Taylor定理
泰勒定理和泰勒公式
泰勒定理和泰勒公式
泰勒定理（Taylor's theorem）是一个数学定理，描述了一个实数或复数函数在某个点附近的函数值与它在该点处的函数值及各阶导数之间的关系。
泰勒公式（Taylor series）是泰勒定理的一个特例，表达了一个实数或复数函数在某个点附近的函数值为无限次可导函数在该点处的函数值及各阶导数的线性组合。
泰勒公式的一般形式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(x)表示要近似的函数，f(a)表示函数在某个点a处的函数值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示函数在点a处的一阶、二阶、三阶导数，(x-a)表示自变量和点a之间的差值，n!表示n的阶乘。
公式右侧的无穷级数表示了函数在点a处的各阶导数对函数值的贡献。
泰勒公式在数学和工程中广泛应用，能够以多项式逼近复杂函数，帮助简化计算和分析。
泰勒公式其应用
泰勒公式其应用一、一阶泰勒公式１.带有Lagrange 型余项的Taylor 公式定理1（泰勒） 若函数f 在(a,b)上存在直到n 阶的连续导函数,在(a,b)内存在n ＋1阶导函数,则对任意给定的),(,0b a x x ∈,至少存在一点ξ使得：()(1)1000000()()()()()()()()1!!(1)!n n nn f x f x f f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+ξ在0,x x 之间。
2.带有皮亚诺余项的泰勒公式定理2若函数f 在(a,b)上存在直到n 阶的连续导函数,则对任意给定的),(,0b a x x ∈()000000()()()()()()0(())1!!n n n f x f x f x f x x x x x x x n '=+-++-+- （1）称为泰勒公式的余项.3、 函数的Maclaurin 公式210()2!!nxn x x e x x n =+++++352112sin (1)0()3!5!(21)!m m m x x x x x x m --=-+++-+-24221cos 1(1)0()2!4!(2)!m m m x x x x x m +=-+++-+ 231ln(1)(1)0()23nn n x x x x x x n -+=-+++-+ 2(1)(1)(1)(1)10()2!!n n x x x x n ααααααα---++=+++++2110()1n n x x x x x=+++++- 二、应用1.把函数)(x f 展开成n 阶Maclaurin 公式例１： 把函数22sin )(x x x f =展开成含16x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .【解】 ) (!7!5!3sin 7753x x x x x x +-+-=,) (!7!5!3sin 141410622x x x x x x +-+-=. ) (!7!5!3sin 1616128422x x x x x x x +-+-=例２： 把函数x x f 2cos )(=展开成含6x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .【解】 ) (!6!4!21cos 6642x x x x x +-+-=, ), (!62!34212cos 66642x x x x x +-+-= ∴ ) (!62!321)2cos 1(21cos 665422x x x x x x +-+-=+=. 2.求)(x f 的n 阶导数例３： )1ln()(2x x x f +=，求)3)(0()(≥n fn .【解】))(022()1ln()(22222--+-++-=+=n n x n x x x x x x x f 又)(0!)0(!1)0()0()()(n nn x x n f x f f x f +++'+= )(02243n n x n x x x +-++-=所以，21!)0()(-=n n f n ，2!)0()(-=n n f n3.利用Taylor 公式求极限 例4 求极限(1) )]1ln([cos lim2202x x x e x x x -+--→ (2)011lim (cot )x x x x →-. 【分析】用泰勒公式求极限把函数展开到x 多少次方呢？对于分子和分母有一个能确定次数的，把另一个展开到相同次数即可，例如：3sin limxx x x -→333))(61(limx x o x x x x +--=→=6161lim 330=→xx x但是对于分子和分母都不能确定次数的，要以具体情况而定。
泰勒公式详解(Taylor formula)【一元分析学经典讲义】
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn( x) ( x x0 )n1
Rn ( x) Rn( x0 ) ( x x0 )n1 0
Rn (1 ) (n 1)(1 x0 )n
(1在x0与x之间)
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两函数Rn ( x)及(n 1)( x x0 )n 在以 x0及 1 为端点
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0
)
1 2
f ( )( x
x0 )2
令 x 0, x 1,则有
f (0)
f ( x0 )
f
(
x0
) x0
1 2
f (1 ) x02
(1)
f (1)
f ( x0 )
f ( x0 )(1
x0
)
1 2
f (2 )(1
x0 )2
(2)
1 2
由 x0 的任意性,可知命题成立.
