分离参数法在函数中的应用
2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法第02讲分离参数法含解析
第2讲分离参数法知识与方法分离参数法解决恒成立求参问题,可以有两个角度:全分离和半分离.1.全分离参数法将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来,使所研究的函数由动态变为定态,进而可得到新函数的图像、性质(最值),将求参数的范围问题转化为求函数的最值或值域问题.在分离参数时,需点睛意:(1)参数系数的正负是否确定;(2)分参后目标函数的最值是否易解,若不易解,极可能需要洛必达法则辅助.2.半分离参数法其一般步骤为:将不等式变形为aa+a≥a(a)或aa+a≤a(a)的形式(其中a为参数,a为常数),然后画出图像,由图像的上下方关系得到不等式,从而求得参数的取值范围.不等号前后两个函数的图像特征为:直线a=aa+a与曲线a=a(a),而直线a=aa+a过定点(0,a).需要说明的是:半分离参数法一般只适用于客观题,解答题则不宜使用.典型例题全分离参数【例1】已知函数a(a)=e a+aa2−a.(1)当a=1时,讨论a(a)的单调性;(2)当a≥0时,a(a)≥12a3+1,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,a(a)=e a+a2−a,a′(a)=e a+2a−1.当a<0时,a′(a)<0,a(a)单调递减;当a>0时,a′(a)>0,a(a)单调递增.所以,当a=1时,a(a)在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)解法1:分离参数法当a=0时,a∈a.当a>0时,a(a)≥12a3+1⇔a≥12a3+a+1−e aa2.记a(a)=12a3+a+1−e aa2(a>0),则a ′(a )=12a 3−a −2+(2−a )e a a 3=(2−a )(e a −12a 2−a −1)a 3.记a (a )=e a −12a 2−a −1(a >0),a ′(a )=e a −a −1,a ′′(a )=e a −1. 因为a >0,所以a ′′(a )=e a −1>0,所以a ′(a )在(0,+∞)上单调递增, 从而a ′(a )>a ′(0)=0,所以a (a )在(0,+∞)单调递增,所以a (a )>a (0)=0. 令a ′(a )=0,解得a =2.当a ∈(0,2)时,a ′(a )>0,a (a )单调递增; 当a ∈(2,+∞)时,a ′(a )<0,a (a )单调递减. 所以a (a )在a =2处取得最大值a (2)=7−e 24,从而a ≥7−e 24. 综上,实数a 的取值范围是[7−e 24,+∞). 解法2:指数找朋友a (a )≥12a 3+1等价于12a 3−aa 2+a +1e a≤1.设a (a )=12a 3−aa 2+a +1e a(a ≥0),则a′(a )=−12a [a 2−(2a +3)a +(4a +2)e a=−12a [a −(2a +1)](a −2)e a.(1)当2a +1≤0,即a ≤−12时,则当a ∈(0,2)时,a ′(a )>0,所以a (a )在(0,2)单调递增,而a (0)=1, 故当a ∈(0,2)时,a (a )>1,不合题意; (2)当0<2a +1<2,即−12<a <12时, 则当a ∈(0,2a +1)∪(2,+∞)时,a ′(a )<0.所以a (a )在(0,2a +1),(2,+∞)单调递减,在(2a +1,2)上单调递增. 由于a (0)=1,所以a (a )≤1.当且仅当a (2)=7−4a e 2≤1,即a ≥7−e 24. 所以当7−e 24≤a <12时,a (a )≤1.(3)若2a +1≥2,即a ≥12时,则a (a )≤12a 3+a +1e a.由于0∈[7−e 24,12),故由(2)可得12a 3+a +1e a≤1.故当a ≥12时,a (a )≤1.综上所述,实数a 的取值范围是[7−e 24,+∞).【点睛】解决本题的关键在于求导数a′(a)=12a3−a−2+(2−a)e aa3后的处理.仔细观察导数式中e a前面的系数为2−a,由此可大胆猜测2−a应该为12a3−a−2的一个因式,从而可设1 2a3−a−2=(2−a)(−12a2+aa+a),将右侧展开,得12a3−a−2=12a3−(a+1)a2+(2a−a)a+2a,比较两侧的系数,可得a=a=−1,从而12a3−a−2=(2−a)(−12a2−a−1).【例2】设函数a(a)=e a−1−a−aa2.(1)若a=0,求a(a)的单调区间;(2)若当a≥0时a(a)≥0,求a的取值范围.【解析】(1)因为a=0时,所以a(a)=e a−1−a,a′(a)=e a−1.当a∈(−∞,0)时,a′(a)<0;当a∈(0,+∞)时,a′(a)>0.故a(a)在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;(2)解法1:由(1)可得,当a=0时,a(a)≥a(0)=0,即e a≥a+1,当且仅当a=0时等号成立.依题意,当a≥0时a(a)≥0恒成立,当a=0时,a(a)≥0,此时a∈a;当a>0时,a(a)≥0等价于a≤e a−1−aa2,令a(a)=e a−1−aa2(a>0),则a′(a)=(a−2)e a+a+2a3,今a(a)=(a−2)e a+a+2(a>0),则a′(a)=(a−1)e a+1,因为a′′(a)=a e a>0,所以a′(a)在(0,+∞)上为增函数,所以a′(a)>a′(0)= 0,于是a(a)在(0,+∞)上为增函数,从而a(a)>a(0)=0,因此a′(a)>0,a(a)在(0,+∞)上为增函数,由洛必达法则知,lima→0+e a−1−aa2=lima→0+e a−12a=lima→0+e a2=12,所以a≤12.当a>12时,e−a>1−a得a′(a)<e a−1+2a(e−a−1)=e−a(e a−1)(e a−2a),故当a∈(0,ln2a)时,a′(a)<0,而a(0)=0,于是当a∈(0,ln2a)时,a(a)<0. 综上得a的取值范围是(−∞,12].解法2:a′(a)=e a−1−2aa,由(1)知e a≥1+a,当且仅当a=0时等号成立,故a′(a)≥a−2aa=(1−2a)a.当1−2a≥0,即a≤12时,a′(a)≥0(a≥0),所以a(a)在[0,+∞)上单调递增,故a(a)≥a(0)=0,即a≤12符合题意;当a>12时,由e a>1+a(a≠0)可得e−a>1−a(a≠0),所以e−a−1>−a(a≠0),所以a′(a)=e a−1−2aa<e a−1+2a(e−a−1)=e−a(e a−1)(e a−2a), 则当a∈(0,ln2a)时,a′(a)<0,a(a)在(0,ln2a)上单调递减,于是当a∈(0,ln2a)时,a(a)<a(0)=0,故a>12不合题意.综上所述,a的取值范围是(−∞,12].【例3】已知函数a(a)=a(e a+1−a)(a∈a).(1)若a=2,判断a(a)在(0,+∞)上的单调性;(2)若a(a)−ln a−1≥0恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)若a=2,a(a)=a e a−a,a′(a)=e a+a e a−1=(a+1)e a−1. 当a>0时,a+1>1,e a>1,故(a+1)e a>1,a′(a)=(a+1)e a−1>0,故a(a)在(0,+∞)上单调递增.(2)解法1:分离参数+隐零点求最值由题意可知a e a+(1−a)a−ln a−1≥0在区间(0,+∞)上恒成立,整理得a−1≤e a−ln aa −1a.设a(a)=e a−ln aa −1a,a′(a)=a2e a+ln aa2,设a(a)=a2e a+ln a,则a′(a)=(a2+2a)e a+1a>0, 所以a(a)在(0,+∞)上单调递增,又a(1)=e>0,a(12)=√e4−ln2<0.所以函数a(a)有唯一的零点a0,且12<a0<1.当a∈(0,a0)时,a(a)<0,a′(a)<0,a(a)单调递减;当a∈(a0,+∞)时,a(a)>0,a′(a)>0,a(a)单调递增. 即a(a0)为a(a)在定义域内的最小值.所以a−1≤e a0−ln a0a0−1a0.因为a(a0)=0,得a0e a0=−ln a0a0,12<a0<1(∗)令a(a)=a e a(12<a<1),方程(∗)等价于a(a)=a(−ln a)(12<a<1).而a′(a)=(a+1)e a在(0,+∞)上恒大于零,所以a(a)在(0,+∞)单调递增. 故a(a)=a(−ln a)等价于a=−ln a(12<a<1).设函数a(a)=a+ln a(12<a<1),易知a(a)单调递增.又a(12)=12−ln2<0,a(1)=1>0,所以a0为a(a)的唯一零点.即ln a0=−a0,e a0=1a0.故a(a)的最小值为a(a0)=e a0−ln a0a0−1a0=1a0−−a0a0−1a0=1.所以a−1≤1,即a≤2.综上,实数a的取值范围是(−∞,2].解法2:分离参数+放缩法求最值由题意可知a e a+(1−a)a−ln a−1≥0在区间(0,+∞)上恒成立, 即a−1≤a e a−ln a−1a.利用不等式e a≥a+1(当且仅当a=0时,等号成立),可得a e a−ln a−1a =e a+ln a−ln a−1a≥(a+ln a+1)−ln a−1a=1,当且仅当a+ln a=0时,等号成立.所以a e a−ln a−1a的最小值为1.于是a−1≤1,得a≤2,实数a的取值范围是(−∞,2].【例4】已知函数a(a)=a3e aa−1.(1)讨论a(a)的单调性;(2)若a=2,不等式a(a)≥aa+3ln a对a∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围. 【解析】(1)a′(a)=3a2e aa+aa3e aa=a2e aa(aa+3).①当a=0时,a′(a)≥0恒成立,所以a(a)在R单调递增;②当时,今,得;令,所以a (a )的单调递减区间为(−3a ,+∞),单调递增区间为(−∞,−3a ]. ③当a >0时,今a ′(a )≥0,得a ≥−3a ;令a ′(a )<0,得a <−3a . 所以a (a )的单调递减区间为(−∞,−3a ),单调递增区间为[−3a ,+∞). (2)因为a =2,所以a ≤a 3e 2a −3ln a −1a恒成立. 