第二章_点线面——习题
点线面位置关系例题与练习(含答案)
点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
第二章_点线面——习题
2-32 已知：三角形ABC的投影, 求作：该平面对V面的倾角。
2-33 已知MN为平面内对V面的最大斜度线， =300， 试求作该平面的两面投影。
已 知：平面ABCD的BC边平行于V面， 试完成：ABCD的水平投影。（习题2-32）
2-34 判别直线与平面的相对位置（平行、相交）。
平行
'
2-45 求两平面的交线，并判别可见性。
2-46 求两平面的交线，并判别可见性。
2-46 求两平面的交线，并判，试作其上第II 段（四棱锥台）和第IV段（四棱柱）的展开图。
2-42 求两平面的交线，并判别可见性。
2-42 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-44 求直线与平面的交点，并判别可见性。
2-44 求直线与平面的交点，并判别可见性。
第二章点线面习题点线面位置关系练习题点线面位置关系习题点线面体练习题点线面练习题点线面体同步习题点线面点线面平面构成图片康定斯基论点线面点线面设计
第二章 点线面——习题
2-1 根据直观图作A、B、C、D各点的投影图。
2-2 根据直观图作A、B的三面投影图。
2-3 已知各点的两面投影， 求作其第三面投影。
2-38 过点D作直线DE平行三角形ABC且与H面成300。
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
不平行
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
平行
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
平行
2-40 过点A作平面平行于平面BCDE。
点线面之间的位置关系练习题
点线面之间的位置关系练习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习1、 平面L =⋂βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且L C ∈，又R L AB =⋂，过A 、B 、C 三点确定的平面记作γ，则γβ⋂是（ ）A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上都不对2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ）A ．0B ．1C ．1或4D ．无法确定3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．空间四边形5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ，且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为6、下列命题正确的是（ ）A ． 若βα⊂⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线B ． 若βα⊄⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线C ．若∅=⋂b a ，则直线b a ,为异面直线D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个 9、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ）A ．必相交B ．有可能平行C ．相交或平行D ．相交或在平面内10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．任意一条直线不相交D ．无数条直线不相交11、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．相交B ．α//bC ．α⊂bD ．α//b 或α⊂b12、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．α⊂bC ．b 与平面α相交D ．以上都有可能13、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．b 与平面α相交C ．α⊂bD ．不能确定14、已知//a 平面α，直线α⊂b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面15、平面⋂α平面a =β，平面⋂β平面b =γ，平面⋂γ平面c =α，若b a //，则c 与b a ,的位置关系是（ ）A ．c 与b a ,异面B ．c 与b a ,相交C ．c 至少与b a ,中的一条相交D ．c 与b a ,都平行16、b a ,是异面直线，则过a 且与b 平行的平面有____个17、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，求异面直线1BD 和11C B 所成的角的余弦值18、已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM //面EFG19、在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1DD 的中点，求证：1BD ∥面AEC20、在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为BC 、11D C 的中点，求证：EF//平面11B BDD21、已知在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是11,CC AA 的中点，求证：平面//BDF 平面E D B 1122、过正方体1111D C B A ABCD -的棱1BB 作一平面交平面11C CDD 于1EE ，求证：1BB //1EE23、如图，四边形ABCD是矩形，P面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F，求证：四边形BCFE点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习答案1、C2、C3、34、B5、正方形6、D7、①8、D （提示：当α⊂L 时，就为0个） 9、A 10、C 11、D 12、D 13、D 14、D 15、D 16、1 17、33 18、提示：连结MD 交GF 于H ，则点H 为MD 的中点19、提示：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，则EO//1BD ，又⊂EO 面AEC ， 故1BD //面AEC20、提示：取11D B 的中点为1O ，连接11,BO FO ，则BE FO //1且BE FO =1，则 四边形1BEFB 是平行四边形，故EF BO //121、提示：11//D B BD ，取1BB 的中点H ，连接EH ，H C 1，有EH D C EH D C =1111,// 所以四边形11D EHC 是平行四边形，所以E D H C 11//，又BF H C //1， 所以BF E D //122、分析：因为1BB //⊄11,BB CC 面11C CDD ，所以1BB //面11C CDD23、分析：因为AD BC //，所以BC//面ADP ，所以BC//EF ，所以EF//AD ，但EF 的长度小于AD 的长度，而AD BC =，所以EF 的长度小于BC 的长度。
立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细答案解析)
第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。
点线面的位置关系练习题计算与判断
点线面的位置关系练习题计算与判断在几何学中，点、线、面是基本的几何概念，它们之间的位置关系是我们学习几何学的基础。
本文将通过一系列的练习题，来帮助我们更好地理解和计算点线面之间的位置关系，并进行判断。
练习题一：点与线的位置关系计算1. 以点A(2, 3)和线段AB为例，线段AB的两个端点分别是A(2, 3)和B(4, 5)。
现在需要计算点A与线段AB的位置关系。
解答：首先，我们可以计算线段AB的斜率k，公式为k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 3) / (4 - 2) = 1。
然后，计算点A到线段AB的垂直距离h，公式为h = |k * x - y + kx1 - y1| / √(k^2 + 1) = |1 * 2 - 3 + 1 * 2 - 3| / √(1^2 + 1^2) = 0。
当垂直距离h等于0时，表示点A在线段AB上。
2. 现在考虑点A(2, 3)与直线y = 2x的位置关系。
解答：首先，直线y = 2x的斜率为2。
然后，计算点A到直线的垂直距离h，h = |k * x - y + kx1 - y1| / √(k^2 + 1) = |2 * 2 - 3 + 2 * 0 - 3| / √(2^2 + 1^2) = 1。
当垂直距离h不等于0时，表示点A不在直线y = 2x上。
练习题二：点与面的位置关系判断3. 现有一个平面P：2x + 3y + 5z = 10和点A(2, 1, 0)，判断点A是否在平面P上。
解答：将点A(2, 1, 0)的坐标代入平面P的方程，判断是否满足2 * 2 +3 * 1 + 5 * 0 =4 + 3 + 0 = 7 ≠ 10。
当点A的坐标代入平面P的方程不满足等式时，表示点A不在平面P上。
4. 考虑平面Q：x + 2y + 3z = 6和点A(1, 2, 0)，判断点A是否在平面Q上。
解答：将点A(1, 2, 0)的坐标代入平面Q的方程，判断是否满足1 +2 * 2 +3 * 0 = 1 +4 + 0 =5 ≠ 6。
习题-第二章点线面的投影
2-8 已知直线AB∥W面，其实长为20mm，α=45°，求 作直线AB的投影。
20mm
2-9 已知水平线AB距H面20mm，其实长为25mm，γ=60°， 求AB的三面投影。
13/2012 习题
20mm
25mm
14/2012 习题
2-10 求出直线AB的实长及对两投影面的倾角α和β。
△Z
ab
实长
21/2012 习题
2-17 在直线AB上取一点K，使AK线实长为20mm。
20mm TAB
22/2012 习题
Δy
Δy
23/2012 习题
2-18 在直线EF上取一点K，使点K到V面距离为20mm。
20mm
2-19 判断下列两直线的相对位置。
24/2012 习题
2-20 判断两交叉直线重影点的可见性。
9/2012 习题
2-6 过点A作直线AB的第三面投影，并使AB的实长为 15mm。说明有几解？要求只作出一解即可。
15mm
15mm
10/2012 习题
15mm
15mm
11/2012 习题
2-7 已知侧垂线AB上B点距W面15mm，其实长为20mm， 求作直线AB的投影。
习题
41/2012 习题
42/2012 习题
2-36 过直线作特殊位置平面（均用迹线表示）。
（1）作正平面 作水平面 （2） 作正垂面 （3） 作铅垂面 （4）
43/2012 习题
33/2012 习题
34/2012 习题
重点、难点：
1、平面的各种表示方法； 2、各种位置平面的投影特性； 3、用迹线表示特殊位置平面；
4、点在平面上的投影特性。
高中数学必修2 第二章 点线面位置关系(A卷)
