2017-2018学年河北省武邑中学高二上学期期末考试数学理试题WORD版含答案
河北省武邑中学2017-2018学年高三上学期第一次调研考试数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|0log 2A x x =<<，{}|32,xB y y x R ==+∈，则AB =（ ）A ．()1,4B ．()2,4C ．()1,2D ．()1,+∞2.设全集U R =，{}(2)|21x x A x -=<，{}|ln(1)B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}|12x x ≤<B ．{}|1x x ≤C ．{}|01x x <≤D ．{}|1x x ≥3.函数20.4log (34)y x x =-++的值域是（ ） A ．(]0,2-B ．[)2,-+∞C ．(],2-∞-D ．[)2,+∞4.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图象为（ ）5.函数22lg2x y x x -=+的图象（ ） A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于直线1x =对称D ．关于y 轴对称6.幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调递增区间是（ ） A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．(),-∞+∞D ．(),0-∞7.若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，2(log 3)a f =，4(log 5)b f =，32(2)c f =，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则函数()()1g x f x =+的零点的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49.对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足10'()xf x -≤，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +> B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +<D ．(0)(2)2(1)f f f +≥10.已知函数(2),2,()1()1,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11.若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．(0,1)D ．()1,+∞12.设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+（0a >，1a ≠）在区间(]1,9-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)(7,)9+∞ B ．1(,1)(1,3)9C ．11(,)(3,7)95D ．11(,)(5,3)73第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合{}2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B 的真子集的个数为 ．14.已知函数1()xf x e =，则函数()f x 与直线y x =-平行的切线方程为 ． 15.若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，则k 的取值范围是 ．16.设函数10()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,，2()(1)x x g x f x e =-，则函数()g x 的递增区间是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A，函数()g x =的定义域为集合B ．（1）求AB ；（2）若{}|121C x m x m =-<<+，C B ⊆，求实数m 的取值范围．18.若二次函数2()f x ax bx c =++（a ，b ，c R ∈）满足(1)()41f x f x x +-=+，且(0)3f =．（1）求()f x 的解析式；（2）设()g x (2)x f =，求()g x 在[]3,0-的最大值与最小值．19.设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)． （1）确定a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值．20.水库的储水量随时间而变化，现用t 表示事件，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为：21(1551)50,09()2404(9)(341)50,912.t t t e t v t t t t ⎧-+-+<≤⎪=⎨⎪--+<≤⎩（1）该水库的储水量小于50的时期称为枯水期，问：一年内那几个月份是枯水期？ （2）求一年内该水库的最大储水量．4.6计算．3e 的值为20计算）21.已知函数2()()x f x ax x e =+，其中e 是自然数的底数，a R ∈． （1）当0a <时，解不等式()0f x >；（2）若0a >，试判断()f x 在()1,1-上是否有最大或最小值，说明你的理由． 22.已知函数()(1)x f x x e -=+（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()'()x x xf x tf x e ϕ-=++，存在1x ，[]20,1x ∈，使得成立122()()x x ϕϕ<成立，求实数t 的取值范围．河北武邑中学2016—2017学年高三年级第一次调研考试数学试题（理科）答案一、选择题二、填空题13.15 14.10x y +-= 15.1a ≥或0a ≤ 16.(],0-∞，[]1,2 三、解答题17.解：（1）要使函数()f x 有意义，则220x x -->，解得2x >或1x <-，即{}|21A x x x =><-或．则2,13,213,m m m >-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得21m -<≤． 综上，1m ≤，即实数m 的取值范围是(],1-∞．18.解：（1）由(0)3f =，得3c =， ∴2()3f x ax bx =++． 又(1)()41f x f x x +-=+，∴22(1)(1)3(3)41a x b x ax bx x ++++-++=+， 即241ax a b x ++=+， ∴24,1,a a b =⎧⎨+=⎩∴2,1.a b =⎧⎨=-⎩∴2()23f x x x =-+．（2）2()(2)2223x x x g x f ==⋅-+， 令2xt =，1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，14t =时，max max ()()4g x h t ==． 19.解：（1）因为2()(5)6ln f x a x x =-+， 故6'()2(5)f x a x x=-+． 令1x =，得(1)16f a =，'(1)68f a =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为16(68)(1)y a a x -=--， 由点(0,6)在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =． （2）由（1）知，21()(5)6ln 2f x x x =-+（0x >）， 6'()5f x x x =-+(2)(3)x x x--=．令'()0f x =，解得12x =，23x =．当02x <<或3x >时，'()0f x >，故()f x 的递增区间是()0,2，()3,+∞； 当23x <<时，'()0f x <，故()f x 的递减区间是()2,3． 由此可知()f x 在2x =处取得极大值9(2)6ln 22f =+，在3x =处取得极小值(3)26ln 3f =+． 20.解：（1）当09t <≤时，21()(1551)5050240t v t t t e =-+-+<，即215510t t -+>．解得t >或t <从而0 5.2t <<≈． 当912t <≤时，()(9)(341)5050v t t t =--+<， 即(9)(341)0t t --<，解得4193t <<，所以912t <≤． 综上，0 5.2t <<或912t <≤，枯水期,1,2,3,4,5,10,11,12月． （2）由（1）知，水库的最大蓄水量只能在6-9月份．21'()(1336)240t v t t t e =-+-1(4)(9)240te t t =---， 令'()0v t =，解得9t =或4t =（舍）， 又当()6,9t ∈时，'()0v t >，()v t 递增； 当()9,10t ∈时，'()0v t <，()v t 递减． 所以，当9t =时，()v t 的最大值91(9)350150240v e =⨯⨯+=（亿立方米）， 故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米．21.解：（1）因为0xe >，所以不等式()0f x >即为20ax x +>， 又因为0a <，所以不等式可化为1()0x x a+<， 所以不等式()0f x >的解集为1(0,)a-．（2）22'()(21)()(21)1x x xf x ax e ax x e ax a x e ⎡⎤=+++=+++⎣⎦，令2()(21)1g x ax a x =+++， 图象对称轴为2111122a x a a+=-=--<-． 因为(1)(0)0g g a -⋅=-<，所以()g x 在()1,1-内有零点，记为0x ， 在0(1,)x -上'()0g x <，()g x 递减，在0(,1)x 上'()0g x >，()g x 递增，()f x 在(1,1)-上有最小值，无最大值．22.解：（1）∵函数的定义域为R ，'()x xf x e=-， ∴当0x <时，'()0f x >；当0x >时，'()0f x <， ∴()f x 在(),0-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．（2）假设存在1x ，[]20,1x ∈，使得122()()x x ϕϕ<成立，则[][]min max 2()()x x ϕϕ<． ∵2(1)1()()'()xxx t x x xf x tf x eeϕ-+-+=++=， ∴2(1)()(1)'()x xx t x t x t x x e e ϕ-+++--==-．①当1t ≥时，'()0x ϕ≤，()x ϕ在[]0,1上单调递减， 所以2(1)(0)ϕϕ<，就312et >->； ②0t ≤时，'()0x ϕ>，()x ϕ在[]0,1上单调递增， 所以2(0)(1)ϕϕ<，即320t e <-<；③01t <<时，在[)0,x t ∈，'()0x ϕ<，()x ϕ在[]0,t 上单调递减，在(],1x t ∈，'()0x ϕ>，()x ϕ在[],1t 上单调递增．所以{}2()max (0),(1)t ϕϕϕ<，即132max 1,3t t t e +-⎧⎫<⎨⎬⎩⎭（*） 由（1）知，1()2t t g t e +=在[]0,1上单调递减，故4122tt e e +≤≤， 而233t e e e-<<，所以不等式（*）无解． 综上所述，存在(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞，使得成立．。
河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(理)试题Word版含解析
河北武邑中学2017—2018学年高二上学期第一次月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列试验中，是古典概型的为（）A. 种下一粒花生，观察它是否发芽B. 向正方形内，任意投掷一点，观察点是否与正方形的中心重合C. 从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率D. 在区间内任取一点，求此点小于2的概率【答案】C【解析】对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内有无限多个点，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性。
故选C.2. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】该树枝的树梢有6处，共有2处能找到食物，所以获得食物的概率为.故选B.3. 从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A. 与互斥B. 任何两个均互斥C. 与互斥D. 任何两个均不互斥【答案】A【解析】依据互斥的定义知：、与中的元素没有公共的元素，因此与互斥，与有公共元素，所以与不互斥，故答案B、C、D都不正确，应选答案A。
4. 先后抛掷三枚均匀的壹角、伍角、壹元硬币，则出现两枚正面，一枚反面的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先后抛掷三枚均匀硬币共有8中情况，其中两正一反共有3种情况，所求概率为. 故选A.5. 已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】边长为4的正三角形为面积为，分别以为圆心，1为半径在中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点距离超过1的区域，其面积为.故所求概率.故选B.点睛：对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.6. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是种结果，其中这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有种结果，故这两位同学不在同一个兴趣小组的概率，故选C.考点：列举法计算基本事件及其发生的概率.7. 下列说法中正确的是（）A. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B. “”与“”不等价C. “，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【答案】D【解析】试题分析：A中逆命题和否命题真假性相同；B中由可得，反之成立，因此两者等价；C中逆否命题为“若不全为，则”；D中正确考点：四种命题8. 设函数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B∴，反之不成立,例如,但是无意义。
河北省武邑中学高二上学期期末考试数学(理)试题有答案-最新精品
河北省武邑中学高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样2.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ） A ．28 B ．23 C ．18 D ．133.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N 除以正整数后的余数为，则记为()mod N n m =，例如()112mod3=.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）A ．21B ．22C ．23D ．244.为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田.这块地的亩产量（单位：kg )分别为12,,,n x x x ，下面给出的指标中可以用评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A. 12,,,n x x x 的平均数 B. 12,,,n x x x 的标准差 C.12,,,n x x x 的最大值D. 12,,,n x x x 的中位数5.已知直线,m l ,平面,αβ,且,m l αβ⊥⊂，给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥；④若//m l ，则αβ⊥.其中正确的命题是（ ） A.①④B.③④C.①②D.②③6.供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[)[)[)[)[]0,10,10,20,20,30,30,40,40,50五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人B.12月份人均用电量不低于20度的有500人C.12月份人均用电量为25度D.在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[)30,40—组的概率为1107.已知,x y 满足条件002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =+从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．148.过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ）A ．30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．324ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，9.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()1x f x e =-，则()()20162017f f +-=（ ）(其中为自然对数的底） A ．1e - B ．1e - C ．1e -- D ．1e + 10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，163,6,2AB AC AE ED ===，则AE EB ⋅等于（ ） A ．14- B ．9- C ．9 D ．1411.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（ ）A ．23π B ．34π C ．56π D ．35π 12.在直角坐标系内，已知()3,5A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A )重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆上存在点P ，使得()0MP CP CN ⋅-=，其中点()(),0,0M m N m -、，则的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，有,,,,,A B C D E 5组数据，去掉 组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用A B C D E 、、、、作答）14.过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A B 、两点，则AB = ． 15.已知12F F 、为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B 、两点若2212F A F B +=，则AB = ．16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元， 该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，120C =︒. （1）若1c =，求ABC ∆面积的最大值；（2） 若2a b =，求 t tan A .18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y 关于的线性回归方程y bx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i x x yyx y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）参考数据：1125132912268161092⨯+⨯+⨯+⨯=， 22221113128498+++=.19.如图，四面体ABCD 中，O E 、分别是BD BC 、的中点，2CA CB CD BD ====,AB AD =（1）求证：//OE 平面ACD ；（2）求直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值. 20.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停：（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2, 3, 4, 5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由.（2）根据以往经验，甲船将于早上700〜800到达，乙船将于早上730〜830到达，请求出甲船先停靠的概率.21.如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =； （2）若11,,3AC AB CBB AB BC π⊥∠==，求二面角111A A B C --的余弦值.22.已知椭圆()2222 0:1x y C a ba b =>>+的右焦点()1,0F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点()(),00T t t ≠，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5 CDCCA 6-10 CBBAD 11、12：AB二、填空题13. D 14.16315. 8 16. 27 三、解答题17. 解：设（1）由余弦定理得222cos1201a b ab +-︒=，22123a b ab ab ab ab ++=≥+=，当且仅当a b =时取等号；解得13ab ≤，故1sin 2ABC S ab C ∆=≤ABC ∆. （2）因为2a b =，由正弦定理得sin 2sin A B =，又120C =︒，故60A B +=︒，∴()sin 2sin 60sin A A A A =︒-=-，2sin A A =，∴tan A =. 18.（1）由数据求得11,24x y == 由公式求得187b =再由307a y bx =-=-所以y 关于的线性回归方程为183077y x =-（2）当10x =时，1507y =，1502227-<；同样，当6x =时，787y =，781227-<所以，该小组所得线性回归方程是理想的.19.（1）证明：连结OE ,∵O E 、分别是BD BC 、的中点.∴//OE CD , 又OE ⊄平面ACD ,CD ⊂平面ACD , ∴//OE 平面ACD（2）法一：连结OC ,∵,BO DO AB AD ==,∴AO BD ⊥. ∵,BO DO BC CD ==,∴CO BD ⊥. 在AOC ∆中， 由已知可得1,AO CO ==而2AC =, ∴222AO CO AC +=,∴AO OC ⊥. ∵BD OC O ⋂=,∴AO ⊥平面BCD .以OB OC OA 、、分别为x y z 、、轴，建立如图所示的直角坐标系 ()()()()0,0,1,1,0,0,,1,0,0A B C D -设平面ACD 的法向量(),,x y z η=，由()()1,0,1,1,3,0DA DC ==则有 00x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1x =-，得31,η⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭又因为()OC =，所以7sin OC OC ηαη⋅==故直线OC 与平面ACD .