设a (a )=a −1−ln a (a >0),a ′(a )=a −1a, 令a ′(a )<0,得0<a <1;令a ′(a )>0,得a >1. 所以a (a )min =a (1)=0,所以a −1−ln a ≥0.取a =a 3e 2a ,则a 3e 2a −1−ln (a 3e 2a )≥0,即a 3e 2a −3ln a −1≥2a ,所以a 3e 2a −3ln a −1a≥2aa=2.设a (a )=a 3e 2a ,因为a (0)=0<1,a (1)=e 2>1,所以方程a 3e 2a =1必有解, 所以当且仅当a 3e 2a =1时,函数a =a 3e 2a −3ln a −1a取得最小值2,所以a ≤2,即a 的取值范围为(−∞,2].【点睛】本题在进行分参后,首先证明了一个常用的不等式:当a >0时,有ln a ≤a −1,接下来利用该不等式直接得到a 3e a −3ln a −1≥2a , 从而得出a =a 3e a −3ln a −1a的最小值2.最后证明能够取到最小值.从而得出实数a 的取值范围. 本题也可用同构法解决:a ≤a 3e 2a −3ln a −1a, a 3e 2a −3ln a −1a=e 3ln a +2a −3ln a −1a≥2a +3ln a +1−3ln a −1a=2,故a ≤2,即a 的取值范围为(−∞,2]. 换元后分离参数【例5】已知函数a (a )=a (e a a−2a −2)+a . (1)若a =−1,求a (a )的单调区间和极值点;(2)若a >0时,a (a )>−1(a >0)恒成立,求实数a 的取值范围.【解析】(1)a =−1时a (a )=a e −a −1,a ′(a )=e −a −a e −a =0,所以当a <1,a ′(a )>0,a >1,a ′(a )<0.所以a (a )的单调递减区间为(1,+∞),单调递增区间为(−∞,1),极大值点为a =1,无极小值点.(2)解法1:a (a )>−1⇔a (e aa −2a −2)+a >−1, 即a (e aa −2a −2)+a +1>0, 令aa =a ,则a =aa ,aa e a −(2a +2)a +a +1>0对于a >0恒成立, 即a (a e a −2a +1)>2a −1(∗)易证e a ≥a +1(过程略),则a e a −2a +1≥a (a +1)−2a +1>(a −1)2≥0, 即a e a −2a +1>0. 于是,由(∗)可得a >2a −1a e a −2a +1. 令a (a )=2a −1a e a −2a +1(a>0),则a ′(a )=−(2a +1)(a −1)(a e a −2a +1)2e a(a >0).当a ∈(0,1)时a ′(a )>0,当a ∈(1,+∞)时a ′(a )<0.所以a (a )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,[a (a )]max =a (1)=1e −1, 所以a >1e −1,实数a 的取值范围是(1e −1,+∞). 解法2:a (a )>−1⇔a (e aa −2a−2)+a >−1, 即a (e aa −2a−2)+a +1>0,令aa=a ,则a =aa ,aa e a −(2a +2)a +a +1>0对于a >0恒成立, 即aa +1>2a −1a e a对于a >0恒成立,设a (a )=2a −1a ea ,a ′(a )=−(2a +1)(a −1)a 2e a当a ∈(0,1)时a ′(a )>0,当a ∈(1,+∞)时a ′(a )<0 可得a (a )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以a (a )max =a (1)=1e ,则aa +1>1e ,解得a >1e −1. 故实数a 的取值范围是(1e −1,+∞).【点睛】本题第(2)问显然不能直接分离参数,如果利用a ′(a )处理也是十分复杂,于是着眼于简化指数进行换元:令a a =a ,则aa e a −(2a +2)a +a +1>0对于a >0恒成立.换元之后就可以轻松分离参数了,特别是解法2的处理手法值得回味.半分离参数【例6】已知函数a(a)=e a−aa−1(a∈R,其中e为自然对数的底数).(1)若a(a)在定义域内有唯一零点,求a的取值范围;(2)若a(a)≤a2e a在[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)a′(a)=e a−a,①当a≤0时,a′(a)>0,所以a(a)在R上单调递增;−1+a<0,a(1)=e−a−1>0,又a(−1)=1e由零点存在定理可知,函数a(a)在R上有唯一零点.故a≤0符合题意;②当a>0时,令a′(a)=0得a=ln a,当a∈(−∞,ln a)时,a′(a)<0,a(a)单调递减;a∈(ln a,+∞),a′(a)>0,a(a)单调递增.所以a(a)min=a(ln a)=e ln a−a ln a−1=a−a ln a−1,设a(a)=a−a ln a−1(a>0),则a′(a)=1−(ln a+1)=−ln a,当0<a<1时,a′(a)>0,a(a)单调递增;当a>1时,a′(a)<0,a(a)单调递减,所以a(a)max=a(1)=0,故a=1.综上:实数a的取值范围为{a∣a≤0或a=1}.(2)解法1:a(a)≤a2e a对a∈[0,+∞)恒成立,即(1−a2)e a≤aa+1对a∈[0,+∞)恒成立,即函数a(a)=(1−a2)e a的图像恒在直线a=aa+1的下方.而a′(a)=(1−a2−2a)e a,a′′(a)=(−a2−4a−1)e a<0(a≥0),所以函数a(a)是上凸函数,且在a=0处的切线斜率a=a′(0)=1;直线a=aa+1过定点(0,1),鈄率为a,故a≥1,即a的取值范围为[1,+∞).解法2:a(a)≤a2e a对a∈[0,+∞)恒成立,即(1−a2)e a≤aa+1对a∈[0,+∞)恒成立, 记a(a)=(1−a2)e a=(1+a)(1−a)e a,①当a≥1时,设函数a(a)=(1−a)e a,则a′(a)=−a e a≤0,因此a(a)在[0,+∞)单调递减,又a(0)=1,故a(a)≤1,所以a(a)=(1+a)a(a)≤1+a≤aa+1,故a(a)≤a2e a对a∈[0,+∞)恒成立;②当0<a<1时,设函数a(a)=e a−a−1,则a′(a)=e a−1≥0,所以a(a)在[0,+∞)单调递减,且a(0)=0,故e a≥a+1.当0<a<1时,a(a)>(1−a)(1+a)2,(1−a)(1+a)2−aa−1=a(1−a−a−a2),取a0=−1+√5−4a2,则a0∈(0,1),(1−a0)(1+a0)2−aa0−1=0,所以a(a0)>aa0+1;故0<a<1不合题意.③当a≤0时,取a0=√5−12,则a0∈(0,1),a(a0)>(1−a0)(1+a0)2=1≥aa0+1.故a≤0不合题意.综上,a的取值范围为[1,+∞).【点睛】解法1将不等式进行变形为aa+a≤a(a)(其中a为参数,a为常数),不等号前后两个函数的图像特征为:“一直一曲”,而直线a=aa+a过定点(0,a).半分离参数的方法,通过变形将不等式两边化为一直线与一曲线的形式,再结合图像利用函数凹凸性解决问题,过程简洁快捷.需要指出的是,这种解法只适用于选择题与填空题,不适用于解答题.解法2是不分离参数,直接构造差函数对参数进行讨论,过程更加严谨,理由更加充分,是解答题的一般做法.其中讨论的临界点,可以结合解法1的过程而得到.【例7】已知函数a(a)=a ln a+aa−1,a∈a.(1)求函数a(a)的单调区间;(2)当a=2时,对任意a>1,a(a)>a(a−1)恒成立,求正整数a的最大值.【解析】(1)a(a)的单调递增区间为(e−a−1,+∞),单调递减区间为(0,e−a−1).(2)解法1:全分离a(a)>a(a−1)变形为a<a(a)a−1=a ln a+2a−1a−1,令a(a)=a ln a+2a−1a−1,a′(a)=−ln a+a−2(a−1)2,令a(a)=−ln a+a−2,则a′(a)=−1a +1=a−1a>0,所以a(a)在(1,+∞)单调递增,又a(3)=1−ln3<0,a(4)=2−2ln2>0,所以存在唯一a0∈(3,4),使得a(a0)=0,即ln a0=a0−2.故当a∈(1,a0)时,a(a)<0,a′(a)<0,a(a)单调递减;当a∈(a0,+∞)时,a(a)>0,a′(a)>0,a(a)单调递增.所以a(a)min=a(a0)=a0ln a0+2a0−1a0−1=a02−1a0−1=a0+1,即a<a0+1,又a0∈(3,4),所以a0+1∈(4,5),因为a∈a∗,所以a max=4.解法2:半分离a(a)>a(a−1)恒成立,即a(a)=a ln a+2a−1图像恒在直线a=a(a−1)的上方.因为a′(a)=3+ln a>0,a′′(a)=1a>0,所以a(a)在(1,+∞)单调递增,且下凸; 直线a=a(a−1)过定点(1,0).设过(1,0)的直线与a(a)相切于点(a0,a(a0)),即(a0,a0ln a0+2a0−1).切线斜率为a′(a0),所以a<a′(a0).由a(a0)−0a0−1=a′(a0),得a0ln a0+2a0−1a0−1=3+ln a0,化简整理得ln a0=a0−2,所以a′(a0)=3+ln a0=3+(a0−2)=a0+1.故a<a0+1. 下面估计a0的范围.令a(a)=a−ln a−2,则a′(a)=1−1a =a−1a>0,所以a(a)在(1,+∞)单调递增;又a(3)=1−ln3<0,a(4)=2−2ln2>0,所以a(a)的唯一零点a0∈(3,4).于是a0+1∈(4,5),因为a∈a∗,所以a max=4.【点睛】需要点睛意的是,利用半分离参数求解含参问题,需要结合二阶导数研究函数的凹凸性,在解答题中有“以图代证”的嫌疑,因而这个解法一般只适用于选择题或填空题. 【例8】设函数a(a)=e a(2a−1)−aa+a,其中a<1.若存在在唯一的整数a0使得a(a0)<0.则a的取值范围是（）A.[−32e ,1) B.[−32e,34) C.[32e,34) D.[32e,1)【解析】解法1:全分离参数a (a )<0⇔(a −1)a >e a (2a −1)当a >1时,有a >e a (2a −1)a −1>1,这与题设矛盾,舍去; 当a <1时,有a <e a (2a −1)a −1,记a (a )=e a (2a −1)a −1, 则a ′(a )=e a (2a +1)(a −1)−e a (2a −1)(a −1)2=a e a (2a −3)(a −1)2(a <1), 当a <0时,a ′(a )>0;当0<a <1时,a ′(a )<0,故a (a )在(−∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,作出其大致图象如图所示.