求导数和求极值

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高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结

高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。

极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。

求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。

对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。

导数与函数极值最值

导数与函数的极值与最值1. 函数的极值⑴．判断 f (x 0)是极值的方法一般地，当函数 y ＝f (x )在点 x 0 处连续时，①．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＞0，右侧 f ′(x )＜0，那么 f (x 0)是极大值； ②．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＜0，右侧 f ′(x )＞0，那么 f (x 0)是极小值． ⑵．求可导函数极值的步骤：①．求 f ′(x )；②．求方程 f ′(x )＝0 的根；③．检查 f ′(x )在方程 f ′(x )＝0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2. 函数的最值⑴．在闭区间[a ，b ]上连续的函数 y ＝f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．⑵．若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递增，则 f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递减，则 f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．⑶．设函数 f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求 f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①．求 f (x )在(a ，b )内的极值；②．将 f (x )的各极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3. 利用极值求参数1. 极值点使得导函数为0，即极值点为导函数的零点.2. 极值点的个数就是导函数变号零点的个数3. 方法：①直接法：直接求方程，得到方程的根，在通过解不等式确定参数取值范围； ②分离参数法：将参数分离，构造新函数转化成求最值或者值域的问题； ③数形结合：先对解析式变形，在坐标系中画出函数图像，通过找交点求解.题型一求极值【例1】(1)（2019·湖北高二期末）函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（）A ．12为()f x 的极大值点 B ．2-为()f x 的极大值点 C ．2为()f x 的极大值点D ．45为()f x 的极小值点 (2)（2019·黑龙江铁人中学高二期中（文））函数()()2312f x x =-+的极值点是（） A ．0x =B ．1x =C ．1x =-或1D ．1x =或0【解析】(1)对于A 选项，当122x -<<时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，12为()f x 的极大值点，A 选项正确；对于B 选项，当2x <-时，()0f x '<，当122x -<<时，()0f x '>，2-为()f x 的极小值点，B 错误；对于C 选项，当122x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，2为()f x 的极小值点，C 选项错误；对于D 选项，由于函数()y f x =为可导函数，且405f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，45不是()f x 的极值点，D 选项错误.故：A. (2)函数的导数为2233()2(1)(3)6(1)f x x x x x '=-⨯=-，当()0f x '=得0x =或1x =，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，所以1x =是极小值点.当0x <时，()0f x '<，当01x <<时，()0f x '<，所以0x =不是极值点.故选B .【举一反三】1．（2018·安徽高二期末（理））函数()321313f x x x x =+--的极小值点是（） A ．1B ．（1，﹣83）C ．3-D ．（﹣3，8）【解析】()223f x x x =+-'，由2230x x +-=得31x =-或函数()321313f x x x x =+--在(),3-∞-上为增函数，()3,1-上为减函数， ()1+∞，上为增函数，故()f x 在1x =处有极小值，极小值点为1.选A 2．（2019·安徽高二月考（文））已知函数()2ln f x ax b x =+在点M (1,1)处的切线方程为230x y +-=.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间和极值.【答案】（1）f (x )=x 2-4lnx （2）函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为22ln 2-，无极大值【解析】（1）()2bf x ax x'=+，因为点M (1,1)处的切线方程为2x +y -3=0，所以()()11122f a f a b ⎧==⎪⎨=+=-'⎪⎩,所以14a b =⎧⎨=-⎩，则f (x )=x 2-4lnx ;（2）定义域为(0,+∞),()24242x f x x x x-'=-=,令()0f x '=，得x =. 列表如下：故函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为222ln 2f=-=-，无极大值.题型二求最值【例2】（2019·黑龙江铁人中学高二期中）函数32()32f x x x =-+在区间[－1，1]上的最大值是（） A ．4 B ．2 C ．0 D ．－2【答案】B【解析】令()2360f x x x '=-=，解得0x =2x =.()()()()02,22,12,10f f f f ==--=-=，故函数的最大值为2，所以本小题选B.【举一反三】1．（2019·湖南高一月考）已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____【解析】二次函数()y f x = 在[]0,2x ∈ 单调递增，当(]2,3x ∈ 单调递减故在x=0时取得最小值，即a=2题型三利用极值最值求参数【例3】(1)（2019·河北唐山一中高三期中（理））若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）．A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1(2)（2019·贵州省铜仁第一中学高三（文））若函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则b 的取值范围为（） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <(3)（2019·安徽高二月考（文））若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【答案】(1)A(2)A(3)C 【举一反三】1.已知是函数的极小值点，则的范围是_____2.已知是函数的极小值点，则取值范围________3.已知函数有两个极值点，且，则（）4.（2019·新疆高三月考）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是____．5.若函数在区间内有极值，则取值范围（ C ）0x =()()()22222f x x a x a x a=-++a ()(),02,-∞⋃+∞1x =()()()2202xk f x x e x kx k =--+>k ()0,e ()221ln f x x x a x =-++12,x x 12x x <D ()212ln 2.4A f x +<-()212ln 2.4B f x -<()212ln 2.4C f x +>-()212ln 2.4D f x ->()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭a6. 若函数在上有小于零的极值点，实数的取值范围是（）7. 若函数在区间恰有一个极值点，则实数取值范围______.8. 已知函数在区间上至少有一个极值点，实数取值范围______ 课后训练：1．（2019·江西高三期中（文））若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，则实数m 的取值范围是（） A ．[)2,+∞ B ．(),1-∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D 【解析】依题意()'2666f x x mx =-+，由于函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，所以()'2666fx x mx =-+在区间()1,+∞上有正有负，由于二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，对称轴为2m x =，2364660m ∆=-⨯⨯>，解得2m <-或2m >.当2m <-时，对称轴12mx =<-，()'060f =>故此时在区间()1,+∞上()'0f x >，函数()f x 单调递增，没有极值点.当2m >时，由于()'16661260f m m =-+=-<，且二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，故()'2666f x x mx =-+区间()1,+∞上必存在零点，也即()f x 在区间()1,+∞上存在极值点. 故选：D.2．（2019·陕西高三（文））函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是（） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤【答案】C【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即0a <，应选答案C 。

