专题27 平面向量的应用(检测)-2019年高考数学(文)名师揭秘之一轮总复习-新整理
2019年高考数学(文)三轮专题质量检测：三角函数、平面向量(含详解)
平面向量-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)+Word版含解析
专题 平面向量1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________． 【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B ，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE y x =-，直线AE 的斜率为y =.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6ABAC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____..【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE=2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-(AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++=所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅= A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=. 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．9．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a ，b 满足||1=a ，||=b 且a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a bA ．12B ．32-C ．12-D ．32【答案】A【解析】()()221222312+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b . 故选A.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()λ+⊥a b c ，则实数λ=A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ， 所以()12,23λλλ-+a +b =， 又()λ+⊥a b c ，所以()0λ+⋅=a b c ， 即()()4125230+=λλ-+，解得2λ-= . 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.11．【2019届北京市通州区三模数学试题】设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3，则||1+===a b ，因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||+=a b ”；若||+a b ||+=a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3，所以，由“||+a b a 与b 夹角为2π3”因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型.12．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在ABC △中，2AB AC AD +=，AE DE +=0，若EB xAB y AC =+，则 A ．3y x = B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D【解析】因为2AB AC AD +=，所以点D 是BC 的中点，又因为AE DE +=0，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，因此 31,344x y x y =-=⇒=-，故题选D.【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.13．【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若32AO AB ⋅=，则实数m =A ．1±B ．2±C ．2±D ．12±【答案】C【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx +m 2−1=0， ∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴∆=-2m 2+8＞0，解得x <<，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−m ，21221-=m x x ，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=23，解得m =2±． 故选：C ．【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．14．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1A E A F ⋅=，则λ的值为 A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B.【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=A ．572B ．14425C ．125D ．2512【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD得：5BD ==，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅AE BD ⊥，0AE EO ∴⋅=，又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==14425AE EC ∴⋅=. 故选B.【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.16．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.17．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________.【答案】8.【解析】向量4,36,m =-=⊥（），（），，a b a b则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b .【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为__________. 【答案】8. 【答案】5-【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x =-， 令0y =可得(0,0)P ， 12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-，故答案为：-5．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.。
2019版高考数学(文科)：平面向量的数量积及平面向量的应用
4.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=
.
答案 7
解析 解法一:∵a=(-1,2),b=(m,1),
∴a+b=(m-1,3),∵(a+b)⊥a,
∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7.
解法二:由已知可得(a+b)·a=a·a+b·a=1+4-m+2=0,解得m=7.
1
11
易知DE= 2AC,∠FEC=∠ACE=60°,则EF= 4AC= 4,
所以点F的坐标为
1 8
,
3
8
,
所以
AF=
1 8
,
5
3 8
,
所以
AF·BC=
1, 8
53 8
·(1,0)=
1 8
.故选B.
疑难突破 利用公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系,
2.(2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为 ( )
A.
B.
C. 2
D. 5
3
2
3
6
答案 C 因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,
得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,
则cos
θ=
|
ab a || b
|
=
2 | a |2 4 | a |2
2.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量
BA
=
1 2
,
专题27 向量的数量积——数量积的投影定义-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)
专题27 向量的数量积——数量积的投影定义【热点聚焦与扩展】平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值.（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合.所以说，投影往往伴随着垂直.（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量.2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正（2）θ为直角：则投影为零（3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现（1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ= （2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ=（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ= 综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【经典例题】 例1.【2018届江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考】设向量a ， b 满足2a =， 1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +方向上的投影为（ ）A. 1B. 1-C. 12-D. 12例2.【2018届福建省闽侯县第八中学高三上期末】已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为（ ）A. 33- D. 例3.【2018届云南省曲靖市第一中学高三上监测卷（四）】已知单位向量1e 与2e 的夹角为3π，则向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为（ ）A. 12-B. 12C. -例4.设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取值范围( )A. ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B. ⎤⎥⎝⎦C. ⎤⎥⎝⎦D. ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦例5.如图，菱形ABCD 的边长为2,60,A M ∠=为DC 中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为（ ）A. 3B. 6 D. 9 例6.【2018届衡水金卷四】已知平面向量，，且，则在方向上的投影是__________．例7．【2018届河南省南阳市第一中学高三第十四次考】若非零向量，满足，则在方向上的投影为__________． 例8．已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()1AP OA λ=-（R λ∈）（O 是坐标原点），且•72OA OP =，则线段OP 在x 轴上的设影长度的最大值为__________． 例9.【2018届河北省衡水中学高三第十次模拟】若平面向量1e ， 2e 满足11232e e e =+=，则1e 在2e 方向上投影的最大值是________．例10.【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则· （＋）＝_________． 【精选精练】1．【2018届山东省淄博市部分学校高三12月摸底】已知向量()()2110a b =-=，，，，则向量a 在向量b 上的投影是A. 2B. 1C. -1D. -22.【2018届河南省商丘市高三第二次模拟】已知平面向量()()1,2,,1a b k =-=，且a b ⊥，则a b +在a 上的投影为（ ）3．【2018届河北省武邑中学高三上学期期末】已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）C. D. 4．【2018届贵州省遵义市高三上学期第二次联考】已知向量,a b 的夹角为60°，且2a b ==，则向量a b -在向量a 方向上的投影为（ ）A. -1B. 1C. 2D. 35．【2018届江西省南昌市高三第一轮复习训练】已知向量a ， b 满足()a b a 2⋅+=，且()a 1,2=，则向量 b 在a 方向上的投影为( )C. 6.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为( )7．【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期入学】ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+，且OA AB =，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为（ ）A. 12B. 32-C. 12-D. 32 8.【2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知向量a ， b 满足5a =， 6a b -=， 4a b +=，则向量b 在向量a 上的投影为__________．9．【2018届广西桂林、贺州、崇左三市高三第二次联合调研】已知向量a ， b 的夹角为120︒，且2a =， 3b =，则向量23a b +在向量2a b +方向上的投影为__________．10．【2018届衡水金卷一】已知向量()()1,,3,1a b λ==，若向量2a b -与()1,2c =共线，则向量a 在向量c放向上的投影为__________．11．已知向量，，若向量在方向上的投影为1，则__________．12．已知M为直角三角形ABC的外接圆，OB是斜边AC上的高，且6,AC OB==AO OC<，点P为线段OA的中点，若DE是M中绕圆心M运动的一条直径，则PD PE⋅=_________。
专题27 平面向量的应用()-2019高考数学(文)名师揭秘之一轮
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
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【知识要点】
1．向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性
2019年7月10日
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【解析】(1)设O→P＝(x，y).由点 P 在直线 OM 上， 可知O→P与O→M共线.