由题意知,存在唯一的整数a 0使得a (a 0)<0,即a <a (a 0),由图易知a 的取值范围是32e =a (−1)≤a <1,选a .解法2:半分离参数设a (a )=e a (2a −1),a (a )=aa −a ,由题意知,存在唯一的整数a 0,使得a (a 0)<a (a 0),a ′(a )=e a (2a +1),当a <−12时,a ′(a )<0,当a >−12时,a ′(a )>0,则a (a )在(−∞,−12)上单调递减,在(−12,+∞)上单调递增.作出a (a )与a (a )的大致图象如图所示.因为a (0)=−1<−a =a (0),故只需a (−1)≥a (−1)即可,解得a ≥32e ,则a 的取值范围是32e ≤a <1,故选a .强化训练1.设函数a (a )=a 2+aa +a ,a (a )=e a (aa +a ).若曲线a =a (a )和曲线a =a (a )都过点a (0,2),且在点a 处有相同的切线a =4a +2.(1)求a ,a ,a ,a 的值;(2)若a ≥−2时,a (a )≤aa (a ),求a 的取值范围.【解析】(1)a =4,a =2,a =2,a =2(过程略).(2)由(1)知,a (a )=a 2+4a +2,a (a )=2e a (a +1),①当a =−1时,a (a )=−1,a (a )=0,此时a (a )≤aa (a )恒成立,则a ∈a ; ②当a ∈[−2,−1)时,a (a )=2e a (a +1)<0,a (a )≤aa (a )可化为:a ≤a 2+4a +22e a (a +1),令a (a )=a 2+4a +22e a (a +1),则a ′(a )=−a (a +2)22e a (a +1)2≥0恒成立,故a (a )在区间[−2,−1)上单调递增,当a =−2时,a (a )取最小值e 2,故a ≤e 2; ③当a ∈(−1,+∞)时,a (a )=2e a (a +1)>0,a (a )≤aa (a )可化为:a ≥a 2+4a +22e a (a +1), 令a (a )=a 2+4a +22e a (a +1),则a ′(a )=−a (a +2)22e a (a +1)2,当a ∈(−1,0)时,a ′(a )>0,当a ∈(0,+∞)时,a ′(a )<0,故当a =0时,a (a )取极大值1,故a ≥1.综上所述:a ∈[1,e 2],即a 的取值范围是[1,e 2].2.设函数a (a )=e a −aa −2.(1)求a (a )的单调区间;(2)若a =1,a 为整数,且当a >0时,(a −a )a ′(a )+a +1>0,求a 的最大值.【解析】(1)当a ≤0时,a (a )在(−∞,+∞)上单调递增,无减区间;当a >0时,a (a )的单调递减区间是(−∞,ln a ),单调递增区间是(ln a ,+∞).(2)(a −a )a ′(a )+a +1>0等价于a <a +1e a −1+a (a >0)(1),令a (a )=a +1e a −1+a ,则a ′(a )=e a (e a −a −2)(e a −1)2, 而函数a (a )=e a −a −2在(0,+∞)上单调递增,a (1)<0,a (2)>0,所以a (a )在(0,+∞)存在唯一的零点.故a ′(a )在(0,+∞)存在唯一的零点.设此零点为a ,则a ∈(1,2).当a∈(0,a)时,a′(a)<0;当a∈(a,+∞)时,a′(a)>0.所以a(a)在(0,+∞)的最小值为a(a).又由a′(a)=0,可得e a=a+2,所以a(a)=a+1∈(2,3).由于(1)式等价于a<a(a),故整数a的最大值为2.3已知函数a(a)=ln2(1+a)−a21+a.(1)求函数a(a)的单调区间;(2)若不等式(1+1a)a+a≤e对任意的a∈N∗都成立(其中e是自然对数的底数).求a的最大值.【解析】(1)函数a(a)的定义域为(−1,+∞),a′(a)=2ln(1+a)1+a−a2+2a(1+a)2=2(1+a)ln(1+a)−a2−2a(1+a)2.设a(a)=2(1+a)ln(1+a)−a2−2a,则a′(a)=2ln(1+a)−2a.令a(a)=2ln(1+a)−2a,则a′(a)=21+a −2=−2a1+a.当−1<a<0时,a′(a)>0,a(a)在(−1,0)上为增函数,当a>0时,a′(a)<0,a(a)在(0,+∞)上为减函数.所以a(a)在a=0处取得极大值,而a(0)=0,所以a′(a)<0(a≠0), 函数a(a)在(−1,+∞)上为减函数.于是当−1<a<0时,a(a)>a(0)=0,当a>0时,a(a)<a(0)=0.所以,当−1<a<0时,a′(a)>0,a(a)在(−1,0)上为增函数.当a>0时,a′(a)<0,a(a)在(0,+∞)上为减函数.故函数a(a)的单调递增区间为(−1,0),单调递减区间为(0,+∞).(2)不等式(1+1a )a+a≤e等价于不等式(a+a)ln(1+1a)≤1.由1+1a >1知,a≤1ln(1+1a)−a.设a(a)=1ln(1+a)−1a,a∈(0,1],则a′(a)=−1(1+a)ln2(1+a)+1a2=(1+a)ln2(1+a)−a2a2(1+a)ln2(1+a).由(1)知,ln2(1+a)−a21+a≤0,即(1+a)ln2(1+a)−a2≤0.所以a′(a)<0,a∈(0,1],于是a(a)在(0,1]上为减函数.−1.故函数a(a)在(0,1]上的最小值为a(1)=1ln2−1.所以a的最大值为1ln2。
巧用分离参数法求参数的取值范围
巧用分离参数法求参数的取值范围作者：李惠来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2012年第09期一、分离参数法求参数取值范围在恒成立问题中的应用恒成立问题能够很好的考查函数、不等式等知识以及化归等数学思想，是一种常考题型．分离参数法是常用的求参数取值范围的策略之一，在恒成立问题中常用分离参数法求参数取值范围．a≥f(x)恒成立a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立a≤f(x)min．用此法首先要设法分离参数，然后求函数f(x)的最值．例1当0≤x≤12时，|ax－2x3|≤12恒成立，求实数a的取值范围．思路点拨：本题是恒成立问题中求参数取值范围，注意到|ax－2x3|≤12中含有绝对值，先用公式去绝对值得－12≤ax－2x3≤12，问题转化为ax－2x3≥－12ax－2x3≤12在［0,12］上恒成立．此时要分离参数a，注意到x的符号，需对x是否为0分类讨论．解析：10当x=0时，|ax－2x3|≤12恒成立．20当0a≥2x2－12x a≤2x2+12x在（0,12］恒成立．令f(x)=2x2－12x，g(x)=2x2+12x则原命题a≥f(x)max a≤g(x)min∵0且f′(x)=4x+12x2>12，g′(x)=4x－12x2＝(2x-1)(4x2+2x+1)2x2．∴f′(x)>0,g′(x)∴f(x)在（0,12］上为增函数，g(x)在（0,12］上为减函数．∴f(x)max=f(12)=－12，g(x)min=g(12)=32.所以a的取值范围是［－12,32］．点评：分离参数时，不等式左右两端同除以一个代数式时应注意其正负，分离参数后，函数的最值常借助于导数来求．二、分离参数法求参数取值范围在二次方程根的分布中的应用在二次方程根的分布问题中求参数的取值范围，可利用二次方程根的分布知识建立关于参数的不等式组，解之即得所求参数的取值范围；若方程中的参数可以分离，利用分离参数求解，更为简洁．例2方程x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根，求实数a的取值范围．思路点拨：分离参数a原命题转化为a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．只需在同一坐标系中作出函数f(x)=x2+12x与函数y=a的图像，使两图像在［12,3］内至少有一个交点，从而将问题转化为求函数值域．解析：x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．令f(x)=x2+12x,x∈［12,3］，y=a，画出两函数图像如图所示：∵f(x)在（12,1］上为减函数，在［1,3］上为增函数，∴f(x)的值域为［1,53］．∴f(x)min≤a≤f(x)max，即a∈［1,53］．点评：“对勾函数”y=ax+bx（a>0,b>0），在（0,ba］为减函数，在［ba,+∞）上为增函数．这是非常有用的结论.二次方程中求参数的取值范围，可分离参数后转化为求函数的值域问题．数形结合，直观求解．三、分离参数法求参数取值范围在函数单调性中的应用函数单调性的应用问题常涉及到求参数取值范围．此类问题可转化为恒成立问题或实根分布问题来求解．例3已知函数f(x)=(x2－ax+5)e x在区间［0,+∞）上单调递增，求a的取值范围．思路点拨：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增可以转化为f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．分离参数法可求解．解析：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．∵f′(x)=(2x－a)e x+(x2－ax+5)e x=e x(x2－ax+2x－a+5)=e x［x2+(2－a)x+5－a］∴e x［x2+(2－a)x+5－a］≥0在［0,+∞）上恒成立．原命题x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．方法一：（转化为恒成立问题）x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．a(x+1)≤x2+2x+5在［0,+∞）上恒成立．注意到x+1>0故上式a≤x2+2x+5x+1在［0,+∞）上恒成立．令g(x)=x2+2x+5x+1，则原命题a≤g(x)min，下求g(x)在［0,+∞）上的最小值．g(x)=x2+2x+5x+1=(x+1)2+4x+1=(x+1)+4x+1≥4，当且仅当x+1=4x+1时，即x=1时g(x)min=4，所以得a的取值范围a≤4．方法二：（转化为二次方程实根分布问题）10当摹 0即－4≤a≤4时，f′(x)≥0在［0,+∞）恒成立．∴f(x)在［0,+∞）上单调递增．20当 >0即a>4或a综上得a的取值范围是a≤4．求参数的取值范围问题，我们常常利用转化的思想，将问题转化为与之等价的恒成立问题或二次方程根的分布问题，巧妙分离参数，求参数范围问题往往能够顺利地解决．。
