3二次函数应用.习题集(2013-2014)-教师版

考点一：二次函数与商品最大利润☞考点说明：典型的二次函数实际应用问题，最终转化为求二次函数的最大值【例1】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价x （元）满足一次函数关系1623m x =-（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y （元）与每件销售价x （元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围（2）试问当x 取何值时，该商场销售这种商品可获得最大利润？【答案】（1）(30)(1623)(30)y m x x x =-=--，则232524860y x x =-+-(3054)x ≤≤（2）当42x =时，y 取得最大值；最大值为432元．【例2】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果． （3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大。

批发量（kg ）批发单价（元）O 602045764080零售价（元）最高日销量（kg ）O【解析】（1）图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（）（＞），函数图象如图所示．由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．（3）解法一：设当日零售价为x 元，销售量为p ，由图可得日最高销量p 32040x =- 当p ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040x)40[(6)4]y x x =--=--+ 当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元． 解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）中考满分必做题则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -=销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+ 当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6 即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．【答案】（1）图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．（2） 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（）（＞），由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．（3）即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．【例3】某公司生产一种产品，每件成本为2元，售价为3元，年销售量为100万件．为获 取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告．通过市场调查发现：每年投入的广告费用为x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍；同时y 又是x 的二次函数，相互关系如下表：x 0 1 2 …… y 11.5 1.6 …… 求y 与x 的函数关系式； （2） 如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3） 如果一年投入的广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内时，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【解析】（1） 设所求的二次函数关系式为2y ax bx c =++．则有1329425c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩ 解得110a =-，35b =，1c =．∴2131105y x x =-++（0x ≥）．（2） 依题意，得()21032510S y x x x =⨯--=-++（0x ≥）．（3） 由2256551024S x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭又13x ≤≤，∴当1 2.5x ≤≤时，S 随着x 增大而增大．即当广告费在10万元～25万元时，公司获得的年利润随着广告费的增大而增大．【答案】（1）2131105y x x =-++（0x ≥）．（2）2510S x x =-++（0x ≥）．（3）当广告费在10万元～25万元时，公司获得的年利润随着广告费的增大而增大．【例4】甲、乙两个蔬菜基地，分别向A 、B 、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A 提供45t ，向B 提供75t ，向C 提供40t ．甲基地可安排60t ，乙基地可安排100t ．甲、乙与A 、B 、C 的距离千米数如表所示，设运费为1元/（km t ⋅）．问如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值．A BC 甲10 5 6 乙 48 15 【解析】设乙基地向A 提供xt ，向B 提供yt ，向C 提供()100x y t -+⎡⎤⎣⎦，则甲基地向A 提供()45x t -，向B提供()75y t -，向C 提供()()4010060x y t x y t ---=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．依题意，总运费为()()()()10455756604815100W x y x y x y x y =-+-++-+++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1965323x y x =-++⎡⎤⎣⎦． 因为0x y +≤≤100，045x ≤≤，当且仅当100x y +=，45x =时，W 有最小值，则 ()min 19653200135960W =-+=元．【答案】乙基地向A 提供45t ，向B 提供55t ，甲基地向B 提供20t ，向C 提供40t ．【例5】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【解析】 （1）根据题意，得(24002000)8450x y x ⎛⎫=--+⨯⎪⎝⎭，即2224320025y x x =-++． （2)由题意，得22243200480025x x -++=． 整理，得2300200000x x -+=． 解这个方程，得12100200x x ==，． 要使百姓得到实惠，取200x =．所以，每台冰箱应降价200元．（3）对于2224320025y x x =-++，当241502225x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，150(24002000150)8425020500050y ⎛⎫=--+⨯=⨯= ⎪⎝⎭最大值．