高二数学6月月考试题 文(含解析)
福建省上杭县第一中学2017-2018学年高二下学期第二次月考(6月)数学(文)试题(解析版)
2017-2018学年度上杭一中6月月考高二（文）数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（共12题，每题5分，共60分.）1. 已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】分析：根据全称命题的否定的原则：:换量词，否结论，不变条件，写出否定形式即可.详解：根据全称命题的否定原则得到为，.故答案为：B.点睛：全称命题的否定式特称命题，原则是:换量词，否结论，不变条件，特称命题的否定式全称命题,否定形式如上.2. 若为实数，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知得，所以，解得，故选B．考点：复数的运算．视频3. 若全集，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据集合的补集运算得到结果即可.详解：全集，=，.故答案为：A.点睛：这个题目考查的是集合的补集运算，也考查到了二次不等式的计算,较为简单.4. 下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①是三角函数；②三角函数是周期函数；③是周期函数.A. ①②③B. ②①③C. ②③①D. ③②①【答案】B【解析】试题分析：②是一个一般性的结论,是大前提；①说明是一个三角函数,是一个特殊性的结论,是小前提；③即是结论.故选B.考点：三段论.5. 已知定义在上的奇函数，当时，恒有，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出函数的周期，利用函数的奇偶性以及已知函数的解析式，转化求解即可．详解：当x≥0时，恒有f（x+2）=f（x），可知函数f（x）的周期为2．所以f（2017）=f（1），f（2018）=f（0）又f（x）为奇函数，所以f（﹣2017）=﹣f（2017）而当x∈[0，1]时f（x）=e x﹣1，所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣f（2017）+f（2018）=﹣f（1）+f（0）=﹣（e1﹣1）+（e0﹣1）=1﹣e，故选：D．点睛：此题考察了函数的周期性、奇偶性及其运用，对于抽象函数，且要求函数值的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为已知表达式的区间上，将转化后的自变量代入解析式即可.6. ①已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设且；②设为实数，，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且.则（）A. ①的假设正确，②的假设错误B. ①的假设错误，②的假设正确C. ①与②的假设都错误D. ①与②的假设都正确【答案】B【解析】分析：根据反证法的概念判断正误即可.详解：已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设或，故选项不合题意；②设为实数，，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且，是正确的.故答案为：B.点睛：这个题目考查了反证法的原理，反证法即将原命题的结论完全推翻，假设时取原命题结论的补集即可，注意在假设时将或变为且，且变为或，不都变为全都.7. 已知条件：：，条件：直线与圆相切，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由题意求得直线与圆相切时的k值，据此可得是的充分不必要条件详解：圆的标准方程为：，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1，即：，解得：，据此可得：是的充分不必要条件.本题选择A选项.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8. 下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据奇偶性的定义和单调性的定义可判断选项，进行排除得到结果.详解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3为幂函数，为奇函数，不符合题意，对于B，y=2|x|，有f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x），为偶函数，且当x∈（0，+∞），f（x）=2|x|=2x，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于C，函数的定义域为[0，+∞）,定义域关于原点不对称，故得到函数非奇非偶，不合题意；D，是偶函数，但是是周期函数在上不单调.故答案为：B.点睛：这个题目考查了函数奇偶性和单调性的判断，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.9. 执行如图所示的程序框图，为使输出的值大于，则输入正整数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图试运行所给的程序框图，结合S值的变化即可求得最终结果.详解：结合所给的流程图执行程序：首先初始化数据：,第一次循环，应满足，执行，，；第二次循环，应满足，执行，，；第三次循环，，此时之后程序即可跳出循环，据此可得输入正整数的最小值为.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10. 函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据f（0），f（2）和f（x）在（0，+∞）上是否单调结合选项得出答案．详解：∵f（0）=1，故A错误；当x＞0时，f（x）=-e x+2x2，f′（x）=-e x+4x．∴f′（1）=-e+4>0，f′（3）=-e3+12<0，∴f（x）在（0，+∞）上不单调，故C,D错误；故选：B．点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.11. 我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等部算书，被称为“算经十字”.某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生深厚的兴趣.一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个（他们四个人对这十部书阅读本数各不相同）.甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是（）A. 乙甲丙丁B. 甲丁乙丙C. 丙甲丁乙D. 甲丙乙丁【答案】D【解析】分析：由四人所说话列出表格，再由四个选项依次分析是否满足只有一人说话为真且此人阅读数最少。
人教版高二上学期数学第一次月考文试题(解析版)
因为 ，所以解得 ，
所以 的方程为 ，
（2）由题意可得直线方程为 ，设直线与椭圆交于 ，
将 代入椭圆方程得， ，即 ，
所以 ，
所以
【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式的应用，考查计算能力，属于基础题
22.已知椭圆的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1)，离心率e＝ .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P在这个椭圆上且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得： ，解得 ，从而可得椭圆的方程；
（2）由椭圆 定义得： ，结合题意可得： ，再根据余弦定理可求得结果
【详解】解：（1）由已知设椭圆方程为 ，
【详解】由不等式 的解集为 ，得 无解，即对 , 恒成立，①当 时，显然满足题意，②当 时，有 ，解得： ，综上，
故答案为：
【点睛】本题结合二次函数得性质，考查命题的真假，属于容易题.
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17.当c<0时，若ac>bc，则a<b.请写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假．
考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力.
点评：解决本小题时，不要忘记 ，否则就表示圆了.
15.若椭圆 的离心率为 ，则 的短轴长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
判断出椭圆的焦点在 轴上，得出 的值，根据离心率的概念可得 ，解出 的值可得短轴长.
【详解】由椭圆 得焦点在 轴上， ， ， ，
10.已知△ABC的顶点B、C在椭圆 ＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
四川省成都七中实验学校2013-2014学年高二数学6月月考试题新人教A版
四川省成都七中实验学校2013-2014学年高二6月月考数学试题（考试时间120分钟,试卷满分150分）一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．） 1. （文）设集合{}1,2,3,4,5,6U ＝，{}1,2,4M ＝，则UC M 等于 ( )A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}(理)设i 为虚数单位，则复数5－6ii等于 ( )A ．6＋5iB ．6－5iC ．－6＋5iD ．－6－5i2. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，以下正确的是 （ ） A.tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使B. tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 C ． tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使 D. tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使3．函数()()3log 21xf x =+的值域为 ( )A. ()0,+∞B. )0,+∞⎡⎣C. ()1,+∞D. )1,+∞⎡⎣4.已知△ABC 的周长为20，且顶点(0,4)(04) B C -，，， 则顶点A 的轨迹方程是 （ ）A.2213620x y += 0x ≠（）B.2212036x y += 0x ≠（）C.221620x y += 0x ≠（）D.221206x y += 0x ≠（）5．已知32()32f x ax x =++, 若()14f '-=, 则a 的值等于 （ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．3106.“3m =”是“椭圆2215x y m +=的离心率5e =”的 （ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ( ) A ．cos 2y x ＝，x R ∈B ．2log y x ＝，x R ∈且0x ≠C ．2x xe e y --=，x R ∈D ．31y x +＝，x R ∈8.当x 在(,)-∞+∞上变化时，导函数'()f x 的符号变化如下表：则函数()f x 的图象的大致形状为 （ ）9.对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足()(1)0x f x '≥－, 则必有 ( ) A ．()()()0221f f f <＋ B ．()()()0221f f f ≤＋ C ．()()()0221f f f ≥＋D ．()()()0221f f f >＋10.（文科）若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点, 1F 、1F 分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为1e ，双曲线离心率为2e ，若120PF PF ⋅=,则=+222111e e （ ）A.1B. 2C.3D.4（理科）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆：2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B. 5二．填空题（本大题共5小题, 每小题5分, 共25分）11. 1324lg2493－12. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 ．13. 已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ , 若()2(2)f a f a >－， 则实数a 的取值范围是 .14. 函数()log (3)a f x ax ＝－在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是15. 已知定义在R 上的函数()y f x ＝满足条件()2()f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，给出以下四个命题：①函数()f x 是周期函数； ②函数()f x 的图像关于点()1,0-对称； ③函数()f x 为R 上的偶函数； ④函数()f x 为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为________．三．解答题（本大题共6小题, 共75分，需写出必要的解答或推证过程） 16.（本题满分12分）已知函数32()2f x x ax bx c =-++，（1）当0c =时，()f x 在点(1,3)P 处的切线平行于直线2y x =+，求,a b 的值； （2）若()f x 在点(1,8),(3,24)A B --处有极值，求()f x 的表达式.17. （本题满分12分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点()1,0F 的距离与它到直线1x =-的距离相等.(1)求曲线C 的方程； (2)是否存在正数m ，使得过点(),0M m 且斜率1k =的直线与曲线C 有两个交点A 、B ，且满足0FA FB ⋅<？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 18．（本题满分12分）已知函数.2()8ln 62x f x x x =+- （1）求函数()f x 的单调区间与极值。
四川省成都市七中育才学校高二数学文月考试卷含解析
