例析根的判别式的应用
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
一元二次方程的根与判别式
一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。
1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。
2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。
(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。
(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。
3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。
判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解。
(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。
(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
运用根的判别式解题
运用根的判别式解题作者：曹经富来源：《数理化学习·初中版》2013年第08期根的判别式在求解一元二次方程的有关问题中占据重要的地位，现举例说明.一、不解一元二次方程，判断根的情况例1不解方程，判断下列方程的根的情况：（1） 2x2+3x=4 （2）ax2+bx=0（a≠0）分析：将方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算b2-4ac并与0进行比较.解：（1） 2x2+3x-4=0， a=2， b=3， c=-4，因为Δ=b2-4ac=32-4×2×（-4）=41>0.所以方程有两个不相等的实数根.（2）因为a≠0，所以方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，因为Δ=（-b）2-4·a·0=b2，因为无论b取任何实数，b2均为非负数，所以Δ≥0，故方程有两个实数根.小结：解决这类问题的关键是需要我们牢记一元二次根的判别式的三种情况，尤其要注意系数是字母的一元二次方程，当b2-4ac>0，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac二、根据方程根的情况，确定待定字母系数的值或取值范围例2已知关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根.（1）求n的取值范围；（2）若n分析：（1）关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式Δ=b2-4ac>0.即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围.（2）利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值.解：（1）因为关于x的方程x2-2x-2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=-2、常数项c=-2n，所以Δ=b2-4ac=4+8n>0，解得，n>-12.（2）由原方程，得（x-1）2=2n+1，所以x=1±2n+1.因为方程的两个实数根都是整数，且n所以0所以2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9，解得，n=0，n=1.5或n=4.小结：由于根的判别式是一元二次方程的系数联系的纽带，所以，涉及到一元二次方程（或二次三项式）中涉及到系数的问题时，可借助根的判别式来进行判定或者处理.方程有两个不相等的实数根，说明方程必为一元二次方程，关键是考虑b2-4ac>0，如果二次项的系数含有字母还要注意二次项系数不为零.三、判断当字母的值为何值时二次三项是完全平方式例3若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式，则k= .解析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根.即Δ=0.令16a2+ka+25=0，因为方程有两个相等的实数根，所以Δ=k2-4×16×25=0，所以k=40或者-40.答案：40或者-40小结：当Δ=0时，二次三项式是一个完全平方式，把满足题目的所有条件列成一个方程求解.四、判断二次三项式能否分解因式例4已知 k为非正数，试判断二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内能否分解因式.解析：假设二次三项式在实数范围内能分解因式，即3x2-4x+2k=3（x-x1）（x-x2），则方程3x2-4x+2k=0有两个实数根.有Δ=（-4）2-4×3×2k≥0，解得k≤23.因已知的k值在此范围内，所以已知式在实数范围内能分解因式.五、一元二次方程根的判别式在证明或几何求解中的应用例5已知关于x的方程x2-（k+1）x+（2k-2）=0.（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的底边a=3，另两边b，c好是此方程的两根，求△ABC的周长.分析：（1）计算方程的根的判别式，若Δ=b2-4ac≥0，则证明方程总有实数根.（2）已知a=3，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长.注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验.解：（1）证明：因为Δ=b2-4ac=（k+1）2-4·（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0.所以无论k取何值，方程总有实数根.（2）①若a=3为底边，则c为底边，则b=c，则Δ=0.所以（k-3）2=0，解得：k=3.此时原方程化为x2-4x+4=0所以x1=x2=2，即b=c=2.此时△ABC三边为3，2，2.②若a=b为腰，则c为底边，不妨设b=a=3代入方程：32-3（k+1）+（2k-2）=0.所以k=4.则原方程化为x2-5x+6=0.（x-2）（x-3）=0，所以x1=2，x2=3.即b=3，c=2.此时△ABC三边为3，3，2能构成三角形.综上所述：△ABC三边为3，3，2.所以周长为8或7.小结：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac，是每年中考的必考知识点.它是揭示根的性质与系数间联系的桥梁，是解决与一元二次方程相关问题的有力工具.当三角形的三边是某个方程的系数时，要想将这三边联系在一起，可以借用根的判别式来处理.六、应用根的判别式判断三角形的形状例6已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c（x2+m）+b（x2-m）-2max=0有两个相等的实数根.试判定ΔABC的形状.解析：整理原方程c（x2+m）+b（x2-m）-2max =0得：cx2+cm+bx2-bm-2max =0. 即（c+b）x2-2max +cm-bm=0.根据题意：因为方程有两个相等的实数根，所以Δ=（-2ma）2-4（c+b）（cm-bm）=0，即4ma2-4（c2m-bcm+bcm-b2m）=0.得ma2-c2m+b2m=0.所以Δ=m（a2+b2-c2）=0.又因为 m>0，所以a2+b2-c2=0，所以a2+b2=c2.又因为a，b，c为ΔABC的三边，所以ΔABC为RtΔ.小结：当三角形的三边是某个方程的系数时，要想将这三边联系在一起，可以借用根的判别式来处理.。
求根公式中根的判别式的应用
所以k的最小整数值是0.
正解：因为原方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即(－2)2－4k·(－1)>0，且k≠0.
解得k>－1.
∴k的最小整数值为1.
2．关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)假设该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不管a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
在利用求根公式解无解的一元二次方程时常因忽略利用根的判别式判断根的情况而导致计算费时，对方程进行分类讨论不充分导致漏解.
