关于数学模型的评价与检验
数学建模各种分析方法
现代统计学1.因子分析(Faｃｔor Ａｎalysis)因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子(之所以称其为因子,是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息.运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。
2．主成分分析主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前,用主成分分析来分析数据,让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的.主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。
(screeninｇ the daｔa)，b，和ｃｌuｓteｒ aｎaｌysｉs一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解,这时候可以使用主成份发对变量简化。
（ｒeduce dimensiｏｎality)d,在多元回归中,主成分分析可以帮助判断是否存在共线性(条件指数),还可以用来处理共线性。
主成分分析和因子分析的区别1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。
2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。
３、主成分分析中不需要有假设(ａｓｓｕｍptions）,因子分析则需要一些假设。
因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（speｃific fａct ｏr）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关.４、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的,可以旋转得到不同的因子。
５、在因子分析中,因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定,只要是特征值大于1的因子进入分析),而指定的因子数量不同而结果不同。
数学建模及典型案例分析
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特 征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号 去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个 数学表述。 例如在牛顿力学中的公式f=ma, s=vt. 爱因斯坦 的质能方程E=mc2. 这些都是数学模型. 数学建模就是建立数学模型的过程。
数学模型的分类
按应用领域分类: 人口模型，环境模型、交通模型、生
态模型…… 按建模方法分类：初等模型、微分方程模型、差分方 法模型、统计回归模型、数学规划模型…… 按是否考虑随机因素分类：确定性模型和随机模型 按变量的连续性分类：连续模型和离散模型 按对对象内部规律了解程序分类：白箱模型、灰箱模 型和黑箱模型 按变量的基本关系分类：线性模型和非线性模型 按是否考虑时间变化分类：静态模型和动态模型
李志林，欧宜贵编著
化学工业出版社
广西民族大学数学与计算机科学学院
曹敦虔制作
目录
数学建模导言 2. 插值与拟合 3. 微分方程建模方法 4. 差分法建模 5. 计算机模拟 6. 层次分析法 7. 数据的统计描述与分析 8. 回归分析方法 9. 优化模型 10. 确定型时间序列预测法 11. 随机型时间序列预测法
示例1 鸭子过河
有只鸭子想游到河对岸的某个位置O，如果它的方向
始终朝着目标O。求这只鸭子的游动曲线。
示例1 鸭子过河
模型假设
1. 假设河的两岸为平行直线，河宽为h; 2. 鸭子游水的速率为b, 水流速率为a, 均为常数;
3. 初始时鸭子的位置为A;
4. 鸭子游动的方向始终指向O.
示例1 鸭子过河
数学建模的基本方法和步骤
实现对象
假设、抽象、表达
数学模型
验 证 、 应 用
数学综合实践活动课题
数学综合实践活动课题一、综合实践活动的目的和意义数学综合实践活动是指以数学为主要内容，结合其他学科知识和生活实际，通过探究、操作、制作、展示等方式，培养学生的数学素养和综合能力的活动。
数学综合实践活动的目的和意义有以下几点：激发学生的数学兴趣，提高学生的数学自信。
通过参与有趣、有意义、有挑战的数学综合实践活动，学生可以体验数学的魅力，感受数学的乐趣，发现数学的价值，增强数学的自信心。
培养学生的数学思维，提高学生的数学创新。
通过参与多样化、开放性、探究性的数学综合实践活动，学生可以锻炼数学的逻辑思维、抽象思维、空间思维、创造思维等，培养数学的思想方法和解决问题的能力。
拓展学生的数学视野，提高学生的数学素养。
通过参与跨学科、跨领域、跨文化的数学综合实践活动，学生可以了解数学的历史文化，认识数学在自然科学、社会科学、工程技术等方面的应用，提高数学的文化素养和应用素养。
培养学生的合作精神，提高学生的社会责任。
通过参与小组合作、交流分享、评价反馈等方式进行数学综合实践活动，学生可以培养团队协作、沟通表达、批判评价等能力，增强社会责任感和公民意识。
二、综合实践活动的设计原则根据《全日制义务教育普通高中课程方案（2017年版）》和《普通高中课程标准（2017年版）》中关于综合实践活动课程的要求，结合我校实际情况，我们设计了以下几个原则：以问题为导向，以探究为主要方式。
我们要根据不同年级和不同层次的学生特点，选择适当难度和广泛性的问题作为活动主题，引导和激励学生主动探究问题的本质、规律和方法，发现和解决问题。
以内容为基础，以能力为主要目标。
