12.1全等三角形的概念和性质
12.1全等三角形全等三角形的性质(教案)
本节课旨在让学生在掌握全等三角形知识的基础上，全面提升学科核心素养，为学生的终身发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）全等三角形的定义：理解全等三角形的含义，掌握全等三角形的判定条件。
-举例：强调全等三角形是大小和形状完全相同的三角形，要求学生对SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法熟练掌握。
2.教学难点
（1）全等三角形的判定方法的区分与应用：学生容易混淆SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法，不知道在具体情况下如何选择。
-举例：通过典型例题和练习，帮助学生区分各种判定方法，并指导他们在实际问题中灵活运用。
（2）全等三角形性质的应用：学生在解决问题时，往往不知道如何运用全等三角形的性质。
-举例：针对这一问题，设计不同类型的题目，指导学生运用全等三角形的观察和想象全等三角形的过程中，可能存在一定的困难。
-举例：利用几何画板、实物模型等教具，帮助学生培养空间想象能力。
（4）团队合作能力的培养：学生在小组讨论和合作探究过程中，可能存在沟通不畅、分工不明确等问题。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的基本概念、判定方法和在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对全等三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节课后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生们对全等三角形的定义和性质的理解程度参差不齐。在讲授过程中，我尽量用简单明了的语言解释全等三角形的判定方法，并通过实例让学生们更好地理解。但我也意识到，对于一些学生来说，这些概念仍然难以消化。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，采用更为直观和生动的方式，帮助他们真正掌握全等三角形的判定方法和性质。
全等三角形与三角形全等的判定(SSS)知识点
====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集 12.1 全等三角形一、全等形：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．说明：如果两个或两个以上的图形全等，那么这些图形放在一起就能完全重合。
这里的重合包括两层含义：一是形状相同，二是大小相等，二者缺一不可。
二、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，•重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．全等用符号用“≌”表 示．如△ABC 与△DEF 全等，则可表示为△ABC ≌△DEFA B C D E F B(E)注意：1、对应边与对边，对应角与对角的区别。
对应边、对应角是对两个三角形而言的，对边、对角是对同一个三角形的边和角的关系而言的。
2、在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置时，这样容易写出对应边、对应角。
3、由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，•公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）三、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
说明：1、因为全等三角形能够完全重合，所以对应边上的中线、高线和对应角的角平分线也相等，全等三角形的周长相等，面积相等。
很多情况下，全等三角形的性质可以用来证明线段或角相等。
2、全等三角形有传递性，若△ABC 与△DEF 全等，△DEF 与△MNP 全等，则△ABC 与△MNP 也全等。
三角形全等的判定（SSS ）一、判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS ”）．二、判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．三、例题：如图所示，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架，求证△ABD ≌△ACD ．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中,,.AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．。
人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形 知识点归纳
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形知识点归纳12.1全等三角形经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个图形叫做全等形。
经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
例1、△ABC≌△DEF读作：三角形ABC全等于三角形DEF。
把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
用“≌”表示两个图形全等的时候，必须把对应的顶点写在对应的位置上。
例2、已知△ABC≌△DEF，那么就说明：①点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F③AB=DE，AC=DF，BC=EF用“全等于”这个词表示两个图形全等的时候，顶点不一定有一一对应关系。
例3、已知△ABC全等于△DEF，那么点A不一定对应D，点A也可能对应点E或者点F 。
全等三角形的性质：①对应边相等②对应角相等③角平分线、中线、高分别对应相等④周长相等⑤面积相等12.2三角形全等的判定全等三角形的判定依据：①三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS ”。