难点教学方法
1.通过对根的判别式意义的分析，使学生明确其重要性.
2.通过对典型例题的分析讲解，使学生熟练应用根的判别式.
教学环节
教学过程
导入
以下一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是〔 D 〕
应选C.
4.设关于x的方程, ，
证明:不管m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根.
所以,不管m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根.
课堂练习
〔难点稳固〕
1．假设关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，求k的最小整数值．
错解：因为原方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即(－2)2－4k·(－1)>0，
教师姓名
杨乐
单位名称
填写时间
2021年8月12日
学科
数学
年级/册
九年级〔上〕
教材版本
人教版
课题名称
21.2 一元二次方程-求根公式中根的判别式的应用
难点名称
利用根的判别式确定字母的取值或范围.
难点分析
从知识角度分析为什么难
根的判别式及其应用-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
根的判别式及其应用【知识梳理】一：判别式的值与根的关系1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根； 当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根． 二：根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 三：韦达定理韦达定理：如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的两个根,由解方程中的公式法得,1x 2x = 那么可推得1212,b cx x x x a a+=−=． 这是一元二次方程根与系数的关系【考点剖析】 题型一：判别式的值与根的关系例1．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx −++=根的判别式的值为4，求m 的值． 【答案】0．【答案】【答案】【解析】∵1a m =−，2b m =，1c =， ∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=−=−⨯−=−+=，整理即得20m m −=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =−≠，故1m ≠，由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0． 例2.当m 取何值时，关于x 221(2)104x m x m +−+−=，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >．【解析】对此方程，1a =，2b m =−，2114c m =−，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=−=−−−=−+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=−+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根； （2）当480m ∆=−+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根； （3）当480m ∆=−+<，即2m >时，方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【变式1】一元二次方程220x x −−=的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 没有实数根；D. 不确定. 【答案】B【解析】因为2(1)41(2)1890∆=−−⨯⨯−=+=>，所以方程有两个不相等的实数根. 【变式2】关于x 的方程210x mx m −+−=根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 没有实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 有两个不相等的实数根；D. 有两个实数根. 【答案】D【解析】 因为判别式2224(1)44(2)0m m m m m ∆=−−=−+=−≥，故原方程有两个实数根，故选D. 【变式3】下列方程中，没有实数根的是（ ）A. 2250x x −−=B. 2210x x −+=C. 220x x −= D. 225x x −=−【答案】D.【解析】A 、420240∆=+=>，有两不等实数根；B 、440∆=−=，有两个相等实数根；C 、40∆=>，有两个不相等的实根；D 、420160∆=−=−<，无实数根. 故正确答案选D.【变式4】当a ＝ 时，关于x 的方程2210x ax −+=有两个相等的实数根.【答案】1±【解析】由2440a ∆=−=得，1a =±.【变式5】已知方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【答案】方程无实数根．【答案】【答案】【解析】方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，代入即得：231238a b −=⎧⎨+=⎩，可解得：22a b =⎧⎨=⎩， 此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=−=−<，可知方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．【变式6】当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k −+−=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为2x k =± 【答案】【答案】【解析】对此方程，1a =，4b k =−，()221c k =−，则()()22244421164b ac k k k ∆=−=−−−=−，因为方程有实数根，则有1640k ∆=−≥，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为()4222k b x k a −−−===【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大 题型二：根的判别式的应用例3．证明：方程()()212x x k −−=有两个不相等的实数根．【解析】证明：对原方程进行整理，即为：22320x x k −+−= 其中1a =，3b =−，22c k =−则()()22224342410b ac k k ∆=−=−−−=+>恒成立，由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．【变式1】当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k −−=−−≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >．【答案】【答案】【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：()()()212210k x k x k −−−++=，此时，1a k =−，()22b k =−−，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =−≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=−=−−−+=−+，由此可知，（1）当16200k ∆=−+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根； （2）当16200k ∆=−+=，即54k =时，方程有两相等实根； （3）当16200k ∆=−+<，即54k >时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【答案】【答案】【变式2】已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++−=有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−且1m ≠−．【答案】【答案】【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠−；对此方程， 其中1a m =+，2b m =，c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−；即m 的取值范围为32m ≥−且1m ≠−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．【变式3】如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m −++=的根的情况如何?【答案】方程无实根．【答案】【答案】【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知10m +<，即1m <−，对一元二次方程21(1)04mx m x m −++=而言，其中a m =，()1b m =−+，14c m =， 则()221414214b ac m m m m ∆=−=+−⋅=+，1m <−时，0∆<恒成立，由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．【变式4】已知关于x 的方程()21230m x mx m +++−=总有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−．【答案】【答案】【解析】（1）当10m +=，即1m =−时，方程为一元一次方程240x −−=，方程有实根； 当10m +≠，即1m ≠−时，方程为一元二次方程，其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−且1m ≠−；综上所述，m 的取值范围为32m ≥−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算． 题型三：韦达定理例4．写出下列一元二次方程（方程的根为12,x x ）的两实数根的和与两实数根的积 （1）2310x x −+=，12x x +=________；12x x =________；（2）23220x x −−=，12x x += ________；12x x =________．【答案】（1）3，1；（2）23，【答案】【答案】23−．【解析】（1）1a =，3b =−，1c =，根据一元二次方程根与系数的关系，可得123b x x a +=−=，121c x x a ==；（2）3a =，2b =−，2c =−，根据一元二次方程根与系数的关系，可得1223b x x a +=−=，1223c x x a ==−；【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的a 、b 、c 值即可快速得到结果．【变式1】已知方程2560x kx +−=的一个根是2，求另一根及k 值．【答案】方程另一根为35x =−，【答案】【答案】7k =−．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125kx x +=−，1265x x =−， 令12x =，则可求得235x =−，代入可得12755k x x +=−=，可得7k =−． 【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式2】已知：关于x 的方程23190x x m −+=的一个根是1，求另一根及m 值．【答案】方程另一根为163x =，【答案】【答案】16m =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，12193x x +=，123mx x =，令11x =，则可求得2163x =，代入可得121633m x x ==，可得16m =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式3】如果5−是方程25100x bx +−=的一个根，求另一个根及b 值．