函数4
23_函数极限性质4解读
(1)重要极限 lim
sin x 1 x 0 x 由右图可知： S AOB S扇形AOB S AOD ,
B
D
x AB
sin x CB
1 1 1 sin x x tan x , 2 2 2 sin x x tan x,
O
x
tan x AD C A
不等号各边都除以sin x得, x 1 sin x 1 , 或 cos x 1. sin x cos x x
| f ( x ) | M , (x O( x0 ) \ { x0 }).
性质3(局部保号性) 假设 lim f ( x ) A，lim g( x ) B
x x0 x x0
(1)如 A B( B )，则对 x0 的某一去心邻域中的所有 x， 有
f ( x ) g( x )( g( x ))。
由此看来极限 A与 f ( x0 )毫无关系，A 的存在与否 及大小与f ( x0 )的大小甚至f ( x0 )有无定义都无关系.
我们称函数f ( x )在某点 x0的邻域内（或除去x0）的性质 为函数的局部性质.
1.函数极限的性质 性质1 (函数极限的唯一性)假设在同一极限过程中有
x x0
lim f ( x ) A, 和 lim f ( x ) B, 则 A B。
x x0
运算法则有
P ( x ) P ( x0 ) lim . x x0 Q ( x ) Q ( x0 )
但若Q( x0 ) 0，则关于商的极限的运算法则不能应用。
定理 2：（复合函数的极限运算法则）若 lim g( x ) A,
x x0
且g ( x ) A(这里A可以是无穷大 ), lim f ( u) B , 则
函数的单调性4
课题：函数的单调性授课教师：江苏省白蒲高级中学宋勇教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书1教学目标（1）知识与技能目标：理解函数的单调性概念掌握判断函数单调性的方法进一步掌握数形结合的数学思想（2）过程与方法目标：培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质（3）情感、态度与价值观目标：感受探究的乐趣，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度2教学重点和难点：重点：深刻理解函数的单调性概念难点：证明或判断函数的单调性3教学方法与教学手段引导发现法，多媒体教学手段4教学过程：一．问题情境1．情境：德国慕尼黑球场气温变化图2．问题：说出气温在哪些时段是升高的，怎样用数学语言刻画“随时间的增大气温逐步升高”呢?二．学生活动观察下列函数图象，并指出变化趋势。
在某一区间内：图象呈上升趋势﹤﹦﹥当x的值增大时，函数值y也增大。
图象呈下降趋势﹤﹦﹥当x的值增大时，函数值y减小。
从形和数两个角度，数形结合的思想。
三．建构数学如何用数学语言来准确的表述函数的单调性呢？回到实例：怎样用数学语言刻画“随时间的增大气温逐步升高”呢?引导学生发现自变量t从4增大到14时，相应的函数值也增大，但特殊的两点并不能刻画这个变化特征，由此想到把4、14换成1t、2t，由特殊到一般，同时加深了学生对1t、2t任意性的理解；任意1t,2t∈[4，14]，当1t<2t时，都有2()()g t g t<从实例引导学生注意：某个区间上，任意，都有能否表述定义域[0，24]上的变化特征呢？不能，得出这是函数的局部特性。
我们用非常简洁的符号语言刻画了具体函数在[4，14]的变化特征，对于一般函数呢？体现了由特殊到一般，由具体到抽象的思维方式（板书定义）1：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，-------------那么就说在这个区间上是增函数。
新教材2023年高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4
①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重； ②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左 端移到右端的3个球中，并且偏轻； ③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有 两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)． 对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏 球”，且知其是轻还是重．
(2)由图象可得，A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故可用二 分法求零点．
[归纳提升] 运用二分法求函数的零点需具备的两个条件：(1)函数 图象在零点附近连续不断；(2)在该零点左右函数值异号．
【对点练习】❶ (1)对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的
是
( B)
A．ε越大，零点的精确度越高
①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好 球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是 重．任取其中2个球，天平两端各放1个，无论平还是不平，均可确定 “坏球”．
(2) 若 不 平 ， 则 “ 坏 球 ” 在 天 平 上 的 8 个 球 中 ， 不 妨 设 天 平 右 端 较 重．
[归纳提升] 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方 法完成)． (2) 取 区 间 端 点 的 平 均 数 c ， 计 算 f(c) ， 确 定 有 解 区 间 是 [m ， c] 还 是 [c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要 求，终止计算，得到函数零点的近似值．
沪科版八年级数学上册12.1.函数(4)课件
1.如何来绘制函数y=2x的图像呢？ 解：1.列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
2.描点：在坐标平面内描出 （-3，-6）,（-2，-4）,（-1，-2） （0,0）,（1,2）,（2,4）,（3,6） 等点
3.连线：将以上各点按照自变量由小到大的顺序 用平滑曲线连接就得到了y=2x的图像
(2)描点：在坐标平面内描出 （0,0）、10,0.4）、(20,1.6)、 (30,3.5)、(40,6.3)等点。
（3）连线：将以上各点按照自 变量由小到大的顺序用平滑曲
v2
线连接，就的到了s 图象。
256
5.汽车从蚌埠开往固镇,每小时行驶60Km,蚌埠 到固镇的距离是43Km,试写出该汽车距离蚌埠 的距离S与它行驶的时间t之间的函数关系式.写 出自变量的取值范围,画出函数图象.
2. 一般地，对于一个函数，如果把自变量x与 函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐 标，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成 的图形，就是这个函数的图像
用图象来表示两个变量间的函数关系的方法， 叫做图像法。
3.你能总结出由函数关系式画函数图象的步骤吗？ 1.列表:给出自变量与函数的一些对应值 2.描点:以表中对应值为坐标,在坐标系内描出相应 的点
初中数学课件
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复习引入
上节课我们已经学习了哪几种表示函数的方法？ 是否还有其它表示函数的方法呢？
12.1 函数（4）
图像法
学习目标
1.了解函数图像的意义，掌握用描点法画函 数图像的一般步骤
2. 会画实际问题中的函数的图象.
