【复习必备】(全国I卷)2020届高三数学五省优创名校联考试题 文
2020年五省优创名校高三(全国Ⅰ卷)第四次联考文科数学试题及答案
2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,4,5A =，{}2,3,4,6B =，则()U A B =I ð（ ） A ．{}3,6 B ．{}1,3,6C ．{}2,6D ．{}2,3,4【答案】A【解析】先计算{} 1,3,6U A =ð，再计算()U A B I ð得到答案. 【详解】因为{} 1,3,6U A =ð，所以(){} 3,6U A B =I ð． 故选：A 【点睛】本题考查了集合的运算，意在考查学生的计算能力.2．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力. 3．cos350sin 70sin170sin 20-=o o o o （ ）A ．BC ．12D ．12-【答案】B【解析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=-o o o o ，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos30-=-==o o o o o o o o o ． 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2-B ．3C ．3-D ．2【答案】D【解析】判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.5．高考“33+”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（ ） A ．0.1 B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】B【解析】计算选择物理的学生人数为20，再计算比值得到答案. 【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=． 故选：B 【点睛】本题考查了根据样本估计总体，意在考查学生的应用能力.6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ） A ．6π或56πB ．4πC ．3π D ．6π或3π 【答案】D【解析】根据正弦定理得到4sin cos sin 3sin B B C C =，化简得到答案. 【详解】由4cos sin 3b B C c =，得4sin cos sin 3sin B B C C =，∴3sin 2B =，∴23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 7．函数()()2ln1f x x x=+-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】判断函数为奇函数排除B ，C ，计算特殊值排除D ，得到答案. 【详解】∵()()()()()()222cos ln1ln 1ln 1x f x f x x xx xx x --====-⎡⎤+++--+--⎢⎥⎣⎦，∴()f x 为奇函数，排除B ，C ；又3022f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()22ln 1ln1f πππππ==>+-++，排除D ；故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.8．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 9．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.10．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ）A ．73B C ．7D【答案】D【解析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，②联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=【答案】A【解析】点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+，当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A 【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案. 【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球． 故选：C 【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13．某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为100，n =______. 【答案】300【解析】直接利用分层抽样的比例公式计算得到答案. 【详解】用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为10， 则1004264n =++，解得300n =． 故答案为：300 【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力. 14．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 【答案】()0,3【解析】变换得到212x y =，计算焦点得到答案. 【详解】 抛物线2112y x =的标准方程为212x y =，6p =，所以焦点坐标为()0,3． 故答案为：()0,3 【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.15．已知偶函数()()R f x x ∈，其导函数为()f x '，当0x >时，()()210f x xf x x '++>，()1525f =，则不等式()21f x x >的解集为______. 【答案】()(),55,-∞-+∞U 【解析】令()()1g x xf x x=-，确定()g x 在()0,∞+上单调递增，()()155505g f =-=，解不等式得到答案.【详解】 令()()1g x xf x x =-，当0x >时，()()()210g x f x xf x x''=++>，()g x 在()0,∞+上单调递增．因为()f x 是偶函数，所以()g x 是奇函数． 因为()1525f =，所以()()155505g f =-=． 不等式()21f x x >等价于()0g x x >，所以()0,0x g x >⎧⎨>⎩或()0,0x g x <⎧⎨<⎩，解得5x >或5x <-．故答案为：()(),55,-∞-+∞U 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合运用.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.【答案】【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线123AC=，22MN=，所以其面积1222326 2S=⨯⨯=．故答案为：26【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题17．某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.表1：男生时长[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]人数2816842表2：女生时长[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]人数04121284（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；（2）根据题目条件，完成下面22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）35；（2）填表见解析，没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.【解析】（1）由题可知共有2615C =个基本事件，“运动达人”的可能结果为1142229C C C ⋅+=个，求得概率即可；（2）根据题意列出22⨯列联表，代入公式计算结果，然后判断即可. 【详解】（1）每周运动的时长在[20,25)中的男生有4人，在[25,30]中的男生有2人，则共有2615C =个基本事件，其中[25,30]中至少有1人被抽到的可能结果有1142229C C C ⋅+=个，所以抽到“运动达人”的概率为93155=； （2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人. 可得下列22⨯列联表：2280(26241416)40404238K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯20006 6.635399=<<， 所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关. 【点睛】本题考查随机抽样和独立性检验，考查概率的计算，考查分析和运算能力，属于常考题. 18．已知数列{}n a 满足123123252525253n n n a a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226nT ≤<． 【答案】（1）352n n a +=（2）证明见解析 【解析】（1）123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和证明. 【详解】（1）解：123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当1n =时，14a =． 当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=．（2）证明：()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭12231111n n n T a a a a a a +=+++… 4111111381111143538n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 4113838n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤<． 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，22=PC ，23AB =，24AD BC ==，90DAB ABC o ∠=∠=，点E 为PD 的中点．（1）证明：CE AP ⊥．（2）求点E 到平面PAC 的距离． 【答案】（1）见解析（23．【解析】（1）取CD 的中点F ，连接,AF PF ，证明CE ⊥平面PAF 得到答案. （2）利用等体积法1133A PCE E PAC PAC PCE V V h S AF S --∆∆==⋅⋅=⋅⋅计算得到答案.【详解】（1）取CD 的中点F ，连接,AF PF ．在直角梯形ABCD 中，23AB =,24AD BC ==，90DAB ABC o ∠=∠=， 所以4AC AD CD ===．又因为F 为CD 的中点，所以AF CD ⊥． 因为PC ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ， 所以PC AF ⊥，又因为PC CD C =I ， 所以AF ⊥平面PCD ，所以AF CE ⊥．在直角PCD ∆中，22=PC ，4CD =，,E F 分别为,PD CD 的中点， 因为22PC CF CD PC ==，所以PCD FCP ∆∆∽，所以CPF PDC ECD ∠=∠=∠， 所以CE PF ⊥．又因为,AF PF ⊂平面PAF ，AF PF F =I ， 所以CE ⊥平面PAF ，则CE AP ⊥．（2）设点E 到平面PAC 的距离为h ，由（1）可知AF ⊥平面PCD ， 所以1133A PCE E PAC PAC PCE V V h S AF S --∆∆==⋅⋅=⋅⋅， 整理得1232222314222PCEPACAF S h S ∆∆⨯⨯⋅===⨯⨯， 所以点E 到平面PAC 3． 【点睛】本题考查了线线垂直，点到平面的距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．已知函数()ln f x x x x =+，()xx g x e =． （1）若不等式()()2f xg x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值；（2）证明：()()1f x x g x +->． 【答案】（1）最小值为1e．（2）见解析 【解析】（1）化简得到ln 1x x a e +≤，令()ln 1xx m x e +=，求函数的最大值得到答案. （2）变换得到11ln x x x e+>，分别求表达式两边的最值得到答案. 【详解】（1）()()2f xg x ax ≤即()2ln x x x x x ax e +⋅≤，化简可得ln 1xx a e +≤． 令()ln 1x x m x e +=，()()1ln 1xx x m x e -+'=，因为1x ≥，所以11x≤，ln 11x +≥， 所以()0m x '≤，()m x 在[)1,+∞上单调递减，()()11m x m e≤=， 所以a 的最小值为1e． （2）证要证()()1f x x g x +->，即()ln 10x xx x x e+>> 两边同除以x 可得11ln xx x e +>． 设()1ln t x x x =+，则()22111x t x x x x-'=-=， 在()0,1上，()0t x '<，所以()t x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增．所以()()11t x t ≥=． 设()1x h x e=，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=， 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->． 【点睛】本题考查了恒成立问题，表达式的证明，转化为函数的最值计算是解题的关键.21．已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C交于,A B 两点，290AF B ∠=o，且2209F AB S ∆=． （1）求C 的方程；（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．【答案】（1）22154x y +=（2）45【解析】（1）不妨设2,3A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，计算得到2245a b =，根据面积得到a b ⋅=.（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程利用韦达定理得到00122mx y x x +=，22201204m x x x x =-，代入化简计算得到答案. 