【精品】2020年高考数学复习分类测试题☆★☆★课时跟踪检测(三十) 正弦定理和余弦定理(二)
2020高考数学(文科)专题复习课标通用版(跟踪检测)：三角函数、解三角形和平面向量 专题2 第2讲 含答案
A．－ B．
C． D．－
C解析cos ＋sin2 ＝－cos ＋sin2 ＝1－2cos2 ＋1－cos2 ＝2－3cos2 ＝ .故选C项．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
7．已知sin ＝ ，则sin ＝________.
解析因为sin ＝ ，所以cos ＝cos ＝sin ＝ ，又0<α< ，所以 < ＋α< ，所以sin ＝ ＝ ＝ .
答案
8．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ＝ ，则角B＝________.
解析由 ＝ 及正弦定理得 ＝ ，则a2＋c2－b2＝ ac，所以cosB＝ ＝ ，从而B＝ .
2020高考数学（文科）专题复习课标通用版（跟踪检测）：三角函数、解三角形和平面向量 专题2 第2讲 含答案
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时 间：__________________
一部分专题二 第2讲
题型
对应题号
1.三角恒等变换
1,4,5,7,9
2.解三角形
2,3,8,11,12,13,14
答案
14．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2.
图1 图2
(1)图1中，若AD⊥BC，求∠BAC的大小；
(2)图2中，若∠ABC＝ ，求△ADC的面积．
解析(1)设∠BAD＝α，∠DAC＝β.
因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，
所以tanα＝ ，tanβ＝ ，所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝ ＝ ＝1.
2020届高三数学(文)一轮总复习课时跟踪检测 正弦定理和余弦定理Word版含答案
课时跟踪检测正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 2．(2019·长春质检)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：选C ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝ 3.3．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝13，则B ＝( )A.π4B.π3C.π6D.2π3解析：选A 因为cos A ＝13，所以sin A ＝1－19＝223，由正弦定理，得4sin A ＝3sin B，所以sinB ＝22，又因为b <a ，所以B <π2，B ＝π4. 4．(2019·安徽高考)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2.答案：25．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7.答案：7二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，故C 是钝角．2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2019·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以cos B＝32，所以B ＝30°. 4．(2019·南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.5214解析：选C 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， 所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210. 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ， 故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3， 又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________. 解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：17．(2019·南昌二中模拟)在△ABC 中，如果cos(B ＋A )＋2sin A sin B ＝1，那么△ABC 的形状是________．解析：∵cos(B ＋A )＋2sin A sin B ＝1，∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，∴cos(A －B )＝1，在△ABC 中，A －B ＝0⇒A ＝B ，所以此三角形是等腰三角形．答案：等腰三角形8．(2019·丰台一模)已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________．解析：由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3>0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB >BC ，所以A <C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.答案：329．(2019·兰州双基测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．解：(1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717. 10．(2019·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2. (1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝3π4，得 －cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010. 由正弦定理得c ＝22b3，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·衡水中学模拟)已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2aC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：选C ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos 2A ＝－12.∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3， 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝b ＋c24，∴4a 2≥(b ＋c )2，∴2a ≥b ＋c .2．(2019·贵阳监测)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos∠B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长． 解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33，所以cos∠D＝cos 2∠B＝2cos2∠B－1＝－1 3 .因为∠D∈(0，π)，所以sin∠D＝1－cos2∠D＝22 3.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝12AD·CD·sin∠D＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠D＝12，所以AC＝2 3.因为BC＝23，ACsin∠B＝ABsin∠ACB，所以23sin∠B＝ABsinπ－2∠B＝ABsin 2∠B＝AB2sin∠B cos∠B＝AB233sin∠B，所以AB＝4.。
2020年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：3-7正弦定理和余弦定理的应用 Word版含解析
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处．则这只船的航行速度为( )A.1762 海里/时 B ．34 6 海里/时 C.1722海里/时 D ．34 2 海里/时解析：如图，在△PMN 中PM sin45°＝MNsin120°， ∴MN ＝68·32＝346， ∴v ＝MN 4＝1762(海里/时)． 答案：A2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.答案：B3．(2017届广东中山上学期期末)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522 m解析：由题意，得B ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．故选A.答案：A4．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．1米解析：如图所示，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)．答案：C5．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米解析：由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.答案：C6．(2017届湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝()A．5 6 B．15 3C．5 2 D．15 6解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得BCsin30°＝30sin135°，所以BC＝15 2.在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝152×3＝15 6.故选D.答案：D7．在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.4003m B．40033mC.20033m D．2003m解析：如图所示，在Rt △BAC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝200，∴BC ＝AB cos30°＝4003 3. ∵∠EBD ＝30°，∠EBC ＝60°， ∴∠DBC ＝30°，∠BDC ＝120°. 在△BDC 中，DC sin30°＝BC sin120°.∴DC ＝BC ·sin30°sin120°＝40033×1232＝4003(m)．答案：A8．(2017届潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°， ∴∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°. 由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA，∴AC ＝CEsin ∠EAC·sin ∠CEA ＝20 3 m.∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin ∠ACB ＝203×32＝30 m.∵国歌时长为50 s ，∴升旗速度为3050＝0.6 m/s. 答案：0.69．如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos ∠C ＝________.解析：由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223. 在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ， 则由余弦定理得9b 2＝a 2＋4－43a .① 因为∠ADB 与∠CDB 互补， 所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，所以4b 2＋163－41633b＝－b 2＋163－a 2833b，所以3b 2－a 2＝－6，②联立①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3. 在△ABC 中，cos ∠C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝32＋32－222×3×3＝79.答案：7910．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin21.8°≈3314解：如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理，得BC sin ∠CAB＝ABsin120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)， 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23 h 才能靠近渔轮．[能 力 提 升]1．(2018届广东深圳第二次调研)如图，在凸四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，AC ⊥CD ，AC ＝CD .当∠ABC 变化时，对角线BD 的最大值为________．解析：设AC ＝CD ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，所以x 2＝1＋3－23cos ∠ABC .①由正弦定理得ACsin ∠ABC＝ABsin ∠ACB，即sin ∠ACB ＝sin ∠ABC x .②在△BCD 中，由余弦定理知，BD ＝3＋x 2－23x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠ACB ＝3＋x 2＋23x sin ∠ACB ， 将①②式代入化简得， BD ＝7＋26sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠ABC －π4.因为∠ABC ∈(0，π)，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠ABC －π4可以取到最大值1，所以|BD |max ＝7＋26＝6＋1. 答案：6＋12．(2017届盐城一模)如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MNsin60°＝AMsin (120°－θ).因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)． 在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203 ＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3.所以设计∠AMN ＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小．。
2020学年新教材高中数学课时跟踪检测十八两角和与差的正弦新人教B版必修第三册(含参考答案)
新教材高中数学课时跟踪检测：课时跟踪检测（十八） 两角和与差的正弦A 级——学考水平达标练1．已知sin α＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(2α＋β)＝( )A ．－13B.13 C ．－23D ．23解析：选A 因为cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋β)＝0，所以sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos α·sin(α＋β)＝13×(－1)＋0＝－13.2．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1解析：选C 由于sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z.当k 为偶数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin 2β－sin 2β＝0；当k 为奇数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝－sin 2β＋sin 2β＝0.综上可知，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝0.3．sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋4π3的值为( )A ．0 B.12 C ．1D ．2解析：选 A 原式＝sin θ＋sin θcos2π3＋cos θsin 2π3＋sin θcos 4π3＋cos θsin4π3＝sin θ－12sin θ＋32cos θ－12sin θ－32cos θ＝0. 4．在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－(B ＋C )． 由已知可得sin(B ＋C )＝2sin C cos B ⇒sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin C cos B⇒sin B cos C －cos B sin C ＝0⇒sin(B －C )＝0. ∵0＜B ＜π，0＜C ＜π，∴－π＜B －C ＜π. ∴B ＝C .故△ABC 为等腰三角形．5．设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D ．5π6解析：选 C ∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B )＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ，∴3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )．又A ＋B ＝π－C ，整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12，∵0＜C ＜π，∴π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3. 6．化简：sin(α＋β)＋sin(α－β)＋2sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β＝_____________________.