而O→M＝(2，2)，所以 2x－2y＝0，即 x＝y，有O→P ＝(x，x).
由P→A＝O→A－O→P＝(－1－x，－3－x), P→B＝O→B－O→P＝(5－x，3－x)， 所以P→A·P→B＝(－1－x)(5－x)＋(－3－x)(3－x)， 即P→A·P→B＝2x2－4x－14. 又P→A·P→B＝－16，所以 2x2－4x－14＝－16.可得 x ＝1. 所以O→P＝(1，1).
2019年7月10日
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4.已知 O 是坐标原点，点 A(－1，1)，若点 M(x，
x＋y≥2， y)为平面区域x≤1，
上的一个动点，则O→A·O→M
y≤2
的取值范围是( C )
A.[－1，0] B.[0，1] C.[0，2] D.[－1，2]
2019年7月10日
2019年7月10日
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四、向量与三角形中的三角函数问题综合
例4设平面内的向量O→A＝(－1，－3)，O→B＝ (5，3)，O→M＝(2，2)，点 P 在直线 OM 上，且P→A·P→B ＝－16.
(1)求O→P的坐标； (2)求∠APB 的余弦值； (3)设 t∈R，求|O→A＋tO→P|的最小值.
专题21 平面向量的应用(精编题型专练)-2019年高考数学(文)热点题型和提分秘籍 Word版含解析
1．在△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】由题意可知，CM →·CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫CA →＋13AB →·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝0＋13×32×3cos45°＝3。
【答案】B2．已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则2sin αcos α等于( )A ．3B ．－3C.45 D ．－45【答案】D3．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin2x )，其中x ∈(0，π)．若|a·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3 D.22【解析】由|a·b |＝|a ||b |知，a ∥b 。
所以sin2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1。
【答案】A4．若|a |＝2sin15°，|b |＝4cos15°，a 与b 的夹角为30°，则a·b 的值是( ) A.32B. 3 C ．2 3 D.12【解析】a·b ＝|a ||b |cos30°＝8sin15°cos15°×32＝4×sin30°×32＝3。
11．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为( )A ．9,7B ．8,7C ．9,8D ．17,8【答案】B12．若直线ax －y ＝0(a ≠0)与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x的图象交于不同的两点A ，B ，且点C (6,0)，若点D (m ，n )满足DA →＋DB →＝CD →，则m ＋n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为f (－x )＝2cos 2(－x )＋1ln 2－x 2＋x ＝2cos 2x ＋1－ln 2＋x 2－x＝－f (x )，且直线ax －y ＝0过坐标原点，所以直线与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x的图象的两个交点A ，B 关于原点对称，即x A ＋x B ＝0，y A ＋y B ＝0，又DA →＝(x A －m ，y A －n )，DB →＝(x B －m ，y B －n )，CD →＝(m －6，n )，由DA →＋DB →＝CD →，得x A －m ＋x B －m ＝m －6，y A －n ＋y B －n ＝n ，解得m ＝2，n ＝0，所以m ＋n ＝2，故选B.13．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， λ∈(0，＋∞)，则( ) A ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心B ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心C ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心D ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心【答案】D14．已知共面向量a ，b ，c 满足|a |＝3，b ＋c ＝2a ，且|b |＝|b －c |.若对每一个确定的向量b ，记|b －ta |(t ∈R)的最小值为d min ，则当b 变化时，d min 的最大值为( )A.43 B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】固定向量a ＝(3,0)，则b ，c 向量分别在以(3,0)为圆心，r 为半径的圆上的直径两端运动，其中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，如图，易得点B 的坐标19．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．【答案】1∶2【解析】如图所示，取AC 的中点D ，20．如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径O C上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．【答案】－92【解析】∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，∵|PO →|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94， 即(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2|PO →|·|PC →|≥－92，当且仅当|PO →|＝|PC →|＝32时，等号成立， 故最小值为－92. 21．若向量a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α的大小是________。
平面向量的应用-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(原卷版)
平面向量的应用【母题来源一】【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是______________；最大值是______________．【答案】0【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，令123456||y AB BC CD DA AC BD λλλλλλ=+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r0=≥．又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =． 因为135()λλλ-+和245()λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当135()λλλ-+和245()λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A −1 BC ．2D ．2【答案】A【解析】设a =(x ，y)，e =(1，0)，b =(m ，n)，则由⟨a ，e⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3，x =12√x 2+y 2，∴y =±√3x ， 由b 2−4e ·b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0，(m −2)2+n 2=1，因此|a −b |的最小值为圆心(2，0)到直线y =±√3x 1，为√3−1． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是______________，最大值是______________．【答案】4【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-a b a b令y =，则[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b有一定的要求．【命题意图】1．考查平面向量的基本定理及基本运算．2．考查平面向量数量积及模的最值问题．【命题规律】平面向量问题多以熟知的平面图形为背景进行考查，考查平面向量的基本定理、基本运算、数量积及模的最值问题，多为选择题或填空题的形式出现，难度为中高档，是高考考查的热点内容，向量作为工具，还常与解三角形、不等式、解析几何等相结合，进行综合考查，注重转化与化归思想的应用．【答题模板】1．平面向量的线性运算（1）在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．（2）在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．2．平面向量的模及其应用的类型与解题策略（1）求向量的模解决此类问题应注意模的计算公式||=a，a或坐标公式||=（2）求模的最值或取值范围解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．（3）由向量的模求夹角对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用．3．向量与平面几何综合问题的解法（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．（2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【方法总结】1．平面向量线性运算问题的求解策略（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果．（4）对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系． 2．共线向量定理的应用（1）证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线． （2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB u u u r =λAC u u u r，则A ，B ，C 三点共线． （3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．