南开中学高2018级15-16学年(上)期末试题——数学

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重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学(试题+答案)

重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学(试题+答案)重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1.下列说法正确的是（）A. N ∈-1B.Q ∈2 C. π∉R D. Z ⊆∅2.已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，则右图中阴影部分所表示的集合为（）A. {1} B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}3.给定映射f ：()(),2,2x y x y x y →+-，在映射f 下(3,1)的原像为（）A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(1,1)D ．(5,5)4.“2x y +>”是“1>x 且1y >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（）A ．3(,)2+∞B ．(0,)+∞C ．3(0,)2D ．3(,3)211.已知集合}0,,,,0|{},032|{22≠∈≤++=>--=ac R c b a c bx ax x B x xx A ，若(]4,3=B A I ，R B A =Y ，则22c a a b +的最小值是（）A ．3B ．32C ．1D ．3412.设集合{|16,}A x x x N =≤≤∈，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1,2,5}的“交替和”是5214-+=，{3}的“交替和”就是3）.则集合A 的所有这些“交替和”的总和为（）A. 128B. 192C. 224D. 256第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.设2,(2015)()(5),(2015)x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则(2018)f = ．14. 计算：135342=— ．15. 函数x x x f --=12)(的值域为．16. 若函数122)(2---+=x a x x x f 的图象与x 轴恰有四个不同的交点，则实数a 的取值范围为．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（10分）已知集合3{|1}A x x=<，集合{|213}B x x =-<．（Ⅰ）分别求集合A 、B ；（Ⅱ）求()R CA B I ．18．（12分）已知函数()f x 的定义域为(0,4)，函数()1g x x =-的定义域为集合A ，集合{}21B x a x a =<<-，若A B B =I,求实数a的取值范围﹒19. （12分）已知函数23()1x f x x +=+﹒（Ⅰ）求函数()f x 在区间[]0,2上的最值；（Ⅱ）若关于x 的方程(1)()0x f x ax +-=在区间(1,4)内有两个不等实根，求实数a 的取值范围﹒20. （12分）已知二次函数()f x 的图象过点(0,4)，对任意x 满足(3)()f x f x -=，且有最小值74﹒（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()()(23)h x f x t x =--在[]0,1上的最小值()g t ﹒21. （12分）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且(1)2f =-﹒ （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）求()f x 在区间[]2,2-上的最大值；（Ⅲ）解关于x 的不等式2()2()()4f ax f x f ax -<+﹒22. 对于函数()y f x =与常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”；设函数)(x f 的定义域为R +，且(1)3f =．（Ⅰ）若(,)a b 是)(x f 的一个“P 数对”，且,9)4(,6)2(==f f 求常数,a b 的值；（Ⅱ）若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，且当[1,2)x ∈时()f x =23k x --，求k 的值及()f x 在区间[1,2)n(*)N n ∈上的最大值与最小值．重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试数学试题参考答案一、选择题（每小题5分）DACBC CCBAA BB二、填空题（每小题5分）13．2015 14．2 15．(,2]-∞ 16．),6()2,0(+∞Y三、解答题（共70分）17．（Ⅰ）{|03}A x x x =<>或，{|12}B x x =-<<﹒（Ⅱ）(){|02}R C A B x x =≤<I ﹒18．{|13}A x x =<<，由A B B =I 得B A ⊆① 当B =∅时，211a a a ≥-⇒≤；②当B ≠∅时，2111122132a a a a a a a <-⇒>⎧⎪≥⇒<≤⎨⎪-≤⇒≤⎩；综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞﹒19．（Ⅰ）令1,[1,3]x t t +=∈，则2232442[2,3]1x t t y t x t t +-+===+-∈+ 即min ()2f x =，max ()3f x =﹒（Ⅱ）由条件，230xax -+=在区间(1,4)内有两个不等实根，令2()3h x x ax =-+，则2(1)0(4)034120142h h a a a >⎧⎪>⎪⎪⇒<<⎨∆=->⎪⎪<<⎪⎩﹒20．（Ⅰ）2()34f x x x =-+﹒（Ⅱ）2()24h x x tx =-+，240()401521t g t t t t t ≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩﹒21．（Ⅰ）令0x y ==，得(0)0f =；令y x =-，得(0)()()0f f x f x =+-=故()f x 为R 上的奇函数﹒（Ⅱ）任取x R ∈，对任意的0h >，则()0f h <，又()()()()f x h f x f h f x +=+<，故()f x 在R 上单调递减；又(2)(1)(1)4(2)(2)4f f f f f =+=-⇒-=-=，故()f x 在区间[]2,2-上的最大值为(2)4f -=﹒ （Ⅲ）由条件， 22()2()()4(2)(2)f ax f x f ax f ax x f ax -<+⇔-<- 222(2)(1)0ax x ax ax x ⇔->-⇔-->（1）当0a =时，解集为(,1)-∞；（2）当0a ≠时，122,1x x a == ①当21a >即02a <<时，解集为2(,1)(,)a-∞+∞U ； ②当21a =即2a =时，解集为(,1)(1,)-∞+∞U ；③当21a <即2a >或0a <时，若2a >，解集为2(,)(1,)a -∞+∞U ；若0a <，解集为2(,1)a ﹒22．（Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+)4()2()2()1(f b af f b af ，即⎩⎨⎧=+=+9663b a b a ，解得：⎩⎨⎧==31b a （Ⅱ）当[1,2)x ∈时，()|23|f x k x =--，令1x =，可得(1)13f k =-=，解得4k =，所以，[1,2)x ∈时，()4|23|f x x =--，故()f x 在[1,2)上的值域是[3,4]．又(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，故(2)2()f x f x =-恒成立，当1[2,2)k k x -∈(*)N k ∈时，1[1,2)2k x-∈， ()2()4()24x x f x f f =-==…11(2)()2k k xf --=-，故k 为奇数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[32,2]k k -+⨯；当k 为偶数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[2,32]k k +---⨯．所以当1n =时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为4，最小值为3；当3n ≥且为奇数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为12n +，最小值为2n -；当n 为偶数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为2n ，最小值为12n +-．。

推荐-重庆南开中学2018届高三第一学期期末测试(201801)：数学(理) 精品

重庆南开中学高2018级（上）期末测试卷数学试题（理科）满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

5．考试结束，将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知集合{2,3},{2,4},A B P A B ===，则集合P 的子集的个数是（）A ．2B ．4C ．8D ．16 2．抛物线22y x =的焦点坐标是（）A ．1(0,)4B ．1(0,)8C ．1(,0)8D ．1(,0)43．下列各选项中，与2sin 2011最接近的数是（）A ．12-B ．12C D 4．已知各项均正数的等比数列{}n a 的首项13a =，前三项的和为21，则345a a a ++=（）A ．33B ．72C ．84D ．1895．已知直线1l 的方程为3470,x y +-=直线2l 的方程为6810x y ++=，则直线12l l 与的距离为（）A ．85B ．32C ．4D ．86．定义行列式运算：12142334.a a a a a a a a =-若将函数sin ()cos xf x x=的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（）A ．8π B ．3π C ．56π D ．23π 7．设M 是△ABC 内任一点，23,30,,,AB AC BAC MBC MAC MAB ⋅=∠=∆∆∆的面积分别为1,,,2x y z z =若，则在平面直角坐标系中，以,x y 为坐标的点(,)x y 的轨迹图形是（）8．设实数,x y 满足条件4100280,(0,0)0,0x y x y z ax by a b x y --≤⎧⎪-+≥=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12，则23a b +的最小值为（）A ．256B ．83C ．113D ．49．已知函数3122331()lg(0,0,0f x x x x x x x x x =+++>+>+>且，则123()()()f x f x f x ++的值（）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．以上都有可能10．如题10图，半径都为1的三个圆两两相交，且AB 弧长=BC 弧长=AC 弧长，CD 弧长等于2π，则图中阴影部分的面积为（） A ．3π B ．2πC ．52π D ．332π+二、填空题：本大题共5小题，共25分。

