10.3组合(2)--组合数的性质
10.3组合⑴-组合与组合数公式
例6 圆周上有10个点，以任意三点为顶点画圆 内接三角形，一共可以画多少个？
解
巩 固 知 识 典 型 例 题
可以画出的圆内接三角形的个数为 分析 3 C10 120个． 只要选出 3! 三个点三角 即可以画出120个圆内接三角形． 形就唯一确 定，与三个 点的排列顺 序无关，所 以是计算从 10个不同元 素中取3个 元素的组合
新授概念
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？ 共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一 组”． 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
n n m m m m
n ( n 1)( n 2) ( n m 1) 组合数公式: C m Am m! P
m n m P An
n! m P Am ,A Pm m! n (n m) !
m n
被选数的阶乘
n! m Cn m !(n m)!
剩余数的阶乘 选出数的阶乘
例题讲解 例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题? (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问 候，共需握手多少次? 组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种 不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点 的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
深化理解 如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是: ab , ac , bc (有3个组合) 如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素 的所有组合. a b c
10.3组合与组合数公式
(4) 10人聚會，見面後每兩人之間要握手相互問候，共需 握手多少次? 組合問題 (5) 從4個風景點中選出2個,並確定這2個風景點的遊覽 順序,有多少種不同的方法? 排列問題
如:從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所 有組合分別是: ab , ac , bc 如:已知4個元素a , b , c , d ,寫出每次取出兩個元素 的所有組合。 c b a
m 1 m1 Cn 例2 證明C nm
m n
例3 設 3C 10C
3 n
2 n2
，求n的值。
例4 一平面上，共有20點，無三點共線，可連成 多少條直線？多少個三角形？ 平面上，每兩點可決定一條直線，又20點中 解： 無三點共線，則應可連成的直線有
20 19 C 190 條 1 2
2 20
平面上，不共線的三點可決定一個三角形， 則可連成的三角形有
20 19 18 C 1140 條 1 2 3
3 20
例5 在100件產品中，有98件合格品，2件次品，從這100 件產品中任意抽出3件， (1) 一共有多少種不同的取法? (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種? (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種? 解: (1) 從100件產品中取出3件的種數是
adb
adc
bda
bdc
cda
cdb
dca
dcb
組合
排列
abc acb abd adb acd adc bcd bdc bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
abc abd acd bcd
求 A 可分兩步考慮： 3 第一步，先從4個元素中取3個，有 C 4 種情況； 第二步，取出的3個元素作全排列，有 3 A3 種情況；
组合数的两个性质
组合数的两个性质《组合数的两个性质》说课稿一、教材分析:组合数的两个性质的教学只需一课时,通过性质的学习, 一方面可以加强组合数公式的计算、变形能力,简化组合数的计算 . 另一方面也为以后学习《二项式定理的性质》、《杨辉三角》等内容提供了理论基础 . 故组合数性质是一个承上启下的内容 .二、教学设计中的几点思考:1、两个性质的引入:性质 1由问题“简化计算98100C ”引入,直奔主题,体现性质 1的必要性;由于性质 2的背景相对较复杂,故由具体问题分层次地引入,给学生提供思考的素材,而把抽象概括的主动权交给了学生 .2、教学方法:鉴于性质本身比较简单,其发现过程易于组织成师生互动的教学活动,故教学方法以启发学生观察思考分析讨论为主,两个性质的得出均采用由特殊到一般、由具体到抽象的方法,让学生经历知识的形成、发展过程,帮助学生认识数学的本质 .3、“规定”的教学:“规定”是数学内容的重要组成部分 . 它既体现一种数学文化,又体现数学知识之间的内在和谐,给学生以美的熏陶 . 对“规定”的教学不应一笔带过,应充分体现其合理性和必要性,让学生感到“规定”是油然而生的,合情合理的, 而不是强加给他的 . 本课通过问题 5的讨论,自然地引导学生得出 10=n C 的结论 . 如果时间允许, 可适当介绍其他一些“规定” 的由来 (如 , 1! 