②两边一夹角对应相等的两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS ”。
③两角一夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA ”。
④两角一对边对应相等的两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS ”。
⑤一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边直角边”或“HL ”。
温馨提示：“SSA ”和“AAA ”不能证明两个三角形全等。
全等三角形的证明格式：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 的证明格式： HL 的证明格式：在△ABC 与△DEF 中 在Rt △ABC 与Rt △DEF 中∵{ 条件1条件2条件3∵{条件1条件2 ∴△ABC ≌△DEF （条件） ∴△ABC ≌△DEF （HL ）12.3角的平分线的性质如果从一个角的顶点引出一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线。
人教版八年级上册数学教学设计《12.1 全等三角形》
人教版八年级上册数学教学设计《12.1 全等三角形》一. 教材分析《12.1 全等三角形》是人教版八年级上册数学的一个重要章节，主要内容包括全等三角形的概念、全等三角形的性质、全等三角形的判定方法等。
本章通过全等三角形的学习，培养学生对几何图形的认识和理解，提高学生的空间想象力，为后续几何学习打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，对三角形的性质和判定方法有一定的了解。
但全等三角形作为三角形的一个重要分支，其概念和性质较为抽象，学生理解和掌握全等三角形的难度较大。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出全等三角形的概念，并通过大量的实例分析，使学生熟练掌握全等三角形的性质和判定方法。
三. 教学目标1.了解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质和判定方法。
2.培养学生对几何图形的认识和理解，提高学生的空间想象力。
3.培养学生运用全等三角形的知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.全等三角形的概念及其性质。
2.全等三角形的判定方法。
3.全等三角形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出全等三角形的概念。
2.通过大量的实例分析，使学生熟练掌握全等三角形的性质和判定方法。
3.运用多媒体辅助教学，提高学生的空间想象力。
4.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关教学课件和教学素材。
2.设计具有代表性的例题和练习题。
3.准备全等三角形的模型或图片，用于直观展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实际问题，如拼图、制作模型等，引导学生思考：如何判断两个三角形是否完全相同？从而引出全等三角形的概念。
2.呈现（10分钟）介绍全等三角形的定义、性质和判定方法。
通过PPT展示全等三角形的图形，让学生直观地感受全等三角形的特征。
同时，给出全等三角形的判定方法，如SSS、SAS、ASA、AAS等。
八年级数学上册 12.1《全等三角形》知识讲解 全等三角形的概念和性质(提高)素材 (新版)新人教版
全等三角形的概念和性质〔提高〕【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确识别全等三角形的对应元素.2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如以下列图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法〔1〕全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；〔2〕全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；〔3〕有公共边的，公共边是对应边；〔4〕有公共角的，公共角是对应角；〔5〕有对顶角的，对顶角一定是对应角；〔6〕两个全等三角形中一对最长的边〔或最大的角〕是对应边〔或角〕，一对最短的边〔或最小的角〕是对应边〔或角〕，等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、请观察以下列图中的6组图案，其中是全等形的是__________.【答案】〔1〕〔4〕〔5〕〔6〕；【解析】〔1〕〔5〕是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，〔4〕是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，〔6〕是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，〔2〕〔3〕形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B 与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，假设运动方向相同，那么称它们是真正合同三角形(如图1)，假设运动方向相反，那么称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，那么必须将其中一个翻转180°，以下各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )【答案】B；提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，那么必须将其中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，应选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABD≌△CDB，假设AB∥CD，那么AB的对应边是〔〕A．