天津南开大学附属中学2018年高三数学理测试题含解析

天津南开大学附属中学2018年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么实数k的取值范围是A．B．C．D．参考答案：C2. （5分）记等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2，S6=18，则等于（）A．﹣3 B． 5 C．﹣31 D． 33参考答案：D【考点】：等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，可以求出公比q，然后再利用等比数列前n项和公式求．解：根据题意，S3=2，S6=18，易得q≠1；∵S3=2，S6=18，∴，∴q=2．∴==故选D．【点评】：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．3. 某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为A．24 B．24 C． 12 D．12参考答案：C4. 函数的图象大致是（）ＡＢＣＤ参考答案：A略5. 已知集合，集合(为自然对数的底数)，则（）A． B． C．D．参考答案：C考点：1、集合的表示；2、集合的交集.6. 已知点P在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点Q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A7. 程序框图如图所示，若输入值t∈（0，3），则输出值S的取值范围是（）A．（0，4）B．（0，4] C．[0，9] D．（0，3）参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=的值，分类讨论即可得解．【解答】解：由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出S=的值，∴当t∈（0，1）时，0≤3t＜3；当t∈[1，3）时，4t﹣t2=4﹣（t﹣2）2∈[3，4]，∴综上得：0≤S≤4．故选：B．8. 设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A． B. C.D.参考答案：D9. 为了调查任教班级的作业完成的情况，将班级里的52名学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是（）.A．13 B．17 C．18 D．21参考答案：C10. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________________.参考答案：12. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinB﹣asinA=asinC，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB=．参考答案：【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】由正弦定理化简已知的式子，结合条件和三角形的面积公式列出方程化简后，得到三边a、b、c的关系，由余弦定理求出cosB的值．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理得，b2﹣a2=ac，①∵△ABC的面积为a2sinB，∴，则c=2a，代入①得，b2=2a2，由余弦定理得，cosB===，故答案为：．13. （选修4-4：坐标系与参数方程）曲线C的参数方程是（为参数，且），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为，取线C与曲线D的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是参考答案：曲线即直线的普通方程为，又曲线即圆心为，半径为2的半圆，其方程为，注意到，所以，联立方程组得，解之得，故交点的坐标为.过交点且与曲线相切的直线的普通方程是，对应的极坐标方程为.14. 点A、B、C、D在同一球面上，，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为．参考答案：【详解】试题分析：依题意所以，设的中点为，球心为O,球的半径为R，过三点的截面圆半径为由球的表面积为知，，解得.因的面积为,所以要四面体体积最大，则为射线与球面交点，所以球心到过三点的截面的距离为，所以，所以四面体体积最大为考点：1.球的几何性质；2.几何体的表面积、体积.15. 在中，依次成等比数列，则角的取值范围是____________.参考答案：略16. 已知关于x的不等式x2-ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________.参考答案：17. 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是．参考答案：．【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2．∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2．∴几何体的体积V=2×=．故答案为：．【点评】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

天津南开中学2018年高三数学文测试题含解析

天津南开中学2018年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则函数在区间上的零点个数是 ( )A．3 B．5 C．7D．9参考答案：D略2. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D3. 若抛物线上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为（）A． B． C．1 D．2参考答案：D略4. 下列说法正确的是( )(A) 命题“使得”的否定是：“”(B) “”是“”的必要不充分条件(C) 命题p：“ ”，则p是真命题(D) “”是“在上为增函数”的充要条件参考答案：D略5. 已知函数的图像向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图像，则下列区间为的单调递增区间的是A．B．C．D．参考答案：A6. 椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，2]参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；向量法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），，，则=x2+y2﹣i=即可．【解答】解：由椭圆方程得F1（﹣1，0）F2（1，0），设P（x，y），∴，，则=x2+y2﹣1=∈[0，1]故选：C【点评】本题考查了椭圆与向量，转化思想是关键，属于中档题．7.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中，选出一个偶数和三个奇数，组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有（）.A.1440个B.1480个C.1140个D.1200个参考答案：答案：C8. （5分）如图在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则mn的最大值为（）A． B． 1 C． 2 D． 3参考答案：B【考点】：向量在几何中的应用；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】：计算题．【分析】：利用三角形的直角建立坐标系，求出各个点的坐标，有条件求出M和N坐标，则由截距式直线方程求出MN的直线方程，根据点O（1，1）在直线上，求出m和n的关系式，利用基本不等式求出mn的最大值，注意成立时条件是否成立．解：以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则O点坐标为（1，1），B（0，2）、C（2，0），∵，∴，∴、，∴直线MN的方程为，∵直线MN过点O（1，1），∴=1，即m+n=2∵（m＞0，n＞0），∴，∴当且仅当m=n=1时取等号，且mn的最大值为1．故选B．【点评】：本题的考查了利用向量的坐标运算求最值问题，需要根据图形的特征建立坐标系，转化为几何问题，根据条件求出两数的和，再由基本不等式求出它们的积的最大值，注意验证三个条件：一正二定三相等，考查了转化思想．9. 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案：C由得，，所以函数为周期为2的周期函数，又因为函数为偶函数，有，所以有，所以函数关于对称，令，得函数，令函数，做出函数和函数的图象，如图：当直线必须过点时有4个交点，此时直线的斜率为，要使函数有四个零点，则直线的斜率，选C.10. 平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．12 D．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】原式利用二次根式性质化简，再利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算即可得到结果．【解答】解：∵平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，∴|+2|=====2，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为参考答案：12. 执行如图所示的程序框图,若输入m=5则输出k的值为参考答案：本题考查程序框图.13. 已知p：﹣2≤x≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣4）＞0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出q下的不等式，得到q：x＜a，或x＞a+4，而若p是q成立的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p，所以a＞1，或a+4＜﹣2，这样便得到了a的取值范围．【解答】解：q：x＜a，或x＞a+4；∴若p是q成立的充分不必要条件，则：a＞1，或a+4＜﹣2；∴a＞1，或a＜﹣6；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）．14. 已知函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为．参考答案：【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得3=a+b，a＞1，b＞0．即（a ﹣1）+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），∴3=a+b，a＞1，b＞0．∴（a﹣1）+b=2．∴+===，当且仅当a﹣1=2b=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象与性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．15. 如果函数在区间上有且仅有一条平行于轴的对称轴，则的取值范围是．参考答案：略16. 函数f（x）=的定义域为．参考答案：{x|x}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用被开方数非负，得到不等式，求解即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则：1﹣2x≥0，解得：x．函数的定义域为：{x|x}．故答案为：：{x|x}．17. （坐标系与参数方程选做题）如图，为圆O的直径，为圆O上一点，和过的切线互相垂直，垂足为，过的切线交过的切线于，交圆O于，若，，则= .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