四川省成都市七中育才学校高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集，则右图中阴影部分表示的集合为 ( )A． B． C． D．参考答案：D2. 设数列,,,,…，则是这个数列的( )A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项参考答案：B3. 函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7）B．（7，8）C．（8，9）D．（9，10）参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）＜0，f（10）＞0，由此得出结论．【解答】解：由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）=lg9﹣1＜0，f（10）=1﹣=＞0，f（9）?f（10）＜0，故函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（9，10），故选D．4. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A．30种 B．12种 C． 6种 D．36种参考答案：A略5. 等差数列中，，，则此数列前项和等于（）A． B． C． D．参考答案：B略6. 某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：“好像是乙或丙去了.”乙说：“甲、丙都没去.”丙说：“是丁去了.”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁参考答案：A【分析】逐一假设成立，分析，可推出。
【详解】若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意；若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意；若丁去，则乙、丙都说的对，不符合题意；若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意.故选A.【点睛】本题考查合情推理，属于基础题。
7. 已知恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：A8. 下列命题中是真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞bB．“当x=2时，x2﹣3x+2=0”的否命题C．“若b=3，则b2=9”的逆命题D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题参考答案：D【考点】四种命题．【分析】根据不等式的性质以及命题的关系分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可．【解答】解：对于A：若c＜0，ac＞bc，则a＜b，不成立，对于B：“当x=2时，x2﹣3x+2=0”的否命题是：“x2﹣3x+2=0时，x=1或x=2”，是假命题；对于C：“若b=3，则b2=9”的逆命题是：“若b2=9，则b=±3”，是假命题；对于D：“相似三角形的对应角相等”的逆否命题是：“对应角不相等的三角形不是相似三角形”，是真命题；故选：D．9. 已知在△ABC中,满足acos B=bcos A,判断△ABC的形状为( ).A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形参考答案：B略10. 若坐标原点到抛物线的准线的距离为2，则（）A．8 B．±8 C. D．参考答案：D因，故由题设可得，所以，应选答案D。
高二数学上学期月考试题 文含解析 试题
2021-2021学年HY中学高二上学期段一考试〔月考〕文数试题一、选择题：一共12题1. 将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周,形成的几何体一定是A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 以上均不正确【答案】A【解析】由棱锥的定义可知：将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体一定是圆锥. 此题选择A选项.2. 由斜二测画法得到:①相等的线段和角在直观图中仍然相等;②正方形在直观图中是矩形;③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形;④平行四边形的直观图仍然是平行四边形.上述结论正确的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】逐一考察所给的说法：①相等的线段平行时在直观图中仍然相等，原说法错误；②正方形在直观图中是平行四边形，不是矩形，原说法错误；③等腰三角形在直观图中不是等腰三角形，原说法错误；④平行四边形的直观图仍然是平行四边形，原说法正确．综上可得上述结论正确的个数是1个.此题选择B选项.3. 以下四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出的图形的序号是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】B【解析】此题考察空间线面的平行关系.对于①,根据正方体的概念可知,以AB为对角线的对角面与平面MNP平行,故平面,即①正确;②③中,直线AB与平面MNP都相交;对于④,易得AB∥NP,故平面.所以,能得到平面的序号是①④.故答案为：B。
4. 在正方体中,异面直线与所成的角为A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】如下图，由正方体的性质可知，那么异面直线与所成的角即，结合正方体的性质可知，综上可得异面直线与所成的角为45°.此题选择C选项.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其根本思路是通过平移直线，把异面问题化归为一共面问题来解决，详细步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或者两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．5. 如图,在四面体中,假设直线和相交,那么它们的交点一定A. 在直线上B. 在直线上C. 在直线上D. 都不对【答案】A【解析】依题意有：由于交点在上，故在平面上，同理由于交点在上，故在平面上，故交点在这两个平面的交线上.6. 在正方体中,为棱的中点,那么A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意结合射影定理逐一考察所给选项：在平面上的射影为，假设，那么，该结论明显不成立，选出A错误；在平面上的射影为，假设，那么，该结论明显不成立，选出B错误；在平面上的射影为，假设，那么，该结论明显不成立，选出C错误；在平面上的射影为，假设，那么，该结论明显成立，选出D正确；此题选择D选项.7. ?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？〞其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽丈，长丈，上棱长丈，高2丈，问：它的体积是多少？〞丈为尺，该锲体的三视图如下图，那么该锲体的体积为A. 立方尺B. 立方尺C. 立方尺D. 立方尺【答案】A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如下图：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，那么将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，那么三棱柱的四棱锥的体积由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．应选A．【点睛】此题考察三视图及几何体体积的计算，其中正确复原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．8. 设是两条不同的直线,是一个平面,那么以下命题正确的选项是A. 假设,那么B. 假设,那么C. 假设,那么D. 假设,那么【答案】B【解析】试题分析：由题意得，对于A中，假设，，那么可能在内，所以错误；B中，假设，，根据线面垂直的性质定理以及平行线的性质，可得，所以正确；C中，假设，，那么与平行或者异面，所以错误；D中，假设，，那么与平行、相交或者异面，所以错误，应选B.考点：线面位置关系的断定.9. 在棱长为1的正方体中,是棱的中点,是侧面内(包括边)的动点,且平面,沿运动,将点所在的几何体削去,那么剩余几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，那么∵A1M∥D1E,A1M⊄平面D1AE,D1E⊂平面D1AE,∴A1M∥平面D1AE.同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线,∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE,可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F的轨迹是线段MN，∴，∴将B1点所在的几何体削去,剩余几何体的体积为，此题选择B选项.10. 在空间四边形中,分别为上的点,且,又分别是的中点,那么A. 平面,且四边形是平行四边形B. 平面,且四边形是平行四边形C. 平面,且四边形是梯形D. 平面,且四边形是梯形【答案】C【解析】如图,由条件知,,,,且;且=;四边形EFGH为梯形;,平面BCD,平面BCD;平面BCD;假设平面ADC,那么,显然EH不平行FG;不平行平面ADC;选项C正确.点睛：这个题目主要考察了线面平行的断定方法；对于线面平行的证法，一般是转化为线线平行；常见方法有：构造三角形中位线，构造平行四边形等方法证明线线平行，从而得到线面平行。
福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题
福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、双空题16．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p qa a p q =ÎN ，必有11p q a a ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”.若{}na 为“和谐递进数列”，且124681,2,1,6a a a a a ===+=，则7a =__________，n S 为数列{}na 的前n 项和，则2022S =__________.(1)求证：FM P 平面ADE ;(2)若1,BC =已知直线AF 与平面ABCD 所成角为30°，求二面角A FB C --的余弦值.20．某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i 名学生的成绩为()(),1,2,3,20iix yi =×××，其中i x ，i y 分别为第i 名学生的数学总评成绩和物理总评成绩．抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整理）：11．AC【分析】A 选项，作出辅助线，得到AC ⊥BD ，1AC DD ^，得到线面垂直，证明出AC ⊥BP ；B 选项，假设1B D ⊥平面EFPQ ，推出矛盾，B 错误；C 选项，作出辅助线，得到//EF BD ，1//FP BC ，证明出面面平行；D 选项，作出辅助线，找到异面直线CE 和1FD 所成角，求出各边长，利用余弦定理求出答案.【详解】对于A ，如图1所示，因为AB ＝BC ，所以四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，又因为几何体为长方体，所以1DD ⊥平面ABCD ，因为AC Ì平面ABCD ，所以1AC DD ^，又因为1BD DD D =I ，1,BD DD Ì平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，又因为BP Ì平面1BDD ，所以AC ⊥BP ，故结论正确；对于B ，如图2所示，假设1B D ⊥平面EFPQ .因为PQ Ì平面EFPQ ，所以1B D ⊥PQ .因为P ，Q 分别为棱1DD ，1BB 的中点，所以四边形PQDB 为平行四边形，故//PQ BD ，所以1B D BD ^，显然1B D BD ^不成立，故假设错误，所以结论错误；对于C ，如图3所示，连接BD ，1AD ，1C B ，1C D ，由条件可知//EF BD ，因为EF Ì平面EFPQ ，BD Ë平面EFPQ ，所以//BD 平面EFPQ ，又1//FP AD ，11//BC AD ，所以1//FP BC ，因为PF Ì平面EFPQ ，1BC Ë平面EFPQ ，所以1//BC 平面EFPQ ，又因为1BC BD B =I ，1,BC BD Ì平面1BC D ，所以平面1//BC D 平面EFPQ ，故结论正确；对于D ，如图4所示，在CD 上取靠近D 的一个四等分点G ，连接FG ，1D G ，取CD 中点H ，连接AH ，则G 是DH 的中点，所以//FG AH ，又四边形AECH 为平行四边形，所以//CE AH ，故//FG EC ，所以CE 和1FD 所成角即为1D FG Ð或其补角，设13DD =，则AD ＝CD ＝2，。
2021-2022学年北京八中高二(下)月考数学试卷(6月份)(含答案解析)
2021-2022学年北京八中高二（下）月考数学试卷（6月份）1. 设集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x∈Z|−2≤x≤2}.则A∩B的元素个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 52. 设x∈R，则“x>1”是“1x<1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设集合A，B是全集U的两个子集，则“A⊆B”是“A∩∁U B=⌀”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知a，b都为正实数，2a+b=1，则ab的最大值是( )A. 29B. 18C. 14D. 125. 等差数列{a n}中，如果a4=2，那么a2a6的最大值为( )A. 2B. 4C. 8D. 166. 已知函数f(x)={2x+1,x<1x2+ax,x≥1，若f[f(0)]=4a，则实数a等于( )A. 12B. 45C. 2D. 97. 在等差数列{a n}中，a1=−9，a5=−1.记T n=a1a2…a n(n=1,2,…)，则数列{T n}( )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项8. 设{a n}是公比为q的等比数列，则“q > 1”是“{a n}为递增数列”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列.令b n=1a n a n+2，数列{b n}的前n项和为T n，若对于∀n∈N∗，不等式T n<λ恒成立，则实数λ的取值范围是( )A. λ≥13B. λ>15C. λ≥15D. λ>010. 曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示，则f′(1)−f(1)=( )A. 0B. −1C. 1D. −1211. 若“∃x 0∈(0,2)，使得2x 02−λx 0+1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是( )A. 1B. 2√3C. 3D. 3√212. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有( )A. 25种B. 27种C. 29种D. 31种13. 若x >1，则x +4x−1的最小值为__________.14. 已知数列{a n }的前n 项和公式S n =n 2−2n +1，则其通项公式a n =______.15. 