【详解】（1）由题意不妨设2,3A b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，则223b F A c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r，223b F B c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ． ∵290AF B ∠=o，∴2222254099b F A F Bc a ⋅=-+=u u u u r u u u u r ，∴2245a b =．又212202339F AB b S ∆=⨯⋅=，∴a b ⋅=∴a =2b =，故C 的方程为22154x y +=．（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则0OP y k x =．∵0OP MN k k +=， ∴00MN y k x =-，设直线MN 的方程为()000y y x m m x =-+≠， 联立0022,1,54y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222000004510540x y x mx y x x m +-+-=．∵P 在C 上，∴22004520x y +=，∴上式可化为()2220004240x mx y x x m -+-=．∴00122mx y x x +=，22201204m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>， ∴()()220001212042225m y y mx y y x x m x -+=-++==， ()2200001212121220000y y y myy y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222220000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∴()()()222222000102012012000255m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 22200025m x mx y -=()()()2222000102012012024m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=． ∴1020102045PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--．【点睛】本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为9,x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为221613sin ρθ=+． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离．【答案】（1）221164x y +=．90x --=．（2． 【解析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.（2）曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩，设()4cos ,2sin P αα，计算点到直线的距离公式得到答案.【详解】 （1）由221613sin ρθ=+，得2223sin 16ρρθ+=， 则曲线C 的直角坐标方程为22416+=x y ，即221164x y +=．直线l的直角坐标方程为90x --=．（2）可知曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()4cos ,2sin P αα，[)0,2απ∈，则()2cos ,sin M αα到直线:90l x --=的距离为d ==≤所以线段OP 的中点M 到直线l． 【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力. 23．设函数()121f x x x =++-． （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为a ，且x y z a ++=，求()()22212x y z ++++的最小值．【答案】（1）{1x x ≤-或}1x ≥（2）最小值为274． 【解析】（1）讨论1x <-，112x ≤≤-，12x >三种情况，分别计算得到答案. （2）计算得到32x y z ++=，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当1x <-时，由33x -≥，解得1x <-； 当112x ≤≤-时，由23x -+≥，解得1x =-； 当12x >时，由33x ≥，解得1x ≥． 所以所求不等式的解集为{1x x ≤-或}1x ≥． （2）根据函数图像知：当12x =时，()min 32a f x ==，所以32x y z ++=． 因为()()212x y z ++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2221221212x y z x y x z y z =+++++++++++⎡⎤⎣⎦()()222312x y z ⎡⎤≤++++⎣⎦，由32x y z ++=，可知()()281124x y z ++++=⎡⎤⎣⎦， 所以()()22227124x y z ++++≥， 当且仅当32x =，12y =，12z =-时，等号成立． 所以()()22212x y z ++++的最小值为274．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.。
2020年普通高等学校招生全国I卷五省优创名校2020届高三入学摸底第一次联考数学理科试题(word版带答案)复习
2020年普通高等学校招生全国I卷五省优创名校2020届高三入学摸底第一次联考数学理科试题(w o r d版带答案)2020年普通高等学校招生全国Ⅰ卷五省优创名校入学摸底第一次联考数学（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}022≤-+=x x x A ，{})21ln(x y x B -==，则=B A IA.]1,21(B.)21,2[--C.)21,2[-D.]21,2[-2.设复数1z 在复平面内对应的点为),(y x ，1)21(z i z +=，若复数z 的实部为1，则A.12=+y xB.12=-y xC.12=+y xD.12=-y x3.已知32log 2=a ，π4log =b ，36.0-=c ，则c b a ,,的大小关系为 A.a c b >> B.a b c >> C.c a b >> D.b a c >>4.函数xe e xf x x 1)(--=-的部分图象大致为5.如图，四边形ABCD 为正方形，ADE △为等腰直角三角形，F 为线段AE 的中点，设向量a BC =，b BA =，则=CFA.b a 2341+-B.b a 2343+ C.b a 4543+-D.b a 4541+6.执行右边的程序框图，如果输入的6=n ，那么输出的=SA.167B.168C.104D.1057.十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、已蛇 、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相.现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，一同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是A.883B.443C.201D.449 8.若函数x ax x f ln )(-=的图象上存在与直线043=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是A.),3[+∞B.),310(+∞C.),310[+∞ D.),3(+∞ 9.正八面体是由八个全等的正三角形围成的几何体，如图，关于正八面体ABCDEF 有以下结论：①BEDF AC 平面⊥，且AECF BD 平面⊥；②ADF EAD 平面平面⊥；③CE 与AD ，AB ，BF ，DF 所成的角都是3π；④ADF BEC 平面∥平面，其中所有正确结论的编号是A.①③B.②④C.①③④D.①②③10.从A 地到B 地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线，小王想自驾从A 地到B 地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说：“2号路线不堵车，3号路线不堵车”，司机乙说：“1号路线不堵车，2号路线不堵车”，司机丙说：“1号路线堵车，2号路线不堵车”.如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是A.1号路线B.2号路线C.3号路线D.2号路线或3号路线 11.已知抛物线x y 162=的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于N M ，两点，则MFNF 5052-的最小值为A.2B.1C.5D.2512.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221=+a a ，321+=+n n S a ，用][x 表示不超过x 的最大整数，设][n n a b =，数列{}n b 的前n 2项和为n T 2，则使20002>n T 成立的最小正整数n 是A.5B.6C.7D.8第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13.已知函数x x f 2cos 2)(=，将)(x f 的图象上所有的点向左平移4π个单位长度得到)(x g 的图象，则函数)()(x g x f y +=的最小正周期是 ，最大值是 .（本题第一空2分，第二空3分） 14.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且172a a -=，则=+459a S S .15.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为9.01=P ；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立的解决项目M 的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，且这n n 个人研究项目M 的结果相互独立.设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若12P P ≥，则n 的最小值是 .16.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点A 是双曲线右支上的一点，若直线2AF 与直线x aby -=平行且21F AF △的周长为a 9，则双曲线的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做大.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）已知ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且4=c ，ab b a +=+16)(2. （1）求角C ；（2）当ABC △的面积最大时，求b a ,，并求出最大面积.18.（12分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，CD AB ∥，AB AD ⊥，且2221===AB AA CD ，2=AD ，AC 与BD 交于点O ，点1A 在底面ABCD 内的投影刚好是点O .（1）证明：C AA CD B 111平面平面⊥.（2）求直线1AA 和平面11CD B 所成角的正弦值.19.（12分）已知椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的离心率为322，一个焦点在直线42-=x y 上，另一条直线l 与椭圆交于Q P ，两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k .（1）求该椭圆的方程.（2）若9121-=⋅k k ，试问OPQ △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（12分）2019超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，得到其100（1）由频数分布表大致可以认为，被抽查超市3天内进货总价)202,(~μN W ，μ近似为这100家超市3天内进货总价的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态分布，求)8.13276(≤<W P ；（2）在（1）的条件下，该公司为增加销售额，特别是这100家超市制定如下抽奖方案：①令m 表示“超市3天内进货总价超过μ的百分点”，其中100⨯-=μμW m .若)10,0[∈m ，则该超市获得1次抽奖机会；)20,10[∈m ，则该超市获得2次抽奖机会；)30,20[∈m ，则该超市获得3次抽奖机会；)40,30[∈m ，则该超市获得4次抽奖机会；)50,40[∈m ，则该超市获得5次抽奖机会；50≥m ，则该超市获得6次抽奖机会.另外，规定3天内进货总价低于μ的超市没有抽奖机会；②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元，每次抽奖中奖的概率为31.设超市A 参加了抽查，求超市A 在3天内进货总价5.122=W 百元.记X （单位：元）表示超市A 获得的奖金总额，求X 的分布列与数学期望.附参考数据与公式：2.14202≈，若),(~2σμN W ，则6827.0=+≤<-）（σμσμW P ，9545.0)22(=+≤<-σμσμW P ，9973.0)33(=+≤<-σμσμW P .21.（12分）已知函数a xe x f x +=)(.（1）证明：当0<a 时，)(x f 有且仅有一个零点.（2）当)0,2[2e a -∈，函数ax e x x g x +⋅-=)1()(的最小值为)(a h ，求)(a h 函数)(a h 的值域.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4,：坐标系与参数方程]（1分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=--=t y t x 23，（t 为参数）.以坐标原点为极值，x 轴正半轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4cos(24πθρ+=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，)3,2(-P 为直线l 上一点，求PBPA 11+.23.[选修4—5,：不等式选讲]（10分）已知函数232)(--+=x x x f . （1）求不等式2)(>x f 的解集；（2）若不等式63)(-->x a x f 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.。