天津市南开区2018届高三上学期期末数学试卷理科含解析

2018-2018学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合M={x|1+x≥0}，N={x|＞0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x≥﹣1}2．复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣13．如果命题“￢（p∧q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个为真命题D．p、q至多有一个为真命题4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πcm3B．3πcm3C．πcm3D．πcm35．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．26．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．7．抛物线y=x2与直线x=0、x=1及该抛物线在x=t（0＜t＜1）处的切线所围成的图形面积的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.9．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是．10．阅读下列程序框图，该程序输出的结果是．11．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＜﹣1的解集是．12．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．13．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=．14．已知实数a，b满足：a≥，b∈R，且a+|b|≤1，则+b的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或验算过程．15．（13分）已知函数f（x）=2cosxsin（x+）﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[，π]上的取值范围．16．（13分）在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（1）求角C的大小；（2）若且a+b=5求△ABC的面积．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）当点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心时，求二面角B﹣PD ﹣C的余弦值．18．（13分）在等差数列{a n}中，首项a1=1，数列{b n}满足b n=（）an，b1b2b3=（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1b1+a2b2+…+a n b n＜2．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为．（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1⊥OQ2．20．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜e x．（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞），恒有x2＜ce x．2018-2018学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合M={x|1+x≥0}，N={x|＞0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x≥﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合M和N，由此能求出M∩N的值．【解答】解：∵集合M={x|1+x≥0}={x|x≥﹣1}，N={x|＞0}={x|x＜1}，∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部是1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．如果命题“￢（p∧q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个为真命题D．p、q至多有一个为真命题【考点】复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出．【解答】解：∵命题“￢（p∧q）”为假命题，∴命题“p∧q”为真命题，∴命题p、q均为真命题．故选：A．【点评】本题考查了“或”“且”“非”命题的真假判断方法，属于基础题．4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πcm3B．3πcm3C．πcm3D．πcm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，据此可计算出体积．【解答】解：由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，所以其体积为V=πr2h﹣πr3=3π﹣π=π（cm3）．故选D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．5．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点之间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键．6．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．7．抛物线y=x2与直线x=0、x=1及该抛物线在x=t（0＜t＜1）处的切线所围成的图形面积的最小值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分的几何意义求积分，利用积分函数即可S的最小值．【解答】解：∵y=f（x）=x2，∴f'（x）=2x，即切线l在P处的斜率k=f'（t）=2t，∴切线方程为y﹣t2=2t（x﹣t）=2tx﹣2t2，即y﹣t2=2t（x﹣t）=2tx﹣2t2，y=2tx﹣t2，作出对应的图象，则曲线围成的面积S====，∵0＜t＜1，∴当t=时，面积取的最小值为．故选：A．【点评】本题主要考查积分的应用，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分公式即可得到面积的最小值，考查学生的计算能力．8．已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用已知条件求出f（1﹣x）的表达式，利用函数的图象，求解两个函数图象交点个数即可．【解答】解：函数f（x）=，f（1﹣x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数，就是y=f（1﹣x）与y=1交点个数，如图：可知两个函数的图象由三个交点，函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为3．故选：C．【点评】本题考查函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.9．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是27．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系．【解答】解：由频率分布直方图知，成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38=27（人）∴该班成绩良好的人数为27人．故答案为：27．【点评】解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算．10．阅读下列程序框图，该程序输出的结果是729．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=9×9×9的值．【解答】解：分析框图可得该程序的作用是计算并输出S=9×9×9的值．∵S=9×9×9=729故答案为：729【点评】要判断程序的运行结果，我们要先根据已知判断程序的功能，构造出相应的数学模型，转化为一个数学问题．11．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＜﹣1的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇函数．【分析】设x＜0，则﹣x＞0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x＜0时的解析式，再对x分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，∴f（﹣x）=log2（﹣x），∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x），①当x∈（0，+∞）时，f（x）＜﹣1，即log2x＜﹣1=，解得0＜x＜，②当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜﹣1，即﹣log2（﹣x）＜﹣1，则log2（﹣x）＞1=log22，解得x＜﹣2，综上，不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，）．【点评】本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x就设在该区间内，再利用负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义f（x），再求出不等式的解集．12．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆心C的坐标和圆的半径，根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式列式=1，解得k=，再根据切点在第四象限加以检验，可得答案．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+8=0的圆心为（3，0），半径r=1∴当直线y=kx与圆C相切时，点C（3，0）到直线的距离等于1，即=1，解之得k=∵切点在第四象限，∴当直线的斜率k=时，切点在第一象限，不符合题意直线的斜率k=﹣时，切点在第四象限．因此，k=﹣故答案为：﹣【点评】本题给出直线与圆相切，在切点在第四象限的情况下求直线的斜率k，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．13．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】设=，=，则=+，=+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，利用平面向量基本定理，建立方程，求出λ，μ，即可得出结论．【解答】解：设=，=，则=+，=+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，∴λ+μ=1，且λ+μ=1，解得λ=μ=，∴λ+μ=，故答案为：．【点评】本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，14．已知实数a，b满足：a≥，b∈R，且a+|b|≤1，则+b的取值范围是[﹣1，] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，结合图象可知，关键求当a+b=1时和当a﹣b=1时的最值，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a +b=1时， +b 才有可能取到最大值，即+1﹣a ≤+1﹣=，当a ﹣b=1时， +b 才有可能取到最小值，即+a ﹣1≥2﹣1=﹣1，（当且仅当=a ，即a=时，等号成立），结合图象可知，+b 的取值范围是[﹣1，]．【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了分类讨论的思想应用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或验算过程．15．（13分）（2018秋•南开区期末）已知函数f （x ）=2cosxsin （x +）﹣．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和对称中心；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[，π]上的取值范围．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （x ）=sin（2x+），利用三角函数周期公式可求T，令2x+=kπ，k∈Z，解得函数的对称中心．（Ⅱ）由范围x∈[，π]，利用正弦函数的图象和性质即可得解函数的取值范围．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosxsin（x+）﹣=2cosx（sinxcos+cosxsin）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），…5分∴T==π，…6分∴令2x+=kπ，k∈Z，解得：x=﹣，k∈Z，即函数的对称中心为：（﹣，0），k∈Z…7分（Ⅱ）∵x∈[，π]，∴f（x）在区间[，]单调递增，在区间[，π]单调递减，∵f（）=sinπ=0，f（）=sin=﹣1，f（π）=sin=，∴函数f（x）在区间[，π]上的取值范围为[﹣1，]…13分【点评】本题值域考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．16．（13分）（2018•都昌县校级模拟）在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（1）求角C的大小；（2）若且a+b=5求△ABC的面积．【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（1）利用两角和与差的正切函数，求出tanC的值，即可求出∠C；（2）先利用c2=a2+b2﹣2abcosC，求出ab，然后根据△ABC的面积公式absinC，求出面积．【解答】解：（1）∵∴（2分）∴∵在△ABC中，0＜C＜π∴（2）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴7=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab（8分）∴ab=6∴．（12分）【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数和三角形的面积公式，注意巧用两角和与差的正切函数，求出tanC的值．17．（13分）（2018•濮阳一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）当点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心时，求二面角B﹣PD ﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】第（1）问，要证平面PBD⊥平面PAC，只需证平面PBD经过平面PAC 的一条垂线，观察可看出应选直线BD作为平面PAC的垂线，由PA垂直于底面可得PA垂直于BD，再根据底面ABCD中已知条件借助三角形全等可证AC垂直AC，则第一问可证；第（2）问，先确定P点位置，利用几何法不容易分析，因此考虑建立空间直角坐标系，将之转化为坐标计算问题，通过解方程求出P点坐标，然后再利用向量法求二面角的大小．【解答】解：（Ⅰ）依题意Rt△ABC≌Rt△ADC，∠BAC=∠DAC，△ABO≌△ADO，∴AC⊥BD．而PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，又PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，又BD⊂面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．（Ⅱ）过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示坐标系，则B，D（0，1，0），C，设P（0，0，λ），所以G，，由AG⊥PB得，=0，解得，所以．∴P点坐标为，面PBD的一个法向量为，设面PCD的一个法向量为=∴，∴，cos＜＞==，所以二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．【点评】当二面角的平面角不好找或者不好求时，可以采用向量法，一般是先求出两个半平面的法向量，然后将二面角的大小转化为它们法向量之间的夹角，要注意结合图形判断二面角是钝角或是锐角，从而确定最终的结果．18．（13分）（2018秋•南开区期末）在等差数列{a n}中，首项a1=1，数列{b n}满足b n=（）an，b1b2b3=（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1b1+a2b2+…+a n b n＜2．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（I）通过b1=、b2=、b3=，利用b1b2b3=计算即得结论；（Ⅱ）通过a n=n可知a n b n=n•，利用错位相减法计算即得结论．【解答】（I）解：设等差数列{a n}的公差为d，依题意，b1=，b2=，b3=，∵b1b2b3=，∴••=，∴1+（1+d）+（1+2d）=6，解得：d=1，∴a n=1+（n﹣1）=n；（Ⅱ）证明：∵a n=n，∴b n=，a nb n=n•，记T n=a1b1+a2b2+…+a n b n=1•+2•+3•+…+n•，则T n=1•+2•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减得：T n=+++…+﹣n•=﹣n•=1﹣﹣n•，∴T n=2（1﹣﹣n•）=2﹣﹣，∵2﹣﹣＜2，∴a1b1+a2b2+…+a n b n＜2．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）（2018秋•南开区期末）已知椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为．（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1⊥OQ2．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知得，由此能求出椭圆的方程．（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x2﹣24x+36﹣2b2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出b的值．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为，椭圆上的一点A到两焦点的距离之和为4，∴，解得a=2，b=，∴椭圆的方程为．（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x2﹣24x+36﹣2b2=0，由△＞0，得b＞，，，y1y2=2x1x2﹣6（x1+x2）+18=，由OQ1⊥OQ2，知x1x2+y1y2=0，解得b2=9，即b=±3，∵b＞，∴b=3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．20．（14分）（2018•漳州校级模拟）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜e x．（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞），恒有x2＜ce x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（Ⅱ）构造函数g（x）=e x﹣x2，求出导数，利用（Ⅰ）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（Ⅲ）令x0=，利用（Ⅱ）的结论，即得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（Ⅱ）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（III）对任意给定的正数c，取x0=＞0，由（II）知，当x＞0时，e x＞x2，∴，当x＞x0时，，因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x．【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、综合性较强，难度较大．。