（4）对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA u u u r 、OB uuu r 不共线，满足OP uuu r =x OA u u u r ＋y OB uuu r （x ，y ∈R ），则P 、A 、B 共线⇔x ＋y =1． 3．平面向量共线的坐标表示 （1）两向量平行的充要条件若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是a =λb ，即x 1y 2－x 2y 1=0． （2）三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定． 4．平面向量的数量积（1）数量积的概念：已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作⋅a b ,即⋅=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角．（2）计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．（3）数量积的几何意义：由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积．（4）求向量模的常用方法：利用公式|a |2=a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． （5）利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． （6）在解题时，注意数形结合、方程思想及转化与化归数学思想的运用． 5．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角． （1）数量积：⋅=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b ． （2）模：||==a（3）夹角：cos ||||θ⋅==a bab ．（4）垂直与平行：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |． 【注】当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=a b ||||-a b ． （5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔1212||x x y y +≤．6．平面向量的应用（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． （3）向量的两个作用①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题； ②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题． （4）向量中有关最值问题的求解思路一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题．1．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】在平面上，1e ，2e 是方向相反的单位向量，||2=a ，12()()0-⋅-=b e b e ，则||-a b 的最大值为A ．1B ．2C ．2D ．32．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】已知向量a ，b 满足||1=a ，|2|||4+=a +b b ，则||+a b 的取值范围是A ．[22]-B ．C ．[22-+D ．2]3．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知向量a ，b 的夹角为60︒，||1=a 且2()t t =-+∈R c a b ，则||||+-c c a 的最小值为ABC ．5D ．44．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知,a b 是不共线的两个向量，⋅a b 的最小值为任意m ，n ∈R ，||m +a b 的最小值为1，||n +b a 的最小值为2，则||b 的最小值为 A ．2B ．4C ．D ．5．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知平面向量,a b 不共线，且||1=a ，1⋅=a b ，记b 与2+a b 的夹角是θ，则θ最大时，||-=a bA ．1 BCD ．26．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】已知向量a ，b 满足：||2=a ，,60<>=︒a b ，且1()2t t =-+∈R c a b ，则||||+-c c a 的最小值为AB ．4C ．D ．47．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】已知a ，b ，c 和d 为空间中的4个单位向量，且++=0a b c ，则||||||-+-+-a d b d c d 不可能等于A ．3B ．C ．4D ．8．【浙江省2019届高考模拟卷一】如图，在ABC △中，3BAC π∠=，2AD DB =u u uv u u u v ，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+u u u v u u u v u u u v ，若ABC △的面积为||AP uuu r的最小值为A B ．43C ．3D 9．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】1e ，2e 均为单位向量，且它们的夹角为45︒，设a ，b 满足2||+=a e ，12()k k =+∈R b e e ，则||-a b 的最小值为AB ．2C ．4D ．410．【浙江省嵊州市2017-2018学年高三第一学期期末教学质量调测】如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，该矩形所在的平面内一点P 满足||1CP =u u u r，记1I AB AP =⋅u u u r u u u r ，2I AC AP =⋅u u u r u u u r ，3I AD AP =⋅u u u r u u u r ，则A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有21I I >D ．对任意的点P ，有31I I >11．【浙江省2019年高考模拟训练卷数三】如图，C ，D 是以AB 直径的圆O 上的动点，已知||2AB =，则AC BD ⋅u u u v u u u v的最大值是A ．12BC．2D112．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】已知平面向量a ，m ，n ，满足||4=a ，221010⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩m a m n a n ，则当||-=m n ______________时，m 与n 的夹角最大．13．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末考试】在ABC △中，D 为边BC 中点，经过AD 中点E 的直线交线段,AB AC 于点,M N ，若,AB mAM AC nAN ==u u u r u u u r u u u r u u u r，则m n +=______________；该直线将原三角形分成的两部分，即三角形AMN 与四边形BCNM 面积之比的最小值是______________． 14．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中考试】已知向量a ，b 满足||3=a ，6⋅=a b，若对任意实数x 都有||||x -≥-a b a b ，则1||()2λλλ-+∈R b a 的最小值为______________． 15．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】若向量a ，b ，c 满足≠a b ，0≠c 且()()0-⋅-=c a c b ，则||||||++-a b a b c 的最小值是______________．16．【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】设圆1O ，圆2O 半径都为1，且相外切，其切点为P ．点A ，B 分别在圆1O ，圆2O 上，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值为______________．。
2019届高三数学课标一轮复习：5.4 平面向量的应用
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∴ B S△ ABP ∶S△ ABC=1∶2. 故选 B.
解析
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答案
-12考点一 考点二 考点三 考点四
(2)(2017 浙江温州九校联考)已知扇环如图所示,∠ 1 AOB=120°,OA=2,OA'=2,P 是扇环边界上一动点,且满足 ������������=x������������+y������������,则 2x+y 的取值范围为
-17考点一 考点二 考点三 考点四
(2)f (x)=a· b=(cos x,sin x)· (3, - 3) π =3cos x- 3sin x=2 3cos ������ + 6 . 因为 x∈[0, π], 所以 x+ ∈
6 π π 7π 6
,
6
,
从而-1≤cos ������ +
π 6 π π 6 6 5π 6
-11考点一 考点二 考点三 考点四
向量在平面几何中的应用(考点难度★★★) 【例1】 (1)(2017浙江绍兴诸暨中学)点P是△ABC内一点,且 ) ������������+2������������+3������������ =0,则△ABP与△ABC的面积之比是( A.1∶5 B.1∶2 C.2∶5 D.1∶3
∴|OC|= 12 + 22 -2 × 1 × 2 × cos60°
= 3. ∴∠AOC=90°, 即������������ ⊥ ������������ ,
关闭
90°
解析 答案
-10知识梳理 双击自测
自测点评 1.实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化 的主要手段是向量的坐标运算. 2.向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观,向量本身是一个数 形结合的产物.在利用向量解决问题时,要注意数与形的结合、代 数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合. 3.要注意变换思维方式,能从不同角度看问题,要善于应用向量的 有关性质解题.