【答案】方程另一根为25x =，【答案】【答案】23b =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125b x x +=−，121025x x −==−，令15x =−，则可求得225x =，代入可得122355b x x +=−=−，可得23b =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式4】已知12,x x 是方程230x px q ++=的两个根，分别根据下列条件求出p q 、的值． （1）12x x == （2）1222x x =−+=− 【答案】（1）0p =，21q =−；（2）12p =，3q =．【答案】【答案】【解析】（1）根据韦达定理，可得1203px x +=−=，1273q x x ==−，可得0p =，21q =−； （2）根据韦达定理，可得1243px x +=−=−，1213q x x ==，可得12p =，3q =． 【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量．【变式5】设12,x x 是方程22430x x +−=的两个根，求()()1211x x ++的值．【答案】【答案】【答案】52−．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足12422x x +=−=−，1232x x =−， 由此()()()()121212*********x x x x x x ⎛⎫++=+++=−+−+=− ⎪⎝⎭． 【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．【变式6】已知方程22210x ax a +−+=的两个实根的平方和为174，求a 的值；【答案】【答案】【答案】3a =．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足122ax x +=−，12122a x x −=，依题意有 2212174x x +=，即()221212121227224a a x x x x −⎛⎫+−=−−⨯= ⎪⎝⎭，整理即得28330a a +−=，解得：111a =−，23a =；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足()2242211680a a a a ∆=−⨯−+=+−≥，仅在3a =时0∆≥成立，综上所述，可得3a =．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足0∆≥．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022秋•徐汇区期末）若方程﹣3x +m ＝0有一根是1，则另一根是（ ） A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【分析】根据根与系数的关系列出关于另一根n 的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：设方程的另一根为n ， ∵方程x2﹣3x+m ＝0有一根是1， ∴1+n ＝3，解得：n ＝2， 故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根于系数的关系，解题的关键是弄清楚一元二次方程的两根之和与系数a 、b 的关系．2．（2022秋•青浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）A ．B ．（x ﹣2）2＝5C ．x 2+2x ＝0D ．【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．【解答】解：A．x2﹣x+＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，∴方程有两个相等的实数根；B．x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根；C．x2+2x＝0，∵Δ＝22﹣4×1×0＝4，∴方程有两个不相等的实数根；D．2x2﹣x+1＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×1＝﹣6＜0，∴方程没有实数根．故选：A．ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．3．（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．4．（2022秋•黄浦区期中）下列方程中，无实数根的方程为（）A．2x2+6x＝3B．3x2+4x+6＝0C．x2﹣2x＝0D．3x2﹣4x﹣6＝0【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断四个方程的根的情况即可．【解答】解：A．方程化为一般式为2x2+6x﹣3＝0，Δ＝62﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B．Δ＝42﹣4×3×6＝﹣56＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C．Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D．Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣6）＝88＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2022秋•宝山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式得Δ＝b2+4a2b，根据根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，即可确定判别式得符号，进一步确定根的情况．【解答】解：在一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0中，Δ＝b2+4a2b，根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．6．（2022秋•闵行区期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程ax2+2（b﹣c）x+a＝0的实数根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），根据三角形的三边关系可知Δ＜0，可知一元二次方程根的情况．【解答】解：Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），∵a、b、c是三角形三边的长，∴b﹣c+a＞0，b﹣c﹣a＜0，∴Δ＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）＜0，∴原方程没有实数根，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•黄浦区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为，积为．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系x2﹣3x+2＝0两个根的和为3，积为2．故答案为：3，2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．8．（2022秋•普陀区校级期中）若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是．【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，即可得出b2＝﹣4c，将其代入中，即可求出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4×1×（﹣c）＝0，∴b2＝﹣4c，又∵c≠0，∴＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．9．（2022秋•长宁区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2+2x＝1，方程有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解答】解：将原方程转化为一般形式得（m+1）x2+2x﹣1＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：m＞﹣2且m≠﹣1，∴m的取值范围是m＞﹣2且m≠﹣1．故答案为：m＞﹣2且m≠﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．10．（20222，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为．【分析】讨论：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，利用判别式的意义得到∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解方程得到m的值；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，求出m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，然后根据三角形三边的关系可判断这种情况不符合题意．【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，综上所述，m的值为9．故答案为9．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．11．（2022秋•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是．【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4m×1＞0且m≠0，解得：m＜1且m≠0．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．12．（2022秋•徐汇区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，得出Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，∴Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，∴m＜﹣，故答案为：m＜﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式，关键是掌握Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．13．（2022秋•浦东新区校级月考）等腰△ABC的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是．【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．【解答】解：设关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别为a、b．∵方程x2﹣10x+m＝0有两个实数根，∴Δ＝100﹣4m≥0，得m≤25．①当底边长为3时，另两边相等时，a+b＝10，∴另两边的长都是为5，则m＝ab＝25；②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+m＝0的根，而a+b＝10，∴另一根为：7．∵3+3＜7，不能构成三角形．∴m的值为25．故答案为：25．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．14．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，则m＝．【分析】根据根的判别式得出方程（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，求出方程的解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，解得：m＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．