天津市南开中学2018届高三上学期第一次月考数学(理)试题(word版含答案)

天津市南开中学2018届高三第一次月考数学试卷（理科）选择题（每小题5分，共60分）1. 已知全集，集合，则为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】,选C.2. 设，则是的（）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】,,因为所以是的充分不必要条件.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3. 设，，，则（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】,,,所以，选C.4. 在下列区间中的零点所在区间为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】零点所在区间为，选C.5. 设函数,则是（）.A. 奇函数，且在上是增函数B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数D. 偶函数，且在上是减函数【答案】A【解析】因为是奇函数，因为，所以在上是增函数，选 A.6. 已知函数，若,则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】，即实数的取值范围是，选D.7. 若在上单调递减，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得在上恒成立，所以即，选C.点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.8. 已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由图可知选B.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．填空题（每小题5分，共30分）9. 已知复数，则_________.【答案】【解析】10. 不等式的解集是_________.【答案】【解析】试题分析：由不等式可得化简得且，解得故答案为．考点：分式不等式的解法．11. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_____.【答案】2【解析】12. 函数与函数的图象所谓封闭图形的面积是_________.【答案】【解析】点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．13. 函数在区间的最小值是_________.【答案】【解析】当时；当时；当时，因此最小值是14. 若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】当时，当时，综上，求并集得实数的取值范围为解答题（共80分）15. 在锐角△中，分别为角所对应的边，且确定角的大小；若，且△的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理把已知条件转化为角的正弦，整理可求得，进而可求出的值；（2）利用三角形的面积求得的值，利用余弦定理求得的值，最后求出的值．试题解析：（1）由及正弦定理得，，∵，∴，∵是锐角三角形，∴．（2）解法1：∵，由面积公式得，即①由余弦定理得，即，②由②变形得，故解法2：前同解法1，联立①、②得，消去并整理得解得或所以或故．考点：正弦定理；余弦定理及三角形的面积公式．16. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响.求该选手被淘汰的概率；该选手在选拔中回答问题的个数记为,求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由题记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，根据计算即可；（Ⅱ）由题的可能值为1,2,3，然后分别计算对应的概率，根据期望公式计算即可．试题解析：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，所以该同学被淘汰的概率为：． 6分（Ⅱ）的可能值为1,2,3，，，．所以的分布列为：数学期望为． 6分考点：概率统计17. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”求事件发生的概率. 设为事件“选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件发生的概率.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由已知得，即可得到事件的概率.（2）由题意得，得到随机变量的所有可能取值，求得随机变量取每个值的概率，即可得到随机变量的分布列，并计算其数学期望.试题解析：（1）由已知得.所以事件发生的概率为.（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2计算，，；所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望为.点睛：本题主要考查了概率的计算及随机变量的分布列、数学期望，此类问题的解答中主要认真审题，正确把握试验的条件，合理求解每个取值对应的概率是解答的关键，同时注意概率公式的应用和准确计算.18. 如图，在三棱柱中，底面,,,.证明;求异面直线和所成角的余弦值;求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由底面,得;再在三角形中解得,由线面垂直判定定理得,即得;（2）利用空间向量求线线角,首先根据条件建立直角坐标系,设立各点坐标,得异面直线和方向向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据向量夹角与线线角关系得结果(3) 利用空间向量求二面角,首先根据条件建立直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解得平面法向量,根据向量数量积求两法向量夹角,最后根据向量夹角与二面角关系得结果试题解析：解（1）在三棱柱中，∵，∴在中，，，，由正弦定理得，∴，即。