解析：原式＝sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos α·sin β－2sin αcosβ＝2sin αcos β－2sin αcos β＝0.答案：07．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为_______________________．解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.答案：－18．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于_________________________．解析：由题意知，sin B ＝31010，则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B＋cos A sin B ＝22×1010＋22×31010＝255. 答案：2559．已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1. (1)求实数a 和b 的值，并判断f (x )的周期性； (2)当x 为何值时，f (x )取得最大值？解：(1)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32a ＋12b ＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝a ＝1⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－ 3.故f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∴f (x )的最小正周期为2π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.因此，当x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝2k π＋5π6(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2.10．已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解：因为π4<α<3π4，所以π2<π4＋α<π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45.又因为0<β <π4，所以3π4<3π4＋β <π，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝6365.B 级——高考水平高分练1．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝( )A.7210B ．－210C.210 D ．－7210解析：选B 因为π2<α<π，sin α＝35，所以cos α＝－45，因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210. 2．已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC ―→·BC ―→＝－1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.13 B.23C.33D ．23解析：选B AC ―→＝(cos α－3，sin α)，BC ―→＝(cos α，sin α－3)，AC ―→·BC ―→＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝1－3(sin α＋cos α)＝－1，所以3(sin α＋cos α)＝2，即32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，则此函数的周期T ＝________；若－π3≤x ≤π6，则此函数的值域是________．解析：因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin x cos π4＋cos x sin π4－sin x cosπ4＋cos x sin π4＝2cos x ，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π. 又－π3≤x ≤π6，所以12≤f (x )≤1. 答案：2π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 1 4．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝____________________________.解析：由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝435， 得12cos α＋32sin α＝45，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.答案：－455．求下列各式的值．(1)sin 41°＋cos 60°sin 19°cos 41°－sin 60°sin 19°；(2)2sin 80°－sin 20°cos 20°. 解：(1)原式＝sin (60°－19°)＋cos 60°sin 19°cos (60°－19°)－sin 60°sin 19°＝sin 60°cos 19°－cos 60°sin 19°＋cos 60°sin 19°cos 60°cos 19°＋sin 60°sin 19°－sin 60°sin 19°＝sin 60°cos 19°cos 60°cos 19°＝tan 60°＝ 3.(2)原式＝2sin (60°＋20°)－sin 20°cos 20°＝2sin 60°cos 20°＋2cos 60°sin 20°－sin 20°cos 20°＝2sin 60°cos 20°cos 20°＝ 3.6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2.(1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式；(2)判断f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的单调性，并求f (x )的最大值．解：(1)f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3·sin xcos x ·cos x ＝cos x ＋3sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6cos x ＋cos π6sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ＜π2.(2)∵0≤x ＜π2，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是单调递增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上是单调递减函数．π3时，f(x)有最大值为2.∴当x＝。
2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测(三十九)正弦函数、余弦函数的性质(二)新人教A版必修第一册
课时跟踪检测（三十九） 正弦函数、余弦函数的性质（二）A 级——学考水平达标练1．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,1解析：选A ∵cos π2x ∈[－1,1]，∴－2cos π2x ∈[－2,2]，∴y ＝1－2cos π2x ∈[－1,3]，∴y min ＝－1，y max ＝3.2．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin 3＞sin 2C ．sin 75π＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin 2＞cos 1解析：选D ∵sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0＜2－π2＜1＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＞cos 1，即sin 2＞cos 1.故选D.3．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π，2π 解析：选C 函数y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，cos x ≥0，－cos x ，cos x <0，图象如下图所示：单调减区间有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π，…，故选C.4．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，且f (α)＝－2，f (β)＝0，|α－β|的最小值是π2，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) 解析：选A 由题意可知14T ＝π2，所以T ＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z)．故选A.5．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．12解析：选B 依题意得f (x 1)是f (x )的最小值，f (x 2)是f (x )的最大值．因此|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12T (k ∈Z)．∴当k ＝0时，|x 1－x 2|min ＝12T ＝12×2ππ2＝2.故选B.6．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的值域为________．解析：画出函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的图象，如图．由图象可知，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝4π3时，y min ＝－32，所以函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 7．函数y ＝sin 2x －cos x ＋1的最大值为________．解析：y ＝sin 2x －cos x ＋1＝－cos 2x －cos x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋94，∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝－12时，y 取最大值94.答案：948．已知函数f (x )＝－sin 2ωx (ω＞0)的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，则ω的值为________．解析：依题意得T 4≥π2，即T ≥2π，从而0＜ω≤12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω×5π4＝0，即sin 5ωπ2＝0， ∴5ωπ2＝k π(k ∈Z)，解得ω＝25k (k ∈Z)． 由0＜ω≤12知，ω＝25.答案：259．求函数y ＝3－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值． 解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，从而－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1.当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5. 综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.10．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值． 解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z)，解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z)． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z)时，f (x )取最小值－2.即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z)时，f (x )取最小值－2.B 级——高考水平高分练1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的最大值为( )A ．1B ．32C ． 3D ．2解析：选D 由π6＋x 与π3－x 互余，得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故f (x )的最大值为2，故选D.2．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：依题意得T 2≥π2⇒T ≥π，又ω＞0，所以2πω≥π⇒0＜ω≤2.由π2＜x ＜π得ωπ2＋π3＜ωx ＋π3＜ωπ＋π3， 由f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减得⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π3≥π2，ωπ＋π3≤3π2⇒13≤ω≤76. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，763．若函数y ＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12.(1)求a ，b 的值；(2)求函数y ＝－a sin x 取得最大值时x 的值． 解：(1)当b ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.当b ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)知a ＝12，所以函数y ＝－a sin x ＝－12sin x ，所以当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数y ＝－a sin x 取得最大值．4．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )图象的对称轴．所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，得φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又因为－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是________．解析：由f (x ＋1)＝－f (x )， 得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )是周期函数，且2是它的一个周期． 因为函数f (x )是偶函数且在[－4，－3]上是增函数， 所以函数f (x )在[0,1]上是增函数．又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞π2，即π2＞α＞π2－β＞0， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，所以sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β， 且sin α∈[0,1]，cos β∈[0,1]， 所以f (sin α)＞f (cos β)． 答案：f (sin α)＞f (cos β)。
高中数学-余弦定理、正弦定理应用举例跟踪测试卷及答案
课时跟踪检测 （十三） 余弦定理、正弦定理应用举例层级(一) “四基”落实练1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 ( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°.又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033m B ．10 3 m, 2 0 3 m C ．10(3－2)m, 20 3 mD.1532 m ，2033m 解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 3．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 km B ．30 2 km C ．45 2 kmD ．60 2 km解析：选B 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠ CBM ＝15°，所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船的航行速度为( )A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．故选A. 5.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B 依题意可得AD ＝2010(m)， AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中， 由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22.又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.6．某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为3m ，那么x 的值为_______．解析：如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余 弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°， ∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝3或2 3. 答案：23或 37.如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236) 解析：由题意可知，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ， 由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×－22≈316.2(m)， 这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)． 答案：22.68.