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五、小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y x
y sin x
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2.Taylor 公式的数学思想---局部逼近.
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思考题
利用泰勒公式求极限
e x sin x x(1 x)
lim
x0
x3
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思 e x 1 x x2 x3 o( x3 )
1 的n x
阶泰勒公式
.
二、求函数 f ( x) xe x 的n 阶麦格劳林公式 .
泰勒中值定理公式
泰勒中值定理公式
泰勒中值定理（Taylor'sMeanValueTheorem）是微积分中的一个重要定理，它与泰勒级数展开密切相关。
该定理表达了一个函数在某个区间内存在一个点，使得该点处的导数等于函数在该区间两个端点处导数的平均值。
泰勒中值定理的公式形式如下：
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。
则存在一个介于a和b之间的数c，使得：
f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a)
其中，f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数。
这个公式说明，对于满足定理条件的函数，其在区间[a,b]上的平均变化率等于某一点处的瞬时变化率。
换句话说，存在一个点使得函数的瞬时变化率等于平均变化率。
泰勒中值定理是数学中许多重要定理的基础，它在微积分的应用中经常被使用，例如用于证明极限存在、判断函数的凸凹性质以及解方程等。
1/ 1。
第三节、泰勒公式
一、泰勒（Taylor）定理
定理1(Taylor中值定理)
设函数f ( x)在x0处n阶可导,则
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2！
)
(x
x0 )2
f
n( x0 n！
)
(x
x0 )n
o(( x
x0
)n )
f (x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
...
f (2m1) (0) x 2m1 (2m 1)!
f (2m) (0) x 2m (2m)!
R2m ( x).
sin x
x
x3 3!
x5！5 (1)m1
(2xm2m11)！
f (2) 3(2)2 4(2) 3 23. f (2) 6(2) 4 12 4 16.
f (2) 6. f (4) ( ) 0.
f ( x) 26 23( x 2) 8( x 2)2 ( x 2)3
x2 x x x 2 ln 2 o( x 2 )( x 0).
例3、设f ( x)在[a, b]上满足f ( x) 0, 证明:
对任意的x1 , x2 [a, b], 都有
证明
f
(
1 3
x1
2 3
x2 )
1 3
f ( x1 )
2 3
f ( x2 ).
令
:
x0
泰勒中值定理
2.取 2.取x0 = 0, 0 ξ 在 与x之间,令 = θx (0 < θ < 1) ξ
f (n+1) (θx) n+1 x 则 项 Rn ( x) = 余 (n + 1)!
四、麦克劳林(Maclaurin)公式
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x + L+ x 2! n! f (n+1) (θx) n+1 x (0 < θ < 1) + (n + 1)!
′ Pn′( x0 ) = f ′′( x0P ( x0 ) = f
(k ) n
1
(k )
( x0 ) k = 1,2,L, n
0
a0 = f ( x0 ),
n
1⋅ a = f ′( x ),
( n) 0
2!⋅a2 = f ′′( x0 )
L L, n!⋅a = f ( x ) 1 (k ) (k = 0,1,2,L, n) 得 ak = f ( x0 ) k!
x2
1 例4 求 f ( x, y) = 1+ x 麦克劳林展式
解
1 f ( x) = 1+ x
f ( k ) (0) ( −1) k k ! ak = = = ( −1) k k! k!
( −1) n +1 ( n + 1)! ( n + 1) f ( x) = n+ 2 (1 + x )
(0) = ( −1) n! 1 2 3 n n L ∴ = 1− x + x − x +L +(−1) x + Rn(x) 1+ x f
泰勒Taylor级数展开
k 0
讨论：
1. 收敛范围：
对给定z0点，找f(z)最靠近z0的奇点z1 ，一般
即|z1-z0|为收敛半径。 2. 解析函数的又一充要条件： f(z)在区域B内解析，当且仅当f(z)在B内任一点 的某邻域内可展开成幂级数。 3. 展开系数的唯一性。
二、将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方法，即求出 f(n)(z0)代入即可，这种方法称为直接展开法。
其中n=0时为主值 例4：arctgz，在z0=0点展开
1 k 2k f ( z ) ( 1 ) z | z | 1 2 1 z k 0 1 k 2k arctgz dz ( 1 ) z dz 2 1 z k 0
(1) k
k 0
∵离z0=1最近的支点为z=0 ∴收敛半径取R=1，收敛圆为|z-1|< 1
而
(ln z )
1 z
1 1 (1 z ) k z 1 (1 z ) k 0
(1) k ( z 1) k
k 0
(| z 1 | 1)
1 ln z dz (1) k ( z 1) k dz z k 0
CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆
证明：由柯西公式
1 f ( ) f ( z) d C 2i R1 z 1 将 z 展开为幂级数
1 1 1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 ( z z0 ) /( z0 )
k 0
1 f ( ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) (| z z0 | R)
k 0
f ( k ) ( z0 ) ( z z0 ) k k!