2022-2023学年天津市南开中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年天津市南开中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}1,4B =，则()UA B =（）A ．{}2,3B ．{}1C ．{}3,5D ．{}2,3,5【答案】A【分析】根据交集和补集的概念，直接求解即可. 【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}1,4B =，所以{}2,3,5UB =，又{}1,2,3A =，所以(){}2,3U A B ⋂=. 故选：A2．函数()()2πsin R 33f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．2πB ．4π3C ．3πD ．π【答案】C【分析】根据周期公式直接求解即可.【详解】()()2πsin R 33f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3π23=，故选：C3．命题“1,()x ∃∈+∞，213x x +”的否定是（） A ．(,1]x ∀∈-∞，213x x +> B ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +≤ C ．(,1]x ∃∈-∞，213x x + D ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +>【答案】D【解析】特称量词的否定是全称量词，据此得到答案. 【详解】特称量词的否定是全称量词：命题“1,()x ∃∈+∞，213x x +”的否定是(1,)x ∀∈+∞，213x x +> 故选：D【点睛】本题考查了特称量词的否定，意在考查学生的推断能力. 4．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是（）． A ．lg lg x y > B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A ，lg lg 0x y x y >⇔>>，故“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件，不符合题意；对于B ，22⇔>>x y x y ，即“22x y >”是“x y >”的充要条件，符合题意；对于C ，由11x y >得，0x y <<或0x y >>，0x y <<，不能推出x y >，由x y >也不能推出11x y>，所以“11x y>”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意；对于D ，由22x y x y >⇔>，不能推出x y >，由x y >也不能推出22x y >，故“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意；故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查判定命题的充要条件，及不等式的性质，充分条件、必要条件的三种判定方法：（1）定义法：根据p q ⇒，q p ⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题．（2）集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题． 5．已知()1,3P 为角α终边上一点，则2sin cos sin 2cos αααα-=+（）A ．-7B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】先根据三角函数的定义求出tan 3α=，再利用齐次化将弦化切进行求解. 【详解】()1,3P 为角α终边上一点，故tan 3α=，故2sin cos 2tan 151sin 2cos tan 25αααααα--===++.故选：B6．设函数()2+5x f x x =-，则函数()f x 的零点所在区间是（） A ．(-1,0) B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C【解析】根据零点存在性定理分析可得结果. 【详解】因为函数()2+5x f x x =-的图象连续不断，且111(1)21502f --=--=-<，(0)10540f =+-=-<, (1)21520f =+-=-<,2(2)22510f =+-=>，3(3)23560f =+-=>，所以函数()f x 的零点所在区间是(1,2). 故选：C7．已知函数()221()1m m f x m m x +-=--是幂函数，且在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值是（）．A ．1-或2B ．2C ．1-D ．1【答案】C【解析】由函数是幂函数可得211m m --=，解得1m =-或2，再讨论单调性即可得出. 【详解】()f x 是幂函数，211m m ∴--=，解得1m =-或2，当1m =-时，1()f x x -=在(0,)+∞上是减函数，符合题意，当2m =时，5()f x x =在(0,)+∞上是增函数，不符合题意，1m ∴=-. 故选：C.8．已知2log 7a =，0.3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b ＜c ＜a B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b【答案】A【分析】分别将,,a b c 与0,1,2比较确定它们的大小关系．【详解】0.2000.30.31c <=<=； 22log 7log 42a =>=； 0.30.3log 8log 10b =<=．故b<c<a ．故选：A ．9．若π02α<<，π02β-<<，1cos 3α=，cos β=，则()cos αβ+=（）A B ．C ．D 【答案】D【分析】根据题意求得sin α和sin β的值，结合两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】由π02α<<，π02β-<<，可得sin α=sin β=，则()cos cos cos sin sin a αβαββ+=-13==. 故选：D.10．已知命题p ：函数()()2xf x a =-是R 上的减函数，命题q ：23202x ax a ++->对x ∀∈R 都成立.若命题p 和命题q 中有且只有一个真命题，则实数a 的取值范围（） A ．（2，3） B ．[)3,4C ．（2，4）D ．（3，4）【答案】B【分析】分别求出命题,p q 成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可. 【详解】函数()(2)x f x a =-是R 上的减函数021a ∴<-<，解得：23a <<23202x ax a ++->对x ∀∈R 都成立0∴∆<,则234(2)02a a --<，解得：24a <<，当命题p 成立命题q 不成立时：(2,3)(,2][4,)a a ∞∞∈⎧⎨∈-⋃+⎩，解得：a 不存在当命题q 成立命题p 不成立时，(2,4)(,2][3,)a a ∞∞∈⎧⎨∈-⋃+⎩，解得：34a ≤<∴实数a 取值范围为： 34a ≤<故选：B11．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞【答案】A【分析】()g x 存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，数形结合求解. 【详解】()()0()g x f x m f x m =+=⇔=-()g x ∴存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足01m <-≤，解得：[)1,0m ∈- 故选：A.12．函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案. 【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.13．已知函数()f x 是定义在区间[1,2]a a --上的偶函数，且在区间[0,2]a 上单调递增，则不等式(1)()f x f a -<的解集为（） A ．[1,3]- B ．(0,2)C ．(0,1)(2,3]⋃D ．[1,0)(1,2)-⋃【答案】B【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得1a =，根据(1)(|1|)f x f x -=-以及函数()f x 的单调性可解得结果.【详解】因为函数()f x 是定义在区间[1,2]a a --上的偶函数，所以120a a --+=，解得1a =，(1)()f x f a -<可化为(1)(1)f x f -<，因为()f x 在区间[0,2]a 上单调递增，所以11x -<，解得02x <<. 故选：B【点睛】关键点点睛：根据(1)(|1|)f x f x -=-以及函数()f x 的单调性解不等式是解题关键.14．已知函数()32,032,0x x x f x x -⎧-+<=⎨+≥⎩，()()620g x kx k k =+->，若对任意的[]11,1x ∈-，总存在[]21,1x ∈-使得()()12f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为（）A ．(]0,2B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．(]1,2【答案】C【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知max max ()()f x g x ≤，再解关于k 的不等式可求得结果.【详解】当10x -≤<时，3()2x f x =-+单调递减，则2()3f x <≤，当01x ≤≤时，()32x f x -=+单调递减，则7()33f x ≤≤，所以当[1,1]x ∈-时，()[2,3]f x ∈，所以()max 3f x =，因为()()620g x kx k k =+->在[1,1]x ∈-上单调递增，所以()max 626g x k k k =+-=-，因为对任意的[]11,1x ∈-，总存在[]21,1x ∈-使得()()12f x g x ≤成立，所以max max ()()f x g x ≤，所以36k ≤-，解得03k <≤，故选：C二、填空题15．已知函数()()log 160,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，则点A 的坐标为______.【答案】()2,6【分析】由log 10a =，令真数为1，即2x =代入求值，可得定点坐标．【详解】∵log 10a =，∴当2x =时，log 166a y =+=，∴函数的图象恒过定点()2,6 故答案为：()2,616．已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________.【答案】2π【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果．【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π，则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =，此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=. 故答案为：2π.17．已知0x >，0y >且191x y+=，求x y +的最小值为______.【答案】16【分析】根据()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值.【详解】0x，0y >且191x y+=， ()199101016x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当9x y y x =，即3y x =时取等号）， ()min 16x y ∴+=. 故答案为：16.【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“1”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式.18．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩在区间(),-∞+∞单调递增函数，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[4,8)【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩是(),-∞+∞上的单调递增函数，则满足114024122a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<，所以实数a 的取值范围[4,8). 故答案为：[4,8)19．