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，求山高MN .解：根据图示，AC ＝100 2 m ．在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°解得AM ＝100 3 m ．在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×23＝150(m)． 层级(二) 能力提升练1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理b sin B ＝c sin C解出c ；对于②，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理a sin A ＝csin C解出c .故选A. 2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 解析：如图，设竹竿的影子长为x . 依据正弦定理可得2sin 60°＝xsin (120°－α).所以x ＝43·sin(120°－α)． 因为0°<120°－α<120°，所以要使x 最大，只需120°－α＝90°， 即α＝30°时，影子最长． 答案：30°3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为______小时．解析：如图，设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米， AP ＝x .在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0， |x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)，故t ＝CD v ＝2020＝1(小时)．答案：14.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217s ．A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°. (1)求A ，C 两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH . (声音的传播速度为340 m/s)解：(1)由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40)m.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝BA 2＋AC 2－2BA ·AC cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 所以A ，C 两地间的距离为420 m.(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°， 所以CH ＝AC tan ∠CAH ＝140 3 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m.5.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树 顶端点C 的仰角大小为75°. (1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4. 由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°， 解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋2 3. 所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m. 层级(三) 素养培优练1．北京冬奥会，首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A (如图2)距离地面的高度AB (AB 与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ .测得PQ 的高度约为25米，并从P 点测得A 点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点、P 点的仰角分别为75°和30°(其中B ，M ，Q 三点共线)．则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A ．59B ．60C ．65D ．68解析：选A 如图所示，由题意得∠AMB ＝75°，∠PMQ ＝30°，∠AMP ＝75°，∠APM ＝60°，∠PAM ＝45°，在△PMQ 中，PM ＝PQsin ∠PMQ＝50，在△PAM 中，由正弦定理得AM sin ∠APM ＝PMsin ∠PAM，AM sin 60°＝50sin 45°，所以AM ＝256， 在△ABM 中，AB ＝AM ·sin ∠AMB ＝256×sin 75° ＝256×6＋24， 所以AB ＝150＋5034≈150＋50×1.734＝236.54＝59.125，所以赛道造型最高点A 距离地面的高度约59.2．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 的北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则由余弦定理，可得S ＝900t 2＋400－2×30t ×20cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意可知(v t )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 化简得，v 2＝400t2－600t 900＝400 1t －342＋675. 由于0<t ≤12，所以1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为10 13 海里/时． (3)存在．由(2)知，v 2＝400t2－600t ＋900，设1t ＝u (u >0)， 于是400u 2－600u ＋900－v 2＝0.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即6002－1 600(900－v 2)>0，900－v 2>0，解得153<v <30， 所以v 的取值范围是(153，30)．。
2020年高中数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版
2020年高中数学课时跟踪检测含解析新人教A版课时跟踪检测一变化率问题导数的概念课时跟踪检测二导数的几何意义课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用课时跟踪检测五函数的单调性与导数课时跟踪检测六函数的极值与导数课时跟踪检测七函数的最大小值与导数课时跟踪检测八生活中的优化问题举例课时跟踪检测九定积分的概念课时跟踪检测十微积分基本定理课时跟踪检测十一定积分的简单应用课时跟踪检测十二合情推理课时跟踪检测十三演绎推理课时跟踪检测十四综合法和分析法课时跟踪检测十五反证法课时跟踪检测十六数学归纳法课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测十八 复数的几何意义课时跟踪检测十九 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时跟踪检测二十 复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念一、题组对点训练对点练一 函数的平均变化率1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ,则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2,∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx, ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 对点练二 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示,则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20,故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t 0的值．解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2,因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27,解得t 0＝±3, 因为t 0>0,故t 0＝3,所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝ax ＋3,若f ′(1)＝3,则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ,∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知,函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx,而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1,又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12,所以f ′(1)＝12.二、综合过关训练1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负,所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ,B 两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W 1(t ),W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知,A 机关所对应的图象比较陡峭,B 机关所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t 0]上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2,其中s 的单位是：m,t 的单位是：s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象,则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以,函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1,求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ,所以由－3－Δx ≤－1, 得Δx ≥－2. 又因为Δx >0,即Δx 的取值范围是(0,＋∞)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义一、题组对点训练对点练一 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋11－12Δx ＝lim Δx →0 1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0[3＋3(Δx )＋(Δx )2]＝3, ∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．解：因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2, 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即4x ＋y －4＝0.对点练二 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1解析：选A ∵点(0,b )在直线x －y ＋1＝0上,∴b ＝1. 又y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a , ∴过点(0,b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16,则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0),则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4, 又∵f ′(x 0)＝16,∴4x 0＋4＝16,∴x 0＝3,∴P (3,30)． 答案：(3,30)5．曲线y ＝f (x )＝x 2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.解：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行,∴2x 0＝4,∴x 0＝2,y 0＝4,即P (2,4),显然P (2,4)不在直线y ＝4x －5上,∴符合题意．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直,∴2x 0·13＝－1,∴x 0＝－32,y 0＝94,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为－1,即2x 0＝－1,∴x 0＝－12,y 0＝14,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 对点练三 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )点(x 0,f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0,y 0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D 错误．7．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定解析：选B 由导数的几何意义知曲线f (x )在此点处的切线的斜率为0,故切线与y 轴垂直．8．如图所示,单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定,B 从A 点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x 很小,即弧AB 长度很小,这时给x 一个改变量Δx ,那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时,同样给x 一个改变量Δx ,那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示, 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x ＝0时,f ′(x )＝0,当x >0时,f ′(x )<0,故②符合．答案：②二、综合过关训练1．函数f (x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a ) B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a ) C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a ) D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)解析：选B f ′(a ),f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ,x ＝a ＋1处的切线的斜率,由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0,而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ,f (a ))与(a ＋1,f (a＋1))两点连线的斜率,且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ,lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1,斜率为－1,倾斜角为3π4.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选 A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx 得lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋3Δx ＋1＝1,所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4)解析：选C f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0,y 0),则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4,解得x 0＝±1,P 0的坐标为(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为____________．解析：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.所以过点 P (－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大,故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大,故快到终点时,乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象,结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间,曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s后,曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地．课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2,则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ,所以①错误．sin π3＝32,而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0,所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x,所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *),若f ′(1)＝14,则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14 解析：选D ∵f (x )＝x α,∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(1)＝α＝14.