导数与函数的极值、最值

知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
【解】 (1)因 f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，所以 f′(x)＝3x2－12x＋3， ∴f′(x)＝3(x－2＋ 3)(x－2－ 3)．当 f′(x)>0 时，x>2－ 3，或 x<2＋ 3；当 f′(x)<0 时，2－ 3<x<2＋ 3. ∴f(x)的单调增区间是(－∞，2－ 3)，(2＋ 3，＋∞)，单调减区间是(2－ 3，2＋ 3)．
解析：f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0得，x1＝－2，x2＝2. 当x＜－2时，f′(x)＞0，－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)在x＝－2处取得极大值．
答案：－2
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x2＋a 5．若函数 f(x)＝在 x＝1 处取极值，则 a＝________. x＋1 解析：∵f(x)在 x＝1 处取极值，∴f′(1)＝0.
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2．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：极值点在f′(x)的图象上应是f′(x) 的图象与x轴的交点的横坐标，且极小值点的左侧图象在x轴下方，右侧图象
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∵g(x)在 x＝0 和 x＝2 点处连续，又∵g(0)＝1，g(1)＝2－ln 4，g(2)＝3－ln 9，且 2－ln 4<3－ln 9<1， ∴g(x)的最大值是 1， g(x)的最小值是 2－ln 4. 所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的取值范围是： 2－ln 4<a≤3－ln 9.