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，π0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是______.①函数()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ②函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称；③函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减； ④()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；⑤()y f x =可改写为π2cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【答案】①②⑤【分析】根据函数的图象，可求出()f x 的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.【详解】解：由函数图象可得2A =，最小正周期ππ4π312T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2π2π2πT ω===，故④错误；当π12x =时，函数取得最大值，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ22π122k ϕ⨯+=+()k ∈Z ，则π2π3k ϕ=+()k ∈Z ，又π2ϕ<，得π3ϕ=，故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于①，当π6x =-时，πππ2sin 22sin 00663f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心，故①正确；对于②，当5π12x =-时，5π5πππ2sin 22sin 2121232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f ，即直线5π12x =-是函数()f x 的一条对称轴，故②正确；对于③，令ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+()k ∈Z ，解得π7πππ1212k x k +≤≤+()k ∈Z ，则函数()f x 的单调递减区间为7ππ,π1212πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，故③错误；对于⑤，()ππππ2sin 22sin 22cos 23626f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故⑤正确.故答案为：①②⑤.三、双空题 20．（1）1ln 223e 27tanlg104π--+-+=______；（2______.【答案】 23- 1【分析】（1）根据指数幂以及对数运算性质，以及特殊角对应三角函数值，直接化简求解即可；（2）根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，直接化简求解即可. 【详解】（1）1ln 2213π2e 27tanlg10231243---+-+=+--=-；（2cos 20sin 201cos 20sin 20︒+︒==︒+︒.故答案为：23-；1.21．已知3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=______；（2）tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】 2425-17【分析】根据同角三角函数基本关系，求出cos α，tan α，再由二倍角公式以及两角和的正切公式求解即可.【详解】因为3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==-，则3tan 4α=-，所以3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；3tan tan1144tan 3471tan tan 144παπαπα+-+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-+.故答案为：2425-；17.四、解答题22．已知函数()ππsin 2sin 2233f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和函数()f x 的单调递减区间；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x 的值.【答案】(1)=πT ，函数()f x 的单调递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π2x =时，()f x取最小值为【分析】（1）利用两角和差正弦公式公式和辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数的周期公式和正弦函数单调性结论求解即可；（2）根据函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性确定其最大值、最小值及相应的自变量x 的值..【详解】（1）由已知πππ()=sin 2+sin 22=sin 22=2sin 2+333f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2π==π2T ，所以()f x 的最小正周期为π.由ππ3π2π2+2π,Z 232k x k k +≤≤+∈化简可得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由(1) 可得函数()f x 的单调递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，同理可得函数()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数在π[0,]12上单调递增，在ππ[,]122上单调递减，且π(0)=2sin 3f =ππ()=2sin 2122f =，π4π()=2sin 23f = 所以，当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π2x =时，()f x取最小值为23．已知函数()221x a g x x bx +=++是定义域为[]1,1-上的奇函数. (1)求()g x 的解析式；(2)判断并证明()g x 在[]1,1-上的单调性；(3)解不等式()()10g t g t --<.【答案】(1)()221x g x x =+ (2)()g x 在[]1,1-上单调递增 (3)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得()()()1100g g g ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，求出,a b ，得到函数解析式，再验证即可；（2）任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，作差比较()1g x 与()2g x ，进而可根据单调性定义判断出结果；（3）根据函数单调性，结合题中条件列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】（1）因为()221x a g x x bx +=++是定义域为[]1,1-上的奇函数，所以()()()1100g g g ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，即22220a ab b a -+⎧=-⎪-+⎨⎪=⎩，解得00b a =⎧⎨=⎩，所以()221x g x x =+，又()()221x g x g x x --==-+，所以()221x g x x =+是奇函数，符合题意；（2）任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()221212121212121222222212121221222222111111x x x x x x x x x x x x g x g x x x x x x x --+---=-==++++++，因为1211x x ，所以121x x <，12x x <，因此()()()()()()121212221221011x x x x g x g x x x ---=<++，即()()12g x g x <，所以()g x 在[]1,1-上单调递增；（3）由()()10g t g t --<得()()1<-g t g t ，因为()g x 在[]1,1-上单调递增；所以111111t t t t -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得102t ≤<. 故原不等式的解集为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 24．已知函数2()(3)3f x kx k x =+++，其中k 为常数.（1）若不等式()0f x >的解集是{}13x x -<<,求此时()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，设函数()()g x f x mx =-，若()g x 在区间[]22-,上是单调递增函数，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k 使得函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2()23f x x x =-++（2）2m ≤-（3）存在，1k =-或9k =-【解析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理，即可求解；（2）根据二次函数图像确定对称轴和区间的关系，即可求解；（3）由二次函数图像，求出函数可能取到的最大值，建立方程，求出参数，回代验证；或由对称轴，分类讨论，确定二次函数图象开口方向，函数在[1,4]-上的单调性，求出最大值且等于4，建立方程，即可求得结论.【详解】解：(1)由题意得：1,3-是2(3)30kx k x +++=的根 ∵313313k k k ⎧-⨯=⎪⎪⎨+⎪-+=-⎪⎩，解得1k =- ∴2()23f x x x =-++(2)由（1）可得 2()23g x x x mx =-++-2(2)3x m x =-+-+，其对称轴方程为 22m x -= 若()g x 在[2,2]-上为增函数，则222m -≥，解得2m ≤- 综上可知，m 的取值范围为2m ≤-(3)当0k =时，()33f x x =+，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是15，不满足条件当0k ≠时，假设存在满足条件的k ，则()f x 的最大值只可能在1,4,-对称轴处取得，其中对称轴032k x k+=- ① 若max ()(1)4f x f =-=，则有334k k --+= ，k 的值不存在，② 若max ()(4)4f x f ==，则1612434k k +++=，解得1120k =-，此时，对称轴049[1,4]22x =∈-，则最大值应在0x 处取得，与条件矛盾，舍去③ 若max 0()()4f x f x ==，则：0k <，且243(3)44k k k⨯-+=，化简得21090k k ++=，解得1k =-或9k =- ，满足0k <综上可知，当1k =-或9k =-时，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4.(3)另解：当0k =时，()33f x x =+，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是15，不满足条件所以0k ≠，此时2()(3)3f x kx k x =+++的对称轴为32k x k+=-若0k >，302k x k +=-<，此时2()(3)3f x kx k x =+++ 在[1,4]-上最大值为(4)1612434f k k =+++=，解得1120k =-，与假设矛盾，舍去；若0k <①当342k k +-≥，即103k -≤<，函数()f x 在[1,4]-为增， 2()(3)3f x kx k x =+++在[1,4]-上最大值为(4)1612434f k k =+++=，解得1120k =-，矛盾舍去 ②当312k k+-≤-，即3k ≥，矛盾舍… ③当3142k k +-≤-<.即13k <-， 2()(3)3f x kx k x =+++在[1,4]-上最大值为3()42k f k +-=，则 243(3)44k k k⨯-+=，化简得21090k k ++=，解得1k =-或9k =- ，满足 0k <…综上可知，当1k =-或9k =-时，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4【点睛】本题考查求二次函数的解析式，以及单调性和最值，要熟练掌握二次函数的图像和性质，考查分类讨论数学思想，属于中档题.。