如图，函数y =f(x)在[1,3]上的平均变化率为______.16. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1={a n +1,n 为奇数a n +2,n 为偶数，则{a n }的前20项和等于______.17. 给定数集M ，若对于任意a 、b ∈M ，有a +b ∈M ，且a −b ∈M ，则称集合M 为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______. ①集合M ={−2,−1,0,1,2}是闭集合；②正整数集是闭集合；③集合M={n|n=3k,k∈Z}是闭集合；④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．18. 从条件①2S n=(n+1)a n，②√S n+√S n−1=a n(n≥2)，③a n>0，a n2+a n=2S n中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，_____.若a1，a k，S k+2成等比数列，求k的值.19. 已知函数f(x)=alnx+x2−3x(a≠0).(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；(2)若f(x)有唯一极值点x0，求关于x0的不等式a>f(2x0)的解集．20. 已知函数f(x)=e x−ax−1.(1)当a=2时，求曲线在(1,f(1))处的切线方程；(2)若g(x)=f(x)−x2，且g(x)在[0,+∞)上的最小值为0，求a的取值范围.21. 已知函数f(x)=ax+1.e x(Ⅰ)当a=1时，求f(x)的单调区间和极值；(Ⅰ)当a≥1时，求证：f(x)≤(a−1)x+1；(Ⅰ)直接写出a的一个取值范围，使得f(x)≥ax2+(a−1)x+1恒成立．22. 已知各项均为整数的数列A N：a1，a2，…，a N(N≥3,N∈N∗)满足a1a N<0，且对任意i=2，3，…，N，都有|a i−a i−1|≤1.记S(A N)=a1+a2+…+a N.(Ⅰ)若a1=3，写出一个符合要求的A6；(Ⅰ)证明：数列A N中存在a k使得a k=0；(Ⅰ)若S(A N)是N的整数倍，证明：数列A N中存在a r，使得S(A N)=N⋅a r.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．先求出集合A，B，然后利用交集的定义求出A∩B，即可得到答案．【解答】解：集合A={x|x2−2x−3≤0}={x|(x+1)(x−3)≤0}={x|−1≤x≤3}，又B={x∈Z|−2≤x≤2}={−2,−1,0,1,2}，所以A∩B={−1,0,1,2}，故A∩B的元素个数为4个．故选：C.2.【答案】A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的判断方法判断选项即可．本题考查充分条件、必要条件的判断，基本知识的考查．【解答】<1”解得x<0或x>1，解：“1x<1”的充分不必要条件，故“x>1”是“1x故选：A.3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．结合韦恩图进行判定A⊆B⇒A∩∁U B=⌀，而A∩∁U B=⌀⇒A⊆B，从而确定出A⊆B与A∩∁U B=⌀的关系．【解答】解：由韦恩图可知，A⊆B⇒A∩∁U B=⌀，反之也可得出A∩∁U B=⌀⇒A⊆B∴“A⊆B”是“A∩∁U B=⌀”的充要条件，故选：C.4.【答案】B【解析】解：因为a，b都为正实数，2a+b=1，则ab=12(2a⋅b)≤12(2a+b2)2=12×14=18，当且仅当2a=b=12时取等号．故选：B.由已知结合基本不等式可得ab=12(2a⋅b)≤12(2a+b2)2，可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}中，4=2a4=a2+a6，那么a2a6≤(a2+a62)2=4，当且仅当a2=a6=2时取等号．故选：B.等差数列{a n}中，4=2a4=a2+a6，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】【分析】先求出f(0)=2，再令f(2)=4a，解方程4+2a=4a，得a值．本题考查分段函数代值计算，属于中档题.【解答】解：由题知f(0)=2，f[f(0)]=f(2)=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2.故选：C.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列{a n}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值，进一步分析得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=−9，a5=−1，得d=a5−a15−1=−1−(−9)4=2，∴a n=−9+2(n−1)=2n−11.由a n=2n−11=0，得n=112，而n∈N∗，可知数列{a n}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知T1=−9<0，T2=63>0，T3=−315<0，T4=945>0为最大项，自T5起均小于0，且逐渐减小．∴数列{T n}有最大项，无最小项．故选：B.8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查等比数列的函数性质，属于中档题．根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，若{a n}为递增数列，则a n+1−a n=a1q n−1(q−1)>0对∀n∈N∗恒成立，即a1>0,q>1或a1<0,0<q<1，所以由q>1⇏{a n}为递增数列，由\(\left\{{a}_{n}\right\}\)为递增数列\(⇏q>1\)，故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.9.【答案】A【解析】解：由题意，可知S1=a1，S2=2a1+2，S4=4a1+4×32×2=4(a1+3)，∵S1，S2，S4成等比数列，∴S 22=S 1S 4，即(2a 1+2)2=4a 1(a 1+3)，解得a 1=1，故a n =1+2(n −1)=2n −1，n ∈N ∗， ∴b n =1a n a n+2=1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，则T n =b 1+b 2+b 3+…+b n−1+b n=14⋅(1−15)+14⋅(13−17)+14⋅(15−19)+…+14⋅(12n−3−12n+1)+14⋅(12n−1−12n+3) =14⋅(1−15+13−17+15−19+…+12n−3−12n+1+12n−1−12n+3)=14⋅(1+13−12n +1−12n +3) =13−n +1(2n +1)(2n +3)<13，∵对于∀n ∈N ∗，不等式T n <λ恒成立，∴λ≥13.故选：A.本题先根据等差数列的求和公式以及等比中项的性质可列出关于首项a 1的方程，解出a 1的值，即可计算出数列{a n }的通项公式，进一步可计算出数列{b n }的通项公式，然后运用裂项相消法求出前n 项和T n 的表达式，再结合题意即可得到实数λ的取值范围．本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n 项和，数列与不等式的综合．考查了方程思想，转化与化归思想，不等式的运算能力，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．10.【答案】C【解析】解：由切线经过点(0,−1)和(2,0)， 可得切线的斜率为0−(−1)2−0=12，切线的方程为y =12x −1， 可得f(1)=−12，f′(1)=12， 则f′(1)−f(1)=12+12=1. 故选：C.由切线经过两点(0,−1)和(2,0)，可得切线的方程，进而得到切点和切线的斜率，可得所求值． 本题考查切线的斜率和切点的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．【解析】解：∵“∃x0∈(0,2)，使得2x02−λx0+1<0成立”是假命题，∴∀x∈(0,2)，都有2x2−λx+1≥0成立是真命题，即∀x∈(0,2)，λ≤2x+1x恒成立，因为2x+1x ≥2√2x⋅1x=2√2，当且仅当2x=1x，即x=√22时取等号，所以λ≤2√2，根据选项可知，只有1满足条件，故选：A.将命题转化为∀x∈(0,2)，都有2x2−λx+1≥0成立，即λ≤2x+1x恒成立是真命题，然后利用基本不等式求出λ的取值范围，再结合选项得到可能的值．本题以命题的真假的应用为载体考查了不等式恒成立问题的求解，解题的关键是将特称命题转化成全称命题，属基础题．12.【答案】C【解析】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19−3= 16(种)；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是14+16−1=29(种)；分别用集合A、B、C表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时对应的情况可以用下图表示，故选：C.由题意求出第一天售出且第二天没有售出的商品种数和第三天售出的且第二天未售出的商品种数，利用集合表示商品种数，画出图形容易得出正确的结果．本题考查集合的应用，属于基础题．【解析】 【分析】根据x >1推断出x −1>0，然后把x +4x−1整理成x −1+4x−1+1，进而利用基本不等式求得其最小值．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．在利用基本不等式时要注意一正，二定，三相等的原则． 【解答】解：∵x >1，∴x −1>0 ∴x +4x−1=x −1+4x−1+1≥2√(x −1)⋅(4x−1)+1=5(当x =3时等号成立)，故答案为：5.14.【答案】{0,n =12n −3,n ≥2【解析】解：S n =n 2−2n +1，当n =1时，S 1=1−2+1=0，∴a 1=0，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−2n +1−(n −1)2+2(n −1)−1=2n −3， 又∵a 1=0不满足a n =2n −3，∴a n ={0,n =12n −3,n ≥2.故答案为：{0,n =12n −3,n ≥2.利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求解，注意验证首项是否满足n ≥2时的通项公式．本题主要考查了数列的递推式，考查了分类讨论的数学思想，同时考查了学生的计算能力，是基础题．15.【答案】−1【解析】解：依题意可得f(1)=3、f(3)=1， 所以f(x)在[1,3]上的平均变化率ΔyΔx =f(3)−f(1)3−1=1−33−1=−1；故答案为：−1.根据平均变化率公式计算可得；本题考查平均变化率的求法，考查计算能力，是基础题．16.【答案】300【解析】解：因为a 1=1，a n+1={a n +1,n 为奇数a n +2,n 为偶数，所以a 2=a 1+1=2，a 3=a 2+2=4，a 4=a 3+1=5， 由题意可得a 2n+1=a 2n−1+3，a 2n+2=a 2n +3， 其中a 1=1，a 2=a 1+1=2， 可得a 2n =3n −1，n ∈N ∗，则a 2n−1=a 2n−2+2=3(n −1)−1+2=3n −2，n ≥2， 当n =1时，a 1=1也适合上式， 所以a 2n−1=3n −2，n ∈N ∗，所以数列{a n }的奇数项和偶数项分别为等差数列，则{a n }的前20项和为a 1+a 2+...+a 20=(a 1+a 3+…+a 19)+(a 2+a 4+…+a 20)=10+10×92×3+10×2+10×92×3=300.故答案为：300.由数列{a n }的通项公式可求得a 2，a 4，推出数列{a n }的通项公式可得数列{a n }的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】③【解析】解：①集合M ={−2,−1,0,1,2}，∵−2∈M ，−1∈M ，而−2−1=−3∉M ，∴M 不是闭集合；②正整数集Z ，∵1∈Z ，2∈Z ，而1−2=−1∉Z ，∴正整数集不是闭集合；③集合M ={n|n =3k,k ∈Z}，设任意a 、b ∈M ，则a =3k 1，b =3k 2，k 1∈Z ，k 2∈Z ， ∴a +b =3(k 1+k 2)∈M ，a −b =3(k 1−k 2)∈M ，∴集合M ={n|n =3k,k ∈Z}是闭集合； ④若集合A 1、A 2为闭集合，如A 1={n|n =2k,k ∈Z}，A 2={n|n =3k,k ∈Z}， 则2∈A 1，3∈A 2，而2+3=5∉A 1∪A 2，∴A 1∪A 2不是闭集合． 故答案为：③．根据闭集合的定义，结合各命题的条件分别判断即可． 本题考查了在新定义下，集合的运算，是基础题．18.【答案】解：选择①2S n =(n +1)a n ，∴2S n+1=(n +2)a n+1，相减可得：2a n+1=(n +2)a n+1−(n +1)a n ，∴a n+1n+1=an n ， ∴a n n =a11=1，可得：a n =n.∴S k+2=(k +2)(1+k +2)2=(k +2)(k +3)2.∵a 1，a k ，S k+2成等比数列，∴a k 2=a 1⋅S k+2，∴k 2=(k+2)(k+3)2，k ∈N ∗，解得k =6.选择②√S n +√S n−1=a n (n ≥2)，变形得：√S n +√S n−1=S n −S n−1=(√S n +√S n−1)(√S n −√S n−1)，S n >0，化为：√S n −√S n−1=1，∴数列{√S n }是等差数列，首项为1，公差为1.∴√S n =1+n −1=n ，解得S n =n 2. ∴n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1.∴S k+2=(k +2)(1+2k +3)2=(k +2)(k +2)∵a 1，a k ，S k+2成等比数列，∴a k 2=a 1⋅S k+2，∴(2k −1)2=(k +2)2，k ∈N ∗，解得k =3.选择③a n >0，a n 2+a n =2S n ，∴a n+12+a n+1=2S n+1，相减可得：a n+12+a n+1−a n 2−a n =2a n+1，化为：(a n+1+a n )(a n+1−a n −1)=0， 可得：a n+1−a n =1，∴数列{a n }是首项与公差都为1的等差数列，∴a n =1+n −1=n.∴S n =n(n+1)2， ∵a 1，a k ，S k+2成等比数列，∴a k 2=a 1⋅S k+2，∴k 2=(k+2)(1+k+2)2，k ∈N ∗，解得k =6.【解析】选择①2S n =(n +1)a n ，可得2S n+1=(n +2)a n+1，相减可得：a n+1n+1=a nn，可得：a n 及其S k+2.根据a 1，a k ，S k+2成等比数列，可得a k 2=a 1⋅S k+2，解得k.选择②√S n +√S n−1=a n (n ≥2)，变形得：√S n +√S n−1=S n −S n−1=(√S n +√S n−1)(√S n −√S n−1)，S n >0，化为：√S n −√S n−1=1，利用等差数列的通项公式可得S n .可得n ≥2时，a n =S n −S n−1，S k+2.