导数与函数的极值

导数与函数的极值函数的极值是指函数在某个区间上取得的最大值或最小值。

导数是函数变化率的度量，通过导数我们可以研究函数的极值情况。

在本文中，我们将讨论导数与函数的极值之间的关系以及如何运用导数来确定函数的极值。

1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化速率。

对于可导函数f(x)，其导数定义为：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx其中，Δx表示x的增量，Δx→0表示Δx趋近于0。

导数的值代表了函数在该点的瞬时变化率。

2. 极值的定义函数的极值包括最大值和最小值。

在某个区间上，如果函数在某一点的导数为0，那么该点可能是函数的极值点。

具体而言，若函数在该点的导数由正变负，这个点就是极大值点；若函数在该点的导数由负变正，这个点就是极小值点。

3. 导数与函数极值的关系函数的极值点必然是函数的驻点，即导数为0的点。

然而，只有导数为0的点不一定是极值点。

根据导数的定义，我们可以利用导数判断函数的极值点。

具体来说：- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后改变，那么该点就是函数的极值点。

- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后不改变，那么该点可能是函数的驻点但不是极值点。

4. 导数的应用利用导数判断函数的极值点可以帮助我们解决许多实际问题。

例如，在经济学中，我们可以通过求解某种产品的利润函数来确定最大化利润的产量。

通过求解利润函数的导数，我们可以找到使利润最大化的产量。

同样地，在物理学中，我们可以使用导数来分析物体的运动情况。

通过求解位置函数的导数，我们可以找到物体的最大速度和最大加速度的时刻。

此外，在数学建模和优化问题中，导数也是一种重要的工具。

通过确定函数的极值点，我们可以优化函数的性能，以满足特定需求。

5. 导数与极值的例子例如，我们考虑函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的极值问题。

首先，我们求解函数的导数f'(x) = 2x。

导数极值求解技巧

导数极值求解技巧导数是微积分中的基本概念，它描述了函数在特定点上的变化率。

在求解极值问题时，导数是非常有用的工具。

本文将介绍一些求解导数极值的技巧。

一、确定定义域在求解极值问题时，首先需要确定函数的定义域。

定义域是函数取值有效的范围，只有在定义域内的点才能进行求导和求解极值。

二、求导数对于给定的函数，我们首先需要求其导数。

求导的过程可以使用以下几种方法：1. 利用基本导数公式对于基本的函数，有一些常用的导数公式可以用来求导。

例如，对于常数函数f(x) = c，导数f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n，导数f'(x) = nx^(n-1)。

2. 利用求导法则求导法则是一些规则，它们描述了如何对给定函数进行求导。

例如，对于和、差、乘积、商的函数，可以使用和差法则、乘积法则和商法则来求导。

3. 利用链式法则链式法则是一个复合函数求导的方法。

对于复合函数f(g(x))，它的导数可以通过求外函数f(x)和内函数g(x)的导数，并进行相应的运算得到。

4. 利用隐函数求导对于含有隐含变量的方程，可以使用隐函数求导的方法来求导。

该方法利用了导数的定义和隐函数的关联关系来求导。

三、找到导数为零的点极值点处的导数为零。

因此，在求解极值问题时，我们需要找到导数为零或不存在的点，这些点被称为临界点。

1. 求解导数的零点找出导数为零的点是求解极值问题的关键。

这些点被称为临界点或关键点。

在求解导数的零点时，可以使用微积分中的求根方法，如二分法、牛顿法等。

2. 检查导数的不存在点除了导数为零的点外，还需要检查导数不存在的点。

在求解极值问题时，导数不存在的地方往往也是极值点。

导数不存在的原因可能是由于函数有间断点、驻点、奇异点等。

四、应用极值点的二阶导数来判断在已找到极值点的情况下，可以使用二阶导数来判断极值点的类型。

二阶导数可以告诉我们极值点是局部最大、局部最小还是拐点。

1. 当二阶导数大于零时，极值点为局部最小。

函数的求导与极值

函数的求导与极值函数的求导与极值是微积分中的重要内容。

通过求导，我们可以研究函数的变化趋势，找到函数的极值点。

本文将介绍函数求导的基本概念和求导公式，以及如何利用求导寻找函数的极值点。

一、求导的基本概念函数的导数描述了函数在某一点的变化率，也可以理解为函数的切线斜率。

对于函数y=f(x)，记f'(x)或dy/dx为函数f(x)的导数。

导数可以用以下极限定义求得：f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) - f(x)) / h其中h为无穷小量。

