人教版高中数学必修一122函数的表示法(1)
人教版高中数学必修一1.2.2函数的表示法 (1)ppt课件
例5、下列映射是不是A到B的一一映射？
A
B
A
B
f
1
3
f
1
3
2
5
3
7
5 2
7
3
9
4
9
4
1
(1)
(2)
解：（1） 是
（2） 不是。由于B中元素1在集合A中没有原像
例6、 下列对应是不是A到B的映射？ 1 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} ，f:乘2加1 2 A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数 3 A=R+，B=R，f:求平方根 4 A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1} f:取倒数
5 , 1 5 < x 2 0 , 2 1
图公交车票价.gsp
05
10
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20
我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个，对于分几个 表示的函数，不是几个函数，而是一个函数,我们把它 分段函数.
（2） 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、 线、离散的点等等。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用 法表示函数时,必须注明函数的定义域.
2.图像法：用函数图像表示两个变量之间的对应关系。
如:心电图，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变 化的曲线，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
例如： 我国人口出生率变化曲线：
图像法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。
(1)对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数 (x,y)和它对应；
人教版高中数学必修1《函数的表示法》高一上册PPT课件(第1.2.2-1课时)
PART 03
合作探究·攻重难
TO WORK TOGETHER TO FIND OUT WHAT'S GOING ON
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[合作探究· 攻重难]
函 数表 示 法的 选 择
例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图
象法、解析法表示出来． [解] ①列表法如下：
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[解] (1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜． 在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：
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(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平， 学习情况比较稳定而且成绩优秀， 张城同学的数学成绩 不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平， 但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
优点
缺点
①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意
解析法
不够形象、直观
一个自变量所对应的函数值
列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
一般只能表示部分自变量的函数值
直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误
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图象的画法及应用
例2作 出 下 列 函 数 的 图 象 并 求 出 其 值 域 ． 2
(1)y＝ － x， x∈ {0,1， － 2,3}； (2)y＝， x∈ [2， ＋ ∞ )； (3)y＝ x2＋ 2x， x∈ [－ 2,2)． x
[解] (1)列表
必修一1.2.2函数的表示法1[PPT课件]人教版高中数学
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三种表示方法的特点
解析法 ①函数关系清楚、精确；
②容易从自变量的值求出其对应的函数值； ③便于研究函数的性质.
解析法是中学研究函数的主要表达方法.
图象法 能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今
后利用数形结合思想解题的基础.
列表法 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函
数的对应值，当自变量的值的个数较少时使 用. 列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.
2.图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:能直观地表示出函数的变化情况。
3.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 试用列表法表示角的正弦、余弦.
角度 00 300 450 600 900
正弦 0
1 2
2 2
3 2
1
角度 00 300 450 600 900
余弦 1
3 2
2 2
5．画出下列函数的图象： (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝x2－2x(－1≤x<2)．
解析： (1)当 x＝0 时，y＝1； 当 x＝2 时，y＝5. 所画图象如图 1 所示．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1， 当 x＝－1 时，y＝3. 当 x＝0 时，y＝0. 当 x＝1 时，y＝－1. 当 x＝2 时，y＝0.所画图象如图 2 所示．
是他的成绩呈曲线上升的趋势，从而表明他的数学成
绩在稳步提高.
例 4.作出下列函数的图象： (1)y＝1＋x(x∈Z)； (2)y＝x2－2x(x∈[0,3))； (3)y＝1x.