2020年高考文科数学试卷 全国Ⅰ卷(含答案)
2020年高考文科数学试卷全国Ⅰ卷(含答案)2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x^2-3x-4<0\}$，$B=\{-4,1,3,5\}$，则$A$ 为A。
$ \{-4,1\}$B。
$\{1,5\}$C。
$\{3,5\}$D。
$\{1,3\}$2.若 $z=1+2i+i^3$，则 $|z|$ 等于A。
$1$B。
$2$___$D。
$3$3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。
以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。
$\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}$B。
$\dfrac{1}{2}$C。
$\dfrac{5+\sqrt{5}}{4}$D。
$\dfrac{5+\sqrt{10}}{2}$4.设 $O$ 为正方形 $ABCD$ 的中心，在 $O$，$A$，$B$，$C$，$D$ 中任取 $3$ 点，则取到的 $3$ 点共线的概率为A。
$\dfrac{1}{5}$B。
$\dfrac{2}{5}$C。
$\dfrac{4}{5}$D。
$1$5.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：℃）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据$(x_i,y_i)(i=1,2,\dots,20)$ 得到下面的散点图：在 $10℃$ 至 $40℃$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是A。
2020届五省优创名校高三(全国Ⅰ卷)第四次联考数学(理)试题(解析版)
2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( )A ．[12]-， B ．[-C ．(-D ．⎡⎣【答案】C【解析】计算A ⎡=⎣，(]1,2B =-，再计算交集得到答案.【详解】{|A x y ⎡==⎣=，(]2{|},1012x x B x -=-+=≤，故(A B -=. 故选：C . 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2．若202031i i z i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．1【答案】D【解析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】由题可知()()()()202022131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--， 所以z 的虚部是1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题. 3．cos350sin 70sin170sin 20-=（ ）A ．BC ．12D ．12-【答案】B【解析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=-，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】3cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos302-=-==． 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2- B ．3 C ．3- D ．2【答案】D【解析】判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin b B C =，则B =（ ）A ．6π或56πB ．4π C ．3π D ．6π或3π 【答案】D【解析】根据正弦定理得到4sin cos sin B B C C =，化简得到答案. 【详解】由4cos sin b B C =，得4sin cos sin B B C C =，∴sin 2B =23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.6．函数()()2cosln1xf xx x=+-的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】判断函数为奇函数排除B，C，计算特殊值排除D，得到答案.【详解】∵()()()()()()222cosln1ln1ln1xf x f xx x x xx x--====-⎡⎤+++--+--⎢⎥⎣⎦，∴()f x为奇函数，排除B，C；又322f fππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()22ln1ln1fπππππ==>+-++，排除D；故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.7．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为（）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 8．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=【答案】A【解析】点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A 【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB AC λμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B C ．7D 【答案】D【解析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==可知，点O 为ABC ∆外心， 则2122AB AO AB ⋅==，21122AC AO AC ⋅==，又AO AB AC λμ=+， 所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩①因为42λμ-=，② 联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-，因为BC AC AB =-， 所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=，即7BC =故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.11．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n+-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案. 【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球． 故选：C 【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a 的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意可将方程转化为ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论. 【详解】由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞上恰有三个不相等的实根，即24ln 22ln ax x ax x x-=-，①.因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x axa x x-=-. 所以方程ln 4220ln x axa x x--+=有三个不等的正实根. 记()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞，则上述方程转化为()()4220at x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =.因为()21ln xt x x-'=，当()()0,11,x e ∈时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，()t x →-∞.当(),x e ∈+∞时，()0t x '<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.所以当x e =时，()t x 取最大值1e，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e<<.故选：B. 【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.二、填空题 13．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 【答案】()0,3【解析】变换得到212x y =，计算焦点得到答案. 【详解】 抛物线2112y x =的标准方程为212x y =，6p ，所以焦点坐标为()0,3．故答案为：()0,3 【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.14．()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】25-【解析】先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项，进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为：25-.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______. 【答案】26【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知，1A MNC ，则1A ，,,M CN N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥． 同理可证，DE NC ⊥，NCMC C =，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形， 其对角线123AC =，22MN =，所以其面积12223262S =⨯⨯=． 故答案为：26【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成33⨯小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______. 【答案】1140【解析】分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可. 【详解】首先，第一行队伍的排法有33A 种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有111333C C C 种；第二行的每个位置的人员安排有111222C C C 种；第三行的每个位置的人员安排有111⨯⨯种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率311111133332229921140A C C C C C C P A ⋅⋅⋅==. 故答案为：1140. 【点睛】本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<．【答案】（1）352n n a +=（2）证明见解析 【解析】（1）123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和证明. 【详解】（1）解：123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当1n =时，14a =．当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=．（2）证明：()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭12231111n n n T a a a a a a +=+++… 4111111381111143538n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 4113838n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤<． 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．如图，在三棱柱ADEBCF 中，ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，CDEF是矩形，1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，P 点在线段BC 上移动（P 不与C 重合），H 是AE 的中点.（1）当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时，证明：//HB .平面EDP（2）当四面体EDPC 的体积最大时，求平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）78【解析】（1）由题意，先求得P 为BC 的中点，再证明平面//HMB 平面EDP ，进而可得结论；（2）由题意，当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可. 【详解】（1）证明：当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时. 则其外接球的半径为5. 因为ABCD 时边长为2的菱形，CDEF 是矩形.1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD .则ED ABCD ⊥平面，5EC =.则EC 为四面体EDPC 外接球的直径. 所以90EPC ∠=︒，即CB EP ⊥. 由题意，CB ED ⊥，EPED E =，所以CB DP ⊥.因为60BAD BCD ∠=∠=︒，所以P 为BC 的中点. 记AD 的中点为M ，连接MH ，MB .则MB DP ，MHDE ，DE DP D ⋂=，所以平面//HMB 平面EDP .因为HB ⊂平面HMB ，所以//HB 平面EDP .（2）由题意，ED ⊥平面ABCD ，则三棱锥E DPC -的高不变. 当四面体EDPC 的体积最大时，DPC △的面积最大. 所以当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大.以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则()0,0,0D ，()0,0,1E ，)3,1,0B，311,222H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2,0C .所以()3,1,0DB =，311,,22DH ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()0,2,1EC =-，()3,1,1EB =-.设平面HDB 的法向量为()111,,m x y z =.则1111130,3110,222DB m x y DH m x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令11x =，得()1,3,23=--m .设平面EBC 的一个法向量为()222,,n x y z =.则2222220,30,EC n y z EB n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令23y =，得()3,3,6n =.设平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角是ϕ，则7cos 8ϕ⋅==m n m n. 所以当四面体EDPC 的体积最大时，平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值为78. 【点睛】本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题．19．某芯片公司对今年新开发的一批5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[)[)[)[)[]9101011111212131314，，，，，，，，五个小组（所调查的芯片得分均在[]914，内），得到如图所示的频率分布直方图，其中018a b -=．．（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）． （2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。