自学提纲一
阅读课本P26~27内容，回答下列问题： 1.生活中的函数都能解析式来表示吗?如用电负荷, 脑电图,心电图?能用图象来表示吗? 2.对于函数y=2x的图象，你能用图象来表示吗？ 在这个问题中,怎样规定自变量的值和函数的值做 为点的坐标的? 3.什么叫图象法？ 4.你能总结出画函数图像的一般步骤吗？ 5.自学例4
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x=+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】（1）函数()f x 为奇函数；（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x=+，则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评：对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下：①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数；③单调性：当0x >时；()(0)af x x a x =+>在上单调递减；在)+∞的单调增；④值域与最值：当0x >时；()(0)af x x a x =+>值域为)+∞，当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a >这个大前提，当0a ≤时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。
四次函数
四次函数形如y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e(a≠0,b,c,d,e为常数)的函数叫做四次函数。
四次函数的图像a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a=0的求解方法，对于一般的四次方程a*x^4+b*x^3+c*x^2 +d*x+e=0,先求解三次方程8y^3-4cy^2+(2bd-8e)y+e(4c-b^2)-d^2=0,得到的y的任一实根分别代入下面两个方程：x^2+(b+sqrt(8y+b^2-4c))x/2+(y+(by-d)/sqrt(8y+b^2-4c))=0及x^2+(b-sqrt(8y+b^2-4c))x/2+(y-(by-d)/sqrt(8y+b^2-4c))=0就可得到原方程的四个根。
在数学中, 四次方程是令一个四次函数等于零的结果.四次方程的一个例子如下<math>2x^4+4x^3-26x^2-28x+48=0;</math>它的通式是<math>a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0,\qquad\mboxa_0\ne0.</ math>代数基本定理告诉我们, 一个四次方程总有四个解(根). 它们可能是复数而且可能有等根.[编辑]解决四次方程自然,人们为了找到这些根做了许多努力. 就像其它多项式, 有时可能对一个四次方程分解出因式;但更多的时候这样的工作是极困难的,尤其是当根是无理数或复数时.因此找到一个通式解法或运算法则(就像二次方程那样, 能解所有的一元二次方程)是很有用的. After much effort, such a formula was indeed found for quarti cs —but since then it has been proven (by Evariste Galois) that such an approach dead-ends with quartics; they are the highest-degree polynomial eq uations whose roots can be expressed in a formula using a finite number of arithmetic operators and n-th roots. From quintics on up, one requires more powerful methods if a general algebraic solution is sought, as explained u nder quintic equations.Given the complexity of the quartic formulae (see below), they are not often used. If only the real rational roots are needed, they can be found (a s is true for polynomials of any degree) via trial and error, using Ruffini's r ule (so long as all the polynomial coefficients are rational). In the modern a ge of computers, furthermore, good numerical approximations for the roots a re rapidly obtainable via Newton's method. But if the quartic must be solved entirely and precisely, the procedures are outlined below.特殊情况名义上的四次方程如果a4 = 0，那么其中一个根为x = 0，其它根可以通过消去四次项，并解产生的三次方程,<math>a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0.</math>双二次方程四次方程式中若a3 和a1 均为0 者有下列型态：<math>a_0x^4+a_2x^2+a_4=0\,\!</math>因此它是一个双二次方程式。
专题4 函数的性质
专题4 函数的性质一、函数的定义域求法(1).分式的分母0≠； (2).偶次方根的被开方数0≥； (3).对数函数的真数0>； (4).0次幂的底数0≠； (5).正切函数的自变量不等于2k ππ+； (6).满足几个条件求不等式组的解集；1、（2004全国）函数)1(log 221-=x y 的定义域为（ ）A.[)(]2,11,2 -- B.)2,1()1,2( -- C.[)(]2,11,2 -- D.)2,1()1,2( -- 2、（2006广东）函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞-B. )1,31(-C. )31,31(-D. )31,(--∞二、分段函数求值问题3、（全国理）设1a>，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a = AB ．2C ．D ．4 4、（北京）已知函数，分别由下表给出的值为；当2=时，x =．5、(2009山东)定义在R上的函数f (x )满足f (x )= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2三、函数的单调性与奇偶性 (一)单调性的快速法1、增＋增→增；增—减→增；2、减＋减→减；减—增→减；3、乘正加常，单调不变：例如3log ,log 322+==x y x y 与x y 2log =的单调性相同；4、乘负取倒，单调改变：例如x xey e y 1,3=-=与xe y =的单调性相反； (二)奇偶性快速法1、奇±奇→奇；偶±偶→偶；2、奇()⨯÷奇→偶；偶()⨯÷偶→偶；奇()⨯÷偶→奇；6、(2015全国2)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）.A cos(2)2y x π=+.B sin(2)3y x π=+.C sin 2cos 2y x x =+ .D s i n c o sy x x =+ 7、 (2015广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A.sin2y x x =+ 2B.cos y x x =-1C.22x xy =+2D.sin y x x =+ 四、比较大小8.（北京文）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>9.（全国2）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a习题4 函数的性质1、（湖南文）下面不等式成立的是( )A ．322log 2log 3log 5<<B ．3log 5log 2log 223<<C ．5log 2log 3log 232<<D ．2log 5log 3log 322<< 2、（江西文）若01x y <<<，则( )A ．33y x< B ．log 3log 3x y < C ．44log log x y < D ．11()()44x y <3、（辽宁文）已知01a <<，log log a a x =1log 52a y =，log log a a z = ）A ．x y z >>B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >>4、（2009北京文）已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .5、（2009北京理）若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为___________.6、（2009江西文）函数y =的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-7、（2009江西理）函数y =的定义域为A ．(4,1)--B ．(C ．(1,1)-D ．(1,1]-8、（江西卷3）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是A ．1[,3]2B ．10[2,]3C ．510[,]23D ．10[3,]3。
4函数的连续性与间断点+总结
§1.1 映射与函数
函数与极限
§1.2 §1.3 §1.4 §1.6 §1.7 §1.8 §1.9 §1.10
数列的极限 函数的极限 无穷小与无穷大 §1.5极限运算法则 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较 函数的连续性与间断点 连续函数运算与初等函数连续性 闭区间上连续函数的性质
极限概念, 无穷小与极限的关系, 极限运算法则, 两个重要极限, 连续概念, 初等函数的连续性, 间断点及其分类。
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则有下列情 形之一： 函数f(x)在点x0处连续必须满足以下三个条件: 无 定义; (1) f(x)在点x0处 有
( 2) 函数 lim f ( x )存在 (2) 在 ; 虽有定义 , 但
( 3) 函数 lim f ( x ) (3) 在f ( x虽有定义 ,且 0 ).