我们要根据课程标准中规定的必修模块和选修模块中涉及到的知识点和能力点，选择相关联和具有代表性的内容作为活动内容，注重培养和提高学生在知识掌握、能力运用、过程技能等方面的能力。
以过程为重点，以评价为主要支撑。
我们要关注活动过程中每个环节和每个步骤的设计和实施，注重反馈和调整活动过程中出现的问题和困难，建立多元化、开放性、互动性的评价机制，促进活动效果和质量。
数学建模介绍
数学建模介绍1.1 数学模型及其分类数学建模作为用数学方法解决问题的第一步，它与数学本身有着同样悠久的历史。
一个羊倌看着他的羊群进入羊圈，为了确信他的羊没有丢失，他在每只羊进入羊圈时，则在旁边放一颗小石子，如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完，则表示他的羊和以前一样多。
究竟羊倌数的是石子还是羊，那是毫无区别的，因为羊的数目同石子的数目彼此相等。
这实际上就使石子与羊“联系”起来，建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。
（1）什么是数学模型人们在认识研究现实世界里的客观对象时，常常不是直接面对那个对象的原形，有些是不方便，有些甚至是不可能直接面对原形，因此，常常设计、构造它的各种各样的模型。
如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。
这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物，集中反映了原形中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认识。
数学模型也是反映客观对象特征的，只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。
建立数学模型的过程称为数学建模。
(2) 数学模型的重要作用进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。
在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。
计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。
数学建模竞赛成绩的评价排序与预测模型
§4 一、名词解释
名词解释与符号说明
1．奖项等级：只比赛成绩划分的不同奖项，如一等奖，二等奖，三等奖，成功参 赛奖。 2．获奖比例：学校参加比赛获得某一奖项的队伍数量占所有队伍数量的比例。 3．比赛成绩：参赛队伍获得的比赛卷面成绩。 4．规模成绩：每个学校组织参赛的规模，主要包括组织参赛的队伍数量和参赛队 伍的获奖情况两个方面的因素。 5．综合实力：学校的综合实力主要是一个学校组织参赛的规模和比赛获得的奖项 状况决定的，所以学校的实力是比赛成绩与规模成绩的总和。
§3
零；
模型的假设
1.在安徽赛区的排名中， 假设专科组和本科组的记分标准一样， 不做另外分组处理； 2.假设如果一个学校那一年没有参赛， 则该年获得各个等级奖项的参赛队伍数记为 3.如果一个学校在某个奖项等级获奖空缺，也将参赛队伍记为零； 4.每年的考试难度没有差别； 5.每个同学的学习能力基本不变，并且发挥其真实水平； 6.影响学生成绩的因素主要有真实成绩与进步程度； 7.每个学生处于相同的考试环境中； 8.所给的数据时学校的真实考试成绩，没有作弊问题的影响。
n
Cj
i Wi
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P X T N S
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优化因子 为某高校该年奖项的平均得分 为某高校该年所获奖项的总得分 为某高校该年每个学校参赛的队伍 为某高校该年所有参赛队伍的总数
§5
解。 一、问题一的分析与求解
模型的建立与求解
从所要解决的问题和对问题所做的假设出发， 分别对三个问题进行详细的分析与求
4
安徽科技学院 安徽理工大学 安徽绿海商务职业学院 安徽农业大学 安徽三联学院 安徽商贸职业技术学院 安徽师范大学 安徽新华学院 安徽新闻出版职业技术学院 安庆师范学院 蚌埠学院 亳州师范高等专科学校 巢湖学院 池州学院 滁州学院 阜阳师范学院 阜阳师范学院信息工程学院 合肥工业大学 合肥师范学院 合肥学院 河海大学文天学院 淮北师范大学 淮北师范大学信息学院 淮南联合大学 淮南师范学院 黄山学院 江淮学院 解放军电子工程学院 解放军陆军军官学院 六安职业技术学院 马鞍山师范高等专科学校 桐城师范高等专科学校 铜陵学院 皖西学院 芜湖信息技术职业学院 宿州学院 中国科学技术大学 ②年综合规模评比
数学建模五步法与灵敏度分析报告
灵敏度分析简介：研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。
用途：主要用于模型检验和推广。
简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。
举例（建模五步法）：一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。
猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分，求出售猪的最佳时间。
建立数学模型的五个步骤：1.提出问题2.选择建模方法3.推到模型的数学表达式4.求解模型5.回答问题第一步：提出问题将问题用数学语言表达。
例子中包含以下变量：猪的重量w（磅），从现在到出售猪期间经历的时间t（天），t天内饲养猪的花费C（美元），猪的市场价格p（美元/磅），出售生猪所获得的收益R（美元），我们最终要获得的净收益P （美元）。
还有一些其他量，如猪的初始重量200磅。