例谈函数中的分离参数问题
12-34欽学放学2020年第12期例谈函数中的分离参数问题葛丹(江苏省江阴市第二中学，江苏江阴214432)分离参数法是求参数取值范围的一种常用方法.通过分离参数，利用函数观点讨论主变量的变化情况，获取函数的性质或图像，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到，解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.由于分离参数法的重要性和独特性，所以高考试题也经常涉及这方面的知识点•下面就例谈函数中分离参数的有关问题,用以抛砖引玉，期望对大家能有启发和帮助.例1设函数/(x)=ax3-3%+l(x e R),若对于任意的％e［-1,1］都有/(%)M0成立,则实数a的值为________.分析：若x=0,则不论a取何值,/(%)M0显然成立；当％>0,即％e(0,1］时,/(%)=31ax3-3x+10可化为aX X设g(%)=2-1，则g J)=3(l严)，所X X X以g&)在区间(0,y］上单调递增，在区间1上单调递减，因此g(«)mai=4,从而a M4；当兀<0,即％e［一1,0)时，/(%)-ax-313兀+1M0可化为a—----,g'(兀)=x x3(1—2兀)-~4一->°，gG)在区间［-1,0)上单调X递增，因此g(x)mi…=g(-l)=4,从而aW4,综上a=4.点评：此题的关键是考虑要分离对象的定义域，根据不等式的性质，通过分类讨论来分离参数，将问题迎刃而解.例2已知函数/(%)=e*+e：其中e是自然对数的底数.若关于乂的不等式吋(％)W e"+m-1在(0,+8)上恒成立,求实数m的取值范围.分析：由题意，m(e「*+e*)W e"+m-1,即m(e x+e'x-1)W e~x- 1.由(0,+8),得e+e-*-l>0,即e'1-1m W-------------对％e(0,+8)恒成立.e+e-11一t令£=e"(t>1),则m W-----------对任意£-£+1£丘(1,+8)恒成立.再设u-l(u>0), nil I-t u11贝0:=_---------；二-----:—》_可, t-f+1u+zz+113u+—+1u当且仅当U=1时等号成立，由此可得m W _亍点评：此题的关键是通过换元，求岀函数的最小值.例3若函数f(x)=ae x-x-3有2个不同的零点,则实数a的取值范围是________•分析：依题意方程ae x-X-3=0有两个久+3解，分离参数得a=—，即函数y=a与函数e筑+3y=—「的图像有两个交点.e兀+3可设g(E=-^(x e R),则g©)=e—%—2-----；—(x e R)，令g'(%)=o,得％=-2.e2020年第12期12-35当x e(-oo,-2),g'(x)>0,g(x)为增函数；当x e(-2,+oo),g'(x)<0, g(x)为减函数•如图1,注意到函数g&)在y 轴右侧的图像应在%轴的上方,所以正确结论是(0,e2).点评：此题的关键是正确作出函数的图像，否则就会得到错误结果(-8,e2).例4设曲线y=(ax-l)e x在点4(%0, J.)处的切线为人，曲线y=(1-x)e-*在点3B(%o,力)处的切线为心,若存在%o e0,—,使得人丄仏，则实数a的取值范围是________•分析：因为直线」12的斜率分别为= (ax0+a-1)e",k2=(x0-2)e x°.图2由题意可得k x k2=(ax0+a-1)(x0-2)=3-1在0,—上有解，所以_%o_3a(x0-2)(%+O'3令t=x0-3e~3,-—，则=七=]丄(z+l)(z+4)42t+—+5t点评：此题的关键是通过分离参数，求出函数的值域.2例5已知函数/(x)=x+In x——,eg(x)=-,其中e为自然对数的底数.若函数x/(X)与g(%)的图像恰有一个公共点，实数m的取值范围是________•a分析：由X+In X-----二—(x>0)，得到e x22m=x+xln x-----%(%>0).e2设仇(兀)=x2+%ln x一一%(%>0),贝！Je2/1\ /i z(%)—2%+In%+1-----(x>0).因为人'(—I—0,且h"(x)=2+->0(x>0),所以方程Xh'g=0有且只有一个解.因此浪％)的图像如图2所示，所以m的取值范围是m M0或m= e+1点评：此题的关键是通过观察，猜想出导函数为零时的解为X=丄，并且要证明导函数e为单调递增，以确定解唯一.X例6函数/(%)=-,若对任意的％e(0,e2),都有/(%)<-一—成立，求实数％的A:+2%-%取值范围.■%1分析：/(^»)=—<---------对任意力6e k+2x-x(0,2)都成立，所以k+2x-x2>0,即&>x2-2x对任意乂e(0,2)都成立，从而％M0.又不等式整理可得％<-+x2-2x,令12-36欽学款学2020年第12期g(x) =+ x 12 _ 2x.1 — In xg'(x)=----------，当0 < % < e 时,g ，(%) >X0；当 ％ > e 时,g'(%) < 0. g(%)在(0, e)上是 增函数，在(e, +8)上是减函数，且g(l) = 0.Xe x (x -所以 g'(%) =------------+ 2(% - 1) = (%-x1)(］ + 2)= 0,得％ = 1.当％ e (1,2)时, g'M >0,函数g(%)在(1, 2)±单调递增，同理，函数g&)在(0, 1)上单调递减.所以k < g(%)min =g(l)=e - 1 ,综上所述，实数的取值 范围是［0, e - 1)・点评：此题的关键是注意隐含条件的挖掘•即k > x 2 - 2x 对任意x e (0, 2)都成立，从而k M 0.例7 已知函数/(兀)=In% - ax 2 + a 兀恰有 两个零点,则实数a 的取值范围为________・分析：如果In 兀- ax 2 + a% = 0,贝！］ a =In x石---(X > 0且％ # 1),而研究g(x)=X - X I V石一(X > 0且x# 1)的图像性质是比较麻烦 X - X］n 兀的.如果将函数/(%)合理变形为——=a(x -XI n y1)(X > 0)的形式，观察函数g(x)=——(X >X0)和函数ft(x)=a(x-l)(x > 0)的图像恰有两个交点时的情况就比较容易了.图3当％〉e 时,g(x) > 0,又 g ，(1)= 1,所以 g(%)在(1,0)处的切线方程为y = % - 1.由图像可知，直线/i(x)=a(x - 1)的斜率a 的取值范围为(0, 1) U (1, + 8 ).点评：此题的关键是挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路，转化为研究斜率k=a 的几何意义.3例 8 已知函数f(x)=-x 3 +-x 2, g(x) = 31nx,对于任意％ > 1,恒有/'(%) W kgg 成立，求实数％的取值范围.分析:此题若分离参数是比较繁琐的，而 将其转化为x 2 - x + k\nx 0(x > 1)恒成立,去考虑函数h(x) = x - x + A:lnx(x > 1)的最 小值大于或等于零即可.由 h'(x')=-------------，当％ > 1 时,2x 2 -xX > I.(i) 当心- 1时,gx) >0恒成立MG) 在(1, +oo)上是增函数，所以为仏)〉人(1)= 0,满足题意，则kM- 1;(ii) 当％ < - 1时，令h'(x) = 0,解得衍=x e ( 1, x 2)时,胪(％) < 0, h(x)在(1, /)上 是减函数，所以人(％) <A(l) = 0,不合题意，舍去.综上可得实数％的取值范围是［-1, + 8 ).点评：此题的关键是化归为研究函数的值域问题.总之，在利用分离参数法解决函数综合 问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化 归为基本问题来解决，尤其是要注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.并且要仔细审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件，防止出错.若分离 参数后问题比较复杂要合理寻找其他解题思 路，等价转化为容易解决的问题来研究化解之.。
分离参数法解决恒成立问题的步骤
引言在数学建模和问题求解过程中，分离参数法是一种常用的方法，用于解决恒成立问题。
本文将以分离参数法解决恒成立问题的步骤为主题，深入探讨这一方法的应用和原理。
通过对这一主题的深度分析，希望读者能更全面地了解分离参数法在解决恒成立问题中的作用和意义。
一、分离参数法的基本概念分离参数法是一种通过引入新的参数，将原方程中的变量分离的方法。
在解决恒成立问题时，我们通常会遇到一些复杂的方程或不等式，通过分离参数法可以简化问题的求解过程。
这种方法的关键在于选择合适的参数，使得原方程中的变量可以被分离或者化简成更容易处理的形式。
二、分离参数法解决恒成立问题的步骤1. 确定需要分离的参数在使用分离参数法解决恒成立问题时，首先需要确定需要引入的参数。
这一步需要观察原方程的形式，找到能够将变量分离的合适参数。
通常情况下，选择参数需要考虑到简化方程和减少求解难度的原则。
2. 将参数引入原方程确定了需要分离的参数后，接下来就是将参数引入原方程。
这一步需要仔细分析原方程的结构，选择合适的方式引入参数，并进行变形操作，使得原方程中的变量能够被成功分离。
3. 分离变量并求解引入参数后，原方程中的变量应该被分离到各自的部分，使得方程的形式更简单或者更易于处理。
在分离变量的过程中，可能会需要运用一些基本的数学技巧或变换方法。
对分离后的方程进行求解，得到恒成立条件或者特定的解。
三、分离参数法解决恒成立问题的示例分析举例来说明分离参数法解决恒成立问题的具体步骤。
假设有一个非常简单的不等式问题：证明当x＞0时，恒有2x+1＞0成立。
这个问题可以通过分离参数法得到简单的解。
首先我们选择参数t，使得2x+1可以被分离为2(x-1/t)+1/t，接着我们引入t后，可以得到不等式 2(x-1/t)+1/t＞0。
