圆的两点式方程公式

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圆与圆的位置关系--圆与圆相切--圆系方程

例6.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆方程．解法相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．
∵所求圆以AB为直径，
于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 .
例6.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆方程．解法二：设所求圆的方程为： x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)
rR r O1 O2 O2 r
r O2 O2
r O2
r O2
r O2
xHale Waihona Puke 圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r12(r1>0) 圆C2：(x-c)2+(y-d)2=r22(r2>0) (1)利用连心线长与|r1+r2|和| r1-r2 |的大小关
系判断： ①|C1C2|> |r1+r2|
圆C1与圆C2相离
①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和
圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)． ②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l： Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 (λ为参数 )．

高中数学概念公式大全

高中数学概念公式大全1.代数与函数：- 一次函数的方程：y = kx + b- 二次函数的方程：y = ax² + bx + c- 三次函数的方程：y = ax³ + bx² + cx + d-指数函数的方程：y=a^x- 对数函数的方程：y = logₐ(x)-幂函数的方程：y=x^a-绝对值函数的方程：y=，x- 正弦函数的方程：y = A sin(Bx + C) + D- 余弦函数的方程：y = A cos(Bx + C) + D-反比例函数的方程：y=k/x2.平面解析几何：-直线的一般式方程：Ax+By+C=0- 直线的斜截式方程：y = kx + b-直线的点斜式方程：y-y₁=k(x-x₁)-直线的两点式方程：(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁) -圆的标准方程：(x-h)²+(y-k)²=r²-椭圆的标准方程：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1-双曲线的标准方程：(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1- 抛物线的标准方程：y = ax² + bx + c-平行线的判定：两直线的斜率相等-垂直线的判定：两直线的斜率的乘积为-13.空间解析几何：- 空间直线的参数方程：x = x₁ + at, y = y₁ + bt, z = z₁ + ct -空间直线的对称式方程：(x-x₁)/a=(y-y₁)/b=(z-z₁)/c-空间平面的一般式方程：Ax+By+Cz+D=0-空间平面的点法式方程：(x-x₀)/A=(y-y₀)/B=(z-z₀)/C-两直线的位置关系：平行、异面、交于一点-直线与平面的位置关系：相交、平行、共面、垂直-两平面的位置关系：平行、重合、相交4.三角函数与解三角形：- 任意角的辅助角公式：sin(π - θ) = sinθ, cos(π - θ) = -cosθ, tan(π - θ) = -tanθ-任意角的和差公式：sin(θ₁ ± θ₂) = sinθ₁cosθ₂ ± cosθ₁sinθ₂cos(θ₁ ± θ₂) = cosθ₁cosθ₂∓ sinθ₁sinθ₂tan(θ₁ ± θ₂) = (tanθ₁ ± tanθ₂)/(1 ∓ tanθ₁tanθ₂)-二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)-三角函数的诱导公式：sin(π ± θ) = ±sinθ, cos(π ± θ) = -cosθ, tan(π ± θ) = ±tanθ-等腰三角形的性质：两底角相等，底边平分顶角，底边上的高相等- 直角三角形的性质：勾股定理(a² + b² = c²)，正弦定理(sinθ = a/c)，余弦定理(cosθ = b/c)，正切定理(tanθ = a/b)。

初中数学必备公式

初中数学必备公式初中数学是建立在小学数学基础之上的，具有一定难度和抽象性质的学科。

在学习初中数学过程中，公式是必不可少的工具。

掌握了必备公式，可以帮助学生更好地理解数学概念，解决问题，提高解题能力。

下面将详细介绍一些初中数学必备公式。

1. 平方差公式(a+b)² = a² + 2ab + b²这是最常用的平方差公式，表示两个数相加后的平方可以展开为该数的平方、两倍乘积和另一个数的平方。

这个公式在解方程、因式分解等方面都有广泛应用。

2. 二次根式的加减法公式√a ± √b = √a ± √b二次根式的加减法公式用于化简含有二次根式的方程或表达式。

当二次根式内的数相同的时候，可以直接计算；当二次根式内的数不相同时，只能进行合并或拆分。

3. 三角函数的定义正弦函数：sinθ = 对边/斜边余弦函数：cosθ = 临边/斜边正切函数：tanθ = 对边/临边这些是最基本的三角函数定义公式，用于描述角度和三角形的关系。