DB B. BC C. CD D. AD【答案】C【解析】因为AB∥CD，所以∠CDB＝∠ABD，这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，所以，BC和DA为对应边，所以AB的对应边为CD.【总结升华】公共边是对应边，对应角所对的边是对应边.类型三、全等三角形性质3、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于〔〕．A.60°B.45°C.30°D.15°【思路点拨】△AFE是由△ADE折叠形成的，由全等三角形的性质，∠FAE＝∠DAE，再由∠BAD＝90°，∠BAF＝60°可以计算出结果.【答案】D；【解析】因为△AFE是由△ADE折叠形成的，所以△AFE≌△ADE，所以∠FAE＝∠DAE，又因为∠BAF＝60°，所以∠FAE＝∠DAE＝90602︒-︒＝15°.【总结升华】折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系，抓住全等三角形对应角相等来解题.举一反三：【变式】如图，在长方形ABCD中，将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，假设∠1＝35°，那么∠2＝________.【答案】35°；提示：将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，所以∠2＝∠CBD，又因为AD∥BC，所以∠1＝∠CBD，所以∠2＝35°.4、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，假设∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.【思路点拨】〔1〕由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；〔2〕由全等三角形的性质求∠EBC，∠BCD的度数；〔3〕运用外角求∠α的度数.【答案】∠α＝80°【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，∴28x＋5x＋3x＝36x＝180°，x＝5°即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，∴△ABE≌△ADC≌△ABC∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°【总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例〞设未知数x是比较常用的解题思路.举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，那么∠BCM：∠BCN等于〔〕A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4【答案】D；提示：设∠A＝3x，∠ABC＝5x，∠BCA＝10x，那么3x＋5x＋10x＝18x＝180°，x＝10°. 又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠B＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.。
人教版初中数学第十二章知识点总结
第十二章全等三角形12.1全等三角形1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。
3.全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
△ABC与△DEF全等，记作：△ABC≌△DEF注意：表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
4.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
5.平移、翻折、旋转前后的两个图形全等。
6.找全等三角形对应边、对应角的规律：（1）有公共边的两个三角形全等，公共边一定是对应边；有公共角的两个三角形全等，公共角一定是对应角；有对顶角的两个三角形全等，对顶角一定是对应角；（2）在全等三角形中，最大边与最大边是对应边，最大角与最大角是对应角。
（3）在全等三角形中，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。
12.2全等形的判定1.已知：如图△ABC求作：△A´B´C´,使B´C´=BC、B´A´=BAC´A´=CA。
作法：（1）作线段B´C´=BC；（2）分别以点B´、C´为圆心，线段AB、AC长为半径画弧，两弧交于A´；（3）连接´A´B´、A´C´；则△A´B´C´为所求。
2.判定方法1：三边分别相等的两个三角形全等。
（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
3.尺规作图2：作一个角等于已知角已知：∠AOB求作;∠A´O´B´,使∠A´O´B´=∠AOB作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C，D；(2)画一条射线O´A´，以点O´为圆心OC长为半径画弧，交O´A´于点C´;(3)以C´为圆心，CD长为半径画弧与第2步中所画的弧相交于点D´；（4）过点D´画射线O´B´,则∠A´O´B´=∠AOB。
人教版八年级上册数学教案《12.1 全等三角形》
人教版八年级上册数学教案《12.1 全等三角形》一. 教材分析《12.1 全等三角形》是人教版八年级上册数学的重要内容，主要让学生了解全等三角形的概念，性质及判定方法。
全等三角形是几何学习中的基础，对于培养学生空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
本节课的内容为后续学习三角形相似、解三角形等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本知识，如三角形的性质、分类等。