法二：设O 到平面ACD 的距离为d ，由A ODC O ADC V V --=，有1111113232d ⨯⨯=⨯，得d =故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为：d OC =. 20.（1）这种规则是不公平的设甲胜为事件A ，乙胜为事件B ,基本事件总数为5525⨯=种 .则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,3,1,3,3,3,5,()()()()()4,2,4,4,5,1,5,3,5,5，∴甲胜的概率()1325P A =乙胜的概率()()12125P B P A =-= ∴这种游戏规则不公平.（2）设甲船先停靠为事件C ,甲船到达的时刻为,乙船到达的时刻为y ，(),x y 可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为(){},78,7.58.5x y x y Ω=≤≤≤≤，这是一个正方形区域，面积111S Ω=⨯=，事件C 所构成的区域为(){},,78,7.58.5A x y y x x y =>≤≤≤≤，111712228A S =-⨯⨯=，这是一个几何概型，所以()78A S P C S Ω==. 21.（1） 连接1BC ,交1BC 于点O ,连接AO ,因为侧面11BB C C 为菱形, 所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 及1BC 的中点，又11,AB B C AB BC B ⊥⋂= 所以1B C ⊥平面ABO .由于AO ⊂平面ABO , 故1B C AO ⊥.又1B O CO =,故1AC AB =. （2）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，. 所以AO CO =.又因为AB BC =, 所以BOA BOC ∆≅∆,故OA OB ⊥, 从而1,,OA OB OB 两两相互垂直， O 为坐标原点，OB 的方向为轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz - 因为13CBB π∠=,所以1CBB ∆为等边三角形，又AB BC =，则()1,1,0,0,,0,A B B C ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1AB ⎛= ⎝⎭，111,0,A B AB ⎛== ⎝⎭，111,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭. 设(),,n x y z =是平面11AA B 的法向量，则11100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x =⎨⎪=⎪⎩，所以可取(1,3,n = 设m 是平面111A B C 的法向量，则11110m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，同理可取(1,m =1cos ,7n m n m n m⋅==所以二面角111A A B C --的余弦值为17.22.解：（1)由题意知1c =，又tan60bc=︒=23b =， 2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y +=.（2）当0k =时，0t =，不合题意设直线PQ 的方程为：()()1,0y k x k =-≠，代入22143x y +=，得：()22223484120k x k x k +-+-=，故 0∆>，则,0k R k ∈≠ 设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,R x y ，则()2120002243,123434x x k kx y k x k k +===-=-++， 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅得 ()()20PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++， 因为()20,k ∈+∞，所以()2344,k +∈+∞，所以10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 所以线段OF 上存在点(),0T t ，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。
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河北武邑中学2017—2018学年高三年级上学期期末考试数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ． 1 B ． -1 C ．12D ．-2 2.设α为锐角，()()sin ,1,1,2a b α==，若a 与b 共线，则角α=（ ） A ． 15° B ． 30° C ．45° D ．60° 3.下列说法正确的是（ ）A ．命题“若2340x x --=，则4x =”的否命题是“若2340x x --=，则4x ≠ ”B ．0a >是函数a y x =在定义域上单调递增的充分不必要条件C ．()000,0,34x x x ∃∈-∞<D ．若命题:,3500n P n N ∀∈>，则00:,3500n P x N ⌝∃∈≤4. 已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A ．2 B C. 2- D ． 5. 若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与直线1y =-所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B D 6.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何，下图网格纸中实线部分分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ）A ．3立方丈B ．5立方丈 C.6立方丈 D ．12立方丈7. 从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ） A ．57 B ．59 C. 27 D ．498. 将曲线1:sin 6C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线()2:C y g x =，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是（ ） A ．5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4，2，则输出v 的值为（ ）A ． 32B ． 64 C. 65 D ．13010. 若()()50,2a x y ax y <-+展开式中42x y 的系数为-20，则a 等于（ ）A ． -1B ． 32- C. -2 D ．52-11. 已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，0,,60,2,2,3PA AB PA AC BAC PA AB AC ⊥⊥∠====，则球O 的表面积为（ ）A ．403π B ．303π C. 203π D ．103π 12.已知函数()213ln 2f x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间()1,3上有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 111,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,52⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为 ．14.已知实数,x y 满足2041x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2y x +的最小值为 ．15.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21x f x g x e x -=++，则函数()()()h x f x g x =+在点()()0,0h 处的切线方程是 ．16.已知a b c 、、是ABC ∆的三边，()4,4,6,sin 2sin a b A C =∈=，则c 的取值范围为 ． 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18.已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表： 表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表表2：某年1月部分日期的天安门广场升旗时刻表（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7：00的概率； （2）甲、乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立，记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7：00的人数，求X 的 分布列和数学期望； （3）将表1和表2的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为31760），记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为20s ，判断2s 与20s 的大小（只需写出结论）．19.如图，直角梯形BDFE 中，//,,EF BD BE BD EF ⊥=ABCD 中，//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面BDFE ； （2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值．20. 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为3的椭圆过点3⎭． （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与y 轴的非负半轴交于点B ，过点B 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于,P Q 两点，连接PQ ，求BPQ ∆的面积的最大值． 21. 已知函数()()22ln f x x x mx m R =+-∈．（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若1752m <<，且()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()12f x f x -的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是26x ty t =⎧⎨=+⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x a =+++． （1）当4a =-时，求()f x 的最小值；（2）若2a >时，()7f x ≥对任意的,12a x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5ABDAA 6-10 BCBCA 11、12：AB 二、填空题13. 2 14. 1515. 20x y +-=16. (三、解答题17.解：（1）因为2211n n n n a a a a +-+=-，所以，()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a ->>，所以10n n a a -+≠，所以11n n a a --=， 所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =， 当2n ≥时，12n n n b S S n -=-=，当1n =时，12b =也满足，所以2n b n =； （2）由（1）可知()1111112121n na b n n n n -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()11111111222334121n n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 18.解：（1）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7：00，所以()153204P A ==； （2）X 可能的取值为0，1，2，记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00” 则()()()512;11533P B P B P B ===-=；()()()409P X P B P B ===；()1211411339P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()()()129P X P B P B ===， 所以X的分布列为：()44120129993E X =⨯+⨯+⨯=，（注：学生得到12,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()12233E X =⨯=，同样给分）；（3）220s s <．19.解：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，BE BD ⊥，平面BDFE 平面ABCD BD =，∴BE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴AC BE ⊥， 又∵AC BD ⊥，且BE BD B =，∴AC ⊥平面BDFE ；（2）设ACBD O =，∵四边形ABCD 为等腰梯形，,242DOC AB CD π∠===，∴OD OC OB OA ====，∵//OB FE ，∴四边形BOFE 为平行四边形，∴//OF BE ， 又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴FBO ∠为BF 与平面ABCD 所成的角，∴4FBO π∠=，又∵2FOB π∠=，∴OF OB ==以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()(()(),0,,,,B D F C A ，()()0,2,22,2,DF CD ==，∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0， 设平面DFC 的一个法向量为(),,n x y z =，由00DF n CD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00+==⎪⎩，令2x =得，()2,2,1n =-， 2222cos ,31221n AC ==++，∴二面角B DF C --的余弦值为23． 20.解：（1）由题意可设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则2232719c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 故31a b =⎧⎨=⎩，所以，椭圆方程为2219x y +=；（2）由题意可知，直线BP 的斜率存在且不为0，故可设直线BP 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >，由221990y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得()2219180k x kx ++=，则BP =0k >换成1k-，得：BQ =，2222221118118122199211621829APQ k k k S BP BQ k k k k k k ∆++===++⎛⎫==+ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭⎝⎭设1k t k+=，则2t ≥， 故2162162276496489BPQ t S t t t∆==≤=++，取等条件为649t t =，即83t =， 即183k k +=，解得k =时，BPQ S ∆取得最大值278． 21.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()22f x x m x'=+-， ()f x 的定义域内单调递增，则()220f x x m x'=+-≥， 即22m x x≤+在()0,+∞上恒成立， 由于224x x+≥，所以4m ≤，实数m 的取值范围是(],4-∞；（2）由（1）知()22222x mx f x x m x x -+'=+-=，当1752m <<时()f x 有两个极值点，此时12120,12mx x x x +=>=，∴1201x x <<<， 因为1111725,2m x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11142x <<，由于211x x =，于是()()()()22121112122ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+()()()222121212112112ln ln 4ln x x m x x x x x x x =---+-=-+， 令()2214ln h x x x x=-+，则()()222210x h x x--'=<，∴()h x 在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()1124h h x h ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()()121141ln 2161ln 2416f x f x --<-<--， 故()()12f x f x -的取值范围为152554ln 2,16ln 2416⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 22.解：（1）由26x ty t =⎧⎨=+⎩，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，由ρθ=，得2cos ρθ=，所以22x y +=，即(222x y -+=，故曲线C的普通方程为(222x y +=；（2）据题意设点)Mθ，则2sin 4x y πθθθ⎛⎫--+=+ ⎪⎝⎭，所以x y +的取值范围是2⎡-⎣．23.解：（1）当4a =-时，()124f x x x =++-， 当1x ≤-时，()12433f x x x x =---+=-+； 当12x -<<时，()1245f x x x x =+-+=-+； 当2x ≥时，()12433f x x x x =++-=-；即()33,15,1233,2x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩，又因为()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，如图所示，所以当2x =时，()f x 有最小值3；（2）因为,12a x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以10,20x x a +≤+≥，则()()()1217f x x x a x a =-+++=+-≥，可得8a x ≥-+对任意,12a x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立，即82a a ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，解得16a ≥，故a 的取值范围为[)16,+∞.。
河北省衡水市武邑中学2017-2018学年高二上学期周考数学试卷(二) Word版含解析
2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）周考数学试卷（二）一、选择题：1．把4名大学实习生分到高一年级3个不同的班，每个班至少分到1名实习生，则不同分法的种数为（）A．72 B．48 C．36 D．242．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．7203．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为（）A．18 B．15 C．12 D．94．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．1445．在1，2，3，4…14中任取4个数a1，a2，a3，a4且满足a4≥a3+4，a3≥a2+3，a2≥a1+2共有多少种不同的方法（）A．35 B．70 C．50 D．1056．从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．727．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x4项的系数（）A．30 B．70 C．90 D．1508．7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．120 C．240 D．3609．由0到9这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的五位数共有（）A．720个B．684个C．648个D．744个10．若二项式（﹣x）6展开式的常数项为20，则θ值为（）A．2kπ+（k∈Z）B．2kπ﹣（k∈Z） C．D．﹣11．设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．812．从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：13．（x2+3x+2）5的展开式中x3的系数是．14．若（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为．15．已知的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．16．若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种．17．从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m﹣1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=．（2013浙江校级模拟）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位．现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？（用数字作答）．三、解答题：19．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5求：（1）a0+a1+a2+a3+a4（2）（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．20．在二项式（﹣）12的展开式中．（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．21．已知（x+）n的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．（1）求含x2的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项．22．某篮球赛甲、乙两队进入最后决赛，其中甲队有6名打前锋位，4名打后位，另有2名既能打前锋位又能打后位的全能型队员；乙队有4名打前锋位，3名打后位，另有5名既能打前锋位又能打后位的全能型队员．问：（1）甲队有多少种不同的出场阵容？（2）乙队又有多少种不同的出场阵容？（注：每种出场阵容中含3名前锋位和2名后位）23．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本．24．在（x2+x+1）n=D x2n+D x2n﹣1+D x2n﹣2+…+D x+D（n∈N）的展开式中，把D，D，D，…，D叫做三项式的n次系数列．