2018届高三文科数学(新课标)二轮复习专题能力训练11 三角变换与解三角形

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(新课标)高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形学案理新人

第2讲三角恒等变换与解三角形[做真题]题型一三角恒等变换1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255解析：选B ．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin 2α＋1，即2sin αcosα＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B ． 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89 B ．79 C ．－79D ．－89解析：选B ．cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A ．725 B ．15 C ．－15D ．－725解析：选D ．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D ．题型二三角形中的边角计算问题1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5解析：选A ．因为cos C2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A ．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．解析：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21133．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sinC )2＝sin 2A －sin B sin C ．(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C ．解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin (120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. 题型三与三角形面积有关的问题1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C ．根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．解析：法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.答案：6 33．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得 sin A sinA ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin(120°－C )sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32. [明考情]1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上．3．若以解答题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．三角恒等变换与求值[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋ 3 C ．2－ 3D ．2＋ 3解析：选D ．由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D ．2．(一题多解)(2019·福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A ．15 B ．－15C ．725D ．－725解析：选C ．法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．法三：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cosα＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，得sin 2α＝725.故选C ．3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，所以sin α＝255，cos α＝55，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫255＋55＝31010. 答案：310104．(2019·江西七校第一次联考)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝33，则cos(2α＋β)＝________．解析：因为0<α<π2，所以π4<α＋π4<3π4，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝429， cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－79. 因为－π2<β<0，所以0<β2＋π4<π4，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝63，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝223， cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝13. 所以cos(2α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝2327.答案：2327三角恒等变换要遵循的“三看”原则一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二看“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向．三角形的基本量的计算[典型例题]命题角度一求解三角形中的角(1)(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝a (cos C ＋33sin C )，a ＝2，c ＝263，则角C ＝( ) A ．3π4B ．π3C ．π6D ．π4(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＋b sin C ＝a . ①求角B 的大小；②若BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值．【解】 (1)选D ．由b ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋33sin C ，得sin B ＝sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋33sin C . 因为sin B ＝sin []π－(A ＋C )＝sin(A ＋C )，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋33sin A sin C (sin C ≠0)，即cos A ＝33sin A ，所以tan A ＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝22.因为0<C <2π3，所以C ＝π4.故选D ．(2)①由b cos C ＋b sin C ＝a ，得sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin A . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，因为sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4. ②设BC 边上的高为AD ，则AD ＝14a .因为B ＝π4，所以BD ＝AD ＝14a ，所以CD ＝34a ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝104a ，AB ＝24a . 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－55.利用正、余弦定理求三角形角的方法(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角． (2)已知三边，直接由余弦定理求角．(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角．[技能] 利用正、余弦定理求角时的两个失分点：(1)已知两边及其中一边的对角求其他角时，有一解、两解的情况，容易把握不准而出错；(2)在变形时，直接两边约去公因式，没有移项后提公因式，产生漏解．命题角度二求解三角形中的边与面积如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD ＝1，E 为AC 的中点，AE ＝32，cos B ＝277，∠ADB ＝2π3.(1)求AD 的长； (2)求△ADE 的面积．【解】 (1)在△ABD 中，因为cos B ＝277，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，所以sin ∠BAD ＝sin(B ＋∠ADB )＝217×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋277×32＝2114. 由正弦定理知AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，得AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝1×2172114＝2.(2)由(1)知AD ＝2，依题意得AC ＝2AE ＝3，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ，即9＝4＋DC 2－2×2×DC cos π3，所以DC 2－2DC －5＝0，解得DC ＝1＋6(负值舍去)，所以S △ACD ＝12AD ·DC sin ∠ADC ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322，从而S △ADE ＝12S △ACD ＝3＋324.利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解．[技能] 三角形的面积主要是利用S ＝12ab sin C 求解，有时可以直接利用余弦定理求出ab 的整体值再求面积，而不必分别求出a ，b 的值．[对点训练]1．(一题多解)(2019·广州市综合检测一)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ．(1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)法一：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，所以由正弦定理得sin C cos B ＝(3sin A －sin B )cos C ，即sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ，所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A ，则sin A ＝3sin A cos C ．因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.法二：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，所以由余弦定理得c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 22ab，化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.(2)法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24，即(a －b )2＋43ab ＝24.因为b －a ＝2，所以ab ＝15.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2.法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24.又b －a ＝2，所以a ＝3，b ＝5.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2.2．(2019·郑州市第一次质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B ＝b 24S.(1)求sin A sin C ；(2)若4cos A cos C ＝3，b ＝15，求△ABC 的周长．解：(1)由三角形的面积公式可得S ＝12bc sin A ，又sin B ＝b 24S，所以2bc sin A sin B ＝b 2，即2c sin A sin B ＝b ，由正弦定理可得2sin C sin A sin B ＝sin B ，因为sin B ≠0，所以sin A sin C ＝12.(2)因为4cos A cos C ＝3，所以cos A cos C ＝34，所以cos A cos C －sin A sin C ＝34－12＝14，即cos(A ＋C )＝14，所以cos B ＝－14，因为0<B <π，所以sin B ＝154，因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝15154＝4，所以sin A sin C ＝ac 16＝12，所以ac ＝8，因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，所以(a ＋c )2＝15＋12＝27，所以a ＋c ＝3 3. 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝33＋15.解三角形的综合问题[典型例题]命题角度一以平面几何为载体的解三角形问题(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC 为锐角，AD⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3(2＋3)2.(1)求CD ； (2)求∠ABC .【解】 (1)在△BCD 中，S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝3(2＋3)2，因为BC ＝23，BD ＝3＋6，所以sin ∠CBD ＝12.因为∠ABC 为锐角，所以∠CBD ＝30°.在△BCD 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos ∠CBD ＝(23)2＋(3＋6)2－2×23×(3＋6)×32＝9，所以CD ＝3. (2)在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，即23sin ∠BDC ＝3sin 30°，解得sin ∠BDC ＝33.因为BC <BD ，所以∠BDC 为锐角，所以cos ∠BDC ＝63. 在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，即ACcos ∠BDC ＝3sin ∠CAD.①在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC ，即ACsin ∠ABC ＝23sin ∠BAC.②因为AC 平分∠BAD ，所以∠CAD ＝∠BAC . 由①②得sin ∠ABC cos ∠BDC ＝323，解得sin ∠ABC ＝22.因为∠ABC 为锐角，所以∠ABC ＝45°.解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于π3)确定角或边的范围．命题角度二三角形中的最值或范围问题(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan Atan B＝2c －bb，则△ABC 面积的最大值为________．(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为________．【解析】 (1)因为tan A tan B ＝2c －b b ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin Bcos B，由正弦定理得sin B sinA cosB ＝(2sinC －sin B )sin B cos A ，又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ，所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32.设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.所以△ABC 面积的最大值为334.(2)由sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C 及正弦定理，可知a cos B ＋b cos A ＝c ，则由(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝12，则C ＝π3，B ＝2π3－A ，由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，得asin A＝bsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝csinπ3，又a ＋b ＝2，所以c sin A32＋c sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A 32＝2，即c ＝3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，则c ∈[1，2)．【答案】 (1)334(2)[1，2)解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．[对点训练]1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AB 边上一点，连接CE ，DE .CB ＝2，BE ＝1，∠B ＝∠CED ＝2π3.(1)求sin ∠AED 的值； (2)若AB ∥CD ，求CD 的长．解：(1)在△BEC 中，由余弦定理得，CE ＝CB 2＋BE 2－2CB ·BE cos ∠B ＝7，又BEsin ∠BCE ＝CE sin ∠B ，所以sin ∠BCE ＝2114，因为∠B ＝∠CED ，所以sin ∠AED ＝sin ∠BCE ＝2114. (2)因为AB ∥CD ，所以∠CDE ＝∠AED ，所以sin ∠CDE ＝sin ∠AED ＝2114，在△CDE 中，CD sin ∠CED ＝CE sin ∠CDE ，所以CD ＝CE sin ∠CEDsin ∠CDE＝7×322114＝7.2．(2019·福建五校第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cosC ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ，从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A . 又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ，所以bc ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故△ABC 面积的最大值为2＋ 3.[A 组夯基保分专练]一、选择题1．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋1，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B ．f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin(2x ＋π6)＋2，则f (x )的最小正周期为2π2＝π，最大值为2＋2＝4.故选B ．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A ．由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3c 22bc ＝－14，得b c＝6.故选A ． 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sinC ，则sin B 为( )A ．74 B ．34 C ．73D ．13解析：选A ．由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，所以sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A ．32 B ．233C ．33D ． 3解析：选B ．由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sinC ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C＝233.故选B ． 5．(一题多解)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选A ．法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABCBC ＝2×323＝1，故选A ．法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A ．6.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A ．223B ．24 C ．64D ．63解析：选C ．依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BCsin ∠BDC＝BDsin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________．解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.答案：－788．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝(4－b )(4＋b )16(4－b )＝4＋b16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b .因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210.答案：(42，210)9．(一题多解)(2019·合肥市第一次质检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC 至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．解析：法一：由题意知b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ①，又由已知，得cos(A －C )＋cos(A ＋C )＝12，可得cos A cos C ＝14 ②，②－①，得14－sin 2B ＝－cos B ，所以cos 2B＋cos B －34＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝－32(舍去)，所以B ＝60°，再由题得cos(A －C )＝1，则A －C ＝0，即A ＝C ，则a ＝c ，所以△ABC 为正三角形，则∠ACD ＝120°，AC ＝b ，CD ＝2－b ，故S △ACD ＝12×b ×(2－b )×32≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2－b 22＝34，当且仅当b ＝2－b ，即b ＝1时取等号．故填34. 法二：由题意知b 2＝ac ，且cos(A －C )＋cos(A ＋C )＝12，即cos A cos C ＋sin A sin C ＋cos A cos C －sin A sin C ＝12，即cos A cos C ＝14，由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ·b 2＋a 2－c 22ab ＝14，整理得b 4－(a 2－c 2)2＝b 4，所以a 2－c 2＝0，即a ＝c ，又b 2＝ac ，所以a ＝b ＝c ，即△ABC 为正三角形，所以S △ACD ＝S △ABD －S △ABC ＝12×2×c ×32－34c 2＝－34(c －1)2＋34≤34，当c ＝1时取等号，故填34. 答案：34三、解答题10．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ．(1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．解：(1)因为a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ，所以由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2cos B ，又a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B ，由正弦定理，得 2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)由tan C ＝32，C ∈(0，π)，得sin C ＝217，cos C ＝277，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×277＋12×217＝32114. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B ＝27×3211432＝6，所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×6×27×217＝6 3.11．(2019·武汉模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，cos B ＝255. (1)求sin C 的值；(2)若角A 的平分线AD 的长为5，求b 的值．解：(1)由cos B ＝255及0<B <π，得sin B ＝55，又A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×55×255＝45， cos A ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝35.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×255＋35×55＝11525.(2)由题意得，∠ADC ＝B ＋12∠BAC ＝∠BAC (如图)，所以sin ∠ADC ＝45.在△ADC 中，AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，即511525＝AC 45，AC ＝2011，故b ＝2011.12．(2019·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sinC ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716.[B 组大题增分专练]1．(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a (sinA －sinB )＝(c －b )(sinC ＋sin B )．(1)求角C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解：(1)由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由(1)知a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，所以ab ＝6，所以(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 2．(一题多解)(2019·福州模拟)如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，cos ∠BAM ＝5714，cos ∠AMC ＝－277.(1)求∠B 的大小；(2)若AM ＝21，求△AMC 的面积．解：(1)由cos ∠BAM ＝5714，得sin ∠BAM ＝2114，由cos ∠AMC ＝－277，得sin ∠AMC ＝217. 又∠AMC ＝∠BAM ＋∠B ，所以cos ∠B ＝cos (∠AMC －∠BAM )＝cos∠AMC cos ∠BAM ＋sin ∠AMC sin ∠BAM＝－277×5714＋217×2114＝－12，又∠B ∈(0，π)，所以∠B ＝2π3. (2)法一：由(1)知∠B ＝2π3，在△ABM 中，由正弦定理AM sin ∠B ＝BM sin ∠BAM，得BM ＝AM sin ∠BAM sin ∠B ＝21×211432＝ 3.因为M 是边BC 的中点，所以MC ＝ 3.故S △AMC ＝12AM ·MC ·sin ∠AMC ＝12×21×3×217＝332. 法二：由(1)知∠B ＝2π3，在△ABM 中，由正弦定理AM sin ∠B ＝BM sin ∠BAM，得BM ＝AM sin ∠BAM sin ∠B ＝21×211432＝ 3.因为M 是边BC 的中点，所以S △AMC ＝S △ABM ，所以S △AMC ＝S △ABM ＝12AM ·BM ·sin ∠BMA ＝12×21×3×217＝332. 3．(2019·昆明市质量检测)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2(c －a cos B )＝3b .(1)求角A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由2(c －a cos B )＝3b 及正弦定理得2(sin C －sin A cos B )＝3sin B ，所以2sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝3sin B ，即2cos A sin B ＝3sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，又0<A <π，所以A ＝π6. (2)因为a ＝2，由正弦定理得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝14bc ，所以S △ABC ＝4sin B sin C ，因为C ＝π－(A ＋B )＝5π6－B ，所以sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ，所以S △ABC ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ＝4sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos B ＋32sin B ，即S △ABC ＝2sin B cos B ＋23sin 2B＝sin 2B －3cos 2B ＋ 3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＋ 3. 因为0<B <5π6，所以－π3<2B －π3<4π3，所以－32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3≤1，所以0<S △ABC ≤2＋ 3.即△ABC 面积的取值范围为(0，2＋3]．4．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，AB 边上的高h ＝23c . (1)若△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，求角C 的正弦值； (2)若C ＝π4，M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab ，求M 的值．解：(1)作CD ⊥AB ，垂足为D ，因为△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，所以sin A ＝45，tan A ＝43，所以AD ＝c 2，BD ＝AB －AD ＝c 2，所以BC ＝CD 2＋BD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝5c 6，由正弦定理得sin ∠ACB ＝AB sin A BC ＝c ×455c 6＝2425. (2)因为S △ABC ＝12c ×23c ＝12ab sin ∠ACB ＝24ab ，所以c 2＝324ab ，又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos ∠ACB ＝2ab ，所以a 2＋b 2＝2ab ＋c 2，所以a 2＋b 2＋13c 2＝2ab ＋43c 2＝2ab ＋43×324ab ＝22ab ，所以M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab ＝22ab ab ＝2 2.。