但全等三角形的概念、性质和判定方法较为抽象，对于部分学生来说，理解起来有一定难度。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，深入理解全等三角形的概念和性质。
三. 教学目标1.了解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。
2.学会用SSS、SAS、ASA、AAS四种方法判定两个三角形全等。
3.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
4.渗透转化思想，培养学生合作交流、积极思考的习惯。
四. 教学重难点1.全等三角形的概念及判定方法。
2.运用判定方法判断两个三角形是否全等。
五. 教学方法1.采用情境教学法，激发学生学习兴趣。
2.运用猜想验证法，引导学生主动探究。
3.采用合作交流法，培养学生的团队协作能力。
4.利用多媒体辅助教学，提高教学效果。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、图片、实物等。
2.准备三角形模型、量具等实验器材。
3.设计好课堂练习题和课后作业。
七. 教学过程导入（5分钟）1.利用多媒体展示生活中的全等三角形实例，如折纸、拼图等，引导学生关注全等三角形的概念。
2.提问：什么是全等三角形？全等三角形的性质有哪些？呈现（10分钟）1.呈现全等三角形的定义：如果两个三角形的对应边和对应角都相等，那么这两个三角形叫做全等三角形。
2.引导学生观察、分析全等三角形的性质，如对应边相等、对应角相等等。
操练（10分钟）1.学生分组进行实验，利用量具和三角形模型，自行判断两个三角形是否全等。
12.1全等三角形-规范版
B
2、把两个三角形重合到一起． 对应边是 AB 和∠ DE ， 对应角是 ∠ A和 D ，
C
E
F
重合的顶点叫做对应顶点， AC ， BC EF; ∠ B和DF ∠E, ∠ C 和∠ F 对应顶点是点 A和点D， 重合的边叫做对应边，
点 B和点E，点C和点F； 重合的角叫做对应角。
二、全等三角形的表示
12.1 全等三角形
本节必会知识：
• 理解全等三角形及有关概念， 找出全等三角形的对应顶点、 对应边和对应角 • 掌握全等三角形的性质
看一看 下列各组图形的形状与大小有
什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
思考:他们能完全重合吗?
下列两三角形是怎样由一个三角 形得到另一个三角形？它们有什 么特点？
A
∵△ABC≌△ADE
∴AB=AD,AC=AE, BC=DE
B
E
C
D
∴∠A=∠A,∠B=∠D, ∠ACB= ∠AED. 规律三：有公共角的，公共角是对应角
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角
A
E
B
∵△ABC≌△FDE ∴AB=FD,AC=FE, BC=DE ∴∠A=∠F, ∠B=∠D, ∠ACB= ∠FED.
内 容 小 结
1. 能够完全重合的两个图形叫做 全等形 。 2.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 对应顶点 其中：互相重合的顶点叫做_________ 对应边 互相重合的边叫做＿＿＿＿ 互相重合的角叫做＿＿＿ 对应角 4.全等三角形的 对应边 和 对应角相等
3.“全等”用符号“ ”来表示，读作“ 全等于” ≌
D C
F
规律四：一对最长的边是对应边 一对最短的边是对应边 规律五：一对最大的角是对应角 一对最小的角是对应角
人教版数学八年级上册说课稿12.1《全等三角形》
人教版数学八年级上册说课稿12.1《全等三角形》一. 教材分析《全等三角形》是人教版数学八年级上册第12章的一部分，本节课的主要内容是让学生掌握全等三角形的概念、性质和判定方法。
通过学习全等三角形，为学生后面学习三角形相似、解三角形等知识打下基础。
教材从生活实例出发，引出全等三角形的概念，接着介绍全等三角形的性质和判定方法，最后通过练习巩固所学知识。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了相似三角形的知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于全等三角形的概念和判定方法，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，深入理解全等三角形的本质，提高学生的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握全等三角形的概念、性质和判定方法，能运用全等三角形的知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：全等三角形的概念、性质和判定方法。
2.教学难点：全等三角形的判定方法及其应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、启发式教学法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：从生活实例出发，引导学生观察、思考，引出全等三角形的概念。
2.自主学习：让学生通过教材和学案，自主学习全等三角形的性质和判定方法。
3.合作探究：学生分组讨论，通过观察、操作、思考、交流等活动，探索全等三角形的判定方法。
4.教师讲解：针对学生的探究成果，教师进行讲解和总结，让学生深入理解全等三角形的性质和判定方法。
5.练习巩固：布置课后练习，让学生运用所学知识解决问题，巩固全等三角形的知识。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出全等三角形的概念、性质和判定方法。
第十二章 全等三角形讲义
例 3. (利用全等三角形证明角等、边等、平行) 如图，AB=CD，BF=DE，E、F 是 AC 上两点，且 AE=CF．求证 AB//CD. 举一反三： 1. 已知：如图：BE=CF，AB=DE，AC=DF ，求证：求证 AC//FD. 2. 已知：如图，A、E、F、B 在一条直线上，AC=BD , AE=BF，CF=DE。求证：AC∥BD 3. 如图，已知：AB=AC，BE=CE ，E 为 AD 上一点，求证：∠BED=∠CED。 4.如图，已知 AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，B，D，E 三点在同一直线上，求证：∠3＝∠1＋∠2.