[思路点拨] (1)函数的定义域是整数集，因此函数 的图象是一些点；(2)只需画出二次函数在区间 [0,3)上的图象即可；(3)根据函数解析式，函数是 反比例函数．
课件函数的表示法_人教版高中数学必修一PPT课件_优秀版
•
(2)画出该函数的图象；
•
(3)写出该函数的值域．
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解析：
(2)已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式： 令x－1＝t，则x＝t＋1， (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； 探究一 函数图象的作法及应用 当a＞0时，f(a)＝a2＝4，得a＝2， 作函数图象时应注意的事项： (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； 探究二 函数解析式的求法 【例】 (1)已知f(x)＝2x＋1，求f(x＋1)的表达式； 探究二 函数解析式的求法 (2)已知g(x－1)＝2x＋6，求g(3)． 作函数图象时应注意的事项： ∴g(t)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8，即g(x)＝2x＋8， 探究二 函数解析式的求法 当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1， 探究二 函数解析式的求法 (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； ∴f(x＋1)＝2(x＋1)＋1＝2x＋3
学表达式叫作函数的解析式．
• 2 ．图像法 • 以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各
个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用 图象 表示两个变量之间对应关系
的方法叫作图象法．
3
知识点聚焦：
• 3．列表法 • 列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列
函以数自f变(x量)的x定的义取• 域值当为为R横x. 坐∈标[，0对,2应]时的函，数值图y为象纵坐是标直，在线平面的直一角坐部标系分中，描出观各个察点图，这象些点可构知成了，函数其y＝值f(x域)的图为象，[1这,5种]用．图象 表示两个变量之间对应关系的方法叫作图象
法． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； (2)已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式： (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； 【解析】选择容易计算的几个数值，列表如下： 当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1， 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
1.2.2 函数的表示法 第一课时 课件(人教A版必修1)
图象法
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典例剖析
题型一 函数的表示法
【例 1】 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成 b 此项任务的人数 x 之间适合关系式 t＝ax＋ ，当 x＝ x 2 时，t＝100；当 x＝14 时，t＝28，且参加此项任务 的人数不能超过 20 人．
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1 1 解析：令 ＝t，则 x＝ ，且 t≠0， x t 1 t ∴f(t)＝ ＝ (t＋1≠0)， 1 t＋1 1＋ t x ∴f(x)＝ (x≠0 且 x≠－1)． x＋1
x 答案： (x≠0 且 x≠－1) x＋1
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4．如图，函数 f(x)的图象是曲 线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标 1 分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f f3 的值等于________．
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正解：∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， ∴f(x)＝x2－4(x≥2)． 纠错心得：采用换元法求函数的解析式时，一 定要注意换元后的自变量的取值范围．如本题中令t ＝x2＋2后，则t≥2.
【创新设计】高中数学（人教版必修一）配套练习：1.2.2函数的表示法第1课时（含答案解析）
1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系；表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系；表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题一、选择题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x(x>0)B ．y ＝100x(x>0)C ．y ＝50x (x>0)D ．y ＝100x(x>0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f(1x )＝x1－x ，则当x≠0时，f(x)等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x －1 4．已知f(x)＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f(x)，则g(x)等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7 5．若g(x)＝1－2x ，f[g(x)]＝1－x 2x 2，则f(12)的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4D ．306．在函数y ＝|x|(x ∈[－1,1])的图象上有一点P(t ，|t|)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________．8．已知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f(1x )＋x ，则f(x)的解析式为____________．9．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x ＋8，则f(x)的解析式为__________________． 三、解答题三、解答题10．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f(x)的解析式．的解析式．11．画出函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f(x 1)与f(x 2)的大小；的大小； (3)求函数f(x)的值域．的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C．y＝[x＋410]10] D．y＝[x＋513．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．的解析式．1．如何作函数的图象．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．1．2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法知识梳理知识梳理(1)数学表达式数学表达式 (2)图象图象 (3)表格表格 作业设计作业设计1．C [由x ＋3x 2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x(x>0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．] 