15．（2022秋•奉贤区期中）当k时，关于x的方程有两个实数根．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，解得k≤且k≠0，即k的取值范围为k≤且k≠0．故答案为：≤且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．（2022秋•杨浦区期中）如果关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，解得m＞﹣且m≠0，即m的取值范围为m＞﹣且m≠0，故答案为：m＞﹣且m≠0，【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．17．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于x的方程（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0的根是正整数，则整数m的值为．【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值．【解答】解：当m﹣3＝0，即m＝3时，方程为8x+24＝0，解得x＝﹣3，不合题意舍去；当m﹣3≠0，即m≠3时，（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0[（m﹣3）x﹣（2m+2）]（x﹣m）＝0，∴x1＝＝，x2＝m，∵方程的两个实数根都为正整数，∴是正整数，∴m＝4或5或7或11，故答案为：3或4或5或7或11．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是结合方程的解为正整数，找出关于m的分式方程．18．（2022秋•黄浦区期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是．【分析】根据根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程．【解答】解：∵1+（﹣）＝1﹣，1×（﹣）＝﹣，∴这个方程的一般式是x2+（﹣1）x﹣＝0．故答案为：x2+（﹣1）x﹣＝0．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•奉贤区期中）已知△ABC的两边是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，第三边的长为4，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这两边的长．【分析】设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，利用根与系数的关系得到a+b＝10，ab＝m，讨论：当a＝b＝5时，易得m＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4或b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形．【解答】解：设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则a+b＝10，ab＝m，当a＝b＝5时，m＝5×5＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4时，b＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；当b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；综上所述，当m＝25时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为5，5；当m＝24时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为4，6．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了等腰三角形的判断．20．（2022秋•静安区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数）．（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．（2）如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．（3）如果该方程没有实数根，求m的取值范围．【分析】先求出Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据该方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，进一步求解即可；（2）根据该方程有两个相等的实数根，可得Δ＝4m+8＝0，进一步求解即可；（3）根据该方程没有实数根，可得Δ＝4m+8＜0，进一步求解即可．【解答】解：关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数），a＝m+1，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据题意，得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，解得m＞﹣2且m≠﹣1；（2）根据题意，得Δ＝4m+8＝0，解得m＝﹣2；（3）根据题意，得Δ＝4m+8＜0，解得m＜﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．21．（2022x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根．求m的值并求出两个实数根．【分析】由一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，得Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，可解得m＝±2，然后把m＝±2代入方程，解此方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，原方程变为：x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1，当m＝﹣2时，原方程变为：x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解与b2﹣4ac的关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解是解决问题的关键．22．（2022秋•徐汇区校级期中）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论可得出m可取的最大非零整数为﹣1，将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4×1×m2＝4﹣8m≥0，解得：m≤，∴m的取值范围为m≤．（2）∵m≤，∴当m取最大非零整数时，m＝﹣1．当m＝﹣1时，原方程为x2+4x+1＝0，解得：x1＝＝﹣2﹣，x2＝＝﹣2+．∴当m取最大非零整数时，方程的两个根分别为x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2+．【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）代入m的值，利用公式法求出一元二次方程的解．23．（2022秋•杨浦区期末）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．【分析】由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．【解答】解：由题意知，m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1，∴m1＝0（舍去），m2＝2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，解得，x1＝1，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．24．（2022秋•青浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，求m能取的正整数值．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，然后求出m的取值范围，进而求出结果．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，解得m≤3且m≠1．故m能取的正整数值为2，3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．25．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程（k﹣2）x2+6kx+4k﹣1＝0．（1）只有一个根，求k的值，并求此时方程的根；（2）有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由题意得k﹣2＝0≠0，即k＝2，列出方程求解可得；（2）根据题意得：k﹣2≠0且Δ＝0，解方程可得k的值，再代入列出关于x的方程，求解可得．【解答】解：（1）因为只有一个根所以k﹣2＝0且6k≠0，解得k＝2，∴方程为12x+7＝0，解得x＝，所以方程的根为x＝；（2）根据题意，得：k﹣2≠0，即k≠2，Δ＝0，即（6k）2﹣4（k﹣2）×（4k﹣1）＝0，解得k1＝，k2＝﹣2，当k＝时，方程为9x2﹣6x+1＝0，即（3x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝，当k＝﹣2时，方程为4x2+12x+9＝0，即（2x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣．【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．26．（2022秋•杨浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0．（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根，∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0，解得：m≥2，∴当方程有两个实数根，m的取值范围为m≥2．（2）当7为底时，由题意得，Δ＝，则8m﹣16＝0，解得m＝2，此时一元二次方程x2﹣6x+9＝0解得x＝3，因为3+3＜7，舍去；当7为腰时，将x＝7代入得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m＝4或m＝10，当m＝10时，得三边长为7、7、15，因为7+7＜15（舍去），当m＝4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形，故m的值为4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决．27．（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个。
第二讲 根的判别式及其应用
例4．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0．
（2）若等腰∆ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
（2）②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
【解析】
把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，
∴∆=b2-4ac =[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1) =8+8k2 >0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
k2≥
例2．当m为什么值时，关于x的方程 m2 −4 x2 +2 m+1 x+1=0有实根．
【点拨】讨论：分 m2 −4=0和m2 −4≠0 两种情况.