高中数学必修2 第二章点线面位置关系（A卷）试卷一、选择题（共20题；共88分）1.若三个平面两两相交，则它们的交线条数是()A.1B.2C.1或3D.3【答案】C【考点】平面的公理及应用,点线面关系【解析】三个平面两两相交，类似于三条直线两两相交，它们的交线有1条或3条.2.如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【答案】D【考点】平面概念及表示,平面的公理及应用【解析】∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.3.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.以上三种情况都有可能【答案】D【考点】异面直线,点线面关系【解析】如图所示，三种情况都有可能，故选D.4.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是()A.DD1B.A1D1C.C1D1D.A1D【答案】D【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质【解析】∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，故选D.5.下列命题中正确的是()A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行【答案】B【考点】线线平行的判定与性质,面面平行的判定与性质【解析】如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确.6.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，mα，mβ，nα，nβ，则αβ；②若mα，mβ，则αβ；③若mα，nβ，m n，则αβ.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】B【考点】面面平行的判定与性质【解析】设m∩n＝P，记m与n确定的平面为γ.由题意知：γα，γβ，则αβ.故①正确.②、③均错误.7.在空间中，a，b是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a b的是()A.a⊂α，b⊂β，αβB.aα，b⊂αC.a⊥α，b⊥αD.a⊥α，b⊂α【答案】C【考点】垂直关系综合【解析】对于A，若a⊂α，b⊂β，αβ，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于B，若aα，b⊂α，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于C，若a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理，可得a b；对于D，若a⊥α，b⊂α，则由线面垂直的定义可得a⊥b，故选C.8.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两条对角线AC，BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交【答案】C【考点】线面垂直的判定与性质【解析】取BD的中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，又BD，AC异面，故选C.9.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部【答案】A【考点】线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质【解析】在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在面ABC内的射影H必在AB上.故选A.10.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的条件是()A.α⊥γ，β⊥γB.α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC.aβ，aαD.a⊥β，aα【答案】D【考点】面面垂直的判定与性质,垂直关系综合【解析】α⊥γ，β⊥γ⇒α与β相交或平行，故A不正确；∵α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，∴b不一定垂直于α，∴α不一定垂直于β，故B不正确；aβ，aα⇒α与β相交或平行，故C不正确；∵a⊥β，aα，∴α中一定有一条直线垂直于β，∴α⊥β，故D正确．11.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有()A.AP⊥平面PEFB.AG⊥平面PEFC.EP⊥平面AEFD.PG⊥平面AEF【答案】A【考点】线面垂直的判定与性质【解析】如图所示，∵AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF＝P.∴AP⊥平面PEF.故选A.12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E【答案】C【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质【解析】由已知AC＝AB，E为BC的中点，得AE⊥BC.又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确.13.若两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是()A.0°＜θ＜90°B.0°＜θ≤90°C.0°≤θ＜90°D.0°≤θ≤90°【答案】B【考点】异面直线所成的角【解析】异面直线是空间中不在任一平面内的直线．设a，b是空间中两条异面直线，在空间任取一点O，过点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角或直角θ即为异面直线a，b所成的角，其范围为0°＜θ≤90°.14.有下列四个命题：①过三点确定一个平面；②矩形是平面图形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域．其中错误命题的序号是()A.①和②B.①和③C.②和④D.②和③【答案】B【考点】平面概念及表示,平面的公理及应用【解析】由于过不共面的三点才能确定一个平面，故①不对；矩形的两对边平行可以确定一个平面，故矩形是平面图形，②正确；由于三条直线两两相交包括三线过一点，故三条直线两两相交则确定一个平面不正确，③不对；两个相交平面把空间分为四个区域是正确的命题，故④正确．