泰勒公式
泰勒公式泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。
）证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。
设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。
显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。
至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n .接下来就要求误差的具体表达式了。
3-3 泰勒公式
+
1)n+1 ,
ξ在 − 1与x之间.
注 1的误差为 Rn( x) = f ( x) − pn( x)
Rn( x) =
f (n+1)(ξ )
(n + 1) !
(
x
−
x0
)n+1
(ξ 在 x0 与 x 之间).
当在 x0 的某邻域内 f (n+1)( x) ≤ M (常数) 时 , 有
的具体估计式.
pn(x) 的确定: pn( x) = a0+ a1( x − x0 ) + a2( x − x0 )2 + + an( x − x0 )n ,
观察： f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
有
= f ( x0 ) p1( x) 相交
Rn (1)
<
(n
3 + 1)
!<
10−6
,
由ex计=算1 +可x知+ x当2 +n =x39+时上+式x成n 立 , 因此
+
1)!.
f (−1) = −1, f ′(−1) = −1, f ′′(−1) = −2!,
因此
, f (n)(−1) = −n!.
f ( x) = −1 − ( x + 1) − ( x + 1)2 − − ( x + 1)n + Rn( x),
其中Rn( x)
=
(−1)n+1
ξ n+2
(
x
− −
Rn′ x0
泰勒的定理
泰勒的定理泰勒定理（Taylor's theorem）是微积分中的重要定理之一，它以英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）命名。
泰勒定理在微积分中具有广泛的应用，能够帮助我们理解和近似复杂的函数关系。
泰勒定理的核心思想是将一个函数在某个点展开为一个无限级数，这个级数被称为泰勒级数。
泰勒级数的每一项都与函数在给定点的各阶导数有关，这使得我们能够通过一定的近似，以更简单的方式来描述函数的特性。
泰勒定理的最基本形式是一阶泰勒展开，它表达了函数在某点的值与该点的导数之间的关系。
一阶泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)在此展开中，f(x)是函数在点x的值，f(a)是函数在点a的值，f'(a)是函数在点a的导数。
这个展开式的意义在于，通过给定的点和导数，我们可以近似计算函数在其他点的值。
除了一阶展开外，泰勒定理还可以推广到更高阶的展开。
在一般形式的泰勒展开中，我们可以通过一系列的导数来近似计算函数在某点的值。
泰勒展开的一般形式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + fⁿ⁺¹(a)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!在这个展开中，fⁿ⁺¹(a)表示函数在点a的(n+1)阶导数。
展开的每一项都带有一个(x-a)的幂次，并且除以这一项对应的阶乘。
通过逐项相加，我们可以得到函数在给定点附近的近似值。
泰勒定理的应用非常广泛，特别是在数学物理和工程领域。
它可以用来近似计算复杂函数的值和性质，进而解决实际问题。
例如，在天文学中，泰勒定理可以用来预测行星的运动轨迹；在工程领域，泰勒定理可以用来设计电路和控制系统。
然而，泰勒定理也有其局限性。
它要求函数在展开的点附近具有足够的连续性和可导性。
当函数在某些点上不连续，或者存在奇点时，泰勒展开的逼近效果就会变差。
(整理)第三节Taylor中值定理
第三节Taylor中值定理Taylor（1685-1731，英国）18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。
1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。
他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。
同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。
1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。
最后在1731年12月29日于伦敦逝世。
泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的著名定理－－泰勒定理：式内v为独立变量的增量，及为流数。
他假定z随时间均匀变化，则为常数。
上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x=0时便称作麦克劳林定理。
1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。
泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。
泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。
他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。
此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。
1715年，他出版了另一名著《线性透视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719）。
他以极严密之形式展开其线性透视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用“没影点”概念，这对摄影测量制图学之发展有一定影响。
另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。
一、引入常用近似公式x e x +≈1，x x ≈sin |(|x 充分小），将复杂函数用简单的一次多项式函数来近似表示，这是一个进步。
3.3 Taylor(泰勒)定理
x0 )n1 . (
在
x0
与
x
之间)
13
3.3 Taylor定理
定理 3.8 设函数 f 在 x0 的某邻域 N ( x0 ) 内具有 n 1阶导
数，则对 x N ( x0 ) ，有
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 ) n!