（建议先写显而易见的部分）猪从200磅按每天5磅增加（w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天）饲养每天花费45美分（C美元）=（0.45美元/天）*（t天）价格65美分按每天1美分下降（p美元/磅）=（0.65美元/磅）-（0.01美元/磅）*（t天）生猪收益（R美元）=（p美元/磅）*（w磅）净利润（P美元）=（R美元）-（C美元）用数学语言总结和表达如下：参数设定：t=时间（天）w=猪的重量（磅）p=猪的价格（美元/磅）C=饲养t天的花费（美元）R=出售猪的收益（美元）P=净收益（美元）假设：w=200+5tC=0.45tp=0.65-0.01tR=p*wP=R-Ct>=0目标：求P的最大值第二步：选择建模方法本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题第三步：推导模型的数学表达式子P=R-C （1）R=p*w （2）C=0.45t （3）得到R=p*w-0.45tp=0.65-0.01t （4）w=200+5t （5）得到P=（0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t令y=P是需最大化的目标变量，x=t是自变量，现在我们将问题转化为集合S={x:x>=0}上求函数的最大值：y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x （1-1）第四步：求解模型用第二步中确定的数学方法解出步骤三。
数学建模总结范文
2014年数学建模总结随着2014年全国大学生数学建模竞赛落下帷幕，回顾这一年来点点滴滴的准备和奋斗，校数模组感慨颇多。
在这一年的时间内，学校领导对数学建模竞赛给予了高度的重视，在教务处的直接领导下，理学院相关老师对此进行了全校动员、竞赛选拔、暑期培训等相关工作。
现在把近一年的数学建模工作总结如下：一、对数学建模的认知数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。
例如，我们平时喝酒开车的问题，怎样喝酒，喝酒后要隔多久才能开车，都属于数学建模的范畴；我们平时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案……这些问题和建模都有着很大的联系。
数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业、航天航空、工程建设等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的。
它能极大地拓宽和丰富我们的内涵，让我们感到了知识的重要性，也领悟到了“学习是不断发现真理的过程”这句话的真谛所在，这些知识必将为我们将来的学习工作打下坚实的基础。
数学建模的过程如下：（1）问题分析：对所给问题做初步的分析，了解问题的所给的条件及需要解决的问题。
（2）模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。
用数学语言来描述问题。
（3）模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
（4）模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。
（5）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
（6）模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。
（7）模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。
全国大学生数学建模竞赛模板
题目摘要问题的理解，解决的思路，采用的模型和方法，算法思路，相关的结论与检验与推广。
突出特点，叙述准确、条理、简洁、创新、使用关键字：1.问题重述把握问题的实质，简述原题，提出需要解决的问题2.模型假设精炼准确问题中所给条件的假设和自己加的假设3.符号说明符号描述4.问题分析模型准备（相关基本概念）建议在文字说明的同时用图形或图表列出思维过程。
多角度思考问题5.模型建立5.1. 问题一假设分析，建立模型，用数学语言描述对象的内在规律，特定的变量应保持一致，其它只要在需要的地方加以说明就行了5.2. 问题二6.模型求解求解过程的公式推导（数学命题定理），算法步骤（设计或选择、思想依据、实现步骤、框图）和计算结果（求解方案流程）。
采用数学软件的理由。
对求解结果进行数学上的分析：误差分析、模型对数据的稳定性和灵敏度分析6.1. 问题一6.2. 问题二7.模型检验把求解和分析结果翻译回到实际问题中，与实际现象、数据相比较，以检验模型的合理性和适用性。
8.模型的评价与推广把自己所建的模型与现有模型进行比较评价其优劣，把所建模型推广到解决跟多的类似问题，或讨论给出该模型的更一般的解法，或提出可能的深化、推广及进一步研究的建议（分析中肯、原理和依据明确、突出关键、）。
9.参考文献A. 书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。
B. 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。
C. 参考文献中网上资源的表述方式为：[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间。
10.附录相关程序、比较重要当数据量较大的数据的中间结果（如详细数据结果）。
数学建模成绩评价
E题数学建模竞赛成绩评价与预测摘要本体是关于评价比较与预测问题，是对数学建模开展以来各高校建模水平的评价和比较以及预测。
第一，分析给出的各高校的获奖数据，统计，进行综合量化评价,运用的方法是层次分析法，综合评判和线性分析。
最后,以学校的建模水平进评比。
对于四个问题，对各高校建模获奖数据进行了统计分析。
在建立数学模型时，首先从建模理念的应用意识、数学建模、创新意识出发利用模糊评判的一级评判模型把所给学校的国家一等奖、国家二等奖，省一等奖、省二等奖，省三等奖，成功参赛奖作为因素集。