综上，错误命题的序号是①③．故选B.15.α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是()①②③④⑤⑥.A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D.②③【答案】C【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质,面面平行的判定与性质,平行关系综合【解析】由公理4及平行平面的传递性知①④正确，举反例知②③⑤⑥不正确；②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．16.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，，求AD与BC 所成角的大小( )A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】C【考点】异面直线所成的角【解析】如图，取BD的中点G,连接GE，GF.∵BE=EA，BG=GD，∴GE AD，，∵DF=FC，DG=GB，∴GF BC，∴∠EGF(或其补交)是异面直线AD与BC所成的角.在△GEF中，GE=1，GF=1，(如图)，取EF的中点O，连接GO，则，∴∴∴，∴异面直线AD与BC所成的角是.17.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA ＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小（）A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】C【考点】二面角【解析】∵E为SC的中点，且SB＝BC.∴BE⊥SC，又DE⊥SC，BE∩DE＝E.∴SC⊥平面BDE.∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE.∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角．设SA＝AB＝1.在△ABC中，AB⊥BC，∴SB＝BC＝，AC＝，∴SC＝2.∵在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E－BD－C的大小为60°.18.已知四面体A－BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，则CQ与平面DBC所成的角的正弦值是（）A.B.C.D.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】过点A作AO⊥平面BCD，连接OD，OB，OC，可知O是△BCD的中心．作QP⊥OD，如图所示．∵QP∥AO，∴QP⊥平面BCD.连接CP，则∠QCP即为所求的角．设四面体的棱长为a，∵在正△ACD中，Q是AD的中点，∴，∵QP∥AO，Q是AD的中点，∴，即.19.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC平面MEF，试求PM∶MA的值（）A.B.C.D.【答案】B【考点】线面平行的判定与性质【解析】如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.∵PC平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，∴PC OM，∴.在菱形ABCD中，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴，又，∴，∴.20.如果二面角α－l－β的平面角是锐角，点P到α，β和棱l的距离分别为、4和，则二面角α－l－β的大小是（）A.15°B.75°C.45°D.75°或15°【答案】D【考点】空间距离,二面角【解析】如图1是点P在二面角α－l－β的内部，图2是点P在二面角α－l－β的外部．∵PA⊥α，∴PA⊥l.∵AC⊥l，∴l⊥平面PAC.同理，l⊥平面PBC.而平面PAC∩平面PBC＝PC，∴平面PAC与平面PBC应重合，即A、C、B、P在同一平面内，则∠ACB是二面角α－l－β的平面角．在Rt△APC中，，∴∠ACP＝30°.在Rt△BPC中，，∴∠BCP＝45°.故∠ACB＝30°＋45°＝75°或∠ACB＝45°－30°＝15°.即二面角α－l－β的大小为75°或15°.二、解答题（共1题；共12分）21.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD ＝2，PA＝2.求：(1).三角形PCD的面积( )A.B.C.D.【答案】A【考点】垂直关系综合【解析】因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.因为，CD＝2，所以三角形PCD的面积为.(2).异面直线BC与AE所成的角的大小（）A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】A【考点】异面直线所成的角【解析】如图，取PB中点F，连接EF，AF，则EF BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝45°.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.。
点线面关系练习题(有答案)
//a α点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a a bαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