所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．【答案】（1）2224320025y x x =-++；（2）每台冰箱应降价200元．（3）每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．考点二：二次函数与喷泉问题☞考点说明：典型的二次函数实际应用问题，最终转化为求二次函数的解析式以及点坐标的问题【例6】如图所示，为一自动喷灌设备，设水管OB 高出地面1.5米，在B 处有一个自动旋转的喷头，一瞬间，喷头的水流呈抛物线状，喷头B 与水流最高点C 的连线与水平地面成45︒角，水流的最高点C 比喷头B 高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点离A 点的距离是多少米？【答案】抛物线的解析式为212 1.52y x x =-++，则(270)D +，，(20)A ，，则7AD =BCD AOy x【例7】李明在进行投篮训练，他从距地面高1.55米处的O 点向篮圈中心A 点投出一球，球的飞行路线为抛物线，当球达到距地面最高点3.55米时，球移动的水平距离为2米．以O 点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA 与水平方向OB 的夹角为30°，A 、B 两点相距1.5米． （1）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；（2）判断李明这一投能否把球从O 点直接投入篮圈A 点（排除篮板球），如果能，请说明理由；如果不能，那么李明应向前或向后移动多少米，才能投入篮圈A 点？（结果保留根号）【答案】（1）∵顶点M 的纵坐标为3.55－1.55＝2，∴M （2，2）设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋2把点O （0，0）坐标代入得：0＝a (0－2)2＋2，解得a ＝－ 12∴抛物线的解析式为y ＝－ 1 2 (x －2)2＋2，即y ＝－ 12 x 2＋2x （2）在Rt AOB △中，∵30AOB ∠=︒， 1.5AB =∴tan60OB AB =⋅︒＝31.5332⨯=，∴A 33 1.52⎛⎫⎪⎝⎭， ∵2122y x x =-+，当332x =时， 1.5y ≠ ∴李明这一投不能把球从O 点直接投入篮圈A 点把 1.5y =代入()21222y x =--+，得()211.5222x =--+解得11x =（舍去），23x =，又∵3332> ∴李明应向后退3332⎛⎫-⎪⎝⎭米，才能投入篮圈A 点 OxyAB考点三、拱形图问题【例8】某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m ，抛物线拱高为5.6m ． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式． （2）现需在抛物线AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB 上，每扇窗户宽1.5m ，高1.6m ，相邻窗户之间的间距均为0.8m ，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m ．请计算最多可安装几扇这样的窗户？【解析】（1）设抛物线的表达式为2y ax = 点(6 5.6)B -，在抛物线的图象上．∴ 5.636a -=，745a =-∴抛物线的表达式为2745y x =- （2）设窗户上边所在直线交抛物线于C 、D 两点，D 点坐标为（k ，t ）已知窗户高1.6m ，∴ 5.6( 1.6)4t =---=-27445k --=125.07 5.07k k -≈，≈（舍去） ∴ 5.07210.14CD =⨯≈（m ） 又设最多可安装n 扇窗户 ∴1.50.8(1)10.14n n ++≤4.06n ≤．答：最多可安装4扇窗户．（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）【答案】最多可安装4扇窗户．【例9】如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米. 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系. （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD - DC- CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？【解析】 （1）M （12，0），P （6，6）.（2）设抛物线解析式为：2(6)6y a x =-+.∵抛物线2(6)6y a x =-+经过点（0，0），∴20(06)6a =-+，即16a =-∴抛物线解析式为：2211(6)6,266y x y x x =--+=-+即 .（3）设A （m ，0），则B （12-m ，0），21(12,2)6C m m m --+，21(,2)6D m m m -+.∴“支撑架”总长AD+DC+CB =2211(2)(122)(2)66m m m m m -++-+-+=2211212(3)1533m m m -++=--+. ∵ 此二次函数的图象开口向下.∴ 当m = 3米时，AD+DC+CB 有最大值为15米.【答案】（1）M （12，0），P （6，6）；（2）2126y x x =-+；（3）15【例10】王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线、满足抛物线21855y x x =-+，其中y (m)是球的飞行高度，x (m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ．（1） 请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． ⑵ 请求出球飞行的最大水平距离．⑶ 若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．(m)(m)球洞y x O【解析】（1） 21855y x x =-+2116(4)55x =--+∴抛物线21855y x x =-+开口向下，顶点为1645⎛⎫ ⎪⎝⎭，，对称轴为4x =.（2） 令0y =，得：218055x x -+=，解得：10x =，28x =，∴球飞行的最大水平距离是8m ．（3） 要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m∴抛物线的对称轴为5x =，顶点为1655⎛⎫ ⎪⎝⎭，设此时对应的抛物线解析式为216(5)5y a x =-+，又∵点(00)，在此抛物线上，∴162505a +=， 16125a =-． 【答案】（1）抛物线21855y x x =-+开口向下，顶点为1645⎛⎫ ⎪⎝⎭，，对称轴为4x =.（2）球飞行的最大水平距离是8m （3）216(5)5y a x =-+【例11】一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系 （1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？