2019年高考数学解密题(含解析)之平面向量
平面向量考点1 平面向量的概念及线性运算题组一 平面向量的概念调研1 设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则0=a a a ；②若a 与0a 平行，则0=a a a ；③若a 与0a 平行且1=a ，则0=a a .上述命题中，假命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与0a a 的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与0a 平行，则a 与0a 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时0=-a a a ，0=-a a ，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故答案为D.【名师点睛】本题考查了平面向量的概念以及应用的问题，解题时应把握向量的方向和模长，是基础题目．☆技巧点拨☆对于向量的概念问题：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性．具体应关注以下六点： (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (6)非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是a 方向上的单位向量． (7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.题组二 平面向量的线性运算调研2 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +【答案】C【解析】()11213333ED EA AD AC AD AD AB AD AD AB =+=-+=-++=-.故选C. 【名师点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.利用向量加法法则结合图象特点运算即可.调研3 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =，||||AB AC AB AC +=-，则||AM =________. 【答案】2【解析】由||||AB AC AB AC +=-可知，AB AC ⊥，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，1||||22AM BC ==. 调研4 已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足,PA BP CP AP PD λ++==0，则实数λ的值为________． 【答案】−2【解析】如图所示，由AP PD λ=且PA BP CP ++=0，则P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2AP PD =-，则λ=−2.☆技巧点拨☆平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，主要考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角形法则或向量相等，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．常见的平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.题组三 共线向量定理及其应用调研5 设向量12,e e 不共线，向量122λ+e e 与124+e e 平行，则实数λ=__________． 【答案】12【解析】∵122λ+e e 与124+e e 平行，向量12,e e 不共线， ∴存在实数k 使得122λ+e e =k （124+e e ）=k 1e +4k 2e ， ∴1.242k kλλ=⎧⇒=⎨=⎩故答案为：12． 【名师点睛】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．向量122λ+e e 与124+e e 平行则存在实数k 使得122λ+e e =k （124+e e ）=k 1e +4k 2e ，对应系数相等即可.调研 6 设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且2,2,2D C B D C E E A A F F B ===，则AD BE CF ++与BCA ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直【答案】A☆技巧点拨☆共线向量定理的主要应用：（1）证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线． 【注】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a 与b 共线是指a 与b 所在的直线平行或重合．向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个. （2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线．【注】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，,OA OB 不共线，满足OP xOA yOB=+(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y =1.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．考点2 平面向量的基本定理及坐标表示题组一 平面向量基本定理的应用调研1 如图，在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若(),BE BA BD λμλμ=+∈R ，则λμ-=A ．34B ．14-C ．14D ．34-【答案】C【解析】∵BD ＝2BO ，BE ＝λBA ＋μBD ，∴BE ＝λBA ＋2μBO .∵E 为线段AO 的中点，∴BE ＝12(BA ＋BO )，根据平面向量基本定理得到对应系数相等，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ−μ＝14.故选C.【名师点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，根据平行四边形的图象特点得到BE ＝λBA ＋2μBO ，又因为BE ＝12(BA ＋BO )，根据平面向量基本定理得到对应系数相等得到结果.调研2 在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点.若AB AM AN λμ=+，则λ＋μ=________.【答案】45【解析】解法一：连接AC ，由AB AM ANλμ=+，得11()()22AB AD AC AC AB λμ=⋅++⋅+，即(1)2AB μ-+()222AD AC λλμ++=0，即1(1)()()22222AB AD AD AB μλλμ-++++=0， 即3(1)44AB λμ+-+()2AD μλ+=0. 又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ=45.解法二：(回路法)连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB =45AT ， ∴45AT AB AM AN λμ==+，∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ=45.☆技巧点拨☆1．对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．（2）平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． （3）用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a =λ1e 1＋λ2e 2的形式，是向量线性运算知识的延伸．2．应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．3．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．4．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.题组二 平面向量的坐标运算调研3 已知向量a =(2，1)，b =(1，−2)．若m a ＋n b =(9，−8)(m ，n ∈R )，则m −n 的值为________． 【答案】−3【解析】【解析】由a =(2，1)，b =(1，−2)，可得m a ＋n b =(2m ，m )＋(n ，−2n )=(2m ＋n ，m −2n )，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝5，从而m −n =−3.调研4 在△ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若PA =(4，3)，PQ =(1，5)，则BC 等于A ．(−6，21)B ．(−2，7)C ．(6，−21)D ．(2，−7)【答案】A【解析】22()(6,4),33()(6,21)AC AQ PQ PA BC PC AC AP ==-=-==-=-，故选A ．☆技巧点拨☆平面向量坐标运算的技巧1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.【注】（1）要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．题组三 平面向量共线的坐标表示及运算调研5 已知向量()2,1=-a ，()1,3=-b ，则下列向量与2+a b 平行的是 A ．22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,3-C ．()1,2-D ．()0,2【答案】A【解析】因为()2,1=-a ，()1,3=-b ，所以2(3,1),+=a b 由(3,1)=322,23⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭可知2+a b 与向量22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭平行，故选A.【名师点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量共线的基本定理，属于中档题.根据向量的线性运算，计算2(3,1),+=a b 根据向量平行的基本定理即可判定.调研6 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC =2AB ，若三个顶点分别为A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________． 【答案】(2，4)【解析】∵在梯形ABCD 中，DC =2AB ，AB ∥CD ，∴2DC AB =.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC =(4−x ，2−y )，AB =(1，−1)，∴(4−x ，2−y )=2(1，−1)，即(4−x ，2−y )=(2，−2)，∴4222x y -=⎧⎨-=-⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，故点D 的坐标为(2，4)．调研7 已知向量()3cos 2α=-，a 与向量()34sin α=-，b 平行，则锐角α等于A ．5π12 B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】∵向量()3c o s 2α=-，a 与向量()34s i n α=-，b 平行，∴()()3cos 4sin 23αα-⨯-=⨯，∴12sin cos 6sin26ααα==，∴sin21α=．又α为锐角，∴02πα<<，∴π22α=，∴π4α=． 故选C ．【名师点睛】根据向量的共线及倍角公式得到sin21α=，然后根据α的范围得到所求的角的大小．解答本题的关键有两个：一是根据向量共线的充要条件得到关于角α的三角函数关系式；二是在已知三角函数值求角时，要注意讨论角的范围，这是解题中容易出现错误的地方． 