重庆市南开中学2015-2016学年高一上学期期末测试数学试题

重庆南开中学高2018级高一（上）期末考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1、已知集合{}{}224,log 0x A x B x x =≤=>，则A B ⋂=（）A 、[]1,2B 、(]1,2C 、()0,1D 、(]0,1 2、“6πα=”是“1sin 2α=”的（）条件 A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要3、已知一个扇形的周长为10cm ，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）2cmA 、25B 、5C 、254D 、2524、已知函数()1254x f x x =+-，则()f x 的零点所在的区间为（） A 、()0,1 B 、()1,2 C 、()2,3 D 、()3,45、函数()()2lg 6f x x x =-++的单调递减区间为（） A 、1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C 、12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D 、1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭6、将函数sin y x =的图像上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图像1C ，再将图像1C 向右平移3π个单位得到的图像2C ，则图像2C 所对应的函数的解析式为（） A 、1sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B 、1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C 、sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D 、2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 7、若()ln 1ln 1,1,ln ,,2x x x e a x b c e -⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（） A 、c b a >> B 、b c a >>C 、a b c >>D 、b a c >> 8、已知()0,απ∈且3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（）AB、 CD、9、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=恒成立，且()11f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（）A 、0B 、1C 、2D 、310、化简tan 204sin 20+的结果为（）A 、1B 、12 C、3 D11、如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为()1,2-，点C 位于第一象限，AOC α∠=。