3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x1－x， 则有f(t)＝1t1－1t＝1t －1，故选B.]4．B [由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.] 5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f(12)＝1－(14)2(14)2＝15.]6．B [当t<0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是顶点坐标是(0，12)；当t>0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f(x)＝－x 2＋23x (x≠0) 解析解析 ∵f(x)＝2f(1x )＋x ，①，① ∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x .②由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x3，即f(x)＝－x 2＋23x (x≠0)．9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8解析解析 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴îïíïìa 2＝4ab ＋b ＝8，解得îïíïìa ＝2b ＝83或îïíïìa ＝－2b ＝－8. 10．解．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝f(4)知îïíïìf(0)＝c ，f(4)＝16a ＋4b ＋c ，f(0)＝f(4)，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点，点， 所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解．解 因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y… －5343－5…连线，描点，得函数图象如图：连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0， 所以f(3)<f(0)<f(1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f(x 1)<f(x 2)．(3)根据图象，根据图象，可以看出函数的图象是以可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，为顶点，开口向下的抛物线，开口向下的抛物线，开口向下的抛物线，因此，因此，因此，函数的函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一方法一 特殊取值法，特殊取值法，若若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]， 当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x 10]＋1，所以选B.]13．解．解 因为对任意实数x ，y ，有，有 f(x －y)＝f(x)－y(2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f(0)＝f(x)－x(2x －x ＋1)， 即f(0)＝f(x)－x(x ＋1)．又f(0)＝1， ∴f(x)＝x(x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。
【高中数学必修一】1.2.2 函数的表示法-高一数学人教版(必修1)(解析版)
第一章 集合与函数概念1.2.2 函数的表示法一、选择题1．若()()20(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，，，则f [f （–2）]=A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】∵–2<0，∴f （–2）=–（–2）=2．又∵2>0，∴f [f （–2）]=f （2）=22=4，故选C ．2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点．用S 1和S 2分别表示乌龟和兔子经过时间t 所行的路程，则下列图象中与故事情节相吻合的是A ．B ．C ．D ．【答案】D3．已知函数f （x +1）=3x +2，则f （x ）的解析式是A．f（x）=3x+2 B．f（x）=3x+1C．f（x）=3x–1 D．f（x）=3x+4【答案】C【解析】设t=x+1，∵函数f（x+1）=3x+2=3（x+1）–1，∴函数f（t）=3t–1，即函数f（x）=3x–1，故选C．4．已知映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，则b的象为A．1，2中的一个B．1，2 C．2 D．无法确定【答案】A【解析】映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，可得b的象为1或2，故选A．5．若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为A．1 B．–1 C．–32D．32【答案】B【解析】∵f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，分别令x=2，和x=12，得()()12262132222f ff f⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩①②，①–②×2得–3f（2）=3，∴f（2）=–1，故选B．6．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点【答案】D7．已知f（x–2）=x2–4x，那么f（x）=A ．x 2–8x –4B ．x 2–x –4C ．x 2+8xD ．x 2–4【答案】D【解析】由于f （x –2）=x 2–4x =（x 2–4x +4）–4=（x –2）2–4，从而f （x ）=x 2–4．故选D ． 8．国内某快递公司规定：重量在1000 g 以内的包裹快递邮资标准如下表：运送距离x （km ） 0<x ≤500 500<x ≤10001000<x ≤15001500<x ≤2000… 邮资y （元）5.006.007.008.00如果某人从北京快递900 g 的包裹到距北京1300 km 的某地，他应付的邮资是 A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元【答案】C【解析】邮资y 与运送距离x 的函数关系式为 5.00(0500)6.00(5001000)7.00(10001500)8.00(15002000)x x y x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩，∵1300∈（1000，1500]，∴y =7.00，故选C ．9．已知函数()()()32121x x f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩．若()54f a =-，则a 的值为A ．12-或52B ．12或52C ．12-D ．12【答案】C【解析】当a >1时，f （a ）=3514a >≠-，此时a 不存在，当a ≤1，f （a ）=–a 2+2a =–54，即4a 2–8a –5=0，解可得a =–12或a =52（舍），综上可得a =12-，故选C ．10．已知函数f （x ）=()20(0)x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，则f （f （–2））的值是A ．2B ．–2C ．4D ．–4【答案】C【解析】∵已知函数()()20(0)x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，，，∴f （–2）=（–2）2，∴f （f （–2））=f （4）=4，故选C ．二、填空题11．已知f+1）=x，则f （x ）=__________．【答案】x 2–1，（x ≥1）【解析】∵()12fx x x +=+=x +2x +1–1=（x +1）2–1，∴则f （x ）=x 2–1，（x ≥1）．故答案为：x 2–1，（x ≥1）．12．