由于x＞0，所以x-1/t＞0，因此不等式转化为1/t＞0。
当1/t＞0时，不等式2(x-1/t)+1/t＞0成立。
根据1/t＞0，我们知道t必须是正数，因此不等式2x+1＞0在x＞0时恒成立。
25.分离常数法和分离参数法
分离常数法与分离参数法一:分离常数法:是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p+++++====+++++等。
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1）用分离常数法求分式函数的值域例1：求函数31()2x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ⎡⎤⎣⎦-++-+===+---。
由1x ≤，得 21x -≤-。
所以1102x -≤<-。
故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性例2：已知函数f(x)=(),x a a b x b+≠+,判断函数f(x)的单调性。
解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。
3)用分离常数法求分式函数的最值例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101x x x +++的最小值。
解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()211711101x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()215141x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411x x +=+，即x=1时，等号成立。
所以当x=1时，f(x)取得最小值9.二：分离参数法分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。
通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。
这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
分离参数法的基本步骤
分离参数法的基本步骤分离参数法的基本步骤：①分离参数法应用于解决偏微分方程初边值问题时首先需确保方程形式适合采用该方法即方程可写为两个变量各自函数乘积形式；②对于典型例子如一维热传导方程∂u/∂t=α²∂²u/∂x²边界条件u(0,t)=u(L,t)=0初始条件u(x,0)=f(x)其中α为常数L为区间长度f(x)为已知函数；③假设解可以表示为时间变量t与空间变量x的乘积形式即u(x,t)=X(x)T(t)将其代入原方程中得到X(x)T'(t)=α²X''(x)T(t)；④两边同时除以α²XT得到T'/T=α²X''/X记作λ该式表明左侧仅为t函数右侧仅为x函数因此λ必须为常数；⑤根据λ值不同讨论几种情况λ>0λ=0λ<0分别对应指数函数常数函数三角函数解形式；⑥结合边界条件求解相应常微分方程得到X(x)T(t)具体表达式对于λ<0情形通常假设λ=-μ²μ>0；⑦解得X(x)=Acos(μx)+Bsin(μx)应用边界条件X(0)=0X(L)=0确定系数A=0μ=nπ/Ln为正整数；⑧T(t)部分解为T(t)=Ce^(-α²μ²t)其中C为待定常数综合得到u(x,t)=∑[Bₙsin(nπx/L)e^(-α²(nπ/L)²t)]；⑨利用傅里叶级数展开原理将初始条件f(x)表示为正弦级数∑B ₙsin(nπx/L)通过积分计算确定系数Bₙ；⑩最终得到满足所有条件的解形式表明随着时间推移热能在均匀介质中逐渐扩散直至达到稳态；⑪分离参数法不仅适用于热传导问题还可推广至波动方程拉普拉斯方程等其他类型偏微分方程求解中；⑫正确理解和掌握分离参数法基本思想与操作步骤对于深入研究偏微分方程理论解决实际工程问题具有重要意义。
参数分离法在解题中的应用
参数分离法在解题中的应用许家雄【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)009【总页数】2页(P20-21)【作者】许家雄【作者单位】深圳市石岩公学【正文语种】中文求参数的取值范围问题,是高考的热点和难点,而“参数分离法”无疑是解决这类问题的有效方法．下面例谈如何培养学生使用“参数分离法”求解的能力．例1 (2014年全国卷) 已经函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一零点x0且x0>0,求a的取值范围．解法1 (直接构造函数法)当a=0时,f(x)=-3x2+1,显然f(x)有2个零点,不合题意．令f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2)=0得当a>0时,f(x)在(-∞,0)和上单调递增,在上单调递减．因为f(0)=1,当x→-∞时,f(x)→-∞,即f(x)在(-∞,0)上有零点,不符合题意．当a<0时,f(x)在和(0,+∞)上单调递减,在上单调递增．因f(0)=1,所以要使f(x)存在唯一零点x0且x0>0,需满足,即,解得a<-2或a>2．因此a<-2．解法2 (参数分离法)令f(x)=ax3-3x2+1=0,实施参数a与自变量x的分离,则令,则,令,得x1=-1,x2=1．所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,g极小值(x)=g(-1)=-2;g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,g极大值(x)=g(1)=2．要使f(x)存在唯一零点x0且x0>0,则需a<g极小值(x)=g(-1)=-2,即a<-2．对比2种解法,参数分离法显然要比解法1简洁有效,而且学生更容易理解和掌握．例2 (2014年全国卷) 已知函数f(x)=x3-3x2+x+2,证明：当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有1个交点．解法1 (直接构造函数法) 设g(x)=f(x)-(kx-2)=x3-3x2+(1-k)x+4，则g′(x)=3x2-6x+1-k．令3x2-6x+1-k=0,Δ=24+12k．当Δ≤0,即k≤-2时,g′(x)≥0,g(x)在R上单调递增，而g(-1)=k-1<0,g(0)=4,故g(x)在R上有唯一零点,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有1个交点．当Δ>0,即-2<k<1时,方程3x2-6x+1-k=0有2个实数根：g(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减．要使曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有1个交点,需g极小值(x)=g(x2)>0．因g(x)=x3-3x2+(1-k)x+4和都很复杂,所以不等式g(x2)>0无法求解．解题过程至此无法再继续，只能回过头对函数g(x)=x3-3x2+(1-k)x+4进行放缩变换并对自变量x进行分类讨论,而这样做法的技巧性太强了．只有通性通法、常规解法才容易被学生理解和掌握，而“参数分离法”正是这样的“通性通法”．解法2 (参数分离法)令x3-3x2+x+2=kx-2．当x=0时,方程x3-3x2+x+2=kx-2无实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2没有交点．当x≠0时,分离参数得，则所以当x∈(-∞,0)时,g(x)单调递减;x∈(0,2)时,g(x)单调递减;x∈(2,+∞)时，g(x)单调递增．故g极小值(x)=g(2)=0,当k<1,k-1<0时,方程在(-∞,0)上有1个解,即k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有1个交点．就本题而言,直接构造函数法在解题过程中碰到很大的困难,需重新对原函数实施放缩变换.这对解题的技巧要求很高,也没有什么规律可循,一般难以掌握．而参数分离法思路单一、简捷有效．例3 (2013年全国卷)已知f(x)=ln(1+,若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值．由于参数λ与自变量x可以分离,因此可以采用“参数分离法”求解．由已知得当x=0时,λ∈R;当x>0时,令,则.虽然通过观察可知x=0是函数y=2x-(2+x)ln(1+x)的一个零点,但不能判断出g′(x)的正、负取值情况,因此需对导函数g′(x)继续部分求导．令h(x)=2x-(2+x)ln(1+x),则此时仍不能判断出h′(x)的正、负取值情况,还需对导函数h′(x)继续实施部分求导．再令e(x)=x-(1+x)ln(1+x),则e′(x)=-ln(1+x)．至此e′(x)的零点和正、负值可确定．显然e′(x)<0,所以e(x)在(0,+∞)上单调递减,故e(x)<0,即h′(x)<0, h(x)在(0,+∞)上单调递减,则h(x)<0,即g′(x)<0,从而g(x)在(0,+∞)上单调递减．因此要使恒成立,需λ≥gmax(x)．运用洛必塔法则，得,即故λ的最小值为.本题在利用参数分离法构造新函数后,新构造的函数比原来函数更复杂,甚至还要结合使用“连续求导法”和“洛必塔法则”,这无形中增加了解题过程的计算量．尽管如此,由于参数分离法操作简单、容易想到,因此仍是解决问题的利器．例4 (2012年浙江卷) 设k∈R,若x>0时均有[(k-1)x-1](x2-kx-1)≥0．求k的值．此题对于学生来说,既熟悉又富有挑战性．说它熟悉,是因为其属于“不等式恒成立求参数取值范围”的常规问题;说它具有挑战性,则是因为按照常规问题的解题思路去解题时,会碰到很大的困难．直接构造函数f(x)=[(k-1)x-1](x2-kx-1),求导得f′(x)=3(k-1)x2-2(k2-k+1)x+1,由于导函数方程f′(x)=0的根x1、x2的代数式过于复杂,无法求出不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解，故从参数分离法的角度来思考.将不等式[(k-1)x-1](x2-kx-1)≥0左边展开得(k-1)x3-k(k-1)x2-(k-1)x-x2+kx+1≥0,此式不容易实现参数k与自变量x的分离．但是,如果换一个角度思考，参数分离的本质就是把参数当作未知数,从方程或不等式中求解出来．基于此,把不等式[(k-1)x-1](x2-kx-1)≥0看成是关于k的一元二次不等式,交换自变量k与“常数”x的位置后，原不等式变形为至此,问题就转化为简单的一元二次不等式的求解了．因为，所以当0<x≤2时,解得.成功实现了参数k与自变量x的分离,这样原问题就转化为不等式在(0,2]上恒成立的问题,最后解得.当x>2时,,原问题转化为不等式在(2,+∞)上恒成立的问题,最后解得综上可知，即为所求．从理论上讲,所研究的问题如果能够实现参数和自变量分离,只要我们坚定信念,都可以用“参数分离法”予以解决．。