高三数学二轮复习解三角形练习含试题答案

解三角形[明考情]高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置. [知考向]1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－55ac ac＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α，故tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1a ＋c ＝3a ＋b ＋c. (1)求角A 的大小；(2)若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值.解 (1)由题意，可得a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c a ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ba ＋c＝1，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理，得cb ＝sin C sin B ＝sin (A ＋B )sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin B ＝sin Atan B＋cos A ＝32tan B ＋12＝12＋3，解得tan B ＝12，所以sin B ＝55.由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝15×5532＝2.4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值. 解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0，即得tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，∴c ＝2a ＝2 3. 考点二三角形的面积方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为0＜C ＜π，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，可得a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为5＋7.6.在△ABC 中，已知C ＝π6，向量m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m ·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0. 所以sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0.又0＜A ＜5π6，所以A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ，由(1)知，A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12·3·3·sin 2π3＝934.7.(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B 的值；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.8.(2017·延边州一模)已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1，函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝14，求△ABC 面积的最大值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos 2ωx ＝－14cos 2ωx ＋34sin 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.令2ωx －π6＝π2＋k π，解得x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .令π3ω＋k π2ω＝π，解得ω＝2＋3k6，k ∈Z .∵12＜ω＜1， ∴当k ＝1时，ω＝56，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π53＝6π5.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∴A ＝π3.由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝12，∴b 2＋c 2＝bc ＋1≥2bc ， ∴bc ≤1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34，∴△ABC 面积的最大值是34. 考点三解三角形的综合问题方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值. (3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ，所以由sin B ＝35，得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.10.△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1＋tan A tan B ＝2c3b .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围.解 (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C3sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，因为sin C ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6. 所以y ＝2sin 2B －2sin B cosC ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12.又△ABC 为锐角三角形，所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.11.(2017·咸阳二模)设函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，c ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R ).化简可得f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x －12. 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，即f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，得sin C ＝12，又因为△ABC 是锐角三角形，所以C ＝π6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将c ＝2，C ＝π6代入得4＝a 2＋b 2－3ab ，由基本不等式得a 2＋b 2＝4＋3ab ≥2ab ，即ab ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12·4(2＋3)·12＝2＋3，即△ABC 面积的最大值为2＋ 3.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sinB cosC ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2－ac ，即1＋3ac ＝(a ＋c )2.又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ，即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值34.设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝36.例 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图向量m ∥n ―→边角关系式――――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式――――→余弦定理求得角B ――――→引进变量(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0，………………………………………………………………………………………………1分由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac . ……………………3分由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.…………5分(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，有BDsin θ＝ABsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，………………………………………8分从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即当θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3 (11)分此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.………………………………………………………………………………………………12分构建答题模板[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值. (1)证明由题意知，2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量m ＝(2sin A ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2A ，2cos 2A 2－1，且m ∥n .(1)求A 的大小；(2)如果a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由m ∥n ，可得2sin A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2A 2－1＋3cos 2A ＝0，即2sin A ·cos A ＋3cos 2A ＝0，所以sin 2A ＝－3cos 2A ，即tan 2A ＝－ 3.因为A 为锐角，故0°＜2A ＜180°，所以2A ＝120°，A ＝60°.(2)如果a ＝2，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，故△ABC 面积的最大值为 3.3.在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为3－1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：6≈2.449)解设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，如图所示，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里.在△ABC 中，因为AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC ＝(3－1)2＋22－2·2·(3－1)cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC ＝AC ·sin 120°BC ＝2·326＝22. 所以∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直，从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12，所以∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°，所以DB ＝BC ＝6海里.则有10t ＝6，t ＝610≈0.245(小时)＝14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60°方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017·济南一模)已知f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).化简可得f (x )＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵f (C )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， 0＜C ＜π，可得2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3. 由a ＋b ＝23，可得a 2＋b 2＝12－2ab . ∵c ＝3，根据余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，可得12－2ab －c 22ab ＝12，解得ab ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32＝334. 5.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1). (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22，所以A ＝π4或A ＝3π4，因为b ＞a ，所以A ＝π4， f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12，所以32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。

2018届高中数学高考二轮复习三角函数及解三角形教案含答案(全国通用)

教学过程一、考纲解读在复习该部分内容时要有整体意识，抓住角的变换主线解决相关问题，其中三角函数的图形和性质是核心内容，相对于其它模块而言，三角函数的考查的点分散得比较细，这也要引起重视，复习一定要全面，常见的思想方法有化归转化，数形结合等.三角函数模块在高考试卷中通常有1大1小两个问题，总分值在25分左右，小题难度中等，大题属简单题，无论是全国卷还是省市卷大都放在第一个解答题位置，是考生得分的关键点之一.（1）任意角的概念、弧度制（2）三角函数① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. ② 能利用单位圆中的三角函数线推导出απ±2，απ±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像，了解三角函数的周期性.③ 理解正弦函数、余弦函数在区间[]π2,0的性质（如单调性、最大和最小值以及与x 轴交点等）.理解正切函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的单调性. ④ 理解同角三角函数的基本关系式：x xxx x tan cos sin ,1cos sin 22==+ ⑤ 了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.⑥ 会用三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（3）两角和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ② 会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③ 会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.（4）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（5）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. (6) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 二、复习预习复习相关概念:三角函数基本概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数图像和性质、两角和与差的计算及二倍角公式以及三角函数的实际应用,正余弦定理等.在复习该部分内容时要有整体意识，抓住角的变换主线解决相关问题，其中三角函数的图形和性质是核心内容，相对于其它模块而言，三角函数的考查的点分散得比较细，这也要引起重视，复习一定要全面，常见的思想方法有化归转化，数形结合等. 三、知识讲解考点1 三角函数的定义及性质（1）任意角的概念、弧度制.扇形相关内容,如弧长,面积,圆锥侧面等（2）三角函数①任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.②正弦、余弦、正切的诱导公式， x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像，三角函数的周期性. ③正弦函数、余弦函数在区间[]π2,0的性质（如单调性、最大和最小值以及与x 轴交点等）.正切函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的单调性.④ 理解同角三角函数的基本关系式：x xxx x tan cos sin ,1cos sin 22==+ ⑤ 了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.⑥ 会用三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.考点2 三角恒等变形（1）两角和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ② 会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③ 会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. （2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 考点3 解三角形 (1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. (2) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.四、例题精析例1 [2014全国1卷]设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 ( )A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【规范解答】解法1.选B （演绎推理） ∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=解法2.选B （特殊角）取6πβ=代入1sin tan cos βαβ+=，可得3tan =α，所以3πα=，通过四个选项验证，只有选项B 符合。

2018年春高考数学(文)新课标二轮复习(高考22题各个击破)课件： 3.3三角大题

A
解题心得在解三角形中,若已知条件是由三角形的边及角的正弦、余弦函数构成的,解题方法通常是通过正弦定理、余弦定理把边转化成角的正弦,使已知条件变成了纯粹的角的正弦、余弦函数关系, -16- . 这样既实现了消元的目的,又可利用三角变换化简已知条件
对点训练4(2017辽宁沈阳三模,文17)如图,已知△ABC中,D为
5
=- .
5 5
-10-
(2)由 (1),可得 sin
2 5 A= , 5
代入 asin A=4bsin B,得 sin 由 (1)知 ,A 为钝角 , 所以 cos B= 1-sin2 �� = 于是 sin 2B=2sin Bcos cos 2B=1-2sin2B= ,
3 5
��sin�� B= 4��
=3,化为 a2+c2-b2=6c,①
�� 2 +�� 2 -�� 2
=1,化为 b2+c2-a2=2c.②
��
解由①,②组成的方程组得2c2=8c,即c=4.
(2)由(1)可得 a -b =8.由正弦定理可得
π 6 π 6
2
2
sin ��
=
π 6
�� sin ��
2
=0,
4 3 3 3 2
∵A= 3 ,∴b +c -a ≠0,∴1- 2�� =0,bc=2 3,
S△ABC= bcsin A= ×2 3 ×
2 2 1 1 2
= .
-14-
正弦、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合例4(2017山西孝义考前热身,文17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2 3 acsin B=a2+b2-c2. (1)求角C的大小; (2)若bsin(π-A)=acos B,且b= 2 ,求△ABC的面积.