(k 1)! (1 x)k
，
故 ak
f (k ) (0) (1)k1 (k 1)! (1)k1
k!
k!
k
(k 1,2, , n) ，
ln(1 x) x x 2 x 3 x4 (1)n1 x n o( x n ) ，
234
n
9
3.3 Taylor定理
（3） f ( x) sin x ∵ f (n)( x) sin( x n ) ，
f ( x0 )( x x0 )
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
],
Rn( x) f ( x) Pn( x) 在 (a, b) 内具有直到 (n 1) 阶的导数，且
Rn ( x0 ) 0 ， Rn ( x0 ) 0 ， Rn( x0 ) 0 ，…， Rn(n) ( x0 ) 0 由洛必达法则知 lim Rn ( x) lim Rn ( x)
f 在 x0 处带有 Peano 余项的 n 阶 Taylor 公式。
特别地，称在 x0 0 的泰勒公式为 Maclaurin(麦克劳林)公式:
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn o( xn )
泰勒公式
1第三节泰勒(Taylor)公式问题的提出 泰勒中值定理简单应用2一、问题的提出例如 取x 0=0, 当x 很小时, x e x+≈1 , xx ≈+)1ln(（如下图）在微分中我们讲过，当很小时，||x Δ),(x o dy y Δ+=Δ即,)(x x f y Δ′≈Δ令：则,0x x x −=Δ),)((')()(000x x x f x f x f −+≈误差为.|)(|0x x o −上式表明函数f (x )在x 0的附近可用一个线性函数来近似。
且当很小时，误差||0x x −,)()()()(001x x f x f x f x R Δ′−−=也很小。
3xy +=1oxey =oxy =)1ln(x y +=4进一步的问题是：1) 线性近似的误差R 1(x)，如何估计？2)线性近似的理论依据是Δy ≈dy ，几何上意味着在用切线代替曲线，即“以直代曲”，显然精度不够，如何改进能提高局部近似的精度？下面来解决这两个问题。
.0lim ,)]()(21[)(02001=α−α+′′=→x x x x x f x R 由洛必达法则及极限与无穷小的关系，知)])(()([)()(:0001x x x f x f x f x R −′+−=记误差1）),)(()()(000x x x f x f x f −′+≈误差为.|)(|0x x o −5200000))((21))(()()(x x x f x x x f x f x f −′′+−′+≈3020)]()(!31[x x x f −α+′′′=]))((21))(()([)()(2000002x x x f x x x f x f x f x R −′′+−′+−=误差300200000))((!31))((21))(()()(x x x f x x x f x x x f x f x f −′′′+−′′+−′+≈因此]))((!31))((21))(()([)()(3002000003x x x f x x x f x x x f x f x f x R −′′′+−′′+−′+−=误差4030)]()(!41[x x x f −α+′′′=2) 提高多项式的次数来改进精度6由此分析看出，随着多项式函数的阶数的提高，这一特殊类型的多项式与函数f (x )的近似程度越好。
复变函数中的Taylor 级数
将函数
f
(
z
)
(
z
1 2)( z
3)2
在 0 z 2 1 中展开成 Laurent 级数。
解
f
(z)
z
1 2
(z
1 3)2
1 1 z 3 (z 2) 1
1 1 (z 2)
(z 2)n ( z 2 1)
n0
1 (z 3)2
z
1
3
n0
(
z
2)n
n(z 2)n1 ( z 2 1)
的解析函数 f ( ) 。
1
R
则
R 即是 z
cn (z z0 )n
n0
z0
在
z
1
R
z0
1 R
z0 内绝对
收敛，且和函数是
z 的解析函数
f 1 z z0
Laurent 级数：
cn (z z0 )n cn (z z0 )n
n
n0 (1)
cn (z z0 )n
n1 (2)
n0 n!
n0 n!
ez 1 z z2 zn
2!
n!
( z )
例 3.7 cosz eiz eiz 2
1 2
n0
(iz)n n!
n0
(iz)n n!
ห้องสมุดไป่ตู้
iz2n i2n z2n (1)n z2n
iz 2n1 (iz)2n1
cos z (1)n z2n
n0 (2n)!