已知f （x +1）=2x 2+1，则f （x –1）=__________．【答案】2x 2–8x +9【解析】设x +1=t ，则x =t –1，f （t ）=2（t –1）2+1=2t 2–4t +3，f （x –1）=2（x –1）2–4（x –1）+3=2x 2–4x +2–4x +4+3=2x 2–8x +9．故答案为：2x 2–8x +9． 13．已知f （x +1）=x 2，则f （x ）=__________．【答案】（x –1）2【解析】由f （x +1）=x 2，得到f （x +1）=（x +1–1）2，故f （x ）=（x –1）2．故答案为：（x –1）2． 14．已知函数f （x ）=ax –b （a >0），f （f （x ））=4x –3，则f （2）=__________．【答案】3三、解答题15．()()()11032f x kx b f f =+==-，，，求f （4）的值． 【解析】∵()()()11032f x kx b f f =+==-，，，∴0132k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得k =–14，b =14， ∴f （x ）=–14x +14，∴f （4）=–14×4+14=–34．16．二次函数f （x ）满足f （x +1）–f （x ）=2x 且f （0）=1．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[–1，1]时，不等式f （x ）>2x +m 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）由题意，设f （x ）=ax 2+bx +c ， 则f （x +1）=a （x +1）2+b （x +1）+c ．从而f （x +1）–f （x ）=[a （x +1）2+b （x +1）+c ]–（ax 2+bx +c ）=2ax +a +b ， 又f （x +1）–f （x ）=2x ，∴220a a b =⎧⎨+=⎩即11a b =⎧⎨=-⎩，又f （0）=c =1， ∴f （x ）=x 2–x +1．17．已知函数f （x ）=()()221(12)22x x x x x x ⎧+≤-⎪-<<⎨⎪≥⎩（1）在坐标系中作出函数的图象； （2）若f （a ）=12，求a 的取值集合． 【解析】（1）函数f （x ）=()()221(12)22x x x x x x ⎧+≤-⎪-<<⎨⎪≥⎩的图象如下图所示：（2）当a ≤–1时，f （a ）=a +2=12，可得：a =32-；当–1<a <2时，f （a ）=a 2=12，可得：a =22±；当a ≥2时，f（a ）=2a =12，可得：a =14（舍去）； 综上所述，a 的取值构成集合为{32-，22-，22}．18．（1）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求f （x ）． （2）已知21f lgx x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求f （x ）． （3）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）–2f （x –1）=2x +17，求f （x ）． （4）已知f （x ）满足()123f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求f （x ）． 【解析】（1）∵3331111()3f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴f （x ）=x 3–3x （x ≥2或x ≤–2）．（2）令21t x +=（t >1）， 则21x t =-，∴()21f t lg t =-，∴()()211f x lg x x =-＞．19．已知函数f （x ）=1+2x x -（–2<x ≤2），用分段函数的形式表示该函数．【解析】f （x ）=1+1021202x x x x x ≤≤-⎧=⎨--<<⎩，，．。
(新)人教版高中数学必修一1.2.2《函数的表示法》课件(共23张PPT)
的一种“程序”或“方法”．因此要把“2x ＋ 1”及“ x ＋ 1”看成一个整体来求解．
1 1 (2)设f( ＋1)＝ 2－1，则f(x)＝________. x x (3)若对任意x∈R，都有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，则f(x)＝ ________.
[答案]
(1)D (2)x2－2x(x≠1)
6．(2012· 全国高考数学文科试题江西卷)设函数f(x)＝ x2＋1 x≤1 2 ，则f(f(3))＝( x>1 x 1 A.5 2 C. 3 B．3 13 D. 9 )
[答案] D
7．已知函数f(x)＝
2 x －4，0≤x≤2， 2x，x>2，
，则f(2)＝
2．作图时忘记去掉不在函数定义域内的点 [例5] 数的值域． [错解]
x，－1≤x≤1， 由题意，得y＝ －x，x<－1或x>1.
x|1－x2| 画出函数y＝ 2 的图象，并根据图象指出函 1－x
[例 5]
(1)已知 f(x)＝x2，求 f(2x＋1)；
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)． 1 (3)设函数 f(x)满足 f(x)＋2f(x )＝x (x≠0)，求 f(x)． [分析] 我们前面指出，对应法则“f”实际上是对“x”计算
5．(山东冠县武的高2012～2013月考试题)已知函数f(x)
x＋1x≥0 ＝ fx＋2x＜0
则f(－3)的值为( B．－1 D．2
)
A．5 C．－7
[答案] D
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折 线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为 x，△APB的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)画出y＝f(x)的图象； (3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．
人教A版数学必修一1.2.2第1课时函数的表示法.pptx
【题后总结】待定系数法是求函数解析式的常用方法，若 已知函数类型，可用待定系数法求解，若f(x)是一次函数，可设 f(x) ＝ ax ＋ b(a≠0) ， 若 f(x) 是 二 次 函 数 ， 可 设 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出方程组，进而求出待 定的系数．
【思路点拨】(1)用待定系数法求解析式．(2)求出定义域内 所有自变量的取值及对应的函数值，列出对应值表．(3)函数图 象是20个孤立的点．
解：(1)由题设条件知，当 x＝2 时，t＝100， 当 x＝14 时，t＝28 得方程组21a4＋ a＋b2＝ 1b41＝002， 8. 解此方程组得ab＝ ＝11， 96. 所以 t＝x＋19x6．又因为 x≤20，x 为正整数， 所以函数的定义域是{x|0＜x≤20，x∈N*}．
作函数图象的基本方法是描点法，描点法主要有三步：列 表、描点、连线．
作图象时一般应先确定函数的定义域，在定义域内化简函 数解析式，再列表并画出图象．在画图象的同时注意一些关键 点，如与坐标轴的交点、分段的区间端点、图象的顶点等．
图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托 整个图象．
作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2
4．国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资 如下表：
信函质量 (m/g)
0＜m≤20
20＜m ≤40
40＜m ≤60
60＜m ≤80
80＜m ≤100
邮资M/元 1．2 2．4 3．6 4．8 6．0
试用另外一种方法表示函数M＝f(m)．
解：由表格可得到函数的简图，从而得到表示函数M＝f(m) 的另一种方法，即图象法．
人教版高一数学课件-函数的表示方法(第1课时)
思考題：P25 B組 第3題
合A到集合B的一個映射。
2、映射與函數關係
函數一定是映射；映射不一定是函數！
函使映任數對射意：於是集集設函合合A數。、A的B中是推的函 什廣非任數 麼，空意與關即一數映係是個集將射呢數，函有？x如數，果中在按的集照兩合某個B中種數都確集有定推唯的廣一對為確應兩定關個的係f， 數f(x)和它對應，就稱f: A→B為從集合A到集合B的一個函數，
象法?