例 2. （认识图形条件--对顶角）如图，AD,BC 相交于点 O，OA=OD，OB=OC．求证：BA∥CD. 1. 如图，OA=OC,OB=OD,求证： DA∥CB.
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例 3. (差条件需要先行证明---角)如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC，求证：△ABC≌△ADE． 举一反三： 1.如图，已知，∠AOB=90o，∠EOF=90o，OA=OB,OE=OF,连结 AE、BF． 求证： AE=BF.
举一反三： 1.如图,已知:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求证:△ABC≌△DEF.
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2.如图,已知 AD⊥BC,D 为 CB 的中点,求证: △ABD≌△ACD. 3. 已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．
4.如图，点 E，F 在 BC 上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：△ABF≌△DCE. 课后练习: 1.已知：AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA． 2.如图：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE.求证：∠B=∠C. 3.已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4。
12.1全等三角形的性质
12.1全等三角形的性质一．【知识要点】1.全等用符号"≌"表示，读作"全等于"。
如△ABC ≌△DEF ，读作"三角形ABC 全等于三角形DEF"。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
二．【经典例题】1．如图，已知△ABC ≌△BAD ，BC =AD ，写出其他的对应边 和对应角 ．2．如图所示，，的延长线交于，交于，，，，则的度数为 ．3.如图，△ACF ≌△DBE ，AD ＝9cm ，BC ＝5cm ，求AB 的长.4.（8分）如图，已知△ABC △△DEB ，点E 在AB 上，DE 与AC 相交于点F ，已知△D ＝35°，△C ＝60°，（1）求△DBC 的度数；（2）求△AFD 的度数．ABC ADE △≌△BC DA F DE G 105ACB AED ∠=∠=15CAD ∠=30B D ∠=∠=1∠5．(2022年绵阳期末第14题）如图，在三角形纸片ABC 中，AC ＝6cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在边AB 上的点E 处，折痕为BD ，AE ＝3cm ，则△AED 的周长等于 cm ．三．【题库】【A 】1. 若△MNP ≅△NMQ, 且MN=5, PN=4, PM= 2, MQ 的长为 （ ）A.5B.4C.2D.32．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ）Ａ．①②③④ Ｂ．①③④ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④3．一个正方形的侧面展开图有（ ）个全等的正方形.A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个4．已知：///ABC A B C ∆∆≌，/A A ∠=∠，/B B ∠=∠，70C ∠=︒，15AB cm =，则/C ∠=_________，//A B =__________．5.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°6.如图,△ABC绕点A顺时针旋转得到△AEF,若∠B=100°,∠F=50°,∠BAE=80°,则∠CAE的度数是___________.7．如图，下列三角形中全等的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【B】1．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能得到这两个图形全等的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个cm，则△A′B′C′的面积为______ 2．已知△ABC≌△A′B′C′，若△ABC的面积为10 22cm，若△A′B′C′的周长为16 cm，则△ABC的周长为________cm．3．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100 cm，A、B分别与D、E对应，且AB＝35 cm，DF=30 cm，则EF的长为( )A．35 cm B．30 cm C．45 cm D．55 cm4．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝______．5．△ABC中，∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝____．6.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高.中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )A.3个B.2个C.1个D.0个【C】1. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3= .【D】1.已知等腰△ABC的周长为18cm，腰BC＝8cm，若△AB C≌△A′B′C′,则△A′B′C′一定有一条边等于（）。