根据a 1，a k ，S k+2成等比数列，可得a k 2=a 1⋅S k+2，解得k. 选择③a n >0，a n 2+a n =2S n ，可得a n+12+a n+1=2S n+1，相减可得：a n+1−a n =1，利用等差数列的通项公式求和公式可得：a n ，S n ，根据a 1，a k ，S k+2成等比数列，可得a k 2=a 1⋅S k+2，解得k.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当a =1时，f(x)=lnx +x 2−3x ， f′(x)=1x +2x −3=2x 2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，由f′(x)=0，解得x =12或x =1，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x =2时，f(x)取得极大值−4−ln2；当x =1时，f(x)取得极小值为−2.(2)由f(x)=alnx +x 2−3x(a ≠0)， 得f′(x)=a x+2x −3=2x 2−3x+ax(x >0)，设g(x)=2x 2−3x +a ，它的图像是开口向上，对称轴为直线x =34，且在y 轴上的截距为a 的抛物线，所以要使f(x)只有一个极值点x 0，只需要a <0，且a =3x 0−2x 02， 不等式a >f(2x 0)可化为a >aln2x 0+4x 02−6x 0=a(ln2x 0−2)，化为ln2x 0−2>1，解得x 0>e 32， 所以原不等式的解集为(e 32,+∞).【解析】(1)当a =1时，f(x)=lnx +x 2−3x ，求导得f′(x)=(2x−1)(x−1)x，令f′(x)=0，得x =12或x =1，分析随着x 变化，f′(x)，f(x)的变化情况，即可得出答案． (2)求导得f′(x)=ax +2x −3=2x 2−3x+ax(x >0)，设g(x)=2x 2−3x +a ，要使f(x)只有一个极值点x 0，只需要a <0，且a =3x 0−2x 02，不等式a >f(2x 0)可化为a >aln2x 0+4x 02−6x 0=a(ln2x 0−2)，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=e x −2x −1，f(1)=e −3，∴f′(x)=e x −2，f′(1)=e −2， 故切线方程是：(e −2)x −y −1=0； (2)∵g(0)=f(0)−0=0，故原条件等价于：在(0,+∞)上，g(x)=e x −x 2−ax −1≥0恒成立， 化为a ≤e x −x 2−1x，令ℎ(x)=e x −x 2−1x， 则ℎ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2， 令m(x)=e x −x −1，则m′(x)=e x −1，令m′(x)>0，解得：x >0，故m(x)在(0,+∞)递增，而m(0)=0，故e x −x −1>0在(0,+∞)恒成立，令ℎ′(x)>0，解得：x >1，令ℎ′(x)<0，解得：0<x <1， 故ℎ(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增， 故ℎ(x)min =ℎ(1)=e −2， 故a ≤e −2.【解析】(1)代入a 的值，求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可； (2)问题转化为a ≤e x −x 2−1x，令ℎ(x)=e x −x 2−1x，求出函数的导数，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最小值，求出a 的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=x+1e x，则f′(x)=e x −(x+1)e x(e x )2=−x e x， 令f′(x)=0，即x =0，所以当x <0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x >0时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 因此f(x)在x =0处取得极大值，f(0)=0+1e 0=1，所以f(x)的单调递增区间为(−∞,0)，单调递减区间为(0,+∞)，在x =0处取得极大值，且极大值为1；(Ⅰ)证明：要证f(x)≤(a −1)x +1，即证ax+1e x −(a −1)x −1≤0， 因此设g(x)=ax+1e x−(a −1)x −1，则g′(x)=a−ax−1e x−(a −1)=a−ax−1−(a−1)e xe x，令m(x)=a −ax −1−(a −1)e x ，则m′(x)=−a −(a −1)e x ， 因为a ≥1，所以m′(x)=−a −(a −1)e x ≤0， 因此m(x)单调递减，且m(0)=a −1−(a −1)e 0=0， 所以x ∈(−∞,0)时，m(x)>0；当x ∈(0,+∞)时，m(x)<0； 即x ∈(−∞,0)时，g′(x)>0；当x ∈(0,+∞)时，g′(x)<0； 所以g(x)在x ∈(−∞,0)上单调递增，在x ∈(0,+∞)上单调递减， 所以g(x)在x =0处取得极大值也是最大值，且g(0)=1e 0−1=0，故ax+1e x −(a −1)x −1≤0.(Ⅰ)要证f(x)≥ax 2+(a −1)x +1，即证ax+1e x ≥ax 2+(a −1)x +1，也即是ax +1≥ax 2e x +(a −1)xe x +e x ，即证ax(xe x +e x −1)≤xe x −e x +1， 令G(x)=xe x −e x +1，则G′(x)=xe x ， 当x >0时，G′(x)>0，即G(x)单调递增； 当x <0时，G′(x)<0，即G(x)单调递减；所以G(x)min=G(0)=0，故xe x−e x+1≥0，令H(x)=x(xe x+e x−1)=x2e x+xe x−x，则H′(x)=(x2+3x+1)e x−1令M(x)=(x2+3x+1)e x−1，则M′(x)=(x2+5x+4)e x，M′(x)=0，则x1=−4，x2=−1所以x<−4和x>−1时，M′(x)>0，则M(x)单调递增；−4<x<−1时，M′(x)<0，则M(x)单调递减，且M(−4)=5e−4−1<0，M(−1)=−e−1−1<0，M(0)=e0−1=0，因此x<0时，M(x)<0，即H′(x)=(x2+3x+1)e x−1<0，所以H(x)单调递减，x>0时，M(x)>0，即H′(x)=(x2+3x+1)e x−1>0，所以H(x)单调递增，所以H(x)min=H(0)=0，即x(xe x+e x−1)≥0因此当a≤0时，fx≥ax2+(a−1)x+1恒成立．【解析】(Ⅰ)求导判断函数的单调性，进而可求出极值；−(a−1)x−1，求出函数的最大值即可得出结论；(Ⅰ)构造函数g(x)=ax+1e x(Ⅰ)将f(x)≥ax2+(a−1)x+1变形为ax(xe x+e x−1)≤xe x−e x+1，分别证得x(xe x+e x−1)与xe x−e x+1恒非负，即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立问题，考查了转化思想和函数思想，属中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)3，2，1，1，0，−1.(答案不唯一).(Ⅰ)证明：∵a1a N<0，∴a1，a N异号，假设a1<0，a N>0，设T=|i|a1<0，i∈{1,2,3,⋅⋅⋅,N}，∵a1<0，∴T≠⌀，又∵T是有限自然数集，∴可设T中的最大数为m，(1≤m≤N−1)，令k=m+1，则a k≥0，∵|a k−a k−1|=a k−a k−1≤1，∴a k≤1+a k−1=1+a m<1，∵0≤a k<1，且a k为整数，∴a k=0，∴若数列A N：a1，a2，⋅⋅⋅，a N(N≥3)满足a1<0，a N>0，且对任意i=2，3，⋅⋅⋅，N，都有|a i−a i−1|≤1，则存在a k，使得a k=0，若a1>0，a N<0，则数列−a1，−a2，⋅⋅⋅，−a N满足−a1<0，−a N>0，且对任意i=2，3，⋅⋅⋅，N，都有|(−a i)−(−a i−1)|=|a i−a i−1|≤1，∴存在−a k，使得−a k=0，即存在a k，使得a k=0，∴数列A N中存在a k使得a k=0.(Ⅰ)证明：设t=S(A N)，则t∈Z，N设数列A N：a1，a2，⋅⋅⋅，a N中最大的值为M>0，最小值为m<0，∵N m<S(A N)<N M，∴m<t=a1+a2+⋅⋅⋅+a N<M，N设在数列A N中，a i=m，a j=M，若i<j，∵|a i−a j|=M−m≥1−(−1)=2，∴j≥i+2，设数列B：a i−t，a i+1−t，⋅⋅⋅，a j−t，则数列B至少有3项，∵(a i−t)(a j−t)=(m−t)(M−t)<0，且对任意k=1，2，⋅⋅⋅，j−1，都有|(a i+k−t))−(a i+k−1−t)|=|a i+k−a i+k−1|≤1，=a r，∴由(Ⅰ)可知存在a r−t，使得a r−t=0(r∈{i+1,i+2,⋅⋅⋅,j−1},即t=S(A N)N若i>j，设数列t−a j，t−a j+1，⋅⋅⋅，t−a i，=a r，同理，存在t−a r，使得t−a r=0(r∈{j+1,j+2,⋅⋅⋅,i−1},即t=S(A N)N综上，若S(A N)是N的整数倍，则数列A N中存在a r，使得S(A N)=N⋅a r.【解析】(Ⅰ)3，2，1，1，0，−1.(答案不唯一).(Ⅰ)a1，a N异号，假设a1<0，a N>0，设T=|i|a1<0，i∈{1,2,3,⋅⋅⋅,N}，设T中的最大数为m，(1≤m≤N−1)，令k=m+1，则a k≥0，推导出a k=0，若数列A N：a1，a2，⋅⋅⋅，a N(N≥3)满足a1<0，a N>0，且对任意i=2，3，⋅⋅⋅，N，都有|a k−a k−1|≤1，则存在a k，使得a k=0，由此能证明数列A N中存在a k使得a k=0.(Ⅰ)设t=S(A N)，则t∈Z，设数列A N：a1，a2，⋅⋅⋅，a N中最大的值为M>0，最小值为m<0，则N<M，设在数列A N中，a i=m，a j=M，设数列B：a i−t，a i+1−t，⋅⋅⋅，m<t=a1+a2+⋅⋅⋅+a NNa j−t，则数列B至少有3项，由此入手能证明若S(A N)是N的整数倍，则数列A N中存在a r，使得S(A N)=N⋅a r.本题考查数列的求法，考查数列性质的证明，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是难题．。
浙江杭州学军中学2024年高二下学期6月月考数学试题(解析版)
2023学年第二学期高二数学学科测试卷（五）1.已知集合一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分(){}{}2ln 1,11M y y x N x x ==−=−<<，则（）A.M N =B.[]1,0M N ∩=−C.()1,0M N =− D.()()1,RM N =−+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可.【详解】由题意可得()22110ln 10x x≥−>⇒−≤，即(],0M =−∞，所以M N ≠，(]1,0M N ∩=−，()()R 1,M N ∞∪=−+ ，即A 、B 、C 三选项错误，D 正确.故选：D2.已知角α的终边上一点()4,3A ，且()tan 2αβ+=，则()tan 3πβ−=（ ）A.12B.12−C.52D.52−【答案】B 【解析】【分析】先通过三角函数的定义求出tan α，代入()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=−求出tan β，继而求出()tan 3πβ−的值.【详解】 角α的终边上一点()4,3A ∴3tan 4α=()3tan tan tan 4tan 231tan tan 1tan 4βαβαβαββ+++===−−，解得1tan 2β=.∴()1tan 3tan 2πββ−=−=−.故选：B.3. 函数()2ln 23y x x =−−+的单调递减区间为（ ） A. (),1∞−− B. ()1,∞−+ C. ()1,1− D. ()1,∞+【答案】C 【解析】【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间. 【详解】令2230x x −−+>得31x −<<， 故()2ln 23y x x =−−+的定义域为()3,1−，ln y t =在()0,t ∞∈+上单调递增，由复合函数单调性满足同增异减可得，只需求出223t x x =−−+在()3,1−上的单调递减区间，()222314t x x x =−−+=−++在()1,1−上单调递减，故数()2ln 23y x x =−−+的单调递减区间为()1,1−.故选：C4. 下列图像中，不可能成为函数()3mx x x=−的图像的是（ ）．A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】因为()3m f x x x =−，{}|0x x ≠，所以()223mf x x x′=+ 当0m =时()30mf x x x=−=，{}|0x x ≠无解，且()2230m f x x x ′=+>此时()f x 在(),0∞−，()0,∞+单调递增，D 选项符合此种情况.当0m >时()430m x m f x x x x−=−==有两个解，且()2230m f x x x ′=+>此时()f x 在(),0∞−，()0,∞+单调递增，B 选项符合此种情况.当0m <时()43m x mf x x x x−=−=当0x <时易知()0f x <，0x >时()0f x >所以函数图像不可能是C. 故选：C5. 已知向量a ，b 满足1a = ，()1,1b = ，a b +=a 在b 上的投影向量的坐标为（ ） A. 11,22B.C. ()1,1D. 【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的定义以及向量的坐标运算求解即可.【详解】因为(1,1)=b ，所以222||112b =+= ，又||1,a =把||a b +两边平方得22||||25a b a b ++⋅= ，即125a b +⋅= ，解得1a b ⋅= ，所以a 在b 的投影向量坐标为2111(1,1),222||a b b b ⋅⋅==， 故选：A.6. “欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一．如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点在函数()4sin 0,2y x πωϕωϕ=+><的图象上，且图象过点,224π，相邻最大值与最小值之间的水平距离为2π，则是函数的单调递增区间的是（ ）A. ,34ππ−−B. 75,2424ππ−C. 53,248ππD. 53,84ππ【答案】B 【解析】【分析】由题意求出最小正周期，从而求出ω，再利用特殊点求出ϕ的值，从而得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解单调增区间，即可得到结果． 【详解】因为函数图象相邻最大值与最小值之间的水平距离为2π，所以函数的周期为22ππ×=，所以22πωπ==，又图象过点(224)π，，所以4sin 2224πϕ×+＝，可得1sin 122πϕ += ，则有2126k ππϕπ+=+或52,126k k Z ππϕπ+=+∈， 即212k πϕπ=+或32,4k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，所以12πϕ=，所以4sin 212yx π+，令2222122k x k πππππ−+≤+≤+，解得75,2424k x k k Z ππππ−+≤≤+∈， 所以函数的单调区间为75,,2424k k k Z ππππ−++∈，当0k =时，函数的单调递增区间为75,2424ππ−，故选项B 正确． 