导数值的正负表示函数在该点的增减性，导数值为零的点可能是函数的极值点。

二、基本求导公式1. 常数函数求导：如果y=c，其中c为常数，则f'(x) = 0，即常数函数的导数为零。

2. 平方函数求导：如果y=x^2，则f'(x) = 2x，即平方函数的导数为2x。

3. 常见初等函数求导：常见的初等函数求导公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

通过这些公式，我们可以求得不同类型函数的导数。

三、高阶导数与导数法则高阶导数是指函数的导数的导数。

通过不断求导，我们可以得到函数的不同阶导数。

导数法则包括和差法则、积法则和商法则，通过这些法则，我们可以便捷地求得复杂函数的导数。

四、函数的极值点函数的极值点包括极大值点和极小值点。

极大值点是指在某一点函数取得最大值，极小值点则是函数取得最小值的点。

根据求导的方法，我们可以找到函数的极值点。

1. 寻找函数的极值点的步骤：- 求函数的导数；- 解导数等于零的方程，得出函数的驻点（导数为零的点）；- 求得驻点的二阶导数，判断是极大值点、极小值点还是拐点；- 确定驻点的极值性，得出函数的极值点。

2. 举例：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的极值点。

- 求导得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2；- 解方程3x^2 - 6x + 2 = 0，得到x = 1/3或x = 2；- 求解得到f''(x) = 6x - 6；- 当x = 1/3时，f''(x) = -4，为极大值点；- 当x = 2时，f''(x) = 6，为极小值点。

数学解决函数极值的三种方法

数学解决函数极值的三种方法函数的极值指的是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

求解函数的极值是数学中的重要问题之一，有着广泛的应用。

本文将介绍三种常用的数学方法来解决函数的极值问题。

一、导数法导数法是求解函数极值最常用的方法之一。

该方法基于导数的性质，通过求函数的导数来研究函数在不同点的变化情况。

假设函数f(x)在[a, b]区间内连续可导。

下面是求解函数极值的步骤：1. 求出函数f(x)的导数f'(x)。

2. 求出导数f'(x)的零点，即解方程f'(x) = 0。

3. 求出[a, b]区间内导数f'(x)的极值点，即对导数f'(x)求导，得到f''(x)，再求出f''(x) = 0的解。

4. 将[a, b]区间内得到的所有解代入原函数f(x)中，得出这些点对应的函数值。

5. 比较得出的函数值，找出最大值和最小值。

导数法求解函数极值的优点是简单易懂，只需要求导和解方程，相对较快。

但该方法的缺点是依赖函数的可导性，对于非连续或不可导的函数不适用。

二、一元二次函数法一元二次函数法是解决函数极值问题的另一种常用方法。

该方法适用于形如f(x) = ax² + bx + c的二次函数。

下面是使用一元二次函数法求解函数极值的步骤：1. 将函数f(x)化为顶点形式，即使用平方完成或配方法将函数转化为f(x) = a(x-h)² + k的形式。

2. 根据一元二次函数的性质，当a>0时，函数在顶点(h, k)处取得最小值；当a<0时，函数在顶点(h, k)处取得最大值。

3. 找出顶点的横坐标h，即x = -b/2a。

代入f(x)，求得函数的极值。

一元二次函数法的优点是适用范围广，并且可以直观地得到函数的极值点。

但对于不是二次函数的情况，该方法并不适用。

三、二阶导数法二阶导数法是一种更加精确的求解函数极值的方法。

高等数学求极值的方法

高等数学求极值的方法
高等数学中，求极值的方法有以下几种：
1. 导数法：对于一元函数，求解其导数，然后按照导数的性质判断临界点的类型（最大值、最小值还是拐点），再根据函数在临界点和区间端点的取值情况确定极值。

2. 条件极值法：对于含有一个或多个约束条件的极值问题，可以通过构建拉格朗日函数，并利用约束条件求解导数为零的点，然后根据约束条件和拉格朗日函数在这些点上的取值情况确定极值。