（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：三项式的2次系数列是；三项式的3次系数列是．（Ⅱ）二项式（a+b）n（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下①当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：C=C+C，类似的请用三项式的n次系数表示D（1≤k≤2n﹣1，k∈N）（无须证明）；（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示D．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）周考数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：1．把4名大学实习生分到高一年级3个不同的班，每个班至少分到1名实习生，则不同分法的种数为（）A．72 B．48 C．36 D．24【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4名大学实习生分到高一年级3个不同的班，每个班至少分到1名实习生，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故选：C【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏．2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．720【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21C53A44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C22C52A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22C52A33A22=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，故选C．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．3．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为（）A．18 B．15 C．12 D．9【分析】本题要先安排乙和丙两人，其安排方法可以分为两类，一类是两者之一在高一，另一个在高二，另一类是两者都在高二，在每一类中用分步原理计算种数即可．【解答】解：若乙和丙两人有一人在高一，另一人在高二，则第一步安排高一有2种安排方法，第二步安排高二，从三人中选一人有三种方法，第二步余下两人去高三，一种方法；故此类中安排方法种数是2×3=6，若乙和丙两人在高二，第一步安排高一，有三种安排方法，第二步安排高三，余下两人去高三，一种安排方法，故总的安排方法有3×1=3，综上，总的安排方法种数有6+3=9种；故选：D．【点评】本题考查分步原理与分类原理的应用，求解本题关键是根据实际情况选择正确的分类标准与分步标准，把实际问题的结构理解清楚．4．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．144【分析】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有=6种．先排3个奇数：用插空法求得结果，再排除1在左右两端的情况，问题得以解决．【解答】解：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有=6种，先排3个奇数，有=6种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的4个空中，方法有=12种．根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12=432种．若1排在两端，1的排法有=4种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有=6种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6=144种，故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432﹣144=288种．故选：B．【点评】本题主要考查排列、组合、两个基本原理的应用，注意不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法，属于中档题．5．在1，2，3，4…14中任取4个数a1，a2，a3，a4且满足a4≥a3+4，a3≥a2+3，a2≥a1+2共有多少种不同的方法（）A．35 B．70 C．50 D．105【分析】用列举法，由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥1，再分类列举，即可得到结论．【解答】解：用列举法由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥11、当a1=1时，a2=3时，a3=6时，a4可以取10，11，12，13，14，这5个数中的一个；a3=7时，a4可以取11，12，13，14这4个数中的一个；a3=8时，a4可以取12，13，14这3个数中的一个；a3=9时，a4可以取13，14这2个数中的一个；a3=10时，a4=14共有1+2+3+4+5=15种情况．当a2=4时，同理可求有1+2+3+4=10种情况当a2=5时，同理可求有1+2+3=6种情况当a2=6时，同理可求有1+2=3种情况当a2=7时，同理可求有1种情况以上共有1+3+6+10+15=35种情况．2、当a1=2时，同理可求有1+3+6+10=20种情况3、当a1=3时，同理可求有1+3+6=10种情况4、当a1=4时，同理可求有1+3=4种情况5、当a1=5时，同理可求有1种情况总共有35+20+10+4+1=70情况．故选B．【点评】本题考查计数问题，考查列举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．72【分析】先从5双靴中取出1双，再从剩下的4双中任取两双，在这两双中各取1只，由分步计数原理可得．【解答】解：先从5双靴中取出1双，有5种选法，再从剩下的4双中任取两双，在这两双中各取1只，有×2×2=24种情况，由分步计数原理可得，共有5×24=120种；故选：A【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，由分步计数原理设计选择的方案是解决问题的关键，属中档题．7．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x4项的系数（）A．30 B．70 C．90 D．150【分析】把（x+2）5按照二项式定理展开，可得（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x4项的系数．【解答】解：由于（2x﹣1）（x+2）5=（2x﹣1）（x5+10x4+40x3+80x2+80x+32），∴含x4项的系数为2×40﹣10=70，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．8．7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．120 C．240 D．360【分析】甲乙相邻，乙丙不相邻，可以将甲乙看成一个人，7个人去掉甲乙丙一共有4个人，四个人算两边有5个空，从五个空中选出两个，那么他们的位置就固定了，即可得出结论．【解答】解：甲乙相邻，乙丙不相邻，可以将甲乙看成一个人，7个人去掉甲乙丙一共有4个人，四个人算两边有5个空，从五个空中选出两个，那么他们的位置就固定了．四个人全排列的方法有=24种，从五个空中选出两个的方法有=10种，所以一共不同摆法有24×10=240种．故选：C．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．9．由0到9这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的五位数共有（）A．720个B．684个C．648个D．744个【分析】题目要求中间三位是成递增的等差数列，这样可以列举出所有的情况，当公差是1时，列举出公差是1的8种结果，分别做出共有的数字个数，在计算当公差是2，3，4，公差不可能时5，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：当公差是1时，千位、百位、十位上的数字可以是：012，123，234，345，456，567，678，789，当中间三位是012时，可以组成数字A72=42，当中间数字是123，234，345，456，567，678，789时，可以组成7×6×6=252，当公差是2时，千位、百位、十位上的数字可以是：024，135，246，357，468，579这样共组成42+5×6×6=222，当公差是3时，千位、百位、十位上的数字可以是：036，147，258，369可以组成数字的个数是42+3×6×6=150，当公差是4时，千位、百位、十位上的数字可以是：048，159可以组成数字的个数是42+36=78，根据分类计数原理知共有42+252+222+150+78=744，故选D．【点评】本题考查分类计数原理，考查等差数列，考查数字问题，实际上数字问题是一种比较典型的题目，只是解题时要注意做到不重不漏．10．若二项式（﹣x）6展开式的常数项为20，则θ值为（）A．2kπ+（k∈Z）B．2kπ﹣（k∈Z） C．D．﹣【分析】由于二项式（﹣x）6展开式的通项为：=（﹣1）r sinθ6﹣r C6r x2r﹣6，要得到常数项，只要令2r﹣6=0可求r，结合已知可求sinθ，进而可求θ．【解答】解：∵二项式（﹣x）6展开式的通项为：=（﹣1）r sinθ6﹣r C6r x2r﹣6令2r﹣6=0可得r=3，此时常数项T4=﹣sinθC63=﹣20sinθ=20∴sinθ=﹣1∴故选B．【点评】本题主要考查了利用二项式的展开式的通项求解二项展开式的指定项，解题中要注意基本运算能力的考查．11．设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】由二项式系数的性质可得S=2n，令x=1，可得其展开式的各项系数的和，即P=4n，结合题意，有4n+2n=272，解可得答案．【解答】解：根据题意，对于二项式的展开式的所有二项式系数的和为S，则S=2n，令x=1，可得其展开式的各项系数的和，即P=4n，结合题意，有4n+2n=272，解可得，n=4，故选A．【点评】本题考查二项式系数的性质，注意二项式的展开式中某一项的系数与二项式系数是不同概念．12．从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从9个字母中选5个排列，满足条件的事件是at相连且顺序不变，可以从除去at之外的7个字母中选3个，使at作为一个元素和另外3个元素排列，利用组合数写出结果，算出概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是从9个字母中选5个排列，共有A95个，满足条件的事件是at相连且顺序不变，可以从除去at之外的7个字母中选3个，使at作为一个元素和另外3个元素排列，共有C73A44，∴要求的概率是=，故选A．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．二、填空题：13．（x2+3x+2）5的展开式中x3的系数是1560．【分析】根据（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5，按照二项式定理展开，可得展开式中x3的系数．【解答】解：∵（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5=[x5+x4+x3+x2+x+1][x5+2x4+4x3+8x2+16x+32]，故展开式中x3的系数是4+8+16+32=1560，故答案为：1560．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14．若（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为1或﹣3．【分析】令x=0，x=1，结合a1+a2+…+a6=63，即可求得实数m的值．【解答】解：令x=0，可得a0=1令x=1，可得（1+m）6=a0+a1+a2+…+a6，∴a1+a2+…+a6=（1+m）6﹣1∵a1+a2+…+a6=63，∴（1+m）6﹣1=63∴m=1或﹣3故答案为：1或﹣3【点评】本题考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．已知的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．【分析】先求出展开式中的常数项T，求得函数的周期是2，由于g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，根据两个函数的图象特征转化出等价条件，得到关于k的不等式，求解易得．【解答】解：∵的常数项为=2∴f（x）是以2为周期的偶函数∵区间[﹣1，3]是两个周期∴区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点可转化为f（x）与r（x）=kx+k 有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意当k≠0时，∵r（﹣1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r（3）≤1解得0＜k≤故答案为：【点评】本题考点二项式定理，主要考查依据题设条件灵活转化的能力，如g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，灵活转化是正确转化是解题的关键．16．若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有19种．【分析】根据题意，首先分析“error”中有5个字母不同的排法顺序，具体为①先排字母“e”、“o”，在5个位置中任选2个，②再安排3个“r”，直接将其放进剩余的3个位置，由分步计数原理计算其5个字母不同的排法顺序，再排除其中正确的1种顺序，即可得答案．【解答】解：根据题意，英语单词“error”中有5个字母，其中3个“r”，先排字母“e”、“o”，在5个位置中任选2个，放置字母“e”、“o”即可，有A52=20种不同的排法，再安排3个“r”，直接将其放进剩余的3个位置即可，有1种排法，则这5个字母有20×1=20种不同的排法，其中正确的顺序有1种，则可能出现的错误的种数是20﹣1=19种，故答案为：19．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意单词中有重复的字母，其次要注意是求“出现错误”的种数，应该将正确的写法排除．17．从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m﹣1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=C n+k m．的口袋中取出m个球（0＜m ≤n，m，n∈N），共有C n+1m种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，m﹣1个白球，则C n m+C n m﹣1=C n+1m根据上述思想，在式子：C n m+C k1C n m﹣1+C k2C n m﹣2+…+C k k C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．【解答】解：在C n m+C k1C n m﹣1+C k2C n m﹣2+…+C k k C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数C n+k m故选C n+k m【点评】这个题结合考查了推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．18．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位．现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？346（用数字作答）．【分析】利用间接法，先求出2个人坐的方法数为，再排除两左右相邻的情况，即可得到结论．【解答】解：由题意，一共可坐的位子有20个，2个人坐的方法数为，还需排除两左右相邻的情况；把可坐的20个座位排成连续一行（前后排相接），任两个座位看成一个整体，即相邻的坐法有，但这其中包括甲、乙不在同一排情形，还应再加上2．∴不同排法的种数为=346．故答案为：346．【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：19．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5求：（1）a0+a1+a2+a3+a4（2）（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．【分析】此题只需将x=1及x=﹣1分别代入两式再相加即可求得a4+a2+a0的值【解答】解：当x=1时，a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=a5+a4+a3+a2+a1+a0=1；当x=﹣1时，a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1x+a0=﹣243；（1）∵a5=25=32∴a0+a1+a2+a3+a4=1﹣32=﹣31（2）∵（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．=（a5+a4+a3+a2+a1+a0）（﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0）=1×（﹣243）=﹣243【点评】本题考查利用赋值求解二项展开式的系数及对完全平方公式的变形应用能力，巧妙取特殊值是解题的关键．20．在二项式（﹣）12的展开式中．（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．【分析】（I）根据展开式中第r+1项的通项公式，求出展开式中含x3项的系数是多少；（II）由第3k项的二项式系数与第k+2项的二项式系数相等，列出方程，求出k的值．【解答】解：（I）展开式中第r+1项是，…（3分）令，解得r=2；…（4分）∴展开式中含x3项的系数为；…（6分）（II）∵第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数为；∴，…（9分）∴3k﹣1=k+1，或3k﹣1+k+1=12；解得k=1，或k=3．…（12分）【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了一定的逻辑推理与计算能力，是基础题目．21．已知（x+）n的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．（1）求含x2的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项．【分析】（1）由题意可得=64，求得n=6，可得展开式的通项公式．再令x的幂指数等于2，求得r的值，可得含x2的项的系数．（2）在展开式的通项公式中，令x的幂指数6﹣为有理数，可得r=0，3，6，从而求得有理项．（3）设第r+1项的系数为a r，由通项公式可得a r=3r，可得展开式各项的系数，从中找出系数最大的．【解答】解：（1）令x=1，可得（x+）n的展开式中，各项系数的和为4n，而其二项式系数的和为2n，由=64，求得n=6，故展开式的通项公式为T r+1=3r，令6﹣=2，求得r=3，∴含x2的项的系数为33=540．（2）由（1）可得，展开式的通项公式为T r+1=3r，令6﹣为有理数，可得r=0，3，6，故有理项为T1=x6，T4=540x2，T7=．（3）设第r+1项的系数为a r=3r，则展开式各项的系数分别为a0=1，a1=18，a2=135，a3=540，a4=1215，a5=1458，a6=729，故系数最大的项为第六项，T6=1458．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．22．某篮球赛甲、乙两队进入最后决赛，其中甲队有6名打前锋位，4名打后位，另有2名既能打前锋位又能打后位的全能型队员；乙队有4名打前锋位，3名打后位，另有5名既能打前锋位又能打后位的全能型队员．问：（1）甲队有多少种不同的出场阵容？（2）乙队又有多少种不同的出场阵容？（注：每种出场阵容中含3名前锋位和2名后位）【分析】（1）甲队按全能队员出场人数分类：不选全能队员，选1名全能队员，选2名全能队员，分别求出不同的选法，由此能求出甲队共有多少种不同的出场阵容．（2）乙队按3名只会打后场的出场人数分类：不选，选1名，选2名，分别求出不同的选法，由此能求出乙队共有多少种不同的出场阵容．【解答】解：（1）甲队按全能队员出场人数分类：I．不选全能队员：，II．选1名全能队员：，III．选2名全能队员：，故甲队共有120+340+176=636种不同的出场阵容．乙队按3名只会打后场的出场人数分类：I．不选：，II．选1名：，III．选2名：故乙队共有350+840+252=1442种不同的出场阵容．（13分）【点评】本题考查排列组合的计数问题的应用，解题时要认真审题，是中档题．23．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本．【分析】（1）分步：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本；（2）分两步完成：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学；（3）平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学．【解答】解：（1）分三步完成：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本，共有=1260种；（2）分两步完成：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学，有种，故共有=7560种；（3）平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学，共有=1680种．【点评】本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．24．在（x2+x+1）n=D x2n+D x2n﹣1+D x2n﹣2+…+D x+D（n∈N）的展开式中，把D，D，D，…，D叫做三项式的n次系数列．（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．（Ⅱ）二项式（a+b）n（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下①当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：C=C+C，类似的请用三项式的n次系数表示D（1≤k≤2n﹣1，k∈N）（无须证明）；（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示D．【分析】（Ⅰ）由（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，求得2次系数列．同理根据（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，求得3次系数列．（Ⅱ）①②如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．（Ⅲ）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示【解答】解：（Ⅰ）∵（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，∴三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；∵（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，∴三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．（Ⅱ）①列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N）：11 1 11 2 3 2 11 3 6 7 6 3 11 4 10 16 19 16 10 4 1②=（1≤k≤2 n﹣1 ）；（Ⅲ）由（Ⅱ）②可得=1+n﹣2+=，∵=n﹣1=﹣1，∴由=得﹣=n分别取3，4，…，n代入，累加可得﹣=+﹣（n﹣2）=﹣（n+2），∵=2，∴=﹣．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式的应用，属于中档题．。
