三角函数的诱导公式(一)
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式一、知识要点：诱导公式（一）tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπααπααπ=+=+=+k k k诱导公式（三）)tan()cos( sin )sin(=+=+-=+απαπααπ诱导公式（二）)tan(cos )cos( )sin(=-=-=-αααα诱导公式（四）tan )tan()cos( )sin(ααπαπαπ-=-=-=-诱导公式（五）=-=-)2cos( cos )2sin(απααπ诱导公式（六）=+=+)2cos( cos )2sin(απααπ方法点拨： 把α看作锐角一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,, ),Z (2-+-∈+k k公式（五）和公式（六）总结为一句话：函数名改变，符号看象限 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ+⋅2k 或是απ-⋅2k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函数名，偶数就不变二、基础自测：1、求下列各三角函数值:①cos225° ②tan （-11π）2、sin1560°的值为( )A 、21-B 、23-C 、21D 、233、cos -780°等于( ) A 、21B 、21- C 、23 D 、23-三、典型例题分析：例1、求值（1）29cos()6π= __________． （2）0tan(855)-= _______ ___．（3）16sin()3π-= __________．变式练习1：求下列函数值：665cos)1(π )431sin()2(π-的值。
求：已知、例)sin(2)4cos()3sin()2cos( ,3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+变式练习2：若1sin()22πα-=-，则tan(2)πα-=________．变式练习3：已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan ＝ ．四、巩固练习：1、对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ） A ．α一定是锐角 B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角2、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-3、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是A ．－43B ．43C ．－43D ．434、)2cos()2sin(21++-ππ （ ） A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25、已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为 （ ）A ．332 B ． －2 C ． 332- D ． 332±6、如果A 为锐角，21)sin(-=+A π，那么=-)cos(A π （ ） A 、21-B 、21C 、23-D 、237、α是第四象限角,1312cos =α,则sinα等于( ) A.135 B.135- C.125 D.125- 二、填空题1、计算：cos （－2640°）+sin1665°＝ ．2、计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ． 3、化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___．4、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____．5、已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin οf 的值为 。
三角函数的诱导公式
万能公式 ⒌万能公式 2tan(α/2)
sinα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 万能公式推导 附推导： sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*， （因为 cos^2(α)+sin^2(α)=1） 再把*分式上下同除 cos^2(α)，可得 sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α)) 然后用 α/2 代替 α 即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三角函数的诱导公式
常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设 α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设 α 为任意角，π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα
三角函数的诱导公式【六公式】
）/ ）
九倍角
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2 ）* （ 64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3 ））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2 ）* （ 64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3 ））
tan9A=tanA* （ 9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8 ） / （1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8 ）
例. c^3=c*c^2=c* （1-s^2 ）， c^5=c*(c^2 ） ^2=c* （ 1-s^2 ） ^2 ）
特殊公式
（sina+sin θ） * （ sina- sin θ） =sin （a+θ） *sin （ a- θ）
证明：（sina+sin θ） *（ sina- sin θ） =2 sin[ （θ +a)/2] cos[(a - θ)/2] *2 cos[ （θ +a)/2] sin[(a- θ） /2]
tan （α +β+γ） =（tan α+tan β+tan γ - tan α· tan β· tan γ） / （1- tan α· tan β - tan β· tan γ - tan α· tan γ）
（α +β+γ≠π /2+2k π，α、β、γ≠π /2+2k π）
积化和差的四个公式
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
三角函数诱导公式一览表
三角函数诱导公式一览表以下是三角函数诱导公式一览表，其中包括了七个公式，每个公式都有一些关于三角函数的值的关系。
公式一：对于任意角α，终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（2kπ+α）=tanα，cot（2kπ+α）=cotα。
公式二：对于任意角α，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系为sin（π+α）=－sinα，cos（π+α）=－cosα，tan（π+α）=tanα，cot（π+α）=cotα。
公式三：对于任意角α，α与-α的三角函数值之间的关系为sin（－α）=－sinα，cos（－α）=cosα，tan（－α）=－tanα，cot（－α）=－cotα。
公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系，即sin（π－α）=sinα，cos（π－α）=－cosα，tan（π－α）=－tanα，cot（π－α）=－cotα。
公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系，即sin（2π－α）=－sinα，cos（2π－α）=cosα，tan（2π－α）=－tanα，cot（2π－α）=－cotα。
公式六：对于任意角α，π/2±α与α的三角函数值之间的关系为sin（π/2+α）=cosα，cos（π/2+α）=－sinα，___（π/2+α）=－cotα，cot（π/2+α）=－tanα，sin（π/2－α）=cosα，cos（π/2－α）=sinα，___（π/2－α）=cotα，cot（π/2－α）=tanα。
公式七：对于任意角α，3π/2±α与α的三角函数值之间的关系为sin（3π/2+α）=－cosα，cos（3π/2+α）=sinα，tan（3π/2+α）=－cotα，cot（3π/2+α）=－tanα，sin（3π/2－α）=－cosα，cos（3π/2－α）=－sinα，tan（3π/2－α）=cotα，cot（3π/2－α）=tanα。
13三角函数的诱导公式(1)
公式一~四可用下面的话来概括：
2k ( k Z ), - , 的三角函数值，等于角 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时
原函数值的符号。
Hale Waihona Puke 即： 函数名不变，符号看象限！“函数名不变”是指等号两边的三角函数同名；
“符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可以 通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的角 的象限来判断。 如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象限角 ，所以sin(π+a)=-sina
任意正角的 三角函数
公式一
0°到360°的角 的三角函数
公式二或四
锐角三 角函数
填表：
sin
-
6
2 3
3 2
1 2
3 4
2 2
2 2
7 6
1 2
3 2 3 3
5 3
3 2
1 2
3 2 3 3
cos
tan
1 2
- 3
-1
- 3
三、例题分析
cos(180 ) sin( 360 ) . 例2、 化简： sin( - - 180 ) cos( -180 - )
一、复习回顾 1、终边相同的角的三角函数关系 由三角函数定义可得(诱导公式一) 终边相同的角的三角函数的值相等.