对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.答案：x 2＋6x (x ＋3)25．已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3,则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝exsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3), ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3,∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直,则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2,所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝2.答案：29．已知a ∈R,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x,所以f ′(1)＝a －1,又f (1)＝a ,所以切线l 的方程为y －a＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上,且在第一象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为y ′＝3x 2－10,所以3x 20－10＝2,解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内,所以x 0＝2,又点P 在曲线C 上,所以y 0＝23－10×2＋13＝1,所以点P 的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f ′0(x ),f 2(x )＝f ′1(x ),…,f n ＋1(x )＝f ′n (x ),n ∈N,则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选D 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ,f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ,f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ,f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ,所以根据导数的几何意义可知,x 2－3x ＝12,解得x ＝3(x ＝－2不合题意,舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22解析：选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12,即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0,y 0),则y 0＝3x 0＋1,且y 0＝ax 30＋3,所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2,则3ax 20＝3,ax 20＝1…②,由①②可得x 0＝1,所以a ＝1.5．设a 为实数,函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x ),且f ′(x )是偶函数,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为____________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3, ∵f ′(x )是偶函数,∴a ＝0, ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3, ∴f (2)＝8－6＝2,f ′(2)＝9,∴曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2), 即9x －y －16＝0. 答案：9x －y －16＝06．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f ′(0)＝________. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f (x )＝xg (x ), 求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x ), 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x , ∴y ′＝1＋1x,y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2), ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ,f ′(2)＝－b ,其中常数a ,b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1,所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1,得f ′(1)＝3＋2a ＋b , 又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a , 解得b ＝－3,令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b , 又f ′(2)＝－b , 所以12＋4a ＋b ＝－b , 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1,从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, 所以曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1), 即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ,y ＝cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ,y ＝cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),所以两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0,k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sinx 0.若使两条切线互相垂直,必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1,即sin x 0·cos x 0＝1,也就是sin 2x 0＝2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．课时跟踪检测（四） 复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一 简单复合函数求导问题 1．y ＝cos 3x 的导数是( ) A ．y ′＝－3cos 2x sin x B ．y ′＝－3cos 2x C ．y ′＝－3sin 2xD ．y ′＝－3cos x sin 2x解析：选A 令t ＝cos x ,则y ＝t 3,y ′＝y t ′·t x ′＝3t 2·(－sin x )＝－3cos 2x sin x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2,则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3,则y ＝10u,∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln10.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x . 对点练二 复合函数与导数运算法则的综合应用 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x2x ＋5解析：选 B y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ,∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x6．已知f (x )＝e πxsin πx ,求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解：∵f (x )＝e πxsin πx ,∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )． f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe 2π. 对点练三 复合函数导数的综合问题7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ,则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 令y ＝ax －ln(x ＋1),则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0,且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0,y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1,∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2,解得x 0＝1,∴y 0＝ln(2－1)＝0,即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5,即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年),则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130ln 2×M 02-t30,由M ′(30)＝－130ln 2×M 02-3030＝－10 ln 2,解得M 0＝600, 所以M (t )＝600×2-t 30,所以t ＝60时,铯137的含量为M (60)＝600×2-6030＝600×14＝150(太贝克)．二、综合过关训练1．函数y ＝(2 019－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 019－8x )2B ．－24xC ．－24(2 019－8x )2D ．24(2 019－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 019－8x )2×(2 019－8x )′＝3(2 019－8x )2×(－8)＝－24(2 019－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x)．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B 设切点坐标是(x 0,x 0＋1),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0,x 0＝－1,a ＝2.4．函数y ＝ln ex1＋ex 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x),则y ′＝1－e x1＋e x .当x ＝0时,y ′＝1－11＋1＝12. 答案：125．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：令y ＝f (x ),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ,所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax,所以f ′(0)＝a e 0＝a ,故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2,则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12,∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2,∴aa －1＝2,∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ,b 是实常数)的导数．解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x3,又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x , ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .8．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5,求l 的方程． 解：由题意知y ′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋3(－sin 3x )·e 2x＝2e 2x cos 3x －3e 2xsin 3x ,所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. 所以该切线方程为y －1＝2x ,即y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ,则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时,l 的方程为y ＝2x －4;当m＝6时,l的方程为y＝2x＋6.综上,可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数,y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象,导函数的图象在x轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞,0)时导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图象呈上升趋势,可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数,则函数y＝f(x)在区间(x1,x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中,f′(x)>0且为常数函数；选项C中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内单调递增；选项D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得,函数的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ,令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0,解得x >12,故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C. 6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),∴c ＝1,f ′(x )＝3ax 2＋2bx ,f ′(1)＝3a ＋2b ＝1,切点为(1,1),则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1),得a ＋b ＋c ＝1,解得a ＝1,b ＝－1,即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23,所以单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三 与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可,令f ′(x )＝1－12ax －12≤0,解得a ≥2x ,则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2),则b ＝________,c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ,由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解,即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b ＝－32,c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )．(1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．(2)设a <0,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2,则f ′(x )＝(x －1)(e x－e),所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0,则ln(－2a )<1,故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )>0；当x∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)上单调递增,在(ln(－2a ),1)上单调递减；③若a <－e2,则ln(－2a )>1,故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)上单调递增,在(1,ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A,f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ,∵e 2＞1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B,f (x )＝x 2,e xf (x )＝e x x 2,[e xf (x )]′＝e x(x 2＋2x ),令e x (x 2＋2x )＞0,得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0,得－2＜x ＜0,∴函数e xf (x )在(－∞,－2)和(0,＋∞)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C,f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ,∵e3＜1, ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减,∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D,f (x )＝cos x ,e xf (x )＝e xcos x ,则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的,∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <e<b ,则下列说法一定正确的是( ) A ．