3. 二阶导数法：对于二次函数，可以利用二阶导数的符号判断极值点的类型（凹点还是凸点），然后根据函数在极值点和区间端点的取值情况确定极值。

4. 参数法：对于含有参数的函数，可以通过求导数并整理化简后，推导出关于参数的方程，进而求解参数值对应的极值点。

5. 函数图像法：通过观察函数的图像，寻找函数的极大值和极小值。

高中数学极值

高中数学极值
摘要：
1.极值的概念和性质
2.求极值的方法
3.极值在高中数学中的应用
正文：
一、极值的概念和性质
在高中数学中，极值是一个重要的概念，它涉及到函数的最值问题。

极值分为最大值和最小值，通常用来描述函数在某一特定区间内的最大或最小取值。

求极值是高中数学中的一个基本技能，对于解决实际问题和理解函数的性质具有重要意义。

二、求极值的方法
求极值的方法主要有以下几种：
1.导数法：利用函数的导数求极值。

当函数在某一点取得极值时，该点的导数等于零。

因此，通过求导、令导数等于零，然后解方程可以求得极值。

2.配方法：对于二次函数或可化为二次函数的问题，可以采用配方法求极值。

配方法的基本思想是将函数化为完全平方的形式，然后根据平方项的正负性判断极值类型。

3.判别式法：对于三次及以上的函数，可以通过判别式求极值。

判别式的值决定了函数的极值类型，从而可以确定极值点的位置。

三、极值在高中数学中的应用
极值在高中数学中有广泛的应用，如求解函数的最值问题、证明数学不等
式、解决实际问题等。

熟练掌握求极值的方法，对于提高高中数学解题能力具有重要作用。

1.在函数求最值问题中，通过求极值可以找到函数的最大值和最小值，从而解决实际问题。

2.在证明数学不等式时，可以利用极值的性质判断不等式的成立性。

3.在解决实际问题时，极值概念可以帮助我们找到问题的最优解，如最短路径问题、最大收益问题等。

导数与函数的极值与最值

导数与函数的极值与最值导数与函数的极值与最值是微积分中的重要概念，它们在实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍导数、函数的极值与最值的基本概念、求解方法及其应用。

一、导数的定义及性质导数是函数的一个基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。

在数学中，导数可以用极限的概念来定义。

当函数f(x)在点x处可导时，它的导数f'(x)的定义如下：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗导数具有一些重要的性质，包括可导函数的和、差、积、商的导数运算法则。

这些性质为求解函数的极值和最值提供了数学工具。

二、函数的极值与最值函数的极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

特别地，当函数在某一点上取得最大值或最小值时，称为函数的局部极值。

函数的极大值和极小值统称为极值。

函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。

与极值不同的是，最值可能发生在函数的端点或无穷远处。

函数的最值是极值的一个特例。

三、求解函数的极值与最值为了求解函数的极值和最值，我们需要利用导数的概念和性质。

下面介绍一些常用的求解方法。

1. 导数为零的点如果在某一点x处，函数的导数f'(x)为零或不存在，那么该点可能是函数的极值点。

然而，这种方法只是提供了一个可能性，我们还需要进行进一步的验证。

2. 导数的符号变化对于连续函数f(x)，如果在某一点x处，f'(x)由正数变为负数，或由负数变为正数，那么该点可能是函数的极值点。

3. 极值的判别法通过求解函数的导数f'(x)的零点，可以得到函数的驻点，即可能的极值点。

然后，通过极值的判别法判断哪些点是真正的极值点。

四、导数与函数的极值与最值的应用导数与函数的极值与最值在实际问题中有着广泛的应用。

以下列举几个例子：1. 经济学中的最大收益问题在经济学中，我们常常需要求解某一产品的最大利润。

利用导数与函数的极值与最值的概念，我们可以优化生产过程，使得利润达到最大化。

导数求极值公式

您好！
1、求极大极小值步骤：
求导数f'(x)；
求方程f'(x)=0的根；
检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

f'(x)无意义的点也要讨论。

即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

2、求极值点步骤：
求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；
用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