2020届五省优创名校高三(全国Ⅰ卷)第四次联考数学(理)试题解析
2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考数学（理）试题绝密★启用前山东省普通高中2020年高中学业水平等级考试模拟数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B I =( )A ．[12]-， B ．[1-C ．(-D ．⎡⎣答案：C计算A ⎡=⎣，(]1,2B =-，再计算交集得到答案.解：{|A x y ⎡==⎣=，(]2{|},1012x x B x -=-+=≤，故1(A B -=I .故选：C . 点评：本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2．若202031i i z i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．1答案：D通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部. 解：由题可知()()()()202022131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--， 所以z 的虚部是1. 故选：D.本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题. 3．cos350sin 70sin170sin 20-=o o o o （ ）A ．BC ．12D ．12-答案：B化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=-o o o o ，再利用和差公式计算得到答案. 解：cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos30-=-==o o o o o o o o o ． 故选：B 点评：本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2-B ．3C ．3-D ．2答案：D 判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 解： ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 点评：本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin b B C =，则B =（ ） A ．6π或56πB ．4π C ．3π D ．6π或3π根据正弦定理得到4sin cos sin 3sin B B C C =，化简得到答案. 解：由4cos sin 3b B C c =，得4sin cos sin 3sin B B C C =，∴3sin 22B =，∴23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 点评：本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 6．函数()()2ln1f x x x=+-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A判断函数为奇函数排除B ，C ，计算特殊值排除D ，得到答案. 解：∵()()()()()()222cos ln1ln 1ln 1x f x f x x xx xx x --====-⎡⎤+++--+--⎢⎥⎣⎦，∴()f x 为奇函数，排除B ，C ；又3022f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()22ln 1ln 1f πππππ==>+-++，排除D ；故选：A 点评：本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.7．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．16481答案：C根据程序框图依次计算得到答案. 解：34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 点评：本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 8．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π答案：C根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 解：解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 点评：本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=答案：A点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 解：不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+，当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A 点评：本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ） A ．73BC ．7D答案：D确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案. 解：由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，② 联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ， 所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 点评：本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.11．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个答案：C计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案. 解：由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球． 故选：C 点评：本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a 的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：B由题意可将方程转化为ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论.解：由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞U 上恰有三个不相等的实根，即24ln 22ln ax x ax x x-=-，①.因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x axa x x-=-. 所以方程ln 4220ln x axa x x--+=有三个不等的正实根. 记()ln x t x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，则上述方程转化为()()4220a t x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =. 因为()21ln xt x x-'=，当()()0,11,x e ∈U 时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，()t x →-∞.当(),x e ∈+∞时，()0t x '<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.所以当x e =时，()t x 取最大值1e，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e<<. 故选：B. 点评：本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.二、填空题 13．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 答案：()0,3变换得到212x y =，计算焦点得到答案. 解： 抛物线2112y x =的标准方程为212x y =，6p =，所以焦点坐标为()0,3． 故答案为：()0,3 点评：本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.14．()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 答案：25-先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项，进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项. 解：61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为：25-. 点评：本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.答案：确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 解：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形， 其对角线123AC =，22MN =，所以其面积12223262S =⨯⨯=． 故答案为：26点评：本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成33⨯小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______. 答案：1140分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可. 解：首先，第一行队伍的排法有33A 种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有111333C C C 种；第二行的每个位置的人员安排有111222C C C 种；第三行的每个位置的人员安排有111⨯⨯种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率311111133332229921140A C C C C C C P A ⋅⋅⋅==. 故答案为：1140. 点评：本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<．答案：（1）352n n a +=（2）证明见解析 （1）123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和证明. 解： （1）解：123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当1n =时，14a =．当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=．（2）证明：()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭12231111n n n T a a a a a a +=+++… 4111111381111143538n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 4113838n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤<．点评：本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．如图，在三棱柱ADE BCF -中，ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，CDEF 是矩形，1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，P 点在线段BC 上移动（P不与C 重合），H 是AE 的中点.（1）当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时，证明：//HB .平面EDP （2）当四面体EDPC 的体积最大时，求平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）78（1）由题意，先求得P 为BC 的中点，再证明平面//HMB 平面EDP ，进而可得结论； （2）由题意，当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可. 解：（1）证明：当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时. 5. 