电场计算与高斯定理习题课

为常数） ρ = Ar（ A 为常数）
A （ 为常数） A为常数） ρ= r
ρ 解： 1）r < R ， = 0 ， 2）r < R ，E = （ （ r E 3ε0 r r 1 （3）Φ = E dS = E4πr2 = ∑qi ∫S ε0 内
dV = 4πr′ dr′ 2 dq = ρdV = Ar′4πr′ dr′
r （3）如果高斯面上 E处处不为零， ） 处处不为零，
则高斯面内必有电荷 （4）如果高斯面内有电荷， ）如果高斯面内有电荷， r 则高斯面上 E 处处不为零 电荷分布的对称性
内
S
ε0
内
q
S
由高斯定理求电场强度的思路： 由高斯定理求电场强度的思路：
r r 适当的选取高斯面（ E⊥n ， E // n ） 从积分号内提出， 将 E从积分号内提出，化积分方程为代数方 程求 E
2
q = ∫ dq = ∫ 4πAr′3dr′ ∑
=
r
πAr
2
0
O
dr′ r′
S
4
r
R
E4πr =
1
ε0 A 2 E= r 4ε 0
πAr 4
（ r < R）
r r 1 2 （4） Φ = E dS = E4πr = ∑qi ∫
S
ε0
内
dV = 4πr′ dr′ A 2 dq = ρdV = 4πr′ dr′ = 4πAr′dr′ r′ r q = ∫ dq = ∫ 4πAr′dr′ = 2πAr2 ∑ 0
O′
O
例：求通过圆锥侧面的电通量 r r 解：Φ侧 = E dS
Φ侧 =
r r Φ = ∫ E dS S r r r r q = ∫ E dS + ∫ E dS = 侧 底 ε0
q Φ底
∫
侧
h q
R
r O
ε0 r r Φ底 = ∫ E dS = ∫ Ecosθ dS， dS = 2πrdr
电场分布的对称性 r r
补偿法求电场强度
r 例：求圆孔轴线上的 E
σ
O
σ
σ
O
xP
=
x P+
R
O x P
R
σ σ σ x 解： E = + (1 )= 2ε0 2ε0 2ε0 x2 + R2
x x +R
2 2
r 例：求轴线上的 E
σ
O
σ
x P= x
R2
R2
σ
R1
x P+
R1
x P
x x σ σ 解： E = (1 )+ (1 ) 2 2 2 2 2ε0 2ε0 x + R2 x +R 1
σ x x ( ) = 2 2 2ε0 x2 + R 2 x + R2 1
例：求小球腔中的电场
ρ
O
P
O′
=
ρ
P
O
ρ
+
P
O′
r ρ ρ ρ ρ (OP O′P) = 3ε OO′ EP = OP + O′P = 0 3ε0 3ε0 3ε0 r E 小球腔内是均匀电场
ρ E= OO′ 3ε0
方向 OO′
ε0
2ε0
4ε0
R2 + (h / 2)2
例：无限长均匀带电半圆柱面 沿轴向单位长度带电 λ r 求：轴线上 E
dl
R
1
λ 解： σ = πR
λ′ ， dE = 2πε0R λ λ′ = σdl = dl πR
r dE
P
λ λ dE = dl = 2 2 dl 2πε0R πR 2π ε0R dE dEx = dEcosθ ， y = dEsin θ
内
ε0
内
∑q
内
i
=0
判断下面几种说法的正确性： 判断下面几种说法的正确性：
（1）如果高斯面上 为零， 为零，则高斯面内必无电荷 r r Φ = E dS = 0 ， ∑qi = 0
r E 处处为
Q
Q
S
∫
S
内
r （2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E处处为零 ）如果高斯面内无电荷， r r r 1 ∑qi = 0，Φ = ∫ E dS = ∑qi = 0 ，E = 0
= 0 + ES +
A′
C′
h
r r n E r n r SE h