並非所有的函數都能用這三種方法來表示！
二、例題分析
例4、下表是某校高一（1）班三位同學在高一學年度 幾次數學測試的成績及班級平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次源自王偉9887
91
92
88
95
張城
90
76
88
75
86
80
趙磊
68
65
73
72
75
82
班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
A：澄中所有學生組成的集合 f：學生找班級
f
A
B：澄中所有班級組成的集合
B
C：澄中106班同學組成的集合
g：學生找班級
g
C
D：澄中高一各班級組成的集合
D
數集 每一個數 唯一的數
集合 每一個元素 唯一的元素
➢映射概念
1、映射的概念
設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應 關係 f，使對於集合A中的任意一個元素 x，在集合B中都有 唯一確定的元素 y 與之對應，那麼就稱對應 f: A→B 為從集
f’：平面直角坐標系內的點跟它的座標對應
f’ : E F
人教版高中数学必修一 第一章 1.2.2 函数的表示法(1)
人教版高中数学必修一 第一章 1.2.2 函数的表示法(1)1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.知识点 函数的三种表示方法思考 (1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？ 答 (1)三种表示方法的优、缺点比较：并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.题型一作函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.反思与感悟 1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.2.函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点.跟踪训练1画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1).解(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).题型二列表法表示函数例2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f(g(1))的值为________；满足f(答案1 2解析∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.反思与感悟解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数.对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层解决，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决.跟踪训练2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出(1)f[g(1)]＝__________；(2)若g[f(x)]＝2，则x＝__________.答案(1)1(2)1解析(1)由表知g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1；(2)由表知g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1.题型三待定系数法求函数解析式例3(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x).解(1)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又∵f[f(x)]＝4x－1，∴a2x＋ab＋b＝4x－1，即解得或∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.(2)∵f(x)是二次函数，∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.左边展开整理得2ax＋(a＋b)＝2x，由恒等式原理知解得∴f(x)＝x2－x＋1.反思与感悟 1.对于特征已明确的函数一般用待定系数法求解析式.2.若所求函数为一次函数，通常设f(x)＝kx＋b(k≠0)；若为反比例函数，通常设为f(x)＝(k≠0)；若为二次函数，则解析式有以下三种：(1)一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标；(3)顶点式y＝a(x＋)2＋(a≠0)，其中顶点坐标为(－，).解题时需依据条件灵活选用.跟踪训练3已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式.解设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得解得故f(x)＝x2＋1.题型四换元法(或配凑法)求函数解析式例4求下列函数的解析式：(1)已知f＝＋，求f(x)；(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x).解(1)方法一(换元法)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞).方法二(配凑法)∵f＝＋＝2－＝2－＋1，∴f(x)＝x2－x＋1.又∵＝＋1≠1，∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1).(2)方法一(换元法)令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1).方法二(配凑法)∵x＋2＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1.又∵＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1).反思与感悟 1.换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换元法.所谓换元法，即将“＋1”换成另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，再代入原式中求出关于“t”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况.2.配凑法的应用：对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子“x＋2”变成含有“＋1”的表达式.这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求.跟踪训练4已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝________.答案x2－4x＋3解析方法一(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.方法二(配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.忽略函数的定义域致误例5已知f(－1)＝2x＋，求f(x).错解令t＝－1，则x＝(t＋1)2，所以f(t)＝2(t＋1)2＋(t＋1)＝2t2＋5t＋3，所以f(x)＝2x2＋5x＋3.正解令t＝－1，则t≥－1，x＝(t＋1)2，所以f(t)＝2(t＋1)2＋(t＋1)＝2t2＋5t＋3，所以f(x)＝2x2＋5x＋3(x≥－1).易错警示解令t＝1＋(x≠0)，则x＝(t≠1)，所以f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≠1)，所以f(x)＝x2－2x(x≠1).1.已知f(x＋2)＝6x＋5，则f(x)等于()A.18x＋17B.6x＋5C.6x－7D.6x－5答案 C解析设x＋2＝t，得x＝t－2，∴f(t)＝6(t－2)＋5＝6t－7，∴f(x)＝6x－7，故选C.2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是()答案 C解析由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项A；又由于开始时匀速，后来因交通堵塞停留一段时间，最后是加快速度行驶，故选C.3.