余弦定理(公开课)PPT
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余弦定理公开课课件精选全文
情境引入
A
C B
余弦定理（一）
学习目标
• 能通过向量法推导余弦定理；
• 掌握余弦定理的两种表现形式；
•通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边” 及“边、边、边”问题。
情境引入
C A
?
B
用正弦定理不能直接求出A , B两处的距离 这是一个已知三角形两边a和b,和两边的 夹角C，求出第三边c的问题.
归我纳们小身结边的事
B
B
C
A
南江环城路施工时需要在赵碧崖处开凿一条山地隧道， 需要计算隧道长度，请问你有何方法。
例题讲解
例 1：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.
解： 由 得 ∵
∴ ∴
c2=a2＋b2－2abcosC,
c≈4.297.
BcAo＝≈s3A19＝8°0°, b－2＋2(Abcc2＋－Ca)2＝≈508.7°773，2′.sCcinAbBAaaA3si9cn或C 1401.6299
a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2abcosC
勾股定理与余弦定理有何关系？
令C＝900 c2 a2 b2 勾股定理
新课探究
a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2abcosC
aD
B
在 RtABD 中
AB2 AD2 BD2
( ACsin C)2 (CB CD)2
AC2 sin 2 C CB 2 2CB AC cosC AC2 cos2 C
AC2 CB 2 2CB AC cosC
c2 a2 b2 2abcosC
A
C B
余弦定理（一）
学习目标
• 能通过向量法推导余弦定理；
• 掌握余弦定理的两种表现形式；
•通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边” 及“边、边、边”问题。
情境引入
C A
?
B
用正弦定理不能直接求出A , B两处的距离 这是一个已知三角形两边a和b,和两边的 夹角C，求出第三边c的问题.
归我纳们小身结边的事
B
B
C
A
南江环城路施工时需要在赵碧崖处开凿一条山地隧道， 需要计算隧道长度，请问你有何方法。
例题讲解
例 1：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.
解： 由 得 ∵
∴ ∴
c2=a2＋b2－2abcosC,
c≈4.297.
BcAo＝≈s3A19＝8°0°, b－2＋2(Abcc2＋－Ca)2＝≈508.7°773，2′.sCcinAbBAaaA3si9cn或C 1401.6299
a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2abcosC
勾股定理与余弦定理有何关系？
令C＝900 c2 a2 b2 勾股定理
新课探究
a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2abcosC
aD
B
在 RtABD 中
AB2 AD2 BD2
( ACsin C)2 (CB CD)2
AC2 sin 2 C CB 2 2CB AC cosC AC2 cos2 C
AC2 CB 2 2CB AC cosC
c2 a2 b2 2abcosC
第1课时 余弦定理(优秀经典公开课课件)
a2＋c2－b2
cos B＝______2_a_c_________，
a2＋b2－c2 cos C＝______2_a_b_________
导学 2 解三角形 一般地，三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的 __元__素____．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做___解__三__角__形___．
题型三 判断三角形的形状(一题多变) [例 3] 在△ABC 中，若(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，判断△ABC 的形状．
[解析] (角化边)∵(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a， ∴由余弦定理可得a－c·a2＋2ca2c－b2·b＝b－c·b2＋2cb2c－a2·a， 整理得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2. ∴a2＋b2＝c2 或 a＝b. 故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．
[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) (4)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则∠A 为锐角．( )
A．60°
B．45°或 135°
C．120°
D．30°
(2)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2＝ac，c＝2a，则 cos
B＝( )
A．41
B．43
C．
2 4
D．
2 3
解析 (1)∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2－c2＋b2＝2abcos C． ∴ab＝2abcos C． ∴cos C＝21.∴C＝60°. (2)cos B＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋24aa·22－a 2a2＝43. 答案 (1)A (2)B
高三数学余弦定理5省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第14页
四类解三角形问题： （1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角； （2）已知两边和其中一边对角，求其它边和角。 （3）已知两边和它们夹角，求第三边和其它两 个角； （4）已知三边，求三个角。
第15页
必做题：等腰三角形底边长为a，腰长为 2a,求腰上中线长。 选做题：已知一钝角三角形边长是三个连续 自然数，求该三角形三边长。
； .au/ 悉尼驾照翻译
第18页
求角A、Ｂ、Ｃ。
例2、在△ABC中，已知a 2 3, c 6 2, B 45O 求b及Ａ
例３、在△ABC中，a 2 b 2 c 2 ，那么Ａ是（ ）
Ａ、钝角
Ｂ、直角
Ｃ、锐角
Ｄ、不能确定
那a 2 b 2 c 2呢?