因为ABCD 时边长为2的菱形，CDEF 是矩形.1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD .则ED ABCD ⊥平面，5EC =.则EC 为四面体EDPC 外接球的直径. 所以90EPC ∠=︒，即CB EP ⊥.由题意，CB ED ⊥，EP ED E =I ，所以CB DP ⊥. 因为60BAD BCD ∠=∠=︒，所以P 为BC 的中点. 记AD 的中点为M ，连接MH ，MB .则MB DP P ，MH DE P ，DE DP D ⋂=，所以平面//HMB 平面EDP . 因为HB ⊂平面HMB ，所以//HB 平面EDP .（2）由题意，ED ⊥平面ABCD ，则三棱锥E DPC -的高不变. 当四面体EDPC 的体积最大时，DPC △的面积最大. 所以当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大.以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则()0,0,0D ，()0,0,1E ，)3,1,0B，311,222H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2,0C . 所以)3,1,0DB =u u u r ，311,22DH ⎫=-⎪⎝⎭u u u u r ，()0,2,1EC =-u u u r，)3,1,1EB =-u u u r .设平面HDB 的法向量为()111,,m x y z =u r.则1111130,3110,22DB m x y DH m x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u u v v 令11x =，得(1,3,23=--u u rm .设平面EBC 的一个法向量为()222,,n x y z =r.则2222220,30,EC n y z EB n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u v v令23y =，得)3,3,6n =r.设平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角是ϕ，则7cos 8ϕ⋅==u u r r uu r r m n m n . 所以当四面体EDPC 的体积最大时，平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值为78. 点评：本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题． 19．某芯片公司对今年新开发的一批5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[)[)[)[)[]9101011111212131314，，，，，，，，五个小组（所调查的芯片得分均在[]914，内），得到如图所示的频率分布直方图，其中018a b -=．．（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。
全国名校2020年高三5月大联考文科数学试题(新课标Ⅰ卷)(含答案解析)
C．[0，2]
2．已知复数
z
1 3
2i 4i
，
i
为虚数单位，则
|
z
|
A．
1 5
C．
1 2
3．已知 a ln 3.14,b log1 5, c 23.2 ，则
2
A． b a c
D．（0，2）
B． 5 5
D． 2 2
B． c a b
C． b c a
D． a b c
4．已知正项递增等比数列
A．
f
(x)
的最小正周期为
2
C．
f
(x)
的图象关于
x
7 24
对称
B．
f
(x)
的图象关于
( 2 9
, 0)
中心对称
D．
f
(x)
在
(0,
)
6
上单调递增
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称．若
20．（12 分）
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的焦距为
4，离心率为
2． 2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的上顶点为
M
，过点
N
(
1 2
,
2)
作一直线
l
，交椭圆于异于点
M
的
A，B
两
点，设直线 MA ，MB 的斜率均存在，分别为 kMA , kMB ，试判断 kMA kMB 是否为定值？若是，
且 PB BC ．
（1）求证： BC PA ；
2020年普通高等学校招生全国I卷五省优创名校第四次联考数学试题及答案(理科)
2020年普通高等学校招生全国I 卷五省优创名校第四次联考.数学(理科)考生注意:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B I =( )A.[12]-， B.[1- C.(- D.⎡⎣ 2.若202031i i z i+=+，则z 的虛部是( ) A.i B.2i C.1- D.13.3507017020cos sin sin sin ︒︒-︒︒ =( )A. C.12 D.12- 4.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当1()0x ∈-，时，()433x f x =+，则3()32f log =( ) A.-2 B.2 C.-3 D.35.在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，已知4bcosBsinC =，则B =( ) A.6π或56π B.4π C.3π D.6π或3π 6.函数()f x =的部分图象大致为( )A. B.C. D.7.明代数学家程大位(1533~1606年)，有感于当时筹算方法的不便，用其毕生开始心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输人的x 的值为( ) A.74 B.5627 C.2 D.164818.将函数()36f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0m m >个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象.若()g x 为奇函数，则m 的最小值为( ) A.9π B.18π C.29π D.24π 9.已知双曲线22221()00x y a b a b-=>>，的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为(2，0)，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP V 的外接圆面积达到最小时.点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为( ) A.2213x y -= B.2213y x -= C.22122x y -= D.22144x y -= 10.点O 在ABC V 所在的平面内，OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，|21|||AB AC ==u u u r u u u r ，，,()AO AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，且42()0λμμ-=≠，则||BC =u u u r ( )A.73B.2C.7 11.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计)，底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装( )(附 1.414≈ 1.732≈ 2.236≈)A.22个B.24个C.26个D.28个12.已知函数()()242,2ln ax f x lnx ax g x x x=-=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a 的取值范围为( ) A.(0)12e ， B.(0]e ， C.(),e +∞ D.(0)1e， 第II 卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.抛物线2112y x =的焦点坐标为_________. 14.()2612()x x x +-的展开式中的常数项为_________.15.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面a 与直线DE 垂直.则平面a 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为_________.16.某部队在训练之余，由同一场地训练的甲、乙、丙三队各出三人，组成33⨯小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为_________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.已知数列{}n a 满足123123252525253n n n a a a a ++++=----L (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明： 11226n T ≤≤ 18.如图，在三棱柱ADE BCF -中，ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，CDEF 是矩形，1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，P 点在线段BC 上移动(P 不与C 重合)，H 是AE 的中点.(1)当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时，证明：//HB 平面EDP .(2)当四面体EDPC 的体积最大时，求平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值.19.某芯片公司对今年新开发的一批5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[9，10)，[10，11)，[11.12)，[12，13)，[13.14]五个小组(所调查的芯片得分均在[9，14]内)，得到如图所示的频率分布直方图，其中0.18a b -=.(1)求这100颗芯片评测分数的平均数(同-组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).(2)芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测.若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元.每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片?请说明理由.20.已知12F F ，分别是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，直线23y b =与C 交于,A B 两点290AF B ∠=︒，且2209S F AB =V . (1)求C 的方程；(2)已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于M N ，两点，直线PM PN MN OP ，，，的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值.21.已知函数()f x xlnx x =+,()xx g x e =. (1)若不等式()()2f x g x ax ≤对1[)x ∈+∞，恒成立，求a 的最小值；(2)证明：()()1f x x g x +->.(3)设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()001,f x x x x F x g x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩，，若存在1212,1),,(x x x x ∈+∞<，使得()()12F x F x =，证明：()2012()F x F x x <-.(二)选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为9x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数).以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为221613sin ρθ=+. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离.23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()121f x x x =++-.(1)求不等式()3f x ≥的解集；(2)若()3f x ≥的最小值为a .且x y z a ++=，求()()22212x y z ++++的最小值.2020年普通高等学校招生全国I 卷五省优创名校第四次联考数学参考答案(理科)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. C因为{|{|1}2A x x B x x ==-<≤，，所以(A B =-I .2. D 由题可知1321i z i i+==++，z 的虚部是1. 3. B35070170201020102030cos sin sin sin cos cos sin sin cos ︒︒︒︒=︒︒-︒︒=︒一 4. B ∵32103log -<<，∴33322324()()()233233f log f log f log =-==+=. 5. D由4bcosBsinC =，得4sinBcosBsinC =，∴2sin B =，23B π=或23π，∴6B π=或3B π=. 6. A ()()cos x f x x f ==---=，∴()f x 为奇函数，排除B C ，. 又()()()22300f f f πππ====>，，排除D ， 故选A .7. C341y x i =-=，；349162y y x i =-=-=，；3427523y y x i =-=-=，；34811604y y x i =-=-=，；34243484y y x =-=-此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =.8. B由题意知()1326g x sin x m π⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+，因为()g x 是奇函数，所以36m k k Z ππ-+=∈，，解得183k m k Z ππ=-∈，.