2018届高考数学(文)二轮专题复习：第1部分专题三三角函数及解三角形 1-3-2

限时规范训练九三角恒等变换与解三角形限时45分钟，实际用时________ 分值81分，实际得分________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )A ．－34B ．－310C ．－43D.43解析：选B.解法一：由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－310，故选B. 解法二：由题意得1＋2sin αcos α1－2sin αcos α＝14，即4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos α ∴10sin αcos α＝－3 即sin αcos α＝－310，故选B.2．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34D.14解析：选B.∵a ⊥b ，∴a·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 3．在△ABC 中，若3cos2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，则tan A ·tan B ＝( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析：选B.由条件得3×A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B )＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sinB ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A ·tan B ＝sin A sin B cos A cos B ＝14.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D.cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B.由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 6．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )A.π4B.π6C.π3D.π12解析：选B.因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，则B ＝π6，故选B. 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π3，则b ＝________.解析：由题意可得S ＝12ac sin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－3＝7，故b ＝7.答案：78．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解析：∵tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2.所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－39．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．解析：由π2＜β＜α＜3π4知π＜α＋β＜3π2，⎩⎪⎨⎪⎧－3π4＜－β＜－π2π2＜α＜3π4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－π4＜α－β＜π4α－β＞0⇒0＜α－β＜π4.根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665，所以(sinα＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－5665＝965.因为π2＜α＜3π4，所以sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝36565.答案：36565三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310. 11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c . 由a －c ＝66b ，得a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.12．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cosB ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33，所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13.因为D ∈(0，π)，所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin B ＝ABsin ∠ACB ，所以23sin B＝ABπ－2B＝ABsin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB233sin B，所以AB ＝4.。

2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——8.三角函数与解三角形

2011 —2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编8.三角函数与解三角形一、选择题C；5(2018 新课标H,文7)在厶ABC 中，cos , BC =1 , AC =5，则AB二( )2 5A. 42B. 30C. 29D. 25(2018新课标n,文10)若f(x)=cosx—si nx在［0, a］是减函数，则a的最大值是()A n n 3 nA. B. C. D. n4 2 4(2017 3)函数f(x)=sin(2x+王)的最小正周期为( )3A.4 二B.2 二C.二D.2(2016 3)函数y=Asin(•，x •「)的部分图像如图所示，则( )TE JI JI JIA. y =2sin(2x )B. y =2sin(2x )C. y =2sin(2x+=)D. y=2sin(2x+：)6 3 6 3(201611)函数f (x) =cos2x - 6cos(n - x)的最大值为( )2A. 4B. 5C. 6D. 7(2013 4)在厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知b = 2 , B=- , C =~，则△ ABC的6 4面积为( )A. 2.3 2 B ..3 1 C. 2.3-2 D..3-12 2 JI(2013 6)已知sin 2 二一，贝y cos (:3 ;)=()1 1 C 1 2A .-B C.—D6 3 2 3(2012 9)已知• ■>0, 0：：：「：：：二，直线5：--X = _ 和x=—是函数 f (x) =sin(「x ■「)图像的两条相邻的对称4轴，则「=()n n_ n 一nA. 4 B .3 C. 2 D4.(2011 7)已知角B的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y = 2x上，则cos2 0=( )A . _4B .一3C . 3D . J45 5 5 5(2011 -11)设函数f(x)=sin(2x +卷)+cos(2x 耳)，则( )A . y = f (x)在(0 ―)单调递增，其图像关于直线x=—对称2 4B . y = f (x)在(0 —)单调递增，其图像关于直线x=—对称2 2C . y = f (x)在(0 —)单调递减，其图像关于直线x=—对称‘24D . y = f (x)在(0 —)单调递减，其图像关于直线x=—对称‘22、填空题( 5八1(2018 新课标n,文15)已知tan. a一 =一，贝V tan a _________________I 4丿5(2017 -13)函数 f (x) =2cos x+sinx 的最大值为_____________________ .(2017 -16) △ ABC的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,若2bcosB=acosC+ccosA，贝U B= ____4 5(201615)△ ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a ,b,c,若CB A , cosC , a=1,则b=5 13(2014 -14)函数f (x) = sin(x+ 妨-2sin(jcosx 的最大值为TT TT (2013 16)函数y =cos(2x •「)(-二_ _ ■：)的图象向右平移—个单位后，与函数y =sin(2x —)的图象重合,2 3(2011 •15)在厶ABC 中B=120°, AC=7, AB=5，则△ ABC 的面积为三、解答题(2015 17)在A ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分/ BAC, BD=2DC. sin(I)求一sin N C(n)若/ BAC=60°,求/ B.(201417)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1 , BC=3, CD=DA=2.(I)求C 和BD;(n)求四边形ABCD的面积.(2012 17)已知a, b, c分别为△ ABC 三个内角A, B, C 的对边，c =「3asinC-ccosA.(I)求A ；(n)若a=2,^ ABC的面积为,3，求b , c.2011 — 2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编8.三角函数与解三角形、选择题(2018新课标n.C -57)在"BC 中, cos 厂眉,BC 「，AC=5，则 AB 二(A . 42B . 30D . 25(2018新课标n,10)若f(x) =cosx -sinx 在［0, a ］是减函数，则a 的最大值是3n C.4D .n(2017新课标n,文 3)函数f (x)二sin(2x 匸)的最小正周期为(3A.4 二B.2 二C.二Tt D.2(2017 3) C 解析：由题意T =2,故选C.(2016新课标n,文3)函数 y=Asin(・.x W )的部分图像如图所示，则(A . y =2sin(2^-)B . y =2sin(2x) C . y =2sin(2x+—)D .36ny =2si n(2x+§)(2016 3) A 解析：由 T 2Ji , Ji 、 Ji ()=及 T36 2得 =2，由最大值2及最小值-2,的A=2，再将|-|3代入解析式，2sin(2 — •「)=2，解得：匕—，故y =2sin(2 x)，故选A.3""(2016新课标n,文11)n函数f (x) =cos2x 6cos( x)的最大值为(2A . 4B .C. 6 D . 7(2016 11) B 解析:因为 3 2 11 f (x) - -2(sin x) 2，而sinx ・［-1,1］，所以当sin x =1时，取最大值5，选B.(2013新课标n,文4)在厶ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a , b , c ,已知 b =2 , B=_ , C =~ ,6 4则厶ABC 的面积为(A . 2.32 _)B . .3 1 2 3-2D . .3-11 1三角形的面积为严A=22 2 2sin12所以 ^bcsinA=2、、2 上2(二3」)一31，故选 B.2 2 2 2一 2 2(2013新课标n,文6)已知sin2，则cos 23B . -3,. _ TE 71 . . __(2。

2018年高考数学(理)二轮复习讲学案三角函数、解三角形与平面向量第2讲三角变换与解三角形(含答案解析)

第2讲三角变换与解三角形正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1．边和角的计算． 2．三角形形状的判断． 3．面积的计算．4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知sin α－2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B ．－34C.34 D ．－43答案 C解析 ∵sin α－2cos α＝102， ∴sin 2α－4sin α·cos α＋4cos 2α＝52，即1－cos 2α2－2sin 2α＋4×1＋cos 2α2＝52，化简得4sin 2α＝3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝34，故选C.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 C解析因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况． (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718 D.1718答案 C解析由3cos 2α＝sin(π4－α)，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，所以sin 2α＝－1718，故选C.(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－cos α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝_______. 答案 79解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－cos α＝12cos α－32sin α－cos α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－13.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝79. 热点二正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sinC ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 (2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4. 所以c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.思维升华关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (2017·广西陆川县中学知识竞赛)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cosC ＝(2b －c )cos A .(1)求角A ；(2)若a ＝7，△ABC 的面积S △ABC ＝103，求b ＋c 的值．解 (1)由a cos C ＝(2b －c )cos A ，得sin A cos C ＝(2sin B －sin C )cos A ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即sin B ＝2sin B cos A . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，而0<A <π2，∴A ＝π3.(2)由S △ABC ＝103，得12bc sin π3 ＝103，∴bc ＝40.∵a ＝7，∴b 2＋c 2－2bc cos π3＝49，即b 2＋c 2＝89，于是(b ＋c )2＝89＋2×40＝169，∴b ＋c ＝13(舍负). 热点三解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2017届湖北省稳派教育质量检测)已知函数f (x )＝cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＋3cos 2ωx －34(ω>0，x ∈R )，且函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω 的值及f (x )的对称轴方程；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c .若f (A )＝34，sin C ＝13，a ＝3，求b 的值. 解 (1)f (x )＝cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＋3cos 2ωx －34＝12sin ωx cos ωx ＋32cos 2ωx －34 ＝14sin 2ωx ＋34(1＋cos 2ωx )－34 ＝14sin 2ωx ＋34cos 2ωx ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，由函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，得14T ＝π4，2π2ω＝π，求得ω＝1.当ω＝1时，f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，求得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．即f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝34，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝32.所以2A ＋π3＝2k π＋π3或2A ＋π3＝2k π＋2π3，k ∈Z ，解得A ＝k π或A ＝π6＋k π，k ∈Z ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.由sin C ＝13，C ∈(0，π)，sin A ＝12知，C <π6，求得cos C ＝223.所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝3＋226，又a ＝3，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A＝3×3＋22612＝3＋263.思维升华解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练 3 (2017届青岛市统一质量检测)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m sin 2x (m ∈R )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2.(1)求m 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＝3，△ABC 的面积是3，求△ABC 的周长．解 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π6＋m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝sin π2＋cos π3＋m 2＝2，解得m ＝1. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＋sin 2x＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝ 3.∵0<B <π，π3<B ＋π3<4π3，∴B ＋π3＝2π3，则B ＝π3.又∵S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，∴ac ＝4.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ＝4， ∴(a ＋c )2＝4＋12＝16，∴a ＋c ＝4， ∴△ABC 的周长为a ＋b＋c ＝6.真题体验1．(2017·山东改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cosC )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是______．(填序号)①a ＝2b; ②b ＝2a; ③A ＝2B; ④B ＝2A . 答案 ①解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ，∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B . 由cos C ＞0，得sin A ＝2sin B . 根据正弦定理，得a ＝2b .2．(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，cos(α－β)＝________. 答案－79解析由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z )，又sin α＝13，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1 ＝2×19－1＝－79.3．(2017·江苏)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.答案 75解析方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16.∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)， ∴tan α＝75.方法二 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.4．(2017·浙江)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos∠BDC ＝________. 答案152104解析依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC ＝sin∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则sin∠ABC ＝154，cos∠ABC ＝14，所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152. 因为cos∠DBC ＝－cos∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. 押题预测1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．押题依据三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点．答案52解析因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52.2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．押题依据三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12，因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6－12，易得f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3A －π6－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sinB sinC ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)．因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫3A －π6≤1，所以－1<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6－12≤12，所以函数f (A )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－1，12.A 组专题通关1．(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝10，c ＝3，cos A ＝14，则b 等于( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3答案 C解析由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得10＝b 2＋9－2·b ·3·14 , b 2－32b －1＝0，所以(b －2)(b ＋12)＝0，解得b ＝2(舍负)，故选C.2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于( ) A. 3B.33 C ．－33D ．－ 3答案 D解析因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知α为第四象限角，sin α＋cos α＝15，则tan α2的值为( )A ．－12 B.12 C ．－13 D.13答案 C解析由sin α＋cos α＝15平方，得1＋2sin αcos α＝125⇒2sin αcos α＝－2425⇒(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925.因为α为第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，sin α－cos α＝－75，因此sin α＝－35，cos α＝45，tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2cos α2cos 2α2＝sin α1＋cos α＝－351＋45＝－13，故选C.4．(2017·合肥一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆的面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π答案 C解析 ∵b cos A ＋a cos B ＝2，∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac＝2，∴c ＝2，由cos C ＝223，得sin C ＝13，∴2R ＝c sin C ＝213＝6，R ＝3，S ＝π×32＝9π，故选C.5．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A. 6．(2017·全国Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案 31010解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α)．又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2知，sin α＝255，cos α＝55， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫55＋255＝31010. 7．(2017届湖南省百所重点中学阶段性诊断)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为____平方千米.答案 21解析设△ABC 的对应边边长分别为a ＝13里，b ＝14里，c ＝15里，cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513⇒sin C ＝1213⇒S ＝12×13×14×1213×250 000＝21×106(平方米) ＝21(平方千米)．8. (2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7，cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA ＝216，则BC 的长为________．答案 3解析因为cos∠BAD ＝－714，故sin∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114，在△ADC 中运用余弦定理，可得cos∠CAD ＝1＋7－427＝277，则sin∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，所以sin∠BAC ＝sin(∠BAD －∠CAD )＝32114×277＋714×217＝63＋314＝32，在△ABC 中运用正弦定理，可得BC sin∠BAC ＝7sin∠CBA ⇒BC ＝32×7×621＝3. 9．(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517. 故cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4，所以b ＝2.10．(2017·浙江省“超级全能生”联考)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数． (1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A ，求f (A )的取值范围．解 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )， ∴f (x ＋π)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )， ∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，而g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3，从而f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin C ≠0， ∴cos B ＝12，∴B ＝π3. ∵△ABC 是锐角三角形，C ＝2π3－A <π2， ∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3∈(0,1]， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3∈(0,1]． B 组能力提高11．(2017届合肥教学质量检测)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A.(]3，6B.()3，5C.(]5，6D.[]5，6答案 C解析 ∵(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又△ABC 为锐角三角形， ∴⎩⎨⎧ 0<B <π2，A ＋B ＝π3＋B >π2，∴π6<B <π2，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2B ＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝4－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3，又π6<B <π2，可得b 2＋c 2∈(5,6]．故选C.12．(2017·湖北省黄冈市质量检测)已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( )A ．－43或0 B.43或0 C ．－43D.43 答案 A解析因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2，解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，tan θ2＝0或2，又tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0；当tan θ2＝2时，tan θ＝－43，故选A.13．(2017届河南省新乡市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C ＝19，且a cos B ＋b cos A ＝2，则△ABC 面积的最大值为________．答案 52解析由题设及余弦定理，可得a a 2＋c 2－b 22ac ＋b b 2＋c 2－a 22bc＝2⇒c ＝2，又由余弦定理可得22＝a 2＋b 2－2ab ×19，即a 2＋b 2＝29ab ＋4，又因为a 2＋b 2≥2ab ，所以29ab ＋4≥2ab ⇒ab ≤94，当且仅当a ＝b 时取等号，由cos C ＝19，可得sin C ＝1－192＝1980＝495，所以三角形的面积S △ABC ＝12ab sin C＝12×495ab ＝259ab ≤259×94＝52.14．(2017届南京市、盐城市模拟)如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD＝3，DC ＝2.(1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．解 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β.因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3. 由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24.因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144.因此sin∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫24＋144＝1＋74.△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．。

