二次根式及性质知识点

二次根式及性质 b.二次根式的基本性质:知识要点：

（1 ）平方根与立方

根

②(禹)2 =a (a>0)

a.平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。用±V a

表

示。

例如：因为（±5）2 =25，所以25的平方根为±（25=

±5。

b.算术平方根的概念：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。0的算术平方

a (a >

0)

J a2 =|a|= f 0 (a= 0)

[-a (a c 0)

根为0。用J a表示a的算术平方根。④J ab = 7a V b (a>0, b>0)

例如：3的平方根为土J3，其中为3的算术平方根。

3 —

c.立方根的概念：如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根，用a

6 =芈(a A O, bXO)

⑤ V a V a

c.二次根式的乘除法

表

示。

例如：因为33 =27，所以27的立方根为V27 =3。

①扁尿=届（a>0，b> 0）

d.平方根的特征：

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

②0有一个平方根，就是0本身。

③负数没有平方根。

e.立方根的特征：

①正数有一个正的立方根。

②负数有一个负的立方根。

③0的立方根为0。

J b f b

〒「一(a>0, b>0)

② V a V a

d.最简二次根式的标准：

①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）

②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。

e.同类二次根式的识别：

几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。

④= -V a。例如：恵=2丘与应是同类二次根式, 3妬与-5爲是同类二次根式。

⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0,—1。

（2 ）二次根式

a.二次根式的概念：形如脳（a>0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式掐>0 ）。

f.二次根式的加减法运算法则：

在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算,

并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不

变）为最后的结果（注意：最后结果要尽可能最

简）

h.使分母不带根号（分母有理化）常用方法：

①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后,

运算时只有同类二次根式才能合

，合并同类二次根式之后的式子作

其结果不再含根号的因

式。

i.形如扁的式子，利用（苗）2 =a

，分子、分母同乘以 T a 得

有理数

实数

r 正整数

然数

或

ii.形如a

±用

±b j

y

的式子利用平方差公式，分子、分母同时乘以

a 斗屈或（a V X 斗

b j y ）得

2 或

a-b

c(a 坂刁 b j y)

注意：分子、

x-b 2

y

无理数正 L 负 ②按正负分类

正实数

f 正分数

数分数有限小数或无限循墩小

［负分数

无理数

金无限不循环小数

无理数

正有理数 「正整数 ［正分数 0

。

分母同时所乘以的式子必须不为

（X -y ）（ J x -石） （坂+ 77）（坂-77）

正无理数

-y

=長-石

，这样运算不一定正确,

因为- J ?有可能为 ②化去分母中的根号, 有时通过约分来解决 X — y 厂 厂(xHy 且XH0, yHO ) 如：J x ±J y (低+ J y)

V X ± V y

=T x 斗

（3）实数与数轴：

a. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理

数。

b. 实数的概念：有理数与无理数统称为实数。

c. 实数的分类：

①按实数的定义分类

负实数

负有理数 负无理数

d. 实数与数轴上的点之间的关系：

实数与数轴上的点是 对应的。数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是 无理数。数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来每一个实数都可以用数轴上的点 来表示。

e. 常见的几种无理数：

①根号型：如

（2、刘

4

等开方开不尽的

数。

1.21121112……等无限不循环小数。 兀（圆周率）的数。 ② 构造型：如 ③ 化简后含有 ④ 在今后学习中还会遇到三角函数型等。

f.实数比较大小的几种常用方法：

①数轴比较法：将两实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数大，表示在 同一点上的两个数相等。

②差值比较法：设 a 、b 是任意两实数，若 a — bAO ，贝U a>b ；若a — b<0，

则 a

③商值比较法：设 a 、b 是两个正实数

>1, 则a Ab

(1)

2

(2)(A Z5)2

=1,

<1,

(-J

1

勺需

注：除此以外还有平方法等方法。

【典型例题】

例1.判断下列说法是否正确：

(1) (2)

4的平方根是2 —25的平方根是一5 2

(七)的算术平方根是8

(7)

解析: (4) —0.027的立方根是0.3

邑

±2

27的立方根是 3

解析: 要作出正确判断，必须弄清平方根、算术平方根的概念和立方根的概

念。 例2.要使下列各式有意义，字母

x 的取值必须分别满足什么条件?

(1) J3-4X

/ 2

(2) V —X

J x +1 + U 2 -x

^3 - X

(4) X —1

二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不

为0，对于含有多个表达式的式子需同时让每一个式子有意义，此表达式才有意义。

解析: 例3.已知J

a

-b +3与|a +b-5|互为相反数，求a 2 +b 2的值。

(屁-4需)—

-4705)

(1)由公式©£)2

=*

(

a^O )可以直接得到。

/ 1^、n n I n

根据积的乘方法则(ab) =a

可以求解。

利用j a T b

(a > 0, b > 0)进行乘法计算。

(4 )利用V a 47= J ab (a>0, b>0)进行乘法计算，但应知道 y>0, x>0。

T a

f a / * C , c 、 =上(a ", b A 0)

(5)利用U b ' b

进行计算。

(6)和(7)应先对式子中的每个二次根式进行化简，然后对同类二次根式进行 合并。

例5.化简下列各式:

(2)J (x-2)2

(XC2)

(3) J X 2

-8X + 16

(4 )412a 4b 4

c