σ E= 2ε 0
ES = 2ES =
ε0
x
2ε0
r 例： 如右图 求： E r r r 解： E = E+ + E r I、 E = 0 、 r
σ >0
r E
r E+
r E r E+
II
σ
r E
r E+
III、 E = 0 、 I σ σ σ II、 E = E+ + E = 、 + = 2ε 0 2ε 0 ε0 σ >0 σ σ >0
1
Ex = ∫ dEx = ∫ dE cosθ π λ = ∫0 2 2 Rdθ cosθ 2π ε0R
R
1
dl
r dE
P
y
π λ = 2 sin θ = 0 0 2π ε0R Ey = ∫ dEy = ∫ dEsin θ
dEx θ
dl= Rdθ dθ
dEy π π λ λ λ = ∫ 2 2 Rdθ sin θ = cosθ = 2 2 0 2π ε0R 0 2π ε0R π ε0R r r r λ r E = Exi + Ey j = 2 j π ε0R
右
=
E 2πrl =
E=
λl ε0
2πε0r
求出的场强是这一 问题1 高斯面只包围了部分电荷， 问题1、高斯面只包围了部分电荷， 部分电荷的场强还是整根均匀带电直线的场强？ 部分电荷的场强还是整根均匀带电直线的场强？ 能否用该方法 问题2、对于一段有限长均匀带电直线段， 问题2 对于一段有限长均匀带电直线段， 求其场强？ 求其场强？
底 底
n E
dr rθ r
h/ 2 q cosθ = E= 2 2 ， 4πε0[r + (h / 2) ] r2 + (h / 2)2 R q h/ 2 Φ底 = ∫ 2πrdr 2 2 2 2 0 4 πε0[r + (h / 2) ] r + (h / 2)
R qh R rdr qh 1 = ∫0 [r2 + (h/ 2)2 ]3/ 2 = 4ε0 ( r2 + (h/ 2)2 ) 0 4ε0 q q h = 2ε0 4ε0 R2 + (h / 2)2 q q h q Φ侧 = Φ底 = +
r r Φ = ∫ E dS =
S
λl ε0
l
1
λ
1
λ
λ
轴对称电场
例： 解：
B
σ
C A
O
r r dE E r PdE′
r E S
r n
σ
S
r r B′ Φ = ∫ E dS = ∫SEcosθdS = ∫ E cosθdS σ E 侧 S 2ε 0 E + ∫左 cosθdS + ∫ EcosθdS 右 σS Oσ
2
E4πr =
2
1
ε0
2πAr
2
A E= 常数）（ （常数）（ r < R ） 2ε0IIIE σOx
关于高斯定理： 关于高斯定理：
S
r r 1 1、 Φ = E dS = ∑qi ∫
r 有关， Φ仅与 ∑qi 有关，E 与所有电荷及其分布有关 r r 内 已知， 2、如果 Φ已知， ∑qi = ε0 ∫SE dS = ε0Φ
但仅由 Φ和高斯定理不能完全确定高斯面内电荷分布 如 Φ= 0， 0，
λ 例： E = 2πε0r r 解： E r r dE′ dE P r
场强计算与高斯定理习题课
r n
r E
r Er
λ
r n
r E
n
r
l
λ dl′ = dl O dl
r r Φ = ∫ E dS =
S
E EcosθdS = ∫ E cosθdS + ∫左 cosθdS ∫ 侧
S
+
dS = ∫ EcosθdS λ E∫侧
P x
例：图为一球对称电荷分布的静电场的
E ~ r 曲线
E
1 ∝ 2 r
R
r
请指出它是下面哪一种带电体产生的？ 请指出它是下面哪一种带电体产生的？ （1）半径为 R 的均匀带电球面 ） （2）半径为 R的均匀带电球体 ） （3）半径为 R 电荷体密度 ） ， 的非均匀带电球体 电荷体密度 （4）半径为 R， ） 的非均匀带电球体