上述所有点的集合即为极值点集合。

扩展资料：
定义：
若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。

同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。

根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。

如果极值点不是边界点，就一定是内点。

因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。

——容选自网络，仅供参考。

求极值的方法

求极值的方法一、导数法。

求极值的常用方法之一是利用导数。

对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到函数的驻点和拐点，进而确定函数的极值点。

具体步骤如下：1. 求出函数的导数；2. 解出导数为0的方程，得到函数的驻点；3. 利用二阶导数的符号来判断驻点的类型，从而确定函数的极值。

二、边界法。

对于定义在闭区间上的函数，我们可以通过边界法来求取函数的极值。

具体步骤如下：1. 求出函数在闭区间端点处的函数值；2. 求出函数在闭区间内部的驻点；3. 比较上述所有点的函数值，最大值即为函数的最大值，最小值即为函数的最小值。

三、拉格朗日乘数法。

对于带有约束条件的极值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法来求解。

具体步骤如下：1. 根据约束条件建立拉格朗日函数；2. 求出拉格朗日函数的偏导数，并令其等于0；3. 解方程组，得到极值点。

四、牛顿法。

对于无法通过导数法求解的函数，我们可以使用牛顿法来求取函数的极值。

具体步骤如下：1. 选取一个初始点，计算函数在该点的函数值和导数值；2. 根据函数值和导数值，利用牛顿迭代公式来更新下一个点；3. 重复上述步骤，直到满足精度要求为止。

五、全局优化方法。

对于复杂的多维函数，我们可以利用全局优化方法来求取函数的全局极值。

常见的全局优化方法包括遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等。

总结。

求极值是数学中的一个重要问题，我们可以利用导数法、边界法、拉格朗日乘数法、牛顿法以及全局优化方法来求解。

不同的方法适用于不同的函数和问题，我们需要根据具体情况来选择合适的方法。

希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。

高中物理-求极值的六种方法

高中物理-求极值的六种方法求极值是数学中的重要问题，解决这个问题不仅有助于我们理解函数的性质，还有助于应用于很多实际问题的求解。

下面介绍六种常用的方法求极值：导数法、辅助线法、割线法、牛顿法、拉格朗日乘数法和试探法。

一、导数法：导数法是最常见，也是最基本的求极值方法。

极值点处的导数为零或不存在。

1.求导数：设函数y=f(x)，首先求出导数f'(x)。

2.导数为零：令f'(x)=0，得出x的值。

3.导数不存在：检查导数在f'(x)为零的点附近是否存在极值点。

二、辅助线法：辅助线法是通过构造一条辅助线，将函数转化为一个变量的方程，然后通过解方程来求解极值点。

1.构造辅助线：根据函数的特点，选取一个合适的辅助线方程（比如斜率为1或-1），将函数转化为一个变量的方程。

2.解方程：将辅助线方程和原函数方程联立，解得x的值。

3.求解极值点：将x的值代入原函数方程，求出对应的y值。

三、割线法：割线法是通过构造一条割线，通过不断迭代来逼近极值点。

1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。

2.构造割线：构造一条过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))两点的割线，其中x1=x0-λf(x0)，λ是一个合适的步长。

3.迭代求值：迭代求解极值点，即不断重复步骤2，直到割线趋近于极值点。

四、牛顿法：牛顿法利用函数的导数和二阶导数的信息来逼近极值点，是一种高效的求解极值的方法。

1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。

2.迭代求值：根据牛顿迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)，不断迭代求解极值点，直到满足结束条件。

五、拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法，适用于那些涉及多个变量和多个约束条件的问题。

1. 列出函数和约束条件：设函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g(x1, x2, ..., xn)=c。

2. 构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn) + λ(g(x1, x2, ..., xn)-c)，其中λ是拉格朗日乘数。

求极值的若干方法

求极值的若干方法一、导数法导数法是求函数极值最常用的方法之一、通过计算函数的导数并将其置为0，可以找到函数的驻点。

驻点即为函数可能的极值点。

对驻点进行二阶导数测试，如果二阶导数为正则为极小值点，如果二阶导数为负则为极大值点。

二、边界点法对于定义在一定范围内的函数，其极值点可能出现在这个范围的边界上。

因此，通过计算函数在边界点处的值，并与内部驻点的值进行比较，可以得到函数的极值。

三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法适用于带有约束条件的优化问题。

对于求解函数在约束条件下的极值问题，通过引入拉格朗日乘数，将约束条件加入到目标函数中，然后对引入的约束条件和目标函数进行求导，可以得到关于约束条件和目标函数的一组方程，通过求解这组方程可以得到极值点。