2018届高三数学文科二轮复习：专题检测十一三角恒等变换与解三角形含答案精品

专题检测（十一）三角恒等变换与解三角形A 卷——夯基保分专练一、选择题1．(2018届高三·合肥调研)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A.13B ．－13C ．3D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2， ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.2．(2017·张掖一诊)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sinB －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A.74B.34C.73D.13解析：选A 由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34， ∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.3．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ的值为( )A.23 B.43 C.34D.32解析：选D 法一：由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74.因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，故2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.法二：因为sin θ－cos θ＝－144，两边平方，整理得2sin θcos θ＝18，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝98.因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin θ>0，cos θ>0，所以sin θ＋cos θ＝324. 所以2cos 2θ－1cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θ－sin 2θ22θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)＝32.4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sinC －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a＝2×222＝12，又0＜C ＜π4，所以C ＝π6. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选A 根据正弦定理得c b ＝sin Csin B<cos A ，即sin C <sin B cos A .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ，整理得sin A cos B <0.又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π，∴△ABC 为钝角三角形．6．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64D.63解析：选C 依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 二、填空题7．(2017·洛阳统考)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. 解析：依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78. 答案：－788．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于D ，则BDCD的值为________．解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝27，所以BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×27＝127， CD ＝BC －BD ＝27－127＝27，所以BDCD ＝6.答案：69．(2017·福州质检)在距离塔底分别为80 m,160 m ，240 m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.解析：设塔高为h m ．依题意得，tan α＝h 80，tan β＝h 160，tan γ＝h240.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝－γγ－γγ＝cos γsin γsin γcos γ＝1，所以tan α＋tan β1－tan αtan β·tan γ＝1，所以h 80＋h1601－h 80·h 160·h240＝1，解得h ＝80，所以塔高为80 m.答案：80 三、解答题10．(2017·郑州第二次质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝2C,2b ＝3c .(1)求cos C ；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由正弦定理得，2sin B ＝3sin C .∵B ＝2C ，∴2sin 2C ＝3sin C ，∴4sin C cos C ＝3sin C ， ∵C ∈(0，π)，sin C ≠0，∴cos C ＝34.(2)由题意得，c ＝4，b ＝6.∵C ∈(0，π)，∴sin C ＝1－cos 2C ＝74， sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝378， cos B ＝cos 2C ＝cos 2C －sin 2C ＝18，∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝378×34＋18×74＝5716. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×4×5716＝1574.11．(2017·东北四市高考模拟)已知点P (3，1)，Q (cos x ，sin x )，O 为坐标原点，函数f (x )＝OP ―→·QP ―→.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )＝4，BC ＝3，△ABC 的面积为334，求△ABC 的周长．解：(1)由题易知，OP ―→＝(3，1)，QP ―→＝(3－cos x,1－sin x )，所以f (x )＝3－3cos x ＋1－sin x ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，因为f (A )＝4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝0，则A ＋π3＝k π，k ∈Z ，即A ＝－π3＋k π，k ∈Z ，因为0<A <π，所以A ＝2π3，因为△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝334，所以bc ＝3.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝6，所以(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝12，即b ＋c ＝2 3. 所以△ABC 的周长为3＋2 3.12．如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 分别表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－x －22x ·20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x.∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D (图略)，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．B 卷——大题增分专练1．(2018届高三·天津五区县联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8 sin 2A ＋B2－2cos 2C ＝7.(1)求tan C 的值；(2)若c ＝3，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．解：(1)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B 2＝π2－C 2，则sin A ＋B 2＝cos C 2. 由8sin2A ＋B2－2cos 2C ＝7，得8cos 2C2－2cos 2C ＝7，所以4(1＋cos C )－2(2cos 2C －1)＝7，即(2cos C －1)2＝0，所以cos C ＝12.因为0＜C ＜π，所以C ＝π3，于是tan C ＝tan π3＝ 3.(2)由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a .①又c ＝3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3.②联立①②，解得a ＝1，b ＝2.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值．解：(1)∵a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3， ∴由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33，∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6.(2)∵A ＝5π6，∴sin A ＝12，由S ＝34c 2＝12bc sin A ＝14bc ，得b ＝3c ， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ，由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714. 3．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6，又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45. 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310. 4．在△ABC 中，B ＝π3，点D 在边AB 上，BD ＝1，且DA ＝DC . (1)若△BCD 的面积为3，求CD ； (2)若AC ＝3，求∠DCA .解：(1)因为S △BCD ＝3，即12BC ·BD ·sin B ＝3，又B ＝π3，BD ＝1，所以BC ＝4.在△BDC 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ，即CD 2＝16＋1－2×4×1×12＝13，解得CD ＝13.(2)在△ACD 中，DA ＝DC ，可设∠A ＝∠DCA ＝θ，则∠ADC ＝π－2θ，又AC ＝3，由正弦定理，得AC sin 2θ＝CD sin θ，所以CD ＝32cos θ.在△BDC 中，∠BDC ＝2θ，∠BCD ＝2π3－2θ，由正弦定理，得CD sin B ＝BD sin ∠BCD ，即32cos θsin π3＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2θ，化简得cos θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2θ，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2θ.因为0＜θ＜π2，所以0＜π2－θ＜π2，－π3＜2π3－2θ＜2π3，所以π2－θ＝2π3－2θ或π2－θ＋2π3－2θ＝π，解得θ＝π6或θ＝π18，故∠DCA ＝π6或∠DCA ＝π18.。

