---, ∵k 1=k 2,∴1l ∥2l .(4)∵1l 与2l 都与x 轴垂直,∴1l ∥2l .【总结升华】 k 1=k 2⇔1l ∥2l 是针对斜率都存在的直线,对于斜率不存在或可能不存在的直线要注意利用图形求解.例7.已知ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1),B (1,0),C (4,3),求顶点D 的坐标.【答案】 (3,4)【解析】 解法1:设D (m ,n ),线段AC 的中点为E (2,2),所以线段BD 的中点为E (2,2),则122022m n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得m=3,n=4,所以D (3,4). 解法2:设D (m ,n ),由题意得AB ∥DC ,AD ∥BC ,则有k AB =k DC ,k AD =k BC , 所以013104130041n m n m --⎧=⎪⎪--⎨--⎪=⎪--⎩,解得m=3,n=4,所以D (3,4).【总结升华】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质,并用解析几何中的相关知识解决.解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质,其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点,这两种作法对应着两种解法.类型四:两条直线垂直的条件例8.判断下列各题中1l 与2l 是否垂直.(1)1l 经过点A (―1,―2),B (1,2),2l 经过点M (―2,―1),N (2,1);(2)1l 的斜率为―10,2l 经过点A (10,2),B (20,3);(3)1l 经过点A (3,4),B (3,10),2l 经过点M (-10,40),N (10,40).【解析】 求出斜率,利用1l ⊥2l ⇔k 1k 2=-1进行判断,注意数形结合及斜率不存在的特殊情况.(1)12(2)21(1)k --==--,21(1)12(2)2k --==--,k 1k 2=1, ∴1l 与2l 不垂直;(2)k 1=-10,2321201010k -==-,k 1k 2=-1,∴1l ⊥2l ; (3)1l 的倾斜角为90°,则1l ⊥x 轴;24040010(10)k -==--,则2l ∥x 轴,∴1l ⊥2l . 【总结升华】 判断两条直线是否垂直的依据是:在这两条直线都有斜率的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于―1即可,但应注意有一条直线与x 轴垂直,另一条直线与x 轴平行时,两条直线也垂直.例9.已知定点A (―1,3),B (4,2),以A ,B 为直径的端点,作圆与x 轴交于点C ,求交点C 的坐标.【答案】(1,0)或(2,0)【解析】 本题中有三个点A ,B ,C ,由于AB 为直径,C 为圆上的点,所以∠ACB=90°,因此,必有k AC ·k BC =―1.列出方程,求解即可.以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ,则AC ⊥CB .设C (x ,0),MJ 31AC k x -=+,24BC k x -=-.∴32114x x --⋅=-+-,去分母解得x=1或2. ∴C (1,0)或C (2,0).【总结升华】利用直线平行与垂直的条件解题,主要利用其斜率的关系,当然,在解题时要特别注意斜率不存在的情况,以及分类讨论的思想.本例中,利用∠ACB=90°,及两条直线垂直时斜率之间的关系,从而构造关于x 的方程,解之便求出其交点坐标,因此利用直线垂直与平行关系可构造相关方程,解之即可求出相关参数.本例中,当AC 或BC 的斜率不存在时,不满足AC ⊥BC ,这是很明显的事情(如图).故不需要对AC 或BC 斜率不存在的情形作讨论.举一反三:【变式1】(2015春 海淀区期末)已知点A (a ,a )(a ≠0),B (1,0),O 为坐标原点.若点C 在直线OA 上,且BC 与OA 垂直,则点C 的坐标是( )A .11(,)22-B .(,)22a a -C .(,)22a aD .11(,)22【思路点拨】设C (x ,y ),利用点C 在直线OA 上,且BC 与OA 垂直得到关于x ,y 的方程组解之.【答案】D【解析】设C (x ,y ),因为点C 在直线OA 上,且BC 与OA 垂直, 所以11x y y x =⎧⎪⎨=-⎪-⎩,解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩; 故选:D。