在用模糊综合评判方法时，确定评判矩阵和权重分配是两项关键性的工作，求权重分配时，通过往年评分标准确定数据后用层次分析法计算权重；对于评判矩阵，通过对整理的各高校每个等级奖项数目对各高校获奖总数的比重建立评价矩阵。
通过C语言编程处理得出的各高校建模水平，通过线性回归，预测十二五期间的建模水平，从而解决问题。
关键字：综合评判；层次分析法；统计分析；线性回归；C语言编程;画图软件；一、问题的重述近20年来，CUMCM的规模平均每年以20％以上的增长速度健康发展，是目前全国高校中规模最大的课外科技活动之一。
2011 年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国的1251所院校、19490个队（其中本科组16008队、专科组3482队）、58000多名大学生报名参加本项竞赛。
在数学建模活动开展20周年之际，有必要对以往的数学建模工作进行总结及对未来的发展进行预测。
通过某高校2006-2011年数学建模成绩，建立合理的评价模型，对该校十一五期间数学建模工作进行评价，并对该校十二五期间的数学建模成绩进行预测；试建立评价模型，给出吉林赛区十一五期间各校建模成绩的科学、合理的排序；并给出吉林赛区各院校十二五期间的建模成绩进行预测；给出全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩的科学、合理的排序；并对全国各院校十二五期间的建模成绩进行预测；你认为如果科学、合理地进行评价和预测，除全国竞赛成绩、赛区成绩外，还需要考虑那些因素？二、模型假设1、假设附表中的信息基本准确没有异常值并且数据是真实合理的。
数学建模中的实际问题的模型评价与检验
数学建模中的实际问题的模型评价与检验数学建模是将实际问题抽象化为数学模型，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
在数学建模中，模型的评价与检验是非常重要的环节，它可以帮助我们验证模型的有效性和可行性，从而为实际问题的解决提供可靠的依据。
一、模型评价的方法在数学建模中，我们常用的模型评价方法主要包括定性评价和定量评价两种。
定性评价是通过对模型的结构和特点进行分析和判断，从而评估模型的合理性和适用性。
我们可以从模型的假设合理性、模型的适用范围、模型的可解性等方面进行评价。
例如，在交通流量预测的模型中，我们可以评估模型是否考虑了道路拥堵、交通事故等因素，以及模型是否适用于不同的道路类型和交通情况。
定量评价是通过对模型的输出结果与实际数据进行比较，从而评估模型的准确性和可靠性。
我们可以使用误差分析、拟合度检验、预测误差等方法进行评价。
例如，在天气预报的模型中，我们可以将模型的预测结果与实际观测数据进行比较，计算出预测误差，并通过统计分析方法来评估模型的准确性。
二、模型检验的方法模型检验是指通过实际观测数据对模型进行验证和检验，以确定模型的可靠性和有效性。
常用的模型检验方法包括参数估计、残差分析、敏感性分析等。
参数估计是通过最小二乘法等统计方法，对模型中的参数进行估计和优化。
通过与实际观测数据的拟合程度，可以评估模型的准确性和可靠性。
例如，在人口增长模型中，我们可以通过拟合实际的人口增长数据，来估计模型中的人口增长率等参数。
残差分析是通过对模型的预测误差进行分析，来评估模型的准确性和可靠性。
我们可以通过计算模型的残差序列，来检验模型是否具有随机性、平稳性等特性。
例如，在金融市场预测的模型中，我们可以通过对模型的残差序列进行自相关性和正态性检验，来评估模型的有效性。
敏感性分析是通过改变模型中的输入参数，观察模型输出结果的变化，来评估模型对参数的敏感程度。
通过敏感性分析，我们可以确定模型中哪些参数对结果影响较大，从而为模型的改进和优化提供依据。
4模型检验
是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、 简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的路径。 数学建模的全过程
现实对象的信息 验证 现实对象的解答
表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎) 数学模型的解答
解释
学好数学建模课程的标准是：
1.要会“翻译”。
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下面结合与交通有关的赛题考虑一下应该 如何入手解决问题.
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2014 MCM 问题A：除非超车否则靠右行驶的交通规则 在一些汽车靠右行驶的国家（比如美国，中国等等），多车道的高速公路 常常遵循以下原则：司机必须在最右侧驾驶，除非他们正在超车，超车时 必须先移到左侧车道在超车后再返回。 建立数学模型来分析这条规则在 低负荷和高负荷状态下的交通路况的表现。你不妨考察一下流量和安全的 权衡问题,车速过高过低的限制，或者这个问题陈述中可能出现的其他因 素。这条规则在提升车流量的方面是否有效？如果不是，提出能够提升车 流量、安全系数或其他因素的替代品（包括完全没有这种规则）并加以分 析。 在一些国家，汽车靠左形式是常态，探讨你的解决方案是否稍作修 改即可适用，或者需要一些额外的需要。 最后，以上规则依赖于人的判 断，如果相同规则的交通运输完全在智能系统的控制下，无论是部分网络 还是嵌入使用的车辆的设计，在何种程度上会修改你前面的结果？
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分析：题目里说的流量怎么计算？ 低负荷和高负荷情况下交通路况怎么衡量？ 限速能否用到？ 元胞自动机模型。(交通流CA模型) 还有智能控制, 即智能车, 可自动行驶?
美国交通规则?
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文献资料
基于不同限速条件下的超车模型研究 智能车辆自动换道与自动超车控制方法的研究 汽车防碰撞安全距离模型及仿真研究 跟随车安全距离的分析 高速公路行车安全距离的分析与研究