sin( 2k ) sin tan( 2k ) tan
cos( 2k ) cos (k Z )
注意：(1)利用公式一，可以把任意角的三角函数值转 换为 0°到360°角的三角函数值。
α与－α关于x轴对称
O
-
1
7-4-1三角函数的诱导公式(一)
自学导引 1．诱导公式一 sin(2kπ＋α)＝ sin α ，
cos(2kπ＋α)＝ cos α ， tan(2kπ＋α)＝ tan α . 2．诱导公式二 sin(－α)＝ －sin α ， cos(－α)＝ cos α ， tan(－α)＝ －tan α .
3．诱导公式三 sin(π－α)＝ sin α ， cos(π－α)＝ －cos α ， tan(π－α)＝ －tan α . 4．诱导公式四 sin(π＋α)＝ －sin α ， cos(π＋α)＝ －cos α ， tan(π＋α)＝ tan α .
解
1 1 ∵ sin π＋α ＝－ sin α ＝－ ，∴ sin α ＝ ，∴ cos α ＝ 3 3
2 2 2 2 ± 1－sin α＝± 3 ，∴cos5π＋α＝cosπ＋α＝－cos α＝± 3 .
2
规律方法
解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之
规律方法
求解此类给角求值问题，主要是利用诱导公式把
任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值来求解．如果是负 角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，注意要熟记 那些特殊角的三角函数值．
【变式 1】 把下列三角函数值化成锐角三角函数值： 46 (1)sin 890° ； (2)cos(－1 090° )； (3)sin π. 5 解 (1)sin 890° ＝ sin(2×360° ＋170° )＝ sin 170° ＝sin(180° －10° )＝sin 10° . (2)cos(－1 090° )＝cos(－3×360° －10° )＝cos (－10° ) ＝cos 10° .
解
1＋2sin360° －70° · cos360° ＋70° (1)原式＝ sin180° ＋70° ＋cos720° ＋70°
三角函数诱导公式
三角函数诱导公式常用的三角函数诱导公式三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
三角函数的诱导公式(一)
§1.3三角函数的诱导公式(一)学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．知识点一诱导公式二角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，角π＋α的终边与单位圆的交点P1与P也关于原点对称，因此点P的坐标是(－cos α，－sin α)，它们的三角函数关系如下：诱导公式二知识点二诱导公式三角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三知识点三诱导公式四角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．1．诱导公式中角α是任意角．(×)提示正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．2．sin(α－π)＝sin α.(×)提示sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.3．cos 43π＝－12.(√)提示cos 4π3＝cos⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－cos π3＝－12.4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．(×) 提示在角度制和弧度制下，诱导公式都成立.题型一 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值： (1)cos 210°；(2)sin11π4；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－43π6；(4)cos(－1 920°)． 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式二、三、四 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－32. (2)sin 11π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋3π4 ＝sin3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π4 ＝sin π4＝22.(3)sin ⎝⎛⎭⎫－43π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫6π＋7π6 ＝－sin7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.反思感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1 求下列三角函数式的值： (1)sin(－330°)·cos 210°；(2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)； (3)sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π. 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式二、三、四 解 (1)sin(－330°)·cos 210° ＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)＝sin 30°·(－cos 30°)＝12×⎝⎛⎭⎫－32＝－34.(2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)＝－3sin(1 080°＋120°)·⎝⎛⎭⎫－33－cos(720°－135°)·tan(－9°×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°) ＝32－⎝⎛⎭⎫－22×(－1)＝3－22. (3)sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫π－π6tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋2π3 ＝－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6tan ⎝⎛⎭⎫π－π3 ＝－32·⎝⎛⎭⎫－32·(－3)＝－334. 题型二 条件求值或给值求角问题例2 (1)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3考点 同名诱导公式 题点 诱导公式一、二、三答案 D解析 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π2，即tan θ＝3，|θ|<π2，∴θ＝π3.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值． 考点 同名诱导公式 题点 诱导公式三、四解 因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.反思感悟 (1)解决条件求值问题的策略①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．跟踪训练2 如果A 为锐角，sin(π＋A )＝－12，那么cos(π－A )等于( )A.22 B ．－22 C.32 D ．－32考点 同名诱导公式 题点 诱导公式二、四 答案 D解析 因为sin(π＋A )＝－sin A ＝－12，所以sin A ＝12，又A 为锐角，所以A ＝π6；所以cos(π－A )＝－cos A ＝－cos π6＝－32.利用诱导公式化简典例 化简下列各式：(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.考点 同名诱导公式题点 诱导公式一、二、三、四综合应用 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 引申探究若本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简．解 当n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α；当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α.[素养评析] (1)三角函数式的化简方法①利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． ②常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． ③注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.(2)理解运算对象、掌握运算法则、求得运算结果，通过运算促进数学思维发展，提升数学运算的数学核心素养．1．