xyOCBA P【解析】（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，， 设抛物线的方程为2y ax bx c =++将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程．解得抛物线方程为21224y x x =-++（2）令4y =，则有212244x x -++=解得12422422x x =+=-， 21422x x -=> ∴货车可以通过．（3）由（2）可知2112222x x -=> ∴货车可以通过．【答案】（1）21224y x x =-++；（2）货车可以通过；（3）货车可以通过考点四、面积问题【例12】正方形边长为3，若边长增加x ，则面积增加y ．求y 与x 之间的函数关系式．【解析】由题意知：()2233y x =+-，化简得：26y x x =+． 【答案】26y x x =+ 【例13】进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A. 2(1)y a x =-B. 2(1y a x =- 2C . (1)ya x =- 2D. (1)y a x =- 【答案】D【例14】有一边长为5米的正方形场地，现在要在里面建一矩形游泳池，如图所示，要求一边距场地边缘为x 米，一边为2x 米，求矩形的面积y 与x 的关系表达式．2xx【解析】根据题意知：矩形的边长分别为：(5)x -米，(52)x -米．所以矩形的面积为：(5)(52)y x x =--；去括号，整理得：221525y x x =-+(0 2.5)x <<．【答案】221525y x x =-+(0 2.5)x <<【例15】张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2bx a=-时）【解析】由题意得()322S AB BC x x =⋅=-∴2232S x x =-+ 由20a =-<∴()328222b x a =-=-=⨯-241284ac b S a-==最大值∴8x =时，S 有最大值是128【答案】（1）223S x x =-+；（2）【例16】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成 ．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．（1）若平行于墙的一边的长为y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x 的取值范围．【解析】()302615y x x =-剟 （2）设矩形苗圃园的面积为S则()230223S xy x x x x ==-=-+∴()227.5112.5S x =--+ 由（1）知，615x <…∴当7.5x =时，S 最大值=112.5即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 （3）611x 剟墙 18米 苗圃园【例17】某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设AB 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，当x 为何值时，S 取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值； （2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆．其圆心分别为1O 和2O ，且1O 到AB 、BC 、AD 的距离与2O 到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（1）中S 取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．【解析】（1）∵AB x =，∴1202BC x =-∴()212022120S x x x x =-=-+∴当()1203022x ==⨯-（米）时， S 最大值()2120180042-==⨯-（平方米）（2）由（1），当S 取得最大值时，有3060AB BC ==，设1O 的半径为r 米，圆心1O 到AB 的距离为y 米根据题意，得：2302260y y r =⎧⎨+=⎩ 解得：1515y r =⎧⎨=⎩ ∵00.5y r -=< ∴这个设计不可行【例18】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，1BC =米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．EMN △是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时EMN △的面积；（2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将EMN △的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （3）请你探究EMN △的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．E BACDNM G围墙ADBCO 1O 2围墙ADBCO 1O 2ry【解析】（1）由题意，当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，MN 应位于DC 下方，且此时△EMN 中 MN 边上的高为0.5米.所以，S △EMN =120.52⨯⨯=0.5（平方米）.即△EMN 的面积为0.5平方米.（2）①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动，即0＜x ≤1时，△EMN 的面积S =122x ⨯⨯=x ；②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，即1＜x ＜13+时， 如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点，∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ,且FG ＝3. 又∵ MN ∥CD ，∴ △MNG ∽△DCG ．∴ MN GHDC GF =，即2[31]3x MN +-= 故△EMN 的面积S ＝12[31]23x x +-⨯⨯＝233(1)33x x -++；综合可得：()()20133111333x x S x x x ≤⎧⎪=⎛⎫⎨-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，＜．＜＜ （3）①当MN 在矩形区域滑动时，S x =，所以有01S <≤②当MN 在三角形区域滑动时，S =233(1)33x x -++.因而，当1322b x a +=-=（米）时， S 得到最大值，最大值S =244ac b a -=2313343-+⨯-（）（）=1323+（平方米）.∵ 13123+>，∴ S 有最大值，最大值为1323+平方米.【答案】（1）0.5；（2）()()20133111333x x S x x x ≤⎧⎪=⎛⎫⎨-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，＜．