f (a )<f (b ) B ．f (a )>f (b ) C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－e x ＝x －ex,x >0,令f ′(x )＝0,得x ＝e,f (x )在(0,e)上为减函数,在(e,＋∞)上为增函数,所以f (a )>f (e),f (b )>f (e),f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A,若曲线C 1为y ＝f (x )的图象,曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则函数y ＝f (x )在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0,＋∞)内是增函数,从而在(0,＋∞)内有f ′(x )>0.因此,选项A 可能正确．同理,选项B 、C 也可能正确．对于选项D,若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为增函数,与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为减函数,与C 1不相符．因此,选项D 不可能正确．4．设f (x ),g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2,又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ,所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b ),又因为f (x )>0,g (x )>0,所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数,则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R, ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0,∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ,∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立, 即e x≥ae x 在R 上恒成立,∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0,∴a ≤0,即a 的取值范围是(－∞,0]． 答案：－1 (－∞,0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0,得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0,得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0,t ](t >0)上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0,即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0,得x ＝1e.①当0<t <1e时,在区间(0,t ]上,f ′(x )<0,函数f (x )为减函数．②当t >1e 时,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上,f ′(x )<0,f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上,f ′(x )>0,f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x ,a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2x恒成立,令G (x )＝1x 2－2x,则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716.当a ＝－716时,h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4],所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0,即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5,极小值－27 B ．极大值5,极小值－11 C ．极大值5,无极小值D ．极小值－27,无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时,y ′>0； 当－1<x <3时,y ′<0.∴当x ＝－1时,函数有极大值5； 3∉(－2,2),故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点,则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427,0 B ．0,427C ．－427,0D ．0,－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q , 由f ′(1)＝0,f (1)＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1,易得当x ＝13时f (x )取极大值427,当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ,其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由题图知,当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点,分别为1和2,且当x ＝2时函数取得极小值,当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2,则a ,b 的值分别为( )A ．1,－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1,－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b , 由题意知f ′(1)＝0,f (1)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1,b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b ),令f ′(x )＝0,解得x ＝b ,由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值,则有0<b <1.当0<x <b 时,f ′(x )<0；当b <x <1时,f ′(x )>0,符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2),∵函数f (x )既有极大值又有极小值,∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根,∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0,解之得a >2或a <－1.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ,a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ),求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值,求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a , 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ,x ∈(0,＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时,x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增；当a >0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时,函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,＋∞)； 当a >0时,g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知,f ′(1)＝0.。
2020届高考数学理一轮考点测试：24 正弦定理和余弦定理Word版含解析
考点测试24 正弦定理和余弦定理高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度考纲研读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题一、基础小题1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( ) A ．135° B ．105° C ．45° D ．75° 答案 C解析 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin60°，所以sin A ＝22，又由题知0°<A <120°，所以A ＝45°．故选C ．2．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin C sin B ＝( ) A ．85 B ．58 C ．53 D ．35 答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos A ，代入得49＝25＋AC 2＋5AC ，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)，所以sin C sin B ＝AB AC ＝53，故选C ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A ．π3B ．π6C ．π3或2π3D ．π6或5π6 答案 C解析 由余弦定理，知a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，所以由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 可得2ac cos B ·sin B cos B ＝3ac ，所以sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3，故选C ．4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 答案 C解析 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形．故选C ．5．已知△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，BC ＝4，则△ABC 的面积为( ) A ．6 B ．12 C ．5 D ．10 答案 A解析 因为cos A ＝35，cos B ＝45，所以sin A ＝45，sin B ＝35，则由正弦定理得BCsin A ＝AC sin B ，所以AC ＝BC ·sin Bsin A ＝3，则由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即32＝AB 2＋42－8×45AB ，解得AB ＝5，所以△ABC 是以AC ，BC 为直角边的直角三角形，所以其面积为12×3×4＝6，故选A ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足 a ∶b ∶c ＝6∶4∶3，则sin2Asin B ＋sin C＝( )A ．－1114B ．127C ．－1124D ．－712 答案 A解析 不妨设a ＝6，b ＝4，c ＝3，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－1124，则sin2A sin B ＋sin C ＝2sin A cos A sin B ＋sin C ＝2a cos A b ＋c ＝12×－11244＋3＝－1114，故选A ． 7．在△ABC 中，“sin A <sin B ”是“A <B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 根据正弦定理，“sin A <sin B ”等价于“a <b ”，根据“大边对大角”，得“a <b ”等价于“A <B ”．故选C ．8．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( ) A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝60° B ．a ＝6，c ＝5，B ＝60° C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45° D ．a ＝7，b ＝5，A ＝60° 答案 C解析 由条件解三角形，其中有两解的是已知两边及其一边的对角．C 中，sin B ＝b sin A a ＝16×sin45°14＝427<1，b >a ，B >A ，角B 有两个解，故选C ．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A ．4 2 B ．30 C ．29 D ．25 答案 A解析 因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×552－1＝－35，所以AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ×AC cos C ＝1＋25－2×1×5×－35＝32，∴AB ＝42．故选A ．10．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6 答案 C解析 由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ．由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以sin C ＝cos C ．∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4，故选C ．11．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A 答案 A解析 解法一：因为sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ，即cos C (2sin B －sin A )＝0， 所以cos C ＝0或2sin B ＝sin A ， 即C ＝90°或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以0°＜C ＜90°，故2b ＝a ． 故选A ．解法二：由正弦定理和余弦定理得b 1＋a 2＋b 2－c 2ab＝2a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，所以2b 21＋a 2＋b 2－c 2ab＝a 2＋3b 2－c 2，即2ba (a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2－c 2， 即(a 2＋b 2－c 2)2ba －1＝0， 所以a 2＋b 2＝c 2或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2＞c 2，故2b ＝a ．故选A ．12．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________．答案217 3解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b a sin A ＝217，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c－3＝0，解得c＝3(舍去负值)．13．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C ＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．答案23 3解析根据题意，结合正弦定理可得sin B sin C＋sin C·sin B＝4sin A sin B sin C，即sin A＝12，结合余弦定理可得2bc cos A＝8，所以A为锐角，且cos A＝32，从而求得bc＝833，所以△ABC的面积为S＝12bc sin A＝12×833×12＝233．三、模拟小题14．(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3b cos C＝c(1－3cos B)，则sin C∶sin A＝() A．2∶3 B．4∶3 C．3∶1 D．3∶2答案C解析由正弦定理得3sin B cos C＝sin C－3sin C cos B，3sin(B＋C)＝sin C，因为A ＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sin A＝sin C，所以sin C∶sin A＝3∶1，故选C．15．(2018·合肥质检)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝12sin B，且b＝4，则c2－a2＝()A．10 B．8 C．7 D．4答案B解析依题意，有sin C cos A－cos C sin A＝12sin B，由正弦定理得c cos A－a cos C＝12b；再由余弦定理可得c·b2＋c2－a22bc－a·b2＋a2－c22ab＝12b，将b＝4代入整理，得c2－a2＝8，故选B．16．(2018·珠海摸底)在△ABC中，已知角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝13，则△ABC的面积为________．答案3解析 根据余弦定理，有a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2，即16b 2＋b 2－8b 2×12＝13，所以b 2＝1，解得b ＝1，所以a ＝4，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×1×32＝3．