sin7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12考点 同名诱导公式 题点 诱导公式二 答案 A 解析 sin7π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－sin π6＝－12. 2．已知角α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是( ) A ．sin α＝sin β B ．sin(α－2π)＝sin β C ．cos α＝cos β D ．cos(2π－α)＝－cos β考点 同名诱导公式 题点 诱导公式三 答案 C解析 由角α和β的终边关于x 轴对称，可知β＝－α＋2k π(k ∈Z )，故cos α＝cos β. 3．已知cos α＝35，则sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)等于( )A ．±35B ．±45 C.925 D.1625考点 同名诱导公式 题点 诱导公式二、三、四 答案 D解析 原式＝sin(π＋α)·cos(－α)·tan(π－α) ＝(－sin α)·cos α·(－tan α)＝sin 2α， 由cos α＝35，得sin 2α＝1－cos 2α＝1625.4．已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )A ．1B ．－1 C.13 D ．－13考点 同名诱导公式 题点 诱导公式一、二 答案 D解析 由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )， 则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2k π＋π＋β(k ∈Z )， sin(α＋2β)＝sin(2k π＋π＋β)＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. 5．若f (θ)＝2cos 3θ－sin 2(θ＋π)－2cos (－θ－π)＋12＋2cos 2(7π＋θ)＋cos (－θ)，求f ⎝⎛⎭⎫π3的值． 考点 同名诱导公式题点 诱导公式二、三、四解 由已知得f (θ)＝2cos 3θ－sin 2θ＋2cos θ＋12＋2cos 2θ＋cos θ＝2cos 3θ－(1－cos 2θ)＋2cos θ＋12＋2cos 2θ＋cos θ＝2cos 3θ＋cos 2θ＋2cos θ2＋2cos 2θ＋cos θ＝cos θ(2cos 2θ＋cos θ＋2)2cos 2θ＋cos θ＋2＝cos θ， 所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＝12.1．明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”．一、选择题1．sin 315°＋sin(－480°)＋cos(－330°)的值为( )A.12 B ．－12 C ．－22 D.22考点 同名诱导公式题点 诱导公式一、二、三、四答案 C解析 原式＝sin(360°－45°)＋sin(－360°－120°)＋cos(－360°＋30°)＝－sin 45°－sin 60°＋cos 30°＝－22－32＋32＝－22.故选C.2．(2018·南昌高一检测)点P (sin 2 018°，tan 2 018°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 同名诱导公式题点 诱导公式一、二答案 B3．sin 2 017π3的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32考点 同名诱导公式题点 诱导公式一答案 C解析 sin 2 017π3＝sin ⎝⎛⎭⎫672π＋π3＝sin π3＝32.故选C.4．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2考点 同名诱导公式题点 诱导公式二、三答案 D解析 原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.5．(2018·四川雅安中学高二期中)若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是() A.12 B ．－12 C ．－32 D.32考点 同名诱导公式题点 诱导公式一、二、三答案 B解析 由题意知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.6．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α的值为( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32考点 同名诱导公式题点 诱导公式四答案 C解析 sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32.7．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为() A.53 B ．－53C ．±53 D ．以上都不对考点 同名诱导公式题点 诱导公式二、四答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 232－2＝－23，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α ＝－1－49＝－53.8．(2018·临沂高一检测)cos ⎝⎛⎭⎫k π＋π3(k ∈Z )的值为( ) A ．±12 B.12 C ．－12 D ．±32考点 同名诱导公式题点 诱导公式一、二答案 A二、填空题9．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为 ．考点 同名诱导公式题点 诱导公式一、二答案 － 3解析 tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝－3a ＝3，即a ＝－ 3. 10.2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为 ．考点 同名诱导公式题点 诱导公式一、二、三答案 1－sin θ解析2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ) ＝2＋2sin (－θ)－cos 2θ＝1－2sin θ＋sin 2θ ＝|1－sin θ|＝1－sin θ.11．(2018·河北石家庄第一中学高二期中)化简：sin (2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ)＝ . 考点 同名诱导公式题点 诱导公式综合应用答案 －1解析 原式＝sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)(－sin θ)＝－sin θcos θcos θsin θ＝－1. 12．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数，若f (2 017)＝－1，则f (2 018)＝ .考点 同名诱导公式题点 诱导公式二答案 1解析 ∵f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin(π＋2 017π＋α)＋b cos(π＋2 017π＋β)＝－a sin(2 017π＋α)－b cos(2 017π＋β)＝－f (2 017)，又f (2 017)＝－1，∴f (2 018)＝1.三、解答题13．(2018·大庆高一检测)已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)的值． 考点 同名诱导公式题点 诱导公式综合应用解 因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45， 又因为sin αcos α<0，所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35， 所以tan α＝－43. 所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝－2×⎝⎛⎭⎫－45－3×⎝⎛⎭⎫－43－4×35＝－73.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，求f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值． 考点 同名诱导公式的综合题点 诱导公式综合应用解 由题意得f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52， 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 15．已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值． 考点 同名诱导公式的综合题点 诱导公式综合应用解 (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15.又α是第三象限角， ∴cos α＝－265.∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式(第一课时）终边相同的角同一三角函数值相等 诱导公式一)(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(z k k k k ∈=⋅+=⋅+=⋅+απααπααπα利用诱导公式一，我们可以把任意角三角函数的求值问题转化为00～3600的求值问题πππ665cos 2)431sin(120、、的三角函数：～将下列三角函数转化为-思考：能否把00～3600的三角函数求值问题转化为 ～ 间的角的三角函数求值问题呢？ 