2
例1：求 lim
x 3
x 3 2 x 9
P66 例3
ln(1 x ) . 例2：求 lim x 0 x
x a 例3：求 lim 1. x 0 x
解 原式 lim ln(1 x ) ln[lim(1 x ) ] ln e 1. x 0 x 0 P68 例7
三角函数的和差化积公式
sin sin 2 sin
2 2
2
cos cos
2
sin sin 2 sin
2
2
cos cos 2 cos
cos
cos cos 2 sin
2
sin
2
二、函数的间断点
o
x
称x 0为函数的跳跃间断点 . ∴
高一数学课件4函数的概念
招生人数数集B={108.4,157.9,220,268.3,320,335}
请仿照实例1和2，描述我国普通高等学校招生 人数和时间（年）的关系.
问题：
1.一个小球在490米高的位置从静 止开始下落，下落的距离h(m)与时 间t(s)的关系．( y＝4.9x2 ）
2.
3.
年份 1998
【教学难点】理解函数概念，符号y=f(x)的含义.
【回忆旧知】
1、初中学习的函数概念是什么？
设在一个变化过程中,如果有两个变量x与 y，并且对于x的每一个值，y都有唯一的值与它 对应，那么我们就说y是x的函数，其中x叫自变 量，y叫因变量.
2、请问：我们在初中学过哪些函数？
正比例函数：y kx(k 0)
1999 2000 2001 2002 2003
人数（万人） 108.4
159.7 220 268.3 320 335
在上述的每一个问题中都含有两个变 量，当一个变量的取值确定后，另一个变 量的值随之唯一确定，每一个问题确定了 在上面的三个问题中，是否确定了函数关系？为什么？ 一个函数关系．
小结：
从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间 t，按照对应关系y＝4.9x2 ，在数集B中都有唯一的高度 h和它对应.
实例2：
某市一天24小时的气温变化图：
根据上图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A (1)4时的气温是多少？全天的最高气温是多少？ ={t|0≤t≤24}，温度的变化范围是数集B ={θ|0≤θ≤26} (2)你能用集合分别表示时间和温度的变化范围吗？ 并且，对于数集A中的每一个时刻t，按照图中的曲线， 在数集B中都有唯一确定的温度θ和它对应.
(1)试说明函数定义中有几个要素？ 函数三要素：定义域、对应关系、值域. (2)f(x)一定表示解析式吗？函数符号y= f(x)表示f与x 的乘积吗？f(2)表示什么意思？ f(x)表示自变量为x，对应关系为f的函数；f(2) 表示自变量为2时的函数值. (3)函数的值域C={y|y=f(x),x∈A}的含义？定义域和 对应关系能确定一个函数吗？ (4)自变量一定得用x表示吗？对应关系呢？
大学数学_3_4 函数的最大值与最小值
例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶，同一时间 乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行 驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近. y 82 解 设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点， 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处，在时刻 t B （单位：h）甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位：nmile)至Ａ点，乙船向南行驶 O 20t A x 了16t （单位：nmile）至Ｂ点（图 3-7） 图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出，为什么我们经常用n次测量值的算 术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的 测量值xi与真值x的误差，由于x-xi（i=1,2, …,n）可为正 也可为负，不能用它们的和作为n次测量值的总误差，以 免正负误差相抵消，因此一般采用n次测量误差的平方和 作为总误差，寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这 就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证 记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值，故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.