重庆南开高2018级高一(下)期末数学试题+答案

开始结束输出n ↓ ↓ ↓ 否重庆南开中学高2018级高一（下）期末考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1．直线10x -=的倾斜角为（）A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π2．如果b a <,那么下列不等式可能成立的是（）A ．33b a >B ．22b a >C ．b a ln ln >D ．b a e e >3．某校教职工年龄结构分布如下表，为了该校未来的发展，学校决定从这些教职工中采用分层抽样的方法随机抽取50人参与“教代会”，则应从35岁及以下教职工中抽取的人数为（）A ．22B ．18C ．10D ．54．设△ABC 的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．垂直于直线210x y +-=且平分圆：2220x y x y ++-=周长的直线l 的方程为（）A ．230x y -+=B ．230x y -+=C ．2450x y -+=D ．20x y += 6．执行如图所示的程序框图，那么输出的n 的值为（）A ．9B ．10C ．11D ．127．非零向量,a b 满足：()a b a +⊥，()2a b b +⊥，则a 与b 的夹角,a b <>= （）A ．4π B ．3π C ．32π D ．43π 8．数列}{n a 满足121,12210,21<≤-<≤⎩⎨⎧=+n n n n n a a a a a ，若761=a ，则2016a 的值为（） A ．76 B ．75 C ．73 D ．719．已知实数,x y 满足：0x >且220x xy -+=，则2x y +的最小值为（）A．．．．10．直线0ax by b a ++-=与圆2220x y x +--=相交于B 、A ，则AB 的最小值为（）A ．3B ．2C ．2D ．111．已知,x y 满足3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩且目标函数(0,0)x y z a b a b =+>>的最大值为10，则54a b +的最小值为（）A ．6B ．8C ．60D ．80 12．已知直线11:2l y x =及直线2:2l y x =都与圆1C 、2C 相切，圆1C 、2C 均过点3(1,)2P ，则这两圆的圆心距12C C =（）ABCD第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13．已知向量(1,)a a =，(1,2)b =-且2a b +∥b ，则实数a = ．14．过直线:l 220x y +-=上任意一点P 作圆:C 2220x y x ++=的切线，切点为A ，则切线长PA 的最小值为．15．已知数列{}n a 是等比数列，若3698a a a =-，则172104124816a a a a a a ++的最小值为．16．已知1OA =，2OB =且1OA OB ⋅=-，若平面上点C 满足|2|2OA CB +=，则OC 的取值范围是．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）已知△ABC 顶点(1,2)A -，AB 边上的高CD 所在直线方程为：20x y +-=，AC 边上的中线BE 所在直线方程为：230x y -+=．（Ⅰ）求B 点坐标；（Ⅱ）求边AC 所在直线方程．18．（12分）在△ABC ，A B C ∠、、的对边分别为a b c 、、，向量(,2)m b c a =-，(2cos ,1)n C =且m n m n +=-．（Ⅰ）求B ∠的大小；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积S 的最大值．19．（12分）已知某鱼塘仅养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从鱼塘中捕出这两种鱼各1 000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回鱼塘，待完全混合后，再每次从鱼塘中随机地捕出1 000条鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，然后立即放回鱼塘中．这样的记录做了10次，并将记录获取的数据制作成如图所示的茎叶图．（Ⅰ）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并由此估计鱼塘中鲤鱼和鲫鱼的数量；（Ⅱ）为了估计鱼塘中鱼的总重量，现按照（Ⅰ）中的比例对100条鱼进行称重，所得称重鱼的重量介于[0,4.5](单位：千克)之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0,0.5)，第二组[0.5,1)，…，第九组[4,4.5 ]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．① 若第二、三、四组鱼的条数成公差为7的等差数列，请将频率分布直方图补充完整；② 在①的条件下估计该鱼塘中鱼重量的众数及鱼的总重量． 20．（12分）已知圆O ：226260x y x y +---=（O 为圆心）（Ⅰ）若过点(1,0)P 的直线l 与圆O 交于M 、N 两点，且8OM ON ⋅=-，求直线l 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 作圆O 的两条弦AC 、BD 使得0AC BD ⋅=，求四边形ABCD 面积的最大值．21．（12分）已知数列{}n a 中，1123111,23()2n n n a a a a na a n N *++=+++⋅⋅⋅+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）若存在n N *∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值．22．（12分）已知定点()7,0A ，()1,0B ，平面上动点P 到A 点的距离与到B 点的距离之比为λ(0λ>，且为常数）. （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（Ⅱ）当2λ=时，记P 点的轨迹与y 轴交于M N 、两点，若过点P 作圆22:(1)1C x y -+=的两条切线1l 、2l 分别交y 轴于H K 、两点，在构成三角形的条件下，求PMNPHKS S ∆∆的最大值，并指出取得最大值时的P 点坐标．重庆南开中学高2018级高一（下）期末考试数学参考答案一、选择题（每小题5分）DBABC CDCAB DB二、填空题（每小题5分）13．2- 14．55515．6 16．[22,22]-+三、解答题（共70分）17．（10分）【解】：（Ⅰ）AB CD l l ⊥，:3AB l y x ⇒=-，与:230BE l x y -+=联立得(6,9)B --；（Ⅱ）设00(,2)C x x -，则001(,)22x x E +-，代入:230BE l x y -+=得083x =- ∴814(,)33C -， ∴:201120AC l x y ++=．18．（12分）【解】：（Ⅰ）由m n m n +=-得0m n ⋅=， ∴2cos 20m n b C c a ⋅=+-=2sin cos sin 2sin 2sin()B C C A B C ⇒+==+sin 2cos sin C B C ⇒=，又sin 0C ≠，1cos ,23B B π⇒=⇒=；（Ⅱ）222221cos ,42422a cb B ac ac ac ac ac +-==⇒+=+≥⇒≤， ∴13sin 324S ac B ac ==≤，当且仅当2a c ==时S 取得最大值3．19．（12分）【解】：（Ⅰ）=80x 鲤，=20x 鲫，即每次捕出1 000条鱼，有记号的鱼有100条，占10%，而总的有记号的鱼有2 000条，故鱼塘鱼的总数大约有20 000条，其中鲤鱼占80%，约16 000条，鲫鱼占20%，约4 000条；（Ⅱ）①设每组鱼的条数为n a 条，则10.080.51004a =⨯⨯=，50.50.510025a =⨯⨯=，60.280.510014a =⨯⨯=，70.120.51006a =⨯⨯=，80.080.51004a =⨯⨯=，90.040.51002a =⨯⨯=，故2343244515,8,22a a a a a a ++=⇒===，故频率分布直方图补充如下：②该鱼塘中鱼重量众数的估计值为2.25千克；鱼重量的平均值：(0.250.080.750.16 1.250.301.750.44 2.250.50 2.750.28 3.250.123.750.08 4.250.04)0.52.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故鱼总重量的估计值为：20 000 2.0240400⨯=（千克）20．（12分）【解】：（Ⅰ）圆O ：22(3)(1)16x y -+-=，44cos 8OM ON MCN ⋅=⨯⨯∠=-0120MON ⇒∠=，由垂径定理得：圆心到直线l 的距离2d =设l ：(1)y k x =-，即0kx y k --=，∴324d k ==⇒=-∴所求直线l 的方程为：3(1)4y x =--或1x =；（Ⅱ）设圆心O 到弦AC 、BD 的距离分别为1d 、2d ，则AC =BD =，由0AC BD ⋅=，即AC BD 、垂直相交于点P ，故222121d d OP +==221211616312ABCD S AC BD d d =⋅=-+-=当且仅当12d d ==时，四边形ABCD 面积的最大值为31．21．（12分）【解】：（Ⅰ）12311232n n n a a a na a +++++⋅⋅⋅+=， n N *∈① 123123(1)2n n na a a n a a -∴+++⋅⋅⋅+-=，2n ≥② ①-②：1122n n n n nna a a ++=-，13122n n n n a a ++∴=，即1(1)3n n n a na ++=⨯（2n ≥），又212231a a =≠⨯，2n ∴≥时，数列{}n na 是以2为首项，3为公比的等比数列.223(2)n n na n -∴=⋅≥，故21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ ．（Ⅱ）(1)1nn a a n n λλ≤+⇔≥+，令21122132(1)n n n n a b n n n n -⎧=⎪⎪==⎨+⎪⋅≥⎪+⎩，2n ≥时，1312n n b nb n +=>+，又0n b >，故2n ≥时，1n n b b +>，又121123b b =>=，故213b =是{}n b 中的最小值．由条件，存在n N *∈，使得(1)n a n λ≤+成立min 113n a n λ⎛⎫⇔≥= ⎪+⎝⎭，即λ的最小值为13．22．（12分）【解】：（Ⅰ）设(,)P x yλ=222222(1)(1)(142)490x y x λλλλ⇒-+-+-+-=………………（*）（1）若1λ=，（*）化为：4x =，即为P 的轨迹方程，表示线段AB 的中垂线；（2）若1λ≠，（*）化为：2222222736()1(1)x y λλλλ--+=--，即为P 的轨迹方程，表示以227(,0)1λλ--为圆心，261λλ-为半径的圆．（Ⅱ）当2λ=时，P 的轨迹方程为：22(1)16x y ++=，则M，(0,N 设00(,)P x y ，过点P 的圆C 的切线为：00()y y k x x -=-，则：222000001(2)2(1)10x x k x y k y ⇒-+-+-=∴01H K y y x k -=⋅-又2200(1)16x y ++=，∴H K y y -=∴M N PMNPHK H K MN y y S S HK y y ∆∆-===-（000[5,3],0,2x x x ∈-≠≠）令0154x t -=，（[3,35],15,7t t t ∈≠≠），则2149(14)16t t =+- 当35t =时即05x =-时，PMNPHKS S ∆∆(5,0)P -．。

重庆市南开中学2018届高三上学期半期考试数学理试题

重庆南开中学高2018届高三（上）期中考试理科数学一、选择题：（共12小题，每小题5分）1．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于 A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-2．已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{|ln 0}B x x =<，则()U C A B = A ．∅ B ．1|12x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<3．设x R ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +=A B C ． D ．10 4．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++的值是A ．2B ．4C ．8D ．165．下列说法错误的是 A ．设32:()21p f x x x mx =+++是R 上的单调增函数，4:3q m ≥，则p 是q 的必要不充分条件； B ．若命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≤，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>；C ．奇函数()f x 定义域为R ，且(1)()f x f x -=-，那么(8)0f =D ．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆命题为“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”。

6．已知ABC ∆中，1AB =，2BC =，则角C 的取值范围是 A ．06C π<≤ B ．02C π<< C ．62C ππ<< D ．63C ππ<≤ 7．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则()4f π的值为A B ．0 C ．1 D 8．设函数21()ln(1)1f x x x =+-+，则使()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是 A ．1(,1)3 B ．1(,)(1,)3-∞-+∞C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 9．已知函数()2sin()1,(0)6f x x πωω=+->在[0,]x π∈恰有3个零点，则实数ω取值范围为 A ．58,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．82,3⎡⎫⎪⎢⎭⎣ C ．5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5[,2)310．已知函数()sin(2014)cos(2014)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x ，使得对任意的实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为A ．1007πB ．2014πC ．21007πD 11．已知函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x ，使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值为 A ．15 B ．25 C ．12 D ．112．已知函数1()x f x xe +=，关于x 的方程2()2sin ()cos 0f x f x αα+⋅+=有四个不等实根，则sin cos ααλ-≥恒成立，则实数λ的最大值为A ．75- B ．12- C ． D ．1-二、填空题：（共4小题，每小题5分）13．若211()2x a dx -=⎰，则a =________ 14．若43()5a =，33()5b =，33log 5c =，则,,a b c 的大小关系为____________（用“＜”表示） 15．在ABC ∆中，若三个内角A 、B 、C 满足：cos 2sin sin A B C =，则ABC ∆的形状为_______三角形。

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