四、牛顿法牛顿法是一种迭代法，通过不断地进行线性逼近来逐步逼近极值点。

该方法通过迭代逼近函数的根，利用函数的一阶导数和二阶导数进行求解。

通过不断迭代，可以逐步逼近极值点。

五、切线法切线法是一种简单但有效的求解极值的方法。

切线法基于函数在极值点处的切线垂直于函数曲线的性质。

首先选择一个初始点，然后沿着函数曲线进行迭代，在每一步迭代中，找到当前点处的切线，然后将切线与坐标轴相交的点作为下一步的迭代点，直至找到极值点。

六、割线法割线法是一种介于切线法和牛顿法之间的方法。

该方法适用于函数的导数不能很容易地求解的情况。

割线法通过选择两个初始点，然后计算这两个点处的斜率，使用割线的性质来逼近极值点。

通过不断迭代计算新的割线与x轴相交的点，可以逐步逼近极值点。

七、二分法二分法适用于具有单调性的函数的极值求解。

该方法通过选择一个区间，然后将其一分为二，比较中点和两个区间端点处函数的值，缩小区间范围，直至找到极值点。

八、遗传算法遗传算法是一种模拟进化过程的优化算法，常用于求解复杂问题中的极值。

该方法模拟生物进化的过程，通过随机生成一组初始解，然后通过交叉、变异等操作对解进行改进和演化，最终得到一个相对较优的解。

函数求导计算函数的导数和求极值

函数求导计算函数的导数和求极值函数求导是微积分中的重要概念，它可以用来计算函数的导数和求函数的极值。

函数的导数可以告诉我们函数在某一点的变化率，而函数的极值则是函数在某一区间内最大或最小的值。

在本文中，我们将介绍如何使用函数求导来计算函数的导数和求函数的极值。

一、函数求导计算函数的导数函数的导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。

我们可以使用函数求导来计算函数在给定点的导数。

下面是函数求导的计算步骤：1.确定函数：首先，我们需要确定要计算导数的函数。

函数通常用字母表示，例如 f(x)。

2.求导函数：接下来，我们需要求得函数的导函数。

导函数是函数f(x) 的导数，可以用 f'(x) 或者 dy/dx 表示。

3.应用导数公式：根据不同的函数类型，我们可以应用不同的导数公式来计算函数的导数。

例如，对于多项式函数，可以使用幂函数的导数公式来计算导数。

4.代入函数值：一旦我们找到函数的导数表达式，就可以将给定点的函数值代入导数表达式中，得到函数在该点的导数值。

通过以上步骤，我们可以计算函数在给定点的导数。

这将帮助我们了解函数在该点的变化率。

二、函数求导求极值函数的极值是函数在特定区间内的最大或最小值。

我们可以使用函数求导来求取函数的极值。

下面是函数求导求极值的计算步骤：1.确定函数：同样，首先我们需要确定要计算极值的函数。

假设为f(x)。

2.求导函数：接下来，我们需要求得函数的导函数。

3.找到导函数的零点：导函数的零点是函数的极值点。

这是因为在极值点，函数的导数为零。

4.检查导函数的二阶导数：我们需要检查导函数的二阶导数来确定极值的类型。

如果二阶导数大于零，则为极小值，如果二阶导数小于零，则为极大值。

通过以上步骤，我们可以计算函数的极值。

这将帮助我们找到函数在指定区间内的最大或最小值。

综上所述，函数求导可以用来计算函数的导数和求函数的极值。

通过计算函数的导数，我们可以了解函数在某一点的变化率；通过计算函数的极值，我们可以找到函数在特定区间内的最大或最小值。

高中数学中的导数与函数的极值问题

高中数学中的导数与函数的极值问题在高中数学中，导数与函数的极值问题是一个重要的概念和应用。

导数是函数在某一点的变化率，而函数的极值则是函数在某一区间内的最大值或最小值。

导数与函数的极值问题紧密相关，它们在数学和实际问题中有着广泛的应用。

一、导数的概念与计算方法导数的概念可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。