实变函数 (4)
如A={n - 1/n},B={n+1/n}（都是闭集） 上面条件换成有界闭集呢？
定理（距离可达性定理1）：设A为非空闭集 ， x∈Rn ， 则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A)
证明：由 d ( x, A) inf{d ( x, y) : y A} 可得
1 , yn A, 使得d ( x, A) d ( x, yn ) d ( x, A) 1 n n
P0为
E的内点： 0, 使得O( p0 , ) E
由于E E ' E E ' {E的孤立点全体} 故 E E等价于E ' E
E E (因为E E显然) 说明：要证E是开集，只要证
要证E是闭集，只要证 E ' E或E E (因为E E显然)
开集的余集是闭集
证明：设E为开集，即
O( x , ) E c
x E , 0, 使得O( x , ) E
从而 从而x不是Ec的接触点，
也即Ec的接触点一定在Ec内，
从而 CE CE 设E为闭集，即 E E 任取 x E c ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点， 从而x为E的接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内， 这与 x E c 矛盾，
i i
A B
又A为闭集，从而x∈A ，并可得{yni}有界
因为当ni充分大时，
d(x, yni) ≤ d(x, xni ) + d(xni, yni) ≤1 + ( d(A,B) + 1/ni ）
从而{ yni }的子列{ yni }，使 lim yni y
j
j
j
又B为闭集，故y∈B, d ( A, B ) d ( xni , yni ) d ( A, B ) n1i 另外对
_高中数学第二章函数4
(3)要得到y＝2(x＋1)2的图像，需将y＝2(x＋1)2－1的图像向上平移1个单位长 度．( √ ) 提示：根据图像平移规律可知正确．
2．将二次函数 y＝2x2＋8x－7 化为 y＝a(x＋m)2＋n 的形式，正确的是( )
A．y＝2(x＋4)2－7
B．y＝2(x＋2)2－7
C．y＝2(x＋2)2－11
二次函数图像识别策略 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像识别要注意二次项系数 a 定开口方向；a，b 定 对称轴；判别式定与 x 轴的公共点个数．
设函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，且 a≠0)，若 a＝c，则函数图像不可能是( )
【解析】选 D.由于 a＝c，根据根与系数的关系，有 x1x2＝ac ＝1，观察图像可发 现，对于 D 选项，两个根都小于－1，那么它们的乘积大于 1，故 D 选项不可能 成立．
为( )
A．12
B．1 C．32
D. 2
【解析】选 B.因为 f(x)在(－∞，1]上是减少的， 所以－a≥1，即 a≤－1. 所以 f(x)在[a＋1，1]上的最大值为 f(a＋1)＝3a2＋4a＋4，最小值为 f(1)＝4＋2a， 所以 g(a)＝3a2＋2a＝3a＋13 2 －13 ， 因为 g(a)在(－∞，－1]上减少， 所以 g(a)的最小值为 g(－1)＝1.
0 －2 0 6
描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．
由图像可知由 y＝x2 到 y＝2x2－4x 的变化过程为： 先把 y＝x2 的图像向下平移 1 个单位长度得到 y＝x2－1 的图像，然后再把 y＝ x2－1 的图像向右平移 1 个单位长度得到 y＝(x－1)2－1 的图像，最后把 y＝ (x－1)2－1 的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍，便可得到 y＝2(x－1)2－2， 即 y＝2x2－4x 的图像．
4函数的极值与最大小值
解 由于 f (x) = x3(x - 1)2(7x - 4) ， 因此 x 0,1, 4 是函数
的三个稳定点． f 的二阶导数为
7
f (x) = 6x2 (x - 1)(7x2 - 8x + 2)
由此得 f (0) f (1) 0及f ( 4) 0，所以 f ( x)在x 4 时取得极小
有 f (4)(0) 0. 因为n = 4 为偶数，故 f 在 x 0 取得极大值.
综上所述， f (0) 0 为极大值，
f( 4 ) = -( 4 )4 ( 3 )3 = - 6912
7
77
823543
为极小值.
注 定理6.12仍是判定极值的充分条件而非必要条件．
考察函数
f(x)
=
e -
f n x0 0, 则
（ⅰ）当n为偶数时， f 在 x0处取得极值，且当 f (n)( x0 ) 0 时 取极大值，f (n) ( x0 ) 0 时取极小值.
（ⅱ）当n为奇数时， f 在 x0 处不取极值.
该定理的证明类似于定理6.11，我们将它留给读者.
例3 试求函数 x4( x 1)3的极值.
(析) 由条件及 f 在 x0 处的二阶泰勒公式
f (x)
f ( x0 )
f
( x0 )( x
x0 )
1 2!
f x0 x
x0 2
x x0 2
知
f
( x)
f
( x0 )
f
x0
2
1 x
x0 2
0,
a 2
内解得稳定点
二次函数(4)
海豚教育个性化简案学生姓名：年级：科目：授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时教学目标1.理解二次函数中参数a,b c,h,k对其图像的影响。
2. 领会二次函数图像平移的方法，并能迁移到其他函数图象的研究，从而提高识图和用图能力.重难点导航1. 利用函数图象探究函数的性质；2. 掌握二次函数与系数之间的关系.教学简案：知识点一：用待定系数法求二次函数的表达式知识点二：根据图像求二次函数解析式知识点三：二次函数的比较大小知识点四：二次函数的最值知识点五：二次函数与一元二次方程授课教师评价：□ 准时上课：无迟到和早退现象（今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况（大写）□ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：海豚教育个性化教案（真题演练）1.（2013•舟山）若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），则抛物线y=ax2+bx 的对称轴为（）A．直线x=1 B．直线x=-2 C．直线x=-1 D．直线x=-42.（2010•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4海豚教育个性化教案二次函数（四）知识点一：用待定系数法求二次函数的表达式题型一：一般式:c bx ax y ++=2)0(≠a c b a 为常数，、、；确定图像上三个点坐标代入，得到关于，a,b,c 的方程。
解方程组就可得到a 、b 、c 。
例1：已知二次函数的图像过三点，A （-1，0）B （0,1）C （1,6）求次函数的解析式。
4 函数的单调性与凹凸性的判别法
f( x ) C [ a ,b ] ，且 f( x ) D ( a ,b ) ，则 定理1 设 1 ). f( x )在 [ a ,b ]上升 f ( x ) 0 ； 2 ). f( x )在 [ a ,b ] 下降 f ( x ) 0 。
0 证明：1 . " " f ( x ) 在 [ a , b ] 上升， x ( a , b ) ，由
f ( x ) 2 0 f( x )f( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) 0 0 0 0 2 ! ) f(n ( x ) n 0 ( x x ) R ( x ) 0 n n !