17．(2018·贵阳期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cos A ，a ＝4，若△ABC 的面积为43，则b ＋c ＝________．答案 8解析 由a sin B ＝3b cos A 得b sin B ＝a 3cos A ，再由正弦定理b sin B ＝a sin A ，所以a sin A ＝a 3cos A ，即tan A ＝3，又A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3．由△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12bc ×32＝43，得bc ＝16．再由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝32，所以b ＋c ＝(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝32＋2×16＝8．18．(2018·长春质检)已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝b 2sin A ，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，AD ＝233，a ＝3，则b ＝________．答案 1解析 由S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，由角平分线定理可知，BD CD ＝ABAC ＝c b ＝2．又BD ＋CD ＝a ＝3，所以BD ＝233，CD ＝33．在△ABD 中，因为BD ＝AD ＝233，AB ＝c ＝2b ，所以cos ∠ABD ＝12AB BD ＝32b ，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABD ，所以b 2＝4b 2＋3－43b cos ∠ABD ＝3＋4b 2－6b 2，解得b ＝1．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5．(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．解 (1)在△ABD 中，由正弦定理，得BDsin A ＝ABsin ∠ADB．由题设知，5sin45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25．由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235．(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25． 在△BCD 中，由余弦定理，得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ×DC cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5．2．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知△ABC 的面积为a 23sin A ．(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A ． 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A ． 故sin B sin C ＝23．(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12，所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3． 由题设得12bc sin A ＝a 23sin A ，即bc ＝8． 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9， 即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33．故△ABC的周长为3＋33．3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c．(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．解(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，2cos C sin(A＋B)＝sin C．故2sin C cos C＝sin C．因sin C≠0，可得cos C＝12，因为C∈(0，π)，所以C＝π3．(2)由已知，得12ab sin C＝332．又C＝π3，所以ab＝6．由已知及余弦定理，得a2＋b2－2ab cos C＝7．故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，a＋b＝5．所以△ABC的周长为5＋7．二、模拟大题4．(2018·深圳4月调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且a cos B＋b sin B＝c．(1)求C的大小；(2)若B＝π3，延长线段AB至点D，使得CD＝3，且△ACD的面积为334，求线段BD的长度．解(1)由已知及正弦定理可得sin A cos B＋sin2B＝sin C．因为sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin2B＝cos A sin B．因为B∈0，π2，所以sin B>0，所以sin B＝cos A，即cos π2－B＝cos A．因为A∈(0，π)，π2－B∈0，π2，所以π2－B＝A，即A＋B＝π2，所以C＝π2．(2)设BD＝m，CB＝n．因为B＝π3，C＝π2，所以A＝π6，∠DBC＝2π3，且AC＝3n，AB＝2n，AD＝2n＋m．所以S△ACD＝12AC·AD·sin A＝12×3n×(2n＋m)×12＝334，即n(2n＋m)＝3，①在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD cos∠DBC，即m2＋n2＋mn＝3，②联立①②解得m＝n＝1，即BD＝1．5．(2018·长沙统考)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＝c(a－c)＋b2．(1)求角B的大小；(2)设m＝2a－c，若b＝3，求m的取值范围．解(1)因为a2＝c(a－c)＋b2，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝12．又因为0<B<π，所以B＝π3．(2)由正弦定理得asin A＝csin C＝bsin B＝3sinπ3＝2，所以a＝2sin A，c＝2sin C．所以m＝2a－c＝4sin A－2sin C＝4sin A－2sin 2π3－A＝4sin A－2×32cos A＋12sin A＝3sin A－3cos A＝23×32sin A －12cos A ＝23sin A －π6．因为A ，C 都为锐角，则0<A <π2，且0<C ＝2π3－A <π2，所以π6<A <π2，所以0<A －π6<π3，所以0<sin A －π6<32，所以0<m <3．6．(2018·福建4月质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b cos C －c sin B ＝3a ． (1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝7，D 为边AC 上一点，且sin ∠BDC ＝33，求BD ． 解 (1)由正弦定理及3b cos C －c sin B ＝3a ， 得3sin B cos C －sin C sin B ＝3sin A ， 所以3sin B cos C －sin C sin B ＝3sin(B ＋C )，所以3sin B cos C －sin C sin B ＝3sin B cos C ＋3cos B sin C ， 即－sin C sin B ＝3cos B sin C ．因为sin C ≠0，所以－sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝－3． 又B ∈(0，π)，解得B ＝2π3．(2)解法一：在△ABC 中，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，且a ＝3，b ＝7， 所以72＝32＋c 2－2×3c ×－12，解得c ＝5．在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得732＝5sin C ，解得sin C ＝5314．在△BCD 中，由正弦定理BDsin C ＝asin ∠BDC，得BD5314＝333，解得BD＝45 14．解法二：在△ABC中，由正弦定理asin A＝bsin B，及a＝3，b＝7，得sin A＝33 14．又因为B＝2π3，所以0<A<π3，所以cos A＝1314，则sin C＝sin(A＋B)＝sin 2π3cos A＋cos2π3sin A＝32×1314－12×3314＝5314．在△BCD中，由正弦定理BDsin C＝asin∠BDC，得BD5314＝333，解得BD＝4514．。
部编版2020年高中数学课时跟踪检测一正弦定理新人教A版必修64
课时跟踪检测（一） 正弦定理层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37D.57解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝bsin B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos C c，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，b ＝2，则a 等于( )A ．1B ．2 C. 3D ．2 3解析：选A 由正弦定理得asin π6＝2sinπ4， ∴a ＝1，故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sin B＝33.6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)．①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．解析：①中a＝b sin A，有一解；②中c sin B<b<c，有两解；③中A＝90°且a>b，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是________．解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin A＝a2R ，sin B＝b2R，sin C＝c2R，所以⎝⎛⎭⎪⎫a2R2－⎝⎛⎭⎪⎫b2R2＝⎝⎛⎭⎪⎫c2R2，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．答案：直角三角形8．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcos A＝________.解析：由正弦定理及已知得1sin A＝ACsin 2A，∴ACcos A＝2.答案：29．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，则C＝180°－(A＋B)＝75°.因为C>B>A，所以最小边为a.又因为c＝1，由正弦定理得，a＝c sin Asin C＝1×sin 45°sin 75°＝3－1，所以最小边长为3－1.10．在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形．解：∵asin A＝bsin B＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：选A ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3s in(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ，∴tan C ＝－ 3.又0°<C <180°，∴C ＝120°.故选A.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝42＋1，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C.3．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A.833 B.2393C.2633D ．2 3解析：选B 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝asin A ＝13sin 60°＝2393. 4．在△ABC 中，若A <B <C ，且A ＋C ＝2B ，最大边为最小边的2倍，则三个角A ∶B ∶C ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．4∶5∶6解析：选A 由A <B <C ，且A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，可得B ＝π3，又最大边为最小边的2倍，所以c ＝2a ，所以sin C ＝2sin A ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A ⇒tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6，从而C ＝π2，则三个角A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，故选A.5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝bsin 45°，所以32b ＝22a ，① 又因为a ＋b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)． 答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A ，即sin C ＝AB ·sin ABC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114.∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：33147．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且asin A＝c3cos C. (1)求角C 的大小；(2)如果u u u r CA ·uuu rCB ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a sin A ＝c sin C ，a sin A ＝c3cos C ，得sin C ＝3cos C ，故tan C ＝3，又C ∈(0，π)，所以 C ＝π3.(2)由u u u r CA ·uuu r CB ＝|u u u r CA ||uuu r CB |cos C ＝12ba ＝4得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×32＝2 3.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0.(1)求B ；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．解：(1)由正弦定理知：sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0， ∵sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C 代入上式得： 3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. ∵sin C >0，∴3sin B －cos B －1＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由(1)得：2R ＝bsin B＝2，a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6.∵C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴23sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6∈(3，23]， ∴a ＋c 的取值范围为(3，23]．。
新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十六系统知识__正弦定理余弦定理及应用举例含解析