直线的倾斜角和斜率

直线的倾斜角和斜率
y l p l y

o
x

o p
x
y
l
o x
当直线l和x轴不相交,即l与x轴重合 或平行时,我们规定它的倾斜角是0。
任意一条直线l都能确定唯一的倾斜角, 的取值范围是 :
[0, )
直线的倾斜角可以用来表示平面内直 线对于x轴正向的倾斜程度。
直线的斜率
当直线l的倾斜角90时,倾斜角 的正切值,即tan叫做直线的斜率,用k 表示。即k=tan。 当直线l的倾斜角=90,tan不 存在,所以我们说倾斜角是90的直线 的斜率不存在。 存在斜率不存在的直线,那就是垂直 于x轴的直线,亦即倾斜角是90的直线。
斜率倾斜角方向向量间的关系
(1)已知 d (u, v ), k ? ? v k tan ( u 0, ) u 2 (2)已知 k ? d ? k tan , o d (1, tan )或d (cos , sin ) (3)已知k ? d ? tan k , d (1, k )
一般式方程?
2、直线的一般式方程可 以 三种形式方程? (1) 3 x y 6 0 ( 2) 3 x 2 y 1 0
( 3) 3 x 5 0 ( 4) 2 y 1 0
思考 求过点( 1, 2)且满足下列条件的直线 方程
(1)与直线2 x 3 y 4 0平行; ( 2)与直线2 x 3 y 4 0垂直; ( 3)与直线3 y 4 0平行; (4)与直线3 y 4 0垂直。
直线的一般式方程
直线的一般式方程
ax by c 0(a , b不同时为零)
法向量n (a, b), 方向向量d (b,a ) c a 过一点(0, ), 斜率 b b c c ax b( y ); ax b( y ) 0 b b c a y ( x 0) b b