其中
cn
1
2
i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
C
例3.17 把函数
高等数学《中值定理-泰勒》课件
3x 4 2
1
3 4
x
2
1
1 2
(
3 4
x)
21!
1 2
(
1 2
1)
(
3 4
x)2
o(
x2
)
2
3 4
x
1 4
9 16
x2
o( x2 )
4 3x
2
3 4
x
1 4
196
x2
o( x2 )
原式
lim
x0
1 2
9 16
x2
o(
x2
)
x2
9 32
例7 证明
证明
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
使其精确到0.005,试确定 x 的适用范围.
解 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得 x 0.588
即当 x 0.588 时,由给定的近似公式计算的结果
能准确到 0.005 .
例6 求
用洛必塔法则
解 用泰勒公式将分子展到 x2 项,由于 不方便 !
由f（x）、Pn（x）的性质知，Rn（x）在（a ，b）内
有直至（n+1）阶的导数，且有
Rn(n1) (x) f (n1) (x)
而 Rn (x0) Rn(x0) Rn(n) (x0) 0
对于函数Rn（x）与（x－x0）n+1在以 x0、x 为端 点的区间上，应用柯西中值定理，则有
பைடு நூலகம்(x
x
x0
n1
第三讲-Lagrange余项的Taylor公式
( 介于x, x0之间) 余项Rn ( x )可更精确地估计误差.
证明：构造两个辅助函数
F (t ) f x Tn ( f , t; x )
( n) f (t ) n f x f (t ) f '(t )( x t ) ( x t) , n! n1 G t (x t) .
(1) f x h 在x点的泰勒展开；
(2) f x h
xR
在x点的泰勒展开；
k
（）Mk sup f 3
证明：
x ，k 0,1, 2 M12 2 M0 M2
f '' x 1h 2
h2
1) f x h f x f ' x h
( 1)
n1
2
4
2n
cosx 2 n 2 x ( 2n 2)!
4.
x2 x3 xn ln( 1 x ) x ( 1) n 1 2 3 n
( 1) x . n1 n 1 (1 x )
n
n1
5.
n (1 x ) C x C 1 (1 x ) n1 x n 1
1 求证： n lim . x 0 n1
证： f ( n ) ( n x ) f ( n ) (0) f ( n1) (0) n x o( n x )
f ( n 1 ) ( 0) f ( x ) f ( 0) f ' ( 0) ( n 1)!
F ( x )=0, Rn ( x ) F ( x0 ) F ( x ),
G t ( x t )n 1 , G x 0 G x G x 0 .
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第二章 一元微分学第三节 Taylor 公式及应用有关知识： （1）Taylor 定理:(I)设)(x f 在0x 的某邻域)(0x U 内有直至1+n 阶的导数,则对)(0x U x ∈∀,有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 其中 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ1000)1()()!1()]([++-+-+=n n x x n x x x f θ,ξθ,10<<介于0x 与x 之间．（II ）设)(x f 在0x 的某邻域)(0x U 内有直至1-n 阶的导数,且)(0)(x fn 存在,则])[()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-''+-'+= （2）记住几个简单函数x x x x a e x x cos ,sin ,)1(),1ln(,,α++的Maclaurin 公式．一般而言，其他函数的Taylor 公式可利用这几个简单函数的Maclaurin 公式再结合某些运算得到．（3）Taylor 定理的应用很广,技巧性强．用Taylor 定理解决问题时,要掌握几个关键点（I ）选择什么余项，（II ）在哪点展开，展开哪点的函数值．（III ）用一个展式，还是多个（主要是二个）展式,多个展式如何复合使用．例1：求)1ln()(x e x f x+=的4阶带皮亚诺余项的Maclaurin 公式。
解： )1ln()(x e x f x+=))(413121))((61211(432332x o x x x x x o x x x +-+-++++= )()61413141()212131()121(4432x o x x x x ++-+-++-++-+=)(3121432x o x x x +++=例２：求xe e xx f -=11)(的3阶带皮亚诺余项的Maclaurin 公式。