故选：B ．7. 已知函数()2ln 1212x x x f x mx mx x +>= −+≤，，，若()()g x f x m =−有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 71,4B. (]1,2C. 41,3D. []1,3【答案】C 【解析】【分析】由题可知1x >时，函数()()g x f x m =−至多有一个零点，进而可得1x ≤时，要使得()()222mg x f x m x mx =−=−−有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】当1x >时，()ln f x x x =+单调递增且()ln 1f x x x =+>，此时()()g x f x m =−至多有一个零点，若()()g x f x m =−有三个零点，则1x ≤时，函数有两个零点；当1x >时，()ln 1f x x x =+>，故1m >； 当1x ≤时，要使()()222mg x f x m x mx =−=−−有两个零点， 则2Δ80214202m m mm m =−−><−−≥， 所以403m <≤，又1m >， 所以实数m 的取值范围是41,3.故选：C.8. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形ABCD中，AB BD ==， 将ABD △沿BD 进行翻折，使得AC =． 按张衡的结论， 三棱锥A BCD −外接球的表面积约为（ ） A. 72B.C.D. 【答案】B 【解析】【分析】由球的性质确定三棱锥A BCD −外接球的球心位置和球的半径，由此可求球的表面积. 【详解】如图1，取BD 的中点M ，连接AM CM ，．由AB AD BD ===ABD △为正三角形，且3AM CM ===，所以1cos 3AMC ∠=−，则sin AMC ∠==， 以M 为原点，MC 为x 轴，MD 为y 轴，过点M 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图2，则(3,0,0)C ， (10A −，．设O 为三棱锥A BCD −的外接球球心，则O 在平面BCD 的投影必为BCD △的外心，则设(10)O h ，，．由222||||R OA OC ==可得22222220)20h h ++−=++，解得h =，所以22||6R OC ==．由张衡的结论，2π5168≈，所以π≈则三棱锥A BCD −的外接球表面积为24πR ≈ 故选：B ．二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. ABC 中，D 为边AC 上的一点，且满足12AD DC =，若P 为边BD 上的一点，且满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>，则下列结论正确的是（ ）A. 21m n +=B. mn 的最大值为112C.41m n+的最小值为6+ D. 229m n +的最小值为12【答案】BD 【解析】【分析】根据平面向量共线定理可知A 错误；根据()133mnm n =⋅，利用基本不等式可求得最大值，知B 正确； 由()41413m n m n m n+=++，利用基本不等式可求得最小值，知C 错误； 利用基本不等式可得()222392m n m n++≥，知D 正确.【详解】对于A ，3AP mAB nAC mAB nAD =+=+，,,B P D 三点共线，31m n ∴+=，A 错误；对于B ，31m n += ，()21131333212m n mn m n + ∴=⋅≤×=（当且仅当3m n =时取等号），B 正确；对于C ，(414112777n m m n m n m n m n +=++=++≥+=+ （当且仅当12n m m n =，即m =时取等号），C 错误； 对于D ，()22231922m n m n ++≥=（当且仅当3m n =时取等号），D 正确. 故选：BD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10. 对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 是无界的.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列结论正确的是（ ）A. 若1n a n=，则数列{}n a 是无界的B. 若1sin 2nn a n =，则数列{}n S 是有界的 C. 若()1nn a =−，则数列{}n S 是有界的D. 若212n a n =+，则数列{}n S 是有界的 【答案】BC 【解析】【分析】利用有界数列与无界数列的定义，结合放缩法与等比数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】对于A ，111n a n n==≤ 恒成立， ∴存在正数1M =，使得n a M ≤恒成立， ∴数列{}n a 是有界的，A 错误；对于B ，1sin 1n −≤≤ ，111sin 222n n nn a n∴−≤=⋅≤，212111221111111222212nn nn n S a a a− ∴=+++<+++==−<− ， 2121111112222n nn n S a a a=+++>−+++=−+>−，所以存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立，∴则数列{}n S 是有界的，B 正确；对于C ，因为()1nn a =−，所以当n 为偶数时，0n S =；当n 为奇数时，1n S =−；1n S ∴≤，∴存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立，∴数列{}n S 是有界的，C 正确；对于D ，()()22144114421212121n n n n n n =<=− −+−+，2221111111121241233352121nS n n n n n ∴=++++⋅⋅⋅≤+−+−+⋅⋅⋅+− −+182241222212121n n n n n n n=+−=+=−++++； 221y x x =−+ 在()0,∞+上单调递增，21,213n n∴−∈+∞ +， ∴不存在正数M ，使得n S M ≤恒成立， ∴数列{}n S 是无界的，D 错误.故选：BC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，()()210f f =−≠，且对任意x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y f x f y ′′+=+，则（ ）A. ()112f ′=B. ()90f =C.()2011k f k ==∑D.()2011k f k =′=−∑【答案】BD 【解析】【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】令1xy ==，得()()()2211f f f =′，因为()()210f f =−≠， 所以()112f ′=−，所以A 错误； 令1y =，得()()()()()111f x f x f f x f +=′′+①，所以()()()()()111f x f x f f x f −=′−′−+， 因为()f x 是奇函数，所以()f x ′是偶函数，所以()()()()()111f x f x f f x f −′′=−+②，由①②， 得()()()()()()12111f x f x f f x f x f x +==−−′+−−， 即()()()21f x f x f x +=−+−， 所以()()()()()()()32111f x f x f x f x f x f x f x +=−+−+=++−+=， 所以()f x ，()f x ′是周期为3的函数，所以()()900f f ==，()()()()()()2011236120k f k f f f f f = =++×++= ∑，所以B 正确，C 错误； 因为()()()12112f f f =−=′=−′′，在①中令0x =得()()()()()10101f f f f f ′=+′，所以()01f ′=，()()()()()()2011236121k f k f f f f f =′ =++×++′=− ′′′′∑，所以D 正确． 故选：BD ．【点睛】对于可导函数()f x 有： 奇函数的导数为偶函数 偶函数的导数为奇函数若定义在R 上的函数()f x 是可导函数，且周期为T ，则其导函数()f x ′是周期函数，且周期也为T三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 满足()()12i 1i z =++（其中i 为虚数单位），则z =_____________.【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数z ，即可求得答案. 【详解】由题意得()()12i 1i 13i z =++=−+，故z =，13. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【答案】：35【解析】【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32332A A ×，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A = ，三门文化课中相邻排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，由此求得所求事件的概率．【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有33A 种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32133272A A A =， ②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A = ， ③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体， 然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为7221614437205++=，故答案为：35． 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．14. 已知()221:21O x y +−= ，()()222:369O x y −+−= ，过x 轴上一点P 分别作两圆切线，切点分别是M ，N ，求PM PN +的最小值为_____________.【解析】【分析】根据圆的切线的几何性质可推出PM PN +=可看作点(0)Pt,到((0,,A B 的距离的和，结合几何意义即可求得答案. 【详解】由题意知()221:21O x y +−= 的圆心为(0,2)，半径11r =，()()222:369O x y −+−= 的圆心为(36),，半径23r =，的设(0)P t,，则||PM =，PN ===则PM PN +==，设((0,,A B ，则||||||||||PM PNPA PB AB +≥=+， 当且仅当,,P A B 三点共线时取等号，此时PM PN +的最小值为AB ==，四. 解答题：本题共577分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，且sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+，（1）求角A ;（2）若AD 平分BAC ∠交线段BC 于点D ，且2,2AD BD CD ==，求ABC 的周长. 【答案】（1）23A π=（2）9+ 【解析】【分析】（1）先利用余弦定理化简cos cos c B b C +，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A ，（2）由ABCBAD CAD S S S =+ 结合AD 平分BAC ∠，23A π=可得22bc b c =+，作AE BC ⊥于E ，则由ABD ACD S S 结合已知条件可得2c b=，解方程组可求得,b c ，再利用余弦定理可求出a ，从而可求出三角形的周长.【小问1详解】由余弦定理得222222cos cos 22a c b a b c c B b C c b a ac ab+−+−+=×+×=所以sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+可化为sin sin sin sin a A c B c C b B −=+ 再由正弦定理，得222a cb c b −=+，得222c b a bc +−=−，所以2221cos 22b c a A bc +−==−. 因(0,)A π∈， 所以23A π= 【小问2详解】因为AD 平分BAC ∠，所以3BAD CAD π∠=∠=. 由1211sin sin sin 232323ABC BAD CAD S S S b c c AD b AD πππ=+⇒⋅=⋅+⋅ ， 得22bc b c =+. 作AE BC ⊥于E ，则1sin2321sin 23ABD ACD c AD S c BD S b DC b AD ππ⋅==⇒==⋅ .由222bc b c c b =+= ，解得6,3,c b == 由余弦定理，得2222cos 63a b c bc A =+-=，所以a =故ABC的周长为9+16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E .F 分别是棱1DD ，11A D 的中点.为（1）证明：1B E ⊥平面ACF . （2）求二面角B AF C −−的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，得到10AF EB ⋅= ，10AC EB ⋅=，所以1AF EB ⊥，1AC EB ⊥，证明出线面垂直；法二：作出辅助线，先由线面垂直得到1AC EB ⊥，再根据三角形全等得到1AF A E ⊥，进而得到AF ⊥平面11A B E ，得到1AF EB ⊥，从而证明出1B E ⊥平面ACF ； （2）利用空间向量求解二面角余弦值. 【小问1详解】法一：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,0,2F ，()0,0,1E ，()12,2,2B . ()1,0,2AF =−，()2,2,0AC =−，()12,2,1EB =.因为10AF EB ⋅=，10AC EB ⋅=，所以1AF EB ⊥，1AC EB ⊥. 【的因为AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACF ，所以1B E ⊥平面ACF . 法二：连接1A E ，BD ，11B D .在正方体1111ABCD A B C D −中，1B B ⊥平面ABCD ，所以1B B AC ⊥.因为BD AC ⊥，1B B BD B ∩=，1,B B BD ⊂平面11B BDD ，所以AC ⊥平面11B BDD . 因为1EB ⊂平面11B BDD ，所以1AC EB ⊥.因为11A B ⊥平面11ADD A ，AF ⊂平面11ADD A ，所以11A B AF ⊥.在正方形11ADD A ，E ，F 分别是边1DD ，11A D 的中点，可得111A AF D A E ≌△△，所以111A AF D A E ∠∠=，1111190EA A A AF EA A D A E ∠∠∠∠+=+=，所以1AF A E ⊥.