初中数学模型分析大全!
初中数学模型分析大全!数学模型是对实际问题进行数学建模和分析的方法，通过模型能够更好地理解和解决实际问题。
下面是一些常见的初中数学模型分析。
1.几何模型分析几何模型分析是根据实际问题的几何特征建立数学模型，通过几何方法进行分析。
例如，求解正方形的对角线长度、计算圆的面积和周长等。
2.比例模型分析比例模型分析是根据实际问题中的数量比例关系建立数学模型，并通过比例关系进行计算和分析。
例如，求解比例尺、计算物体放大或缩小的尺寸等。
3.图论模型分析图论模型分析是通过图的结构和关系建立数学模型，解决实际问题。
例如，解决城市交通问题、计算网络拓扑结构等。
4.随机模型分析随机模型分析是对实际问题中的随机性进行建模和分析。
例如，通过骰子模型分析掷骰子的概率分布、通过抽样模型分析人口统计数据等。
5.线性规划模型分析线性规划模型分析是通过线性规划方法解决实际问题。
例如，通过线性规划分析最优化问题、资源分配问题等。
6.统计模型分析统计模型分析是根据概率统计理论建立数学模型，并通过统计方法进行分析和推断。
例如，通过回归分析模型分析变量之间的相关性等。
7.最优化模型分析最优化模型分析是通过最优化理论建立数学模型，解决实际问题中的最优化问题。
例如，通过最小二乘法分析数据曲线拟合、通过线性规划分析资源分配问题等。
8.动力系统模型分析动力系统模型分析是根据物体运动的动力学特征建立数学模型，并通过动力学分析解决实际问题。
例如，通过微分方程模型分析弹簧振动、分析物体运动规律等。
总结起来，初中数学模型分析包括几何模型分析、比例模型分析、图论模型分析、随机模型分析、线性规划模型分析、统计模型分析、最优化模型分析和动力系统模型分析等。
通过建立数学模型和使用相应的方法进行分析，可以更好地解决实际问题，并提高数学思维能力和解决问题的能力。
数学的模型与实验
数学的模型与实验数学是一门具有广泛应用价值的学科。
在解决现实问题和进行科学研究中，数学模型和实验是不可或缺的工具。
本文将探讨数学的模型与实验在科学研究和实际应用中的作用以及其重要性。
一、数学模型的定义和应用1.1 数学模型的定义数学模型是对实际问题的抽象和描述。
它通过数学语言和符号来揭示问题的本质和规律，从而能够进行预测、分析和优化。
1.2 数学模型的应用领域数学模型广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。
比如物理学中的力学方程、经济学中的供求模型、生态学中的生物种群模型等。
二、数学模型的建立和求解2.1 数学模型的建立数学模型的建立需要选择适当的数学工具和方法。
根据问题的特点，可以采用微分方程、概率统计、图论等数学方法进行建模。
2.2 数学模型的求解数学模型的求解可以通过数值计算、解析解、数值模拟等方法实现。
其中数值计算是将数学模型转化为计算机可处理的形式，通过数值算法进行求解。
三、数学模型的优势和局限性3.1 数学模型的优势数学模型可以对问题进行精确的分析和预测，为决策提供科学依据。
它能够简化问题的复杂性，揭示问题的内在规律，从而提高问题的解决效率。
3.2 数学模型的局限性数学模型的建立需要对问题作出一定的理性假设，这可能与实际情况存在一定差距。
此外，数学模型往往只能描述问题的某些方面，对于复杂问题的全面分析仍然具有挑战性。
四、数学实验的意义和方法4.1 数学实验的意义数学实验是为了验证数学模型的正确性和可靠性。
通过实验数据的收集和分析，可以检验模型的预测结果与实际情况的吻合程度。
4.2 数学实验的方法数学实验可以通过实际观测、样本调查、计算机模拟等方式进行。
实验数据的收集和处理需要采用统计学方法和数学计算工具。
五、数学模型与实验的应用案例5.1 物理学中的数学模型与实验物理学中的数学模型和实验相辅相成。
比如经典力学中的牛顿定律，通过数学模型的建立和实验验证，深化了我们对物体运动规律的认识。
数学建模常见评价模型简介
数学建模常见评价模型简介Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998常见评价模型简介评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O ，准则层C ，方案层P ；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵标度值 含义1 两因素相比，具有同等重要性 3 两因素相比，前者比后者稍重要 5 两因素相比，前者比后者明显重要 7 两因素相比，前者比后者强烈重要 9 两因素相比，前者比后者极端重要2、4、6、8表示上述相邻判断的中间值以上各数值的倒数若指标i 与指标j 比较相对重要性用上述之一数值标度，则指标j 与指标i 的相对重要性用上述数值的倒数标度表1 1~9标度的含义设要比较各准则n C C C ,,,21 对目标O 的重要性，记判断矩阵为A显然，A 是正互反阵。
数学建模的一般步骤
数学建模的一般步骤建立数学模型与其说是一门技术，不如说是一门艺术。
成功建立一个好的模型，就如同完成一件杰出的艺术品，是一种复杂的创造性劳动。
正因为如此，这里介绍的步骤只能是一种大致上的规范。
1.模型准备：在建模前应对实际背景有尽可能深入的了解，明确所要解决问题的目的和要求，收集必要的数据。
归纳为一句话：深入了解背景，明确目的要求，收集有关数据。
2.模型假设：在充分消化信息的基础上，将实际问题理想化、简单化、线性化，紧紧抓住问题的本质及主要因素，作出既合情合理，又便于数学处理的假设。
归纳为一句话：充分消化信息，抓住主要因素，作出恰当假设。
3.模型建立：①用数学语言描述问题。
②根据变量类型及问题目标选择适当数学工具。
③注意模型的完整性与正确性。
④模型要充分简化，以便于求解；同时要保证模型与实际问题有足够的贴近度。
正确翻译问题，合理简化模型，选择适当方法。
4.模型求解：就复杂一些的实际问题而言，能得到解析解更好，但更多情形是求数值解。
对计算方法与应用软件掌握的程度，以及编程能力的高低，将决定求解结果的优化程度及精度。