设900≤≤α，对于任意0°到360°的角β的都可以表示成以下四种情形之一[][][][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-∈+∈-∈=36027036027018018018090180900，，，，，，，，βαβαβαβαβ公式二ππ45tan 3)1sin(2210cos 1、、、求下列三角函数值：+ααπ+sin yα=1r =cos xα=tan yxα=sin()yπα+=-tan()y yx x πα-+==-公式三)313tan(4)420cos(3)5sin(2)'670cos(100ππ----、、、、求下列三角函数值：αα-sin yα=1r =cos xα=tan yxα=sin()y α-=-cos()xα-=tan()y yx xα--==-公式三公式四150tan 343cos2120sin 1、、、求下列三角函数值：παπα-sin yα=1r =cos xα=tan yxα=sin()y πα-=cos()xπα-=-tan()y yx xπα-==--公式四“函数名不变，符号看象限” ． 例225cos311sinπ)2040cos(0-练习)tan()2cos()(sin 2)180sin()cos()180sin(1300πααπαααα--+----+、、化简：利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行:sin()sin cos()cos tan()tan πααπααπαα+=-+=-+=公式二：sin()sin cos()cos tan()tan αααααα-=--=-=-公式三：sin()sin cos()cos tan()tan πααπααπαα-=-=---=公式四：公式一：sin(2)sin cos(2)cos )tan(2)tan (k k k Z k απααπααπα+=+=∈+=练习：小结：函数名不变，符号看象限”1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立.2.以诱导公式一～四为基础，还可以产生一些派生公式， 如sin （2π－α）=－sin α， sin （3π－α）=sin α等.3.利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：到 的角o0o360（1）已知 ，求 的值． 336cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛α+π⎪⎭⎫⎝⎛α-π65cos （2）已知，求 的值． ()21cos -=+απ()π-α9tan这是一种化归与转化的数学思想.。
三角函数诱导公式一到六
三角函数诱导公式一到六三角函数诱导公式是一种重要的数学工具，其涵盖了众多的基础公式以及核心概念，从而有助于数学学习者的深入学习。
该公式一为：正负sinθ±cosθ=±1，其中sinθ为正弦值，cosθ为余弦值。
这引出了正负概念，也就是指可以通过对正弦值和余弦值的取反来将角度的正负值改变，从而得到正确的表达。
该公式二为：sin2θ=2sinθcosθ，其中sin2θ为双角函数，也就是2倍角函数，指的是由角θ的正弦值和余弦值的乘积组成的2倍角函数。
它提出了双角函数的一个重要概念，即可以把一个角度的正弦函数进行双倍化，从而得到一个新的函数。
该公式三为：sin3θ=3sinθ-4sinθcosθ，其中sin3θ为三角函数，即3倍角函数，指的是由角θ的正弦值、余弦值及乘积组成的三倍角函数。
它强调了可以由角度构成的函数可以三倍放大，从而获得新的函数。
该公式四为：sinθcosθ=½sin2θ，其中sinθcosθ表示乘积函数，即正弦值与余弦值的乘积，½sin2θ则表示双角函数，也就是正负sin2θ的一半。
它告诉我们正弦值与余弦值的乘积可以等价于双角函数的一半，从而实现数学的运算计算。
该公式五为：sin2θcosθ=½sin3θ，其中sin2θcosθ表示乘积函数，即正弦值与余弦值的积，½sin3θ则表示三倍角函数，也就是正负sin3θ的一半。
它告诉我们正弦值与余弦值的积可以等价于三角函数的一半，从而得到更精准的运算结果。
最后，该公式六为：cos2θ-sin2θ=cos2θ，其中cos2θ为双角余弦函数，表示双倍角度的余弦值，sin2θ则表示双角正弦函数，即2倍角度的正弦值。
它指出，通过对双角余弦值和双角正弦值求差可以获得双角余弦值，从而将数学运算结果进行计算。
总之，三角函数诱导公式既展现了微积分中潜藏着的深奥理论，又展示了反复出现的有用方法，为人们打开了一扇数学思维的大门，著作既为学习者提供了强大、有效的科学方法，又能够为数学实践带来巨大的收获。
苏教版三角函数的诱导公式(一～四)
1.2.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数的诱导公式(一～四)一、诱导公式(一)终边相同的角的诱导公式(公式一)：sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)；tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)．思考1：终边相同角的三角函数值之间有什么关系？[提示]相等．二、诱导公式(二)终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：sin(－α)＝－sin_α；cos(－α)＝cos_α；tan(－α)＝－tan_α.思考2：角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？[提示] 关于x 轴对称． 三、诱导公式(三)终边关于y 轴对称的角的诱导公式(公式三)： sin(π－α)＝sin_α； cos(π－α)＝－cos_α； tan(π－α)＝－tan_α. 四、诱导公式(四)终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)： sin(π＋α)＝－sin_α； cos(π＋α)＝－cos_α； tan(π＋α)＝tan_α.1．(1)sin 25π6＝________；(2)cos 9π4＝________； (3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝________.(1)12 (2)22 (3)1 [(1)sin 25π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6 ＝sin π6＝12.(2)cos 9π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝cos π4＝22.(3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π4＝tan π4＝1.]2．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝________；(2)cos 330°＝________；(3)tan 690°＝________.(1)－32 (2)32 (3)－33 [(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32.(2)cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos 30°＝32. (3)tan 690°＝tan[2×360°＋(－30°)]＝tan(－30°) ＝－tan 30° ＝－33.]3．(1)sin 5π6＝________；(2)cos 34π＝________； (3)tan 1 560°＝________.(1)12 (2)－22 (3)－3 [(1)sin 5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝sin π6＝12. (2)cos 3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－cos π4＝－22.(3)tan 1560°＝tan(4×360°＋120°)＝tan 120°＝tan(180°－60°) ＝－tan 60°＝－3.]4．(1)sin 225°＝________；(2)cos 7π6＝________； (3)tan 10π3＝________. (1)－22 (2)－32(3)3 [(1)sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22.(2)cos 7π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32.(3)tan 10π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝3.]给角求值【例1】 求下列各三角函数式的值：(1)sin(－660°)；(2)cos 27π4；(3)2cos 660°＋sin 630°； (4)tan 37π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－5π3. 思路点拨：利用诱导公式先把任意角的三角函数化为锐角三角函数，再求值． [解] (1)因为－660°＝－2×360°＋60°， 所以sin(－660°)＝sin 60°＝32.