因为1111A B A E A = ，111,A B A E ⊂平面11A B E ，所以AF ⊥平面11A B E . 因为1EB ⊂平面11A B E ，所以1AF EB ⊥.因为AC AF A ∩=，,AF AC ⊂平面ACF ，所以1B E ⊥平面ACF . 【小问2详解】结合（1）可得1EB为平面ACF 的一个法向量.()0,2,0AB =.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z = ，则()()()()0,2,0,,201,0,2,,20AB n x y z y AF n x y z x z ⋅=⋅== ⋅=−⋅=−+=， 解得0y =，令2x =，得1z =，所以()2,0,1n =，111cos ,E nB n EB n EB ⋅==⋅. 由图可知二面角B AF C−−为锐角，故二面角BAF C −−.17. 已知某系统由一个电源和并联的,,A B C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.（1）电源电压X （单位：V ）服从正态分布()404N ，，且X 的累积分布函数为()()F x P X x =≤，求()()4438F F −.（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量T （单位：天）表示某元件的使用寿命，T 服从指数分布，其累积分布函数为()()001104tt G t P T t t <=≤= −≥ ，，.（ⅰ）设120t t >>，证明：()()1212P T t T t P T t t >>=>−；（ⅱ）若第n 天只有元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行条件概率. 附：若随机变量Y 服从正态分布()2N µσ，，则()0.6827P Y −µ<σ=，()20.9545P Y −µ<σ=，()30.9973P Y −µ<σ=.【答案】（1）0.8186 （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）716【解析】【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解;（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合()()Fx P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.．【小问1详解】由题设得()738420.682P X =<<，()536440.954P X =<<，所以()()()()()()4438443840443840F F F X F X F X F X −=≤−≤=≤≤+≤≤1(0.68270.9545)0.81862=+= 【小问2详解】（ⅰ）由题设得：120t t >>的()[]12111122222()()()1()1()()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >∩>>−≤−>>====>>−≤−112122111(1)444111(1)44t t t t t t −=−−==−−， ()()2112121211()4t t P T t t P T t t G t t −>−=−≤−=−−=,所以()()1212P T t T t P T t t >>=>−． （ⅱ）由（ⅰ）得()()1111(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=−≤=−=，所以第1n +天元件,B C 正常工作的概率均为14． 为使第1n +天系统仍正常工作，元件,B C 必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为2171(1)416−−=.18. 已知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b−=>>的实轴长为2O 的方程为222x y +=，过圆O 上任意一点P 作圆O 的切线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线Γ的方程； （2）求证：π2AOB ∠=； （3）若直线l 与双曲线的两条渐近线的交点为C ，D ，且AB CD λ=，求实数λ的范围.【答案】（1）2212y x −=（2）证明见解析 （3）λ∈【解析】【分析】（1）由题意列式求出212a ,c===，即可得答案；（2）分类讨论，求出00y =和00x =时，结论成立；当000x y ≠时，利用圆222x y +=在()00,P x y 处的切线方程为002x x y y +=，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，计算OA OB ⋅的值，即可证明结论； （3）求出弦长AB 以及CD的表达式，可得λ=. 【小问1详解】由题意知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b−=>>的实轴长为2故22222a c a c ab == =+，解得212a ,c===，故双曲线Γ的方程为2212y x −=；【小问2详解】证明：设()00,P x y ，则22002x y +=，当00y =时，不妨取)P ，此时不妨取,AB，则0OA OB ⋅= ，即π2AOB ∠=； 同理可证当00x =时，有π2AOB ∠=； 当000x y ≠时，圆222x y +=在()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y −=−−， 即002x x y y +=； 由2200122y x x x y y −= += 可得()222000344820x x x x x −−+−=， 因为切线l 交双曲线于A ，B 两点，故2002x <<，()()22220000340,Δ16434820x x x x −≠=−−−>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则20012122200482,3434x x x x x x x x −+=⋅=−−，故()()121212*********OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+−−⋅ ()212012012201422x x x x x x x x x =+−++ − ()22220000222200082828143423434x x x x x x x x −− =+−+−−−−22002200828203434x x x x −−=−=−−， 故OA OB ⊥，综合上述可知π2AOB ∠=； 【小问3详解】由（2）可得当000x y ≠时，2002x <<，AB ==2212y x −=的渐近线方程为y =，联立002y x x y y=+=，得C，同理可得C ，则CD =022*******234|y ||y ||x y ||x |=−−，由于AB CD λ=，故234AB CDx λ==−由于2002x<<，则λ； 当00y =时，不妨取)P ，则4|AB ||=，此时λ=； 当00x =时，不妨取(P ，则2|AB ||=，此时λ=综合上述可知λ∈. 19. 给定常数0c >，定义函数()24f x x c x c =++−+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =−−，求2a 及3a ； （2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈−≥，； （3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由. 【答案】见解析 【解析】【详解】（1）因为0c >，1(2)a c =−+，故2111()242a f a a c a c ==++−+=，3122()2410a f a a c a c c ==++−+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()24f x x c x c x c x c ≥+⇔++−+≥+即只需证明24+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有24+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则24+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立第21页/共21页综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n ∈N ，1n n a a c +−≥ （3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +++−+++即8d c =+ 故21111()248a f a a c a c a c ==++−+=++， 即111248a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11448a c a c ++=⇒=−−， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=−+ 也满足题意； 综上，满足题意的1a 的取值范围是{}[,)8c c −+∞∪−−．【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题．。
2022年河南省许昌市襄城中学高二数学文月考试题含解析
2021-2022学年河南省许昌市襄城中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知为不共线的三点，对空间中任意一点，若，则四点（）A．不一定共面 B．一定不共面 C．一定共面 D．无法判断参考答案：C2. 已知复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D【分析】将复数化简成形式，则在复平面内对应的点的坐标为，从而得到答案。
【详解】由题，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限故选D.【点睛】本题考查复数的计算以及几何意义，属于简单题。
3. 已知，若直线xcosθ+2y+1=0与直线x﹣ysin2θ﹣3=0垂直，则sinθ等于（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线与直线垂直的性质求解．【解答】解：由题意可得﹣?=﹣1，即sinθ=，故选：D4. 双曲线的渐近线的方程和离心率分别为( )A. B.C. D.参考答案：D5. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A B C D参考答案：A略6. 已知全集，集合，，则等于（）A B.C D.参考答案：C略7. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p =（）A．1 B．C．2 D．3参考答案：C8. 已知实数，满足，则的最小值是（）A． B． C．D．0参考答案：B作出不等式组所满足的平面区域如图阴影部分所示，其中，，，作出直线，平移直线，当其经过点时，有最小值，为．故答案为B．9. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A、10种B、20种C、25种D、32种参考答案：D10. 已知是偶函数，当时，；若当时，恒成立，则的最小值为（）A．1 B． C. D．参考答案：A 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有▲种选法（用数字作答）．参考答案：31012. 已知椭圆C:（a＞b＞0）的左右焦点为, 若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆Ｃ的离心率的取值范围是参考答案：13. 在等差数列中，已知,则．参考答案：42略14. 数列满足，且，则=_______________.参考答案：略15. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为．参考答案：万元略16. 的展开式中各项系数的和为﹣32，则该展开式中系数最大的项为．参考答案：【考点】二项式定理的应用．【分析】根据展开式中各项系数和为3﹣2求得a=3，再利用通项公式求得展开式中系数最大的项．【解答】解：在的展开式中，令x=1，可得各项系数和为（1﹣a）5 =﹣32，∴a=3，展开式的通项为，取值可得r=4时该展开式中系数最大的项为，故答案为．17. 如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为 .参考答案：24+2三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022学年浙江省舟山市田家炳中学高二数学文月考试题含解析
2021-2022学年浙江省舟山市田家炳中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象的一条对称轴是（）A、B、 C、 D、参考答案：C2. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=( )A．2 B．C．D．3参考答案：B【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选B．【点评】本题考查等比数列前n项和公式．3. 把双曲线﹣=1的实轴变虚轴，虚轴变实轴，那么所得的双曲线方程为（）A．﹣+=1 B．﹣+=1 C．﹣=1 D．以上都不对参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a=3，b=2，判断所求双曲线焦点在y轴上，把原来的1换为﹣1，即可得到．【解答】解：双曲线﹣=1的a=3，b=2，把双曲线﹣=1的实轴变虚轴，虚轴变实轴，可得所求双曲线方程为﹣=1．故选：A．4. 已知抛物线y2=2px（p>0）与双曲线（a>0,b>0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，AF⊥x 轴,若直线L是双曲线的一条渐近线，则直线L的倾斜角所在的区间可能为( )A. (0, )B. (,)C. (,)D. (,)参考答案：D略5. 已知全集，集合，则（）A B C D参考答案：C6. 一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的。
已知这个家庭有一个是女孩，则此时另一个小孩是男孩得概率为A． B． C． D．参考答案：A7. 若数列是等差数列，是方程的两根，则 .参考答案：38. 若是的最小值，则的取值范围为（）(A)[0，2] (B)[-1,2](C)[1，2] (D)[-1，0]参考答案：A9. 展开式中的常数项为（）A．第5项 B．第6项 C．第5项或第6项 D．不存在参考答案：B略10. 等比数列的各项均为正数，且，则++…+=（）A . 12B .10 C. 8 D. 2+参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知中，AB=4，AC=5，且的面积等于5，则= ．参考答案：或12. 5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有______种．参考答案：7213. 向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为。