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.答案 1解析由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.故填1.4.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)的解析式为_______.答案f(x)＝2x＋7解析设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，所以a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7.5.已知f(x)为二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的表达式.解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝c＝0，∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1.又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，∴∴∴f(x)＝x2＋x.1.函数三种表示法的优缺点2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线.3.求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等.一、选择题1.已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)等于()A.3x＋2B.3x－2C.2x＋3D.2x－3答案 B解析设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，∴∴∴f(x)＝3x－2.2.已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为()A.f(x)＝x2＋2x＋1B.f(x)＝x2－2x＋1C.f(x)＝x2＋2x－1D.f(x)＝x2－2x－1答案 A解析令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.3.已知f(1－2x)＝，则f()的值为()A.4B.C.16D.答案 C解析根据题意知1－2x＝，解得x＝，故＝16.4.函数f(x)＝x＋的图象是()答案 C解析f(x)＝5.如图中图象所表示的函数的解析式为()A.y＝|x－1|(0≤x≤2)B.y＝－|x－1|(0≤x≤2)C.y＝－|x－1|(0≤x≤2)D.y＝1－|x－1|(0≤x≤2)答案 B解析由图象知，当0≤x≤1时，y＝x；当1<x≤2时，y＝3－x.6.设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为()A.1B.－1C.1或－1D.1或－2答案 B解析因为g(x)＝(x2＋3)，所以g(f(x))＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故选B.二、填空题7.已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为________________. 答案f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8解析设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b＝4x＋8.所以解得或所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.8.函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是________.答案[2,11)解析画出函数的图象，如图所示，观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f(2)，f(5))，即函数的值域是[2,11).9.若2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，则f(2)＝________.答案解析令x＝2，得2f(2)＋f＝，令x＝，得2f＋f(2)＝，消去f，得f(2)＝.10.如图，函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝____.答案 2三、解答题11.作出下列函数的图象，并求出其值域.(1)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]；(2)y＝|x＋1|.解(1)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2].列表如下：作出函数图象如图(1)[－1,8].(2)当x＋1≥0，即x≥－1时，y＝x＋1；当x＋1<0，即x<－1时，y＝－x－1.∴y＝作该分段函数的图象如图(2)所示，可得函数的值域是[0，＋∞).12.(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式.解(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.(2)因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由f(0)＝1，得c＝1.又因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1.13.求下列函数的解析式：(1)已知f＝x2＋＋1，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式.解(1)∵f＝2＋2＋1＝2＋3.∴f(x)＝x2＋3.(2)以－x代替x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x. 与f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x联立得：f(x)＝x2－2x.。
高中数学 1.2.2《函数的表示法》课件 新人教版必修1
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝ 用解析法可将函数y=f(x)表示为
y 5 x ,x 1 ,2 ,3 ,4 ,5
用列表法可将函数表示为
笔记本数 1 2 3 4 5 x
钱数y 5 10 15 20 25
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4
78▲♦.3
85.4 ▲80.3
♦
■♦
▲
▲
■♦
75.7
张城
82.6
■
■
70
■
赵磊
■
60 2020/11/14
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7
012 3456x Nhomakorabea例5 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如下：
x, x≥0, -x, x<0.
y
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5 4 3 2 1
-3 -2精选-1ppt0 1 2 3
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14
A 求 正 弦 B
1
30 0
2
45 0
2 2
60 0
3
90 0
2 1
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15
A 求 平 方 B
3
9
－3
2
4
－2
1
1
－1
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16
A 开 平 方 B
3
9
－3
4
2 －2
1
1 －1
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A 乘 以 2 B
系中的点与它的坐标对应；