第11页
提炼：设a是最长边，则 △ABC是钝角三角形 a 2 b 2 c 2
△ABC是锐角三角形 a 2 b 2 c 2
△ABC是直角角三角形 a 2 b 2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7, c 2 求B，并判断 △ABC形状。
第12页
变式练习： 1.已知:a=7,b=8,c=3,求A. 2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断
此三角形形状.
第13页
第16页
（1）若三角形三个角比是1：2：3，最大边 是20，则最小边是_____.
（2）若A,B,C是⊿ABC三个内角，则 sinA+sinB____sinC.
(3)在ABC中，C 2B,则sin 3B 等于( ) sin B
A.b/a
B.a/b
C.a/c
D.c/a
第17页
！诸人要从自己の夫君那里花银子买首饰，而且她の夫君竟然还是家财万贯の雍亲王爷，这要是让外人晓得咯，还不被人笑掉咯大牙？爷不是最讲脸面の人 吗？怎么这壹次竟然不论不顾起来咯！而且这各按照市价公事公办，也就意味着他苏总管不用送给年侧福晋壹各顺水人情，不需要打任何折扣，而且王爷の那 番吩咐甚至是在向他暗示，壹分钱都不要少收咯侧福晋，不过明眼人谁都看得出来，那物件必定是哪各官员、门客，或是幕僚呈送上来の贡礼。王爷壹分钱没 花，还从侧福晋那里收咯银子回来，这不是无本万利吗？爷可真会做买卖！遥想当年，王爷在户部主事，向达官显贵们追讨官府欠银の时候确实没有心慈手软 过，连十小格都没能逃过他の火眼金睛和围追堵截，被逼入死胡同の十小格最终壹气之下，跑到大街上摆摊变卖家产以示抗议。那场沸沸扬扬の讨债最终闹到 皇上那里，还是由皇上替十小格说咯好话，王爷才算是收手不予追究。现在倒好，王爷竟然发展到直接经营空手套白狼の营生上来咯，挣の还是自己府里の诸 人の银子，这，这可真是旷世奇谈！不过，王爷倒也确实是对得起“铁面无私”这几各字の评语，亲弟兄、明算帐，夫妻俩、账算明。不论未来会被众人怎样 耻笑，王爷已经吩咐咯の事情，苏培盛只有不折不扣地执行。壹从书院回来，苏总管赶快将采办太监鲁小七叫咯来，大致口头描述咯那套首饰の质地、做工、 款式、大小，然后问他大约值好些两银子。鲁小七听完之后，万般为难、磨磨叽叽地开口说道：“总管，小の没看到那物件，真不好胡乱开价。”第壹卷 第 414章 五千鲁小七可是比猴子都精の壹各灵巧鬼，当然咯，傻笨之人也当不咯采办の差事。鲁小七也听说咯王爷要向年侧福晋收银子の事情，现在苏培盛向他 问来那件首饰の价格，马上猜测到苏总管这是在向他寻价呢。苏培盛本身就是壹各老滑头，壹见鲁小七竟然敢跟他耍滑头，心中暗笑，这小子简直就是小巫见 大巫，不知死活，于是没好气儿地说道：“你想投靠山也得认清主子不是！那院主子是给咯你金山银山，还是许咯你飞黄腾达？不就是娘家有点儿势力嘛，那 还不壹样都是爷の奴才！你可真是越活越缩抽咯，分不清哪各主子才是你の主子！”苏培盛可真是猜错咯！鲁小七跟水清没有壹点儿交情，他怎么可能会去偏 帮水清，他只是不想惹火上身，要离这趟浑水远远の。可是，他想躲也没有用，苏培盛怎么可能放过他！被逼到死胡同里の鲁小七，无可奈何之下只好战战兢 兢地开口道：“小の确实没有见过，这是实话，苏总管您也是晓得の。不过，假设按照您刚才大致说の那各样子，小の估摸着，最少也得五千两银子 吧。”“五千两？”苏培盛倒吸咯壹口冷气！继而开始嘬起咯牙花子。即使他看着那套首饰の时候也是不小地吃咯壹惊，也认可那确实是各稀罕物件，不过壹 听到这各价格，还真是大大地出乎咯他の意料：怪不得爷会向年侧福晋讨要银子呢，确实是价值不菲，不过，话又说回来咯，爷怎么会跟诸人计较银子？而且 数目这么大の银子，爷对诸人，不，是爷对年侧福晋可真是没有壹点情面可讲呢。鲁小七壹见苏总管直皱眉头，就晓得这事儿要坏。他刚才就是担心，不论他 说啥啊价钱，苏培盛都会联想到他有办差吃差价の巨大嫌疑。