2019-2020学年福建省厦门市大同中学高二数学文月考试题含解析
2019-2020学年福建省厦门市大同中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个动点。
如果延长到，使得=，那么动点的轨迹是（）A、圆B、椭圆C、双曲线的一支D、抛物线参考答案：A2. 在长为10 cm的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36πcm2到64πcm2的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A考点：几何概型试题解析：圆的面积介于36πcm2到64πcm2所以圆的半径介于6到8之间，所以故答案为：A3. 定义在上的函数满足，当时单调递增，如果，且则的值为（）A.横小于0 B．横大于0 C．可能为0 D．可正可负参考答案：A4. 在△ABC中，b=，c=3，B=300，则a等于（）A． B．12 C．或2 D．2参考答案：A5. 已知目标函数z=2x+y且变量x，y满足下列条件，则（）A．z max = 12，z min = 3 B．z max = 12，无最小值C．无最大值，z min = 3 D．无最小值也无最大值参考答案：C6. △ABC中，a＝10，b＝14，c＝16，则△ABC中的最大角与最小角之和为（）A．90° B．120° C．135°D．150°参考答案：B7. 实验测得五组（x，y）的值是（1，2）（2，4）（3，4）（4，7）（5，8），若线性回归方程为=0.7x+，则的值是（）A．1.4 B．1.9 C．2.2 D．2.9参考答案：D【考点】线性回归方程．【分析】根据五组（x，y）的值计算、，利用线性回归方程过样本中心点求出的值．【解答】解：根据五组（x，y）的值，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（2+4+4+7+8）=5，且线性回归方程=0.7x+过样本中心点，则=﹣0.7=5﹣0.7×3=2.9．故选：D．【点评】本题考查了平均数与线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．8. 抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（）A． B． C． D．参考答案：A解析：，且在直线上，即9. 已知实数p＞0，曲线为参数，）上的点A（2，m），圆为参数）的圆心为点B，若A、B两点间的距离等于圆C2的半径，则p=（）A．4 B．6 C．8 D．10参考答案：C【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QH：参数方程化成普通方程．【分析】由曲线为参数，）消去参数化为普通方程即可得到m与p的关系．由圆为参数）消去参数θ化为普通方程即可得到圆心B及半径r．由题意|AB|=r，利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：由曲线为参数，）化为y2=2px，∴m2=4p．由圆为参数）消去参数θ化为，得到圆心B．半径r=6由题意|AB|=r，可得=6，即，化为p2+8p﹣128=0，又P＞0，解得P=8．故选C．【点评】本题考查了把抛物线的参数方程与圆的参数方程化为普通方程、两点间的距离公式、一元二次方程的解法等基础知识与基本技能方法，属于中档题．10. 已知是虚数单位，则所对应的点位于复平面内的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）已知直线y=k（x+4）与圆C：x2+y2+2x﹣3=0相交于两个不同点A、B，则k的取值范围是_________ ．参考答案：12. 已知向量a、b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．参考答案：13. 如果，，那么是的▲ . (在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空)参考答案：充分不必要略14. 已知等比数列,若,则=．参考答案：2略15. 已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前项和，则使得S n达到最大值的是．参考答案：20【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式表示出特设中的等式，联立求得a1和d，进而求得a20＞0，a21＜0，判断数列的前20项为正，故可知数列的前20项的和最大．【解答】解：设等差数列公差为d，则有解得a1=39，d=﹣2∴a20=39﹣2×19=1＞0，a21=39﹣2×20=﹣1＜0∴数列的前20项为正，∴使得S n达到最大值的是20故答案为20【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是判断从数列的哪一项开始为负．16. 过点A（3，2）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程是．参考答案：2x﹣y﹣4=0【考点】直线的点斜式方程．【分析】设过点A（3，2）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程是2x﹣y+m=0，把A（3，2）代入方程求出m，即得所求的直线方程．【解答】解：设过点A（3，2）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程是2x﹣y+m=0，把A （3，2）代入方程得6﹣2+m=0，∴m=﹣4，故所求的直线方程为 2x﹣y﹣4=0，故答案为：2x﹣y﹣4=0．17. tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒=_参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2022年湖北省黄冈市张河中学高二数学文月考试题含解析
2022年湖北省黄冈市张河中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）参考答案：D【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，导函数等于﹣1求得点（x0，f（x0））的横坐标，进一步求得f（x0）的值，可得结论．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率，是中档题．2. 在△ABC中，“A＞B”是“cos A＜cos B”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：C3. 下边程序执行后输出的结果是( )A．19 B．28 C．10 D．37参考答案：B【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=4时满足条件a＞3，退出循环，输出S的值为28．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，S=1不满足条件a＞3，S=10，a=2不满足条件a＞3，S=19，a=3不满足条件a＞3，S=28，a=4满足条件a＞3，退出循环，输出S的值为28．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，a的值是解题的关键，属于基础题．4. 下列命题中真命题的个数是( )①?x∈R，x4＞x2；②若p∧q是假命题，则p、q都是假命题；③命题“?x∈R，x3+2x2+4≤0”的否定为“?x0∈R，x03+2x02+4＞0”A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B考点：命题的真假判断与应用．专题：转化思想；反证法；简易逻辑．分析：①不正确，例如取x=，则；②由p∧q是假命题，则p、q至少有一个是假命题，即可判断出真假；③利用命题的否定定义即可判断出正误．解答：解：①?x∈R，x4＞x2，不正确，例如取x=，则；②若p∧q是假命题，则p、q至少有一个是假命题，因此不正确；③命题“?x∈R，x3+2x2+4≤0”的否定为“?x0∈R，x03+2x02+4＞0”，正确．因此真命题的个数是1．故选：B．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5. 抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离为a，则M到y轴距离为 ( )A.a - pB.a + pC.a－D.a+2p参考答案：A略6. 在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且a2+b2=c2﹣ab，则C的大小是（）A．120°B．90°C．60°D．30°参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】先化简a2+b2=c2﹣ab，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C【解答】解：由a2+b2=c2﹣ab得，a2+b2﹣c2=﹣ab，由余弦定理得，cosC==，因为0°＜C＜180°，所以C=120°，故选A．7. 设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8 C．3 D．2参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．8. 命题“若”的逆否命题是（）A．若B．若C．若则D．若参考答案：D略9. 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．S1 洗脸刷牙、S2刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播B．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5 听广播C．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D．吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶参考答案：C10. 已知x可以在区间[－t，4t](t＞0)上任意取值，则x∈[－t，t]的概率是( ). A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直角⊿ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，则=________;参考答案：-16略12. 已知直线，若，则a的值为参考答案：0或13. 已知正数m、n满足nm=m+n+8，则mn的取值范围为__________．参考答案：略14. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，则F2到直线PF1的距离为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，可求得点P的坐标，继而可求得PF2的长，利用直角三角形的面积公式即可求得答案．【解答】解：：∵F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，∴F1（﹣3，0），F2（3，0）；又点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，∴点P的横坐标为3，纵坐标y0=．∴PF2=．在直角三角形PF1F2中，PF2=．F1F2=6．∴PF1=∴F2到直线PF1的距离d===．故答案为：．15. 已知命题P ：不等式；命题q ：在△ABC 中，“A > B ”是“sin A > sin B ”成立的必要不充分条件. 有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③ “p ∨q ”为真；④p 假q 真 其中正确结论的序号是 .（请把正确结论填上）参考答案：略16. 函数参考答案：略17. 关于二项式，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为；③该二 项展开式中系数最大的项为第1002项；④当时，除以的余数是。
四川省南充市南部县建兴中学2022年高二数学文月考试题含解析
四川省南充市南部县建兴中学2021-2022学年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是A. 取到产品的件数B. 取到正品的件数C. 取到正品的概率D. 取到次品的概率参考答案：B2. 在正方体中，下列几种说法正确的是（）A、 B、C、与成角D、与成角参考答案：略3. 已知函数，则A．是的极大值点 B．是的极小值点C ．是的极小值点D．是的极小值点参考答案：B略4. 给出下列两个命题，命题p:是有理数。
命题q:若a>0,b>0,则方程ax + by=1表示的曲线一定是椭圆，那么下列命题中真命题的是（）A.pB.C.D.参考答案：D略5. 数列的通项公式可以是A．B．C．D．参考答案：A6. 如图：已知正三棱锥P﹣ABC，侧棱PA，PB，PC的长为2，且∠APB=30°，E，F分别是侧棱PC，PA上的动点，则△BEF的周长的最小值为（）A．8﹣4B．2 C．2 D．1+2参考答案：C【考点】棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用棱锥的侧面展开图把△BEF的周长的最小值问题转化为两点之间的最短距离问题，解三角形可得答案．【解答】解：正三棱锥的侧面展开图如图：∵∠APB=30°，∴∠BPB1=90°，PB=2，BB1==2，∴△BEF的周长的最小值为2．故选：C．7. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得（）A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立C．当时，该命题成立 D．当时，该命题不成立参考答案：D略8. 5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（）A．A55?A42种B．A55?A52种C．A55?A62种D．A77﹣4A66种参考答案：A【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，先排大人，有A55种排法，分析可得，去掉头尾后，有4个空位，再用插空法，将2个小孩插在4个空位中，进而由分步计算原理，计算可得答案．【解答】解：先排大人，有A55种排法，去掉头尾后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有A42种排法，由分步计数原理，有A42?A55种不同的排法，故选A．9. 设全集，集合，，则（）A. [1,2)B. (0,3]C. [1,3)D. (0,2)参考答案：B【分析】先由分式不等式的解法求出集合,再由集合并集的运算即可得解.【详解】解：由题得集合，所以，又集合，所以.故选B.【点睛】本题考查了补集及集合的运算,属基础题.10. 复数的共轭复数是A. B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为__________．参考答案：(4,0)解：设直线的方程为代入抛物线，消去得,设，，则，，∴， ∴（舍去）或,故直线过定点(4,0)．12. 已知数列，，计算数列的第20项。
北京市顺义牛栏山第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题
数.