调研8 设OA =(1，−2)，OB =(a ，−1)，OC =(−b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值是A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D解法二：k AB =－1＋2a －1，k AC =2－b －1，∵A ，B ，C 三点共线，所以k AB =k AC ，即－1＋2a －1=2－b －1，∴2a ＋b =1，所以1a ＋2b =2a ＋b a ＋4a ＋2b b =4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b =8(当且仅当b a =4ab，即11,42a b ==时，取“=”号)，∴1a ＋2b 的最小值是8.故选D ．☆技巧点拨☆平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题，且常见题型及求解策略如下：1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则∥a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB 与AC 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.考点3 平面向量的数量积及向量的应用题组一 平面向量数量积的运算调研1 设x ∈R ，向量a =(1，x )，b =(2，−4)，且a ∥b ，则a ·b = A ．−6 B ．10 C ． 5 D ．10【答案】D【解析】∵a =(1，x )，b =(2，−4)，且a ∥b ，∴−4−2x =0，x =−2，∴a =(1，−2)，a ·b =10，故选D ．调研2 在直角ABC △中，π2C ∠=，4AB =，2AC =，若32A D AB =，则CD CB ⋅=A ．18-B ．-C ．18D ．【答案】C【解析】在直角ABC △中，π2C ∠=，4AB =，2AC =，1cos 2AC CAB AB ∠==，若32AD AB =，则2C D C B A⋅=-⋅（）（） 223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+3511642418222=⨯-⨯⨯⨯+=．故选C.【名师点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．在直角ABC △中，求得1cos 2AC CAB AB ∠==，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．☆技巧点拨☆平面向量数量积的类型及求法：1．平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.2．求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.【注】（1）在平面向量数量积的运算中，不能从a ·b =0推出a =0或b =0成立．实际上由a ·b =0可推出以下四种结论：①a =0，b =0；②a =0，b ≠0；③a ≠0，b =0；④a ≠0，b ≠0，a ⊥b ． （2）实数运算满足消去律：若bc =ca ，c ≠0，则有b =a ．在向量数量积的运算中，若a ·b =a ·c (a ≠0)，则不一定有b =c ．（3）实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．题组二 平面向量数量积的应用调研3 已知非零向量()(,0,t ==-a b ，若4⋅=-a b ，则2+a b 与b 的夹角为A ．π3 B ．π2 C ．π6D ．2π3【答案】A【解析】∵4t ⋅=-=-a b ，∴t =4，∴()4,0=a ，又(=-b ，∴(22,+=a b . 设2+a b 与b 的夹角为θ，则(2)261cos 2242θ+⋅-+===+⋅⨯a b b a b b ，∴π=3θ.故答案为A ．【名师点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式的应用，属于中档题.根据条件容易求出t =4，从而得出()4,0=a ，从而得出(22,+=a b ，可设2+a b 与b 的夹角为θ，这样根据(2)cos 2θ+⋅=+⋅a b ba b b即可求出cos θ，进而得出θ的值．调研4 设向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的取值范围为A ．(22)-，B ．()0,+∞C ．()()0,22+∞，D ．[22]-，【答案】C【解析】由向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，因为向量a 与b 的夹角为锐角，则()()140x x ⨯+-⨯->且41x x-≠-，解得0x >且2x ≠，即x 的取值范围为()()0,22+∞，. 故选C.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记平面向量的坐标运算法则和平面向量的共线定理，列出相应的关系式是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.由题意，根据向量a 与b 的夹角为锐角，可得()()140x x ⨯+-⨯->且41x x-≠-，即可求解.☆技巧点拨☆平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【注】在求ABC △的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边三角形ABC 中，AB 与BC 的夹角应为120°而不是60°.题组三 平面向量的模及其应用调研5 已知向量()2,1,10,=⋅=+=a a b a b ，则=bA B C ．2D ．5【答案】D【解析】∵|a +b ，∴222+⋅+a a b b =50， ∵2a =5，∴5+20+2b =50，解得2b =25，∴|b |=5． 故选D ．【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．对|a +b 两边平方即可得出2b ，进而得出|b |．调研6 设e 1，e 2为单位向量，它们的夹角为π3，a =x e 1＋y e 2，b =x e 1−y e 2(x ，y ∈R )，若|a |=3，则|b |的最小值为________． 【答案】1【解析】∵单位向量e 1，e 2的夹角为π3，∴e 1·e 2=12，由|a |=3，得(x e 1＋y e 2)2=3，即x 2＋y 2＋xy =3，①则|b |2=(x e 1−y e 2)2=x 2＋y 2−xy ，② ①＋②得x 2＋y 2=|b |2＋32，①−②得xy =3－|b |22.又x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x =y 时“=”成立，∴|b |2＋32≥2·3－|b |22，解得|b |2≥1，因此，|b |的最小值为1.☆技巧点拨☆利用平面向量数量积求模及范围、求参数的取值或范围问题是高考考查数量积的一个重要考向，常以选择题、填空题的形式呈现，具有一定的综合性，且平面向量的模及其应用的常见类型与解题策略如下：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式||=a ，或坐标公式||=a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．(3)由向量的模求夹角．此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.题组四 平面向量的应用调研7 已知D 是ABC △所在平面内一点，且满足()()0BC CA BD AD -⋅-=，则ABC △是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】设,,BC a AC b AB c ===，则由()()()0BC CA BD AD BC CA BA -⋅-=-⋅=，得BC BA CA BA ⋅=⋅，所以ac cos B =bc cos A ，即a cos B =b cos A ，利用余弦定理化简得a 2=b 2，即a =b ，所以ABC △是等腰三角形．（此题也可用正弦定理化简a cos B =b cos A 得sin()0A B -=，即A B =可得）调研8 已知正三角形ABC 的边长为G ，P 是线段AC 上一点，则GP AP ⋅的最小值为A ．14- B ．－2 C ．34-D ．－1【答案】C【解析】如图，过点G 作GD AC ⊥，垂足为D ， 当点P 位于线段AD 上时，0GP AP ⋅<； 当点P 位于线段DC 上时，0GP AP ⋅>，故当G PA ⋅取得最小值时，点P 在线段AD 上，所以()··3G P A P A PD P A P A P ⋅=-=--，当3AP =时，取得最小值34-，故选C ．【名师点睛】求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，本题主要是通过向量的数量积运算得到关于某线段长的二次函数，确定其定义域求最值即可.过点G 作GD AC ⊥，垂足为D ，分析可知当G PA P ⋅取得最小值时，点P 在线段AD 上，从而得()||3GP AP AP AP ⋅=-⋅-，利用二次函数的性质可得最值.调研9 已知向量a =⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b =⎝⎛⎭⎫－sin x 2，－cos x 2，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.令函数f (x )=a ·b ，若c >f (x )恒成立，则实数c 的取值范围为 A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(−1，＋∞) D ．(2，＋∞)【答案】A【解析】因为f (x )=a ·b =−cos 3x 2sin x 2−sin 3x 2cos x2=−sin2x ，又π≤2x ≤2π，所以−1≤sin2x ≤0，所以f (x )max =1.又c >f (x )恒成立，所以c >f (x )max ，即c >1.所以实数c 的取值范围为(1，＋∞)．故选A ．☆技巧点拨☆1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． 3．向量的两个作用：(1)载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；(2)工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．4．向量中有关最值问题的求解思路：一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题； 二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题． 【注】常见的向量表示形式：(1)重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0或1()3PG PA PB PC ++=(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA GB GC ++=0，则点G 是ABC △的重心． (2)垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅.反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅=HC HA ⋅，则点H 是ABC △的垂心．(3)内心．若点I 是ABC △的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0.反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅||IB AB IC +⋅=0，则点I 是ABC △的内心．(4)外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=或||||||OA OB OC ==.反之，若||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC △的外心.1．