//a b a b αα⊄⊂//a α//a b//a b//a b （2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= //αβ （3）其他方法：a a αβ⊥⊥ //αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法① 用定义.② 判定定理:a ba cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥ （3）性质①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥（3）性质①性质定理l a a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥ ② l P P A Aαβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈ 3 l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂“转化思想”面面平行 线面平行 线线平行面面垂直 线面垂直 线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
2、3点线面投影分析
第二章 2 点线面投影分析一、填空题：1、点的投影特性是：点的投影永远是。
2、空间点A的V面投影记作，H面投影记作，W面投影记作。
3、点的X 坐标反映空间点到投影面的距离，点的Y 坐标反映空间点到投影面的距离，点的Z 坐标反映空间点到投影面的距离。
4、直线垂直于某一个投影面，必于另外二投影面，这类直线称为投影面的线。
平面垂直于某一个投影面，必于另外二投影面，这类直线称为投影面的面。
5、三种投影面的平行线分别是、、。
三种投影面的垂直线分别是、、。
二、选择题：1、点的X 坐标越大，其位置越靠（）A．左B．右C．前D．后2、已知空间三点A(50，40，15) 、B(20，45，30)、C(45，18，37)，则此三点从高到低的顺序是（）A．A、B、C B．A、C、B C．C、B、A D．B、C、A 3、已知点空间四点A(30，20，15），B（40，20，15），C（30，20，10），D（40，10，15）。
上述四点中在W面上重影的点是（）A．点C与点D（点D不可见）B．点A与点B（点B不可见）C．点A与点D（点A不可见）D．点A与点B（点A不可见）4、点的水平投影和侧面投影，共同反映的坐标是（）A．x坐标B．y坐标C．y坐标和z 坐标D．z坐标5、直线与V和H面平行，该直线属于（）A．正平线B．水平线C．侧平线D．侧垂线6、侧面投影积聚成一条斜线的平面是（）A．正垂面B．铅垂面C．侧垂面D．侧平面7、正垂面与投影面既不平行也不垂直（）A．V和H B．H和W C．W和V D．V8．B点相对于A点的空间位置是（）A．左、前、下方B．左、后、下方C．左、前、上方D．左、后、上方9、直线AB是（）A．一般位置直线B．正垂线C．水平线D．侧平线10、已知A点距H、V、W面的距离分别为10、20、30；B点在A点下方5右方10，前方15，因此可知B的坐标为( )。
A．(20，35，15) B．(20，35，5)C．(20，5，15) D．(20，5，5)三、根据要求完成任务。
高中数学新课标必修2点线面关系复习测试
2012-2013高二期末复习题 （必修2第二章）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）（A ）48 （B ）64 （C ）96 （D ）192 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）3、已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ D ）（A） （B）3 （C）3 （D）34．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE与SC 所成的角是（C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m6、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，，分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°7、如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角 C 1—BD —C 的大小为（ ） Ａ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 9、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于A 、34 B 、35CD10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2VB 、3VC 、4VD 、5VQPC'B'A'CBAA B CDA 1B 1C 1D 1 AFD BCGE 1B H 1C 1D 1A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 .12．正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿13如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形 14. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ；（2）△ACD 是等边三角形 （3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。
习题课-点线面的投影
判断可见性
根据线的位置关系，判断 其在各个投影面上的可见 性，并绘制虚线或实线。
面的投影作图方法
确定面的投影
根据面的空间形状和尺寸，确定 其在各个投影面上的位置和范围。
绘制面的投影
根据投影规律，将面投影到相应的 投影面上，并使用闭合线框表示。
判断可见性
根据面的位置关系，判断其在各个 投影面上的可见性，并绘制虚线或 实线。