2017-2018年河北省衡水市武邑中学高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样2．（5分）某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3，33，48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A．28B．23C．18D．133．（5分）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21B．22C．23D．244．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数5．（5分）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确的命题是（）A．①④B．③④C．①②D．②③6．（5分）供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人B．12月份人均用电量不低于20度的有500人C．12月份人均用电量为25度D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为7．（5分）已知x，y满足条件，则目标函数z=x+y从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域的面积为（）A．2B．1C．D．8．（5分）过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A．B．C．D．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，则f（2016）+f（﹣2017）=（）（其中e为自然对数的底）A．1﹣e B．e﹣1C．﹣1﹣e D．e+110．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A．﹣14B．﹣9C．9D．1411．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．12．（5分）在直角坐标系内，已知A（3，5）是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若圆上存在点P，使得，其中点M（﹣m，0）、N（m，0），则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）14．（5分）过抛物线的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|=．15．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．16．（5分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=120°．（Ⅰ）若c=1，求△ABC面积的最大值；（Ⅱ）若a=2b，求tanA．18．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验．（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：，）参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，112+132+122+82=498．19．（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（1）求证：OE∥平面ACD；（2）求直线OC与平面ACD所成角的正弦值．20．（12分）遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．（2）根据以往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请求出甲船先停靠的概率．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点T（t，0），使得•=•？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【解答】解：常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，事先了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生肺活量差异不大；最合理的抽样方法是按学段分层抽样．故选：C．2．（5分）某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3，33，48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A．28B．23C．18D．13【解答】解：某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），∴抽样间隔f==15，∵编号为3，33，48号学生在样本中，∴样本中另一个学生的编号为3+15=18．故选：C．3．（5分）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21B．22C．23D．24【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，故选：C．4．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．故选：B．5．（5分）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确的命题是（）A．①④B．③④C．①②D．②③【解答】解：对于①，m⊥α，若α∥β，则m⊥β，又l⊂β，则m⊥l，故①正确；对于②，m⊥α，若α⊥β，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m∥l或m与l相交或m与l异面，故②错误；对于③，m⊥α，l⊂β，若m⊥l，则α∥β或α与β相交，故③错误；对于④，m⊥α，若m∥l，则l⊥α，又l⊂β，则α⊥β，故④正确．∴正确的命题是①④．故选：A．6．（5分）供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人B．12月份人均用电量不低于20度的有500人C．12月份人均用电量为25度D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为【解答】解：根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10，20），有1000×0.04×10=400人，A 正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是（0.03+0.01+0.01）×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在[30，40）一组的频率为0.1，估计所求的概率为，∴D正确．故选：C．7．（5分）已知x，y满足条件，则目标函数z=x+y从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域的面积为（）A．2B．1C．D．【解答】解：由x，y满足条件作出可行域如图，作直线x+y=0，由图可知，平移直线x+y=0至A时，目标函数z=x+y有最小值，平移直线z=x+y至O时，使目标函数与直线y=﹣x重合时，目标函数z=x+y的值是0，所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域为△AOC及其内部区域的一半，面积为S==1．故选：B．8．（5分）过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由函数，得f′（x）=x2﹣2x，设函数图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），则f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴过函数图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，）∪[，π）．故选：B．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，则f（2016）+f（﹣2017）=（）（其中e为自然对数的底）A．1﹣e B．e﹣1C．﹣1﹣e D．e+1【解答】解：∵y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，∴y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，∴函数为奇函数，∵当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，∴f（2016）+f（﹣2017）=f（2016）﹣f（2017）=f（0）﹣f（1）=0﹣（e﹣1）=1﹣e．故选：A．10．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A．﹣14B．﹣9C．9D．14【解答】解：如图，分别以边AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：；；∴=；∴=，，；∴．故选：D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形，正方体绕对角线旋转120°能与原正方体重合．故选：C．12．（5分）在直角坐标系内，已知A（3，5）是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若圆上存在点P，使得，其中点M（﹣m，0）、N（m，0），则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．4【解答】解：若，则•=0，即⊥，则∠MPN=90°，由题意，∴A（3，5）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，∴圆上不相同的两点为B（2，4），D（4，4），∵直线x﹣y+1=0和x+y﹣7=0互相垂直，∴BA⊥DA∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，∴⊙C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=4．圆上存在点P，使得∠MPN=90°，则过P，M，N的圆的方程为x2+y2=m2，（设m＞0），与圆C有交点，若两圆内切时，m取得最大值，此时为=m﹣1，即5=m﹣1，则m=6，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉D组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）【解答】解：A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得较远；∴去掉D点剩下的4组数据的线性相关性最大．故答案为：D．14．（5分）过抛物线的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|=．【解答】解：根据抛物线方程得：焦点坐标F（0，1），直线AB的斜率为k=tan30°=，由直线方程的点斜式方程，设AB：y﹣1=x将直线方程代入到抛物线中，得：x2﹣x﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=．x1x2=﹣4．弦长|AB|===．故答案为：．15．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：816．（5分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是27万元．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且，联立，解得x=3 y=4，由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故答案为：27万元．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=120°．（Ⅰ）若c=1，求△ABC面积的最大值；（Ⅱ）若a=2b，求tanA．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由余弦定理得a2+b2﹣2abcos120°=1，…（2分）a2+b2+ab=1≥2ab+ab=3ab，当且仅当a=b时取等号；解得，…（4分）故，即f（x）面积的最大值为．…（6分）（Ⅱ）因为a=2b，由正弦定理得sinA=2sinB，…（8分）又C=120°，故A+B=60°，∴，…（10分）∴，∴．…（12分）18．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验．（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：，）参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，112+132+122+82=498．【解答】解：（1）由数据求得=11，=24，由公式求得b=，再由=﹣b，求得a=﹣，∴y关于x的线性回归方程为=x﹣；（2）当x=10时，y=，x=6时，y=，|﹣22|=＜2，|﹣12|=＜2．∴该小组所得线性回归方程是理想的．19．（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（1）求证：OE∥平面ACD；（2）求直线OC与平面ACD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连结OE，∵O、E分别是BD、BC的中点，∴OE∥CD，又OE⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，∴OE∥平面ACD．（2）证明：连结OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．在△AOC中，由已知可得AO=1，OC=．而AC=2，∴AO2+CO2=AC2，∴AO⊥OC．∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD．设O到平面ACD的距离为d，由V A﹣ODC=V O﹣ADC，有，得．故直线OC与平面ACD所成角的正弦值为：．20．（12分）遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．（2）根据以往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请求出甲船先停靠的概率．【解答】（本小题满分12分）（1）这种规则是不公平的．理由如下：设甲先停靠为事件A，基本事件总数为5×5=25种，…（1分）则甲先停靠即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个，分别为：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5），…（3分）∴甲先停靠的概率，乙先停靠的概率为…（5分）∴这种游戏规则不公平．…（6分）（2）设甲船先停靠为事件C，甲船到达的时刻为x，乙船到达的时刻为y，（x，y）可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为Ω={（x，y）|7≤x≤8，7.5≤y≤8.5}，这是一个正方形区域，面积SΩ=1×1=1，事件C所构成的区域为A={（x，y）|y＞x，7≤x≤8，7.5≤y ≤8.5}，，这是一个几何概型，所以…（12分）21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点T（t，0），使得•=•？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据题意，得c=1；又，所以b2=3，且a2=b2+c2=4，所以椭圆的方程为：；（2）设直线PQ的方程为：y=k（x﹣1），（k≠0），代入，得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0；设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为R（x0，y0），则，由得：，所以直线TR为线段PQ的垂直平分线；直线TR的方程为：，令y=0得：T点的横坐标，因为k2∈（0，+∞），所以，所以；所以线段OF上存在点T（t，0），使得，其中．。
河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期周考(12.11)数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年武邑中学高二数学周测导数及应用一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.设曲线22y x x =+-在点M 处切线斜率为3，则点M 的坐标为（ ）． A ．（0，-2） B ．（1,0） C ．（0,0） D ．（1,1）2.抛物线2y x =在点11,24M ⎛⎫⎪⎝⎭的切线的倾斜角是（ ）．A ． 30°B ．45°C ． 60°D ．90° 3.函数33y x x =-在[]1,2-上的最小值为（ ）． A ．2 B ．-2 C ．0 D ．-44.设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+ ，则()0f '等于（ ）． A ．0 B ．-4 C ．-2 D ．25.已知曲线313y x =在点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，则过P 点的切线方程为（ ）．A ．312160x y --=B ．123160x y --=C ．312160x y -+=D ．123160x y -+=6.已知函数()()sin 102f x x πϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，且()()23010f x dx π+=⎰，则函数()f x 的一个零点是（ ）． A ．56π B ．3π C ．6π D ．712π7.函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如下图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极大值点（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）．A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度9.函数()ln 2xf x x=-的图像在点（1，-2）处的切线方程为（ ）． A ．30x y --= B ．20x y += C ．10x y ++= D ．240x y --= 10.函数()21ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ）． A ．（-1,1） B ． (),1-∞ C ．（0,1） D ．()1,+∞ 11.若4442224,,2a xdx b dx c dx x===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ）．A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a << 12.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则B ∠的范围是（ ）．A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知2200139x y ->，过点()00,P x y 作一直线与曲线2200139x y -=相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角3π或23π；类比此思想，已知20001x y x <-，过点作一直线与函数21x y x-=的图像相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为____________．14.函数cos ,0,2y x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，与坐标轴围成的图像绕x 旋转一周所得旋转体的体积是____________．15. 220sin 2xdx π=⎰____________． 16.设()f x 与()g x 是定义在同一区间D 上的两个函数，若使得()()001f x g x -≤，则称()f x 和()g x 是D 上的“接近函数”，D 称为“接近区间”；若x D ∀∈，都有()()001f x g x ->，则称()f x 和()g x 是D 上的“远离函数”，D 称为“远离区间”．给出以下命题：①()21f x x =+与()232g x x =+是()-∞+∞，上的“接近函数”；②()234f x x x =-+与()23g x x =-的一个“远离区间”可以是[]2,3；③()f x =()(g x x b b =-+>是()1,1-上的“接近函数”，则1b <≤； ④若()ln 2xf x ex x=+与()22g x x a e =++（e 是自然对数的底数）是[)1,+∞上的“远离函数”，则1a > 其中的真命题有____________．（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.17.已知函数()()()()32436f x x m x mx n x R =+--+-∈的图像关于原点对称(),m n R ∈．（1）求,m n 的值；（2）若函数()()()2F x f x ax b =-+在区间[]1,2上为减函数，求实数a 的取值范围．18.已知函数()()3211ln ,32f x xg x x x mx n ==+++，直线l 与函数()(),f x g x 的图像都相切于点（1,0）．（1）求直线l 的方程及函数()g x 的解析式；（2）若()()()h x f x g x '=-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的极大值．19.已知函数()()2x f x x e =-和()32g x kx x =--．（1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求实数k 的取值范围；（2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()()2f x g x x ≥++恒成立，求实数k 的最大值． 20.已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈．（1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；（2） 若函数()f x 在1x =处取得极值，且对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当20x y e <<<且x e ≠时，试比较y x与1ln 1ln y x --的大小．参考答案一、选择题二、填空题13. 4π或2π 14. 24π 15. 142π- 16. ①③三、解答题17.解：（1）∵函数()f x 的定义域为R ，且其图像关于原点对称，∴()f x 是奇函数，又()F x 在[]1,2上是减函数，得()()1321202124120F a F a '=--≤⎧⎪⎨'=--≤⎪⎩，解得0a ≥，故实数a 的取值范围为[)0,+∞．18.解：（1）∵直线l 是函数()ln f x x =在点()1,0处的切线，故其斜率()11k f '== ∴直线l 的方程为1y x =-，又因为直线l 与函数()g x 的图象相切，且切于点()1,0，∴()321132g x x x mx n =+++在点()1,0的导函数值为1，∴()()1101116m g g n =-⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨'==⎪⎩⎪⎩，∴()32111326g x x x x =+-+． （2）∵()()()()2ln 10h x f x g x x x x x '=-=--+>，∴()()()221111221x x x x h x x x x x-+--'=--==-， 令()0h x '=，得12x =或1x =-（舍）， 当102x <<时，()()0,h x h x '>单调递增 ； 当12x >时，()()0,h x h x '<单调递减． 因此，当12x =时，()h x 取得极大值，∴()111ln 224h x h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极大 ． 19.解：（1）依题意()231g x kx '=-，①当0k ≤时，()2310g x kx '=-≤，所以()g x 在()1,2单调递减，不满足题意，②当0k >时，()g x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 因为函数()g x 在区间()12，不单调，所以12<<，解得11123k <<，综上所述，实数k 的取值范围是11123k <<．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由已知得()32x x e k x -≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分令()()42x x e h x x-=，则()()2446xx x e h x x-+'=．．．．．．．．．．．．．．．．10分()()24460xxx e h x x-+'=>，所以()()32x x e h x x-=在[)1,x ∈+∞单调递增，∴()()min 1h x h e ==-，∴k e ≤-，即k 的最大值为e -．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分20.解：（1）()11ax f x a x x-'=--当0a ≤时，()0f x '≤在()0,+∞上恒成立，函数()f x '在()0,+∞单调递减， ∴()f x '在()0,+∞上没有极值点； 当0a >时，()0f x '≤得()10,0x f x a '<≤≥得1x a≥， ∴()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，即()f x 在1x a =处有极小值．∴当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上没有极值点， 当0a <时， ()f x 在()0,+∞上有一个极值点．（2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =，∴()1l n 21xf x bx b x x≥-⇔+-≥， 令()1ln 1x g x x x=+-，可得()g x 在(20,e ⎤⎦上递减，在)2,e ⎡+∞⎣上递增， ∴()()22min 11g x g e e ==-，即211b e≤-．（3）令()()1ln 1xh x g x x x=-=-， 由（2）可知()g x 在()20,e 上单调递减，则()h x 在()20,e 上单调递减， ∴当20x y e <<<时，()()h x h y >，即1ln 1ln x yx y-->； 当0x e <<时，1ln 0x ->，∴1ln 1ln y yx x->-，当2e x e <<时，1ln 0x -<，∴1ln 1ln y y x x-<-．。
河北省武邑中学高二上学期期末考试数学(文)试题 Word
河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若0a b <<，则（ ） A ．11a b < B ．01a b << C. 2ab b > D ．b a a b> 2.抛物线214y x =的准线方程是（ ） A ．1x = B ．1y = C. 1x =- D ．1y =-3.已知直线l 的参数方程为11x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数)，则直线l 的普通方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y -+= C. 0x y += D ．20x y +-= 4.观察下列各图，其中两个分类变量,x y 之间关系最强的是（ ）A ．B ． C.D ．5.椭圆3cos 5sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ是参数）的离心率是（ ）A ．35B ．45 C. 925 D ．16256.若,x y 是正数，且141x y +=，则xy 有（ ）A ．最大值16B ．最小值116C. 最小值16 D ．最大值1167.清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比 上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4 层的灯盏数应为（ ） A ．3 B ．12 C. 24 D ．368.对任意的实数x ，不等式210mx mx --<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,0- B ．(]4,0- C.[]4,0- D ．[)4,0- 9.设变量,x y 满足约束条件0021x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．1B ．14 C. 12D ．2 10.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.那么p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．412.在函数()()2ln 1f x a x x =--的图象上，横坐标在()1,2内变化的点处的切线斜率均大于1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞ C. [)6,+∞ D ．()6,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a = ．14.过点()4,1Q 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被Q 所平分，则弦AB 所在直线方程为 ．15.已知函数()32113f x x ax x =+++有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ．16.已知命题1:12p x ≤≤，命题()():10q x a x a ---≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ()sin cos 1C c A =+. （1）求角A ；（2）若2316bc a =-，ABC ∆的面积S =,b c 的值.18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*13122n n S a n n n N +=--+∈.（1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T . 19.已知函数()22x f x e x ax =-+.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2） 若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为2，椭圆与x 轴左交点与点F 的1. （1）求椭圆方程；（2） 过点()0,2P 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，当OAB ∆时，求AB . 21.已知抛物线的方程为()220x py p =>，过点()0,P p 的直线l 与抛物线相交于A B 、两点，分别过点A B 、作抛物线的两条切线1l 和2l ，记1l 和2l 相交于点M . （1）证明：直线1l 和2l 的斜率之积为定值； （2） 求证：点M 在一条定直线上.22.已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =-++-∈.（1）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0a =时，设函数()()()22g x xf x k x =-++，若函数()g x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个零点，求实数k 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDADB 6-10: CCBBA 11、12：BC二、填空题13. 17 14. 4150x y --= 15. ()(),11,-∞-⋃+∞ 16.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17. 解：（1)()sin cos 1C c A =+，()sin sin cos 1A C C A =+，cos 1A A -=，故1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由0A π<<，得3A π=.(2)在ABC ∆中，22163bc b c bc -=+-， ∴()216b c +=，故4b c +=.①又ABC S ∆=， ∴4bc =.②联立①②式解得2b c ==.18.解：（1）∵213122n n a S n n +=--+，①∴当1n =时，121a =-，则112a =-，当2n ≥时，()()2111311122n n a S n n --+=----+， ② 则由①—②得121n n a a n --=--，即()121n n a n a n -+=+-，∴()1122n n b b n -=≥，又11112b a =+=， ∴数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列， ∴12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）由（1）得2n nn nb =. ∴234112*********n n nn nT --=++++++，③ 232123412122222n n n n nT ---=++++++，④. 由④-③得2111112222n n n n T -=++++-1122212212nn nn n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--. 19.解：（1）∵()22x f x e x '=-+，∵()1f e '=，即(),11k e f e ==+ ∴所求切线方程为()()11y e e x -+=-，即10ex y -+=（2）()22x f x e x a '=-+，∵()f x 在R 上单调递增，∴()0f x '≥在R 上恒成立，∴2x e a x ≥-在R 上恒成立，令()2x e g x x =-，()112xe g '=-，令()0g x '=，则ln2x =，∵在(),ln 2-∞上()0g x '>；在()ln 2,+∞上，()0g x '<， ∴()g x 在(),ln 2-∞单调递增，在()ln 2,+∞上单调递减， ∴()()max ln 2ln 21g x g ==-， ∴ln21a ≥-，∴实数a 的取值范围为[)ln 21,-+∞.20.解：（1）由题意可得c a =1a c -=，又222a b c -=，解得221,2b a ==， 所以椭圆方程为2212x y +=（2）根据题意可知，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y 由方程组22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得关于x 的方程()2212860k x kx +++=， 由直线l 与椭圆相交于,A B 两点，则有0∆>，即222(1)6424216240k k k -+=->， 得：232k >，由根与系数的关系得122122812612k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩，故12AB x x =⋅又因为原点O 到直线l的距离d =， 故OAB ∆的面积12S AB d =⋅==，得k =，此时32AB =. 21.解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx p =+， 将其代入22x py =，消去y 整理得22220x pkx p --=. 设,A B 的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ， 则2122x x p =-.将抛物线的方程改写为212y x p =，求导得1y x p'=. 所以过点A 的切线1l 的斜率是11x k p =，过点B 的切线2l 的斜率是22xk p=， 故121222x x k k p ==-， 所以直线1l 和2l 的斜率之积为定值2-.（2）设(),M x y .因为直线1l 的方程为()111y y k x x -=-，即()21112x x y x x p p-=-，同理，直线2l 的方程为()22222x x y x x p p-=-， 联立这两个方程，消去y 得()()2212212122x x x x x x x x p p p p-=---， 整理得()121202x x x x x +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，注意到12x x ≠，所以122x x x +=.此时()2211111212112222x x x x x x x x y x x x p p p p p p p⎛⎫+=+-=+-==- ⎪⎝⎭. 由（1）知，122x x pk +=，所以122x x x p +==k R ∈， 所以点M 在定直线y p =-上.22.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， ()f x 的导数为()()()()11110ax x f x ax a a x x--'=-++-=->， ①当()0,1a ∈时，11a>. 由()0f x '<，得1x a>或 1x <. 当()10,1,,x x a ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为()0,+∞； ③当()1,a ∈+∞时，11a<. 由()0f x '<，得1x >或1x a<. ∴当()10,,1,x x a ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上，当()0,1a ∈时，()f x 的单调递减区间为()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞；当()1,a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）()()2ln 22g x x x x k x =--++在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有零点，即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令函数()2ln 22x x x h x x -+=+，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.则()()2232ln 42x x x h x x +--'=+.令函数()232ln 4p x x x x =+--，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.则()()()212x x p x x-+'=在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有()0p x '≥.故()p x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.∵()10p =，∴当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有() 0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，有() 0p x > 即()0h x '>， ∴()h x 单调递增.∵19ln 22105h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()11h =，()10210ln 21021023110121232h h --⎛⎫=>=> ⎪⎝⎭，∴k 的取值范围为9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦.。
河北省武邑中学2018届高三上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
河北武邑中学 2017—2018学年高三年级上学期期末考试数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题 共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.a ia 为纯虚数，则实数 的值为（ 1.设 是虚数单位，复数i）1 i 1 A ． 1B ． -1C ．D ．-22s in,1 ,b 1,2（2.设 为锐角，a ，若a 与b 共线，则角 ）A ． 15°B ． 30°C ．45°D ．60°3.下列说法正确的是（ ） 4 x 3x 4 0 x 4”A ．命题“若 x 2B ． a是函数3x 4 0，则 x”的否命题是“若 ，则 2 y x在定义域上单调递增的充分不必要条件 a x ,0,3 4C ． x x 00 0:n N,3500 : ,3 500 P x N ，则D ．若命题 P n n 0 0A 1,1 ,B 1,2 ,C 2,1 ,D 3,44. 已知点，则向量 AB 在CD 方向上的投影为（）3 23 15 2 3 2 23 15D ． A ．B ．C.22x 2 y 221 a 0,b 0 的渐近线与直线 y 1所围成的三角形面积为 2，则该双曲线的离心5. 若双曲线 a b 2率为（）5A ．35D ．B ． 2C.26.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊的几何体），下广三丈，袤四丈，上 袤二丈，无广，高一丈，问积几何，下图网格纸中实线部分分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为 1丈，那么此刍甍的体积为（ ）A ．3立方丈B ．5立方丈 C.6立方丈 D ．12立方丈7. 从 1，2，3，…，9这个 9个数中任取 5个不同的数，则这 5个数的中位数是 5的概率等于（ ）55 2 74 A ． 7B ．9C.D ．91 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移: y s in x 8. 将曲线C 1 6 2g x: y g x ,0在上的单调递增区间是（个单位长度，得到曲线C 2 ，则 ）2522, , ,0 , A ． B ． C. D ．6 6 3 6 3 69.秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今 仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n, x的值分别为 4，2，则输出v 的值为（ ）A ． 32 10. 若 aB ． 64 C. 65 D ．1300, x 2y ax y5 展开式中 x 4 y 2 的系数为-20，则a 等于（）3 D ．5A ． -1B ．C. -22 211. 已知三棱锥 PABC的所有顶点都在球O 的球面上，PA AB,PA A C,BAC 60 ,PA 2, AB 2, A C 3 ，则球O 的表面积为（0 ）403303203103A ．B ． C. D ． 11,33ln x x 2 a x a上有最大值，则实数 的取值范围是 （ 12.已知函数 f x 在区间 ）2 1 1 11 1 11 1 2,5 , , ,5 A ．B ． C. D ． 2 2 2 2 2第Ⅱ卷（非选择题 共 90分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上2y 2px p 0 3 y 16 13.已知抛物线 2 的准线与圆 x 2 相切，则 的值为．p2x y 0 y 4 , y 14.已知实数 x满足 x y ，则 的最小值为． x 2 y 1f x ,g xf xg x e x 1 15.已知分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 2 ，则函数xh x f x g x 0,h 0 在点 处的切线方程是．、b 、c ABC a 4,b 4,6 ,s in 2A s inCc，则 的取值范围为．16.已知a是 的三边， 三、解答题 ：本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1,a aa a Sn a abn的前 项和 满足 S 17.已知正项数列 满足 a 12 2n 1，数列 2 ．nnn 1nn nnnab 的通项公式；（1）求数列 ， nn1n （2）求数列 的前 项和T ．a b n1 nn18.已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表： 表 1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期 升旗时刻 7：36 7：11 7：14 6：47 6：15日期 升旗时刻 5：46 日期 日期 升旗时刻 1 月 1 日 1 月 21 日 2 月 10 日 3 月 2 日 3 月 22 日4 月 9 日 4 月 28 日5 月 16 日 6 月 3 日 6 月 22 日7 月 9 日 7 月 27 日 8 月 14 日 9 月 2 日 9 月 20 日10 月 8 日6：175：19 5：07 4：59 5：24 4：47 5：42 12 月 1 日 7：164：465：5012 月 20 日 7：31表 2：某年 1 月部分日期的天安门广场升旗时刻表升旗时刻7：23 7：22 7：20 7：17 7：15日期 升旗时刻 7：13 7：11 7：08 7：05 7：022 月 1 日 2 月3 日 2 月 5 日 2 月 7 日 2 月 9 日2 月 11 日 2 月 13 日 2 月 15 日 2 月 17 日 2 月 19 日6：59 6：57 6：55 6：52 6：492 月 25 日 2 月 27 日 2 月 28 日（1）从表 1 的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7：00 的概率；（2）甲、乙二人各自从表2 的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立，记X 为这两人中观 看升旗的时刻早于 7：00 的人数，求 X 的 分布列和数学期望；31（3）将表 1 和表 2 的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如 7：31 化为7），记表 2 中所有升旗时刻对60应数据的方差为s ，表 1 和表 2 中所有升旗时刻对应数据的方差为s 2 ，判断 s 与 s 2 的大小（只需写出结论）． 