所以，根据分类加法计数原理，一共可表示 2 + 2 + 4 = 8 个不同整数. 故选：B. 9．C
【分析】先判断当
x
<
0
时，一定有
x
+
4 x
£
-4
成立，再利用反证的思想说明当
x
+
4 x
£
-4
时,
一定有 x < 0 成立，即可判断出答案.
【详解】函数 y = ln (2x) 可看做函数 y = ln t 与 t = 2x 的复合函数，
所以
yx¢
=
yt¢
×
t
¢
x
=
1 2x
×
2
=
1 x
，
所以
f
¢(
x)
=
1 x
，故
f
¢(2)
=
1 2
，
故选：C. 4．C 【分析】根据含全称量词的命题的否定方法求其否定，可得结论.
【详解】命题“ "x Î R,ex ³ ex ”的否定是“ $x Î R,ex < ex ”，
每个环节制作合格的概率分别为
3 4
，
4 5
，
2 3
，只有当每个环节制作都合格时.这件作品
才算制作成功，
(1)求小萌同学制作一件作品成功的概率； (2)若小萌同学制作了 3 件作品，假设每次制作成功与否相互独立.设其中成功的作品数
为 X .求 X 的分布列及期望. 19．某超市销售 5 种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和
广东省广州市市天河中学高二数学文月考试题含解析
广东省广州市市天河中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的最大值为（）A解答：解：令，当x＞e时，y′＜0；当x＜e时，y′＞0，，在定义域内只有一个极值，所以，故答案选A．2. 函数的最大值是（）A．B．C．D．参考答案：A3. 圆x2+y2=4上与直线l：4x﹣3y+12=0距离最小的点的坐标是（）A． B．C．D．参考答案：C考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：在圆x2+y2=4上，与直线l：4x﹣3y+12=0的距离最小的点，必在过圆心与直线l：4x﹣3y+12=0垂直的直线上，求此线与圆的交点，根据图象可以判断坐标．解答：解：圆的圆心（0，0），过圆心与直线4x﹣3y+12=0垂直的直线方程：3x+4y=0，3x+4y=0与x2+y2=4联立可得x2=，所以它与x2+y2=4的交点坐标是（﹣，），（，﹣）又圆与直线4x﹣3y+12=0的距离最小，所以所求的点的坐标（﹣，），故选：C．点评：本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，直线的截距等知识，是中档题．4. 若实数满足不等式组，则的最大值为（）A. 1B.0C.-1D. -3参考答案：B5. 复数（）A. B.C.2iD.i-1参考答案：A6. 为了得到函数，只需要把图象上所有的点的 ( )A.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变B.横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变D.纵坐标缩小到原来的倍，横坐标不变参考答案：A略7. 已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2参考答案：B【考点】导数的几何意义．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选项为B8. P是双曲线(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是5/4，且，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于()A．4 B．5C．6 D．7参考答案：D略9. 已知命题：，则（）A. B.C. D.参考答案：A略10. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为:（）A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 图（1）为相互成120°的三条线段，长度均为1，图（2）在第一张图的线段的前端作两条与该线段成120°的线段，长度为其一半，图（3）用图（2）的方法在每一线段前端生成两条线段，长度为其一半，重复前面的作法至第n张图，设第n个图形所有线段长之和为a n，则．（1）（2）（3）参考答案：12. 复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．参考答案：5【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，故答案为：5．13. 曲线过点A的切线方程是．参考答案：或略14. 已知等式成立，则的值等于 .参考答案：15. 如图，已知平面α⊥β，α∩β=l，A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA=2，AB=4，CB=4，P是平面α上的一动点，且直线PD，PC与平面α所成角相等，则二面角P﹣BC﹣D的余弦值的最小值是．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【分析】∠PBA为所求的二面角的平面角，由△DAP∽△CPB得出=，求出P在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出∠PBA的最大值对应的余弦值．【解答】解：∵AD⊥l，α∩β=l，α⊥β，AD?β，∴AD⊥α，同理：BC⊥α．∴∠DPA为直线PD与平面α所成的角，∠CPB为直线PC与平面α所成的角，∴∠DPA=∠CPB，又∠DAP=∠CBP=90°∴△DAP∽△CPB，∴=．在平面α内，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），（y＞0）∴2=，整理得（x+）2+y2=，∴P点在平面α内的轨迹为以M（﹣，0）为圆心，以为半径的上半圆．∵平面PBC∩平面β=BC，PB⊥BC，AB⊥BC，∴∠PBA为二面角P﹣BC﹣D的平面角．∴当PB与圆相切时，∠PBA最大，cos∠PBA取得最小值．此时PM=，MB=，MP⊥PB，∴PB=．cos∠PBA==．故答案为．16. 已知正方形的中心为直线和的交点，正方形一边所在直线的方程为，求其它三边所在直线的方程．参考答案：19. 答案：；略17. 某程序框图如图所示，则输出的.参考答案：26三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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高新部高二6月月考文科数学试题
一、选择题（每题5分，共60分）
1.东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，用分层抽样抽取一个容量为20的样本，则应抽取的后勤人员人数是（）．
A. 3
B. 2
C. 15
D. 4
【答案】A
【解析】
分析：根据分层抽样的定义知：教师，行政人员，后勤人员的人数比为，由样本容量为20，计算可得答案．
详解：∵某校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名
∴教师，行政人员，后勤人员抽取的比例应为，
∴抽取一个容量为20的样本中后勤人员应抽人数为3
故选A．
点睛：本题考查了分层抽样方法，解简单的比例方程，属于基础题．
2.复数=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：利用复数的除法法则运算即可.
详解：由题
点睛：本题考查复数的运算，属基础题.
3.关于右侧茎叶图的说法，结论错误的一个是（）
A. 甲的极差是29
B. 甲的中位数是25
C. 乙的众数是21
D. 甲的平均数比乙的大
【答案】B
【解析】
分析：通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A正确；
找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出B错误，根据众数的定义判断C正确；
根据图的集中于离散程度，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出D正确；
详解：由茎叶图知，
甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，A正确；
甲中间的两个数为22，24，
所以甲的中位数为，B错误；
乙的数据中出现次数最多的是21，所以众数是21，C正确；
甲命中个数集中在20以上，乙命中个数集中在10和20之间，
所以甲的平均数大，D正确．
故选：B．
点睛：本题考查了利用茎叶图中的数据计算极差、中位数、众数和平均数的应用问题，是基础题．
4.进入互联网时代，经常发送电子邮件，一般而言，发送电子邮件要分成以下几个步骤：
(a)．打开电子邮件；(b)输入发送地址；(c)输入主题；(d)输入信件内容；(e)点击“写邮件”；（f）点击“发送邮件”；正确的步骤是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析：发电子邮件的操作步骤：第一步a..打开电子信箱；第二步：e．点击“写邮件”；等．依次操作，不能颠倒．
详解：发电子邮件的操作步骤：
第一步a..打开电子信箱；
第二步：e．点击“写邮件”；等．
依次操作，不能颠倒．
则正确顺序为：.
点睛：本题主要考查绘制简单实际问题的流程图，注意发电子邮件的步骤，步骤不能颠倒．
5.若复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.
详解：复数满足
，
.
故选：C.
点睛：复数四则运算的解答策略
复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
6.定义集合运算：☆.设集合，，则集合
☆的元素之和为（）
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合☆，再求集合☆的元素之和.
【详解】由题得☆{0,1,2},所以☆所有元素之和为0+1+2=3.
故答案为：C
【点睛】本题主要考查集合和新定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的，的值分别为（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
执行第一次循环后，，，执行第二次循环后，，，
执行第三次循环后，，，执行第四次循环后
，此时，不再执行循环体，故选C.
点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.
8.已知函数，则“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据“曲线存在垂直于直线的切线”求a的范围，再利用充要条件的定义判断充要性.
【详解】由题得切线的斜率为2，
所以
因为{a|a>-1},
所以“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的必要非充分条件.
故答案为：B。