专题12.1 全等三角形(解析版)
专题12.1 全等三角形1.基本概念（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上）（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.【例题1】如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．求证：BD＝CE．【答案】见解析。
【解析】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD．又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD＝CE．【点拨】在利用角边角判定该定理证明全等后，全等三角形对应边相等。
【例题2】已知，如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，BC∥EF．则不正确的等式是（）A．AC=DF B．AD=BE C．DF=EF D．BC=EF【答案】C．【解析】A．∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，故此结论正确；B．∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE；∵DB是公共边，∴AB﹣BD=DE﹣BD，即AD=BE；故此结论正确；C．∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，故此结论DF=EF错误；D．∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，故此结论正确。
【点拨】考查平行线性质，全等三角形对应边相等。
【例题3】如图，若△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°，则∠E等于（）A．35°B．45°C．60°D．100°【答案】D．【解析】∵△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°∴∠D=∠A=45°∴∠E=180°﹣∠D﹣∠F=100°．【点拨】全等三角形对应角相等。
12.1全等三角形——中点模型 学案 2022-2023学年人教版数学八年级上册
12.1全等三角形——中点模型学案一、学习目标1.了解全等三角形的概念和性质。
2.掌握中点模型的方法，能够运用中点模型判断三角形的全等性质。
3.训练解决与全等三角形相关的问题的能力。
二、学习重点1.全等三角形的概念和性质。
2.中点模型的应用。
三、学习工具•教材《数学八年级上册》•笔记本•铅笔四、学习内容1. 全等三角形的概念全等三角形指的是具有相等的三条边和三个角的三角形。
记作∆ABC ≌ ∆DEF。
2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：•边-角-边（SAS）判定法：如果两个三角形的某两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
•边-边-边（SSS）判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
•角-边-角（ASA）判定法：如果两个三角形的夹角和一边分别相等，则这两个三角形全等。
•角-角-边（AAS）判定法：如果两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则这两个三角形全等。
3. 中点模型中点模型是判断三角形全等性质的一种方法。
对于一个三角形ABC，如果它的边AB与另一个三角形DEF的边DE相等，边AC与边DF相等，并且∠BAC ≌ ∠E DF，则可以判断∆ABC ≌ ∆DEF。
4. 中点模型的运用通过中点模型，可以运用以下步骤判断三角形的全等性质：1.找到两个三角形中的一个已知边。
2.找到另一个已知边，并保证其与第一步找到的边对应的顶角相等。
3.找到两个已知边对应的顶角，并保证其相等。
五、学习步骤1.阅读教材第12.1节的内容，了解全等三角形的概念、性质和判断方法。
2.运用中点模型判断以下三角形是否全等。
–∆ABC，AB = 5 cm，AC = 7 cm，∠A = 38°–∆DEF，DE = 5 cm，DF = 7 cm，∠D = 38°3.完成教材第12.1节的练习题，巩固对全等三角形的理解和运用。
4.尝试解决以下问题：–已知∆ABC ≌ ∆DEF，AB = 4 cm，AC = 6 cm，BC = 7 cm，求EF的长度。
集体备课-——12、1全等三角形
12.112.1全等三角形课堂教学结构及流程的建议一、创设情景，引入新课现在来观察下面这些图形（出示投影片），它们能够完全重合吗？是全等图形吗？从而引出全等三角形。
二、活动探究，探索新知1.全等三角形的定义全等三角形是全等图形的一种，哪位同学来概括：什么是全等三角形？定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.2.全等三角形中的对应元素幻灯片演示：△ABC与△DEF重合（电脑演示重合过程），这时，点A与点D重合.点B与点E重合.我们把这样互相重合的一对点就叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角.问题：你能找出其他的对应点、对应边和对应角吗？点C与点F是对应点，BC边与EF边是对应边，CA边与FD边也是对应边.∠B与∠E是对应角，∠C与∠F也是对应角.3.全等三角形的表示方法平行、垂直都有符号表示，那么全等用什么符号来表示呢？如图（1），△ABC与△XYZ全等，我们把它记作：“△ABC≌△XYZ”.读作“△ABC全等于△XYZ”.即这两个三角形能够完全重合.图（1）注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如图（2）：点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点，记作：△ABC≌△DEF.想一想：问题：能否记作∆ABC ≌∆DFE?应该记作：∆ABC ≌∆DEF原因:A 与D 、B 与F 、C 与E 对应。