(2)因为27π4＝6π＋3π4，所以cos 27π4＝cos 3π4＝－22. (3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°) ＝2cos 60°－sin 90°＝2×12－1＝0. (4)tan 37π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π3＝tan π6·sin π3＝33×32＝12.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：1．求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6；(3)tan(－945°)．[解] (1)sin 1 320°＝sin(4×360°－120°) ＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225° ＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 化简求值【例2】 化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°).思路点拨：利用诱导公式一，二，三，四将函数值化为角α的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．[解] (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数. (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.2.sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z )． [解] 当k ＝2n (n ∈Z )时， 原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， 原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1. 给值求值问题[探究问题]1．“α－15°”与“165°＋α”间存在怎样的关系？你能用“α－15°”表示“165°＋α”吗？提示：由165°＋α－(α－15°)＝180°可知165°＋α＝180°＋(α－15°)． 2．若tan(α－15°)＝－1，则tan(165°＋α)等于多少？提示：由探究1可知tan(165°＋α)＝tan[180°＋(α－15°)]＝tan(α－15°)＝－1. 【例3】 求值．(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－12，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π3的值；(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋α的值．思路点拨：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π3＝2π；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π. [解] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π3＝2π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－12. (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.教师独具1．明确各诱导公式的作用这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则角θ的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三角限D ．第四象限B [由sin(θ＋π)＝－sin θ<0⇒sin θ>0，cos(θ－π)＝－cos θ>0⇒cos θ<0，由⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0，可知θ是第二象限角．] 2．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[答案] D3．代数式sin 120°cos 210°的值为________．－34 [由诱导公式可得，sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝－32×32＝－34.]4．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，求cos(α－2π)的值． [解] ∵sin(π＋α)＝35， ∴sin α＝－35， 又α是第四象限角， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， ∴cos(α－2π)＝cos α＝45.。
三角函数的诱导公式1
探究一：
１.角α与角β的终边有何关系？ α β 角之间有何关系？
２.他们的三角函数值有什么关系？
x
公式二：
sin sin cos cos tan tan
怎么越来越差……”女奴隶Ｉ．什琦珀魔女：“不让你看看我的真功夫，你个小怪物就不知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的大蒜也变不了空间站 ！你的业务实在太垃圾了！”女奴隶Ｉ．什琦珀魔女：“我让你瞧瞧我的『粉宝斧魔水闸掌』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么 是真正名牌的原野！欣赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！”女奴隶Ｉ．玩了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百周的震撼招式。接着像亮紫色的万喉戈壁豹一样怒咒了一声，突然搞了个倒 地抽动的特技神功，身上瞬间生出了六十只活像粉丝般的深红色脚趾……紧接着扭动飘浮的特像瓜秧样的手臂一吼，露出一副典雅的神色，接着晃动青兰花色鸭掌样 的手掌，像湖青色的黑脸部落驼般的一叫，阴森的紧缩的墨绿色床垫形态的眼睛 顿时伸长了八十 倍，水绿色熏鹅一样的簸箕彩玉短裤也猛然膨胀了六十倍！最后转起 浅绿色茄子似的脑袋一颤，变态地从里面喷出一道神光，她抓住神光华丽地一摆，一套亮晶晶、亮光光的兵器『白光毒仙马妖鞭』便显露出来，只见这个这件宝器儿 ，一边抽动，一边发出“嗷哈”的余音……。飘然间女奴隶Ｉ．什琦珀魔女音速般地整出一个俯卧狂跳闪龙虾的怪异把戏，，只见她变异的腿中，变态地跳出四十簇 荒原珍珠牙猩状的枕头，随着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女的摇动，荒原珍珠牙猩状的枕头像龙虾一样在双手上悠闲地安排出片片光柱……紧接着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女又 使自己老态的脸飘舞出深黑色的花篮味，只见她水青色木偶般的面罩中，突然弹出三十道螺壳状的仙翅枕头毽子，随着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女的颤动，螺壳状的仙翅 枕头毽子像死鬼一样，朝着壮扭公主极像紫金色铜墩般的脖子神跃过来……紧跟着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女也斜耍着兵器像香皂般的怪影一样向壮扭公主神跃过去杏仁色的灰唇河滩鹰一样疯叹了一声，突然耍了一套倒立扭曲的特技神功， 身上忽然生出了八十只美如树枝一般的深黄色翅膀！紧接着旋动睡意朦胧的眼睛一叫，露出一副美妙的神色，接着抖动酷似钢铁般的手臂，像纯白色的绿臀城堡鸡般 的一挥，时尚的圆润光滑的下巴猛然伸长了七十倍，如同明黄色飘带一样的围巾也顿时膨胀了八十倍。最后摆起神盔模样的棕褐色短发一扭，萧洒地从里面窜出一道 幻影，她抓住幻影粗野地一颤，一套青虚虚、灰叽
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式三角函数在数学中是一类基础重要的函数，其中正弦函数、余弦函数和正切函数是最为常见和常用的三角函数。
在学习三角函数时，我们经常会遇到需要化简和推导三角函数的表达式的情况。
而三角函数的诱导公式则是帮助我们简化和推导这些表达式的重要工具。
一、正弦和余弦的诱导公式正弦函数和余弦函数是最为基础的三角函数之一，在数学中具有广泛的应用。
它们之间通过诱导公式可以相互转化和推导出一些简化的表达式。
1. 正弦的诱导公式：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB这个诱导公式是我们最常用的，通过它我们可以将两个正弦函数的和差转换为两个三角函数的乘积或差积。
2. 余弦的诱导公式：cos(A ± B) = cosA·cosB ∓ sinA·sinB与正弦的诱导公式类似，余弦的诱导公式可以将两个余弦函数的和差转换为两个三角函数的乘积或差积。
二、正切的诱导公式正切函数是另一个常见的三角函数，它表示一个角的正弦值与余弦值的商。
正切函数的化简和推导也可以借助诱导公式来完成。
正切的诱导公式可以表示为：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA·tanB)该诱导公式可以将正切函数的和差转换为两个正切函数的商或差商，帮助我们简化三角函数的表达式。
三、其他除了正弦、余弦和正切之外，还有一些其他的三角函数，如余割、正割和余切等。
这些三角函数同样可以通过诱导公式进行化简和推导。