2 2 0//BD, BE B D, E F 2 2 19.如图，直角梯形 B D FE 中， EF ，等腰梯形 中， AB C D AB / /CD, AC B D, AB 2C D 4，且平面 B D F E 平面 ABC D ．（1）求证： AC 平面 B D FE ；DF C（2）若与平面AB C D所成角为，求二面角B的余弦值．BF42272,20.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为（1）求椭圆的方程；的椭圆过点．33,Q（2）设椭圆与y轴的非负半轴交于点B，过点B作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于P两点，连接P Q，求BP Q的面积的最大值．f x 2ln x x mx m R．21.已知函数2f xm在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（1）若172f x ,x x x f x f x（2）若5m，且有两个极值点，求的取值范围．x121212请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程x tx（t是参数），以原点O为极点，轴正半已知在平面直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程是2t 6y22cos轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；M x,y（2）设为曲线上任意一点，求xyC的取值范围．23.选修4-5：不等式选讲f x x 12x a已知函数．f x的最小值；4（1）当a时，求a,1 恒成立，求a 的取值范围．（2）若a2时， f x 7 对任意的 x 2 试卷答案一、选择题1-5:ABDAA6-10: BCBCA11、12：AB二、填空题1 15. xy2 04 2,2 1016.13. 214.5三、解答题，所以，aa aa1 0 aaa17.解：（1）因为a ， 2 2 n 1n 1n1n 1nnn naa1 ，所以因为 a0,a 0，所以 aa 0，n 1nn 1nn 1na 所以 当 n 当 n是以 1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ， nn 2 b S S2n，时， nnn 11时，b 2也满足，所以b 2n；1n1 1 11 1（2）由（1）可知， a b 2n n 1 2n n 1n 1 n11 1 1 1 11 n n T n 1 所以 ．2 2 23 34 1 n n2 n 118.解：（1）记事件 A 为“从表 1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，在表 1的 20个 15 3日期中，有 15个日期的升旗时刻早于 7：00，所以 P A ； 20 4（2）可能的取值为 0，1，2，X记事件 B 为“从表 2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”5 1 ; P B1P B15 323 4 9则 P B；P X 0 P B P B ；1 1 4 91 92 P B P B ； P XPX1 C 12 1 ， 33 所以的分布列为： XX1244 1 9 9 9P4 4 1 212, 1 22EX 0 1 2 ，（注：学生得到 X B ，所以 E X ，同样给分）；9 9 9 33 3 3s （3） s 2 2 ．19.解：（1）∵平面 B D FE 平面 AB C D ，BE BD，平面 B D F E 平面 AB C DBD ，∴ BE平面 ABC D ，又 AC平面 AB C D ，∴ A CBE ，BD A C 又∵ AC ，且 BE B D B ，∴ 平面 B D FE ；, 2O，∵四边形 AB C D 为等腰梯形， D O C AB2C D 4，（2）设 ACBD OC 2,OB OA 2 2 ∴O D ∵ FE ，// OB B O F E 为平行四边形，∴OF / /BE，，∴四边形又∵ BE平面 AB C D ，∴OF 平面 ABC D ，FBO AB C D所成的角，∴ FB O ∴ 为 BF 与平面 ， 4又∵FOB2 2 ，∴OF O B， 2 以O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OF 为 轴，建立空间直角坐标系， z0,2 2,0 , D 0, 2,0 , F 0,0,2 2 ,C2,0,0 , A 2 2,0,0 则 B ，D F0, 2, 2 2 ,C D 2, 2,0 ，1,0,0∵ AC 平面 B D FE ，∴平面 B D F 的法向量为 ，x , y , z设平面 DF C 的一个法向量为n，由 0 2 2 2 0 y z DF n 2,2, 1 ， 2 得，令 x 得， n 0 2 2 0CD nx y 2 2 32cos n , AC ，∴二面角 B D F C 的余弦值为 ．3 1 2 2 1 2 2 2 c 2 2x 2y 232a 1 ab 0 20.解：（1）由题意可设椭圆方程为 ，则 ， 2 7a b 21 9b 2a 2a 3 x 2y 1；故，所以，椭圆方程为 2 19 b （2）由题意可知，直线 的斜率存在且不为 0， BPk x 1，由对称性，不妨设k 0，故可设直线 BP 的方程为 yy k x 1 1 9k x 18kx 0 由 ，消去 y 得 ， 2 2 9y 9 0 x2 2 18 1 k 18k 12 1 k 0 则 BP ，将式子中的k 换成 ，得： B Q 18k ，2 1 9k kk 9 2 2 118 1 1 18k k 1 18 k 1 11 2 2 k9 SBP B Q k 1 1 2 2 2 1 9k k 9 2 19k k APQ2 2 2 2 1 k 21 162 1 162k1 1 k 29 1k k 21 9k 1 82 9 k 22k k2 2 12 t 设 k 故 S，则t 162t， k162 162 27 64 89 ，取等条件为 t ，即t ， 64 9t64 2 9 64 8 3 tBPQ2 9t t1 84 7 278S即 k ，解得k 时， 取得最大值 ． k 33 BPQ f x22x m， f x，0,21.解：（1）的定义域为 x 2fx 的定义域内单调递增，则 2x m 0 f x ， x2 0, 2x 即 m 在 上恒成立，x2 ，实数m 的取值范围是,442x 4 由于，所以m；x22x mx 2 2 17 f xx m 25 m ，当 （2）由（1）知 f x 时 有两个极值点，此时 2 x x m0 x1 x x x0, x x1，∴ ，2121 2 121 1721 4 12 2 x 5, x 因为 m，解得 ，x 11 11xmx2lnx mx2lnx由于 x ，于是 fxf x x12 1222 x1121121x x m xx2 ln xl n x x 4ln x 2 222 1 ，11212x2 1 12 2 x1 12 令 h x，则h xx 4ln x0 ，， 2 x 2x 21 1 1 1 h x h, h x 上单调递减，h∴ 即 故 在4 2 241 14 1l n 2 f x f x 16 1l n 2 ， 4161 215 4 25516fx f x 4ln 2, 16ln 2 的取值范围为 ． 12x t 2x 6 ，故直线l 的普通方程为2x y 6 0，22.解：（1）由，得 y y 2t 62 2 cos 2 2cos 2 2x2 22 ，x y 由 ，得 2 ，所以 2 2 ，即 x y 222 y 2 故曲线C 的普通方程为 x；222 cos 2 s i nxy 2 2 c os 2 s i n 2 2s i n（2）据题意设点M，则 ， 4． y 2 2,2 2 所以 x 的取值范围是f x x 1 2x 4， 423.解：（1）当 a 时，当 x1时，f x x 12x 4 3x 3；1 x2 时， f x x 12x 4 x 5；当f x x 12x 4 3x 3；2 当 x 时，3x 3,x 1x 5,1 x 2 即 f x ， 3x 3,x 21,2,1 2, 上单调递减，在上单调递增，如图所示，所以当又因为 f x 在上单调递减，在x 2时， f x 有最小值 3；a,1 x a 1 0,2 0x1 2xa x a 1 7（2）因为 x ，所以 x ，则 f x ，2 a ,1 a x 88 a 16 ，解得， 可得 a 对任意 x 恒成立，即a 2 2 故 a 的取值范围为16,.。
河北省武邑中学2018届高三上学期期末考试数学(理)试题word版有答案AlHnHw
河北武邑中学2017—2018学年高三年级上学期期末考试数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ． 1 B ． -1 C ．12D ．-2 2.设α为锐角，()()sin ,1,1,2a b α==r r，若a r 与b r 共线，则角α=（ ）A ． 15°B ． 30°C ．45°D ．60° 3.下列说法正确的是（ ）A ．命题“若2340x x --=，则4x =”的否命题是“若2340x x --=，则4x ≠ ”B ．0a >是函数ay x =在定义域上单调递增的充分不必要条件 C ．()000,0,34xx x ∃∈-∞<D ．若命题:,3500n P n N ∀∈>，则00:,3500nP x N ⌝∃∈≤4. 已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为（ ）A ．322 B ．3152 C. 322- D ．3152- 5. 若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与直线1y =-所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（ ） A ．52B ．2 C. 3 D ．5 6.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何，下图网格纸中实线部分分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ）A ．3立方丈B ．5立方丈 C.6立方丈 D ．12立方丈7. 从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ） A ．57 B ．59 C. 27 D ．498. 将曲线1:sin 6C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线()2:C y g x =，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是（ ） A ．5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4，2，则输出v 的值为（ ）A ． 32B ． 64 C. 65 D ．13010. 若()()50,2a x y ax y <-+展开式中42x y 的系数为-20，则a 等于（ ）A ． -1B ． 32-C. -2 D ．52- 11. 已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，0,,60,2,2,3PA AB PA AC BAC PA AB AC ⊥⊥∠====，则球O 的表面积为（ ）A ．403π B ．303π C. 203π D ．103π 12.已知函数()213ln 2f x x x a x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭在区间()1,3上有最大值，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．1,52⎛⎫-⎪⎝⎭B ．111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 111,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,52⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为 ．14.已知实数,x y 满足2041x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2y x +的最小值为 ．15.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21xf xg x e x -=++，则函数()()()h x f x g x =+在点()()0,0h 处的切线方程是 ．16.已知a b c 、、是ABC ∆的三边，()4,4,6,sin 2sin a b A C =∈=，则c 的取值范围为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18.已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表： 表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表2月9日 7：15 2月19日 7：02 2月28日 6：49（2）甲、乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立，记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7：00的人数，求X 的 分布列和数学期望； （3）将表1和表2的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为31760），记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为20s ，判断2s 与20s 的大小（只需写出结论）． 19.如图，直角梯形BDFE 中，//,,22EF BD BE BD EF ⊥=，等腰梯形ABCD 中，//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面BDFE ； （2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值．20. 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为23的椭圆过点72,3⎭． （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与y 轴的非负半轴交于点B ，过点B 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于,P Q 两点，连接PQ ，求BPQ ∆的面积的最大值．21. 已知函数()()22ln f x x x mx m R =+-∈．（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若1752m <<，且()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()12f x f x -的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是26x ty t =⎧⎨=+⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x a =+++． （1）当4a =-时，求()f x 的最小值； （2）若2a >时，()7f x ≥对任意的,12a x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:ABDAA 6-10: BCBCA 11、12：AB二、填空题13. 2 14.1515. 20x y +-=16. ( 三、解答题17.解：（1）因为2211n n n n a a a a +-+=-，所以，()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a ->>，所以10n n a a -+≠，所以11n n a a --=， 所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =， 当2n ≥时，12n n n b S S n -=-=， 当1n =时，12b =也满足，所以2n b n =； （2）由（1）可知()1111112121n na b n n n n -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()11111111222334121n n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ． 18.解：（1）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7：00，所以()153204P A ==； （2）X 可能的取值为0，1，2，记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00” 则()()()512;11533P B P B P B ===-=；()()()409P X P B P B ===g ；()1211411339P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()()()129P X P B P B ===g ， 所以X 的分布列为：P494919()4120129993E X=⨯+⨯+⨯=，（注：学生得到12,3X B⎛⎫⎪⎝⎭:，所以()12233E X=⨯=，同样给分）；（3）22s s<．19.解：（1）∵平面BDFE⊥平面ABCD，BE BD⊥，平面BDFE I平面ABCD BD=，∴BE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC BE⊥，又∵AC BD⊥，且BE BD B=I，∴AC⊥平面BDFE；（2）设AC BD O=I，∵四边形ABCD为等腰梯形，,242DOC AB CDπ∠===，∴2,22OD OC OB OA====，∵//OBFE，∴四边形BOFE为平行四边形，∴//OF BE，又∵BE⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD，∴FBO∠为BF与平面ABCD所成的角，∴4FBOπ∠=，又∵2FOBπ∠=，∴22OF OB==，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则()()(()()0,22,0,0,2,0,0,0,22,2,0,0,22,0,0B D FC A--，()2,22,2,2,0DF CD==-u u u r u u u r，∵AC⊥平面BDFE，∴平面BDF的法向量为()1,0,0，设平面DFC的一个法向量为(),,n x y z=r，由DF nCD n⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r rgu u u r rg得2220220zx+==⎪⎩，令2x=得，()2,2,1n=-r，2222cos,31221n AC==++r u u u rg，∴二面角B DF C--的余弦值为23．20.解：（1）由题意可设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则2232719c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 故31a b =⎧⎨=⎩，所以，椭圆方程为2219x y +=； （2）由题意可知，直线BP 的斜率存在且不为0，故可设直线BP 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >， 由221990y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得()2219180k x kx ++=，则BP =0k >换成1k-，得：29BQ k =+，222211182219911621829APQS BP BQ k k k k k k ∆===++⎛⎫==+ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭⎝⎭g g设1k t k+=，则2t ≥，故2162162276496489BPQ t S t t t∆==≤=++，取等条件为649t t =，即83t =， 即183k k +=，解得k =时，BPQ S ∆取得最大值278． 21.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()22f x x m x'=+-， ()f x 的定义域内单调递增，则()220f x x m x'=+-≥， 即22m x x≤+在()0,+∞上恒成立， 由于224x x+≥，所以4m ≤，实数m 的取值范围是(],4-∞； （2）由（1）知()22222x mx f x x m x x -+'=+-=，当1752m <<时()f x 有两个极值点，此时12120,12mx x x x +=>=，∴1201x x <<<，因为1111725,2m x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11142x <<，由于211x x =，于是()()()()22121112122ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+ ()()()222121212112112ln ln 4ln x x m x x x x x x x =---+-=-+， 令()2214ln h x x x x=-+，则()()222210x h x x--'=<，∴()h x 在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()1124h h x h ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()()()121141ln 2161ln 2416f x f x --<-<--， 故()()12f x f x -的取值范围为152554ln 2,16ln 2416⎛⎫--⎪⎝⎭．22.解：（1）由26x ty t =⎧⎨=+⎩，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，由ρθ=，得2cos ρθ=，所以22x y +=，即(222x y -+=，故曲线C的普通方程为(222x y +=；（2）据题意设点)Mθ，则2sin 4x y πθθθ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，所以x y +的取值范围是2⎡-⎣．23.解：（1）当4a =-时，()124f x x x =++-， 当1x ≤-时，()12433f x x x x =---+=-+； 当12x -<<时，()1245f x x x x =+-+=-+； 当2x ≥时，()12433f x x x x =++-=-；即()33,15,1233,2x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩，又因为()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，如图所示，所以当2x =时，()f x 有最小值3；（2）因为,12a x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以10,20x x a +≤+≥，则()()()1217f x x x a x a =-+++=+-≥，可得8a x ≥-+对任意,12a x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立，即82a a ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，解得16a ≥， 故a 的取值范围为[)16,+∞.。