课时跟踪检测（二十六） 系统知识——正弦定理、余弦定理及应用举例1．(2019·邵阳联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则B ＝( )A.π6 B.5π6 C.π6或5π6D.2π3解析：选A 由正弦定理得3sinπ3＝3sin B ，∴sin B ＝12，∴B ＝π6或B ＝5π6，又b <a ，∴B <A ，∴B ＝π6.故选A.2．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角为( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．135°解析：选C ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶3，设a ＝m ，则b ＝m ，c ＝3m .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝m 2＋m 2－3m 22m 2＝－12，∴C ＝120°. 3．(2019·北京十五中模拟)在△ABC 中，∠C ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，那么AB ＝( ) A. 5 B. 6 C.7D ．2 2解析：选C 由余弦定理得AB 2＝22＋32－2×2×3×cos 60°＝7，∴AB ＝7，故选C. 4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．5．(2019·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积为( )A ．37 B.372C ．9D.92解析：选B 由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，得7＝16＋a 2－6a ，解得a ＝3，∵cos B ＝34，∴sin B ＝74，∴S △ABC ＝12ca sin B ＝12×4×3×74＝372.故选B. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14.则c的值为( )A ．4B ．2C ．5D ．6解析：选A ∵c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即16＝14c 2＋c 2－14c 2＝c 2，解得c ＝4. 7．(2018·兰州一模)△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 的值为( )A.223 B.34 C.74D.13解析：选C 由正弦定理，得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b 2＝2a 2，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34，所以sin B ＝74. 8．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选 D 如图所示，由余弦定理可得，AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC ＝107(km)．9．(2019·豫南豫北联考)线段的黄金分割点的定义：若点C 在线段AB 上，且满足AC2＝BC ·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos 36°＝( )A.5－14 B.5＋14 C.5－12D.5＋12解析：选B 不妨设AB ＝2，利用黄金分割点的定义得AD ＝5－1，易知∠A ＝∠ABD ＝36°，故AD ＝BD ＝5－1.在△ABD 中，cos 36°＝5－2＋22－5－25－＝5＋14，故选B.10．(2019·莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cosC ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sinB ．∵sinB ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.11．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．12．(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b＝( )A ．2B ．3 C. 2D. 3解析：选A 由2b sin 2A ＝a sin B ，得4b sin A ·cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B ·sinA ·cos A ＝sin A ·sinB ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴a b＝2.故选A.13．(2019·凌源模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝6＋2，A ＝75°，cos B ＝32，则b ＝________. 解析：在△ABC 中，由cos B ＝32，可得sin B ＝12，由A ＝75°，可得sin A ＝6＋24，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得6＋26＋24＝b 12，解得b ＝2.答案：214．(2018·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos Asin B＝________.解析：由正弦定理知asin A＝csin C ＝2，所以a ＝2sin A ，则a ＋23cos Asin B＝2sin A ＋23cos Asin B＝A ＋sinB ＝A ＋Csin B＝4.答案：415.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°，由正弦定理得AC sin B ＝ABsin ∠ACB，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分)．答案：6316．(2019·河南实验中学模拟)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：由tan B ＝－43，得sin B ＝45，cos B ＝－35.由△ABC 的面积S ＝8，得S ＝12ac sin B ＝8，解得c ＝4.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25＋16－2×5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝65，则b ＝65.由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝6545＝5654.答案：5654。
(2020新教材)新人教B版高中数学必修第三册课时跟踪检测(十)正弦型函数的性质与图像
课时跟踪检测(十) 正弦型函数的性质与图像A 级一一学考水平达标练n. .n1 .函数f(x) = sin 3x+ 的最小正周期为5，其中3>0,则3等于()B . 10C . 15D.20解析：选B 由已知得警=£又3> o ,所以2n=n, 3= 10.31 5 3 52.(多选题)关于x 的函数f(x)= sin(x + 0)的以下说法，不正确的是( )A .对任意的 0 f(x)都是非奇非偶函数B .存在0,使f(x)是偶函数C .存在0,使f(x)是奇函数D .对任意的0, f(x)都不是偶函数解析：选AD 当0= 0时，f(x) = sin x ,是奇函数；当0= 2时，f(x)= cos x ,是偶函数.故 选 A 、D.n3.函数f(x) = 2sin x — 3 , x€ [ — n, 0]的单调递增区间是()55 n nA. — n, 6B. —6 , —6nD.nc.—36解析：选 D n令2k n —产x — 詐2k 吨k € Z , 解得n5 n2k n —n x三2k n+ 5,k €Z,又-曲 X W 0，一訂 X W 0,故选 D.4.若函数f(x) = 3sin( 3x+ 0)对任意的x 都有f ? + x = f -―x ，则f 3等于(B . — 3 或 0 D. — 3 或 3n n•••f(x)关于直线x = §对称.••• f 3应取得最大值或最A . 3 或 0 C . 0解析：选D Vf n+ x = f 扌一x , 小值. 5.函数 f(x) = 2sin( 3x+ 0) 3>0,-n< 的部分图像如图所示，则3, 0的值分别是• '•w = 2., 5 n , 5 n nn当 x =石时,2x 12 + o= 2，•十一3k n6.若函数y = 5sin §x + 3的周期不大于1,则自然数k 的最小值为 解析：••T = ¥=严，且 |T|w 1,即卩宁 w 1,且 k 为自然数，• k >6n, •k min = 19. k kk 3答案：197.已知函数y = 2sin( wx+Q (w ＞0)在一个周期内，当x =豈时有最大值2，当x =寻时 有最小值一 2,贝U w= ___________________ .解析：由题意知，T = 2X ”―n = n, • w=年=2. 答案：28. (2018江苏高考)已知函数y = sin(2x + $) —亍＜ $＜才的图像关于直线 x =扌对称，则$ 的值为 . 解析：由题意得 f n = sin 2n +$ = ±1,2 n . n .厂- •亏 + $= k n+ , k € Z ,n$= k n — T, k € Z .6n n一 2, 2 ,n6.答案：—n71 C . 4, 71 解析:7t12D.4,71713n=n,B . 2,9.已知函数y = Asin （3x+$）（A>0, 3>0）在同一个周期内的图像如图，求该函数的一个 解析式.解：法一：（最值点法）由图像知函数的最大值为• 3，最小值为—，3，又A>O ,「A = 3. ，甘，nnn 2 n由图像知 2 = — 3 =2，AT = n= —,A O = 2.又1 3 +55?=I n ，「•图像上的最高点为 £V 3 , ^3= >/3sin 2X 寻+ ",即7 n 人 7 n n ,口 2 n ,2 n sin ~ " = 1,令"6 + "=2 + 2k n k € Z ,得（j ）=— -3 + 2k n, k € 乙可取"=—~,2 n 故函数的一个解析式为 y = ,3sin 2x —3 .法二：（五点对应法）由图像知 A = 3，又图像过点 -,0 , — , 0，根据五点作图法 原理（以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点）得n3 'w+ "= 0,5 n3+ "= n, 3= 2,解得2 n "=—亍故函数的一个解析式为 y = . 3sin 2x —尹. 10.设函数 f(x)= . 2sin 2x — j, x € R.（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；n 3 n⑵求函数f （x ）在区间8，4上的最小值和最大值，并求出取最值时 x 的值.2 n解：（1）最小正周期T = — = n,.n c n c. n由 2k n — W 2x — 4W 2k n+ ?(k € Z),得 k n —才W x W k n+ 3^n(k € Z),•••函数f(x)的单调递增区间是 k n —n k n+ 3n (k € Z).nn 3 n 5 n⑵令 t = 2x — 4，则由 8W xW ：可得 0W tW^4,为.. .........•••当 t = 即 x = 时，y min = 2 X — j =一 1 ,n ..(多选题)函数f(x)= 3sin 2x — 3的图像为C ,则以下结论中正确的是(n1 -, D .由y = 3sin 2x 的图像向右平移3■个单位长度可以得到图像 Cnn n n 5 n错，B 正确；令一2 + 2k nW 2x — 3W 2+ 2k n, k € Z ,解得一匚+ k n< x < 匚+ k n, k € Z ,故nnC 正确；函数 y = 3sin 2x 的图像向右平移 -个单位长度，得到函数 y = 3sin 2 x — 32 n3sin 2x — y 的图像，故D 错.3•已知函数f(x)= 2sin( 3X+ 0 3>0, | 0|v 才的部分图像如图所示，则 函数f(x)的单调递增区间是B 级—— 高,, 1 n n1.函数 f(x) = 5sin x + 3 + cos x — |的最大值为(A |3 C.3解析：选 A cosx —I = cos 才一 n x +3n 1 n=sin x + -,贝U f(x) = 5sin x + 3 + sinnx+ 3I =5sinnIx +3，函数的最大值为5.2. A .图像 C 关于直线x = £对称B .图像C 关于点23n, 0对称C •函数f(x)在区间一n ，12内是增函数 nn nn解析：选 BC f石=3sin 2X 石—3 = 3sin — | =2, —3 f 2n2, f37t=3sin -3 — - = 0,故 A,y max = ■.2X 1 =2.•••当 t = 2，即 x = 212,n2x — 3 ,其单调递增区间为5 n则3 = 2•又图像过点12,解析：由图像可得1T = 2^—5n, •T = n,•••2sin 2X 12 + 0 = 2, •"=—-f(x)= 2sin。
2020学年新教材高中数学课时跟踪检测(八)正弦函数的性质与图像新人教B版必修第三册
课时跟踪检测（八） 正弦函数的性质与图像A 级——学考水平达标练1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：选D 可以用特殊点来验证．当x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A 、C ；当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B.2．函数y ＝9－sin x 的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z) C.[]2k π，2k π＋π(k ∈Z) D.[]2k π－π，2k π(k ∈Z)解析：选B y ＝9－sin x 的单调递增区间与y ＝sin x 的单调递减区间相同． 3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[]0，90°上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．(多选题)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2(x ∈R)，下面结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数C ．函数f (x )的图像关于原点对称D ．函数f (x )为偶函数解析：选ABC ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ，结合函数y ＝－sin x 的图像及性质知A 、B 、C 正确．5．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫4π3，5π3D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π 解析：选C 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的x ＝4π3或5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3.故选C.6．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是______．解析：因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1，所以－1≤2m ＋1≤1，解得－1≤m ≤0. 答案：[－1,0]7．函数y ＝sin 2x ＋sin x 的值域是________．解析：令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，则y ＝t 2＋t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14.由于－1≤t ≤1，则－14≤y ≤2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，28．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________． 解析：由三角形内角和为π知，若x 为三角形中的最小角，则0＜x ≤π3，如图，由y ＝sin x 的图像知y ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32.答案： ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．解：∵f (x )的最小正周期是π， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝32.10．用“五点法”作出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的图像． 解：列表如下：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 2－sin x21232描点，用光滑曲线连起来，图像如图所示．B 级——高考水平高分练1．(多选题)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 的交点个数可能是( )A ．0B ．1C ．2D.3解析：选ABCD f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π].在同一坐标系内分别作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像，如图所示，当k >3或k <0时，两图像无交点；当k ＝3时，两图像有1个交点；当1<k <3时，两图像有2个交点；当k ＝1或k ＝0时，两图像有3个交点；当0<k <1时，两图像有4个交点．由题意知，可选A 、B 、C 、D.2．已知函数f (x )＝2sin x ，对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )A.π4B.π2C ．π D.2π解析：选C 由不等式f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)对任意x ∈R 恒成立，不难发现f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为函数f (x )＝2sin x 的半个周期．因为f (x )＝2sin x 的周期为2π，所以|x 1－x 2|的最小值为π.3．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的值域为________．解析：画出函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的图像，如图．由图像可知，当x ＝π2时，y max＝1，当x ＝4π3时，y min ＝－32，所以函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 4．求函数y ＝(sin x －1)2＋2的最大值和最小值，并说出取得最大值和最小值时相应的x 的值．解：设t ＝sin x ，则有y ＝(t －1)2＋2，且t ∈[－1,1]． 当t ＝－1时，函数y ＝(t －1)2＋2取得最大值(－1－1)2＋2＝6. 由t ＝sin x ＝－1，得x ＝2k π－π2(k ∈Z)，即当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数y ＝(sin x －1)2＋2取得最大值6.当t ＝1时，函数y ＝(t －1)2＋2取得最小值(1－1)2＋2＝2. 由t ＝sin x ＝1，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z)，即当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，函数y ＝(sin x －1)2＋2取得最小值2.5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f (sin α)与f (cos β)的大小关系是.解：由f (x ＋1)＝－f (x )， 得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )是周期函数，且2是它的一个周期． 因为函数f (x )是偶函数且在[－4，－3]上是增函数， 所以函数f (x )在[0,1]上是增函数．又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞π2，即π2＞α＞π2－β＞0， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，所以sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β， 且sin α∈[0,1]，cos β∈[0,1]，所以f (sin α)＞f (cos β)．。