因为0m >，所以m 的最小值为18π. 9. C不妨设点P 的坐标为()(20)m m >，，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时， APB V 的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值，因为22a a tan APF tan BPF m m+-∠=∠=，， 所以222221(2)a a a m m tan APB tan APF BPF a a b m m m m +--∠=∠-∠==+-+⋅+a b ≤=， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立， 此时APB ∠最大，此时APB V 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为(2)b ，，代人22221x y a b-=，可得ab ==所以双曲线的方程为22122x y -=. 10. D 由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r 可知，点O 为ABC V 的外心， 则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB u AC λ=+u u u r u u u r u u u r ， 所以224212AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ①因为42λμ-=，② ①②联立方程可得5163AB AC λμ==⋅=-u u u r u u u r 4，，. 因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即BC =u u u r 11. C由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正四面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)101n cm +-，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈，所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球. 12. A由题意知方程()()f x g x =在()(011)+∞U ，，上恰有三个不相等的实根， 即24ln 22ln ax x ax x x-=-，① 因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x ax a x x -=- 所以方程ln 4220ln x ax a x x --+=有三个不等的正实根. 记()01()()1lnx t x x x=∈+∞U ，，，，则上述方程转化为()4220()a t x a t x --+=， 即()()220t x t x a ⎡⎤⎡-⎤⎣⎦⎣⎦+=，所以()2t x =-或()2t x a =. 因为()21ln 'x t x x -=，当()(0)11x e ∈U ，，时，()'0t x >，所以()t x 在(0，1)，(1)e ，上单调递增，且0x →时，()t x →-∞，当()x e ∈∞，+时，()()'0t x t x <，在()e +∞，上单调递减，且x →+∞时，()0t x →，所以当x e =时，()t x 取最大值1e ，当()2t x =-，有一根，所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e<<. 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.(0，3) 抛物线2112y x =的标准方程为2126x y p ==，，所以焦点坐标为(0，3). 14.-25 61()x x -的展开式中含21x 的项为42462115()C x x x -=，61()x x -的展开式中的常数项为33361()20C x x-=-，所以2261(2)()x x x +-的展开式中的常数项为154025-=-.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1MC CN NA ，，，则平面1A MCN 即为平面α.证明如下：由正方体的性质可知，1//A M NC ，则1A M C N ，，，四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥.连接EF ，则EF MC ⊥，所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥.同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面. 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线1AC =MN =12S =⨯= 16.1140首先，第一行队伍的排法有33A 种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有111333C C C 种；第二行的每个位置的人员安排有111222C C C 种；第三行的每个位置的人员安排有111⨯⨯种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率311111133332229921140A C C C C C C P A ⋅⋅⋅== 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.(1)解：123123252525253n n n a a a a ++++=----L ① 当1n =时，14a =当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----L ② 由①-②，得3522()n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=. (2)证明：114411()(35)(38)33538n n a a n n n n +==-++++ 12231111n n n T a a a a a a +=+++L 4111111[()()()]381111143538n n =-+-++-++L 411()3838n =-+ 因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤≤ 18.(1)证明：当四面体EDPC 外接球的表面积为5π时，， 因为ABCD 是边长为2的菱形，CDEF 是矩形，1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，则ED ⊥平面ABCD，EC =，则EC 为四面体EDPC 外接球的直径，所以90EPC ∠=︒，即CB EP ⊥.由题意，CB ED EP ED E ⊥=I ，，所以CB DP ⊥因为60BAD BCD ∠=∠=︒，所以P 为BC 的中点记AD 的中点为M ，连接MH MB ，，则////MB DP MH DE DE DP D =I ，，，所以平面//HMB 平面EDP 因为HB ⊂平面HMB ，所以//HB 平面EDP(2)解：由题意，ED⊥平面ABCD，则三棱锥E DPC-的高不变，当四面体EDPC的体积最大时，DPCV的面积最大，所以当点P位于点B时，四面体EDP C的体积最大.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz-，则110000010,020()()))()22D E B H C-，，，，，，，，，，，，所以))110021())212DB DH EC EB==-=-=-u u u r u u u u r u u u r u u u r，，，，，，，，.设平面HDB的法向量为111()m x y z=，，.111111122DB m yDH m y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u ru u u u r令11x=，得1(m=--，设平面EBC的一个法向量为222()n x y z=，，，2221120EC n y zEB n y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u ru u u r令23y=，得6)n=，设平面HDP与平面EPC所成锐二面角是ϕ，则7||||8m ncosm nϕ⋅==所以当四面体EDPC的体积最大时，平面HDP与平面EPC所成锐二面角的余弦值为7819.解：(1)依题意，()0.050.350.2811a b ++++⨯=，故0.32a b +=.又因为0.18a b -=，所以0.250.07a b ==，.所求平均数为9.50.0510.50.2511.50.3512.50.2813.50.07⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.475 2.625 4.025 3.50.94511.57=++++= (万分)(2)由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于-一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率0.350.280.070.7P =++=设每颗芯片的测试费用为X 元，则X 的可能取值为600，900，1200，1500，()26000.30.09P X ===，()9000.730.70.320.30.70.30.469P X ==+⨯+⨯⨯=，()1312000.30.720.30.1323P X C ==⨯⨯⨯=，()1315000.30.720.70.3087P X C ==⨯⨯⨯=，故每颗芯片的测试费用的数学期望为()6000.099000.46912000.132315000.30871097.91E X =⨯+⨯+⨯+⨯= (元)，因为1001097.91⨯>100000，所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片.20.解：(1)由题意不妨设3()2,A b ，2,)3B b ， 则22()(2233)b b F A c F B c =-=-+u u u u r u u u u r ，，， ∵90AF B ∠=︒2∴220F A F B ⋅=u u u u r u u u u r ∴2245a b =又212202339F AB b S =⨯⨯=V∴ab =∴2a b =故C 的方程为22154x y += (2)设00()P x y ，，11()M x y ，，22()N x y ，，则00op y k x =∵0op MN k k +=， ∴00MN y k x =- 设直线MN 的方程为00)0(y y x m m x =-+≠， 联立0022154y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得()()22222000004510540x y x mx y x x m ++-=一.∵P 在C 上，∴22004520x y +=∴上式可化为()2220004240x mx y x x m -+-= 22222220001212000,,4(416)024mx y m x x x x x x x m y m +==-∆=-+>Q 200121202()25y mx y y x x m x ∴+=-++= 2220001212000()()5y y m x y y x m x m y x x =-+-+=- 222200010201201202()()()5m x mx y y y y y y y y y y y -∴--=-++=1020102045PM PN y y y y k k x x x x --∴⋅=⋅=-- 21.(1)解：2()()f x g x ax ≥，即()2x x e xlnx x ax ⋅+≥，化简可得ln 1x a x e+≤ 令()1x lnx k x e +=，()1(1)'x lnx x k x e-+= 因为1x ≥，所以11x≤，11lnx +≥， 所以()'0k x ≤，()k x 在[1,)∞+上单调递减，()()11k x k e ≤=. 所以a 的最小值为1e. (2)要证()()1f x x g x +->，即()10xlnx x +>>，两边同除以x 可得11xlnx x e +> 设()1t x lnx x =+，则()22111'x t x x x x-=-= 在(0)1，上，()'0t x <()0t x <，所以()t x 在(0)1，上单调递减， 在(1)+∞，上，()'0t x >，所以()t x 在(1)+∞，上单调递增.所以()()11t x t ≥= 设()1x h x e=，因为()h x 在(0)+∞，上是减函数，所以()()01h x h <=， 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->(3)证明：方程()()f x g x x -=在区间(1)+∞，上的实根为0x ，即001ln x x e=，要证 ()()2012F x F x x <-，由()()2F x F x =可知，即要证()()1012F x F x x <- 当01x x <<时，()F x xlnx =，()'10F x lnx =+>，因而()F x 在0(1)x ，上单调递增； 当0x x >时，()()1'0x x x x F x F x e e-==<，，要证()()1012F x F x x <-即要证0011122x xx x x lnx e --<， 记()001022,1x x x x m x xlnx x x e --=-<< 因为001x lnx e =，所以()000000x x x lnx m x e ==， 000002221221'()1ln 1ln x x x x x x x x x x m x x x e e e ---+--=++=++- 设()()1,'t tt t n t n t e e -==，当)1(0t ∈，时，()'0n t >； 1()t ∈+∞，时，()'0n t <.故()1max n t e= 且()0n t >，故()10n t e<<， 因为021x x ->，所以002210x x x x e e---<-< 因此()'0m x >，即()m x 在0(1)x ，上单调递增. 所以()()00m x m x <=，即01011122ln x x x x x e x --<故()()2012F x F x x <-得证.22.解：(1)由221613sin ρθ=+得2223sin 16ρρθ+=， 则曲线C 的直角坐标方程为22416x y +=，即221164x y +=.直线l 的直角坐标方程为90x -=.(2)可知曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)， 设4202()[)P cos sin αααπ∈，，，，则()2M cos sin αα，到直线90l x --=：的距离为d ==≤ 所以线段OP 的中点M 到直线l的最大距离为92+ 23.解：(1)()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 当1x <-时，由33x -≥，解得1x <-； 当112x -≤≤时，由23x -+≥，解得1x =-； 当12x >，时，由33x ≥，解得1x ≥. 所以所求不等式的解集为1{}1|x x x ≤-≥或(2)由(1)知，当12x =时，()min 32a f x ==，所以32x y z ++= 因为()()212x y z ++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2221221212x y z x y x z y x =+++++++++++⎡⎤⎣⎦()()222312x y z ≤++++⎡⎤⎣⎦， 由32x y z ++=，可知()()281124x y z ⎡⎤⎣⎦++++≥ 所以()()22227124x y z ++++≥， 当且仅当311222x y z ===-，，时，等号成立. 所以()()22212x y z ++++的最小值为274.。