武邑中学2017-2018学年高二文理科数学试卷
武邑中学2017-2018学年高二文科数学试卷一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.在△ABC中，若a=c=2，B=120°，则边b=( )A. B. C. D.2.在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为( )A. B.2 C.2 D.43.在中，,，在边上，且,则( )A. B. C. D.4.已知数列{an}的首项为1，公差为d(d∈N*)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是( )A.2B.3C. 4D.55.边长为的三角形的最大角与最小角的和是( )A. B. C. D.6.已知向量a=(1,2)，a·b=5，|a-b|=2，则|b|等于( )A. B.2 C.5 D.257.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[-，0)时，f(x)=sinx，则f(-)的值为( )A.-B.C.-D.8.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于( )A.-+B.--C.-D.+9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别为( )A.2,0B.2，C.2，-D.2，10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R 恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )A.[kπ-，kπ+](k∈Z)B.[kπ，kπ+](k∈Z)C.[kπ+，kπ+](k∈Z)D.[kπ-，kπ](k∈Z)11.在中，角所对应的边分别为，.若,则( )A. B.3 C.或3 D.3或12 . 如果数列{a n}满足a1，a 2-a1，a 3-a 2，…，a n-a n-1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an=( )A.2-1B.2-1C.2D.2+1二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知角的终边落在上，求的值 .14.如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程，那么表中的值为 .x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 15.若圆与相交于两点，且，则实数的值为 .16.已知函数的图像如图所示，则 .三、解答题(共70分)17.(本题满分10分)已知函数，(1)求函数的最小正周期与单调递增区间;(2)若时，函数的最大值为0，求实数的值.18. (本小题满分12分)已知等差数列的通项公式为.试求(Ⅰ)与公差; (Ⅱ)该数列的前10项的和的值.19.已知函数,其中，.(Ⅰ)求函数的单调递减区间;(Ⅱ)在中，角所对的边分别为，，，且向量与向量共线，求的面积.20.已知数列的前项和为，且满足;数列的前项和为，且满足，，.(1)求数列、的通项公式;(2)是否存在正整数，使得恰为数列中的一项?若存在，求所有满足要求的;若不存在，说明理由.21.(本题12分)已知点(1,2)是函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn=f(n)-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=logaan+1，求数列{anbn}的前n项和Tn22.设函数，其中，，.(1)求的解析式;(2)求的周期和单调递增区间;(3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.参考答案B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.A 9.D 10.CC 12.B13. 14. 2.8 15. 4 16.17.(1)，单调递增区间为，;(2).18.19.解:(Ⅰ)令错误!未找到引用源。
2018-2019学年河北省衡水市武邑中学高二(上)期末数学试卷(理科)
2018-2019学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--<，{2B =-，1-，0，1，2}，则(A B = )A ．{2-，1-，0}B ．{1-，0，1}C ．{0，1}D ．{0，1，2}2．（5分）若复数z 满足121zi i+=+，其中i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，则(z = )A ．3i --B ．3i -C ．3i +D ．3i -+3．（5分）如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子（豆子大小忽略不计），然后统计知豆子的总数为m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )A ．nmB ．2n mC ．m nD ．2m n4．（5分）按照程序框图（如图）执行，第4个输出的数是( )A ．5B ．6C ．7D ．85．（5分）设(0,90)α∈︒︒，若3sin(752)5α︒+=-，则sin(15)sin(75)(αα︒+︒-= )A ．110B C ．110-D ． 6．（5分）在三棱柱111ABC A B C -中，若AB a =，AC b =，1AA c =，则1(C B = ) A ．a b c +-B ．a b c --C ．a b c -+-D ．a b c --+7．（5分）已知三棱锥A BCD -中，ABD ∆与BCD ∆是边长为2的等边三角形且二面角A BD C --为直二面角，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为( )A ．103πB ．5πC ．6πD ．203π8．（5分）执行如图所示的程序框图（其中10b cmod =表示b 等于c 除以10的余数），则输出的b 为( )A ．2B ．4C ．6D ．89．（5分）某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．43B ．32 C ．53D ．11610．（5分）已知双曲线224x y -=，1F 是左焦点，1P ，2P 是右支上两个动点，则111212||||||F P F P PP +-的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．1611．（5分）已知0x >，0y >，且3622x y+=．若247x y m m +>-恒成立，则m 的取值范围为( ) A ．(3,4)B ．(4,3)-C ．(-∞，3)(4⋃，)+∞D ．(-∞，4)(3--⋃，)+∞12．（5分）已知0a >且1a ≠，若当1x 时，不等式x a ax 恒成立，则a 的最小值是( ) A ．eB ．1e eC ．2D ．2ln二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）正三角形ABC 的边长为1，G 是其重心，则AB AG = ． 14．（5分）命题“当0c >时，若a b >，则ac bc >．”的逆命题是 ．15．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F 和2F 是椭圆的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，若2ABF ∆的内切圆半径为1，12||2F F =，12||3y y -=，则椭圆离心率为 ．16．（5分）如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为 ．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知数列{}n a 是等差数列，21a t t =-，24a =，23a t t =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为递增数列，数列{}n b 满足2log n n b a =，求数列{(1)}n n a b -的前n 项和n S ． 18．（12分）为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．19．（12分）已知函数32()(,)f x x ax bx a b R =++∈的图象过点(1,2)P 且在13x =处取得极值点．（1）求a 、b 的值（2）求 函数()f x 的单调区间． （3）求 函数()f x 在[1-，1]上的最值．20．已知点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上，A ，B 是抛物线上异于M 的两点，以AB 为直径的圆过点M ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）过点M 作直线AB 的垂线，求垂足N 的轨迹方程．21．（12分）如图，在五面体ABCDPN 中，棱PA ⊥底面ABCD ，2AB AP PN ==．底面ABCD 是菱形，23BAD π∠=． （Ⅰ）求证：//PN AB ；（Ⅱ）求二面角B DN C --的余弦值．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,3)A ，且离心率12e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点(0,4)B -的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足167OM ON =（其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．23．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点A 到平面PCD 的距离．2018-2019学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--<，{2B =-，1-，0，1，2}，则(A B = )A ．{2-，1-，0}B ．{1-，0，1}C ．{0，1}D ．{0，1，2}【分析】求出集合A 的等价条件，利用集合交集的定义进行求解即可． 【解答】解：2{|20}{|12}A x x x x x =--<=-<<， 则{0AB =，1}，故选：C ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．（5分）若复数z 满足121zi i+=+，其中i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，则(z = )A ．3i --B ．3i -C ．3i +D ．3i -+【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：由121zi i+=+，得(21)(1)3z i i i =-+=-+， ∴则3z i =--．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子（豆子大小忽略不计），然后统计知豆子的总数为m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )A ．n mB ．2n mC ．m nD ．2m n【分析】根据几何概型的定义判断即可． 【解答】解：由题意，长方形的面积是2， 飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约是n m， 故图中飞鸟图案的面积约是2nm， 故选：B ．【点评】本题考查了几何概型的应用，是一道基础题．4．（5分）按照程序框图（如图）执行，第4个输出的数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】根据流程图可知第一次输出的1A =，则112S =+=，满足条件5S ，然后123A =+=，依此类推，当不满足条件5S ，然后退出循环，求出所求即可．【解答】解：第一次输出的1A =，则112S =+=，满足条件5S ，然后123A =+= 第二次输出的3A =，则213S =+=，满足条件5S ，然后325A =+= 第三次输出的5A =，则314S =+=，满足条件5S ，然后527A =+= 第四次输出的7A =，则415S =+=，满足条件5S ，然后729A =+= 第五次输出的9A =，则516S =+=，不满足条件5S ，然后退出循环 故第4个输出的数是7故选：C ．【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．属于基础题． 5．（5分）设(0,90)α∈︒︒，若3sin(752)5α︒+=-，则sin(15)sin(75)(αα︒+︒-= )A ．110B C ．110-D ． 【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得sin(152)α︒-、再把要求的式子化为1sin[45(152)]2α=︒-︒-，根据两角和差的正弦公式，计算求得结果．【解答】解：(0,90)α∈︒︒，3sin(752)cos(152)5αα︒+=︒-=-，152(175,90)α∴︒-∈-︒-︒，4sin(152)5α∴︒-==-，则sin(15)sin(75)sin(15)cos(15)αααα︒+︒-=︒+︒+ 11sin(302)sin[45(152)]22αα=︒+=︒-︒-113242[sin 45cos(152)cos 45sin(152)]()()]2255αα=︒︒--︒︒-=---=， 故选：B ．【点评】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．6．（5分）在三棱柱111ABC A B C -中，若AB a =，AC b =，1AA c =，则1(C B = ) A ．a b c +-B ．a b c --C ．a b c -+-D ．a b c --+【分析】利用111C B CB CC AB AC CC =-=--即可得出． 【解答】解：111C B CB CC AB AC CC a b c =-=--=--． 故选：B ．【点评】本题考查了向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．（5分）已知三棱锥A BCD -中，ABD ∆与BCD ∆是边长为2的等边三角形且二面角A BD C --为直二面角，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为( )A ．103πB ．5πC ．6πD ．203π【分析】首先确定球心的位置，进一步确定球的半径，最后确定球的表面积． 【解答】解：如图所示：ABD∆与BCD∆是边长为2的等边三角形且二面角A BD C--为直二面角，则：E、F分别是ABC∆和BCD∆的中心，球心O为ABC∆和BCD∆的过中心的垂线的交点，则：OE OF==ED=，利用勾股定理得：r=，则：1520493Sππ==．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，重点考察球的球心位置的判定．8．（5分）执行如图所示的程序框图（其中10b cmod=表示b等于c除以10的余数），则输出的b为()A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 2a =，8b =，1n = 16c =，8a =，6b =，2n =不满足条件2017n ，执行循环体，48c =，6a =，8b =，3n = 不满足条件2017n ，执行循环体，48c =，8a =，8b =，4n = 不满足条件2017n ，执行循环体，64c =，6a =，4b =，5n = 不满足条件2017n ，执行循环体，32c =，4a =，2b =，6n = 不满足条件2017n ，执行循环体，8c =，2a =，8b =，7n = ⋯由于201763361=⨯+，观察规律可得：当2017n =时，8b =． 故选：D ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．（5分）某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．43B ．32 C ．53D ．116【分析】根据三视图知该几何体是由长方体截去一个四棱锥所得的组合体，画出几何体的直观图，结合图中数据求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知，该几何体是由长方体截去一个四棱锥所得的组合体， 画出几何体的直观图，如图所示； 结合图中数据，计算几何体的体积为 1411211233V =⨯⨯-⨯⨯⨯=．故选：A ．【点评】本题考查了三视图与空间想象能力的应用问题，是基础题．10．（5分）已知双曲线224x y -=，1F 是左焦点，1P ，2P 是右支上两个动点，则111212||||||F P F P PP +-的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．16【分析】设双曲线的右焦点为2F ，1121||2||F P a F P =+，1222||2||F P a F P =+，则1112122122122122||||||2||2||||8(||||||)8F P F P P P aF P a F P P P F PF P P P +-=+++-=++-．【解答】解：设双曲线的右焦点为2F ，1121||2||F P a F P =+，1222||2||F P a F P =+， 则111212************||||||2||2||||8(||||||)8F P F P PP a F P a F P PP F P F P PP +-=+++-=++- 故选：C ．【点评】本题考查了双曲线的定义、性质，考查了转化思想，属于中档题． 11．（5分）已知0x >，0y >，且3622x y+=．若247x y m m +>-恒成立，则m 的取值范围为( ) A ．(3,4)B ．(4,3)-C ．(-∞，3)(4⋃，)+∞D ．(-∞，4)(3--⋃，)+∞【分析】利用基本不等式的性质求解2x y +的最小值，即可求解恒成立时实数m 的取值范围．【解答】解：0x >，0y >，且3622x y+=，那么：136132414(4)()(66)(121222222y x x y x y x y x y +=++=++++=． 当且仅当4y x =时，即32x =，6y =时取等号； 要使247x y m m +>-恒成立，即2127m m >-恒成立， 解得：4m <或3m <； 故选：C ．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用来解恒等式成立的问题．属于基本知识的考查． 12．（5分）已知0a >且1a ≠，若当1x 时，不等式x a ax 恒成立，则a 的最小值是( ) A ．eB ．1ee C ．2 D ．2ln【分析】推导出1x a x -，从而(1)x lna lnx -，令()(1)p x lnx x lna =--，则1x 时，()0p x ，1()p x lna x'=-，由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出a 的最小值． 【解答】解：0a >且1a ≠，当1x 时，不等式x a ax 恒成立， 1x a x -∴，两边取自然对数，得：(1)x lna lnx -，令()(1)p x lnx x lna =--，则1x 时，()0p x ， 1()p x lna x'=-， 当0lna <，即(0,1)a ∈时，()0p x '>，()p x 递增， 当1x 时，()p x p （1）0=，与()0p x 矛盾； 当0lna >，即(1,)a ∈+∞时，令()0p x '=，得1x lna=， 1(0,)x lna∈，()0p x '>，()p x 递增； 1(x lna∈，)+∞，()0p x '<，()p x 递减． 若11lna >，即(1,)a e ∈，当[1x ∈，1)lna 时，()p x 递增，()p x p （1）0=，矛盾； 若11lna，即[a e ∈，)+∞，当[1x ∈，)+∞时，()p x p （1）0=，成立． 综上，a 的取值范围是[e ，)+∞． 故a 的最小值是e ． 故选：A ．【点评】本题考查实数值的最小值的求法，考查导数与函数的单调性、极值、最值，着重考查学生的逻辑推理能力以及运算求解能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）正三角形ABC 的边长为1，G 是其重心，则AB AG = 12． 【分析】由已知可得||1AB =，3||AG =，向量,AB AG 的夹角为30︒，然后直接代入数量积公式求解．【解答】解：正三角形ABC 的边长为1， ∴||1AB =，又G 是其重心， ∴3||AG =，且向量,AB AG 的夹角为30︒，∴112AB AG =⨯=． 故答案为：12． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，是中档题．14．（5分）命题“当0c >时，若a b >，则ac bc >．”的逆命题是 当0c >时，若ac bc >，则a b > ．【分析】根据原命题是若P ，则Q ，它的逆命题是若Q ，则P ，【解答】解：命题“当0c >时，若a b >，则ac bc >．”的逆命题是当0c >时，若ac bc >，则a b >，故答案为：当0c >时，若ac bc >，则a b >【点评】本题考查了四种命题之间的关系，解题时应根据原命题直接写出对应的逆命题 15．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F 和2F 是椭圆的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，若2ABF ∆的内切圆半径为1，12||2F F =，12||3y y -=，则椭圆离心率为23． 【分析】根据椭圆的性质以及三角形的面积公式即可求出．【解答】解：2ABF ∆的周长为l ，则2ABF ∆的面积1141222S lr a a ==⨯=，又121211||||23322S F F y y =-=⨯⨯=， 则23a =，解得32a =， 又1c =，则23e =， 故答案为：23． 【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系综合，考查了应用意识，属于基础题16．（5分）如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为．【分析】取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与PD 所成角的余弦值． 【解答】解：取AC 的中点O ，连结OP ，OB ， PA PC =，AC OP ∴⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =， OP ∴⊥平面ABC ，又AB BC =，AC OB ∴⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，PAC ∆是等腰直角三角形，4PA PC ==，ABC ∆为直角三角形，A ∴，0，0)，(C -0，0)，(0P ，0，，D ，0)，∴(AC =-0，0)，(2,PD =-，cos ,||||4AC PD AC PD AC PD ∴<>===∴异面直线AC 与PD ．．【点评】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知数列{}n a 是等差数列，21a t t =-，24a =，23a t t =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为递增数列，数列{}n b 满足2log n n b a =，求数列{(1)}n n a b -的前n 项和n S ． 【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式．