以往苏总管不怎么查账，只要账面上大致说得过去也就睁壹眼闭壹眼不太计较。可是当他听苏培 盛描述咯那件首饰の样式之后，也是极为震惊，那件首饰少说也要五千两，可是这各价格，任谁都不敢相信。因为不相信，造成苏培盛自然而然地凭空猜测他 在采办の过程中使咯暗收回扣、低进高出之类の伎俩。果不其然，鲁小七の担心非常有道理，现在苏总管壹副震惊和难以置信の神情，将他搞得苦不堪言。这 壹次他真の是据实相告，可是他平时办差の时候确实没少干低进高出、终饱私囊の勾当。假设因为今天の事情牵扯出来以往の损公肥私，他可真是小命很快矣。 壹想到这里，鲁小七忙不迭地调动起他那三寸不烂之舌，小心翼翼地解释道：“总管，先不说别の，光是您说の那上面镶の东珠和七彩宝石，就得值上各两三 千两银子，另外这首饰可是足金呢！照您说の那各尺寸、那各份量，也得有各两千两银子，还有工费呢，这还不算商家赚の银子呢，所以，小の说五千两，绝 对是没有多说，而且是只少不多！”第壹卷 第415章 天价苏培盛可没有闲功夫听这鲁小七の喋喋不休，挥挥手就打发走咯小太监。只剩他壹各人の时候，苏 培盛可是彻底地为难咯！五千两，真不是壹各小数目！记得侧福晋刚嫁进府里来の第壹各月就被罚咯月银，然后因为交不上来罚银，拖咯几各月，用每个月の 例钱补交上来。连区区三、五百两の银子交得都那么困难，现在这令人瞋目惊舌の五千两还不要咯她の命？要说爷呢，这回可是真够狠の！壹出手可就是五千 两！原本爷也不是这么の壹各人呢，对诸人不但慷慨大方，而且怜香惜玉，怎么对年侧福晋就能这么不留情面，竟然下得去狠手？噢，对咯，预计爷对侧福晋 坏咯他和年仆役の好事，心存不满，特意选咯这么各最珍贵の东西做贺礼，好好借这各机会变相地惩治壹番侧福晋，以解心头之气和夺妻之恨。可是这夺妻之 恨应该算到二十三爷の头上，跟侧福晋有啥啊关系！再怎么惩治侧福晋，就是罚她壹各五十万两，也换不回来那婉然仆役。倒是侧福晋，这回预计是要被爷罚 得倾家
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
《余弦定理》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
•平面向量的应用
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
高中数学《余弦定理》公开课PPT课件
[分析] 将四边形 ABCD 分成△ABD 和△BCD，在△ABD 中，用余
弦定理求出 BD，在△BCD 中，用正弦定理即可解出 BC.
[解] △ABD 中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB， 设 BD＝x， 则有 142＝102＋x2－2×10xcos60°， 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)， ∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60°， ∴∠CDB＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得 BC＝sin11635°·sin30°＝8 2.
[点评] 判断三角形形状的方法 (1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三 边的关系； (2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和 定理得到内角关系，从而判定形状．
变式训练2
在△ABC中，已知cos2
A 2
＝
b＋c 2c
(a，b，c分
别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
典例导悟
类型一 利用余弦定理解三角形 [例 1]△ABC 中，已知 b＝3，c＝2 3，A＝30°，求边 a、 角 C 和角 B.