[推荐学习]新课标2018届高考数学二轮复习专题三三角函数专题能力训练10三角变换与解三角形理

[推荐学习]新课标2018届高考数学二轮复习专题三三角函数专题能力训练10三角变换与解三角形理专题能力训练10 三角变换与解三角形能力突破训练1.在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是()A. B.C. D.2.已知=-,则sin α+cos α等于()A.-B.C.D.-3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为()A. B.C. D.4.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC 等于()A. B. C. D.5.(2017湖北七市一调)已知△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120°,a=2b,则tan A=.6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20a cos A,则sin A∶sin B∶sin C=.8.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.9.(2017北京,理15)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin x cos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.思维提升训练12.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于()A. B.- C. D.-13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c sin A=a cos C.当sin A-cos取最大值时,角A的大小为()A. B. C. D.14.(2017湖北荆州一模)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC 的面积为.15.(2017河北石家庄二检)已知sin sin,α∈,则sin 4α的值为.16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是. 17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,<C<,且.(1)判断△ABC的形状;(2)若||=2,求的取值范围.参考答案专题能力训练10 三角变换与解三角形能力突破训练1.C解析由正弦定理,得a2≤b2+c2-bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,则cos A0<A<π,∴0<A2.D解析=-=2cos cosα+si nα=-,∴sinα+cosα=-,故选D.3.D解析由(a2+c2-b2)tan B=ac,得,即cos B=,则sin B=∵0<B<π,∴角B为故选D.4.C解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC cos∠ABC=()2+32-23cos=5.解得AC=由正弦定理,得sin∠BAC=5解析借助题设条件,先运用正弦定理将三角形中的边的关系转化化归为角的关系,再求解含角A的三角方程.由正弦定理可得sin A=2sin B,因为B=180°-A-120°=60°-A,所以sin A=2sin(60°-A),即sin A=cos A-sin A,所以2sin A=cos A,故tan A=6解析因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)= sin A cos C+cos A sin C=又因为,所以b=7.6∶5∶4解析∵A>B>C,∴a>b>c.设a=b+1,c=b-1(b>1,且b∈N*),由3b=20a cos A得3b=20(b+1),化简,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-(舍去),∴a=6,c=4,∴sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4.8.解(1)由余弦定理及题设得cos B=又因为0<B<π,所以B=(2)由(1)知A+C=cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos因为0<A<,所以当A=时,cos A+cos C取得最大值1. 9.解(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C=(2)因为a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得72=b2+32-2b×3,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bc sin A=8×3=610.(1)证明由a=b tan A及正弦定理,得,所以sin B=cos A,即sin B=sin又B为钝角,因此+A,故B=+A,即B-A=(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π--2A>0,所以A,于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos2A=-2sin2 A+sin A+1=-2因为0<A<,所以0<sin A<,因此<-2由此可知sin A+sin C的取值范围是11.解(1)由题意知f(x)==sin2x-由-+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.因此bc sin A所以△ABC面积的最大值为思维提升训练12.C解析∵cos,0<α<,∴sin又cos,-<β<0,∴sin,∴cos=cos=cos cos +sin sin=13.A解析由正弦定理,得sin C sin A=sin A cos C.因为0<A<π,所以sin A>0,从而sin C=cos C.又cos C≠0,所以tan C=1,则C=,所以B=-A.于是sin A-cos sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin因为0<A<,所以<A+,从而当A+,即A=时,2sin取最大值2.故选A. 14.20或24解析本题易错点在利用正弦定理时,产生缺解.在△CDB中,设CD=t,由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cos60°,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.当t=3时,CA=10,△ABC的面积S=10×8×sin60°=20;当t=5时,CA=12,△ABC的面积S=12×8×sin60°=24故△ABC的面积为20或2415.-解析因为sin=cos=cos,所以sin sin=sin cos sin=cos2α=,所以cos2α=因为<α<π,所以π<2α<2π.所以sin2α=-=-所以sin4α=2sin2αcos2α=-=-16.8解析sin A=sin(B+C)=2sin B sin C⇒tan B+tan C=2tan B ta n C,因为tan A=-tan(B+C)=-,所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C.因为△ABC为锐角三角形,所以tan A>0,tan B tan C>0,所以tan A+2tan B tan C≥2,当且仅当tan A=2tan B tan C时,等号成立,即tan A tan B tan C≥2,解得tan A tan B tan C≥8,即最小值为8.17.解(1)由及正弦定理,得sin B=sin2C,∴B=2C或B+2C=π.若B=2C,<C<,<B<π,B+C>π(舍去).若B+2C=π,又A+B+C=π,∴A=C,∴△ABC为等腰三角形.(2)∵||=2,∴a2+c2+2ac cos B=4.又由(1)知a=c,∴cos B=而cos B=-cos2C,<cos B<1,∴1<a2<=ac cos B=a2cos B,且cos B=, ∴a2cos B=2-a2。

2018年春高考数学(文)新课标二轮复习(高考22题各个击破)课件： 3.2 三角变换与解三角形专项练

=sin 120° = .
2 3
-4-
一、选择题
二、填空题
2.(2017 全国Ⅲ,文 4)已知 sin α- cos α= ,则 sin 2α=( A.7 9
B.-
2 9
C.
-1
解析:sin 2α=2sin αcos α=
(sin �� -cos �� )2 -1
2 9
4 3
A
)
D.
2 3
2
∵C= 4 -A, ∴sin C=sin
2 2 2
3π
3
3π 2 4
-�� =
2 3
2 3
sin A,
即 cos A+ sin A= sin A,
整理得sin A=-3cos A. ∵sin2A+cos2A=1,
-16-
一、选择题
二、填空题
∴sin2A+9sin2A=1,
9 10
1
为 A∈(0,π),所以 A= .由正弦定理
4
3π
��
sin ��
=
�� sin ��
,得
2
3π 4
sin
=
2 sin ��
,即 sin
C= ,所以 C= ,故选 B.
2 6
1
π
-18-
一、选择题
二、填空题
13.(2017全国Ⅱ,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 π 2bcos B=acos C+ccos A,则B= . 3
2
2
2
2
c=
1-ta n 2 39° 1+ta n 2 39°

2018大二轮高考总复习文数课件：解答题1 三角函数与解三角形精品

第三版块高考大题突破区
第一单元
高考中档大题突破
解答题01：三角函数与解三角形
栏
目导航
02
01
全国卷5年大题集
高考考点多维解读
03
高考零距离大突破
01
年份
全国卷5年大题集
卷别 Ⅰ卷
具体考查内容及命题位置正、余弦定理及三角形的面积公式·T17 正弦定理及三角形的内角和定理·T17 余弦定理、三角形的面积公
(1)本题是三角恒等变换、解三角形与基本不等式的交汇问题． (2)解答此类问题的一般思路是利用三角恒等变换对所给条件进行转化，再结合正余弦定理，转化到边的关系，利用基本不等式求解．
命题分析
1.高考对此部分以解答题的形式考
查并非年年都有，一般是与数列内容交替考查． 2．若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问
2015 Ⅱ卷
2014
Ⅱ卷
题，一般出现在解答题第17题位置
上，难度中等.
式·T17
02
高考考点多维解读
基本考点——三角函数性质与三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式； 2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质； 3．辅助角公式： b asin x＋bcos x＝ a ＋b sin(x＋φ)，其中 tan φ＝a．
(2)由 cos 2x＝cos2x－sin2x 与 sin 2x＝2sin xcos x 得 π f(x)＝－cos 2x－ 3sin 2x＝－2sin2x＋6，所以 f(x)的最小正周期是 π． π π 3π 由正弦函数的性质得2＋2kπ≤2x＋6≤ 2 ＋2kπ，k∈Z， π 2π 解得6＋kπ≤x≤ 3 ＋kπ，k∈Z，所以

2018届高考数学文科二轮复习练习(全国通用)：第一篇第11练解三角形

第11练解三角形[明考情]解三角形是高考的必考内容，以“一大一小”的格局呈现，“一小”以选择题或填空题形式出现，难度为中档.[知考向]1.正弦定理、余弦定理.2.求三角形的面积.3.解三角形的综合应用.考点一正弦定理、余弦定理方法技巧 (1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化.(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量.1.(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC 等于( )A.1B.2C.3D.4答案 A解析由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去).故选A.2.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos A c＝2cos C ，则c 等于( ) A.27 B.23 C.4 D.33答案 B解析因为a cos B ＋b cos A c ＝sin A cos B ＋sin B cos A sin C ＝sin (A ＋B )sin (A ＋B )＝1，所以2cos C ＝1，所以C ＝π3.又S △ABC ＝23，则12ab sin C ＝23，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12，所以c ＝2 3.3.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b 等于( )A. 2B. 3C.2D.3 答案 D 解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去，故选D. 4.(2016·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.答案 2113解析在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 5.在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C＝________. 答案 1解析由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，由正弦定理，可得sin A sin C ＝a c ，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×sin A sin C ×cos A ＝2×46×34＝1. 考点二求三角形的面积要点重组三角形的面积公式(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高). (2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形ABC 内切圆的半径). 6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.932C.332D.33 答案 C解析由c 2＝(a －b )2＋6，得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ，。