( n 1 ) f ( ) n 1 其中 R ( x ) ( x x ) 介于 x 与 x 之间 ) n 0 ( 0 ( n 1 )!
2 .求出 f ( x )不存在的点，但函数 有意义；
3 . 考察在这些点的左、右 函数的凹凸性 .
例 3讨论 y ( 2 x 5 ) x 的凸性；
102 x 1 10 x1 3 . 3 , y 解： x 0 时， y 9 x x 3 x
f ( x ) f ( 0 ), 即 x ln( 1 x ).
x 现证明左端不等式：当 x 0 时， 0 , 1 1 x x x 1 x ln( 1 ) ln ln( 1 x ) 1 0 1 x 1 x 1 x 1x
x 当 1 x 0 时， 0 ，同样有： 1 x x x x ln( 1 x ) x . ln( 1 ) 1 x 1 x 1 x
f (x) 是凸的。
几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调 增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切 线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。
函数的极限(4)
2 已知 lim x2
x2 ax b x2 x 2
2，求a, b
3已知 lim a x2 x 1 bx 1，求a,b x
函数的连续性
一种是连续变化的情况 另一种是间断的或跳跃的
温度计
y分
80
例如邮寄信件时的邮费随邮 件质量的增加而作阶梯式的增 加等，这些例子启发我们去研 究函数连续与不连续的问题。
5 lim x2 3
x 3 x3 1
例2:求下列极限
1
lim
x 1
2x2 x3
x 1 2x2 1
2
lim
x 1
2
x x2
2 1 x
1
3
lim
x 2
x3 x2
3x2 x
2x 6
4lim 1 x 1
x0 x 4 2
5 lim 1 x 3
则
lim
x 0
f
(x)
lim f (x)
x 0
lim f (x)
x 0
lim f (x)
x 1
lim f (x)
x 1
lim f (x)
x 1
函数极限的四则运算
如果 lim f x a，lim g x b，那么
x x0
x x0
x
显然,找到一个后, 越小越好.
x 1
考察函数y
0
x
1
x 0 x 0 ， x 0
当x无限趋近于0时的极限
一般地，如果当x从点x x0左侧即x x0
无限趋近于x0时，函数f x无限趋近于常数
三次函数与四次函数
资源共享交流学习三次函数与 三次函数与四次函数大连市红旗高中 王金泽 wjz9589＠ 在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接 触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与 x 轴交点个数”等类似问题。
三次函 数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。
2008 年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数 中的应用第一部分：三次函数的图象特征、以及与 x 轴的交点个数（根的个数） 、极值情况三次 函数图象说明可以根据极限的思想去分析 当 a＞0 时，在 x → +∞右向上 伸展， x → -∞左向下伸展。
伸展， x → -∞左向上伸展。
a 对图象 的影响当 a＜0 时，在 x → +∞右向下(可以联系二次函数 a 对开口的影 响去联想三次函数右侧伸展情况) 若b2− 3ac > 0 ,且f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) < 0 ，既两个极与 x 轴有三 个交点值异号；图象与 x 轴有三个交点若b2− 3ac > 0 ,且f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 ，既有一与 x 轴有二 个交点个极值为 0，图象与 x 轴有两个 交点1。
存在极值时即 b2− 3ac > 0 ,且f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ，既两个与 x 轴有一 个交点极值同号， 图象与 x 轴有一个交点。
2。
不存在极值，函数是单调函数 时图象也与 x 轴有一个交点。
更上一层楼QQ522286788资源共享交流学习1. f ( x) = 0 根的个数三次函数 f ( x) = ax + bx + cx + d3 2导函数为二次函数: f ( x) = 3ax + 2bx + c( a ≠ 0) ，/ 2 2 2 二次函数的判别式化简为：△= 4b − 12ac = 4(b − 3ac) ，(1) 若 b − 3ac ≤ 0 ，则 f ( x) = 0 恰有一个实根；2(2) 若 b − 3ac > 0 ,且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ，则 f ( x) = 0 恰有一个实根；2(3) 若 b − 3ac > 0 ,且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 ，则 f ( x) = 0 有两个不相等的实根；2(4) 若 b − 3ac > 0 ,且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) < 0 ，则 f ( x) = 0 有三个不相等的实根.2即 （或 说明(1)(2) f ( x) = 0 含有一个实根的充要条件是曲线 y = f (x) 与 X 轴只相交一次， f (x) 在 R 上为单调函数 两极值同号） ，所以 b − 3ac ≤ 0 （或 b − 3ac > 0 ，且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ）.2 2(3) f ( x) = 0 有两个相异实根的充要条件是曲线 y = f (x) 与 X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b 2 − 3ac > 0 ，且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 .(4) f ( x) = 0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y = f (x) 与 X 轴有三个公共点，即 f (x) 有一个极大值，一 个极小值，且两极值异号.所以 b − 3ac > 0 且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) < 0 .22.极值情况：三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d （a＞0）, 导函数为二次函数 f / ( x) = 3ax 2 + 2bx + c( a > 0) ， 二次函数的判别式化简为：△= 4b 2 − 12ac = 4(b 2 − 3ac) ， (1) 若 b − 3ac ≤ 0 ，则 f (x) 在 (−∞,+∞) 上为增函数；2(2) 若 b − 3ac > 0 ， 则 f (x) 在 ( −∞, x1 ) 和 ( x 2 ,+∞) 上 为 增 函 数 ， f (x) 在 ( x1 , x 2 ) 上 为 减 函 数 ， 其 中2x1 =− b − b 2 − 3ac − b + b 2 − 3ac , x2 = . 3a 3a△= 4b 2 − 12ac = 4(b 2 − 3ac) ，证明： f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c ,更上一层楼QQ522286788资源共享交流学习(1) 当 ∆ ≤ 0 (2) 当 ∆ > 0即 b − 3ac ≤ 0 时， f ' ( x ) ≥ 0 在 R 上恒成立， 即 f (x ) 在 (−∞,+∞) 为增函数.2即 b − 3ac > 0 时，解方程 f ' ( x ) = 0 ，得2x1 =− b − b 2 − 3ac − b + b 2 − 3ac , x2 = 3a 3a由 f ' ( x) > 0 得 x < x1 或 x > x 2 ， f (x ) 在 ( −∞, x1 ) 和 ( x 2 ,+∞) 上为增函数. 由 f ' ( x ) < 0 得 x1 < x < x 2 ， f (x ) 在 ( x1 , x 2 ) 上为减函数. 总结以上得到结论: 三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a > 0) , (1) 若 b − 3ac ≤ 0 ，则 f (x) 在 R 上无极值；2(2) 若 b − 3ac > 0 ，则 f (x) 在 R 上有两个极值；且 f (x) 在 x = x1 处取得极大值，在 x = x 2 处取得极小值.2由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。