解：)(111332x o x x x x++++=-， )(61211332x o x x x e ee x++++=)(]))((61))(21(21))(6121(1[(33222332)(6121332x o x o x x o x x x o x x x e ee x o x x x ++++++++++==+++)()651(332x o x x x e ++++=)(62332))(651())(1()(33233232x o x e ex ex e x o x x x e x o x x x x f ++++=++++++++= 本题也可用待定系数法、多项式除法得到结果。
单纯求泰勒展开式在考试中不多见。
在应用泰勒公式解决的问题中，准确地写出泰勒展开式（包括带拉氏余项的泰勒公式）是解决问题的基础和关键，比如用泰勒公式解决极限及相关问题，用泰勒公式求高阶导等问题。
练习题。
1. 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳展式：（1）x x x f -+=23ln )(， （2）xx x f sin 1)(2+=（到)(6x o ）（（1）)()3)1(21(123ln )21ln()31ln(23ln )(11n kkk k n k x o x k x x x f +-++=⋅⋅⋅=--++=-=∑ （2）xx x f sin 1)(2+=)(3265665432x o x x x x x ++-+-=） 2.求函数xxx x x f ---=44)(在2=x 处的泰勒展开式（到))2(22+-n x o （令2-=x t ，则x x x x x f ---=44)(24)2(22222tt t t t t t ---+=+---+= ⋅⋅⋅=-=-212)4(2t t ，答案：))2(()2(!2!)!12(2)(221122+=+-+--+-=∑n nk k x o x k k x x f k3.确定e d c b a ,,,,的值，使得当0→x 时，)(sec 4432x o ex dx cx bx a x +++++=。
（本题实际上就是求x sec 的4阶麦克劳林展开式。
245,0,21,0,1=====e d c b a ） 应用之一：用Taylor 公式求极限、确定无穷小的阶解决此类问题要知道：（1）选择皮亚诺余项，（2）当考虑0x x →时，应在0x 处展开，当考虑∞→x 时，可作变换xt 1=，化为0→t 。
单侧极限也是如此 用Taylor 公式求极限问题在前面已讲过，此处不再重复。
用Taylor 公式确定无穷小的阶在大多数情况下都会比用其它工具更方便。
例3.设e x x f x-+=1)1()(,当0→x 时)(x f 与kax 为等价无穷小,求k a ,的值. 解: 当0→x 时,e e e x xf x xx-=-+=+)1ln(11)1()(e ee ex o x x o x x x -=-=+-+-)(211)](21[122)(2]1[)(21x o x eee x o x +-=-=+-所以1,2=-=k ea 另解:x k x k xx x xx x x x kx x e x 121010)1()1()1ln()1(1lim )1(lim +⨯+++-⨯=-+-→→ 210)1ln()1(1lim x x x x kx e k x ++-⨯=-→ 而212)1ln(lim )1ln()1(lim 020-=+-=++-→→x x x x x x x x因此,1=k 时2)1(lim 10exe x k xx -=-+→ 故 1,2=-=k ea . 比较两种解法，可以看出泰勒公式更方便。
例4.设3232232n n n n n a n ++-+=，⋅⋅⋅=,2,1n ，n a 是关于n1的几阶穷小？并求它的一个等价无穷小。
解：)]1()23(91)23(311()1(2111[)23121(22222232no n n n n n o n n n n n n n a n ++-++-+-+=++-+=)1(61))1(61(22n o n n o n n +-=+-=所以n a 与n1为同阶穷小，且n a 与n 61-为等价无穷小。
注：本题考虑的是数列，其极限过程一定是∞→n ，因此01→n ，从而用Taylor 公式时，以n1为自变量在=x 0处作Taylor 展开。
下面展开式是错误的：)(!2)121(21211122n o n n n +-⨯++=+ 用Taylor 公式求极限或确定无穷小的阶时，该展开到几阶？这需在具体场合去尝试。
下面例子更能说明这一点。
例5. 确定b a ,，使得当0→x 时，2211cos )(bxax x x f ++-=为尽可能高阶的无穷小，并指出是x 的几阶无穷小。
分析：首先可以看出对任意的b a ,，当0→x 时，2211cos )(bx ax x x f ++-=都是无穷小。
其阶数与b a ,的具体值有关。
这种关系用Taylor 展开就能看得很清楚: +-+-=642!61!41!211cos x x x x +-+-+-+=+-+-+=++63242263422222)()()(1)1)(1(11x b ab x ab b x b a x b x b bx ax bxax 2211cos )(bxax x x f ++-= +--++-+--=623422)!61()!41()21(x ab b x ab b x a b 可见当021≠--a b 时,)()21()(22x o x a b x f +--=为x 的2阶无穷小;当021=--a b 时,)(x f 至少为x 的4阶无穷小;021=--a b 且0!412=+-ab b 时, )(x f 至少为x 的6阶无穷小,此时121,125=-=b a ,且0!6123≠--ab b ,故此时)(x f 为x 的6阶无穷小．因此本题的答案是：121,125=-=b a ，且为x 的6阶无穷小．解答过程学生自己完成。