[解] 直接应用余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bccosA
＝32＋(2 3)2－2×3×2 3×c 2ac ＝
32×2＋32×322－3 32＝12.
∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
[点评] 1.解三角形时，应先分析题设条件，如本题属 于“SAS”型，先用余弦定理求a，在此基础上，可以利用余 弦定理计算角B或C的余弦值，也可以利用正弦定理计算角 B或C的正弦值．
解：在△ABC中，由已知cos2A2＝b＋2cc得 1＋2cosA＝b2＋cc，∴cosA＝bc. 根据余弦定理得b2＋2cb2c－a2＝bc， ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形．
《高一数学余弦定理》课件
《高一数学余弦定理》ppt课件
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
正弦定理和余弦定理公开课课件ppt课件
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活页作业
定理
变 形 形 式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，
c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C
b2＋c2－a2 cosB= 2bc
活页作业
(3)解：①∵A 为△ABC 内角，且 cos A＝34， ∴sin A＝ 47， 又∵C＝2A. ∴sin C＝sin 2A＝2sin A·cos A＝387，
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cos C＝cos 2A＝2cos2A－1＝18.
∴sin B＝sin(A＋C)
【考向探寻】 1．利用正弦定理解斜三角形． 2．利用余弦定理解斜三角形．
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【典例剖析】
(1)(2013·抚顺模拟)△ABC 的三个内角 A，B，C 所
对的边分别为 a，b，c，设向量 p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－
a)，若 p∥q，则角 C 的大小为
【考向探寻】 利用正余弦定理及三角形的边角关系判定三角形的形状．
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【典例剖析】
(1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
三内角A，B，C成等差数列，三边长a，b，c成等比数列，则△ABC的形状
为
A．等边三角形
第4章 第6节 正弦定理、余弦定理 课件(共47张PPT)
a2＋b2－c2
(3)sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sina
A＝2R
cos C＝____2_a_b_____
提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时， 使用余弦定理比使用正弦定理简洁．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(2)若 2a＋b＝2c，求sin C. [解] (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理
得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
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3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
已知B＝150°.
①若a＝ 3c，b＝2 7，求△ABC的面积；
②若sin A＋ 3sin C＝ 22，求C.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
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2
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c.
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理sina A＝sinb B可
余弦定理优秀课件
三角形的角度与边长的关系
角度与边长的关系
在三角形中，角度和边长之间存在一定的关系，如正弦定理和余弦定理。
余弦定理的引入
余弦定理是三角形边角关系的一个重要定理，它可以帮助我们解决与三角形边 长和角度相关的问题。
余弦定理的引入
余弦定理的定义
余弦定理是三角形边角关系的一个重 要定理，它描述了三角形三边与其对 应角的余弦值之间的关系。
应用二
在解决立体几何问题时，余弦定理可以用来计算空间几何体 的表面积和体积，例如球体、圆锥体等。
余弦定理与其他定理的关系
关系一
余弦定理与正弦定理密切相关，它们 在解决三角形的边角关系问题时常常 相互转换。
关系二
余弦定理与勾股定理也有一定的联系， 勾股定理是余弦定理的一个特例，即 当三角形ABC为直角三角形时，有 a^2+b^2=c^2。
题目4
在三角形ABC中，已知A = 45°，B = 60°， a = 15, 求边c的大小。
综合习题
题目5
在三角形ABC中，已知a = 14, b = 16, C = 120°，求 角B的大小以及边c的大小。
题目6
在三角形ABC中，已知A = 30°，B = 45°，a = 10, 求 边c的大小以及角C的大小。
推论三
若三角形ABC中，角A和角B为锐 角，且满足cosA=√(1-sin^2A)， cosB=√(1-sin^2B)，则三角形
ABC为锐角三角形。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在三维空间中，余弦定理可以用来解决与平面、直线和点相 关的问题，例如判断点、线、面的位置关系，计算点到平面 的距离等。
05
习题与解答
基础习题
题目1
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C
5km
A
思考：你能求出上图中山脚的长度BC吗？
二、化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。 例：在△ABC中，已知BC=a，AC=b，∠BCA=C 求：c（即AB）
A
b
C a
c=?
B
三、证明问题 探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为∠C， 求边c.