2020年普通高等学校招生全国I卷五省优创名校第四次联考数学176C(文科)
2020年普通高等学校招生全国I 卷五省优创名校第四次联考.数学(文科)考生注意:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,4,5,2,3,4,6U A B ===,则() U C A B I =（ ） A. {1,3,6} B. (3,6} C. {2,6} D. {2,3,4}2.若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3.3507017020cos sin sin sin ︒︒-︒︒ =( )A. C.12 D.12- 4.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当1()0x ∈-，时，()433xf x =+，则3()32f log =( ) A.-2 B.2 C.-3 D.35.高考“3+3"模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.计人总成绩的高中学业水平考试科目,由考生根据报考高校要求和自身特长,在思想政治、历史地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择.某中学为了解本校学生的选择情况,随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位,选择化学的学生共有30位,选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.46.在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，已知4bcosBsinC =，则B =( ) A.6π或56π B.4π C.3π D.6π或3π7.函数()f x =的部分图象大致为( )A. B.C. D.8.明代数学家程大位(1533~1606年)，有感于当时筹算方法的不便，用其毕生开始心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输人的x 的值为( ) A.74 B.5627 C.2 D.164819.将函数()36f x sin x π=+⎛⎫⎪⎝⎭的图象向右平移()0m m >个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象.若()g x 为奇函数，则m 的最小值为( )A.9πB.18πC.29πD.24π10.点O 在ABC V 所在的平面内，OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，|21|||AB AC ==u u u r u u u r ，，,()AO AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，且42()0λμμ-=≠，则||BC =u u u r( )A.73C.711.已知双曲线22221()00x y a b a b-=>>，的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为(2，0)，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP V 的外接圆面积达到最小时.点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为( )A.2213x y -=B.2213y x -= C.22122x y -= D.22144x y -= 12.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计)，底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装( )(附 1.414≈ 1.732≈ 2.236≈) A.22个 B.24个 C.26个 D.28个第II 卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中青年人数为100,则n =_________. 14.抛物线2112y x =的焦点坐标为_________. 15.已知偶函数()()f x x R ∈,其导函数为()'f x ,当0x >时,()()()211'0,525f x xf x f x ++>= ,则不等式()21f x x>的解集为_________. 16.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面a 与直线DE 垂直.则平面a 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为_________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生,调查他们每周运动的总时长(单位:小时) ,按照[0,5),[5,10) ,[10,15),[15,20) ,[20,25),[25,30]共6组进行统计,得到男生、女生每周运动的时长的统计如下(表1、2),规定每周运动15小时以上(含15小时)的称为“运动合格者”,其中每周运动25小时以上(含25小时)的称为“运动达人”。
2020年全国卷Ⅰ高考文科数学试题真题及答案(完整版)
2020年全国卷Ⅰ高考文科数学试题真题及答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出 四个选项中，只有一项是符合题目要求 .1.已知合集，，则{}2340A x x x =--<{}4,1,3,5B =-A B =I A. {}4,1-B. {}1,5C. {}3,5D. {}1,32.若，则 312z i i =++z =A.0 B.1D. 23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它 形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥 高为边长 正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形 面积，则其侧面三角形底边上 高与底面正方形 边长 比值为4. 设O 为正方形ABCD 中心，在O, A ,B, C, D 中任取3点，则取到 3点共线 概率为A. 15B.25C.12D.455. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子 发芽率y 和温度x （ 单位:） 关系，在20C o 个不同 温度条件下进行种子 发芽实验，由实验数据1,2,…,20)得到下面 散点,)(i i y i =（x 图:由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度C o C o x 回归方程类型 是 A. y a bx =+B. 2y a bx =+C. x y a be =+D. ln y a b x =+6. 已知圆，过点（ 1，2） 直线被该圆所截得 弦 长度 最小值为 2260x y x +-=A. 1 B. 2 C. 3D. 47. 设函数在 图像大致如下图，则 最小正周期为()cos(6f x x πω=+[]-ππ，()f xA. 109πB.76πC.43πD.32π8. 设，则3a log 42=-a4A. 116B.19C.18D.169.执行右面 程序框图，则输出 n =A. 17 B. 19 C. 21 D. 2310.设是等比数列，且，，则 {}n a 123+1a a a +=2342a a a ++=678+a a a +=A. 12 B. 24 C. 30 D. 3211. 设，是双曲线 两个焦点，为坐标原点，点在上且|| 1F 2F 22:13y C x -=O P C OP =2，则 面积为∆12PF F A. 72B.3C.52D.212. 已知，，为球 球面上 三个点，为 外接圆. 若 面积为A B C O e 1O △ABC e 1O ，，则球 表面积为4π1AB BC AC OO ===O A ． 64πB ． 48πC ． 36πD ．32π二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x ，y 满足约束条件，则z=x+7y 最大值为_____.2x -20x -10y 10y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩14.设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4)，若a b ，则m=______.⊥15. 曲线 一条切线 斜率为2，则该切线 方程为____. ln 1y x x =++16. 数列满足，前16项和为540，则=____.{}n a ()2131nn n a a n ++-=-1a三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （ 一）必考题:共60分 综合题分割17.（ 12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来 产品（ 单位:件）按标准分为A,B,C ，D 四个等级，加工业务约定:对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D 级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品 等级，整理如下:甲分厂产品等级 频数分布表等级 A B C D 频数40202020乙分厂产品等级 频数分布表等级 A B C D 频数28173421（1） 分别估计甲、乙两分厂加工出来 一件产品为A 级品 概率； （2） 分别求甲、乙两分厂加工出来 100件产品 平均利润，以平均利润 为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务?18.（ 12分）内角 对边分别为，已知.△ABC ,,A B C ,,a b c 150B =o（ 1）若，，求 面积；a =b =△ABC（ 2）若. sin A C =C19. （ 12分）如图，为圆锥 顶点，是圆锥底面 圆心，是底面 内接正三D O △ABC 角形，为上一点，. P DO 90APC ∠=o （ 1）证明:平面平面； PAB ⊥PAC（ 2）设,圆锥 π，求三棱锥 体积.DO =P ABC -20.(12分)已知函数 ()(2).xf x e a x =-+（1） 当a=1时，讨论 单调性; ()f x （2） 若有两个零点，求 取值范围. ()f x a21.（ 12分）已知A,B 分别为椭圆E: (a>1) 左右顶点，G 为E 上顶点，，P 为直222x +y 1a=线x=6上 动点，PA 与E 另一交点为C ，PB 与E 另一交点为D. （1） 求E 方程；（2） 证明:直线CD 过顶点.（ 二）选考题:共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做 第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]（ 10分）在直角坐标系中，曲线 参数方程为，（ 为参数)，以坐标原点为极xOy 1C cos sin kkx ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩t 点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为x 2C .4cos 16cos 30ρθρθ-+=（ 1）当k=1时，是什么曲线?1C （ 2）当k=4时，求与 公共点 直角坐标. 1C 2C23.[选修4—5:不等式选讲]（ 10分） 已知函数=│3+1│-2│-1│.()f x xx（1）画出y= 图像；()f x （2）求不等式> 解集. ()f x (1)f x文科数学参考答案全卷完 1、相信自己吧！坚持就是胜利！祝考试顺利，榜上有名！ 2、愿全国所有的考生都能以平常的心态参加考试，发挥自己的水平，考上理想的学校。
全国Ⅰ卷2020届高三上学期五省优创名校第二次联考试题+化学+Word版含答案
2020年普通高等学校招生全国Ⅰ卷五省优创名校第二次联考化学考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分。
考试时间90分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
4.可能用到的相时原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 Al27 S32 Cl35.5 Fe56 Cu64 Ag108 Ba137 Tl204第Ⅰ卷(选择题共42分)一、选择题(本题包括14小题，每小题3分，共42分。
每小题只有一个选项符合题意)1.中华文明源远流长，在《天工开物》一书中有如下描述：“世间丝、麻、裘、褐皆具素质，而使殊颜异色得以尚焉，谓造物不劳心者，吾不信也。
”下列说法正确的是A.描述中“丝、麻”的主要成分均是纤维素B.闻名中外的宣纸与描述中“褐”(“褐”指粗布)的主要成分相同C.丝绸衣服脏了应该选用碱性合成洗涤剂进行洗涤D.“裘”与人造革的主要成分虽然相同，但可用灼烧方法区别2.化学与生活密切相关。
下列说法正确的是A.活性炭可吸附水体中的重金属离子B.胆矾(CuSO4·5H2O)可代替明矾用作净水剂C.液态二氧化碳可扑灭电器起火，也可扑灭镁合金起火D.处于有毒有害气体泄漏的化学事故现场，应向顺风方向迅速撤离3.下列选项中，反应前后固体的质量不变的是A.向AgCl悬浊液中滴入Na2S溶液B.将铜丝插入AgNO3溶液中C.水蒸气通过炽热的铁粉D.将Fe3O4与Al粉混合共热4.公元八世纪，Jabir ibn Hayyan在干馏硝石的过程中首次发现并制得硝酸(4KNO3高温＝＝2K2O+4NO↑+3O2↑)，同时他也是硫酸和王水的发现者。
下列说法正确的是A.干馏产生的混合气体理论上可被水完全吸收B.王水是由3体积浓硝酸与1体积浓盐酸配制而成的C.王水溶解金时，其中的盐酸作氧化剂(Au+KNO3+4HCl＝H[AuCl4]+NO↑+2H2O)D.实验室可用NaNO3与浓硫酸反应制备少量的KNO3，利用的是浓硫酸的氧化性5.捕获二氧化碳生成甲酸的过程如图所示。
2020届全国Ⅰ卷高三上学期五省优创名校联考试题语文
2020年普通高等学校招生全国Ⅰ卷五省优创名校第二次联考语文考生注意：1.本试卷共150分。
考试时间150分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下而的文字，完成1～3题。
韩愈是古文运动的首领，古文运动不仅是反对陈腐的今体文，更重要的是力图复兴极衰的儒家学说，推翻声势极盛的佛道二教，所以韩愈古文富有战斗精神，不愧为“凌云健笔意纵横”的伟大文学家和思想家，宋人诗话说“韩以文为诗，杜以诗为文，故不工耳”。