0, 10 ==a 有理数、 ???, , 等等) ,以扩大学生的视野 .4、本质和形式化的关系:抽象成为形式(及其符号的演算)的数学,既有很大的一般性(从而有它的广泛应用性) , 也给一些学生带来了领悟与学习上的困难 . 所以理解和领悟性质的本质成为本节课学生学习的难点 .基于以上观点,本课在教学设计中紧密联系形式所反映的内容来进行形式的教学 . 用一个个求组合数的实例对组合数的性质进行了诠释 . 做到形式与内容相结合!在如何进行“形式化”内容(如公式、性质、法则等)的教学方面做了些尝试 . (具体详见教案,不再赘述! )5、思维灵活性的培养灵活性的本质——换个角度看问题,而演算两次.... 是从不同的角度看问题的另一种说法,是一种重要的数学思想方法,是培养学生思维灵活性的重要途径 . 本课的例 1、例 2、例 4、例 5及“推而想之”均是这一思想的应用,通过多次强化,多次体验,不断加深学生对这一思想方法的理解和感悟!6、学习方法:新课程标准以丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念 . 性质一的教学采用问题探究模式,创设问题情境(由问题 1~问题 7组成) ,将数学教学设计成数学活动的教学,鼓励学生积极参与教学活动 (包括思维的参与和行为的参与) ,引导学生自主探究与合作交流,鼓励学生发现数学规律,经历知识的形成过程 .性质二的教学则给学生留下了适当的拓展、延伸的时间和空间,对该课题作进一步的探索、研究 .. 如例 5和“推而想之” .相关文档：更多相关文档请访问：。
组合数的性质(2)
由分类计数原理，得
组合数性质2
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
性质1 C
m n
=
C
nm n
m 1
性质2
c n 1 c n c n
m
m
例
(1)
计算
C 200 ;
198
C
2
3 100
2 200
200 199 21
19900
( 2)
( 3)
C 2C C C .
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得: C5 4095
29
练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
Thank you！
3 2 3 2 C.C8 C7 C7 C8
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员， 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
AC . A
2 5
3 3
B.2C A
3 5
3 3
C. A
3 5
D.2C A A
2 5 3 3
3 5
课堂练习： 5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
4 6 4
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
组合⑵组合数的两个性质
解：（1）取出3个球中有黑球的方法数
C72
7 6 21 2!
例题讲解
例3．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球. （1）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多 少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑 球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，共有 多少种取法？
解：（1）取出3个球中有黑球的方法数
新授内容
6.组合数性质:
⑴
Cnm
C nm n
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
证明:
Cnm
C m1 n
n! m!(n
m)!
(m
n! 1)![n
(m
1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
m!(n m 1)!
m!(n m 1)!
(n 1)! m!(n m 1)!
复习引入 1.排列的概念： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列.
两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全 相同， 且元素的排列顺序也完全相同.
2.排列数公式：
Anm n(n 1)(n 2)
(n m 1) n! (n m)!
小结
1.组合数公式:
Cnm
Cnm
Anm Amm
m
n(n
n! !(n
1)(n
m)!
2) m!
(n m 1)
2.组合数性质:
⑴
Cnm
C nm n
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
作业：p27习题 1.2 8,10,11,12
解：（3）按照黑球分类，
组合数的性质
组合数的性质与特点
组合数的性质
• 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)
• 交换性：C(n, k) = C(n, k')，其中k' = n-k
• 加法性：C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
组合数的特点
• 组合数与排列数的关系：C(n, k) = P(n, k) / k!，其中P(n, k)为排列数
组成的组合数，记为C(n, k)
k)!)