具体的诱导公式可以表述如下：1. 余割的诱导公式：csc(A ± B) = 1 / (sinA·cosB ± cosA·sinB)2. 正割的诱导公式：sec(A ± B) = 1 / (cosA·cosB ∓ sinA·sinB)3. 余切的诱导公式：cot(A ± B) = (cotA·cotB ∓ 1) / (cotB ± cotA)以上是几个常见三角函数的诱导公式，它们对于化简和推导三角函数表达式时起着至关重要的作用。
三角函数诱导公式大全
三角函数诱导公式大全三角函数是数学中的一种重要函数，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在计算三角函数值时，诱导公式是一种非常有用的工具，可以通过已知的三角函数值来求解其他三角函数值。
下面是一些常用的三角函数诱导公式：1.正弦函数诱导公式：sin(x + π) = -sin(x)sin(x + π/2) = cos(x)sin(π/2 - x) = cos(x)sin(π/2 + x) = cos(x)sin(π - x) = sin(x)sin(π - x) = -sin(x)2.余弦函数诱导公式：cos(x + π) = -cos(x)cos(x + π/2) = -sin(x)cos(π/2 - x) = sin(x)cos(π/2 + x) = -sin(x)cos(π - x) = -cos(x)cos(π - x) = cos(x)3.正切函数诱导公式：tan(x + π) = tan(x)tan(x + π/2) = -cot(x)tan(π/2 - x) = cot(x)tan(π/2 + x) = -cot(x)tan(π - x) = -tan(x)tan(π - x) = tan(x) 4.余切函数诱导公式：cot(x + π) = cot(x)cot(x + π/2) = -tan(x)cot(π/2 - x) = tan(x)cot(π/2 + x) = -tan(x)cot(π - x) = -cot(x)cot(π - x) = cot(x) 5.正割函数诱导公式：sec(x + π) = -sec(x)sec(x + π/2) = csc(x)sec(π/2 - x) = csc(x)sec(π/2 + x) = -csc(x)sec(π - x) = -sec(x)sec(π - x) = sec(x)6.余割函数诱导公式：csc(x + π) = -csc(x)csc(x + π/2) = sec(x)csc(π/2 - x) = sec(x)csc(π/2 + x) = -sec(x)csc(π - x) = -csc(x)csc(π - x) = csc(x)这些是一些常用的三角函数诱导公式，利用这些公式可以修改已知的三角函数值，从而得到其他函数值。
三角函数的诱导公式(一)
三角函数得诱导公式(一)[学习目标]1、了解三角函数得诱导公式得意义与作用、2、理解诱导公式得推导过程、3、能运用有关诱导公式解决一些三角函数得求值、化简与证明问题.知识点一诱导公式一～四(1)公式一:sin(α＋2kπ)＝sin α,cos(α＋2kπ)＝cos α,tan(α＋2kπ)＝tan α,其中k∈Z、(2)公式二:sin(π＋α)＝－sin α,cos(π＋α)＝－cos α,tan(π＋α)＝tan α、(3)公式三:sin(－α)＝－sin α,cos(－α)＝cos α,tan(－α)＝－tan α、(4)公式四:sin(π－α)＝sin α,cos(π－α)＝－cos α,tan(π－α)＝－tan α、思考1任意角α与π＋α,－α,π－α得终边之间有怎样得对称关系？思考2设任意角α得终边与单位圆交于点P(x0,y0),分别写出π＋α,－α,π－α得终边与单位圆得交点坐标.知识点二诱导公式得记忆2kπ＋α(k∈Z),π＋α,π－α,－α得三角函数值,等于α得同名函数值,前面加上一个把α瞧成锐角时原函数值得符号.简记为“函数名不变,符号瞧象限”.思考您能用简洁得语言概括一下诱导公式一～四得作用吗？题型一给角求值例1求下列各三角函数值.(1)sin(－83π); (2)cos 196π; (3)sin[(2n ＋1)π－23π]. 解 (1)sin(－83π)＝－sin 83π＝－sin(2π＋23π) ＝－sin 23π＝－sin(π－π3) ＝－sin π3＝－32、 (2)cos 196π＝cos(2π＋76π) ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32、 (3)sin[(2n ＋1)π－23π]＝sin[2n π＋(π－23π)] ＝sin π3＝32、 跟踪训练1 求下列三角函数值.(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π; (2)cos 296π; (3)tan(－855°). 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12; (2)cos 296π＝cos(4π＋56π) ＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32; (3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1、题型二 给值求值问题例2 已知cos(α－75°)＝－13,且α为第四象限角, 求sin(105°＋α)得值.解 ∵cos(α－75°)＝－13<0,且α为第四象限角, ∴α－75°就是第三象限角.∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223、 ∴sin(105°＋α)＝sin []180°＋(α－75°)＝－sin(α－75°)＝223、 跟踪训练2 已知cos(π＋α)＝－35,π<α<2π,求sin(α－3π)＋cos(α－π)得值. 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35,∴cos α＝35, ∵π<α<2π,∴3π2<α<2π,∴sin α＝－45、 ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15、 题型三 三角函数式得化简例3 化简下列各式.(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α);(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°、 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α、 (2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1、 跟踪训练3 化简:(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°); (2)cos (θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ)、 解 (1)原式＝sin[360°＋(180°＋α]·cos α－tan (180°－α)＝sin (180°＋α)cos αtan α＝－sin αcos αsin αcos α＝－cos 2α、 (2)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·(－sin θ)·cos 2θ＝－cos θ、分类讨论思想在三角函数中得应用例4 证明:2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α,n ∈Z 、证明 当n 为偶数时,令n ＝2k ,k ∈Z ,左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α、 右边＝(－1)2k cos α＝cos α,∴左边＝右边.当n 为奇数时,令n ＝2k －1,k ∈Z ,左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2(－sin α)(－cos α)(－sin α)＋(－sin α) ＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α、 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α,∴左边＝右边.综上所述,2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α,n ∈Z 成立.1.sin 585°得值为( )A.－22 B 、22 C.－32 D 、32 2.cos(－16π3)＋sin(－16π3)得值为( ) A.－1＋32 B 、1－32C 、3－12D 、3＋123.记cos(－80°)＝k ,那么tan 100°等于( )A 、1－k 2kB.－1－k 2k C 、k 1－k 2 D.－k 1－k 24．化简:cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α)、一、选择题1.cos 600°得值为( )A 、32 B 、12 C.－32 D.－12 2.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1得值为( )A.1B.2sin 2αC.0D.23.已知cos(α－π)＝－513,且α就是第四象限角,则sin α等于( ) A.－1213 B 、1213 C 、512 D.±12134.若sin(－110°)＝a ,则tan 70°等于( )A 、a 1－a 2B 、－a 1－a 2C 、a 1＋a 2D 、－a 1＋a 25.tan(5π＋α)＝m ,则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)得值为( ) A 、m ＋1m －1 B 、m －1m ＋1C.