＜＜；（3）S 有最大值，最大值为1323+平方米. 【例19】如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，413CE CF ==，,直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设HM x =，矩形AMHN 的面积为y（1） 求y 与x 之间的函数关系式；（2） 当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？N MH GFEDC BA【解析】（1） ∵正方形ABCD 的边长为4，413CE CF ==，， ∴3BE =又AG CF FEC GEB ∥，△∽△，4CF CEBG BG BE==， 又HM BE ∥∴HMG EBG △∽△，MG HMBG BE= ∴44833MG x AM x ==-，∴()244880433y x x x x x ⎛⎫=-=-+<≤ ⎪⎝⎭（2） ∵()2244831233y x x x =-+=--+∴当3x =时，矩形面积最大，最大面积为12【答案】（1）()248043y x x x =-+<≤；（2）当3x =时，矩形面积最大，最大面积为121. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围． 【解析】（1）根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1120k b =-=，，所求一次函数的表达式为120y x =-+．（2）(60)(120)W x x =--+ 21807200x x =-+-2(90)900x =--+抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大， 而6087x ≤≤，∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由500W =，得25001807200x x =-+-，最容易重现的真题整理得，218077000x x -+=，解得，1270110x x ==，．（由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而6087x ≤≤，所以，销售单价x 的范围是7087x ≤≤．【答案】（1）120y x =-+；（2）W 2(90)900x =--+，∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）销售单价x 的范围是7087x ≤≤．2. 某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份 1月 5月 销售量3.9万台4.3万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）．（参考数据：34 5.831≈，35 5.916≈，37 6.083≈，38 6.164≈）【解析】（1）p=0.1x+3.8 月销售金额w=py=-5（x-7）2+10125故7月销售金额最大，最大值是10125万元（2）列方程得 2000（1-m%）[5（1-1.5 m%）+1.5]×3×13%=936 化简得：3m 2-560m+21200=0解得 m 1=28020373+ m 2=28020373-，因为m 1＞1舍去，所以m=52.78≈52.8【答案】（1）7月销售金额最大，最大值是10125万元；（2）m=52.78≈52.8 3. 如图，某小区广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为30m 、20m ，花坛中有一横一纵的两条通道，余下部分种植花卉．横纵通道的宽度均为x m ．（1）求两条通道的总面积S 与x 的函数关系式，不要求写出自变量x 的取值范围； （2）当种植花卉面为5512m 时，求横、纵通道的宽度为多少米？mm2030 【答案】（1）250S x x =-+；（2）因为横纵通道的宽度均为x m ，所以根据题意，列方程得：()()3020551x x --=．解这个方程得：12149x x ==，（不符题意，舍去）． 4. 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB组成，已知河底ED 是水平的，16ED =米，8AE =米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以ED所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h （单位：米）随时间t （单位：时）的变化满足函数关系()()21198040128h t t =--+剟，且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？ xy hOEDCBA（2012年武汉中考试题）【答案】（1）设抛物线的为211y ax =+，由题意得()88B ，， ∴64118a +=，解得364a =-，∴231164y x =-+；（2）水面到顶点C 的距离不大于5米时，即水面与河底ED 的距离h 至多为11﹣5=6米， ∴()216198128t =--+，∴()219256t -=，1916t -=±，解得12353t t ==，，∴35﹣3=32（小时） 5. 某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在（单位：cm ）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm 2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm ） 2030 出厂价（元/张） 50 70 （1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm 的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价）， ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？（2012年河北中考试题）【答案】（1）设一张薄板的边长为x cm ，它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y kx n =+．由表格中的数据，得50207030k n k n =+⎧⎨=+⎩，解得210k n =⎧⎨=⎩，所以210y x =+；（2）①设一张薄板的利润为P 元，它的成本价为2mx ，由题意，得：22210P y mx x mx =-=+- 将4026x P ==，代入2210P x mx =+-中，得2262401040m =⨯+-⨯．解得125m =． 所以2121025P x x =--++．②因为125a=-<，所以，当2225225bxa⎛⎫=-=-÷-=⎪⎝⎭（在5～50之间）时，最大P=244ac ba-=214102251425⎛⎫⨯-⨯-⎪⎝⎭⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=35．即出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元。