• 当k=0时，C(n, 0) = 1
• 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 递推法：C(n, k) = C(n-1, k-1) +
• 当k=n时，C(n, n) = 1
C(n-1, k)
• 迭代法：C(n, k) = C(n-1, k) +
• 计算多项式分布的置信区间：P(X=k) = C(n, k)p_1^k * p_2^k * ... * p_n^k
组合数在假设检验中的应用
假设检验的定义
• 对总体参数θ进行假设检验，检验H_0：θ=θ_0是否成立
组合数在假设检验中的应用
• 计算二项分布的假设检验：P(X=k) = C(n, k)p^k(1-p)^(n-k)
组合数的递推关系
• C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
组合数的性质
• 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)
• 交换性：C(n, k) = C(n, k')，其中k' = n-k
• 加法性：C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
组合数的两个性质
新课
性质2 C
m n1
组合数的性质
C C
m n m1 n
(m n)
m m1 证明： Cn Cn
n! n! m !(n m)! (m 1)!(n m 1)! n !(n m 1) n !m m !(n m 1)! n !(n 1) m !(n m 1)! (n 1)! m Cn 1 m !(n 1 m)!
新课 计算：
0 4
练习
1 4 2 4 3 4 4 4 2 6 2 7
1、C + C + C + C + C
3 3 2 3 2 4 2 5
（C层）
2、C + C + C + C + C + C （B层）
3、 C +C +C +C +C
2 3
2 4
2 5
2 6
2 7
（A层）
新课
小结
本课主要学习了组合数的两个性质：
把这个猜想用在6题中是否能简化计算？
新课
练习
计算： 1 2 3 4 5 6、 C4 C4 C5 C6 C7
C C C C
C C C
C C C 56
2 5 3 6 4 7 5 8
3 5 4 6 5 7
4 6 5 7
5 7
那这个猜想成立吗？以上计算正确吗？
性质1 性质2
m n m Cn Cn (m n) m m m1 Cn C C (m n) 1 n n
课后小组讨论，用本课所学内容巧解 思 考： 完成下面这道题 计算： 2C 3 C 3 C 2
《组合数的性质》讲义
《组合数的性质》讲义一、组合数的定义在数学中，组合数表示从 n 个不同元素中选取 k 个元素的组合方式的数量，记作 C(n, k)。
其计算公式为：C(n, k) ＝ n! ／ k!（n k)！，其中 n! 表示 n 的阶乘，即 n! ＝ n ×（n 1) ×（n 2) × ··· × 2 × 1 。
二、组合数的基本性质1、对称性组合数具有对称性，即 C(n, k) ＝ C(n, n k) 。
这意味着从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数与从 n 个元素中选取 n k 个元素的组合数是相等的。
例如，从 5 个元素中选取 2 个元素的组合数 C(5, 2) 与从 5 个元素中选取 3 个元素的组合数 C(5, 3) 是相等的。
我们可以通过组合数的计算公式来证明这一性质。
C(5, 2) ＝ 5! ／（2! × 3!）＝ 10 ，C(5, 3) ＝ 5! ／（3! × 2!）＝ 10 ，两者相等。
这种对称性在解决组合问题时，可以灵活地选择计算量较小的一种方式进行计算。
2、递推性质组合数还具有递推性质，即 C(n, k) ＝ C(n 1, k 1) ＋ C(n 1, k) 。
这个性质可以通过实际的组合情况来理解。
假设我们要从 n 个元素中选取 k 个元素，我们可以分为两种情况：第一种情况，包含第 n 个元素。
那么在剩下的 n 1 个元素中选取 k1 个元素，组合数为 C(n 1, k 1) 。
第二种情况，不包含第 n 个元素。
那么就在剩下的 n 1 个元素中选取 k 个元素，组合数为 C(n 1, k) 。
将这两种情况的组合数相加，就得到了从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数 C(n, k) 。
利用这个递推性质，可以通过较小规模的组合数逐步计算出较大规模的组合数，从而简化计算过程。
3、加法性质C(m ＋ n, r) ＝∑（i ＝ 0 到 r) C(m, i) × C(n, r i) 。
组合数的性质(2)
C C
1 2 2 98