【解析】当m2−4=0，
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式
△=b2-4ac
一元二次方程的根的情况取决于
2
Δ=b -4ac>0
方程有两个不相等的实数根.
Δ=b2-4ac的符号.
Δ=b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根.
Δ=b2-4ac<0
方程没有实数根.
反之也成立
注意
（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、
∴方程总有两个实数根；
m 2 ( m 2)
x
（2）由求根公式得 x1=1，x2= 2 ，∵x1=1为整数，
2m
m
2
∴必须x2= 为整数即可，∵ m取正整数 ∴m =1或2．
m
例6．已知关于x的方程mx 2-(m+2)x+2=0(m≠0).
专题课堂(三)一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
解：(1)将原方程整理为x2＋2(m－1)x＋m2＝0，∵原方程有两个实数 1 根，∴Δ＝[2(m－1)]2－4m2＝－8m＋4≥0，解集m≤ 2 (2)∵x1，x2为x2＋2(m－1)x＋m2＝0有两个实数根，∴y＝x1＋x2＝－ 1 1 2m＋2，且m≤ ，∵y随m的增大而减小，∴当m＝ 时，y取得最小值 2 2
2．关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为
△ABC三边的长． (1)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：(1)∵方程有两个相等的实数根 ，∴(2b)2 －4(a ＋c)(a －c) ＝0，∴4b2
k 解：(1)由题意可得Δ＝(k＋2)2－4k× ＞0，∴4k＋4＞0，∴k＞－1且 4 x1＋x2 k＋2 1 1 k≠0 (2)∵ ＋ ＝0，∴ ＝0，∴x1＋x2＝0，∴－ ＝0，∴k＝ x1 x2 x1x2 k －2，又∵k＞－1且k≠0，∴不存在实数k使两个实数根的倒数和等于0
【例2】已知关于x的一元二次方程x2＝2(1－m)x－m2的两个实数根为x1， x2. (1)求m的取值范围Байду номын сангаас (2)设y＝x1＋x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值． 分析：(1)由根的情况确定关于m的不等式，解关于m的不等式，求出m 的取值范围； (2)x1＋x2＝－2(m－1)，代入y＝x1＋x2中，根据一次函数的增减性求 m 的值．
第22章 一元二次方程 专题课堂(三)一元二次方程根的判别 式及根与系数关系的应用
一、根的判别式的应用
类型：(1)通过求b2－4ac的值，判断一元二次方程的根的情况；(2)根据方 程根的情况求出字母系数的取值范围．
二次函数的解析式和根的判别式
二次函数的解析式和根的判别式二次函数是一种常见的数学函数形式，具有解析式和根的判别式。
在本文中，我们将探讨二次函数的解析式以及根的判别式，并通过例子来说明它们的应用。
一、二次函数的解析式二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
这里的x和y分别代表函数的自变量和因变量。
解析式是二次函数的数学表示方式，它们可以帮助我们准确地描绘二次函数的图像。
解析式中的系数a、b、c决定了二次函数的特征，如开口方向、顶点坐标等。
通过解析式，我们可以推导出二次函数的重要参数：1. 开口方向：若a > 0，则二次函数开口向上；若a < 0，则二次函数开口向下。
2. 顶点坐标：对于开口向上的二次函数，顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ为判别式；对于开口向下的二次函数，顶点坐标为(-b/2a, Δ/4a)。
3. 对称轴：二次函数的对称轴为x = -b/2a。
4. y轴截距：二次函数与y轴交点的纵坐标为常数项c。
5. x轴截距：二次函数与x轴交点的横坐标可通过令y = 0解方程获得。
通过解析式，我们可以更好地理解和分析二次函数的性质。
二、二次函数的根的判别式根的判别式是用来判断二次函数的根的性质和情况的一种公式，它由解析式中的系数a、b、c推导得出。
根的判别式Δ的计算公式为：Δ = b² - 4ac。
根的判别式Δ可以有以下三种情况：1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。
这意味着二次函数与x轴有两个交点，此时二次函数图像与x轴相交于两处。
2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根，也称为重根。
这意味着二次函数与x轴有一个交点，此时二次函数图像与x轴相切于一处。
3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根，而是有两个共轭的虚根。
这意味着二次函数图像与x轴没有交点，完全位于x轴的上方或下方。
通过根的判别式，我们可以判断二次函数的根的情况，进而推断二次函数的图像特征。
一元二次方程根的判别式的多种应用
一元二次方程根的判别式的多种应用一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根，∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥-又∵m-4≠0 ∴m≠4∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。
例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0l 有两个不相等的实数根l 有两个相等的实数根l 有两个实数根l 有一个实数根l 有实数根l 无实数根评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。