掌握计算方法，应用数学软件，提高编程能力。
5.模型检验与分析：模型建立后，可根据需要进行以下检验分析。
①结果检验：将求解结果“翻译”回实际问题中，检验模型的合理性与适用性。
②敏感性分析：分析目标函数对各变量变化的敏感性。
③稳定性分析：分析模型对参数变化的“容忍”程度。
④误差分析：对近似计算结果的误差作出估计。
概括地说，数学建模是一个迭代的过程，其一般步骤可用流程图表示：数学建模论文的撰写及格式撰写数学建模论文和通常完成数学建模竞赛的答卷是类似的, 都是在完成了一个数学建模问题的全部过程后, 把所作的工作进行小结, 以有清楚定义的格式写出解法论文,用于交流或给有关部门、人员汇报。
数学建模论文的结构：一份完整的答卷应包含以下内容:论文题目；摘要；问题的重述；模型的假设、符号约定和名词解释；模型的建立、模型的求解、模型的结果和检验；模型的评价和改进；参考文献；附录。
数学建模评价类模型——模糊综合评价
数学建模评价类模型——模糊综合评价文章目录•o一级模糊综合评价应用o1）模糊集合o2）隶属度、隶属函数及其确定方法o3）因素集、评语集、权重集o1、模糊综合评价法的定义o2、应用模糊综合评价法需要的一些小知识oo3、模糊综合评价法的应用（实例）oo4、最后总结1、模糊综合评价法的定义先来看看官方标准定义：模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评价方法。
该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。
它具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。
初次看，是不是觉得有点懵懵懂懂的？（偷笑）我来用非官方的语言解释一遍，或许你就明白了。
大家想想，生活中，是不是有很多模糊的概念。
比如班级要评三好学生，那评价的标准一般就是学习成绩好不好、思想品德好不好、身体好不好（我查了下百度才发现三好学生竟然要身体好！？感情身体不好还不行）。
学习成绩好或者不好、思想品德好或者不好、身体好或者不好听起来是不是就很模糊？怎么样就算学习成绩好了或者思想品德好了或者身体好了？对，其实这些指标就是模糊的概念。
模糊综合评价法是什么呢？其实就是对评价对象就评价指标进行综合评判，最后给每个评价对象对于每个指标一个隶属度。
（有点绕口，用三好学生的例子再来阐述一下）比如现在有个学生参与评判三好学生。
标准假如就是评上和评不上。
用模糊综合评价法得到的最终结果就是这名学生对于评上的隶属度和评不上的隶属度。
假如评上的隶属度高一些，那这名学生肯定是被评上咯。
（反之亦然）我这样介绍一下，是为了让大家知道我们这个模糊综合评价到底是干嘛的，不要嫌我啰嗦（吃手手）2、应用模糊综合评价法需要的一些小知识1）模糊集合① 定义：（我觉得这段话不错，来自360百科）这段话其实就举了模糊的一些概念，和经典集合（就是有明确数字的，高中学的那个集合）的区别及其历史。
层次分析法评价模型
层次分析法评价模型评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵元素之间两两对比，对比采用美国运筹学家A.L.Saaty 教授提出的1~9比率标度法(表1)对不同指标进行两两比较，构造判断矩阵。
数学建模权重模型-概述说明以及解释
数学建模权重模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学建模领域中，权重模型是一种常见的数学模型，用于描述和分析各种实际问题中各个因素的相对重要性。
权重模型通过对不同因素进行加权处理，从而确定它们在整体分析中的贡献程度。
这些加权因素可以是定量或定性的，并且可以基于专家意见、数据采集或统计分析等不同方式进行确定。
权重模型的主要目标是为决策者提供决策支持和参考，帮助他们更准确地评估问题和制定相应的解决方案。
本文将深入探讨权重模型的定义、应用场景以及相关的算法和计算方法。
在权重模型的定义部分，将介绍权重模型的基本概念和数学表达方式。
在应用场景一节中，将涵盖权重模型在不同领域中的广泛应用，如金融风险评估、人才选拔和供应链管理等。
在算法和计算方法的部分，将介绍常见的权重模型的建模方法和计算步骤，包括层次分析法、模糊权重法和专家打分法等。
在论文的结论部分，将重点评估权重模型的优势和局限性。
权重模型的优势在于能够提供更全面、客观和准确的决策支持，帮助决策者更好地辨识和解决问题。
然而，权重模型也存在一些局限性，如对数据的依赖性较大、权重的确定存在主观性等。
在对未来研究的展望中，将提出一些可以进一步探索和改进的方向，如融合多种权重模型、提升权重计算的准确性等。
综上所述，权重模型在数学建模中具有重要的应用价值和研究意义。
通过对权重模型的深入研究和应用，可以为实际问题的解决提供更科学、有效的方法和工具。
希望本文能够为读者提供对权重模型的初步了解，并促进更多关于权重模型的研究和应用。
1.2文章结构1.2 文章结构本文按照以下结构进行论述：1. 引言：在本部分中，将对数学建模权重模型的概述进行介绍，包括权重模型的背景和重要性。
同时，还将介绍整篇文章的目的和意义。
2. 正文：2.1 权重模型的定义：详细介绍数学建模权重模型的定义和基本原理，包括权重的概念和其在数学建模中的应用。
2.2 权重模型的应用场景：探讨权重模型在不同领域的应用场景，如金融领域的投资组合优化、物流领域的路径规划等。
操作系统数学模型论文
操作系统数学模型论文培养高中学生应用数学模型解决实际问题，不仅是数学本身发展的要求，也是我们整个社会发展的需要。
所以，我们的数学建模教学不仅仅耍以使学生学到重要的数学知识为目的，更要旨在提高中学生的思维品质。
《普通高中数学课程标准》实验“前言”部分中指出：高中数学课程给教师留有一定的选择空间，他们可以根据学生的基本需求和口身条件丰富课程;应倡导积极主动、勇于探索的学习方式;应注重提高学生的数学思维能力、发展学生的数学应用意识等。
在新课概念教学中，选择日常生活事例引导学生建模，在建模过程中了解概念的现象, 掌握概念本质。