2018年高考文科数学二轮创新专题复习教学案：第一部分专题一平面向量、三角函数与解三角形含答案精品

[研高考²明考点]第一讲小题考法——平面向量[典例感悟][典例] (1)(2017²合肥质检)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－6(2)(2018届高三²湘中名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为( )A.12B ．－12C ．－1D ．1[解析] (1)a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.(2)设AB 的中点为D ，则PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→.因为PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，所以2PD ―→＋λPC ―→＝0，所以向量PD ―→，PC ―→共线．又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB .因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝PC ―→，所以2PD ―→＋λPC ―→＝PC ―→＋λPC ―→＝0，所以λ＝－1，故选C.[答案] (1)D (2)C[方法技巧]解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法(1)充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答．(2)如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决．[演练冲关]1．(2017²南昌调研)设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：选C “a |a |＋b|b |＝0，且a ，b 都是非零向量”等价于“非零向量a ，b 共线且反向”，结合各选项可知选C.2．(2017²福州模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实数m ，使得AB ―→＋AC ―→＝m AM ―→成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM ―→＝23AD ―→＝23³12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，所以AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，则m ＝3，故选B. 3．(2017²沈阳质检)已知向量AC ―→，AD ―→和AB ―→在正方形网格中的位置如图所示，若AC ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λμ＝( )A ．－3B ．3C ．－4D ．4解析：选A 建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，设网格中小正方形的边长为1，则AC ―→＝(2，－2)，AB ―→＝(1,2)，AD ―→＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.故选A.[典例感悟][典例] (1)(2018届高三²广西三市联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ²(2a －b )＝( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18(2)(2017²全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→²(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1(3)(2018届高三²湖北七市(州)联考)平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a |＝|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.[解析] (1)∵|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a ²b ＝－3，则b ²(2a －b )＝2a ²b －b 2＝－18.(2)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→²(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )²(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32，故当x ＝0，y ＝32时，PA ―→²(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.(3)∵平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，∴它们两两所成的角为120°，∴|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ²b ＋2b ²c ＋2a ²c ＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2|a ||b |²cos120°＋2|b ||c |cos 120°＋2|a ||c |cos 120°＝22＋22＋12＋2³2³2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2³2³1³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2³2³1³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，故|a ＋b ＋c |＝1.[答案] (1)D (2)B (3)1[方法技巧]解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1)选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解．(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．[演练冲关]1．(2017²云南调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |＝( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30D.34解析：选D 依题意得|a |＝2，a ²b ＝2³2³cos 45°＝2，则|3a ＋b |＝ 3a ＋b 2＝9a 2＋6a ²b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，故选D.2．(2018届高三²湖南五市十校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角即为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.3．(2017²天津高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD ―→＝2DC ―→，AE ―→＝λAC ―→－AB ―→ (λ∈R)，且AD ―→²AE ―→＝－4，则λ的值为________．解析：法一：AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23AC ―→.又AB ―→²AC ―→＝3³2³12＝3，所以AD ―→²AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→＋23AC ―→²(－AB ―→＋λAC ―→)＝－13AB ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23AB ―→²AC ―→＋23λAC ―→2＝－3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23＋23λ³4＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，不妨假设点C 在第一象限，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)．由BD ―→＝2DC ―→，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，则AD ―→²AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233²(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233³3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案：311[必备知能²自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ²b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ²a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ―→|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ²b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. (4)|a ²b |≤|a |²|b |. (二) 二级结论要用好 1．三点共线的判定(1)A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC ―→共线．(2)向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[针对练1] 在▱ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→ (m ，n ∈R)，则mn＝________.解析：如图，AD ―→＝2AE ―→，EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，∴AF ―→＝AE ―→＋EF―→＝m AB ―→＋(2n ＋1)AE ―→，∵F ，E ，B 三点共线，∴m ＋2n ＋1＝1，∴mn＝－2. 答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标是G ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝a2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→²OB ―→＝OB ―→²OC ―→＝OC ―→²OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0. (三) 易错易混要明了1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0²a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．2．当a ²b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ²b ＝0；a ²b ＝c ²b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立；(a ²b )²c 与a ²(b ²c )不一定相等，(a ²b )²c 与c 平行，而a ²(b²c )与a 平行．3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价． [针对练2] 已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．解析：依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ²b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12.而当a 与b 共线时，有－2³1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，此时a 与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) [课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017²沈阳质检)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 为( ) A ．－23B.23C.38D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3³12＝4x ，解得x ＝38，故选C.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足c ⊥(a ＋b )，且b ∥(a －c )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，－73D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析：选A 设c ＝(x ，y )，由题可得a ＋b ＝(3，－1)，a －c ＝(1－x,2－y )．因为c ⊥(a＋b )，b ∥(a －c )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，2 2－y ＋3 1－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝79，y ＝73，故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73. 3．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.4．(2017²西安模拟)已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．1解析：选B 因为|a ＋b |＝13，所以|a ＋b |2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝13，即9＋2³3³|b |cos 120°＋|b |2＝13，得|b |＝4.5．(2018届高三²西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( )A.322B ．－322C ．3 5D ．－3 5解析：选C 依题意得，AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，AB ―→²CD ―→＝(2,1)²(5,5)＝15，|AB ―→|＝5，因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→²CD ―→|AB ―→|＝155＝3 5.6．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，则下列结论正确的是( ) A ．OA ―→＝13AB ―→＋23BC ―→B ．OA ―→＝23AB ―→＋13BC ―→C ．OA ―→＝13AB ―→－23BC ―→D ．OA ―→＝－23AB ―→－13BC ―→解析：选D ∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA ―→＝－23³12(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AB ―→＋BC ―→)＝－23AB ―→－13BC ―→，故选D. 7．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ²b ＝3，则b ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)解析：选B 设b ＝(cos α，sin α)(α∈(0，π)∪(π，2π))，则a ²b ＝(3，1)²(cos α，sin α)＝3cos α＋sin α＝2sinπ3＋α＝3，得α＝π3，故b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 8．(2018届高三²广东五校联考)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2解析：选A 由|a ＋b |＝|a －b |可得a 2＋b 2＋2a ²b ＝a 2＋b 2－2a ²b ，所以a ²b ＝0，即a ²b ＝(λ，1)²(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.9．(2017²惠州调研)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)²(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形解析：选A (OB ―→－OC ―→)²(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，即CB ―→²(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→，∴(AB ―→－AC ―→)²(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等腰三角形，故选A.10．(2017²日照模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC 边上的高，则AD ―→²AC ―→＝( )A ．0B ．4C ．8D ．－4解析：选B 因为AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC 边上的高，所以AD ＝4sin 30°＝2，所以AD ―→²AC ―→＝AD ―→²(AB ―→＋BC ―→)＝AD ―→²AB ―→＋AD ―→²BC ―→＝AD ―→²AB ―→＝2³4³cos 60°＝4，故选B.11．(2017²全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，则λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.12．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝7，BC ＝3，则AO ―→²BC ―→的值为( )A.32B.52 C ．2D ．3解析：选A 取BC 的中点为D ，连接AD ，OD ，则OD ⊥BC ，AD ―→＝12(AB―→＋AC ―→)，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，所以AO ―→²BC ―→＝(AD ―→＋DO ―→)²BC ―→＝AD ―→²BC ―→＋DO ―→²BC ―→＝AD ―→²BC ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)²(AC ―→－AB ―→)＝12(AC―→2－AB ―→2)＝12³(7)2－22＝32.故选A.二、填空题13．(2017²山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，所以cos 60°＝3e 1－e 2 ² e 1＋λe 2|3e 1－e 2|²|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案：3314．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，且m ，n 夹角的余弦值为13，若n ⊥(tm ＋n )，则实数t 的值为________．解析：∵n ⊥(tm ＋n )，∴n ²(tm ＋n )＝0，即tm ²n ＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ³34|n |2³13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.答案：－415．(2017²石家庄质检)已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，AM ―→＝λAB―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→²BC ―→＝0，则λμ的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→²BC ―→＝(x ，y )²(1，－2)＝x －2y＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14.答案：1416．(2017²北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→²AP ―→的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (cos α，sin α)，则AP ―→＝(cos α＋2，sin α)，AO ―→²AP ―→＝(2,0)²(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时等号成立，故AO ―→²AP ―→的最大值为6.法二：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO ―→²AP ―→＝(2,0)²(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，当且仅当x ＝1，P (1,0)时等号成立，故AO ―→²AP ―→的最大值为6.答案：6B 组——能力小题保分练1．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→²BC ―→的值为( )A ．－58B.18C.14D.118解析：选B 如图所示，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→²BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋34AC ―→ ² (AC ―→－AB ―→)＝12AB ―→²AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→²AB ―→＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→²AB ―→＝34|AC ―→|2－12|AB ―→|2－14³|AC ―→|³|AB ―→|³cos∠BAC . 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°，故AF ―→²BC ―→＝34－12－14³1³1³12＝18.故选B.2．(2017²长春质检)已知a ，b 是单位向量，且a²b ＝－12.若平面向量p 满足p²a ＝p ²b＝12，则|p |＝( ) A.12B ．1 C. 2D ．2解析：选B 由题意，不妨设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，p ＝(x ，y )，∵p ²a ＝p ²b ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，－12x ＋32y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.∴|p |＝x 2＋y 2＝1，故选B.3．(2017²浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA ―→²OB ―→，I 2＝OB ―→²OC ―→，I 3＝OC ―→²OD ―→，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3解析：选C 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA ―→²OB ―→－OB ―→²OC ―→＝OB ―→²(OA ―→－OC ―→)＝OB ―→²CA ―→＝|OB―→|²|CA ―→|cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于点G ，又AB ＝AD ， ∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA ―→|²|OB ―→|<|OC ―→|²|OD ―→|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0， ∴OA ―→²OB ―→>OC ―→²OD ―→，即I 1>I 3， ∴I 3<I 1<I 2.4．(2018届高三²湖北八校联考)如图，O 为△ABC 的外心，AB＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 为BC 边的中点，则AM ―→²AO ―→的值为( )A ．2 3B ．12C ．6D ．5解析：选D 如图，分别取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，可知OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∵M 是BC 边的中点，∴AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴AM ―→²AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)²AO ―→＝12AB ―→²AO ―→＋12AC ―→²AO ―→＝AD ―→²AO ―→＋AE ―→²AO ―→.由数量积的定义可得AD ―→²AO ―→＝|AD ―→||AO ―→|²cos〈AD ―→，AO ―→〉，而|AO ―→|cos 〈AD ―→，AO ―→〉＝|AD ―→|，故AD ―→²AO ―→＝|AD ―→|2＝4，同理可得AE ―→²AO ―→＝|AE ―→|2＝1，故AD ―→²AO ―→＋AE ―→²AO ―→＝5，即AM ―→²AO ―→＝5，故选D.5．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，则x 的取值范围是________．解析：依题意，设BO ―→＝λBC ―→，其中1<λ<43，则有AO ―→＝AB ―→＋BO ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→.又AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，且AB ―→，AC ―→不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，43知，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－13，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，06．(2017²江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：法一：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC ―→|cos α＝2³152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2³752＝75，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152³12－752³12＝－35，sin(α＋45°)＝752³12＋152³12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45. 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.法二：由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152³12－752³12＝－35，所以OB ―→²OC ―→＝1³2³22＝1，OA ―→²OC ―→＝1³2³152＝15，OA ―→²OB ―→＝1³1³⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－35，由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，得OC ―→²OA ―→＝m OA ―→2＋n OB ―→²OA ―→，即15＝m －35n .①同理可得OC ―→²OB ―→＝m OA ―→²OB ―→＋n OB ―→2，即1＝－35m ＋n .②①＋②得25m ＋25n ＝65，即m ＋n ＝3. 答案：3第二讲小题考法——三角函数的图象与性质[典例感悟][典例] (1)(2017²合肥质检)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度(2)(2017²贵阳检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6(3)(2017²沈阳模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． [解析] (1)先将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin 2x ＋1的图象，故选B.(2)依题意得，T ＝2πω＝π，ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，其图象向左平移π3个单位长度得到函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ的图象关于y 轴对称，于是有2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－π6，k ∈Z.又|φ|<π2，因此φ＝－π6，故选D.(3)由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2³π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3. [答案] (1)B (2)D (3) 3[方法技巧]1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略[演练冲关]1．(2017²全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin2x ＋2π3的图象，即曲线C 2. 2．(2017²云南模拟)函数f (x )＝sin ωx ()ω>0的图象向左平移π3个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，则ω的最小值是( )A.32B ．2C ．1 D.12解析：选C 依题意得，函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ωx ＋π3(ω>0)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，于是有f2π3＋π3＝sin ω2π3＋ π3＝sin ωπ＝0(ω>0)，则ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1，故选C.3．(2017²陕西质检)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝________.解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π64.(2017²兰州模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2. 又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，则φ＝π2， ∴f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 3[典例感悟][典例] (1)(2017²沈阳质检)已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )A ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8B ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8 D ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8 (2)(2017²全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 (3)(2016²全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5[解析] (1)f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，则T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z)，令k ＝0得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8上单调递减，故选B.(2)根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递增，故D 不正确．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，且|φ|≤π2，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.对比选项，将选项各值依次代入验证：若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B.[答案] (1)B (2)D (3)B[方法技巧]1．求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan ()ωx ＋φ的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．[演练冲关]1．(2017²洛阳模拟)下列函数中，是周期函数且最小正周期为π的是( )A ．y ＝sin x ＋cos xB ．y ＝sin 2x －3cos 2x C ．y ＝cos|x |D ．y ＝3sin x 2cos x2解析：选B 对于A ，函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin x ＋π4的最小正周期是2π，不符合题意；对于B ，函数y ＝sin 2x －3cos 2x ＝121－cos 2x －32(1＋cos 2x )＝1－32－1＋32cos 2x 的最小正周期是π，符合题意；对于C ，y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期是2π，不符合题意；对于D ，函数y ＝3sin x 2cos x 2＝32sin x 的最小正周期是2π，不符合题意．故选B.2．(2017²长春质检)关于函数y ＝2sin3x ＋π4＋1，下列叙述有误的是( )A ．其图象关于直线x ＝－π4对称B ．其图象可由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 C ．其图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0对称D ．其值域是[－1,3]解析：选C 由3x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)解得x ＝π12＋k π3，k ∈Z ，取k ＝－1，得函数y ＝2sin3x＋π4＋1的一个对称轴为x ＝－π4，故A 正确；由图象变换知识可得横坐标变为原来的13，就是把x 的系数扩大3倍，故B 正确；由3x ＋π4＝k π(k ∈Z)解得x ＝－π12＋k π3，k ∈Z ，取k ＝3，得x＝11π12，此时y ＝1，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋1的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，1，故C 错误；由于－1≤sin3x ＋π4≤1，所以函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋1的值域为[－1,3]，故D 正确．3．(2018届高三²湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数的单调递增区间为________．解析：由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π()k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z.答案：－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z[典例感悟][典例] (1)(2016²全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7(2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________． [解析] (1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3， ∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. [答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 [方法技巧]求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法[演练冲关]1．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sinx －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：7822．设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝sin 2x 2sin 2x ＋1的最大值为________．解析：因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >0，所以函数y ＝sin 2x 2sin 2x ＋1＝2sin x cos x 3sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 3tan 2x ＋1＝23tan x ＋1tan x ≤223＝33，当且仅当3tan x ＝1tan x 时等号成立，故函数的最大值为33. 答案：333．(2017²南宁模拟)已知函数f (x )＝cos3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π6，m ⎝⎛⎭⎪⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，即2π9≤m ≤5π18. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18[必备知能²自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．三角函数的图象及常用性质2．三角函数的两种常见的图象变换 (1)y ＝sin x――――――→向左 φ>0 或向右 φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin x 错误!y ＝sin ωx――→向左 φ>0 或向右 φ <0 平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． (二) 二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．(三) 易错易混要明了求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．如求函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调减区间，应将函数化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，转化为求函数y ＝sin x －π3的单调增区间．[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017²宝鸡质检)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan2x －π3的单调递增区间为k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，故选B. 2.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知，函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8³4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin2x＋π4，故选A. 3．(2017²天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A 法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)， ②由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )．又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝23.又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A 符合．法二：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23³5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A. 4．(2017²湖北荆州质检)函数f (x )＝2x －tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )解析：选C 因为函数f (x )＝2x －tan x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ，又当x →π2时，y <0，排除选项D ，故选C.5．(2017²安徽芜湖模拟)若将函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移m (m >0)个单位长度后所得的图象关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 平移后所得的函数图象对应的解析式是y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋π6，因为该函数的图象关于直线x ＝π4对称，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－m ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，所以m ＝π6－k π2(k ∈Z)，又m >0，故当k ＝0时，m 最小，此时m ＝π6. 6．(2017²云南检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(－1＋4k π，1＋4k π)，k ∈ZB ．(－3＋8k π，1＋8k π)，k ∈ZC ．(－1＋4k,1＋4k )，k ∈ZD ．(－3＋8k,1＋8k )，k ∈Z解析：选D 由题图，知函数f (x )的最小正周期为T ＝4³(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为(8k －3,8k ＋1)(k ∈Z)，故选D.7．(2017²全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.8．(2017²武昌调研)若f (x )＝cos 2x ＋a cos π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则φ＝( )A.5π6B.2π3C.π3 D.π6解析：选 D 函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin2x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于该函数是偶函数，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，又0<φ<π，∴φ＝π6，故选D.10．若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 解析：选A f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ωx ＋π3.因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2，所以T 4＝π2，得T ＝2π(T 为函数f (x )的最小正周期)，故ω＝2πT＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，故选A.11．(2018届高三²广西三市联考)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在－π4，π6上的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－ 3解析：选 B f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ.∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴2³π12＋π6＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin2x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π3＝－2sin2x－π6，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1，故选B.12．(2017²广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D.。