怎样用分离参数法求函数最值问题中参数的值
探索探索与与研研究究求函数最值问题中参数的值或者取值范围问题在高中数学试题中比较常见，此类问题的综合性较强，常与不等式、函数、方程、导数等知识相结合，是一类难度较大的问题.而分离参数法是解答此类问题的重要手段.分离参数法是指通过分离参数，用函数思想来讨论主变量的变化情况，由此确定参数的变化范围或取值的方法.运用这种方法可以避免分类讨论的麻烦，使问题顺利获解.运用分离参数法求函数最值问题中参数的值，主要有以下几个步骤：1.根据题意，将函数最值问题转化为不等式恒成立问题；2.将不等式变形，使参数、变量分离，把参数单独置于等式或者不等式的一边；3.将不含有参数的式子构造成函数模型；4.利用导数法或通过分析函数的解析式，判断出函数的单调性，进而确定函数的最值；5.根据函数的最值建立新关系式，求得参数的值.下面举例说明.例1.已知函数f (x )=ln x +x +a x的最小值为3，求实数a 的值.解：因为函数f (x )的最小值为3，则ln x +x +a x ≥3（x >0）恒成立，将不等式变形可得a ≤3x -x 2-x ln x ，设g (x )=3x -x 2-x ln x ，则g ′(x )=3-2x -(ln x +1)=2-2x -ln x ，易知此函数为减函数，又g ′(1)=0，所以在(0,1)上g ′(x )>0，在(1,+∞)上g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则g (x )有最大值g (1)=2，故a =2.我们根据函数有最小值，将问题转化为不等式恒成立问题，再分离参数，并构造出新的函数.只要求得新函数的最值，便能根据不等式求得a 的值.在求函数的最值时，还用到了导数法.例2.设函数f (x )=12ax 2+ln x （其中a ∈R ），若f (x )在(0,1]上的最大值是-1，求a 的值.解：因为f (x )在(0,1]上的最大值是-1，所以在(0,1]上有12ax 2+ln x ≥-1恒成立，即a ≥-2(1+ln x )x 2在(0,1]上恒成立，令g (x )=1+ln x x 2，则g ′(x )=-1-2ln x x3，令g ′(x )=0，得x，当x时，g ′(x )<0，当x ∈(1e ,1]时，g ′(x )>0，所以g (x )有最小值g (1e)=12e ，所以[-2(1+ln x )x 2]max =-e ，所以a =-e .分离参数后的式子比较繁琐，我们通过设出一个与此相关的新函数，并求出最小值，得到原函数的最大值，从而求得参数的值.这里巧妙地运用了转化思想.例3.已知函数f (x )=(e x -ax )(ln x +1x2)+1的最小值为e ，求实数a 的值.解：由于函数f (x )的的最小值为e ，所以(e x -ax )(ln x +1x 2)+1≥e （x >0）恒成立，即a ≤e x x -e -1x ln x +1x（x >0）恒成立，令g (x )=e x x ，则g ′(x )=e x (x -1)x 2，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )有最小值g (1)=e .令h (x )=x ln x +1x，则h ′(x )=ln x +1-1x 2，再令φ(x )=ln x +1-1x2，则φ′(x )=1x +2x 3=1x (1+2x2)，由于x >0，所以φ′(x )>0恒成立，即φ(x )是(0,+∞)上的单调增函数，又φ(1)=0，所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1,+∞)时，h ′(x )>0，则h (x )有最小值h (1)=1，所以-e -1x ln x +1x有最小值-(e -1)，于是(e x x -e -1x ln x +1x)min =1，即a =1.在分离参数后，为了求得函数的最值，我们通过二次求导判断出函数的单调性，确定函数的最值.可见，运用分离参数法求函数最值问题中参数的值的关键是，在分离出参数之后，将原问题转化为求函数的最值或值域问题来求解.在解题时要注意灵活运用转化思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思想等来辅助解题.（作者单位：四川省安岳中学）53Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
破解含参不等式恒成立的5种常用方法
破解含参不等式恒成立的5种常用方法含参数不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。
对含有参数的不等式 恒成立问题，破解的方法有：分离参数法、数形结合法、单调性分析法、最值定位法、构造函数法等。
一 分离参数法分离参数法是解决含问题的基本思想之一。
对于含参不等式的问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等 式的性质将参数分离出来 ，得到一个一端是参数、另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性式就可以解决问题。
例1 已知函数a x f x x 421)(++=在（－∞，1］上有意义，试求的取值范围。
分析 ：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。
解析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥x x a 2141，∈x （－∞，1］恒成立，记)(x g a ≥，∈x （－∞，1］，因此问题又等价于)(x g a ≥在)(x g a ≥上恒成立，)(x g 在（－∞，1］上是增函数，因此)(x g 的最大值为)1(g 。
)(x g a ≥在（－∞，1］上恒成等价于43)1()(max -==≥g x g a 。
于是工的取值范围为43-≥a 。
【点评】)(x f a ≥恒成立等价于max )(x f a ≥；)(x f a ≤恒成立等价于min )(x f a ≤。
如果函数)(x f 不存在最值，上面的最大值就替换为函数值域的右端点，最小值就替换为函数值域的左端点。
解这类问题时一定要注意区间的端点值。
二 数形结合法数形到结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合法是破解含参数不等式恒成立问题的又一个主要方案。
分离参数法在函数问题中的应用
分离参数法在函数问题中的应用函数中带参数的问题，解决方法主流有两类：一为分类讨论法，包括简单分类讨论以及转化化规后的分类讨论，转化方式主要有：（1）对函数式整理变形，如： 2011年新课标卷21题；（2）对函数式放缩变形，如2007年全国一20题用到：2≥+-xx e e ，还有2010年新课标21题用到：1,)1ln(->≤+x x x ；x ex e xx-≥+≥-1,1，以及2010年全国二22题，用到第一问的不等式证明的结论等诸如此类的放缩，思维跳跃性较强，学生普遍反映较难。
二为分离参数法。
两者比较，分离参数法逻辑明晰，步骤简洁，只是运算量较大，有些题目还要用到如洛比达法则之类的工具。
我们先来看2007全国1的20题， 例1．设函数()e exxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥； （Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）略。
（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，即：ax e e xx ≥--；当0=x 时，上式显然成立；当0>x 时，上式转化为xee a xx--≤，令xee x g xx --=)(，0>x ，只要[]min )(x g a ≤即可。
2')()()(xe e x ee x g xx xx----+=，令)()()(x h ee x ee xxxx=--+--，xe e x h xx)()('--=，可知当>x 时，)(,0)('x h x h >在),0(+∞上单调递增，)(,0)(,0)0()('x g x g h x h ∴>∴=>∴在),0(+∞上单调递增，xee a xx x -→-≤∴lim即可。
xee xx --为00型，∴由洛比达法则可知：2)()()(limlimlim''=+=-=--→-→-→xx x xx x xx x ee x ee xee ，2≤∴a 即为所求。
(分离常数法与分离参数法)