一、对数学模型的认识建模思想是在20世纪80年代进入我国大学的，一些西方国家的大学在20世纪60年代到70年代已经引入了数学建模这一概念。
经过20多年的发展之后，数学建模己经是各院校中开设的专业课程，是培养学生利用数学方法分析、解决问题的一个有效方法。
数学模型一般有算法模型、解析儿何模型、立体几何模型、概率模型以及函数模型等等类型。
数学建模是建立数学模型的过程，这个过程也可以说是一种用数学的思想思考问题的手段。
数学建模主要是用数学方法和手段，通过简化或者抽象描述，解决实际问题的一种手段。
数学建模活动往往都有具体的教学活动作为实例，例如利用概率模型，调查一个班的学生课前预习情况、作业完成情况和课后上网情况等等。
二、创新数学建模活动，激发学生学习兴趣高中教学中加入数学建模知识是一件非常有意义的事，因为数学建模不仅可以提高学生对学习数学的兴趣，还可以培养高中生正确的数学观、敢于挑战困难的意志力。
数学建模能培养学生应用数学方法进行证明、推理、分析的能力;还能培养学生用理解数学语言和用数学语言解决实际问题的能力；甚至还可以提高学生口主学习、安排、协调、组织能力以及应用计算机软件的编程能力和模拟能力。
在高中数学的课堂教学中，多层次、多角度地编排与生活有关的应用内容，能够达到有效激发学生建模兴趣的目的。
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第28卷第4期江西农业大学学报Vol.28,No.4 2006年8月Acta Agriculturae Universitatis J iangxiensis Aug.,2006文章编号:1000-2286(2006)04-0641-04关于数学模型的评价与检验丁思统,廖为明,董军,扬永红(江西农业大学园林与艺术学院,江西南昌330045)摘要:鉴于有些模型间不好相互比较,有些非线性模型不好检验,作者提出任何模型都可算出实测值与模型值的线性相关系数,并定名为拟合相关系数,以此作为任何模型拟合精度的评价和模型间精度比较的尺度,建议任何模型都采用对拟合相关系数进行统计检验。
最后作者认为建立数学模型不能只偏爱于拟合精度的高低,还应关注模型应用性能的强弱。
关键词:数学模型;评价;检验中图分类号:O1-647 文献标识码:AEvaluati on and the Exam i n ati on of Mathe mati csM odelsD I N G Si-t ong,L I A O W ei-m ing,DONG Jun,Y ANG Yong-hong(College of Landscape A rchitecturd and A rt,J iangxi Agricultural University,Nanchan330045,China) Abstract:Some mathe matics models are not easy t o be compared with each other,and s ome linear models are not easy t o be exa m ined.The authors put for ward a related coefficient that can calculate the measured val2 ue and p redicted value of any model,which is called matched related coefficient,and suggest that it be adop t2 ed t o any model t o carry out statistic exa m inati on.Finally,the authors believe that we should not be partial t o the p recisi on of the matched related coefficient,we should als o pay more attenti on t o the app licability of mod2 els.Key words:mathe matics model;evaluati on;exa m inati on在自然、经济、社会的动态发展过程中,数学模型是再现其动态发展轨迹,揭示诸现象相互联系的规律行之有效的方法,是对事物进行预测和控制简洁的科学手段。
随着社会的发展,科学的进步,数学模型的研究方兴未艾,其成果如雨后春笋竞相争艳。
经典线性回归与时俱进,开拓创新。
无偏估计、单方程向有偏估计、联立方程扩展,线性模型向非线性模型开拓。
然而在这多种多样的模型中,怎样去进行相互比较与鉴别,这倒是一个值得关注的问题。
张金屯先生在其所著《数量生态学》[1]中,对种———面积模型的阐述也道出了“对非线性模型却没有相应的检验方法”的苦闷。
其实对非线性模型何只是没有相应的检验方法,譬如横向间的评价比较又拿什么统一尺度去度量?张著提出了不少人沿用的评价指标剩余标准差,其实剩余标准差是从线性回归中剩余平方和引申出来的,在线性模型中,基准变量Y 的变动∑(Y- Y)2,分解为由回归引起的变动回归平方和∑(y- Y)2,和非回归引起的变动即∑(Yi- Y)2-∑(y i- Y)2=∑(y i-Y i)2称之为剩余变动。
在非线性回归中,如:y=ax b化为线性为l og y=l og a+b l og x总变动为∑(l og Y-1n∑l og Yi)2它的回归变动是∑(l og yi-1n∑l og Yi)2它的剩余变动不是∑(yi-Yi )2而是∑(l og Yi-l og yi)2因为把∑(yi-Yi)2称之为剩余变动,指不出它是何处剩余。
皮之不存,收稿日期:2006-03-08作者简介:丁思统(1934-),男,教授,从事计量科学研究。