4函数零点
函数零点专题1．函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点个数．2．若函数f（x）=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．3．若函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R，ω＞0），又f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值为，则函数g（x）=f（x）﹣1在[﹣2π，0]上零点的个数为．4．若函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3的零点有且只有一个，则实数a=．5．若关于x的不等式（2x﹣1）2＜kx2的解集中整数恰好有2个，则实数k的取值范围是．6．已知函数f n（x）=lnx﹣n+5的零点为a n（其中n=1，2，3…），数列{a n}的前k项的积为T k（k＞1，k∈N），则满足T k=a k的自然数k的值是．7．设k∈R，x1，x2是方程x2﹣2kx+1﹣k2=0的两个实数根，则x12+x22的最小值为8.已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．9．若方程x2+ax﹣2=0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围10．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，10]内零点的个数为．11.若函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，则实数k的取值范围是．12．已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，则a的取值范围为．13．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=．14．若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是．15．已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若f(x)有2 009个零点，则这2 009个零点之和为________．16．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．17．已知函数f(x)＝3x－x2，求方程f(x)＝0在区间[－1,0]上实根的个数．18．判断函数f(x)＝lnx－1x在区间(1,3)内是否存在零点．19．定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f(log19x)≥0的x的取值集合．函数零点专题答案1．函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点个数1．【解】∵函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点个数∴转化为方程lnx=6﹣2x的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：由图象可得两个函数只有一个交点．故填1．2．若函数f（x）=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，1]．【解答】解：当x＞0时，由f（x）=lnx=0，得x=1．∵函数f（x）有两个不同的零点，∴当x≤0时，函数f（x）=2x﹣a还有一个零点，令f（x）=0得a=2x，∵0＜2x≤20=1，∴0＜a≤1，∴实数a的取值范围是0＜a≤1．故答案为：（0，1]．3．若函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R，ω＞0），又f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值为，则函数g（x）=f（x）﹣1在[﹣2π，0]上零点的个数为1．【解】解：化简可得f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），又∵|α﹣β|的最小值为，∴==，T为函数周期，∴ω=，∴g（x）=f（x）﹣1=2sin（x+）﹣1，令2sin（x+）﹣1=0可得x+=2kπ+或x+=2kπ+，k∈Z，解得x=3kπ﹣或x=3kπ+，k∈Z，结合x∈[﹣2π，0]可知当且仅当k=0时，有x=﹣符合题意．故答案为：1．4．若函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3的零点有且只有一个，则实数a=．【解】：对于函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3∵f（﹣x）=f（x）∴f（x）为偶函数∴y=f（x）的图象关于y轴对称由题意知f（x）=0只有x=0一个零点，即4a2﹣3=0，解可得a=±；又由x＞0时，f（x）=x2+2ax+4a2﹣3，其对称轴为x=﹣a，必有x=﹣a≤0，故a=故答案为：5．若关于x的不等式（2x﹣1）2＜kx2的解集中整数恰好有2个，则实数k的取值范围是．【解】：因为不等式等价于（﹣k+4）x2﹣4x+1＜0，其中方程（﹣k+4）x2﹣4x+1=0的△=4k＞0，且有4﹣k＞0，故0＜k＜4，不等式的解集为，又，则一定有1，2为所求的整数解集，所以，解得k的范围为．故答案为：6．已知函数f n（x）=lnx﹣n+5的零点为a n（其中n=1，2，3…），数列{a n}的前k项的积为T k（k＞1，k∈N），则满足T k=a k的自然数k的值是10．【解答】解：由f n（x）=lnx﹣n+5=0，得lnx=n﹣5，即x=e n﹣5，则a n=e n﹣5，则T k=a1a2…a k=，若T K=a K，则，即，解得k=10或k=1（舍去），故答案为：10．7．设k∈R，x1，x2是方程x2﹣2kx+1﹣k2=0的两个实数根，则x12+x22的最小值为1【解】：∵x1，x2是方程x2﹣2kx+1﹣k2=0的两个实数根△=（2k）2﹣4（1﹣k2）=8k2﹣4≥0即;又∵x1+x2=2k，x1•x2=1﹣k2∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=6k2﹣2≥1;故x12+x22的最小值为1故答案为：18.已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）．【解】：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）9．若方程x2+ax﹣2=0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围【解】：由于方程x2+ax﹣2=0有解，设它的两个解分别为x1，x2，则x1•x2=﹣2＜0，故方程x2+ax﹣2=0在区间[1，5]上有唯一解．设f（x）=x2+ax﹣2，则有f（1）f（5）≤0，即（a﹣1）（5a+23）≤0，解得：≤a≤1，10．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，10]内零点的个数为14．