注：展开式中的“…”，一则表示是它前面一项的高阶无穷小，二则为方便“尝试”。
练习题4.确定k a ,,使得当0→x 时，x x x f cos )cos(sin )(-=与kax 为等价无穷小．（答案：4,61）5.确定b a ,，使得当0→x 时，bx ax e x f x++-=11)(为尽可能高阶的无穷小．（答案：21,21-） 6.设n n n n n a )11()111(1+-++=+， ,2,1=n ，n a 是关于n1的几阶穷小？（答案：2） 7.确定n a ,之值，使得820cos lim x x e nax x -→存在。
（4,21=-=n a ） 8.设312)21()(x x e x f x---=，求)0(f '.（361）9.求下列极限（1）)211(lim 44447x x x x x --+++∞→，（2）3cot 0))1ln()(cos(lim x xx x x xe ---→， （3）))1(1(lim x x x x e x +-+∞→， （4）30)(sin lim xx x xx x -+→。
（（1）163-，（2）)(321)1ln()cos(33x o x x x xe x +-=---，)(1cot 333x o x x +=，32-e ，（3）211-e ， （4）))sin (1()(sin x x x x xx x x x -=-，1→x x ， )(61)sin (33)/ln(sin x o x e x x x x x x +-==，61）应用之二：用Taylor 公式证明介值问题.这种问题一般涉及二阶或更高阶的导数．有含介值的等式和不等式两类．要注意：（１）选择拉氏余项，（２）常需二个展开式． 例6.设)(x f 在],[b a 上三阶可导，证明：),(b a ∈∃ξ，使得 3))((241))(2()()(a b f a b b a f a f b f -'''+-+'+=ξ 分析：本题涉及三阶导，可用Taylor 公式试一下，又欲证的结论中出现了)2(),(),(ba fb f a f +'，故可以想到在同一点2ba x +=处展开两点b x a x ==,处的函数值)(),(b f a f ，得到两个展开式，对两个展开式复合使用．证明：由Taylor 公式知，),(,21b a ∈∃ξξ，使得312)2(!3)()2(!2)2(2)2()2()(a b f a b ba f ab b a f b a f b f -'''+-+''+-+'++=ξ 322)2(!3)()2(!2)2(2)2()2()(b a f b a b a f b a b a f b a f a f -'''+-+''+-+'++=ξ 两式相减得24)(2)()())(2()()(321a b f f a b ba f a fb f -'''+'''+-+'=-ξξ 由达布定理知 ),(b a ∈∃ξ，使得 2)()()(21ξξξf f f '''+'''='''所以 3))((241))(2()()(a b f a b b a f a f b f -'''+-+'+=ξ 例7.设)(x f 在],[b a 上二阶可导，,0)()(='='b f a f 证明：),(b a ∈∃ξ，使得|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ证明：（将)2(ba f +分别在b a ,两点展开）由Taylor 公式知 )(,2121b a <<<∃ξξξξ，使得 21)2(2)()()2(a b f a f ba f -''+=+ξ （１）22)2(2)()()2(a b f b f ba f -''+=+ξ （２） （１） －（２）得2)()(4)()()(212ξξf f a b a f b f ''-''-=-那么 2|)(||)(|4)(2|)()(|4)(|)()(|212212ξξξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤''-''-=-取⎩⎨⎧''<''''≥''=|)(||)(| ,|)(||)(| ,212211ξξξξξξξf f f f则 |)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ． 另解：若)()(b f a f =，结论成立若)()(b f a f ≠，不妨设)()(b f a f <，2ba c += （1）若)()()(2b f a fc f +≥2)(!2)()()(a c f a f c f -''+=ξ 2)2)(()]()([2)()(|)()(|a b f a f c f a f b f a f b f -''=-≤-=-ξ⇒结论； 或：令))())()((4()(2)()(22a b a f b f k a x k x f x F --=--= )()(,0)(a F c F a F ≥=' ⇒-''=-≤2))((21)()(0a c F a F c F ξ结论 （2）若)()()(2b f a f c f +<，同样可得结论，过程略。