100件产品中, 98件合格品,2件次品. 例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1 含1件次品或含2件次品 1 2 2 1 C2 • C98 + C2 • C98 = 9604(种)
一般地，从a1 , a2 ,L , an +1这n + 1个不同的元素 中取 出 m个 元 素 的 组 合 数 是 C ， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
m n +1
含 有 a 1的 组 合 是 从 a 2 , a 3 , L , a n + 1 这 n个 元 素 中 取 出
m m − 1个 元 素 与 a 1 组 成 的 ， 共 有 C n − 1 个 ；
8
= C7 + C7
2
3
对上面的发现(等式 作怎样解释 对上面的发现 等式)作怎样解释？ 等式 作怎样解释？
C
3 8
=C + C
2 7
3 7
我们可以这样解释： 我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的 个球，可以分为 个球中所取出的3个球 个球中所取出的 个球， 两类：一类含有 个黑球，一类不含 两类：一类含有1个黑球， 含有 有黑球．因此根据分类计数原理， 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立． 上述等式成立．
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件 3 3 C100 − C98 = 9604(种)
例 计算
(1)
; C200
198
C
2
组合与组合数公式及性质教学内容
组合与组合数公式及性质(2)c m c m 1m 1 C n 1 10.3组合与组合数公式及性质达标要求1 •理解组合的概念.2. 掌握组合数公式.3•理解排列与组合的区别和联系。
4.熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决 一些简单的应用问题.基础回顾 1.组合的概念： 一般地，从n 个不同元素中取出m ( m n )个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数的概念：从n 个不同元素中取出m (m n )个元素的所有组合的个数，叫做 从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号C T 表示..3. 组合数的公式:A n(n 1)(n 2)|||(n m 1)A 4. 组合数性质:m n m (1) C n C nc n m m!m n!或C nm! n m !(n,m N 且 m n )典型例题例题1 4名男生和6名女生选三人，组成三人实践活动小组。
(1) 共有多少种选法？(2) 其中男生甲不能参加，有多少种选法？(3) 若至少有1个男生，问组成方法共有多少种？解：⑴共有Cw 120种。
⑵共有C9 84种(3)解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女,分别有C4，C'|C6，c：|c6，所以一共有c： c：|c6 c4|c| 100种方法.解法二：(间接法)c1o C； 100例题2 100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查.(1) 都不是次品的取法有多少种？(2) 至少有1件次品的取法有多少种?(3) 不都是次品的取法有多少种?解：(1) c940 2555190(2) c90 c；c 3 90 c!0c 2 90 1 90 1366035(3) G00 C10 G0C90 G0C90 G0C90 C90 3921015。
10.3_组合与组合数公式
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题 (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 组合问题 共需握手多少次? (5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
A
m n
C
An
m n
A
m m
组合数公式:
m m
Cn
m
n ( n 1)( n 2 ) ( n m 1) m!
Am
Cn
m
n! m !( n m ) !
例1计算：⑴
C
4 7
2 n
⑵
C
7 10
(3)
已知
C
m n
3 n
A
,求 n ．
例2求证：
C
m 1 nm
．
C
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个 元素的所有组合.