2018年高考数学二轮复习专题二第2讲三角恒等变换与解三角形案文

第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真题感悟1.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79解析 sin 2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.答案 A2.(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA )，则A ＝( )A.34π B.π3 C.π4D.π6解析因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）2b2，则cos A ＝sin A . 在△ABC 中，A ＝π4.答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋ sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝csin C ，得2sin3π4＝2sin C ，则sin C ＝12，得C ＝π6.答案 B4.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析由tan α＝2得sin α＝2 cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝55×22＋255×22＝31010. 答案31010考点整合1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(5)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a 2R， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等.(2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B.热点一三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2017·九江一模)已知tan θ＝3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.45(2)如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2－32的值为________.解析 (1)∵tan θ＝3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2θ＝sin 2θ ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝610＝35. (2)由题意得|OC |＝|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，所以sin∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，又因为3cos2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.答案 (1)C (2)513探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13，则sin β＝________.(2)(2017·石家庄质检)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.解析 (1)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13.(2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.答案 (1)13 (2)π3热点二正弦定理与余弦定理命题角度1 利用正(余)弦定理进行边角计算【例2－1】 (2017·武汉二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos A cosC (tan A tan C －1)＝1.(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积.解 (1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1，得2(sin A sin C －cos A cos C )＝1，即cos(A ＋C )＝－12，∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝12，又0<B <π，∴B ＝π3.(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝12，又a ＋c ＝332，b ＝3，∴274－2ac －3＝ac ，即ac ＝54， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×54×32＝5316.【迁移探究1】若本题第(2)问条件变为“若b ＝3，S △ABC ＝332”，试求a ＋c 的值.解由已知S △ABC ＝12ac sin B ＝332，∴12ac ×32＝332，则ac ＝6. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝21，所以a ＋c ＝21.【迁移探究2】在本例条件下，若b ＝3，求△ABC 面积的最大值. 解由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，则3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ，所以ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝3时取等号). 所以S △ABC ＝12ac sin B ≤12×3×sin π3＝334.故△ABC 面积的最大值为334.探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 解 (1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0，得tan A ＝－3，又0<A <π，所以A ＝2π3.由a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4. (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 12AB ·AD sin π612AC ·AD sin π2＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.命题角度2 应用正、余弦定理解决实际问题【例2－2】 (2017·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处(点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米.A 地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点H 的仰角为∠HAO ＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH 为( )A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米解析由题意，设AC ＝x 米，则BC ＝(x －40)米，在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420米.在△ACH 中，AC ＝420米，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CH sin∠CAH ＝ACsin∠AHC .可得CH ＝AC ·sin∠CAHsin∠AHC ＝1406(米).答案 B探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝3002(m).在Rt△BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m). 答案 100 6热点三解三角形与三角函数的交汇问题【例3】 (2017·长沙质检)已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝3，f (C )＝0，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x －1＝3sin 2x －(cos 2x ＋1)－1＝3sin 2x －cos 2x －2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－4.(2)因为f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－2＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又C ∈(0，π)，知－π6<2C －π6<116π，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3.因为sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，又c ＝3，所以a ＝1，b ＝2. 探究提高 1.解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理. 2.求解该类问题，易忽视C 为三角形内角，未注明C 的限制条件导致产生错解.【训练4】 (2017·唐山调研)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，a ＝1且f (A )＝3，求△ABC 面积S 的最大值.解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤k π＋π6(k ∈Z )所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).(2)由f (A )＝3，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1. 又因为0<A <π，所以A ＝π6.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝3bc ＋1，所以3bc ＋1≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c ＝2＋3时取得“＝”，所以S ＝12bc ·sin A ≤2＋34，即△ABC 面积S 的最大值为2＋34.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法： (1)通过正弦定理实施边角转换； (2)通过余弦定理实施边角转换； (3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sinC 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010 B.1010C.－1010D.－31010解析设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan∠BAD ＝1，tan∠CAD＝2，tan ∠BAC ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos ∠BAC ＝－1010. 答案 C2.(2017·德州二模)已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0<β<α<π2，那么β＝( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析由cos α＝35，0<α<π2，得sin α＝45，又cos ()α－β＝7210，0<β<α<π2，即0<α－β<π2，可得sin(α－β)＝210，则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝35×7210＋45×210＝22，由0<β<π2，得β＝π4.答案 C3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A.3 B.932C.332D.3 3解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 C4.(2017·南昌模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为( )A.－19B.19 C.53D.－53解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝2－3cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝53. 答案 C5.(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A.a ＝2b B.b ＝2a C.A ＝2BD.B ＝2A 解析等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B. 等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b . 答案 A 二、填空题6.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc＝6×323＝22，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°7.(2017·池州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. 解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13；又0<α<π2，∴π6<π6＋α<2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 答案2238.(2017·湖北七市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.解析由题意c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－ 4b 2cos 120°＝5b 2＋2b 2＝7b 2，则c ＝7b ＝72a ，所以sin C ＝72sin A ＝32， ∴sin A ＝217，cos A ＝277，则tan A ＝32. 答案32三、解答题9.(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255. 10.设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 11.(2017·衡水中学调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若(a －c )sinA －b sinB ＋(a ＋b －c )sinC ＝0.(1)求角A ；(2)当sin B ＋sin C 取得最大值时，判断△ABC 的形状. 解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，可得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.代入(a －c )sin A －b sin B ＋(a ＋b －c )sin C ＝0化简整理得：b 2＋c 2－a 2＝bc ，则b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以cos A ＝12.又因为A 为三角形内角，所以A ＝π3.(2)由(1)，得B ＋C ＝23π，所以sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－B ＝sin B ＋sin 23πcos B －cos 23πsin B＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0<B <23π，所以π6<B ＋π6<56π所以当B ＝π3时，B ＋π6＝π2，sin B ＋sin C 取得最大值3，因此C ＝π－(A ＋B )＝π3，所以△ABC 为等边三角形.。