分离常数法与分离参数法分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d +=+，22ax bx c y mx nx p++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域.解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x af x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性.解 由已知有()1x b a b a b y x bx b++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值.解 ∵1x >-，∴10x +>.由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x+-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知x a ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围.解 ∵()2a af x x x =-+，∴2()1a f x x '=+.又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a . 3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解 原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围. 解 原不等式可化为3421x x a -+-<-.∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-.又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥. 5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点. 解 直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).巩固练习：1、 设函数()2()log 21x f x =+的反函数为=y 1()-f x ，若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是 2213log ,log 35⎡⎤⎢⎥⎣⎦．2、 设关于x 的方程0)5(6391=-+-+k k k x x在]2,0[内有解，求k 的取值范围.1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、 奇函数f(x)在R 上为减函数，若对任意的],1,0(∈x 不等式0)2()(2>-+-+x x f kx f 恒成立，则实数k的取值范围是 221min =+-<）（xx k4、 函数2()223f x ax x a 在[-1,1]上有零点，求a 的取值范围.显然本题看成03222=--+a x ax 在[-1,1]上有解问题，从而分离变量：]1,1[,23)12(2-∈-=-x x x a 显然0122≠-x ，从而]1,1[,12232-∈--=x x x a 有解，故而a 的范围就是函数]1,1[,12232-∈--=x x xy 的值域，从而利用换元法求出),1[]273,(+∞⋃+--∞∈a .5．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =_4_____。
分离参数法求解参数问题含详解
1．已知函数 f x ax2 x lnx 1 ax2 x . （a∈R）． 2
（1）当 a＝0 时，求曲线 y＝f（x）在（e，f（e）处的切线方程（e＝2.718…） （2）已知 x＝e 为函数 f（x）的极值点，求函数 f（x）的单调区间． 【答案】（1）x+y﹣e＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e，+∞），单调递减区间为（1，e）． 【解析】（1）∵a＝0， ∴f（x）＝﹣xlnx+x，f′（x）＝﹣lnx， 则直线的斜率 k＝f′（e）＝﹣lne＝﹣1， f（e）＝﹣elne+e＝﹣e+e＝0， 故所求切线方程为 x+y﹣e＝0． （2）函数的导数 f′（x）＝（2ax﹣1）lnx﹣ax﹣1+ax+1＝（2ax﹣1）lnx， ∵x＝e 为函数 f（x）的极值点，
2 作出函数 u=1+ x 1 （r＜x＜a-2）的图象，得 a-2=-1，解得：a=1，矛盾．
9
综上，r=1，a=2+ 3 ．
10．已知函数 f (x) mx 1 1 (m, n 是常数 ) ，且 f (1) 2 ， f (2) 11 .
nx 2
4
（1）求 m,n 的值；
（2）当 x 1, 时，判断 f (x) 的单调性并证明；
（2）若 a= 1 ，并且对区间[3，4]上的每一个 x 的值，不等式 f（x）＞（ 1 ）x+t 恒成立，求实数 t 的取值
2
2
范围．
（3）当 x∈（r，a-2）时，函数 f（x）的值域是（1，+∞），求实数 a 与 r 的值．
【答案】（1）1；（2）
t
9 8
；（3）
分离参数法
分离参数法
分离参数法是一种重要的数学方法，它用于求解具有很强的数学结构的复杂问题。
本篇文章旨在探讨分离参数法的基本概念、特点和应用，从而让读者对该方法有更深入的了解。
首先，对分离参数法进行定义。
它是一种采用了分离变量法的数学方法，用于求解拥有一组非线性方程组的问题。
方法的基本步骤是将多元复杂函数中的三个主要参数：变量、参数和时间，分别称为函数的独立参数。
一旦分离了这三个参数，就可以确定函数的特征，以及每个参数的特征。
这样，整个复杂问题就可以被解析为一系列更加容易处理的独立问题，从而节省了计算的时间和空间。
其次，要介绍分离参数法的特点。
一般来说，它具有一些独特的属性：一是可分解性，可将复杂的函数结构分解为相对简单的独立参数；二是可重用性，所得到的独立参数可以在多种变量应用中使用；三是高效率，其运行速度可以比传统的函数求解方法更快；四是降低成本，is降低了计算机环境的成本；五是可维护性，独立参数可以很方便地被维护和修改。
最后，介绍分离参数法在实际应用中的情况。
分离参数法被广泛应用于各种科学领域。
例如，在经济学中，它可以用来分析投资回报率问题、价格学习问题以及消费行为问题等；在动力学中，它可以用来求解运动学问题；在天文中，它用来模拟太阳系中的行星运行轨迹；在社会系统中，它可以用来模拟社会变迁的过程。
总之，分离参数法是一种重要的数学方法，具有可分解性、可重
用性、高效率、降低成本和可维护性等特点，并且在经济学、动力学、天文学和社会系统等实际领域有着广泛的应用。
因此，分离参数法不仅有助于求解复杂的问题，而且还可以大大提高计算效率和降低成本。
分离参数法及其应用
（ 南 料
－ ．
一
ｔ＋ 一 ＜一 ｔ ｍ对 ｔ Ｏ ２ 恒成立． ｔ１ ２＋ ∈（ ，） 分离参
设 ｇｔ （）＝一。 ３ 一 ，４ ｇ ￡ （ ＜ｔ ２． ｔ＋ ｔ １贝 ｍ＞ （） ０ ＜ ）
‘ ．
数 ， ｍ ＞一 ｔ 对 ｔ ０，） 得 ｔ＋３ 一１ ∈（ ２ 恒成立 ．
一当 南 ’ （
即 ： ．
．
２０ 年广东高考理科 ２ 题（ ０７ Ｏ 文科 ２ 题 ） １ ： 已知 口是实数 ， 函数 ， ）＝ ａ ２ （ ２ｘ ＋ 一３一／如 ｔ ， ，
果 函数 Ｙ＝ （ 在 区 间［一１Ｉ 上有零 点 ， 口的取 厂 ） ，］ 求 值范 围． 此类 问题 属于 方程 的实根 分 布 问题 ， 解这 类 问 题 ， 以用分离 参数 法 ， 可 即将求 字母 系数 Ｃ的取值 范 ／ ，
此 法显 然 较 为方 便 ， 除可 以用基 本 不等 式方 且 法 外 ， 可 以用 导数 法 求 解． 外 ， 分 离参 数 法求 还 另 用
一
类不等式恒成立的问题 ， 最终都可 以转化为 ａ＞
） 恒 成 立 岱 口＞ （ 一 （ ≥ ） 厂 ） 口 ） ） ～ ，
厂 ） Ⅱ （ （
故 ｍ 的取 值范 围是 （ ， １ ＋∞） ．
令 （ ） ２ （ ＋ 一 ＝ １ １ ） ２ ， ｎ
， ＇ 一 ， 一 ，＾
例 ２ （０８ 高考安徽卷） 函数 ） ÷ ２０ 年 设 ＝ｌ ； ２ ｎ￣
（ ０且 ≠１ ． ＞ ）
则 ） 南 一 ２解 ：１ 。， ＝ （ ｔ ｔ＋ 一 （ ｅ ｔ Ｏ ， （ ）． （） ｔ ’ ＋） ‘ ｌｘ Ｒ，＞ ） 一
・
． ． ・ ． ．
分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用
分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1.用分离常数法求分式函数的值域例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域.解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<.2.用分离常数法判断分式函数的单调性例2 已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x bx b ++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>. 由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立. ∴当1x =时，()f x 取得最小值9.分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数.∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知xa ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围. 解 ∵()2a a f x x x =-+，∴2()1af x x'=+. 又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a .3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围.解 原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围.解 原不等式可化为3421x x a -+-<-. ∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-. 又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥.5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.解 直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).。
分离常数法和分离参数法的应用
分离常数法和分离参数法的应用分离常数法是一种用于求解一阶常微分方程的方法。
它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
分离常数法的基本思路是将方程中的dy和dx分开，然后将变量分离，使得方程两边只包含x或y中的一个变量。
具体步骤如下：1. 将方程表示为f(y)dy = g(x)dx的形式。
2. 对方程两边积分，得到∫f(y)dy = ∫g(x)dx。
3. 分别求解∫f(y)dy和∫g(x)dx，得到F(y)和G(x)。
4.利用等式F(y)=G(x)表示关系式，进一步求解y的表达式。
5.将得到的y的表达式代入原方程，求解出x的表达式。