三、证明方程根的性质。
例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
一元二次方程根的判别式在解几何问题中的应用
浅析”“∆在解几何问题中的应用江苏省睢宁县双沟中学赵光朋（221212）通过恰当的途径，构建一元二次方程模型，在其有解的前提下，应用0≥∆或∆＞0去探讨某些几何问题，有时可收到条理清晰、简捷明快的解题效果.举例说明如下：一、在三角形问题中的应用例1.当斜边一定时，求直角三角形周长的最大值.解：设直角三角形的两条直角边长分别为b a 、，斜边为c ，周长为l .则l c b a =++，c l b a -=+ （1）.所以22)()(c l b a -=+，即222222c cl l b ab a +-=++.又222c b a =+，所以222cl l ab -= （2）.由（1）、（2）知b a 、是方程022)(22=-+--cl l x l c x 的两个实数根.所以0224)]([22≥-⨯---=∆cll l c .整理，得0222≥--c cl l ,求得c l ）（21+≤，所以周长l 的最大值是c ）（21+.点评：上述解法中，通过设三角形的边长和周长，再巧妙变换，并利用韦达定理构造一元二次方程，为应用根的判别式“∆”做好了准备.例2.三角形有一个内角为060，此角所对的边长为1，求证其余两边的和不大于2.证明：如图1，ABC ∆中，060=∠B ,1=AC .过A 作BC AD ⊥于D ，设x BD =，通过ADC Rt ABD Rt ∆∆和,得x AB 2=，x AD 3=，231x DC -=.令2312x x x BC AB y -++=+=，整理，得关于x 的一元二次方程0161222=-+-y xy x .由)1(1243622-⨯-=∆y y 0≥，得048122≥+-y ，所以，22≤≤-y ，y 的最大值为2，即其余两边的和不大于2.点评：在此解法中，适时地引入变量y x 、，并将他们的关系用一个等式表达出来，为构造一元二次方程明确了目标，为应用”“∆埋下了伏笔.例3.如图2，已知ABC ∆的面积为S ,作一条直线l ∥BC ,且与AC AB 、分别交于E D 、两点。
初中数学“根的判别式”的应用
初中数学“根的判别式”的应用作者：张小龙来源：《江西教育·综合版》2013年第06期在初中数学教学中，根的判别式不仅仅用于解决一元二次方程的有关问题，在二次三项式、二次函数等问题中的应用也极为广泛。
我们若能熟练掌握它的各种用法，可以提高解题能力和综合应用知识的能力。
下面举例说明它的几种常见应用。
要点复习：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式是△=b2-4ac（1）△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△=b2-4ac反之也成立。
一、解决一元二次方程根的情况的有关问题例1 方程2x2+mx-1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定解析：因为b2-4ac=m2-4×2×（-1）=m2+8>0，所以方程有两个不相等的实数根。
故答案选A。
二、解决根与系数的关系的有关问题例2 关于x的方程x2-（m -1）x-3m-2=0的两个实数根的平方和为17，试求m的值。
解析：设该方程的两个根为x1、x2，则x1+x2=m-1，x1x2=-3m-2，所以x12+ x22=（x1+x2）2-2 x1x2=m2+4m+5=17，解得m=-6或2。
当m=-6时，△=m2+10m+9=-150，方程有实数根，故只取m=2。
三、判定二次三项式是完全平方式的应用例3 若关于x 的二次三项式x2+ kx+9是完全平方式，则k的值=______；若关于x 的二次三项式（k+1）x2+kx-1是完全平方式，则k的值=______。
解析：因为x2+kx+9是完全平方式，所以x2+ kx+9=0有两个相等的实数根，即b2-4ac=k2-4×9=0，所以k=±6；同理，k2+4（k+1）=0，得k=-2。
四、解决根的判别式的判别式问题例4 关于x的方程x2-2mx+2m+k=0有有理根，其中m为有理数，试求k的值。
二次方程的根与判别式
二次方程的根与判别式二次方程是一个非常重要的数学概念，它在数学和科学的许多领域中起着重要的作用。
在本文中，我们将重点讨论二次方程的根以及如何使用判别式来解决这些方程。
一、二次方程的标准形式首先，让我们回顾一下二次方程的标准形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c是实数常数，且a不等于0。
方程中的x表示我们要解决的未知数。
二、二次方程的根根据二次方程的定义，我们知道它的根是能够使方程等于零的x值。
一个二次方程可能具有以下三种不同的根的情况：1. 有两个不同的实数根：当判别式（b^2 - 4ac）大于零时，方程有两个实数根。
我们可以使用以下公式来计算这些根：x = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a这两个根的值是不同的，一个是加号，一个是减号。
2. 有两个相等的实数根：当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根。
我们可以使用以下公式来计算这些根：x = -b / 2a也就是说，两个根的值是相同的。
3. 没有实数根：当判别式小于零时，方程没有实数根。
这种情况下，方程的解是复数，通常以a+bi或a-bi的形式呈现，其中a和b都是实数。
三、判别式的作用判别式在解决二次方程时起着至关重要的作用。
根据判别式的值，我们可以得出以下结论：1. 当判别式大于零时，方程有两个不同的实数根。
2. 当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根。
3. 当判别式小于零时，方程没有实数根。
通过判别式，我们可以轻松确定二次方程的解的性质，从而更好地理解和解决各种数学和科学问题。