（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考数学试题）已知P (6，8)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转3π2后得向量OQ ，则点Q 的坐标是 A ．(8,−6) B ．(−8, −6) C ．(−6, 8)D ．(−6, −8)2．（山东省师大附中2019届高三上学期第二次模拟考试数学试题）设,a b 是非零向量，则2=a b 是=a ba b成立的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．（广东省珠海市2019届高三9月摸底考试数学试题）如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD -D ．1324AB AD -4．（山东省青岛市2019届高三9月期初调研检测数学试题）已知向量()()1,1,3,,m =-=a b (),=m +若∥则a a bA ．2-B ．2C ．2-D ．−35．（甘肃省师大附中2018−2019学年上学期高三期中模拟数学试卷）已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 与向量b 的夹角为A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．2π36．（吉林省吉林市2019届高三上学期第一次调研测试）已知等边ABC △的边长为2，则23AB BC CA ++=A ．B ．C ．D ．127．（湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第二次质检数学试题）已知P 是ABC △所在平面内一点，2PB PC PA ++=0，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是A ．23 B ．12C ．13D ．148．（四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试数学试题）在四边形ABCD 中，已知M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=，若点N 在线段CD (端点,C D 除外)上运动，则NA NB ⋅的取值范围是 A ．[)1,0-B ．[)1,1- C ．3,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭9．（广西百色市高三年级2019届摸底调研考试数学试卷）已知4=a ，2⋅=-a b ，则向量b 在a 的方向上的投影为_______.10．（2018-2019学年第一学期安徽省高三第二次联考数学（文科）试题）若向量()23AB =，，()4BC m =-，，且A ，B ，C 三点共线，则AB BC ⋅=_______.11．（福建省泉州市永春二中、永春五中联考2019届高三上学期期中数学试题）已知向量2=a ，1=b ，a ，b 的夹角为60，如果()λ⊥+a a b ，则λ=______．12．（江苏省扬州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题）在△ABC 中，AH 是边BC 上的高，点G 是△ABC 的重心，若△ABC 的面积为1，AC ＝，tan C ＝2，则()()AH BC GB GC +⋅+＝_______．13．（盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题）如图，给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它的夹角为120，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC xOA yOB =+，其中x y ∈R ，，求x y +的最大值.14．（湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第二次质检数学试题）在锐角ABC △中，已知2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅． （1）求tan tan tan tan C CA B+的值； （2）求cos C 的取值范围．15．（安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学试题）在ABC △中，三内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知向量()2s i n cos 2x x =，m ，)1x =，n ，函数()f x =⋅m n 且()1f B =.（1）求角B 的值；（2）若23BA BC +=a b c ，，成等差数列，求b .1．（2018年高考新课标Ⅰ卷理科）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +2．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．03．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =A ．−8B ．−6C ．6D ．84．（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．25．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-6．（2016新课标全国Ⅲ理科）已知向量1(2BA =uu r ，1),2BC =uu u r 则ABC ∠= A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°7．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．8．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b|=___________．9．（2016新课标全国Ⅰ理科）设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=___________．。
高考数学一轮复习效果监测 平面向量的数量积及平面向量的应用.pdf
平面向量的数量积及平面向量的应用 【选题明细表】 知识点、方法题号数量积的运算1、4、9长度及垂直问题1、2、3、5夹角问题7、10平面向量的应用6、8、11、12一、选择题 1.(2012年高考重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B ) (A)(B)(C)2(D)10 解析:∵a⊥b,∴x-2=0, ∴x=2. ∴|a+b|====.故选B. 2.(2013乐山市第一次调研)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为( C ) (A)2(B)1(C)-1(D)-2 解析:由=(2,3),因为⊥a, 所以2(2k-1)+2×3=0, 得k=-1,故选C. 3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B ) (A)a∥b (B)a⊥b (C)|a|=|b|(D)a+b=a-b 解析:法一 代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2, ∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b, 故选B. 法二 几何法:如图所示, 在?ABCD中,设=a,=b, ∴=a+b,=a-b, ∵|a+b|=|a-b|, ∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形, ∴a⊥b,故选B. 4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( A ) (A)-4(B)4(C)-2(D)2 解析:cos===-, 向量a在向量b方向上的投影为 |a|cos=6×(-)=-4, 故选A. 5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于( A ) (A)2(B)4(C)2(D)6 解析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2,故选A. 6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为( B ) (A)4,0(B)4,0 (C)16,0(D)4,4 解析:|2a-b|=|(2cos θ-,2sin θ-1)|==, 所以最大值和最小值分别为4,0. 故选B. 二、填空题 7.单位圆上三点A,B,C满足++=0,则向量,的夹角为 .? 解析:∵A,B,C为单位圆上三点 , ∴||=||=||=1,又++=0, ∴-=+, ∴=(+)2=++2·, 可得cos=-, ∴向量,的夹角为120°. 答案:120° 8.(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为 .? 解析:如图建立平面直角坐标系, 设C(0,b),则B(1,b), 又A(2,0),设P(0,y), 则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y), ∴|+3|2=25+(3b-4y)2, ∴当3b-4y=0,即y=b时, |+3|2的最小值为25. ∴|+3|的最小值为5. 答案:5 9.(2012德州一模)已知a=(m,n),b=(p,q),定义a?b=mn-pq,下列等式中, ①a?a=0;②a?b=b?a;③(a+b)?a=a?a+b?a; ④(a?b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2), 一定成立的是 .(填上所有正确等式的序号)? 解析:由a?b的定义可知,①a?a=mn-mn=0,故①正确,②a?b=mn-pq,b?a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)?a=(m+p)(n+q)-mn,而a?a+b?a=pq-mn,故③错误,④(a?b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,所以(a?b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确. 答案:①④ 三、解答题 10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标; (2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ. 解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2,可得: ∴或 ∴c=(2,4)或c=(-2,- 4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), ∴(a+2b)·(2a-b)=0, 即2a2+3a·b-2b2=0, ∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0, ∴2×5+3a·b-2×=0, ∴a·b=-, ∴cos θ==-1, ∵θ∈[0,π],∴θ=π. 即a与b的夹角大小为π. 11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·=·=k(k∈R). (1)判断△ABC的形状; (2)若k=2,求b的值. 解:(1)∵·=cbcos A,·=bacos C, ∴bccos A=abcos C, 根据正弦定理,得sin Ccos A=sin Acos C, 即sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0, ∴A=C,即a=c. 则△ABC为等腰三角形. (2)由(1)知a=c, 由余弦定理,得 ·=bccos A=bc·=. ·=k=2, 即=2,解得b=2. 12.(2012山东省威海市高三第一次模拟)已知向量m=(2cos x,cos x-sin x),n=,且满足f(x)=m·n. (1)求函数y=f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且·=,求边BC的最小值. 解:(1)f(x)=2cos x（sin x+cos x）+sin x·cos x-sin2 x=2sin x·cos x+cos2 x-sin2 x=sin 2x+cos 2x=2sin, 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 故所求单调递增区间为(k∈Z). (2)由f(A)=2sin=2,0。