【解】：作出区间[﹣5，10]上的两个函数的图象，y轴右边最后一个公共点是（10，1）y轴左边有四个交点，y轴右边是9个交点，y轴上有一个交点，总共是14个交点．故应填14．11.若函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，则实数k的取值范围是（0，4）．解：由题意可知，解得x＞﹣1且x≠0，由对数的性质可得lnkx=2ln（x+1）=ln（x+1）2，可得kx=（x+1）2，变形可得k==x++2，（x＞﹣1且x≠0）由“对号函数”的性质可知x+＜﹣2，或x+≥2，∴x++2＜0，或x++2≥4，要使函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，只需k取x++2取值集合的补集，即{k|0≤k＜4}，当k=0时，函数无意义，故k的取值范围应为：（0，4）故答案为：（0，4）12．已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，则a的取值范围为．【解】：a=0时，不符合题意，所以a≠0，又∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解，⇔（2x2﹣1）a=3﹣2x在[﹣1，1]上有解在[﹣1，1]上有解，问题转化为求函数[﹣1，1]上的值域；设t=3﹣2x，x∈[﹣1，1]，则2x=3﹣t，t∈[1，5]，，设，时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，∴y的取值范围是，∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解⇔∈⇔a≥1或．故a≥1或a≤﹣．13．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=1．【解】：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=6，可得t+log2t=6，可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）=，又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，所以x0是函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣的零点，分析易得F（1）=﹣＜0，F（2）=1﹣=1﹣＞0，故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，故答案为：114．若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是3．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b，且x 1，x 2是方程3x 2+2ax+b=0的两根，不妨设x 2＞x 1，由3（f （x ））2+2af （x ）+b=0， 则有两个f （x ）使等式成立，x 1=f （x 1），x 2＞x 1=f （x 1），如图所示：有3个交点，故答案为：3．15．已知对于任意实数x ，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若f(x)有2 009个零点，则这2 009个零点之和为________．【解】 设x 0为其中一根，即f(x 0)＝0，因为函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(－x 0)＝f(x 0)＝0，即－x 0也为方程一根，又因为方程f(x)＝0有2 009个实数解，所以其中必有一根x 1，满足x 1＝－x 1，即x 1＝0，所以这2 009个实数解之和为0.【答案】 016．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．【解析】 分别作出函数f(x)=3-2-x 与函数g(x)=x2的图象，如图所示． ∵f(0)=2，g(0)=0，∴从图象上可以看出它们有2个交点．【答案】 2 17．已知函数f(x)＝3x －x 2，求方程f(x)＝0在区间[－1,0]上实根的个数．【解析】 ∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－23<0，f(0)＝30－02＝1>0，∴f(－1)·f(0)<0.又函数f(x)在[－1,0]上的图象是连续曲线，∴方程f(x)＝0在[－1,0]内有实根．又函数f(x)＝3x －x 2在[－1,0]上是增函数，∴方程f(x)＝0在[－1,0]上只有一个实数根．18．判断函数f(x)＝lnx －1x 在区间(1,3)内是否存在零点．【解】 因为函数f(x)＝ln x －1x 的图象在[1,3]上是连续不断的一条曲线，且f(1)＝－1<0，f(3)＝ln 3－13>0，从而由零点存在性定理知，函数在(1,3)内存在零点．19．定义在R 上的偶函数y ＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f(log 19x)≥0的x 的取值集合．【解】 ∵－12是函数的一个零点，∴f(－12)＝0.∵y ＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上递增，∴当log 19x ≤0，即x ≥1时，log 19x ≥－12，解得x ≤3.即1≤x ≤3.由对称性可知，当log 19x>0时，13≤x<1.综上所述，x 的取值范围为[13，3].。
4的欧拉函数
4的欧拉函数4的欧拉函数是数论中用来测量一个正整数n的因子数量的函数。
它最早是由欧拉于1832年提出的，所以称为欧拉函数。
函数的值表示在一个给定的正整数的分解因子的数目。
4的欧拉函数（简称4EF）是指4的正整数的欧拉函数，也就是说，它表示4这个正整数的因子数目。
4的欧拉函数也叫作Euler-Lagrange函数，它是一个十分常见的数学函数，用来表示正整数n的因子数量。
这个函数可以用来计算不同正整数的因子数量。
4EF是一个四参数函数，它需要3个参数，这3个参数决定了它接受正整数n的大小及其分解因子的数目。
其中，4指的是4的正整数，即n=4；f代表因子，它表示函数接收的正整数的分解因子的数量；g代表欧拉函数，它表示用来计算某正整数n的因子数量的函数。
最后，h代表4EF函数，它是一个4参数函数，结合上述三个参数，就可以计算出4的正整数的因子数量。
4EF的计算公式如下：h(n,f,g,h) = 4 * f * g * h其中，n表示指定的正整数，f表示正整数n的因子数量，g表示欧拉函数，h表示4EF函数。
4EF是一个十分重要的数学函数，它可用来计算不同正整数n的因子数量。
4EF用来解决一些关于因子数目的数学问题也是非常有用的，而更多的应用可见于微积分和计算机科学等方面。
在数学和计算机科学领域中，4的欧拉函数有着特殊的意义和用途。
它被广泛的应用于分解因子的数目的比较、分解算法的优化和微积分中的积分等方面。
例如，在微积分领域，四参数功能在积分运算中可以发挥出很大的作用，它可以用来计算正整数n的积分值，积分定义为该正整数的分解因子数之和；在计算机科学领域，可以应用欧拉函数来实现因子的分解的快速有效的优化，以便加快解决问题的速度。
总之，4的欧拉函数非常重要，它在数学和计算机科学领域都有广泛的应用。
4EF的计算公式也很容易掌握，而且它的应用也不仅限于上述的几个领域，它还可以在其他计算机科学中发挥作用，比如用于算法优化、分解因子数目比较以及积分等方面。
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若 f （ x ）的图象有两条对称轴 x ＝ a和 x ＝ b（a≠b），则f（x）必为周期函数，且 2︱b－a︱是它的一个周期； 若f（x）图象有两个对称中心（a，0）和 （b， 0）（a≠b），则 f（ x）必为周期函数， 且2︱b－a︱为它的一个周期； 若f（x）的图象有一对称轴x＝a和一个对 称中心（b ，0 ）（a≠b），则 f （x ）必为周 期函数，且4︱b－a︱是它的一个周期.