（2）根据（1）的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求和． 【解答】解：（1）数列{}n a 是等差数列，21a t t =-，24a =，23a t t =+． 则：2132a a a =+，所以：228t t t t ++-=， 解得：2t =±．①当2t =时，12a =，公差2d =， 所以：2n a n =．②当2t =-时，16a =，公差2d =-， 所以：82n a n =-．（2）由于：数列{}n a 为递增数列， 则：2n a n =．数列{}n b 满足2log n n b a =， 则：4n n b =．则：(1)(21)4n n n a b n -=-所以：121434(21)4n n S n =++⋯+-①， 23141434(21)4n n S n +=++⋯+-②．①-②得：23134242424(21)4n n n S n +-=+++⋯+--， 2114(14)42(21)43n n n -+-=+---．所以：1(65)4209n n n S +-+=．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．18．（12分）为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．【分析】（1）由统计图得200名司机中送考一次的有20人，送考两次的有100人，送考三次的有80人，由此能求出该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数．（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一人参加2次送考”为事件A ，这两人中“一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件B ，这两人中“一人参加1次，别一人参加3次送考”为事件C ，“这两人参加次数相同”为事件D ，则(1)P X P ==（A ）P +（B ）100199=，(2)P X P ==（C ）16199=，(0)P X P ==（D ）83199=，由此能求出X 的分布列及数学期望．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考一次的有20人， 送考两次的有100人，送考三次的有80人，∴该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数为：201100280323200⨯+⨯+⨯=次．（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一人参加2次送考”为事件A ， 这两人中“一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件B ， 这两人中“一人参加1次，别一人参加3次送考”为事件C ， “这两人参加次数相同”为事件D ，则(1)P X P ==（A ）P +（B ）1111201001002022200200100199C C C C C C =+=， (2)P X P ==（C ）112030220016199C C C ==， (0)P X P ==（D ）2222010010220083199C C C C ++==， X ∴的分布列为：8310016132()012199199199199E X =⨯+⨯+⨯=． 【点评】本题考查平均数和离散型随机变量的分布列与期望，考查数据处理能力及应用意识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12分）已知函数32()(,)f x x ax bx a b R =++∈的图象过点(1,2)P 且在13x =处取得极值点．（1）求a 、b 的值（2）求 函数()f x 的单调区间． （3）求 函数()f x 在[1-，1]上的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a ，b 的方程组，解出并检验即可； （2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （3）根据函数的单调性，求出函数的在闭区间上的最值即可． 【解答】解：（1）函数32()(,)f x x ax bx a b R =++∈的图象过点(1,2)P f ∴（1）2=，1a b ∴+=，又函数()f x 在13x =处取得极值点， 1()03f '∴= 因 2()32f x x'=+ 231ax b a b +∴+=- ⋯（4分） 解得4a =，3b =-， 经检验13x =是()f x 极值点 ⋯（6分） （2）由（1）得2()383f x x x '=+-， 令()0f x '>，得 3x <-或13x >， 令()0f x '<，得133x -<<， 函数()f x 的单调增区间为(,3)-∞-，1(3，)+∞，函数()f x 的单调减区间为1(3,)3- ⋯（8分）（3）由（2）知，又函数()f x 在13x =处取得极小值点14()(1)6327f f =--=，f （1）2=⋯（10分）函数()f x 在[1-，1]上的最大值为6，最小值为427-⋯（12分） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题． 20．已知点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上，A ，B 是抛物线上异于M 的两点，以AB 为直径的圆过点M ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）过点M 作直线AB 的垂线，求垂足N 的轨迹方程．【分析】（1）先求出抛物线方程，再设直线AB 的方程为y kx m =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据韦达定理和向量的数量积可得即25m k =+，或21m k =-+，即可求出定点坐标，（2）由（Ⅰ）设直线AB 恒过定点(2,5)R -，则点N 的轨迹是以MR 为直径的圆且去掉(2,1)±，问题得以解决【解答】证明：（Ⅰ）点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上， 14a ∴=，解得14a =， ∴抛物线的方程为24x y =，由题意知，故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立得24x yy kx m⎧=⎨=+⎩，消y 可得2440x kx m --=，得124x x k +=，124x x m =，由于MA MB ⊥， ∴0MA MB =，即1212(2)(2)(2)(2)0x x y y --+--=， 即121212122()()50x x x x y y y y -++-++=，(*)1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x km x x m =+++，代入(*)式得224865k k m m +=-+，即22(22)(3)k m +=-，223k m ∴+=-，或223k m +=-，即25m k =+，或21m k =-+，当25m k =+时，直线AB 方程为(2)5y k x =++，恒过定点(2,5)，经验证，此时△0>，符合题意，当21m k =-+时，直线AB 方程为(2)5y k x =++，恒过定点(2,1)，不合题意，∴直线AB 恒过点(2,5)-，（Ⅱ）由（Ⅰ）设直线AB 恒过定点(2,5)R -，则点N 的轨迹是以MR 为直径的圆且去掉(2,1)±，方程为22(3)8x y +-=，1y ≠．【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及圆的有关性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21．（12分）如图，在五面体ABCDPN 中，棱PA ⊥底面ABCD ，2AB AP PN ==．底面ABCD 是菱形，23BAD π∠=． （Ⅰ）求证：//PN AB ；（Ⅱ）求二面角B DN C --的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出//AB 面CDPN ．由此能证明//AB PN ．（Ⅱ）取CD 的中点M ，则A M A B ⊥，以A 点为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出二面角B DN C --的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在菱形ABCD 中，//AB CD ，CD ⊂面CDPN ，AB ⊂/面CDPN ，//AB ∴面CDPN ．又AB ⊂面ABPN ，面ABPN ⋂面CDPN PN =，//AB PN ∴．解：（Ⅱ）取CD 的中点M ，则由题意知AM AB ⊥，PA ⊥面ABCD ，PA AB ∴⊥，PA AM ⊥．如图，以A 点为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则(2B ，0，0)，(1C0)，(1D -0)，(1N ，0，2)，∴(3BD =-0)，(2DN =，2)，(2CD =-，0，0)．设平面BDN 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则30220n BD x n DN x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，令1x =，则(1n =1)2， 设平面DNC 的一个法向量为(m x =，y ，)z ，则22020m DN x z m CD x ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取z =(0m =，2，52cos ,||||1774m n m n m n ∴<>=== ∴二面角B DN C --．【点评】本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,3)A ，且离心率12e =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点(0,4)B -的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足167OM ON =（其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知条件推导出2222212491c a ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，由此能求出椭圆C 的标准方程． （2）设直线l 的方程为4y kx =-，联立22411612y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(43)32160k x kx +++=，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l 的方程．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,3)A ，且离心率12e =， ∴2222212491c a ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a =，2c =，b == ∴椭圆C 的标准方程是2211612x y +=． （2）设直线l 的方程存在，若l 的斜率不存在，则(0M，，(0,N -，此时12OM ON =，不成立．若l 的斜率k 存在，则l 的方程为4y kx =-， 联立22411612y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(43)32160k x kx +++=， △0>，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则1223243k x x k +=-+，1221643x x k =+， 212121212(4)(4)4()16y y kx kx k x x k x x =++=+++， 167OM ON =， 212121212(1)4()16x x y y k x x k x x ∴+=++++22221616128161643437k k k k +=-+=++， 解得21k =．∴直线l 的方程为4y x =±+．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．23．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求点A 到平面PCD 的距离．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO 垂直平面ABCD 中的两条相交直线垂直即可；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B ，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用等体积法建立等量关系，可求得点A 到平面PCD 的距离．【解答】解：（Ⅰ）证明：在PAD ∆卡中PA PD =，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥． 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）连接BO ，在直角梯形ABCD 中，//BC AD ，22AD AB BC ==，有//OD BC 且OD BC =，所以四边形OBCD 是平行四边形，所以//OB DC ．由（Ⅰ）知PO OB ⊥，PBO ∠为锐角，所以PBO ∠是异面直线PB 与CD 所成的角．因为222AD AB BC ===，在Rt AOB ∆中，1AB =，1AO =，所以OB =，在Rt POA ∆中，因为AP 1AO =，所以1OP =，在Rt PBO ∆中，PB ==，cosOB PBO PB ∠=所以异面直线PB 与CD（Ⅲ）由（Ⅱ）得CD OB =，在Rt POC ∆中，PC ==所以PC CD DP ==，32PCD S ∆==． 又S △112AD AB ==， 设点A 到平面PCD 的距离h ，由P ACD A PCD V V --=，得1133ACD PCD S OP S h ∆∆=，即111133h ⨯⨯=，解得h =【点评】本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．。
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河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样2.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）A ．28B ．23C ．18D ．133.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()112mod3=.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．21B ．22C ．23D ．244.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg )分别为12,,,n x x x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A. 12,,,n x x x 的平均数B. 12,,,n x x x 的标准差C.12,,,n x x x 的最大值D. 12,,,n x x x 的中位数5.已知直线,m l ,平面,αβ,且,m l αβ⊥⊂，给出下列命题：①若//αβ，则m l ⊥；②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥； ④若//m l ，则αβ⊥.其中正确的命题是（ ）A.①④B.③④C.①②D.②③6.供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[)[)[)[)[]0,10,10,20,20,30,30,40,40,50五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人B.12月份人均用电量不低于20度的有500人C.12月份人均用电量为25度D.在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[)30,40—组的概率为1107.已知,x y 满足条件002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =+从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．148.过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ） A ．30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．324ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦， 9.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()1x f x e =-，则()()20162017f f +-=（ ）(其中e 为自然对数的底）A ．1e -B ．1e -C ．1e --D ．1e +10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，163,6,2AB AC AE ED === ，则AE EB ⋅ 等于（ ）A ．14-B ．9-C ．9D ．1411.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（ ）A ．23πB ．34πC ．56πD ．35π 12.在直角坐标系内，已知()3,5A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A )重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆上存在点P ，使得()0MP CP CN ⋅-= ，其中点()(),0,0M m N m -、，则m 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，有,,,,,A B C D E 5组数据，去掉 组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用A B C D E 、、、、作答）14.过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A B 、两点，则AB = ．15.已知12F F 、为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B 、两点若2212F A F B +=，则AB = ．16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元， 该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，120C =︒.（1）若1c =，求ABC ∆面积的最大值；（2） 若2a b =，求 t tan A .18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程 y bx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？ （参考公式：()()()1122211n n i i i i i i n n i i i i x x y yx y nx y b xx x nx ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）参考数据：1125132912268161092⨯+⨯+⨯+⨯=，22221113128498+++=.19.如图，四面体ABCD 中，O E 、分别是BD BC 、的中点，2CA CB CD BD ====,2AB AD ==.（1）求证：//OE 平面ACD ；（2）求直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值.20.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停：（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2, 3, 4, 5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由.（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00〜8:00到达，乙船将于早上7:30〜8:30到达，请求出甲船先停靠的概率.21.如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =；（2）若11,,3AC AB CBB AB BC π⊥∠==，求二面角111A A B C --的余弦值.22.已知椭圆()2222 0:1x y C a ba b =>>+的右焦点()1,0F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点()(),00T t t ≠，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅ ？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5: CDCCA 6-10: CBBAD 11、12：AB二、填空题13. D 14. 16315. 8 16. 27 三、解答题17. 解：设（1）由余弦定理得222cos1201a b ab +-︒=，22123a b ab ab ab ab ++=≥+=，当且仅当a b =时取等号；解得13ab ≤， 故133sin 2412ABC S ab C ab ∆==≤，即ABC ∆面积的最大值为312. （2）因为2a b =，由正弦定理得sin 2sin A B =，又120C =︒，故60A B +=︒， ∴()sin 2sin 603cos sin A A A A =︒-=-， ∴3cos 2sin A A =， ∴3tan 2A =. 18.（1）由数据求得11,24x y == 由公式求得187b =再由307a y bx =-=- 所以y 关于x 的线性回归方程为 183077y x =-（2）当10x =时， 1507y =，1502227-<； 同样，当6x =时， 787y =，781227-< 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.19.（1）证明：连结OE ,∵O E 、分别是BD BC 、的中点.∴//OE CD , 又OE ⊄平面ACD ,CD ⊂平面ACD ,∴//OE 平面ACD（2）法一：连结OC ,∵,BO DO AB AD ==,∴AO BD ⊥.∵,BO DO BC CD ==,∴CO BD ⊥.在AOC ∆中，由已知可得1,3AO CO ==.而2AC =,∴222AO CO AC +=,∴AO OC ⊥.∵BD OC O ⋂=,∴AO ⊥平面BCD .以OB OC OA 、、分别为x y z 、、轴，建立如图所示的直角坐标系 ()()()()0,0,1,1,0,0,0,3,0,1,0,0A B C D -设平面ACD 的法向量(),,x y z η= ，由()()1,0,1,1,3,0DA DC == 则有 030x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =-，得31,,13η⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭又因为()0,3,0OC = ，所以7sin 7OC OC ηαη⋅== 故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为:77.。