四、示例分析让我们通过一个示例来演示如何使用判别式解决二次方程。
假设我们有一个方程：2x^2 + 5x + 2 = 0首先，我们可以计算判别式：判别式 = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9由于判别式大于零，我们可以得出结论，该方程有两个不同的实数根。
根的判别式
一元二次方程根的判别式的综合应用一、知识要点：1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根.定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0.定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0.定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0.注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.二.根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a≠0)解：(1) 2x2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4,∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0∴方程有两个不相等的实数根。
(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2,∵无论b取任何关数，b2均为非负数，∴Δ≥0， 故方程有两个实数根。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9（3）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
走进中考看“根的判别式”
． （ｍ－２） 一２ｍ（ｍ一１）
．．
＝一， ２—２， ＋４
的 取 值 不 唯 程变形为 ｘ＇＋２ｘ＋１＝０
．
２ 则方
解得 － 一 １．
【评 注 】利 用根 的判 别式判 定含有 字母 系
主 矍 鬈：蓑 挈萼 靠
负性证明即可．
’ 。 一
‘ ～
． ｝ 一 ｒ
一
．
解 ：’．‘△＝（－７） 一４×（一２）＝５７＞０，
· ．．
方程
有两
个不相等的实数根．
故应选 ：Ａ．
【评 注 】本题 直接考 查 了一元二 次方程 根
的判别 式的知识 ，解答这 类问题的关键 是掌握
一 元 二次 方程 根 的判 别 式 （ｂ２－４ａｃ）与一 元二
次方程根 的情况之间的关 系．
Ａ ．
Ｉ一
定
不是
关
于
的
方
程 ：＋ｂｘ＋。：０
的根
． Ｂ０一 定 不 是 关 于 的 方 程 ：＋ｂｘ＋。：０ ．
根系的判别式及应用
根系的判别式及应用根系是由一个多项式的所有根所构成的集合。
判别式是用来判断多项式的根系类型的代数量，它可用于对多项式进行分类和分析。
判别式的计算公式取决于多项式的次数和系数，不同的判别式对应于不同的根系类型。
在数学中，根系的判别式及其应用具有广泛的意义和应用。
下面将介绍根系的判别式及其应用方面的内容。
第一节：根系的判别式对于一个n次多项式f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+...+an-1x+an，它的判别式可以用来判断它的根系类型。
具体而言：1. 如果判别式Δ=∏(ai-aj)^2=0，则多项式f(x)有重根。
也就是说，多项式f(x)存在至少两个根相等的情况。
2. 如果判别式Δ>0，则多项式f(x)有n个不同的实根。
这意味着多项式f(x)的根是一个由不同实数构成的集合。
3. 如果判别式Δ<0，则多项式f(x)有n个不同的复根。
也就是说，多项式f(x)的根是一个由复数构成的集合。
需要注意的是，当多项式的次数特别高时，计算判别式可能会非常复杂。
因此，在实际应用中，我们通常使用计算机来计算判别式。
第二节：根系判别式的应用根系判别式在数学和其他领域有着广泛的应用。
以下是根系判别式的一些常见应用：1. 多项式的因式分解：根系判别式可以用来判断一个多项式是否可分解，并找到它的因式。
通过判断判别式的值和类型，我们可以确定多项式是否可以被因式分解，以及如何找到它的因式。
2. 求解方程：根系判别式可以帮助我们求解各种类型的方程。
根据判别式的值和类型，我们可以确定方程的根的数量、根的类型（实根或复根）以及根的位置。
3. 研究函数的性质：根系判别式可以用来研究函数的性质，特别是在寻找函数的极值点和拐点时。
通过计算判别式的值和类型，可以确定函数的拐点和极值点的位置，并研究它们的性质。
4. 优化问题：根系判别式在一些优化问题中也有应用。
通过计算判别式的值和类型，我们可以确定函数的最大值、最小值以及它们的位置，从而得出问题的最优解。
椭圆方程根的判别式的六种常见应用
椭圆方程根的判别式的六种常见应用
1. 判断椭圆方程的根的个数
椭圆方程的根的判别式可以帮助我们判断椭圆方程的根的个数。
如果判别式为正，则方程有两个不相等的实根；如果判别式为零，
则方程有两个相等的实根；如果判别式为负，则方程没有实根。
2. 求解椭圆方程的根
根据椭圆方程的根的判别式，我们可以直接使用判别式公式来
求解方程的根。
通过代入判别式的值，我们可以得到方程的根的具
体数值。
3. 确定椭圆方程的形状
椭圆方程的根的判别式也可以帮助我们确定椭圆的形状。
通过
判别式的正负性，我们可以知道椭圆是一个实椭圆还是一个虚椭圆。
正判别式表示实椭圆，负判别式表示虚椭圆。
4. 判定椭圆方程的解的类型
椭圆方程根的判别式还可以用来判定椭圆方程的解的类型。
如果判别式为正，则方程的解是实数解；如果判别式为零，则方程的解是重根；如果判别式为负，则方程的解是复数解。
5. 探讨椭圆方程的对称性
利用椭圆方程根的判别式，我们可以推测椭圆方程的对称性。
若判别式为正，则椭圆方程是关于 x 轴和 y 轴对称的；若判别式为负，则椭圆方程没有对称性。