对于函数f(x)，在点x处的导数可以表示为f'(x)或df(x)/dx。

导数的计算方法有很多，常见的有基本导数公式和导数的四则运算法则。

基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

例如，对于常数函数f(x)=c，其导数为f'(x)=0；对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其导数为f'(x)=nx^(n-1)。

导数的四则运算法则包括求和、差、积和商的导数。

例如，对于函数f(x)=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)分别为函数u和v，其导数为f'(x)=u'(x)+v'(x)。

二、导数与函数的极值函数在某一区间内的最大值或最小值称为极值。

极值分为极大值和极小值两种情况。

导数与函数的极值问题的关键在于找到函数的驻点和拐点。

驻点是函数的导数为零或不存在的点。

在驻点处，函数的斜率为零或不存在，这意味着函数在该点附近变化趋势的转折点。

通过求解导数为零的方程，可以找到函数的驻点。

对于函数f(x)，如果f'(x)=0，则x为f(x)的驻点。

拐点是函数的导数变化趋势发生突变的点。

在拐点处，函数的曲线由凸转为凹或由凹转为凸。

通过求解导数的二阶导数为零的方程，可以找到函数的拐点。

对于函数f(x)，如果f''(x)=0，则x为f(x)的拐点。

三、应用举例导数与函数的极值问题在实际问题中有广泛的应用。

以下举例说明：1. 最优化问题：导数与函数的极值问题可以帮助我们解决最优化问题，如求解函数的最大值或最小值。

例如，我们想要制作一个矩形的围墙，给定一定的围墙材料，如何确定矩形的长和宽以使得围墙的面积最大？通过求解围墙面积函数的导数，可以找到围墙面积最大的长和宽。

导数与函数的极值

导数与函数的极值在数学中，导数和函数的极值是微积分中的两个重要概念。

导数指的是函数的变化率，而函数的极值则指的是函数在一个区间内的最大值或最小值。

在本文章中，将对导数和函数的极值进行详细的介绍和解释。

一、导数导数，即一个函数在某一点处的变化率。

在微积分中，我们通常设函数为$f(x)$，函数在$x=a$的导数为$f'(a)$。

其中，$a$为一个常数。

导数的计算方法有两种：一是使用导数的定义式，即$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$；二是使用求导法则，包括常数规则、幂规则、和差规则、乘积规则、商规则和复合函数求导法则。

这些法则可以帮助我们更便捷地求解导数。

导数的应用非常广泛。

例如，当我们需要求解函数的最大值和最小值时，就需要使用导数的概念和方法。

此外，在物理学和工程学等领域，导数也扮演着重要角色。

二、函数的极值函数的极值是指函数在一个区间内的最大值或最小值。

对于单峰函数来说，极值只有一个；对于多峰函数来说，可能有多个极值。

极值的求解可以使用导数的知识。

当函数在某一点的导数为零时，这个点就可能是函数的极值点。

具体地，当$f'(a)=0$时，$a$就可能是函数的极值点。

我们还需要使用二阶导数来判断极值类型。

若$f''(a) >0$，则函数在$x=a$处取得局部极小值；若$f''(a) < 0$，则函数在$x=a$处取得局部极大值；若$f''(a) = 0$，则需要使用其他方法来进一步判断。

在实际问题中，函数的极值具有非常重要的意义。

例如，在经济学中，极值可以用来判断利润的最大化或成本的最小化；在数学中，极值可以用来求解最优化问题；在物理学中，极值可以用来求解运动问题。

三、导数与函数的极值的关系导数和函数的极值之间存在紧密联系。

在一维函数中，导数为零的点可能是函数的极值点；当导数经过极值点时，导数的符号会发生改变，即从正数变为负数或从负数变为正数。