专题29 平面向量的综合应用()-2019高考数学(理)名师揭秘之一轮
2019年8月10日
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3
【基础检测】
1.已知向量 a＝(1，sin θ )，b＝(1，cos θ )，则
a－b的最大值为( B )
A.1
B. 2
C. 3
D.2
【解析】∵a＝(1，sin θ)，b＝(1s θ)，
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一、向量背景下的三角函数问题
例1(1)已知函数 fx＝Asinπ x＋φ的部分图象如 图所示，点 B，C 是该图象与 x 轴的交点，过点 C 的 直线与该图象交于 D，E 两点，则B→D＋B→E·B→E－C→E 的值为( D )
有不等实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b＞0，即 a·b＜12|a|2， ∵cosθ＝|aa|·|bb|，|a|＝ 3|b|，∴cos θ＜|12a||a|b|2|＝ 23，
∴π6 ＜θ≤π.故选 D.
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(2)①∵a＝12， 23，b＝( 3，－1)， ∴a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，
第四章 三角函数、平面向量与复数
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第29讲 平面向量的综合应用
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【学习目标】
1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些 实际问题．
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推荐2019专题27平面向量的应用(检测)-2019年高考数学(文)名师揭秘之一轮总复习
《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（文科）专题27平面向量的应用本专题特别注意：1.平面向量的几何意义应用2. 平面向量与三角形的心3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。
【学习目标】1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【方法总结】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积a·b＝0，尽量用坐标运算.【高考模拟】：一、单选题1．在直角梯形中，，同一平面内的两个动点满足，则的取值范围为（ ）A.B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由题意，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是的中点，取的中点，连接，利用三点共线时取得最值，即可求解.当点在之间时，取最大值，， 从而的的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查了平面向量的运算，以及圆的最值问题，其中把，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，转化为圆的应用问题求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及分析问题、解答问题的能力.2．在ABC ∆中， BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（ ）A. 1B. 2C. -2D. -1。
2019版高考数学文创新大一轮人教A版文档：第五章 平面
第3节 平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos_θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos_θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).[常用结论与微点提醒]1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去同一个向量.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(2018·云南11校跨区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A.13＋6 2 B.2 5 C.30D.34解析 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，选D. 答案 D3.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 74.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案 －25.(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 解析 cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2 ＝12，解之得λ＝33.答案 33考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】 (1)(2018·河南天一联考测试)如图，在△ABC 中，AB＝3，AC ＝5，∠BAC ＝60°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接CD ，BE 交于点F ，连接AF ，取CF 的中点G ，连接BG ，则AF →·BG →＝________.(2)(2018·莆田三月检测)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，△ABD 的面积为1，若DE →＝12EC →，BE ⊥CD ，则DA →·DC →＝________. 解析 (1)依题意，F 是△ABC 的重心， AF →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)， BG →＝12(BF →＋BC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13BA →＋43BC →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫43AC →－53AB →＝23AC →－56AB →， 故AF →·BG →＝13(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－56AB →＝9536.(2)如图，以B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设|AD |＝a (a >0)，则|BC |＝2a ，又S △ABD ＝1， ∴|AB |＝2a ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，B (0，0)，C (2a ，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a .设E (x ，y )，则DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ，y －2a ，EC→＝(2a －x ，－y )，∵DE →＝12EC →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ，y －2a ＝12(2a －x ，－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －x 2，－y 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝a －x 2，y －2a ＝－y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43a ，y ＝43a ，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫43a ，43a ，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a ，43a ，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，2a ，∵BE ⊥CD ，∴BE →·CD →＝0，∴43a ·(－a )＋43a ·2a＝0，解得a 2＝2，∴DA →·DC →＝(－a ，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－2a ＝－a 2＝－ 2. 答案 (1)9536 (2)－ 2规律方法 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 (1)(2018·武汉三调)在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD ＝3，则AN →·MN →＝( ) A.－7B.0C.7D.7(2)(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.解析 (1)以AB →，AD →为基底，AN →＝AD →＋34AB →，MN →＝CN →－CM →＝14CD →－13CB →＝－14AB→＋13AD →，AN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋34AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14AB →＋13AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →2－916AB →2＝13(9－9)＝0. (2)AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ3×3＋2λ3×4－13×9－23×3＝－4⇒λ＝311.答案 (1)B (2)311考点二 平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.(2)(2018·洛阳一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( ) A.－7B.－3C.2D.3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ， 即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.答案 (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3规律方法 1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【训练2】 (1)(2018·广东省际名校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |＝2，且(a ＋3b )⊥(a －b )，则a ，b 夹角的余弦值为________.(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.解析 (1)∵|a |＝2|b |＝2，且(a ＋3b )⊥(a －b )， ∴(a ＋3b )·(a －b )＝0，即a 2＋2a ·b －3b 2＝0， 故有a ·b ＝－12，则cos 〈a ，b 〉＝－14.(2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案 (1)－14 (2)－2考点三 平面向量的模及其应用【例3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(2)(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.