在北纬45度圈上劣弧的长度

15.6球面距离
假如你要乘坐从上海直飞好莱坞的飞机, 设想一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢?航程 大约是多少呢?
(1)在某一高度上，上海和好莱坞间的距离是一条 线段的长吗? 答：不是，是一段圆弧的长。 (2)经过球面上的这两点有多少条弧呢? 答：无数条。 (3)这无数条弧长哪条最短? 为了解决这个问题我们这节课就来研究一下地 球上两点之间的最短距离（球面距离）
练习：课本P46
巩固与提高
例3 （04全国）已知球
点都在球面上，且每两点间的球面距离都为 ，则球
o 的半径为1， A 、
B 、 C三
心到平面ABC距离为（
）
2 C．3
2
1 A． 3
B． 3
3
D
6 ． 3
O C A H d 1
B
每两点间的球面距离都为 2 AOB BOC AOC 90
1
2 OBO1 45 , BO 1 R. 2
A O
B
∴纬线圈中 AB 的长度为

2 2 . R R 2 2 4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
(2)在ABO1中， AO1B 90,
AB R, 在AOB中，
AO OB AB R AOB 60 l 3
解：假设 AOB R AB的弧长为 3 R R , 3 3
N
O1 B
B
A
O
2 R 同理得： O1 B 2 2 2 2 O1 A O1B AB

AO1B 90 因为A在西经 20 处, 所以 B在西经 S 20 90 110 ，北纬45 处 或者 在东经90 20 70 ，北纬45 处。
解：
A 、 B 、 C三点
又 OA OB 1 ，在直角三角形 AOB中 AB 2
，同理得：
AC 2Biblioteka BC 2 AOB 为正三角形，
2 3 6 ，在直角三角形 HB AB 3 2 3 2 6 3 2 BOH中 , OH 1 3 3
2.球面距离公式 l R
6 6 R A ，B的球面距离为 6
AOB, 又 EOB 68 EOA 38 , AOB 30 ，根据 l R l R R
2.位于同一纬线上两点的球面距离
例2.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度 线上，点A在东经30度，点B在东经120度。 求(1)在北纬45度圈上劣弧 AB 的长度; (2) 求经过A、B两地的球面距离？ (1)解：在BOO1中， m O OO1 B 90, OB R,
O C H B A
又
3 AOC 3 3 AC R 3 AB 1 , BC 2 , AC 3
球心 O 在平面ABC内的射影一定在 AC上， 所以点 O到平面ABC的距离为 OH
ABC 为直角三角形， A 、 B 、 C三点共圆
3 3 OO1 OA O1 A 3 2 2
O
O C A H d 1 B
d C A H
1 B
注：我们可以把球的问题转化成棱锥(或棱柱)问题来处理
练习：
（08辽宁）已知在半径为
点，
3的球面上有 A 、
B 、 C三
3 3
AB 1 BC 2 , A 、 C两点间的球面距离为
则球心到平面ABC距离为多少？
解： A 、 C两点的球面距离为
2 2
2
练习： 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离 1 都等于大圆周长的 6 , 经过3点的小圆的周 长为 4 , 那么这个球的半径为（ ） B． 2 3 C． 2 D ．3 A． 4 3
O C B
A
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
(1).位于同一经线上两点的球面距离
方法：直接代公式 (2).位于同一纬线上两点的球面距离 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化 为弧度，最后代公式。
一.定义
球面距离
球面距离：球面上两点A、 B之间的最短距离，就是 经过A、B两点的大圆在 这两点间的一段劣弧AB 的长度，我们把这个弧长 叫做两点的球面距离 距离公式： l
O
R
B

R
A
R
（其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数 ）

二.经度、纬度等概念说明
1、经线（子午线）、本初子午线；
R
3
∴ A、B两地的球面距离为 R .
A
m
O1
B O
地球上两地A 变式：把地球当作半径为 R 的球， B均在北纬 45 的纬线上， A、 B两地的球面距 R 离为 3 ,且A在西经 20 处，求点B的位置。
N
O1 B
B
A
O
S
N
O1 B
B
A
O
又 OA OB R S AB R ABO 为正三角形， 又 OAO1 45 在直角三角形 AOO1中 2 O1 A COS 45 OA R 2
纬线、赤道
2、东经、西经α°：与本初子午线所在平面所成角 ；
南纬、北纬α°：与赤道平面所成角
二.应用举例
1.位于同一经线上两点的球面距离
例1. 求东经 57 线上，纬度分别为北纬 38 和 68
的两地A ，B的球面距离． (设地球半径为R). 解 EOB EOA N
B A O E
赤道
S