6. 验证椭圆方程的特殊情况
椭圆方程根的判别式还可以用来验证椭圆方程的特殊情况。
例如，当判别式为零时，我们可以知道方程的两个根相等，从而可以推断出方程对应的是一个圆。
通过以上六种常见应用，我们可以利用椭圆方程根的判别式来对方程进行分析和求解，进一步深入理解椭圆方程的性质和特点。
根的判别式法
根的判别式法
在微积分领域，根的判别式法是指根据一个多项式的最高次幂和系数，来推断该多项式的根的总体数目以及根的类型的方法。
这种方法是在19世纪早期由法国数学家瓦西里列斐（Vaclav Lejeune Dirichlet）提出的，近代广泛应用于求解多项式方程，它也称为“列斐判别式法”。
根的判别式法主要用于多项式，而且要求多项式的最高次幂大于等于4，因为一元二次方程及一元三次方程是十分简单的，有一定的解析解，而且通过一般的复算法就可以求出根。
例如：
一元二次方程ax+bx+c=0，共有两个根，判别式为 D＝b-4ac 若D＞0，有两个不同的根，即x1=（-b+√D）/2a 与 x2=（-b-√D）/2a
若D＝0，有两个相同的根，即x1=x2=（-b+√D）/2a
若D＜0，则方程无解。
根的判别式法通过一定的方法来确定多项式方程的根，并且能够得出他们的数目和种类。
在使用该法求解多项式方程时，需要把多项式先化简为一个更加简单的表达式，然后用判别式求出此式的根，它要求多项式的最高次幂至少是4，这也就是为什么说这是一种比较复杂的方式。
但是，这也是当今最有效的方法。
由于根的判别式的存在，近代的数学求解多项式方程的效率得到了极大的提高。
现在，有了根的判别式，只要高数掌握此方法，就可以在几分钟内求解出多项式方程的根，为许多数学问题的解决提供了
方便。
因此，根的判别式法在数学领域具有重要意义，它不仅能够有效地提高效率，而且简单易懂，让人们更易掌握，从而帮助许多学习数学的人解决问题。
由此可见，根的判别式法在当今数学学习中仍然具有重要的地位和作用。
八年级数学下册(沪科版)例析根的判别式的应用
例析b 2-4ac 的应用一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）是否有实数根，关健由b 2-4ac 的符号确定：当b 2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根．一、不解方程，判断方程根的情况例1下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋4＝0B ．4x 2－4x ＋1＝0C ．x 2＋x ＋3＝0D ．x 2＋2x ＝1解析：判断一元二次方程根的情况时，只在确定b 2-4ac 的符号即可，在四个选项中，容易确定A 、C 选项b 2-4ac<0，都没有实数根；B 选项b 2-4ac=0有两个相等的实数根；只有D 选项b 2-4ac>0，有两个不相等的实数根．故选D ．说明：在判断一元二次方程根的情况时，如果所给方程不是一般形式，必须先化为一般式，同时要注意一元二次方程中各项系数的符号．二、由根的情况，确定字母系数的取值例2 关于x 的一元二次方程kx 2-2(k+1)x+k-1=0有实数根，则k 的取值范围是 ．解析：根据题意，k≠0，并且b 2-4ac=[-2(k+1)]2-4k （k-1）=12k+4≥0．所以k≥31 且k≠0． 说明：对于二次项系数含有字母的一元二次方程，要特别注意“二次项系数不等于0”这一隐含条件的应用．三、用于推理例3 对于二次三项式x 2-8x+36，小明同学作出如下的结论：不论x 取什么实数，它的值都不可能等于12，你是否同意他的说法？说明你的理由．解析：假设二次三项式的值能等于12，即x 2-8x+36=12整理得x 2-8x+24=0因为b2-4ac=（-8）2-4×1×24=-32<0所以x2-8x+24=0没有实数根．所以不论x取什么实数，二次三项式x2-8x+36的值都不能等于12．所以，同意小明的说法．。
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例析b 2-4ac 的应用
一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）是否有实数根，关健由b 2-4ac 的符号确定：当b 2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根．
一、不解方程，判断方程根的情况
例1下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A ．x 2＋4＝0
B ．4x 2－4x ＋1＝0
C ．x 2＋x ＋3＝0
D ．x 2＋2x ＝1
解析：判断一元二次方程根的情况时，只在确定b 2-4ac 的符号即可，在四个选项中，容易确定A 、C 选项b 2-4ac<0，都没有实数根；B 选项b 2-4ac=0有两个相等的实数根；只有D 选项b 2-4ac>0，有两个不相等的实数根．
故选D ．
说明：在判断一元二次方程根的情况时，如果所给方程不是一般形式，必须先化为一般式，同时要注意一元二次方程中各项系数的符号．
二、由根的情况，确定字母系数的取值
例2 关于x 的一元二次方程kx 2-2(k+1)x+k-1=0有实数根，则k 的取值范围是 ．
解析：根据题意，k≠0，并且b 2-4ac=[-2(k+1)]2-4k （k-1）=12k+4≥0．
所以k≥3
1 且k≠0． 说明：对于二次项系数含有字母的一元二次方程，要特别注意“二次项系数不等于0”这一隐含条件的应用．
三、用于推理
例3 对于二次三项式x 2-8x+36，小明同学作出如下的结论：不论x 取什么实数，它的值都不可能等于12，你是否同意他的说法？说明你的理由．
解析：假设二次三项式的值能等于12，
即x 2-8x+36=12
整理得x 2-8x+24=0
因为b2-4ac=（-8）2-4×1×24=-32<0
所以x2-8x+24=0没有实数根．
所以不论x取什么实数，二次三项式x2-8x+36的值都不能等于12．所以，同意小明的说法．。