韩诗与古文一样，像长江大河，浩浩瀚瀚，表现笔力雄健才思富赡的极致，李白杜甫的精华，被韩诗吸收并神而化之，独成一大家，可以说杜文不很工，却不可以说韩诗不工。
韩愈在《调张籍》诗里指出自己学李杜的心得“精诚忽交通，百怪入我肠”，说明韩诗与李杜诗精神融合成一体，没有刻意经营，却自然合于李杜。
韩诗变化怪奇，主要得自李白；法度森严，主要得自杜甫，他在《调张籍》诗中斥责李杜优劣论（当以元稹为此论代表），说，“不知群儿愚，那用故谤伤。
蚍蜉撼大树，可笑不自量！”如果不是学李杜同样有得，对李杜同样深知，那么，对李杜的认知是容易出偏差的。
韩愈是中唐创硬体诗的一大家，有如白居易创通俗诗也是一大家。
韩派诗人多有名人，最著者张籍、孟郊、贾岛、樊宗师、卢仝、李翱、李贺等人。
张籍于唐德宗时登进士第，深得韩愈重视，韩愈《醉赠张秘书诗》云“张籍学古淡，轩鹤避鸡群”。
《调张籍诗》云“乞君飞霞佩，与我高颉颃”。
韩愈承认张籍学李杜，与自己有同样的成就，可以颉颃同飞。
所谓“学古淡”，“古”是指张诗擅长乐府，多用古乐府为题；“淡”是指辞意通显，不作雕饰。
张籍与白居易、元稹唱和，诗句通俗，但不同于元稹、白居易末流，所以说“轩鹤避鸡群”。
如《野老歌》：“老农家贫在山住，耕种山田三四亩。
苗疏税多不得食，输入官仓化为土。
岁暮锄犁傍空室，呼儿登山收橡实。
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2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U ＝R ，则下列能正确表示集合M ＝{0，1，2}和N ＝{x|x 2＋2x ＝0}关系的韦恩（Venn ）图是A ．B ．C ．D ．2．设复数z ＝2＋i ，则25z z+= A ．－5＋3i B ．－5－3i C ．5＋3i D ．5－3i3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A ．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C ．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长4．设x ，y 满足约束条件60330x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则1y z x =+的取值范围是A ．（－∞，－9]∪[0，＋∞）B ．（－∞，－11]∪[－2，＋∞）C ．[－9，0]D ．[－11，－2] 5．函数211()ln ||22f x x x =+-的图象大致为 A ．B ．C ．D ．6．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．4643π-B ．64－4πC．64－6πD．64－8π7．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A．i＜6B．i＜7C．i＜8D．i＜98．袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A．1 9B．3 18C．2 9D ．189．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22()sin a c b C +=+，则B＝A ．6π B ．4πC ．23πD ．3π10．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为A ．2B ．12 C ．13D ．1411．已知奇函数f （x ）在R 上的导数为f′（x ），且当x ∈（－∞，0]时，f′（x ）＞1，则不等式f （2x －1）－f （x ＋2）≥x－3的解集为 A ．（3，＋∞） B ．[3，＋∞） C ．（－∞，3] D ．（－∞，3）12．已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3f x f π≤，且在区间（15π，5π）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为A ．4 B ．1114C ．1054D ．1174第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上．13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则（2a ＋b ）·（a －3b ）＝________． 14．253sin 50________43cos 20-︒=-︒． 15．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD 的表面积是________．16．已知双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），圆M ：222()4b x a y -+=．若双曲线C 的一条渐近线与圆M 相切，则当22147ln 2b a a +-取得最小值时，C 的实轴长为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n ＝na n ＋1－n 2－n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足22121(1)n n n b n a ++=-，求{b n }的前n 项和T n ． 18．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（ⅰ）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．19．如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝AS ＝2，AB ＝1，CD ＝3，点E 在棱CS 上，且CE ＝λCS ．（1）若23λ=，证明：BE ⊥CD ； （2）若13λ=，求点E 到平面SBD 的距离．20．在直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，且圆P 与直线x ＝－1相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）设过定点S （－2，0）的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问：在曲线C 上是否存在点M （与A ，B 两点相异），当直线MA ，MB 的斜率存在时，直线MA ，MB 的斜率之和为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数()2ln af x x ax=-+-．（1）若函数f（x）在[1，＋∞）上是单调递减函数，求a的取值范围；（2）当－2＜a＜0时，证明：对任意x∈（0，＋∞），22e(1)ax aax-<-．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为,22x my⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学参考答案（文科）1．A2．C3．D4．A5．C6．B7．B8．C 9．D 10．C 11．B 12．C 13．72- 14．215．36 16．417．解：（1）由条件知S n ＝na n ＋1－n 2－n ，① 当n ＝1时，a 2－a 1＝2；当n≥2时，S n －1＝（n －1）a n －（n －1）2－（n －1），② ①－②得a n ＝na n ＋1－（n －1）a n －2n ， 整理得a n ＋1－a n ＝2．综上可知，数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，从而得a n ＝2n ＋1． （2）由（1）得222221111[](22)4(1)n n b n n n n +==-++， 所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =-+-++-=-=-+++． 18．解（1）平均数150.15250.x =⨯+⨯++⨯+． 前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x ， 则（x －30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x ＝35，即中位数为35．（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a ，b ，c ，d ，年龄在[60，70）的有2人，设为x ，y ．则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，x ），（a ，y ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，d ），（c ，x ），（c ，y ），（d ，x ），（d ，y ），（x ，y ）． 至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a ，x ），（a ，y ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，x ），（c ，y ），（d ，x ），（d ，y ），（x ，y ）． 记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A ， 故所求概率93()155P A ==． （ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88， 故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760． 19．（1）证明：因为23λ=，所以23CE CS =，在线段CD 上取一点F 使23CF CD =，连接EF ，BF ，则EF ∥SD 且DF ＝1． 因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ． 又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°， 所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．因为AD∩SA＝A ，所以CD ⊥平面SAD ， 所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ．因为BF∩EF＝F ，所以CD ⊥平面BEF ． 又BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥BE ．（2）解：由题设得，111()2332S BCD BCD V S SA CD AD SA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，又因为SB ==BD ==SD =，所以12SBD S SD =⋅=△，设点C 到平面SBD 的距离为h ，则由V S —BCD ＝V C —SBD得h = 因为13CE CS =，所以点E 到平面SBD的距离为23h =20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，1r =+，①又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，②由①②消去r 得y 2＝8x ，所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ．（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2008y x =，2118y x =，2228y x =， 1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+， 所以120210*********(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，③ 显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，联立方程组282y x x ty ⎧=⎨=-⎩，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2， 代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=++，令02008(82)816t y m y ty +=++（m 为常数），整理得2000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立， 所以0200864016160my my y m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以024m y =⎧⎨=⎩或024m y =-⎧⎨=-⎩，即M （2，4）或M （2，－4），即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意．21．（1）解：由题意得22()0af x x x '=--≤，即a≥－2x 在[1，＋∞）上恒成立，所以a≥－2．（2）证明：由（1）可知2222()a x af x x x x +'=--=-，所以f （x ）在（0，2a -）上单调递增，在（2a-，＋∞）上单调递减．因为－2＜a ＜0， 所以112aax -<<-， 所以(1)(1)0af f x -<=，即2ln(1)01a aaa x x--+-<-， 即222ln(1)ln(1)a aax a x x <-=--， 所以22e (1)a x a ax -<-．22．解：（1）将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48， 得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=，因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48， 化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12||||||FA FB t t +=-=== （2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（02θπ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当4θπ=时，面积S取得最大值 23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，当x≤－2时，由x －4≥2x＋1，解得x≤－5；当－2＜x ＜1时，由3x≥2x＋1，解得x ∈∅；当x≥1时，由－x ＋4≥2x＋1，解得x ＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x ＝1}．（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4， 即等价于26a x x-<<， 所以由题设得26a x x-<<在x ∈（0，2）上恒成立， 又由x ∈（0，2），可知21x -<-，63x >， 所以－1≤a≤3，即a 的取值范围为[－1，3]．。