解析 (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3. (2)建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494. 答案 (1)23 (2)494规律方法 1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【训练3】 (1)(2018·湖北七市联合调考)平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a |＝|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.解析 (1)由|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝9＋2×2×2cos 120°＋2×2×1×cos 120°＋2×2×1×cos 120°＝9－4－2－2＝1，则|a ＋b ＋c |＝1. (2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 答案 (1)1 (2)5基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A.a ⊥bB.|a |＝|b |C.a ∥bD.|a |>|b |解析 由|a ＋b |＝|a －b |平方得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2，即a·b ＝0，则a ⊥b . 答案 A2.(2018·合肥质检)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，a ·b ＝1，则|a －b |＝( ) A.2B.2 3C.3D.2 5解析 由|a ＋b |＝4，a ·b ＝1可得，a 2＋b 2＝16－2＝14，∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝14－2×1＝12，∴|a －b |＝2 3. 答案 B3.(2018·华中师大高考联盟质检)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，m )，c ＝(2，4)，且(2a －5b )⊥c ，则实数m ＝( ) A.－310B.－110C.110D.310解析 因为2a －5b ＝2(2，1)－5(1，m )＝(－1，2－5m )，又(2a －5b )⊥c ，所以(2a －5b )·c ＝0，则(－1，2－5m )·(2，4)＝－2＋4(2－5m )＝0，解得m ＝310. 答案 D4.(2018·西安八校联考)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量CD →在AB →方向上的投影是( ) A.322B.－322C.3 5D.－3 5解析 依题意得，AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|AB →|＝5，因此向量CD →在AB →方向上的投影是AB →·CD →|AB →|＝155＝3 5.答案 C5.(2018·大连测试)若向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与a ＋2b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 ∵向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝2×1×cos π3＝1，|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2 ＝22＋4×1＋4×12＝23，∴cos 〈a ，a ＋2b 〉＝a ·（a ＋2b ）|a ||a ＋2b |＝a 2＋2a ·b |a ||a ＋2b |＝22＋2×12×23＝32，∵〈a ，a ＋2b 〉∈[0，π]，∴〈a ，a ＋2b 〉＝π6. 答案 A 二、填空题6.(2018·河南百校联盟联考)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，－1)，则|a ＋b |（2a ＋b ）·（a －b ）＝________.解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(3，－1)，∴a ＋b ＝(5，0)，2a ＋b ＝(7，1)，a －b ＝(－1，2)，∴|a ＋b |＝5，(2a ＋b )·(a －b )＝－5，∴|a ＋b |（2a ＋b ）·（a －b ）＝－1.答案 －17.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________. 解析 由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3，1)， AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，1－m ).若AB →∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12. 由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m ). ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34.由题意知，当m ＝12时，AB →∥AC →，且AB →与AC →同向. 故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8.(2017·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.解析 设P (cos α，sin α)，∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1时取等号. 答案 6 三、解答题9.(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2， 即△ABC 的面积的最大值为32＋32.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·江西新高考联盟质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，c 2，n ＝(cos C ，cos A )，且m ·n ＝b cos B ，则B 的值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3解析 ∵m ·n ＝a 2cos C ＋c 2cos A ，且m ·n ＝b cos B . ∴a 2cos C ＋c 2cos A ＝b cos B ，即a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B .∵0<B <π，sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.答案 B12.(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ).令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.答案 4 2 513.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2).(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8).(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k .∵k >4，∴0<4k <1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k .由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)，∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.。
专题27 平面向量的应用(检测)-2019年高考数学(文)名师揭秘之一轮总复习
《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（文科）专题27平面向量的应用本专题特别注意：1.平面向量的几何意义应用2. 平面向量与三角形的心3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。
【学习目标】1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【方法总结】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积a·b＝0，尽量用坐标运算.【高考模拟】：一、单选题1．在直角梯形中，，同一平面内的两个动点满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是的中点，取的中点，连接，利用三点共线时取得最值，即可求解.当点在之间时，取最大值，，从而的的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查了平面向量的运算，以及圆的最值问题，其中把，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，转化为圆的应用问题求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及分析问题、解答问题的能力.2．在中，边上的中线的长为2，点是所在平面上的任意一点，则的最小值为（）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则．。
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《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（文科）
专题27平面向量的应用
本专题特别注意：
1.平面向量的几何意义应用
2. 平面向量与三角形的心
3. 向量垂直的应用
4.向量的数量积问题等综合问题
5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题
6.向量数量积在解析几何中应用
7.向量数量积在三角形中的应用。
【学习目标】
1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【方法总结】
1.用向量解决平面几何问题的步骤
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.
3.几点注意事项
(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.
(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.
(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积a·b＝0，尽量用坐标运算.
【高考模拟】：
一、单选题
1．在直角梯形中，，同一平面内的两个动点满足，则
的取值范围为（ ）
A.
B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由题意，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是的中点，取的中点，连接，利用三点共线时取得最值，即可求解.
当点在之间时，取最大值，， 从而的的取值范围是，故选B.
点睛：本题主要考查了平面向量的运算，以及圆的最值问题，其中把，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，转化为圆的应用问题求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及分析问题、解答问题的能力.
2．在ABC ∆中， BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（ ）
A. 1
B. 2
C. -2
D. -1
【答案】C。