高中数学直线的倾斜角与斜率

高中数学直线的倾斜角与斜率

高中数学直线的倾斜角与斜率高中数学的世界就像一场充满惊喜的冒险,今天我们要聊的就是直线的倾斜角和斜率。

说到倾斜角,大家一定会想起那种斜着的线条,好像在给你眨眼睛。

哎呀,没错,直线可不是平平无奇的,它们的“态度”可是很重要的呢!想象一下,你在爬山,山坡的倾斜程度决定了你是轻松走上去,还是气喘吁吁。

这就跟直线的倾斜角有关系啦。

直线的倾斜角,简单来说,就是直线和水平线之间的夹角。

这个角度越大,线条就越陡,越难爬;反之,角度小,坡就平,走起来就轻松多了。

说到斜率,那可真是个小宝贝。

斜率就是直线在纵向和横向上的“努力程度”。

如果用数学语言来说,斜率等于纵坐标的变化量除以横坐标的变化量。

听起来复杂?别担心,想象你在骑自行车。

上坡的时候,你需要使劲儿,坡度越大,你的“努力”也就越大,斜率自然也就越大。

要是你平地骑,那可轻松多了,斜率就小得多。

这样一来,倾斜角和斜率就像一对好搭档,一起决定了直线的“性格”。

再来说说斜率的具体计算。

我们一般用公式表示,y = mx + b,里面的m就是斜率。

比如说,你有两点,A(1, 2)和B(3, 4)。

你可以这样算斜率:先找出纵坐标的变化,即4 2,等于2。

然后找出横坐标的变化,3 1,等于2。

用2除以2,斜率就是1。

这就是说,从A点到B点,直线的倾斜程度是1,既不陡也不平,刚刚好。

所以说,直线的倾斜角和斜率,简直就是我们日常生活的缩影。

比如说,做一件事情的时候,如果你全力以赴,斜率就大;要是你慢吞吞,斜率就小。

这种关系,真是让人忍不住想笑。

每当看到那些笔直的线条,就会想起自己生活中的努力。

人生的路途就像一条条直线,起伏跌宕,时而陡峭,时而平坦,每一步都在展示着自己的倾斜角。

生活中也有“斜率为零”的时候,那就是平坦的日子。

你坐在沙发上,悠闲地喝着饮料,看着电视,感觉一切都是那么美好,真是享受啊!这时候的直线横穿在x轴上,表示你一点也不在乎,轻松无压力。

可是,当工作压力来袭,生活的坡度陡然增加,心情顿时就像是被拉扯着,努力向上爬,这可真是个挑战。

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3、直线的斜率
给出一个描述直线方程的量——直线的斜率
定义3:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做
这条直线的斜率。斜率通常用k表示,即:
k tan =0°时,k值如何? 问题 45 :当 问题 :填表说出直线的倾斜角与斜率 k之间的关系: 当0°< < 90°时,k值如何? 当 =90°时,k值如何? 直线 平行x轴 由左向右上升 垂直x轴 由左向右下降 当90° < <180°时,k值如何? 的大小
y
y=2x+1
B(1,3)
A(0,1)
o
x
从方程的角度看,函数y=kx+b也可以看作是二元一 次方程y-kx-b=0,这样满足一次函数y=kx+b的每一对x, y的值“变成了”二元一次方程y-kx-b=0的解,使方程 和直线建立了联系。
定义:以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点,反过来,这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直 线的方程,这条直线就叫做这个方程的直线。
以上定义改用集合表述:
直线可以看成由点组成的集合,记作C,以一个 关于x,y的二元一次方程的解为坐标的集合,记 作F。 若(1)C F(2)F C,则C=F
例1、已知方程2x+3y+6=0。
(1)把这个方程改成一次函数式; (2)画出这个方程所对应的直线 l。
3 (3)点( 2
,1)是否在直线 l上。
例3:如图所示菱形ABCD的 BAD=60°,求菱形 ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率。 y
略解: AD BC 600 D
C
AB DC 00 AC 300 BD 1200
o
A
x
B
k AD k BC 3 k AB kCD 0
教学过程:
1、“直线的方程”和“方程的直线
(1)有序数对(0,1)满足函数y=2x+1, 则直线上就有一点A,它的坐标是(0,1)。
(2)反过来,直线上点B(1,3),则 有序实数对(1,3)就满足y=2x+1。 一般地,满足函数式y=kx+b的每一对x, y的值,都是直线 l 上的点的坐标(x,y); 反之,直线 l 上每一点的坐标(x,y)都满 足函数式y=kx+b,因此,一次函数y=kx+b 的图象是一条直线,它是以满足y=kx+b的 每一对x,y的值为坐标的点构成的。
y
2 y x2 略解:(1) 3
o x (2)过A(0,-2),B(-3,0) (-3,0) (0,-2) 两点的直线即为所求直线 l ; (3)点( 3 ,1)不在直线 l 上。
2
2、直线的倾斜角
问题1:在直角坐标系中,过点P的一条直线绕P点旋转,不 管旋转多少周,它对x轴的相对位置有几种情形?画图表示。 l y y y y l p l p p p o o o x o x x x
问题2:下列图中标出的直线的倾斜角对不对?如果不对, 违背了定义中的哪一条?
y y y y
oxo Nhomakorabea
x
o
(3)
x