a
b c d c
b
d
c
d
6个
ab , ac , ad , bc , bd , cd
练习:
中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀 请赛，通过单循环决出冠亚军．
组合数的两个性质20页PPT
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
组合应用题
2. 组合数性质
C =1
0 n
1 性质
C =C
m n
n−m n
(m ≤ n ∈ N )
*
性质2
C
m n+1
= C +C
m n
m−1 n
组合应用题的解题要领： 组合应用题的解题要领：
解有关组合的应用问题时， 解有关组合的应用问题时，首先要判断这个问题是不是组 合问题。 组合问题与排列问题的根本区别在于： 合问题。 组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题取出 的元素之间与顺序有关， 的元素之间与顺序有关，而组合问题取出的元素之间与顺序无 关。 解组合应用题的方法与排列题一样，主要有两种方法： 解组合应用题的方法与排列题一样，主要有两种方法： 直接法，它包含直接分类法与直接分步法， 1. 直接法，它包含直接分类法与直接分步法，其处理问题 的原则是要优先处理特殊元素，再处理其他元素， 的原则是要优先处理特殊元素，再处理其他元素，从而直接求 出所要求的组合数； 出所要求的组合数； 间接法，先算出无条件的组合数， 2. 间接法，先算出无条件的组合数，再排除不符合题意 的组合数，从而间接地得出有附加条件地组合数。 的组合数，从而间接地得出有附加条件地组合数。 在排列问题中使用的其他方法， 在排列问题中使用的其他方C = 666
5 12 0 3 5 9
说明：当至多(至少)中包括的情况很多时， 说明：当至多(至少)中包括的情况很多时，用间接法比 直接法简单的多。 直接法简单的多。
名工人中， 人只能当钳工， 人只能当车工 另外2 人只能当车工， 例4 在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外 名工人中 人只能当钳工 人既能当钳工，又能当车工，现从11人中选出 人当钳工， 人当 人中选出4人当钳工 人既能当钳工，又能当车工，现从 人中选出 人当钳工，4人当 车工，问有多少种不同的选法？ 车工，问有多少种不同的选法？
组合数公式性质
组合数公式性质
组合数的性质公式：1、组合数恒等式：若表示在n个物品中选取m个物品，则如存在下述公式: C(n,m)= C(n,n-m)= C(n-1,m-1)+C(n-1,m)；2、互补性质：从m个不同元素中取出n个元素的组合数=从m个不同元素中取出(m-n)个元素的组合数。
组合数的性质公式
组合数概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
在线性写法中被写作C(m,n)。
组合数的性质公式
组合数递推公式：c(n,m)=c(n-1,m-1)+c(n-1,m)。
等式左边表示从n个元素中选取m个元素，而等式右边表示这一个过程的另一种实现方法：任意选择n中的某个备选元素为特殊元素，从n中选m个元素可以由此特殊元素的被包含与否分成两类情况，即m个被选择元素包含了特殊元素和m个被选择元素不包含该特殊元素。
前者相当于从n-1个元素中选出m-1个元素的组合，即c(n-1,m-1);后者相当于从n-1个元素中选出m个元素的组合，即c(n-1,m)。
§10.3.3组合(3) 高二数学10.3 组合 教案人教版 高二数学10.3 组合 教案人教版
组合（3）——组合、组合数的综合应用⑴一、课题：组合（3）——组合、组合数的综合应用⑴二、教学目标：1．进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；2．能够解决一些组合应用问题，提高合理选用知识的能力。
三、教学重、难点：组合应用问题。
四、教学过程：（一）复习、引入：1．复习排列和组合的有关内容：依然强调：排列——顺序性；组合——无序性．2．排列数、组合数的公式及有关性质：性质1：m n n m n C C -=；性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C ．常用的等式：111010====+++k k k k k k C C C C ．（二）新课讲解：例1100件产品中，有98件合格品，2件次品。
从这100件产品中任意抽出3件．（1）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？解：（1）3100161700C =；（2）398152096C =；（3）12298247539506C C =⨯=；（4）解法一：（直接法）12212982989506989604C C C C +=+=；解法二：（间接法）33100981617001520969604C C -=-=．例2从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有4516C C ；3奇2偶有2536C C ；5奇1偶有56C ，∴一共有4516C C +2536C C +23656=C ．例3现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2324C C ；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有1334C C ；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有2334C C ，∴一共有2324C C +1334C C +2334C C ＝42种方法．例4甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一：（排除法）422131424152426=+-C C C C C C ．解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2414C C ；另一类为甲不值周一，但值周六，有2324C C ，∴一共有2414C C +2324C C ＝42种方法．例5 6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法；第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有55A 种方法．根据分步计数原理，一共有26C 55A ＝1800种方法． 变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？变题2：5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？变题3：5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？答案：1．1562556=； 2．72056=A ； 3．656=C ．五、课堂练习：1．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有个。