－1D.1 6.若sin(π－α)＝log 8 14,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π20,则cos(π＋α)得值为( )A 、53 B.－53 C.±53D.以上都不对 二、填空题7.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33,则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝ 、 8.若cos(π＋α)＝－12,32π<α<2π,则sin(α－2π)＝ 、 9、cos (－585°)sin 585°＋sin (－570°)得值等于 . 10.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β),且f (4)＝3,则f (2 017)得值为 .三、解答题11.化简下列各式.(1)sin(－193π)cos 76π; (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°). 12.若cos(α－π)＝－23,求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)得值. 当堂检测答案:1.答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22、 2.答案 C解析 原式＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12、3.答案B解析∵cos(－80°)＝k,∴cos 80°＝k,∴sin 80°＝1－k2、∴tan 80°＝1－k2 k、∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2 k、4.化简:cos(180°＋α)sin(α＋360°)sin(－α－180°)cos(－180°－α)、解原式＝(－cos α)·sin α[－sin(α＋180°)]·cos(180°＋α)＝sin αcosαsin(α＋180°)cos(180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝1、课时精炼答案一、选择题1.答案D解析cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－1 2、2.答案D解析原式＝(－sin α)2＋cos αcos(－α)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2、3.答案A解析∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513,∴cos α＝513,又α就是第四象限角, ∴sin α<0,则sin α＝－1－cos 2α＝－1213、 4.答案 B解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°) ＝－sin 70°＝a ,∴sin 70°＝－a ,∴cos 70°＝1－(－a )2＝1－a 2,∴tan 70°＝sin 70°cos 70°＝－a 1－a 2、 5.答案 A解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1、 6.答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 232－2＝－23, ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α＝－1－49＝－53、 二、填空题7.答案 －33 解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－33、 8.答案 －32解析 由cos(π＋α)＝－12,得cos α＝12, 故sin(α－2π)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1－(12)2 ＝－32(α为第四象限角). 9、答案2＋2 解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋225°)－sin (360°＋210°) ＝cos 225°sin 225°－sin 210°＝－cos 45°sin (180°＋45°)－sin (180°＋30°)＝－22－22＋12＝2＋2、 10.答案 －3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3,∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β ＝－3、三、解答题11.解 (1)sin(－193π)cos 76π ＝－sin(6π＋π3)cos(π＋π6)＝sin π3cos π6＝34、 (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°) ＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1、12.解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α、 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23, ∴cos α＝23、∴α为第一象限角或第四象限角. 当α为第一象限角时,cos α＝23, sin α＝1－cos 2α＝53,∴tan α＝sin αcos α＝52, ∴原式＝－52、 当α为第四象限角时,cos α＝23, sin α＝－1－cos 2α＝－53, ∴tan α＝sin αcos α＝－52,∴原式＝52、 综上,原式＝±52、。
三角函数诱导公式一
三角函数诱导公式一三角函数诱导公式一三角函数的诱导公式一是指sin(A ± B)和cos(A ± B)的展开公式。
其中，A和B是任意角度。
首先，我们来考虑sin(A + B)的展开。
我们可以利用复数的指数形式来推导这个公式。
复数的指数形式可以表示为z = re^(iθ)，其中r是模长，θ是辐角。
假设A和B是任意两个角度，我们可以将A和B分别表示为复数的指数形式，即A=r₁e^(iα)和B=r₂e^(iβ)。
然后，我们可以求解sin(A + B)。
根据三角函数的性质，我们可以将复数的指数形式转化为三角函数的形式，即A = r₁cosα + ir₁sinα，B = r₂cosβ + ir₂sinβ。
那么，A + B就是(r₁cosα + r₂cosβ) + i(r₁sinα + r₂sinβ)。
根据欧拉公式，e^(ix) = cosx + isinx，我们可以将上式进一步转化为sin(A + B) = sin(r₁cosα + r₂cosβ + ir₁sinα + ir₂sinβ)。
然后，我们可以展开求解。
根据三角函数的展开公式，可以将以上式子化简为sin(A + B) = sin(r₁cosα + r₂cosβ)cos(ir₁sinα +ir₂sinβ)+ cos(r₁cosα + r₂cosβ)sin(ir₁sinα + ir₂sinβ)。
对于复数的正弦函数和余弦函数，我们知道cos(ix) = cosh(x)和sin(ix) = isinh(x)，其中cosh(x)和sinh(x)为双曲函数。
那么，sin(ir₁sinα + ir₂sinβ) = isinh(r₁sinα + r₂sinβ) = isin(r₁sinα)cosh(r₂sinβ) + cosh(r₁sinα)sin(r₂sinβ)。
接着，我们可以将以上的式子进行整理得到sin(A + B) =sin(r₁cosα + r₂cosβ)cos(r₁sinα)cosh(r₂sinβ) +cos(r₁cosα)sin(r₂sinβ)cosh(r₁sinα)sinh(r₂sinβ)。
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三角函数的诱导公式（一）[学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点一 诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z .(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.(3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.(4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.思考1 任意角α与π＋α，－α，π－α的终边之间有怎样的对称关系？思考2 设任意角α的终边与单位圆交于点P (x 0，y 0)，分别写出π＋α，－α，π－α的终边与单位圆的交点坐标．知识点二 诱导公式的记忆2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．思考 你能用简洁的语言概括一下诱导公式一～四的作用吗？题型一 给角求值例1 求下列各三角函数值．(1)sin(－83π)；(2)cos 196π；(3)sin[(2n ＋1)π－23π]． 解 (1)sin(－83π)＝－sin 83π＝－sin(2π＋23π) ＝－sin 23π＝－sin(π－π3) ＝－sin π3＝－32.