分离参数法是一种用于求解二阶常微分方程的方法。
它适用于形如d²y/dx² = f(x)g(y)的二阶常微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y 的函数。
分离参数法的基本思路是将二阶常微分方程化为两个一阶常微分方程，然后利用分离常数法求解得到两个方程的通解，最后再根据边界条件确定常数。
具体步骤如下：1. 将二阶常微分方程表示为dy/dx = f(x)g(y)的形式。
2. 令dy/dx = p，则d²y/dx² = dp/dx。
3. 将dp/dx = f(x)g(y)代入d²y/dx² = dp/dx，得到dp =f(x)g(y)dx。
4. 将dp/f(y) = g(y)dx两边积分，得到∫dp/f(y) = ∫g(y)dx。
5. 分别求解∫dp/f(y)和∫g(y)dx，得到P(p, y)和X(x)。
6.利用等式P(p,y)=X(x)表示关系式，进一步求解y的表达式。
7.将得到的y的表达式代入原方程，求解出x的表达式。
分离常数法和分离参数法的应用广泛。
它们可以用于求解各种形式的常微分方程，例如指数函数、三角函数、对数函数等。
在物理学、工程学、经济学以及其他领域中，常微分方程是描述自然、社会和经济现象的基本工具。
[中学]分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用
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分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x xm a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1.用分离常数法求分式函数的值域例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域.解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--.由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<.2.用分离常数法判断分式函数的单调性例2 已知函数()()x af x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性.解 由已知有()1x b a b a b y x bx b++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值.解 ∵1x >-，∴10x +>. 由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9.分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根.令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域.又224(2)(2)()10x x f x x x+-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数.∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知xa ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围.解 ∵()2a af x x x =-+，∴2()1a f x x'=+.又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a .3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围.解 原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立.构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围.解 原不等式可化为3421x x a -+-<-.∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-.又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥.5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.解 直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒.∴直线l 恒过定点(3,1).。
分离参数法在解决与函数有关问题中的应用
分离参数法在解决与函数有关问题中的应用
王琳茹
（西安市八一民族中学 陕西·西安 710108）
摘 要 在高中数学中，参数问题对学生来说是个难点，题型多样，覆盖范围广，容易导致无法下手或分类不全面的问
题，为帮助学生在这类问题中做到心中有数，本文专门介绍分离参数法在各种情况下的使用，不难看出该方法的使用
（4）已知函数
有两个极值点，求 a 的取
值范围。
解析 函数有极值等价于导数有两个零点。
，
令
得
，即该方程有两个解，等价于函数 与
有两个交点，由图像分析可知，当 时， 与
的图像相切，则
a
的取值范围是(0,
1 2
)。
3 分离参数法在使用时需注意的问题
该方法在使用时要考虑分离对学校的定义域才能使用，
根据题目条件得出范围限制，或者采用换元思想解决，但也要
变量的变化情况，由此可以确定参数的变化范围，从而使问题
顺利解决。
2 分离参数法的应用
2.1 分离参数法在含参不等式恒成立问题中的应用
（1）设当 时，不等式
恒成立，求实
数 a 的取值范围。
解析 分离参数可得
，即 求 函 数
的最大值或是上确界先从定义域的边界处求
极限估计出函数 的最值，
，所以
函 数 最 大 值 可 能 为 0，以 下 证 明：要 使
2.3 分离参数法在函数零点问题中的应用
（3）若函数
在区间 上有零点，则实
数 a 的取值范围是
。
解析 思路 1：利用二次函数图像考虑。由于该函数对称
轴位置不定，还要考虑与 x 轴的交点个数情况，分类讨论较多，
容易漏解。
参数分离法的适用条件
参数分离法的适用条件参数分离法是一种常用的数学方法，用于解决复杂的问题。
它适用于一些特定的条件下，能够帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将介绍参数分离法的适用条件，并通过具体的例子来说明其应用。
参数分离法适用于问题可以通过引入适当的参数进行分解的情况。
也就是说，如果一个问题可以被分解为几个相对独立的子问题，那么参数分离法就可以发挥作用。
通过引入参数，我们可以将复杂的问题简化为一系列简单的子问题，从而更容易解决。
参数分离法适用于问题的解可以通过参数的分离来表示的情况。
也就是说，如果问题的解可以写成参数的函数形式，那么参数分离法就可以派上用场。
通过将问题的解表示为参数的函数，我们可以更好地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。
参数分离法适用于问题的参数可以通过某种方式分离的情况。
也就是说，如果问题的参数可以通过某种方式分离为两个或多个独立的部分，那么参数分离法就可以解决这个问题。
通过将参数分离，我们可以更好地处理问题的不同部分，并找到解决问题的关键。
为了更好地理解参数分离法的适用条件，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们要计算一个复杂函数的导数，而这个函数可以被分解为两个独立的部分。
通过引入适当的参数，我们可以将这个问题分解为求解两个简单函数的导数的问题。
然后，我们可以分别求解这两个简单函数的导数，并将结果合并得到原函数的导数。
通过这种方式，我们可以更容易地计算出复杂函数的导数。
总结起来，参数分离法适用于问题可以通过引入适当的参数进行分解的情况，问题的解可以通过参数的分离来表示的情况，以及问题的参数可以通过某种方式分离的情况。
通过参数分离法，我们能够将复杂的问题简化为简单的子问题，并通过解决这些子问题来得到原问题的解。
参数分离法在数学和工程领域有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解决问题。
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(3)中如何去绝对值号？ 去掉绝对值号后需要做什么？你会得出什么结论？
15．已知函数 f（x）的定义域为 D，若同时满足以下两个条件： ①函数 f（x）在 D 内是单调递减函数； ②存在区间[a，b]⊆D，使函数 f（x）在[a，b]内的值域是[﹣b，﹣a]． 那么称函数 f（x）为“W 函数”． 已知函数
回顾过去
1 2 ln x 已知f x 2 x (1)求f x 的单调区间 (2)令g x ax 2 ln x , 则g x 1有两个不同 根时，求a的取值范围
2
联系现在
(3)存在x1 , x 2 1, 且x1 x 2 , 使 f x1 f x 2 k ln x1 ln x 2 成立，求k的取值范围
分离参数法
跟踪训练
1 函数f x x ax 1在区间 3上有零点，则a的取值范围是______ ， 2
2
分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然 后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可 避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。当参数
实数 k 的取值范围是
f a a f b b 由题目所给出的两个条件，你能得出：_____________________
．
f x x k
为“W 函数”．
由此你能得出_______________分离且函数的最值易求出 ,利用这种方法可以顺利
解决许多含参数不等式中的取值问题.分离参数后， 往往需要 结合函数的图像求参数的范围，注重数形结合
13年山东卷(18) 如图所示，在三棱锥PABQ中，PB⊥平 面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP， BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点 H，连接GH. (1)求证：AB//GH； (2)求二面角DGHE的余弦值