人教版数学高二《10.3 组合》教案
教学设计（主备人：夏斌）教研组长审查签名:高中课程标准•数学必修第二册（下B）教案执行时间：10.3 组合一、内容及解析1．内容：这是一节关于组合问题的概念课。
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.2．解析：排列、组合问题大都于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程。
师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高。
二、目标及解析1.目标（1）理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；（2）能正确认识组合与排列的联系与区别；（3）掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简；（4）熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题2.解析(1)会正确区分哪些问题是排列问题，哪些问题是组合问题；（2）知道排列与组合的基本关系，排列问题就是先组合后全排列，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题。
（3）能应用组合公式解决应用问题；（4）会应用组合数的两个性质进行简单的化简和证明。
三、数学问题诊断分析1．学生在判断排列与组合的联系与区别时可能会出现障碍，排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系。
要克服这一困难，关键在于提高学生对实际应用问题的理解，可采用简单的实际生活例子加以说明。
组合数性质教案
组合数性质教案教案标题：组合数性质教案一、教学目标：1. 理解组合数的概念和性质2. 掌握计算组合数的方法和技巧3. 能够应用组合数解决实际问题二、教学重点和难点：1. 理解组合数的性质和应用2. 掌握组合数的计算方法3. 解决实际问题时的应用能力三、教学内容：1. 组合数的概念和性质2. 组合数的计算方法3. 组合数在实际问题中的应用四、教学过程：1. 导入：通过一个生活中的例子引出组合数的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2. 讲解：介绍组合数的定义和性质，讲解组合数的计算方法和技巧。
3. 练习：设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
4. 拓展：引导学生应用组合数解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调组合数的重要性和应用价值。
五、教学方法：1. 启发式教学法：通过生动的例子和引导性的问题，激发学生的思维，引导他们主动探索组合数的性质和应用。
2. 讨论式教学法：鼓励学生提出自己的见解和想法，促进学生之间的交流和讨论，培养学生的团队合作精神。
3. 实践性教学法：设计一些实际问题，让学生动手实践，培养学生的动手能力和实际应用能力。
六、教学工具：1. 教科书和课件2. 白板和彩色笔3. 练习题和实际问题的案例七、教学评估：1. 课堂练习：观察学生在课堂上的表现和答题情况，及时发现问题并进行指导。
2. 作业评定：布置作业，检查学生对组合数的理解和应用能力。
3. 实际问题解决能力：通过学生在实际问题中的解决能力，评估他们对组合数的掌握程度。
八、教学反思：根据学生的学习情况和反馈意见，及时调整教学方法和内容，不断完善教学过程，提高教学效果。
高三数学组合
高三数学组合组合是高中数学中的一个重要概念，它是离散数学中的一个分支，用于解决计数问题。
在高三数学学习中，组合是一个重要的知识点，它涉及到排列、选择等概念。
本文将以高三数学组合为主题，探讨组合的基本概念、性质和应用。
一、组合的基本概念组合是从n个元素中选择r个元素的方式的总数。
在组合中，选择的元素的顺序是不重要的，只关注元素的选择个数。
组合的表示通常用C(n,r)来表示，其中n为总个数，r为选择个数。
组合数的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中n!表示n的阶乘。
二、组合的性质1. 互补性：C(n,r) = C(n,n-r)。
这是因为选择r个元素等价于选择剩余的n-r个元素。
2. 加法原理：C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1)。
选择r个元素可以分为两种情况：一种是包含第n个元素，另一种是不包含第n个元素。
3. 乘法原理：C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1)。
选择r个元素可以分为两种情况：一种是包含第n个元素，另一种是不包含第n个元素。
4. 递推关系：C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1)。
选择r个元素可以分为两种情况：一种是包含第n个元素，另一种是不包含第n个元素。
三、组合的应用组合在实际问题中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 选课问题某高中有10门选修课，每个学生需要选择其中5门课程。
问有多少种选课方案？这是一个典型的组合问题，可以用C(10,5)来计算出总的选课方案数。
2. 分组问题某社团有12个人，要将他们分成3个小组，每个小组至少有2个人。
问有多少种分组方案？这个问题可以用C(12,2) * C(10,2) * C(8,2)来计算出总的分组方案数。
3. 排队问题某电影院有8个座位，有10个人排队购买电影票。
问有多少种排队购票的方式？这个问题可以用C(10,8)来计算出总的排队方式数。
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n! ( m 1)! ( n m 1)!