点在某投影面上的投 影，其投影大小与该 点对投影面的距离有 关。
点在某投影面上的投 影，其投影方向与该 点对投影面的相对位 置无关。
线的投影性质
直线的投影仍然是直线。
直线在某投影面上的投影， 其投影方向与该直线对投影 面的相对位置有关。
直线在某投影面上的投影， 其投影长度与该直线对投 影面的距离有关。
面上的正投影的形状和大小不会发生变化。
线的投影练习题及解析
题目
线段AB在投影面H上的正投影是a，在投影面K上的正投影是b，当线段AB的位置变 化时，它的正投影在H面和K面上的形状和大小是否发生变化？
解析
线段AB在H面和K面上的正投影是由物体、投影面和光源三者之间的相对位置决 定的。当线段AB的位置变化时，如果物体、投影面和光源三者之间的相对位置不 变，则线段AB在H面和K面上的正投影的形状和大小不会发生变化。
平行或倾斜。
Part
05
点、线、面的投影练习题及解 析
点的投影练习题及解析
题目
点A在投影面H上的正投影是a，在投影面K上的正投影是b，当点A的位置变化时，它的 正投影在H面和K面上的形状和大小是否发生变化？
解析
点A在H面和K面上的正投影是由物体、投影面和光源三者之间的相对位置决定的。当点 A的位置变化时，如果物体、投影面和光源三者之间的相对位置不变，则点A在H面和K
点线面习题
c′ b′ b c3 ′
30°
d′
d
c
d3′
30°
b3′ c2b2d2 b1′ a2
p a
d1′ c1 ′ p1′ a1 ′
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60°
a3 ′
p3′
X3
p2 X2
A0 e
△ZAC
g c A 1 b B0
△ZC 1
60 °
a
= A0 c
C
f
【12】已知等边△ABC与H面的倾角α=30°，试完成该等 边△ABC的两面投影。
b′ △ZB
D
B0
作图步骤 c′
1、求作等边△ＡＢＣ 高的实长 2、直角三角形法求作 ＢＤ的Ｚ坐标差
a′
d′
a
α
d
c
等边△ABC 高BD的实长
△ZB
D
b
【13】已知等腰△ＤＥＦ的顶点Ｄ和一腰DE在直线DG上， 另一腰ＤＦ∥△ＡＢＣ，且点Ｆ在ＭＮ上，试 完成△ＤＥＦ的两面投影。
n′ b′ 1′ f′
作图步骤：
1、过D作平面D12
c′
m′
2′
e′ d′
1
g′
2、求D12与MN交点F 3、求DF的实长 4、在dg上，取DE=DF
a′ b f n
b′
a′
d′ c′
e′
XV H c a
e
d b e1 ′
c1 ′ d1 ′ a2b2 b1 ′
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c2 d2 e2
反映两直 线间距离
a1 ′
【16】求两直线AB与CD的公垂线 并求公垂线的实长。
b' m' a' c' V X H m a c d' N C D A
工程制图习题集答案(内蒙古大学出版社)第二章-点线面投影
4.判断下列各对重影点的相对位置，并填空。 （1）点A在点B的 正上 方 22 mm。 （2）点D在点C的 正后 方 22 mm。
6
6
第二章 点线面投影
2-2 直线的投影(一)
1.判断下列直线对投影面的相对位置，并填写名称。 2.按已知条件画出下列直线的三投影。 （1）画水平线AB，距H面20mm,与V面 成30°角，实长25mm。 （2）画侧平线EF，距W面20mm，与V面 成30°夹角，实长25mm。
A面是 水平面 A面是 正垂面 B面是 侧平面 C面是 水平面 B面是 侧平面 C面是 铅垂面
2.完成三角形ABC的水平投影。
3.完成平面ABCDEF的正面投影。
9
9
第二章 点线面投影
2-3 平面的投影(二)
1.判断K点或线段DE是否在平面△ABC内。 2.在平面△ABC内取一点M，使其距H面22mm，距V面25mm，求m＇，m。
AB是 正平 线； CD是 AB: ∥ V, ∠ H, ∠ W。
侧垂 线。 CD: ∥ V, ∥ H, ⊥ W。
7
7
第二章 点线面投影
2-2 直线的投影(二)。
1.判断直线AB与CD在空间的相对位置,将答案写在指定位置。 2.已知线段AB为正平线,C为该线段上的一点,根据给出的投影,画出线段AB和点C的 水平投影和侧面投影。
30°
30° AB是 正平 线； EF是 CD是 侧垂 线； KM是 侧平 线； 正垂 线；
3.分别在图（a).(b).(c)中，由点A作直线AB与CD相交，交点B距离V面25mm。
4.根据轴测图，在三视图中标出线段AB和CD的三投影(点的三投影用小写字母标出) 并填写它们的名称和对各投影面的相对位置。
必修2点线面关系基础训练题
A高中数学必修2 点、直线、平面之间的位置关系[基础训练A 组]一、选择题1．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形B ．有两个角是直角的四边形C ．有三个角是直角的四边形D ．有四个角是直角的四边形 3．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能 4．如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,,DEF 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（ ）A ．030 B ． 090 C ． 060 D ．随P 点的变化而变化。
5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）个部分 A ．4 B ．5 C ．7 D ．86．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ） A ．90 B ．60 C ．45 D ．30二、填空题1． 已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系____________________。
2． 直线l 与平面α所成角为030，,,l A m A m αα=⊂∉ ，则m 与l 所成角的取值范围是 _________3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为1234,,,d d d d ，则1234d d d d +++的值为 。