(2)cos 196π＝cos(2π＋76π) ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. (3)sin[(2n ＋1)π－23π]＝sin[2n π＋(π－23π)] ＝sin π3＝32. 跟踪训练1 求下列三角函数值．（1）sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°)． 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12； (2)cos 296π＝cos(4π＋56π) ＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32； (3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.题型二 给值求值问题例2 已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角， 求sin(105°＋α)的值．解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°) ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin []180°＋(α－75°)＝－sin(α－75°)＝223. 跟踪训练2 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值． 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15.题型三 三角函数式的化简例3 化简下列各式．（1）tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；（2）1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.跟踪训练3 化简：(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)； （2）cos (θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ). 解 (1)原式＝sin[360°＋(180°＋α]·cos α－tan (180°－α)＝sin (180°＋α)cos αtan α＝－sin αcos αsin αcos α＝－cos 2α. (2)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·(－sin θ)·cos 2θ＝－cos θ.分类讨论思想在三角函数中的应用例4 证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2(－sin α)(－cos α)(－sin α)＋(－sin α) ＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．1．sin 585°的值为( )A ．－22B.22C ．－32D.322．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A ．－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋123．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2k C.k 1－k 2 D ．－k 1－k 2 4．化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α).一、选择题1．cos 600°的值为( ) A.32B.12C ．－32D ．－122．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．23．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α等于( ) A ．－1213B.1213C.512D ．±12134．若sin(－110°)＝a ，则tan 70°等于( ) A.a 1－a 2B.－a 1－a 2C.a 1＋a 2D.－a 1＋a 25．tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1 6．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53B ．－53C ．±53D ．以上都不对 二、填空题 7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝. 8．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(α－2π)＝. 9.cos (－585°)sin 585°＋sin (－570°)的值等于． 10．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为． 三、解答题11．化简下列各式．(1)sin(－193π)cos 76π；（2）sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．12．若cos(α－π)＝－23，求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．当堂检测答案：1．答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°) ＝－sin 45°＝－22. 2．答案 C解析 原式＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3 ＝－cos π3＋sin π3＝3－12. 3．答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k. ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k . 4．化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α). 解 原式＝(－cos α)·sin α[－sin (α＋180°)]·cos (180°＋α)＝sin αcos αsin (α＋180°)cos (180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝1.课时精炼答案一、选择题1．答案 D解析 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 2．答案 D解析 原式＝(－sin α)2＋cos αcos(－α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.3．答案 A解析 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513， ∴cos α＝513，又α是第四象限角， ∴sin α<0，则sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 4．答案 B解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°) ＝－sin 70°＝a ，∴sin 70°＝－a ，∴cos 70°＝1－(－a )2＝1－a 2， ∴tan 70°＝sin 70°cos 70°＝－a 1－a2. 5．答案 A解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 6．答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 232－2＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α ＝－1－49＝－53. 二、填空题7．答案 －33解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－33. 8．答案 －32解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12， 故sin(α－2π)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1－(12)2 ＝－32(α为第四象限角)．9.答案 2＋2解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋225°)－sin (360°＋210°) ＝cos 225°sin 225°－sin 210°＝－cos 45°sin (180°＋45°)－sin (180°＋30°)＝－22－22＋12＝2＋2. 10．答案 －3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β ＝－3.三、解答题11．解 (1)sin(－193π)cos 76π ＝－sin(6π＋π3)cos(π＋π6)＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°) ＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.12．解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53，∴tan α＝sin αcos α＝52， ∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52.。