第10章 矩阵位移法

a1 j
amj
a1 j )T
2、行列式：n阶方阵A相应的行列式D，记作
D A det A det(aij )m*n
若D＝0，A为奇异矩阵
3、矩阵运算
相等：Amn=Bmn，则aij=bij
加减：Cmn＝Amn+Bmn，则cij=aij+bij
数乘：Cmn=k*Amn，则cij=k*aij
乘法：Cmn=Aml*Bln，则
0
u2
６EI
l２
v2
２
4EI
l
刚度矩阵：行数＝杆端力列向量分量数
列数＝杆端位移列向量分量数
记忆： 小子块—— 12 -- 6 -- 6 -- 4 （主）
12-- 6 -- 6 -- 2 （副） 4、5 行、列，除主元素外，均为负值
行——杆端力（X、Y、M） 列——杆端位移（u、v、φ）
l
cij aik *bkj
k 1
转秩：Bmn=ATmn，则bij=aji (A+B)T=AT+BT
(kA)T=kAT (AB)T=BT*AT（反序定律）
4、特殊矩阵
1 0
0
单位矩阵
I 0 1
0
0 0
1
d1 0
0
对角矩阵
D
0
d2
0
0
0
dn
对称矩阵：An*n，aij=aji
正定矩阵：特征值都大于零的实对称矩阵
对称性——kij = kji 奇异性——|K| = 0
第1和2 行(列)与第4 或5行(列)相加，所得一行(列)元素全为零
物理概念：已知杆端位移→杆端力，反之不成。因为讨论的是 自由式单元，存在任意的刚性位移。
分块性质
F1 F2
K11 K21
K12 K22
.
1
2
6、特殊单元 简支单元
M1
M1 M2
4i 2i
2i 4i
.
12
φ1
拉压杆单元
φ2 M2
X1
X2
EA l
1 1
1
1
.
uu12
X1
1 0 －1 0 u1 （10－6）
0 X2 0
EA l
0
－1
0
0 0 0
0 1 0
0
0 0
.
0 u2 0
（10－8） 便于坐标转换
• 弯曲杆单元 • （忽略轴向变形）
12EI
Y1 M1 Y2
l3 ６EI
l２
12EI
M 2
l3
６EI l２
６EI l２ 4EI
l ６l２EI
2EI
l
12EI l3 ６l２EI
12EI l3
６l２EI
６EI
l２ 2EI
l ６l２EI
4EI
.
v1
v21
２
l
§10－3 单元刚度矩阵的坐标转换
整体分析——统一坐标系 变形条件、平衡条件——整体坐标系
整体坐标系的单元刚度方程 Fe＝k e e
坐标变换方法：
1、单元坐标转换矩阵 设α为从 x 轴到 x 轴的夹角，逆时针为正
x α x
α
x y
cos sin
sin x cos y
αy y
0
EA l
Y2 M2
0
0
0
12EI l3
６EI l２
0
12EI
l3 ６EI
l２
0
６EI l２ 4EI l
0
６EI l２
2EI l
EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
６l２EI
0
12EI l3
６l２EI
0
６EI
u1
l２ 2EI
l
v1
.
1
矩阵知识
1、矩阵：m×n个数aij 排成m行、n列的矩形阵列
记作
a11 a12
A
a21
a22
a1n
a2n
(aij
)m*n
am1
am2
amn
方阵：
m n，Ann —— n 阶方阵 aii 主对角线元素
行矢量： ai ai1 ai2
ain
列矢量：
a1 j
aj
a2
j
(a1 j
第十章 矩阵位移法
§10－1 概述
基本方法 ——力法、位移法 ——手算 杆件有限元法——矩阵位移法 ――电算 主要内容：离散化——单元分析
刚度（物理）关系：杆端力——杆端位移 集合——整体分析－几何条件 －平衡条件
结构矩阵分析： ——力法 ——位移法：简单，通用性强，应用广
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 数学工具——矩阵运算
——排列顺序：i→j
刚度系数 kij （物理意义） ——对应杆端位移δj＝1时，
引起对应δi方向的杆端力Fi。
5、单元刚度矩阵的性质
（1）物理意义
单刚——表示单元杆端力与杆端位移的刚度关系
单元刚度系数——当其所在列对应的杆端位移等于1（其 余杆端位移等于0）时，所引起的所在行对应的杆端力
（2）重要性质
等截面直杆：单元 I、E、A、l。
2、局部坐标系
i
i→j 杆轴正方向
x e
j
（局部编码，箭头）
坐标系：（右手系）
y M,φ x
3、杆端力与杆端位移 FNi
“—”局部坐标标志 正负号规则
Mi FSi
e
——与坐标系对应 ui
（列向量）
φi vi
e
(10 – 3、4)
Mj FNj FSj
φj uj vj
x2
y2
M
2
sin cos
0
0
0 0 1
| | | | | | |
F e FNi
FSi
Mi
FNj
FSj
T
Mj
X1
Y1
M1
X2
Y2
T
M2
e ui vi i u j v j j T
4、刚度方程——杆端力与杆端位移的刚度关系
F e K e e （10－2）
（表8－1）*
(10 – 1)刚度方程
EA
l
X1
Y1
0
M1 X2
5、逆矩阵 B=A-1 AB=BA=I（单位矩阵） A、B互为逆矩阵 矩阵可逆，detA≠0 反序定律：(AB)-1=B-1A-1
§10－2 单元刚度矩阵（局部坐标系）
单元分析：杆端力～杆端位移——刚度关系
（10－1）转角位移方程——矩阵形式（轴向变形）
1、编码
单元—— e( e = 1,2，…，n)
α
转角与平面坐标系的变换无关
力的转换：用X、Y、M表示 X、n x1
cos
y1
M 1 M1
x 2 y 2
cos sin
sin x 2
cos
y
2
M 2 M2
矩阵形式
e
x1 cos
y1
sin
M1 0
充要条件：所有的主子式都大于零 即 |Ai|>0
正交矩阵：AT=A-1
a11
分块矩阵：
A
a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
B11
B21
B12
B22
其中：B11
a11
a21
B21 a31
a12 a22
，B12
aa1233
，
a32 ，B22 a33