4．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面,αβ内各有一条射线AB ，AC 与l 成045，,AB AC αβ⊂⊂，则BAC ∠= 。
第二章 点线面 习题
例题2-7 已知：两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，试 作一直线MN∥CD并与直线AB相交于N点。
b'
n'
a' X
c'
m'
b
a
d' O
n
c m
d
作图：过m作mn∥cd，并与ab交于n；由n求出n'； 过n'作n'm'∥c'd'，求得m'。
例题3-1
作△ABC平面内的正平线，它距V面为8mm。
X
b' a'
d'
O X
c'
a'
c' d'
b' a
d'
O X
b'
O
a
d b
c
c
a b
m
c
k
d
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d
b
交点的连线垂直于OX，且两 直线为一般位置直线，由两 面投影可判断为相交两线。
∵ab与cd在一直 线上，而 a'b'∥c'd' ， ∴两直线平行。
∵CD为侧平线，利用点 分割线段成比例进行判 断。为交叉两直线。
例题1-3 已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断 点对投影面的相对位置。
z
a' x
b'
c' c" o b" c
a
a"
点A的三个坐标值均不为0， A为一般位置。
yw
点B的Z坐标为0，故点B为 H面上的点。
b
yH
点C的x、y坐标为0，故点 C为z轴上的点。
点线面投影练习题
点、线、面投影练习题班级_____________姓名______________得分______________一：填空1 投影可分为______________和________________两类。
2．平行投影可分为_______________和________________两类。
3．正投影的基本性质有_____、______ 、______、______。
4．物体的左视图反映了物体高度和___________两个方向的尺寸。
5．点A的坐标为(35，20，15)，则该点对W面的距离为_______。
6 .平面与某投影面垂直，则在该投影面的投影为_______。
7 .直线AB的V、W面投影均反映实长，该直线为_______。
8. 点A的坐标为(10，15，20)，则该点在H面上方___________。
9 .水平线的H投影反映直线的实长及对_______________投影面的倾角。
10．三投影图的投影特性为长对正、__________、__________。
二选择1. 投射方向垂直于投影面,所得到的平行投影称为_______。
A 正投影B 斜投影C 平行投影D 中心投影2．B点相对于A点的空间位置是（）A．左、前、下方B．左、后、下方C．左、前、上方D．左、后、上方3.直线AB的V、H面投影均反映实长，该直线为( )。
A.水平线B.正垂线C.侧平线D.侧垂线4.已知点A(10，10，10)，点B(10，10，50)，则( )产生重影点。
A.在H面B.在V面C.在W面D.不会5.某平面的H面投影积聚成为一直线，该平面为（）。
A.水平面B.正垂面C.铅垂面D.一般位置线6.某直线的V面投影反映实长，该直线为（）。
A.水平线B.正平线C.侧平线D.铅垂线7.直线AB仅W面投影反映实长，该直线为( )。
A.水平线B.正平线C.侧平线D.侧垂线8.平面的W面投影为一直线，该平面为( )。
A.侧平面B.侧垂面C.铅垂面D.正垂面9.直线AB的V投影平行于OX轴，下列直线中符合该投影特征的为( )。
六年级点线面练习题
六年级点线面练习题在学习数学的过程中，点、线和面是基本的几何概念。
理解和掌握这些概念对于解决几何问题至关重要。
本文将为你提供一系列六年级点线面练习题，帮助你加深对这些概念的理解。
练习一：点的判断1. 以下哪个图形中的点不在其中？A. 正方形B. 三角形C. 长方形D. 矩形2. 以下哪个图形中的点在其中？A. 线段B. 圆C. 梯形D. 方形3. 以下哪个图形中的点在其中？A. 五边形B. 正方形C. 长方形D. 平行四边形练习二：线的分类4. 下列线段中，哪一条是直线？A. ACB. ABC. BCD. AD5. 下列线段中，哪一条是射线？A. EFB. CDC. PQD. ST6. 下列线段中，哪一条是线段？A. MNB. UVC. KLD. OP练习三：面的边界7. 下列哪个图形没有封闭的边界？A. 正方形B. 三角形C. 长方形D. 圆形8. 下列哪个图形的边界不是曲线？A. 五边形B. 正方形C. 矩形D. 椭圆9. 下列哪个图形的边界是曲线？A. 正方形B. 长方形C. 圆形D. 平行四边形练习四：几何图形的特性10. 以下哪组图形中都具有直边？A. 正方形、圆、三角形B. 长方形、正方形、梯形C. 圆、长方形、平行四边形D. 圆、三角形、长方形11. 以下哪组图形中都具有曲边？A. 正方形、长方形、平行四边形B. 圆、三角形、长方形C. 五边形、圆、正方形D. 五边形、梯形、三角形12. 以下哪组图形中都具有封闭边界？A. 圆、长方形、正方形B. 三角形、长方形、梯形C. 平行四边形、五边形、圆D. 五边形、长方形、椭圆以上是六年级点线面练习题的一部分，通过解答这些题目，你可以对点、线和面的概念有更深入的理解。
希望这些练习题能够帮助你巩固你的数学基础，提高解决几何问题的能力。
记得多加练习，不断提升自己的数学技巧。
祝你取得好成绩！。
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2-24 判别下列题中的各点是否在平面上。
2-25 求作：平面ΔABC上一点K，且K点在点A之 下15mm，在点A之前10mm 。
15mm 1’ b’ c’
a’
k’ 2’
10mm a
3 2 k 4
1
b
c
2-26 试完成平面图形的水平投影和侧面投影。