2018年全国高考模拟文科数学分类汇编——三角函数和解三角形

2018年全国高考模拟文科数学分类汇编三角函数和解三角形、选择题 1.10. (5分)已知定义在R 上的函数f (x )满足：(1) f (x ) +f (2 -x ) =0, (2)寸—启TC E [-1・门]f (x - 2) =f (- x ), (3)在[-1,1]上表达式为 f (x )= 庇 ,则函数f （x ）与函数g （x ）= °的图象区间［-3,3］上的交点个数为（）1-Ki 盂 >0 A. 5 B. 6C. 7 D . 82. 11. （5分）已知函数f （x ） =sin （ 3X® （®>0, |创v 丄）的最小正周期是■L -in 若将其图象向右平移耳个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f （x ）的kJ图象（）A .关于直线x=一对称B.关于直线x^—对称C.关于点（——，0）对称 D .关于点（二，0）对称3.4.若 tan 哦丁4,则 sin2 ）单位，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A . [ k n — , k n , ] (k €Z ) B. [ k n~:—, k n_:—] (k € Z )4. 7.将函数 x 2s in x —1的图象向右平移3个单位，再把所有的点的横坐标3g x 的一个对A. 一 ,0 B,0C.,1 D.—,1312312称中心为 5. 7. (5 分) 若将函数f （x ）图象上的每一个点都向左平移一个C [k 二k n -却(k € Z )D .[k n -令，k 呀](« Z )6. 11.函数7. cosxx xe xA. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于点…对称TC个单位长度可以得到函数 SA . [2+16k , 10+16k] (k € Z )B. [6+16k , 14+16k] (k € Z )C. [ - 2+16k , 6+16k] (k € Z )D. [ - 6+16k , 2+16k] (k € Z )1 5 cos 丄x 5 ，则下列说法正确的是2 6位长度，得到曲线C 2D.函数在区间上单调递增A .把G 上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单3C.由函数二打的图象向右平移的图象的图象大致是8.已知函数则下列结论中正确的是2B •把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移—个单3位长度，得到曲线C2、一1C. 把曲线C1向右平移一个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的-，纵坐3 2标不变，得到曲线C2、一1D .把曲线C1向右平移一个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵6 2坐标不变，得到曲线C2211. 10.函数f x x 1 cosx （其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是1 e10 8.已知曲线G : y sinx,C2：y212. 9.已知曲线 G ：y 2cosx,C 2：y 、、3sin 2x cos2x ，则下面结论正确的是2A.把G 各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单3位长度，得到曲线 G部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是B.把G 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移至3个单位长度，得到曲线 C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的单位长度，得到曲线 GD. 把G 上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 —个2 31倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移一个23单位长度，得到曲线 C 213. 11 .现有四个函数① y x sinx② y xcosx414. 6.已知函数f x sin x —6A •函数f X的图象关于原点对称B •函数f X的图象关于直线X 对称3C.函数f X图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称3D •函数f x在区间0, 上单调递增115. 7 .函数f X X COSX X 且X 0的图象可能为X16. 11.已知函数f(x) X22l n|x|与g(x) sin( X)有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数g(x)( )A ..nSin n - 2nB . sin n —2C . . nsin x 2nD . sin 2 nx —217.3 . 已知sin(1)_ ,则tan 23 2值为( )A .2 2B . 2 2C . _24D . 2 218. 5.为了得到函数y 2sin(3x -)的图象，只需把函数y2sin3 x的图象上所有的点()A.向左平移4个单位B.向左平移个单位120的最小正周期为4 ，则C.向右平移—个单位D.向右平移—个单位精选x ),则 |f () |=—.2.15.设厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b, c ,若a=4, A=—, B=丁 , 则厶ABC 的面积S=三、解答题 1.17.( 10分)已知点『(届 1),Q( cosx,s in x),0为坐标原点，函数fCx)^0P*QP .(1) 求函数f (X )的最小值及此时x 的值； (2)若A ABC 的内角，f (A ) =4, BC=3求厶ABC 的周长的最大值.2. 17 .(本小题满分12分)在 ABC 中，角A, B, C 的对边分别为a,b,c,a .3b ,且sinB sinC . (I)求角A 的大小；(n )若a 2 3 ,角B 的平分线交AC 于点D,求线段BD 的长度.419. 6•已知函数 f(x)As in(x )(A 0,解析式是()A. f (x)si n(3x3)B. f(x)C. f(x) sin (x 3)D. f(x)二、填空题12o, j 2)的部分图象如图所示，则f (x)的sin(2x ) 3 sin(2x )6=2sin (?x+©)对任意 x 都有 f (丄 +x ) =f1. 14. (5分)已知函数f (x )3.17. (12分)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a, b, c ,且2ccosB=2s+b .(1)求角C ;4. 17. 在△ 中，小分别为内角，w|的对边，淤注「mm @ 心賦.5.17. (12分)已知△ ABC 中，角A , B, C 所对的边分别为a , b , c, bsin (B+C )+acosA=0 且 c=2, sinC 匚.5(1) 求证：A^-+B ; (2) 求厶ABC 的面积.6. 17. (12 分)在 ABC 中，角 A, B , C 的对边分别为 a,b,c , 且 b c,2s in B 、、3si nA. (1)求cosB 的值；⑵若a 2,求ABC 的面积.(I )求的大小；(n )若卜厂点,(2)若厶ABC 的面积为求ab 的最小值.求△■：：【•/”的面积.7. 17.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，0为原点，uuuOA 1,0uuu 2,OB 2COS一,sin2uuur 2,OC 2COS一2sin ,0uuu uuur uuu (I)若AB AC,求BC ;mur uunuuur LOT(n)设OD1,1 若AB AC AD,求, 的值.8. 17. (12 分)在VABC中，角A, B, C的对边分别为a , b , c .(1)若23COS2A cos2A 0,且VABC为锐角三角形， a 7 , c 6，求b的值;(2)若a . 3 , A一，求b C的取值范围.3答案、选择题1.10. (5分)已知定义在R 上的函数f (x )满足：(1) f (x ) +f (2 -x ) =0, (2)f (x - 2) =f (- x ), (3)在[-1, 1]上表达式为 f (x )=A . 5 B. 6 C. 7 D . 8【分析】由题意可得函数f (x )的图象关于点M (1, 0)对称，又关于直线x= -1对称；再结合g(x )的解析式画出这2个函数区间［-3, 3］上的图象，数形结合可得它们的图象区间［-3, 3］上的交点个数.【解答】解：由f (x ) +f (2-x ) =0,可得函数f (x )的图象关于点M (1, 0) 对称.由f (x- 2) =f (- x ),可得函数f (x )的图象关于直线x=- 1对称.CCiB(飞-X)$ 丈 E (°, I ］上的图象，数形结合可得函数 f (x )的图象与函数g (x )的图象区间［-3, 上的交点个数为6,故选：B.A /I -X 2-O ]cos f 掘E 〔Q,1 ]则函数f(x )与函数g(x)=x<01-K.葢>0的图象区间［-3,3］上的交点个数为( )l-x 2- xG [-1 - o].K -—— 又f (x )在［-1, 1］上表达式为f (x )可得函数f (x )在［-3, 3］上的图象以及函数 g (x )=x<0在[-3, 3]3]--X1【点评】本题主要考查函数的图象的对称性，方程根的存在性以及个数判断, 现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题.2.11. （5分）已知函数f （x ） =sin （（®>0, |创V —）的最小正周期的图象（）A .关于直线x=一对称B.关于直线x= 对称12 12C.关于点（——，0）对称 D .关于点（二，0）对称12 12 【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可.【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键.3.4.若 tan O +Jm =4,贝U sin2 0 =）A .吉 B.寺 C I D. |【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系.【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以 1,将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求.解答】是n,若将其图象向右平移丄个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f （ X ）【解答】解：•••函数 f (x ) =sin ( 3X©) ( 3>0, | V7T~2）的最小正周期是n.n ，解得3 =2即f （x ） =sin （2x+©）,将其图象向右平移 —个单位后得到 y=sin[ 2 (x - 则© ——：-2K），若此时函数关于原点对称, 即 f (x ) =sin (2x 一— 3TF+k n, k € Z ,：| 创 V 守，解得, k € Z ,L2 2).由 2V JT故当k=0时，函数的对称轴为,二当 k =- 1 时，©二^―.si n20 =2sincos 0 =sin 6 +cas 2：tan9*佥，故选：B。

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专题能力训练11三角变换与解三角形
专题能力训练第13页1.(2017山东,文17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,=-6,S△ABC=3,求A和a.解因为=-6,所以bc cos A=-6,
又S△ABC=3,所以bc sin A=6,因此tan A=-1,
又0<A<π,所以A=.又b=3,所以c=2.
由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得a2=9+8-2×3×2=29,所以a=.
2.已知a,b,c分别为锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边,且a=2c sin A.
(1)求角C;
(2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值.
解(1)由a=2c sin A及正弦定理得sin A=2sin C sin A.
∵sin A≠0,∴sin C=.
∵△ABC是锐角三角形,∴C=.
(2)∵C=,△ABC的面积为,
∴ab sin,即ab=6.①
∵c=,∴由余弦定理得a2+b2-2ab cos=7,
即(a+b)2=3ab+7.②
将①代入②得(a+b)2=25,故a+b=5.
3.(2017四川成都三诊,文17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2b cos A.
(1)求角B的大小;
(2)若a=2,b=,求c的长.
解(1)∵2c-a=2b cos A,∴由正弦定理可得2sin C-sin A=2sin B cos A,
∵sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B,
∴2sin A cos B+2cos A sin B-sin A=2sin B cos A.
∴2sin A cos B=sin A.
∵sin A≠0,∴cos B=,∴B=.
(2)∵b2=a2+c2-2ac cos B,
∴7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,
解得c=3或c=-1(舍去),∴c=3.
4.(2017陕西咸阳二模,文17)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a sin C=c cos A.
(1)求角A;
(2)若b=2,△ABC的面积为,求a.
解(1)∵a sin C=c cos A,
∴sin A sin C=sin C cos A,
∵sin C>0,∴sin A=cos A,
则tan A=,由0<A<π得A=.
(2)∵b=2,A=,△ABC的面积为,
∴bc sin A=,则×2×c×,解得c=2,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=4+4-2×2×2×=4,则a=2.
5.(2017湖北武汉五月调考,文17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.
(1)求角A的大小;
(2)若D为BC上一点,且=2,b=3,AD=,求a.
解(1)由,则(2c-b)cos A=a cos B,
由正弦定理可知=2R,则a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C,
∴(2sin C-sin B)cos A=sin A cos B,
整理得2sin C cos A-sin B cos A=sin A cos B,
即2sin C cos A=sin(A+B)=sin C,
由sin C≠0,则cos A=,即A=,
∴角A的大小为.
(2)过点D作DE∥AC,交AB于点E,则△ADE中,ED=AC=1,∠DEA=,
由余弦定理可知AD2=AE2+ED2-2AE·ED cos,又AD=,∴AE=4,∴AB=6.
又AC=3,∠BAC=,则△ABC为直角三角形,
∴a=BC=3,∴a的值为3.
6.
(2017辽宁鞍山一模,文17)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,c=3,△ABC
的面积为,又=2,∠CBD=θ.
(1)求a,A,cos∠ABC;
(2)求cos 2θ的值.
解(1)由△ABC的面积为bc sin A,
可得×2×3×sin A=,可得sin A=,
又A为锐角,可得A=,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=22+32-2×2×3×cos=7,解得a=,可得cos∠
ABC=.
(2)由=2,知CD=1,由△ABD为正三角形,即BD=3,且sin∠ABC=,
cosθ=cos
=cos cos∠ABC+sin sin∠ABC=,∴cos2θ=2cos2θ-1=.〚导学号52534144〛
7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且满足a=3b cos C.
(1)求的值;
(2)若a=3,tan A=3,求△ABC的面积.
解(1)由正弦定理=2R可得2R sin A=3×2R sin B cos C.
∵A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C)=3sin B cos C,
即sin B cos C+cos B sin C=3sin B cos C.
∴cos B sin C=2sin B cos C,
∴=2,故=2.
(2)(方法一)由A+B+C=π,得tan(B+C)=tan(π-A)=-3,即=-3,将tan C=2tan B代入得
=-3,解得tan B=1或tan B=-,
根据tan C=2tan B得tan C,tan B同正,
∴tan B=1,tan C=2.
又tan A=3,可得sin B=,sin C=,sin A=,
代入正弦定理可得,∴b=,
∴S△ABC=ab sin C=×3×=3.
(方法二)由A+B+C=π得tan(B+C)=tan(π-A)=-3,
即=-3,将tan C=2tan B代入得=-3,
解得tan B=1或tan B=-,根据tan C=2tan B得tan C,tan B同正,∴tan B=1,tan C=2.
又a=3b cos C=3,∴b cos C=1,∴ab cos C=3.
∴ab cos C tan C=6.
∴S△ABC=ab sin C=×6=3.〚导学号52534145〛
8.(2017宁夏银川二模,文17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2a cos C-c=2b.
(1)求角A的大小;
(2)若c=,角B的平分线BD=,求a.
解(1)由2a cos C-c=2b及正弦定理得2sin A cos C-sin C=2sin B,
2sin A cos C-sin C=2sin(A+C)=2sin A cos C+2cos A sin C,
∴-sin C=2cos A sin C,
∵sin C≠0,∴cos A=-,又A∈(0,π),∴A=.
(2)在△ABD中,c=,角B的平分线BD=,
由正弦定理得,
∴sin∠ADB=,
由A=,得∠ADB=,
∴∠ABC=2,
∴∠ACB=π-,AC=AB=.
由余弦定理得a2=BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=2+2-2×=6,∴a=.〚导学号52534146〛。