(浙江专用)2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十七)正弦定理和余弦定理的应用(含解析)
课时跟踪检测（二十七） 正弦定理和余弦定理的应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°， 又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A ．5 6 mB ．15 3 mC ．5 2 mD ．15 6 m解析：选D 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，解得BC ＝152(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝156(m)．3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°，距灯塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则此船航行的速度为________n mile/h.解析：如图，由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠PNM ＝45°. 在△PMN 中，MN sin 120°＝PMsin 45°，∴MN ＝68×3222＝34 6 n mile.又由M 到N 所用的时间为14－10＝4 h ， ∴此船的航行速度v ＝3464＝1762 n mile/h.答案：17624．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________ km.解析：由条件知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，设BC ＝x km 则由余弦定理知9＝x 2＋4－4x cos 120°，∵x ＞0，∴x ＝6－1.答案：6－15．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BSsin 30°＝ABsin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：3 2二保高考，全练题型做到高考达标1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里解析：选A 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里， ∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h解析：选B 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.3．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选 C ∵tan 15°＝tan (60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C.4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.5．(2018·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )＜sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A ＜sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2＜b 2＋c 2， 即b 2＋c 2－a 2＞0.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，∵0＜A ＜π，∴0＜A ＜π2.又a 为最大边，∴A ＞π3.因此角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. 6.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°， 由正弦定理得AC sin B ＝ABsin ∠ACB ，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分钟)．答案：637．如图，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C .测量得到：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为______.⎝⎛⎭⎪⎫取cos 48.19°＝23 解析：依题意知，在△ACD 中，∠DAC ＝30°，由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝2 2.在△BCE 中，∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°＝3 2.在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝10，解得AB ＝10.答案：108．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径的长度为________m.解析：设该扇形的半径为r (m)，连接CO ，如图所示． 由题意，得CD ＝150(m)，OD ＝100(m)，∠CDO ＝60°， 在△CDO 中，由余弦定理，得CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2，即1502＋1002－2×150×100×12＝r 2，解得r ＝507(m)． 答案：5079．已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一座发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100 m 和BN ＝200 m ，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3 m 后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠B Q A ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．解：在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，∴PM ＝100 3. 连接Q M (图略)，在△P Q M 中，∠Q PM ＝60°，P Q ＝1003， ∴△P Q M 为等边三角形，∴Q M ＝100 3. 在Rt △AM Q 中，由A Q 2＝AM 2＋Q M 2，得A Q ＝200. 在Rt △BN Q 中，tan θ＝2，BN ＝200， ∴B Q ＝1005，cos θ＝55. 在△B Q A 中，BA 2＝B Q 2＋A Q 2－2B Q ·A Q ·cos θ ＝(1005)2， ∴BA ＝100 5.即两发射塔顶A ，B 之间的距离是100 5 m.10．(2018·哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B ，C ，D )．当返回舱在距地面1万米的P 点时(假定以后垂直下落，并在A 点着陆)，C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．(1)求B ，C 两救援中心间的距离； (2)求D 救援中心与着陆点A 间的距离．解：(1)由题意知PA ⊥AC ，PA ⊥AB ，则△PAC ，△PAB 均为直角三角形． 在Rt △PAC 中，PA ＝1，∠PCA ＝60°，解得AC ＝33， 在Rt △PAB 中，PA ＝1，∠PBA ＝30°，解得AB ＝3， 又∠CAB ＝90°，BC ＝AC 2＋BC 2＝303万米． (2)sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝310，cos ∠ACD ＝－110， 又∠CAD ＝30°，所以sin ∠ADC ＝sin(30°＋∠ACD )＝33－1210，在△ADC 中，由正弦定理，AC sin ∠ADC ＝ADsin ∠ACD ，得AD ＝AC ·sin∠ACD sin ∠ADC ＝9＋313万米．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，一位同学从P 1处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90°－α.后退l m 至点P 2处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，P 1，P 2三点在同一条水平线上，则塔BC 的高为________m ；旗杆BA 的高为________m ．(用含有l 和α的式子表示)解析：在Rt △BCP 1中，∠BP 1C ＝α， 在Rt △P 2BC 中，∠P 2＝α2.∵∠BP 1C ＝∠P 1BP 2＋∠P 2，∴∠P 1BP 2＝α2，即△P 1BP 2为等腰三角形，BP 1＝P 1P 2＝l ，∴BC ＝l sin α.在Rt △ACP 1中，AC CP 1＝AC l cos α＝tan(90°－α)，∴AC ＝l cos 2αsin α，则BA ＝AC －BC ＝l cos 2αsin α－l sin α＝l cos 2α－sin 2αsin α＝l cos 2αsin α.答案：l sin αl cos 2αsin α2．(2018·杭州模拟)如图所示，某镇有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上，且∠MON ＝30°，挖出泥土堆放在△OAM 地带上形成假山，剩下的△OBN 地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN 的一周安装防护网．(1)当AM ＝32km 时，求防护网的总长度；(2)为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN 的面积最小？最小面积是多少？解：(1)∵OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°， ∴A ＝60°，AB ＝6 km.在△OAM 中，由余弦定理得：OM 2＝OA 2＋AM 2－2OA ·AM ·cos A ＝274.∴OM ＝332km.由正弦定理得：AM sin ∠AOM ＝OMsin A ，即32sin ∠AOM ＝33232，∴sin ∠AOM ＝12.∴∠AOM ＝30°.∴∠AON ＝∠AOM ＋∠MON ＝60°. ∴△OAN 是等边三角形． ∴△OAN 的周长l ＝3OA ＝9. ∴防护网的总长度为9 km.(2)设∠AOM ＝θ(0°＜θ＜60°)，则∠AON ＝θ＋30°，∠OMA ＝120°－θ，∠ONA ＝90°－θ.在△OAM 中，由正弦定理得OM sin A ＝OAsin ∠OMA ，即OM32＝3sin 120°－θ＝3sin 60°＋θ.∴OM ＝332sin 60°＋θ，在△AON 中，由正弦定理得ON sin A ＝OAsin ∠ONA，即ON32＝3sin90°－θ＝3cos θ，∴ON ＝332cos θ，∴S △OMN ＝12OM ·ON ·sin∠MON＝2716cos θsin θ＋60°＝278sin 2θ＋60°＋43.∴当且仅当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°，△OMN 的面积取最小值为278＋43＝272－34km 2.。
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【精品】2020年高考数学复习分类测试题☆★☆★
课时跟踪检测（三十） 正弦定理和余弦定理（二）
A 级——保大分专练
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则 △ABC 的面积为( )
A.1
2 B.14
C ．1
D ．2
解析：选A 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝1
2(负值舍去)，由bc
＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝1
2
.
2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( )
A.π
6 B.π3
C.2π3
D.5π6
解析：选C 由已知条件和正弦定理，得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0.化简，得2sin A cos B ＋sin A ＝0.因为角A 为三角形的内角，所以sin A ≠0，所以cos B ＝－1
2，所以B
＝2π3
. 3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝22
3
，a ＝3， S △ABC ＝22，则b 的值为( )
A ．6
B ．3
C ．2
D ．2或3
解析：选D 因为S △ABC ＝1
2bc sin A ＝22，所以bc ＝6，
又因为sin A ＝22
3，A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos A ＝1
3
，因为a ＝3，
所以由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3. 4．(2018·昆明检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边
上的高等于( )
A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
解析：选A 法一：因为t a n ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝
310，c os ∠BAC ＝－110
.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·ABc os ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝
⎛⎭
⎫
－
110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝3
2，所以BC 边上的高h ＝
2S △ABC BC ＝2×3
23
＝1.
法二：在△ABC 中，因为t a n ∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，结合选项可知选A.
5．(2018·重庆九校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( )
A.3
3
B.
32
C. 3
D ．2 3
解析：选C 由a sin B ＝3b cos A ，得sin A sin B ＝3sin B cos A ，∴t a n A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3，故S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋c 22
＝3(当且仅当b ＝c ＝2时取等号)，故选C.
6．(2019·安徽名校联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )
A ．2＋ 3
B ．2＋ 2
C ．3
D ．3＋ 2
解析：选A 由b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定
理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝3
2，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B
取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又因为bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.
7．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．
解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3(负值舍去)． 故S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×32＝153
4.
答案：
1534
8．(2019·长春质量检测)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 1
2
b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋
c ＝6，则△ABC 的面积为________． 解析：由题意可知cos A 2＝sin B b ＝sin A
a ，因为a ＝23，所以t a n A ＝3，因为0<A <π，
所以A ＝π
3，由余弦定理得12＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，又因为b ＋c ＝6，所以bc ＝8，
从而△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×8×sin π
3
＝2 3.
答案：2 3
9．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π
2，点D 在边
BC 上，AD ＝1，且BD ＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin B
sin C
＝________.
解析：由∠BAC ＝π2及∠BAD ＝2∠DAC ，可得∠BAD ＝π3，∠DAC ＝π
6.由BD ＝2DC ，令DC
＝x ，则BD ＝2x .因为AD ＝1，在△ADC 中，由正弦定理得1sin C ＝x sin π6，所以sin C ＝1
2x
，在
△ABD 中，sin B ＝sin π
32x ＝34x ，所以sin B sin C ＝34x 12x
＝3
2
.
答案：
32
10．(2018·河南新乡二模)如图所示，在△ABC 中，C ＝π
3，BC ＝4，点D
在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.
解析：∵AD ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝2∠A .设AD ＝DB ＝x ， ∴在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝DB sin C ，可得4
sin 2A ＝x sin
π3
.①。