江西农业大学学报第28卷表1 2行建模的数据表Tab .1 Da t a of m odelst -2-1012X 12345Y 10182530.535y 111.2017.4523.7029.9536.20y 210.22617.62624.23530.37936.199y 39.98218.05324.91030.55334.982则剩余方差和剩余标准差,这毛将焉附?邓聚龙先生首创的灰色系统理论灰色模型中的G M (1,1)模型,无拘无束,以简取繁,具有较好的实用价值,其模型的评价采用误差率。
模型精度检验,他提出关联度检验,但这种评价方式和检验方法也只能局限于G M (1,1)模型,并非什么模型都可以效仿。
考虑到数学模型层层推出,千姿百态,迫切需要用一个统一的标准对它进行比较与评价,作者在此提出拟合相关系数r yY 作为线性的、非线性的、单方程或联立方程,以及近代推出的非线性算法、遗传算法、神经网络等各种形式的数学模型拟合精度的统一的评价标准。
即任何模型依据的实测值Y i 与用模型估计的模型值y 的线性相关系数。
因为只要是模型一定有实测值,也一定可以算出模型值,那就非常容易算出实测值与模型值的相关系数,以模型值记为y,实测值记为Y,则拟合相关系数记为r yY ,只要用计算器就非常容易算出。
表1列出2行数据X 与Y,n =5;用3个模型建模拟合:y 1=a +bx,y 2=ax b,y 3=b 0+b 1t +b 2x 2,r Yy =r X y ;为便于对二次抛物线参数进行简便估计,取t =x -3,即得:①y =a +bx =23.7+6.25t,r xy =r yy =0.9934;②y =ax b 即l og y =l og a +b l og x ,r l og x l og y =0.9985,r yY =0.9977;③y =b 0+b 1t +b 2t 2=24.91+6.25t -0.607t 2,r yY =0.99998从三个模型拟合相关系数便很容易作出比较,假使认为相关系数夸大了相关关系的作用,我们也可取r Yy 2。
另外引用吕勇等单木叶面积两个预测模型[2](ANN 模型和经验回归方程)的实测值和模型值,列于表2。
表2 单木叶面积两种模型的拟合值Tab .2 The f itti n g va lues of Shan M uye area of two m odels样本号12345678实际值0.61921.02730.49910.97101.45610.49310.65401.3780ANN 模型0.90671.04460.49950.97691.47020.54750.65681.3858经验回归方程0.93651.15760.88531.41301.82471.21251.44142.0689经计算,我们得出:ANN 模型的拟合相关系数:r Yy =0.96678;经验回归方程的拟合相关系数:r Yy =0.83674。
两个拟合相关系数对比,可以明显作出判断,前者的拟合精度高于后者。
作为相关系数也可以作显著性检验,如采用t 检验与z 检验。
历史的发展慢慢意识到经典回归的一些假设在实践中很难满足,于是出现了经典回归的开拓,近代回归的问世。
实际上计量经济学也可以说是经典回归的开拓创新。
在回归分析的实际应用中人们清醒地认识到专心致力于提高模型的拟合精度是不够的。
因为模型的拟合是根据样本资料,而应用则面向总体,拟合精度高并不意味着模型适应力强。
譬如,在线性模型建模中往往出现多重共线性的干扰,产生方差扩大因子(V IF )的膨胀,导致标准偏回归系数的标准差扩大,甚至颠倒正负,混淆大小,大大的降低了模型的适应能力和应用精度。
克服和缓解多重共线性的干扰,岭回归的岭估计不失为一种简而易行的方法,虽有一些经济学家对岭回归的岭估计颇有微词,但毕竟有他的实用价值。
多重共线性的诊246第4期丁思统等:关于数学模型的评价与检验断,经验上用条件数K =λl /λp ,陈希孺、王桂松所著近代回归分析[3]中以100≤K ≤1000则认为存在中等程度多重共线性,贝尔斯利等人(1980)则认为条件数K >20,则表明潜在多重共线性[4]。
但此法却没有具体指出哪些变量造成,另一个经验判断指标为方差扩大因子V IF,记为C jj ,C jj =(1-R 2j )-1 j =1,……,p,R j 为x j 对其余p -1个说明变量复相关系数。
有人认为C jj >5或10时,就有严重多重共线性,但实践上C jj <5仍发生明显的符号错误,因之我们曾提出当3.5<C jj <5的条件下姑且称之为弱共线性[5]。
不论条件数也好,方差扩大因子也好,判定多重共线性的域值,纯粹是经验的积累,没有严格而明确的标准,只能具体情况具体分析。
为此,笔者列出实践中的实例:笔者在江西铜鼓县随机实测8块样地中,每块随机抽测立木20株,总株数n =8×20=160,分别实测其年龄(X 1)、胸径(X 2)、树高(X 3)、枝下高(X 4)、冠幅(X 5)材积(Y ),今将8块样地6个指标均值列于下表3。
以立木平均材积为基准变量,记为Y,其余5个测树指标的平均值为说明变量,记为X Z ,z =1,2,3,4,5,建立5元线性模型,表3 8块样地6个指标均值Tab .3 The 6average va lues of 8pl aces指标样 本12345678X 1年龄/年1410987654X 2胸径/cm 15.813.112.810.412.38.68.297X 3树高/m 16.71313.113.810.29.388.357.3X 4枝下高/m 8.522.756.14.85.22.991.51.1X 5冠幅/m 2.963.452.763.372.52.974.253.58Y 材积/m30.14540.08610.08230.0590.06630.03010.0270.0171线性模型建模结果:回归系数向量b =(-0.06189,0.0105,0.00528,-0.00452,0.0038,0.00646),标准回归系数向量bs =(0.79837,0.37472,-0.34376,0.22807,0.08504),方差扩大因子向量V IF =(27.07688,14.22984,14.09359,7.70672,2.93515),回归检验F =78.32,显著水平为0.013,复相关系数R =0.9975。