已
知：等腰直角三角形ABC的斜边为AC， 顶点B在直线MC上。 试完成：ΔABC的两面投影。（习题2-25）
a’ d’
方法二：
a’
d’
m’
b’ c’ b b’
1’
c’ c 1 3 d
m
a
c
b
a
2
d
2-28 已知：平面ABCD的部分投影， 试完成该平面的两面投影。
2-30 已知三角形ABC的投影。试在该平面内作水平 线，使它在H 面之上10mm；作正平线，使它在V面 之前15mm。
2-31 已知：三角形ABC的投影， 求作：该平面对H面的倾角
第二章 点线面——习题
2-1 根据直观图作A、B、C、D各点的投影图。
2-2 根据直观图作A、B的三面投影图。
2-3 已知各点的两面投影， 求作其第三面投影。
2-4 已知点A、B的坐标为A（20，10，15），B（15，15，0） 求作其三面投影图和立体图。
2-5 已知点A、B的两个投影， 求作其第三投影，并比较A、B两点的相对位置。
2-20 已知等腰三角形ABC的斜边为AC，顶点B 在直线CD上，试完成三角形ABC的两面投影。
2-21 已知等边三角形ABC的顶点A，另两点B和 C在直线MN上，试完成三角形ABC的两面投影。
2-22 作一直线，使它与已知的直线AB平行， 并与直线CD、EF都相交。
2-23 作出下列各平面图形的第三面投影，并 指出其对投影面的相对位置。
平行
2-34 判别直线与平面的相对位置（平行、相交）。
相交
相交
2-35 过点A作直线AB与平面CDE平行。
s'
2-36 过CD作一平面与直线AB平行。
2-37 过点A作平面与直线BC平行。
(1)过点A作正垂面与直线BC平行。
2-37 过点A作平面与直线BC平行。
(2)过点A作一般面与直线BC平行。
铅垂面
2-23 作出下列各平面图形的第三面投影，并 指出其对投影面的相对位置。
ห้องสมุดไป่ตู้
水平面
2-23 作出下列各平面图形的第三面投影，并 指出其对投影面的相对位置。
一般位
2-23 作出下列各平面图形的第三面投影，并 指出其对投影面的相对位置。
正垂面
2-24 判别下列题中的各点是否在平面上。
在，n不在
2-17 标出重影点的投影，并判断可见性。
2-17 标出重影点的投影，并判断可见性。
2-18 判断两直线是否垂直。 （相交垂直、交叉垂直、不垂直）
2-18 判断两直线是否垂直。 （相交垂直、交叉垂直、不垂直）
2-19 已知正平线CD与直线AB相交于点D，AD长 为20mm，且正平线CD的倾角a=60%%d， 求CD的两面投影。
2-42 求两平面的交线，并判别可见性。
2-42 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-44 求直线与平面的交点，并判别可见性。
2-44 求直线与平面的交点，并判别可见性。
2-8 已知点A的三面投影，并已知点B在点A之左 10，之下10；又知点C在点B之右10，之后15， 之上15；求作点B、C的三面投影。
2-9 判别下列各直线段对投影面的相对位置， 写出其名称，并作出其第三投影。
水平线
铅锤线
正锤线
侧锤线
正平线
侧平线
2-10 已知直线AB端点A（35，25，5）、B（15，5，25）， 求作AB的三面投影、直观图，并在直观图 中标出AB的三个倾角。
'
2-45 求两平面的交线，并判别可见性。
2-46 求两平面的交线，并判别可见性。
2-46 求两平面的交线，并判别可见性。
2-71 已知出料斗的三面投影图，试作其上第II 段（四棱锥台）和第IV段（四棱柱）的展开图。
2-32 已知：三角形ABC的投影, 求作：该平面对V面的倾角。
2-33 已知MN为平面内对V面的最大斜度线， =300， 试求作该平面的两面投影。
已 知：平面ABCD的BC边平行于V面， 试完成：ABCD的水平投影。（习题2-32）
2-34 判别直线与平面的相对位置（平行、相交）。
平行
2-10直观图
2-11 已知直线段AB的两面投影， 求AB的实长及其倾角a、B
¦Β
¦Α
2-12 已知直线段AB的正面投影和点A的水平投 影，并知AB的a=300，求作其水平投影ab。
2-13 在已知线段AB上截取AC=30mm。
2-14 试在已知线段AB上求一点K，使AK：KB=n:m。
2-15 试判断点K是否在下列直线上。
a’
Δ ZAB m’ b’ c’ A ∵AB BC，BC为水平线 1 ∴abbc
B
C
m
b
Δ ZAB
Lbc
a
c
LBC= LAB =Lbc
2-27 已 知：平面ABCD的AD边平行于V面， 试完成：ABCD的水平投影。
2-27 已 知：平面ABCD的BC边平行于V面， 试完成：ABCD的水平投影。 方法一：
2-38 过点D作直线DE平行三角形ABC且与H面成300。
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
不平行
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
平行
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
平行
2-40 过点A作平面平行于平面BCDE。
2-40 过点A作平面平行于平面BCDE。
2-40 过点A作平面平行于平面BCDE。
点
在左，点
在右，
点 在前，点 在后， 点 在上，点 在下，
2-6 求作A、B、C、D各点的正面投影， 并标明投影重合的可见性
正面方向重影点： 点 点 在前（可见）， 在后（不可见）
侧面方向重影点； 点 在左（可见）， 点 在右（不可见） 水平方向重影点； 点 点 在上（可见）， 在下（不可见）
2-7 求作A、B、C、D各点的三面投影， 点A（25，15，20）与点B对称于H面， 点A与点C对称于OX轴，点A与点D对称于原点。
2-40 过点A作平面平行于平面BCDE。
2-41 求直线与平面的交点，并判别可见性。
2-41 求直线与平面的交点，并判别可见性。
2-41 求直线与平面的交点，并判别可见性。
2-41 求直线与平面的交点，并判别可见性。
2-41 求直线与平面的交点，并判别可见性。
2-42 求两平面的交线，并判别可见性。