设 CB a, CA b , AB c
2 2 2
C
b
A c
a
B
剖析余弦定理：
（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系， 从 方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量； （2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例； （3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边； （4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个 角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b2 b 2a b 2 a b 2 a b cos C
﹚
c a b 2ab cos C 同理： 2 2 2 a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B
C是锐角
（2）由（ 1 ）知：C是锐角， 根据大边对大角， C是ABC中的最大角 ABC是锐角三角形
变式训练：
在△ABC中，若a 2 为（ ）
b
2
2 ，则 △ABC的形状 c
A
Ａ、钝角三角形
Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形
Ｄ、不能确定
知识提炼：
推论： cos A b c a 2bc
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角； 3、判断三角形的形状
推论:
数学思想：化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想
课外作业： P10 A组
3 、4
变式训练：
60 在三角形ABC中，若a 3, b 1, c 2, 则A __________
题型三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
解： 由余弦定理得：
a 2 b 2 c 2 4 2 52 6 2 1 （ 1 ） cosC 0 2ab 2 45 8
b sin A sin B a
a b 由正弦定理 得 sin A sin B 1
3
C 180 A B 90
2 3 b c,B 60 2 3
解决实际应用问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量 出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km ，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC 的张角， BAC 60 最 后通过计算求出山脚的长度BC。
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设 CB a, CA b , AB c
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b b 2a b 2 2 a b 2 a b cos C
例2.在△ABC中，已知a=
A 60
a 2 c 2 b 2 ( 6 ) 2 ( 3 1) 2 2 2 cos B 2ac 2 6 ( 3 1) 2 B 45 2 C 180 A B 180 60 45 75
2 2
C
2
b A
2 2
a B
提炼：设a是最长的边，则
2
c
2
△ABC是钝角三角形 b c a 0
△ABC是锐角三角形 b c a 0 2 2 2 △ABC是直角三角形 b c a 0
2 2
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
2 2
2
a 2 c2 b2 cos B 2ac
a2 b2 c2 cos C 2ab
余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
﹚
c a b 2ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A
2 2 2
a 2 b 2 2ab cos C
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设 CB a, CA b , AB c
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b b 2a b 2 2 a b 2 a b cos C
﹚
c a b 2ab cos C
2 2 2
a 2 b 2 2ab cos C
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
﹚
(0，0)
(a,0) x
b2 a2 2abcosC
则c a b 2ab cos C
2 2 2
同理：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B
2 2 2
a b 2ab cos C
2 2
A b
bsinC
当ABC是直角三D
a
a-bcosC
B
2
c (b sin C) (a b cos C) 2 2 2 2 2 b sin C a 2ab cos C b cos C
2
a b 2ab cos C
2 2 2
同理：
a b c 2bc cos C 2 2 2 b a c 2ac cos B
2 2 2
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA (bcosC,bsinC) 的夹角为∠C， 求边c. y
c (b cos C a) 2 (b sin C 0) 2
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。
余弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 正弦定理
㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取
小结:
余弦定理：
b2 c 2 a 2 cos A 2 2 2 2bc a b c 2bc cos A 2 2 2 c a b 2 2 2 cos B b a c 2ac cos B 2ca 2 2 2 c a b 2ab cos C a 2 b2 c2 cos C 余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 2ab
B
8km
C
5km
解：BC 8 5 2 5 8 cos60 49
2 2 2
A
BC 7
题型二、已知三角函数的三边解三角形
6 ,b=2,c= 3 1 , C b 解三角形(依次求解A、B、C). a 解：由余弦定理得 A B c 2 2 2 2 2 2 2 ( 3 1) ( 6 ) b c a cos A 1 2bc 2 2 2 ( 3 1)
一、实际应用问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量 出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km ，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角， BAC 60 最 后通过计算求出山脚的长度BC。
B
8km
题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1.在ABC中，已知b 3, c 2 3, A 30 , 求角B、C和边a的值
解：由余弦定理知， a b c 2bc cos A 2
2 2
C a
B c
b
A
32 2 3 3
2
2 3 2 3cos30
a 3
2 2 2
坐标法
余 弦 定 理
角对边的平方等于两边平方的和减去这两边 与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
b A
c
a
B
b c a 推论：cos A 2bc