• 若f（x+a）＝f（b－x），则函数f（x） ab 的图象关于直线x＝ 对称，特别地， 2 若f（a+x）＝f（a－x），函数f（x）的 图象关于直线x＝a • 若有f（a+x）＝－f（b－x），则函数 ab f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称， 2 特别地，若f（a+x）＝－f（a－x），则 函数f（x）的图象关于点（a，0）中心 对称.
【例1】已知函数 f（ x）的定义域为R ，则 下列命题中 :①若 f （ x － 2 ）是偶函数，则 函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；
②若 f （ x+2）＝－f （ x －2 ），则函数 f （ x ） ③函数y ＝f （2+x ）与函数 y＝ f（2 －x ）的 图象关于直线x＝2 ④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的 图象关于直线x＝2对称. 其中正确的命题序号是 .
Байду номын сангаас
【解析】①是错误的，由于 f（ x－ 2）是偶 函数得f （－x －2）＝ f（ x－2 ），所以 f（ x） 的图象关于直线 x ＝－ 2 对称；②是错误的， 由 f （ x+2 ）＝－ f （ x －2 ）得 f（ x+4 ）＝－ f （x），进而得f（x+8）＝f（x），所以f（x） 是周期为8的周期函数③是错误的，在第一 个函数中，用－x代 x，y不变，即可得第二 个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称； ④是正确的，令x－2＝t，则2－x＝－t，函 数y＝f（t)与y＝f（－t）的图象关于直线t＝ 0 对称，即函数 y ＝ f （ x － 2 ）与 y ＝ f （ 2 － x ） 的图象关于直线x＝2对称.
演 稿
示 1
文
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【解 析】 由 f （ x+1 ）为奇函 数得 f （－ x+1）＝－ f（x+1）， ∴f（ x）的 图象关于点（ 1， 0）中心对称，又由 已知可画出 f（ x）在（－ ∞， 1）上的 图象，再根据中心对称画出 f （ x）在 （ 1， +∞）上的图象，由图象易知， f 7 （x）在［ ， +∞）上单调递减，故 4 应选C.
【例2】 (2005年· 福建) f（x）是定 义在R上的以3为周期的奇函数，且 f （ 2 ）＝ 0 ，则方程 f （ x ）＝ 0 在区 间（0，6）内解的个数的最小值是 ( ) A．2 C．4 B．3 D．5
【解析】∵f（ x）为奇函数， ∴f（ 0） ＝ 0，又函数f（x）以 3为周期，且 f（ 2） ＝0，∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4） ＝0，f（3）＝0，f（5）＝0， ∴在区间（ 0， 6）内的解有 1， 2，3， 4，5.故选D.
【例 4】 (2005 年 · 广东 ) 对函数 f （ x ）， 当x∈（－∞，∞）时，f（2－x）＝ f （ 2+x ）， f （7 －x ）＝ f （7+x ），在闭 区间［0,7］上，只有f（1）＝f（3）＝0. （1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性； （2）试求方程f（x）＝0在闭区间 ［－2005，2005］上的根的个数，并证 明你的结论.
周期性的几个结论
• 若f（x+a）＝f（x+b）（a≠b），则f（x）是 周期函数，︱b－a︱是它的一个周期； • 若f（x+a）＝－f（x）（a≠0），则f（x）是 周期函数，2a 1 • 若f（x+a）＝ （a≠0，且f（x）≠0），
f x
则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期.
对称性的几个结论
【例3】 已知函数f（x）的定义域为{x︱ x∈R x≠1} ， f（x+1）为奇函数，当 x ＜ 1 时， f （ x ）＝ 2x2 － x+1 ，则当 x ＞ 1 时， f（x）的递减区间是 （ ）
5 A．［ ，+∞） 4 7 C．［ ，+∞） 4 5 B．（1， ］ 4 7 D．（1， ］ 4
【解】 （1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇 函数，又由 f（ 2－ x）＝ f（ 2+x），得函数 y＝ f（ x） 的对称轴为x＝2，∴f（－1）＝f（5） ≠0，∴f（－ 1） ≠f（1），∴f（x）不是偶函数. 故函数y＝f（x） (2)由f（4－x）＝f（14－x） f（x）＝f（x+10）， 从而知y＝f（x）的周期是10. 又f（3）＝f（1）＝ 0 ， f（ 11 ）＝ f（ 13 ）＝ f（－ 7）＝ f（－ 9 ）＝ 0 ， f（x）在［0，10］和［－10，0］上均有两个 解，从而可知函数 y ＝ f （ x ）在 ［ 0 ， 2005 ］ 上有 402个解，在上［－2005 ，0］有400个解，所以函 数y＝f（x）在［－2005，2005］上有802个解.