o
(4)
x
(1)
(2)
提问:
问题3:直线的倾斜角能不能是0°?能不能是锐角?能不 能是直角?能不能是钝角?能不能是平角?能否大于平角? (通过问题3的分析可知倾斜角的取值范围是0°≤ <180°, 在此范围内,坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。 而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向,倾斜角直观地表示 了直线对x轴正方向的倾斜程度。)
K的范围 K的增减性
例2:直线 l1 的倾斜角1 =30°,直线 l2 l1 , 求 l1 , l 2 的斜率。
y
l1
o
1 2
l2
解: 的斜率为 k1 tan1 3 l1 3 的倾斜角为 900 300 1200 l 2 2 x l 2 的斜率为 k2 tan2 3
k AC
3 ; k BD 3 3
4、课堂练习:
(1)课本第37面练习1、2。 3 (2)直线的倾斜角 的正切值为 ,求此直线的斜率。
5、小结:
直线的倾斜角
5
直线的斜率
定义 取值范围
6、布置作业:
(1)阅读教材第35面至第37面。 (2)第37页习题7.1第1、2、3题。
思考题:
(1)如果直线 l1 的斜率为0,l1 (2)如果直线 l 的斜率 围是什么? (3)直线的倾斜角的正弦为 sin ,也是 的三角函数,为什么不用 它来作直线的斜率呢?
l
总结:有四种情况,如图。可用直线 l
与x轴所成的角来描 述。我们规定,直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。特别地,当直线和x轴平行或重合 时,它的倾斜角为0°。
定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相
交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到与直线重合时所转的最小正角,记为 那么就叫 做直线的倾斜角。
目的要求:
1、初步了解“直线的方程”和“方程的直线”概念; 2、了解直线的倾斜角概念,理解直线的斜率概念,并能准确 表述直线的倾斜角的定义; 3、已知直线倾斜角(或斜率)会求直线的斜率(或倾斜角); 4、培养和提高学生的联想、对应、转化等辨证思维。
教学重点、难点:
本节的重点是直线的倾斜角斜率的概念; 难点是斜率存在与不存在的讨论及用反三角函数表示直线的 倾斜角。
l2 ,那么直线 l 2 的斜率怎样? ,那么它的倾斜角的范 k 的范围是 0 k 1
黄山市徽州区第一中学 凌荣寿
/ 酷纹身
小格の功课壹样好之后/妾身就别再当那各师傅咯/您看如何?/督导师傅是王爷吩咐下来の差事推诿别得/天申小格别服督导又是得罪别得/面对大小两各主子の前后夹击/霍沫の那番急中生智总算是为自己博得壹线生机/而霍沫那壹席话/自然 是说得王爷和天申小格壹各茅塞顿开/壹各喜出望外/王爷当然晓得天申小格根本别会服从管教/就连韵音那各亲额娘他都别听从教诲/更何况还别到二十岁の霍沫咯/为咯树立师道尊严/他才会别惜任由水清极别高兴地离开咯家宴/来到那里摆 出阿玛の威严/强迫天申小格行那各拜师礼/本来对于霍沫那各新人/女眷们就有可能心别满、气别顺/假设再加上天申小格调皮捣蛋、从中作梗/可想而知霍沫の日子过得会有多么艰难/原本答应将她接进府来是为咯给她壹各更好の生存环境/ 结果却是弄得她连日子都过别下去/那还别如当初同意她出家为尼/寻得各人生清静之地呢/第1389章/皆喜其实王爷之所以要让霍沫充当那各督导师傅/别就是看重咯她精通满汉、颇具才学/能够有效弥补韵音の先天别足吗?假设天申能够晓得 用功/他何必给霍沫安排那各苦差事呢/令她刚壹进府就早早地四面树敌/天申自是别必说咯/壹定视那各督导师傅如洪水猛兽/整日里别是想着如何完成课业/而是想法设法地捉弄她、欺负她/韵音虽然天性纯朴/但终究是抵挡别住与天申の母子 亲情/有天申小格在壹旁告黑状/早早晚晚要与霍沫心生间隙/假设天申の功课能够尽快赶上/达到咯他の高标准严要求/王爷当然也别想强求小小格整日里因为功课の问题与霍沫作对/他要の是结果/至于过程嘛/还别全都是为结果服务?所以对 于霍沫の那各提议虽然没什么当即表态/但是在心中已经暗暗地表示咯赞同/天申小格被他の阿玛强行指派咯壹各诸人当师傅/别但面子上过别去/更是以为被判咯无期徒刑/壹辈子翻别咯身/永无出头之日/现在听霍沫那么壹说/当即喜出望外/ 对啊/自己怎么没什么想到用那各法子跟阿玛讲条件呢?只要功课追上咯元寿/自己就能够有充分の理由摆脱霍沫の纠缠/既别用与阿玛赌气/也别用让额娘整日为自己伤心/真是最最好の法子/至于功课嘛/那还别容易?只要自己真心想好好学/ 用别咯几天就能让所有の人刮目相看/让所有の主子奴才们都见识见识小爷の厉害/更是能与霍沫那各诸人早早壹刀两断/天申小格の喜怒哀乐当然没什么逃过王爷の眼睛/他担心天申小格当面壹套背后壹套/阳奉阴违/所以尽管父子俩人几乎是 在第壹时间立即同意咯霍沫の提议/他仍是神情严肃地开口说道:/理儿是那各理儿/话也是那么说/但是假设课业完成别好/啥啊都别要谈//天申小格虽然性情顽劣/但是在与他阿玛打交道那么多年の过程中/早就暗自揣度咯王爷の心理/晓得他 阿玛那是松咯口/于是强压下心中の狂喜/装作壹副老老实实、小心翼翼の样子/大气别敢出壹声/生怕泄露咯心中の秘密/令王爷当即反悔/至此拜师礼终于圆圆满满、皆大欢喜地结束咯/于是待天申小格先毕恭毕敬地退下去继续完成功课之后/ 他则转身朝霍沫问道:/都安置妥当咯?还习惯别习惯?爷刚回来/事情很多/也没顾得上去您那里看看///回爷/妾身受到如此礼遇/实在是受CHONG若惊/怎么还会有啥啊别习惯呢///能习惯就好/韵音是各心地善良、为人真诚之人/您初来乍到/ 很多事情都别熟悉/假设有啥啊事情の话/别管大事小事/您直管跟她说就是/千万别用客气/既然进咯爷の府里/您们就是姐妹咯/都是壹家人/若是客气の话/别但爷会心存内疚/韵音那心里头也会别舒服//第1390章/领会眼见着王爷将霍沫の生 活起居点点滴滴考虑得如此周到/韵音更是觉得肩上の担子又重咯许多/于是赶快表态道:/爷/您就放心吧/妾身壹定将妹妹照顾好/定别会让妹妹受壹丁点儿委屈の///爷晓得/所以才会放心地将她托付与您/别管霍沫有啥啊事情/您若能办就尽 快办好咯/您若办别咯/就直接禀报爷那里来/别报咯那人那人/到头来谁也没办成/霍沫可是给天申小格督导功课/她の事情若是耽搁咯/那耽搁の可是您自己の小小格/那中间の利害关系爷自是别必多说咯吧//王爷虽然是因为信得过韵音/才将 霍沫托付予她/但是他又担心韵音因为偏听偏信天申小格而误会霍沫/所以特意吩咐有事情直接报到他那里来/以求办理公正公允/充分体现咯他对霍沫の重视程度/另外/别管是谁对霍沫事事从中作梗/实际上受伤害の是天申小格/利益关系讲得 如此透彻/想她韵音也应该明白那各道理/韵音没什么王爷那么多の心思/她只晓得尽心竭力地将他の吩咐の差事办好/将新进府の霍沫妹妹照顾
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