对应顶点要写在对应位置上。
4.全等三角形的性质利用投影片演示两个三角形重合过程性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等用几何语言表示： 如图，∵∆ABC ≌ ∆DEF∴A B=D E ，A C=D F ，B C= E F三、练习巩固，体验收获练习巩固：课本P32练习第1、2题课堂小结：1、本节中你学习了哪些内容？2、你有哪些收获和体会？师生共同交流、总结。
四、作业设置：习题12.1第1、2、3、4题。
A B C DE F重、难点及其处理方法教学重点1、全等三角形以及相2、探索全等三角形关概念．的性质．教学难点不同情况下的三角形全等的图形归纳．重点关注在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。
12.1 全等三角形课件
探索新知
探索新知
有一条边对应相等的三角形
有一个角对应相等的三角形
探索新知
两条边
两个角
一边一角
6cm
30° 50° 50°
30° 3cm
探索新知
1、三个角
90°
90°
30°
60°
60°
不不一一定定全全等等
探索新知
2、三条边 小 游 戏 —— 拼三角形
探索新知
2、三条边
三边对应相等的两个三角形全等， 简写为“边边边”或“SSS”。
2
0
1
9
探索三角形
全等的条件（1）
回顾知识
01.全等三角形的概念 02.全等三角形的性质
C
A
B
D
F E
回顾知识
C
F
A
B
D
E
边：AB=DE，AC=DE，BC=EF 角：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
想一想
为班级文化建设，装饰教室，现在需要每人做一面三 角形的彩旗，你需要知道几个与边或角有关的条件才能做 出一个和它全等的彩旗呢？
BE＝CD(已证) △ABE≌△ACD(SSS)
BE
DC
练一练
如图，AB=CD，BF=DE，E，F是AC上两点，且 AE=CF.请你判断BF与DE的位置关系，并说明理由.
取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其 中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？
取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边， 这个四边形的形状改变了吗？钉成 一个五边形， 又会怎么样？
学习目标
①经历探索三角形全等条件的过程，体会 利用操作、归纳、获得数学结论的过程；
②掌握利用“边边边”作为条件判定三角 形全等的方法，能进行简单推理。
人教版八年级上册12.1全等三角形辅导教案
举例解释：
-通过对比图表，突出SSS、SAS、ASA、AAS定理的条件差异，帮助学生记忆。
-设计实际应用题，如建筑物的平面图中有全等三角形的应用，让学生练习如何使用全等定理来解决问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解全等三角形的基本概念。全等三角形是指能够完全重合的两个三角形。它们在形状和大小上完全相同，是几何学中的基本概念，广泛应用于实际问题中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何使用SSS定理判断两个三角形全等，并解决实际问题。
-在综合几何问题中，如多边形内角和的证明，引导学生运用全等三角形的性质，将复杂问题转化为已知的全等问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《全等三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状和大小完全相同的两个三角形？”比如，一块玻璃上的裂纹形成的三角形与另一块上的完全一样。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索全等三角形的奥秘。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对全等三角形的概念和判定定理的理解普遍较好。他们能够跟随我的讲解，通过模型和案例来直观感受全等三角形的特性。在导入新课的时候，通过日常生活中的例子来引起学生的兴趣，这个方法看来是有效的，大家都表现得很有好奇心。
让我印象深刻的是，在实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，热烈讨论。他们在解决实际问题时，能够尝也注意到，在具体的案例分析中，部分学生对于判定定理的选择和应用还不够熟练，有时会混淆SSS和SAS定理的使用。
12.1全等三角形
全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等
图形参考
用几何语言表述： ∵ △ABC ≌△DEF， ∴ AB =DE，BC =EF，AC =DF （全等三角形的对应边相等）， ∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F （全等三角形的对应角相等）． B
A
C
D
E
F
填一填
边
边 边 角 AB=DF AC=DE
A
C D F
课堂练习
练习1 如图，△OCA ≌△OBD，点C 和点B， 点A与点D是对应点，则下列结论错误的是（ D ）． （A） ∠COA =∠BOD ； （B） ∠A =∠D ； C B （C） CA =BD ； （D） OB =OA ． O A
D
课堂练习