n ! ( n m 1) n ! m m ! ( n m 1)!
( n 1)! m ! ( n 1) m !
C
m n 1
例3.计算：
(1)
( 2 )
( 3 )
C
C
3
198 200
；
2
99
3
C 99 ；
10.3 组合(2)
----组合数的性质
2012年6月3日星期日
一、复习回顾：
组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个不同元 素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合． 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同 元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中 m 取出m个元素的组合数，用符号 C n 表示. 组合数公式：
方法一：直接取 C n 1 种. 第一类：必含 a 1 的有 C 种 方法二：分类取 m 第二类：不含 a 1 的有 C n 种.
m 1 n
m
性质2：C
m n 1
C C
m n
m 1 n
性质2：C
证明：
C
m n
m n 1
C C
m n
m 1 n
C
m 1 n
n! m ! ( n m )!
补充例题：
（1） 计 算 C 4 C 5 C 6 C 13 ；
0 1 2 9
（ 2） 计 算 C 2 C 3 C 4 C 10 ；
2 2 2 2
（ 3） 求 证 ： C n C n 1 C n 2 C n＋ m C n m 1 .
n n n n
n 1
小结：
性质1：C
m n
C
nm n
0 n
当m=n时， n C 0 ，规定： C Cn n
为了计算方便，当 m 为计算 C
nm n
1.
m n
n 2
时，计算 C
转化
.
性质2：C
m n 1
C C
m n
m 1 n
Cn
m
n ( n 1)( n 2 ) ( n m 1) 1 2 3 m
n! m !( n m ) !
二、讲授新课：
问题1.从a、b、c、d四个不同元素中，每次取出3个元素的组合: abc abd acd bcd
d c b a 问题2.从a、b、c、d四个不同元素中，每次取出1个元素的组合:
0 n
1.
为了计算方便，当 m
n 2
时，计算 C
m n
转化
为计算 C
nm n
.
例1.有试题10道，从中选答8道共有几种选法？若10道中有 6道必答，则从中选答8道共有几种选法？
8 10
C
45
C
2 4
6
例2.一个口袋内有大小不同的7个白球和1个黑球.
1)从口袋中取3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
结论：从4个元素中每次取出3个元素的一个组合，与剩下1个 元素的组合是一一对应的．因此，从4个元素中取出3个元素的 组合数，与从这4个元素中取出（4－3）个元素的组合数是相 3 43 等的.即
C
4
C
4
性质1：C
m n
C
nm n
会证明吗?
当m=n时， C C n C n ，规定：
n 0
3 9 8
2C C
C8 .
2
例4.计算：
（1）若Cn Cn , 则Cn _______ ；
6 5 10
（2）解方程：C10 C10 ；
x
1 n
Cn
m 1
2C n C n 2 .
m
m 1
例5.在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这 100件产品中任意抽出3件. （1）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3见中至少有1件是次品的抽法有多少种？
C
C
2 7
21
2)从口袋中取3个球，使其中不含有黑球，有多少种取法？
3 7
35
3
3)从口袋中取3个球，有多少 种取法？ C 8 5 6
发现： 7 C 7 C
2
3
C
3 8
.
讨论：从n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数. 设这n+1个不同元素为：
a 1、 a 2、 a 3、 、 a n 1