练习2 △ABN ≌△ACM， ∠ABN 和∠ACM 是对 应角，AB 和AC 是对应边．则下列结论错误的是 （ Ｃ ）． （A）∠AMC =∠ANB ； A （B）∠BAN =∠CAM ； （C）BM =MN ； （D）AM =AN ． B M N C
BC=EF
∠A=∠D ∠B=∠F
角 角
∠ACB=∠DEF
问题： ∆ABC通过怎样的变化得到∆DFE？
填一填
边 边 边
AM=BM
MC=MD AC=BD ∠A=∠B ∠C=∠D ∠AMC=∠BMD
角
AMC BMD角形的性质的运用
例 已知：如图，△ABC ≌△DEF. 10 cm （1）若DF =10 cm，则AC 的长为 （2）若∠A =100°，则： 100° ； ∠D 的度数为 A D
教科书习题12.1第3、5、6 题．
G
N
总结
能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形
人教版八年级数学上册12.1 全等三角形
巩固练习
如右图，已知△ABD≌△ACE，∠C=45°， AC = 8， AE = 5，则∠B = 45°， DC = 3 .
8D
C
5
A 5E B
探究新知
例3 如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm， NH=3.3cm. （1）试写出两三角形的对应边、对应角； 解：（1）对应边有EF和NM，FG 和MH，EG和NH；
链接中考
2. 如图所示，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C，
使点A'落在BC的延长线上.已知∠A=27°，∠B=40°，则
∠ACB'为___4_6___度.
解析：先根据三角形外角的性质求出 ∠ ACA'=∠A+∠B=27°+40°=67°. 再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C，得到 △ABC≌△A'B'C， ∴∠ACB=∠A'CB'. ∴∠ACB–∠B'CA=∠A'CB'–∠B'CA， 即∠BCB'=∠ACA'. ∴∠BCB'=67°. ∴∠ACB'=180°–∠ACA'–∠BCB'=180°–67°–67°=46°.
探究新知
素养考点 2 利用全等三角形的性质求角或线段的值 例2 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°， BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°， ∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， ∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7， ∴CF＝BC–BF＝7–4＝3.
你能指出上面两 个全等三角形的
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人教版数学八年级上第12章全等三角形
12.1全等三角形的概念和性质
基础训练
一、填空题
1．_____的两个图形叫做全等形.
2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____上．
3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．
4．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．
图1－1
5．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____
（2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；
（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．
图1－2
图1－3
6．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．
7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形
二、选择题
8．已知：如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A．DB B．BC C．CD D．AD
9．下列命题中，真命题的个数是（）
①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等
A．4B．3C．2D．1
10．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD ＝4，那么BC等于（）
A．6B．5C．4D．无法确定
图1-4 图1-5 图1-6
11．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC
12．如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）
A．40°B．35°C．30°D．25°
三、解答题
13．已知：如图1－7所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．
图1－7
综合训练
一、填空题
14．如图1－8，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．
图1-8
15．已知：如图1－9，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
图1－9
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
思维训练
16．如图1－10，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你的结论．
图1－10。