通过这些公式，可以计算任意角的正弦、余弦和正切值。

4. 同角三角函数关系sinθ = 1/cscθ，cosθ = 1/secθ，tanθ = 1/cotθ这个公式描述了同一个角度的正弦、余弦和正切函数之间的关系。

通过这个公式，可以方便地计算三角函数的值。

5. 三角函数的和差化积公式sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ这个公式用于将两个三角函数的和或差表示成乘积的形式。

它在三角恒等式的证明中非常常用。

6. 三角函数的倍角公式sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式用于将一个角的三角函数表示成两倍角的三角函数形式。

圆的解析几何方程

〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)1．点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r 点M在圆外；(2)d=r 点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，b)判别式为△，则有：(1)d＜r 直线与圆相交；(2)d=r 直线与圆相切；(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；(3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)d＞k+r 两圆外离；(4)d＜k+r 两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．(3)圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N(3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程。

第一讲：求直线和圆的方程方法总结

第一讲求直线和圆的方程方法总结※求直线方程的若干方法：直线是数学中最常见的图形,直线方程数学中最常用方程,该知识点与其他知识点的融合是最紧密的,考查的题型和方法也多样，这里总结复习几种不同的求直线方程的方法. 【关健词】直线方程方法一、知识要点概述:1、直线的方程、方程的直线概念；2、直线方程形式（1）点斜式：直线过点00(,)x y 斜率为k ，直线方程：00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴直线；（2）斜截式：直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，直线方程：y kx b =+,它不包括垂直于x 轴直线；（3）两点式：直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，直线方程：121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线；（4）截距式：直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,直线方程：1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)的形式. 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）二、解题方法指导:1、求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解直接写出直线方程设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.（6）经过两条直线0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A 的交点的直线系方程为：λ+++111C y B x A 0)(222=++C y B x A （λ为参数）.2、具体方法有：⑴利用公式求直线方程；⑵通过直线系求直线方程；⑶借助相关点求直线方程——轨迹法； ⑷利用参数求直线方程；⑸通过分析结构求直线方程. 三、范例剖析 1、直接法例1、直线l 在y 轴上的截距为3，且倾斜角α的正弦值为45，求直线l 的方程.解：4sin 5α=，3cos 5α=±，∴直线的斜率43k =±故所求直线的方程为433y x =±+，即4390x y -+=或4390x y +-= 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法.同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在[0,)π内，从而cos α有两个解. 2、待定系数法（公式法）例2、过点P (2，1）作直线l 交y x ,正半轴于AB 两点，当||||PB PA ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.解法1：设直线l 的方程为：)0(),2(1≠-=-k x k y令y ＝0解得kx 12-=；令x ＝0，解得k y 21-=，∴A （k 12-，0），B （0，k 21-），∴||||PB PA ⋅＝)4)(11(22k k ++4248)1(4822=⨯+≥++=kk当且仅当12=k 即1±=k 时，||||PB PA ⋅取到最小值.又根据题意0<k ，∴1-=k 所以直线l 的方程为：03=-+y x方法2：由题设，可令直线l 为：1(2)y k x -=-，分别令y =0和x =0 可得21(,0)k A k-，B （0，1-2k ）.∴2221||||1(2)4(121)k PA PB k k-⋅=+-+-- 442)2(2)1(22222222==≥+=k k k k k k当且仅当12=k 即1k =±时，||PA PB ⋅取最小值4.又0k >∴k =-1，这时直线l 的方程是x +y -3=0.方法3：设直线l 方程为1=+b y a x ，l 过（2，1）点∴112=+b a ∴2-=a ab∴22||||(2)14(1)PA PB a b ⋅=-++-8)2(4)2(428)2(4)2(42222+--≥+-+-=a a a a 488=+=（以下略）.评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k ＝1的情形.引申1：过点P （2，1）作直线l 交x 轴、y 轴正方向于A 、B ，求使∆A O B 的面积最小时的直线l 的方程.yBP(2,1)O A解：设所求直线方程为x a y b +=1，则由直线l 过点P （2，1），得21100a ba b +=>>()，即b aa =-2，由b >0，得a >2，所以S a b a a a A O B∆==⋅-12122221442(2)22a a a a -+==⋅--14(2)22a a =++- 14[(2)4]22a a =-++-14]42≥= 当且仅当a a -=-242，即a b ==42，时，S AOB ∆取得最小值为4 此时所求直线方程为x y421+=，即x y +-=240 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法.这里选择了截距式方程.引申2：在本例条件下，求求直线l 在两坐标轴截距之和的最小值及其此时直线l 的方程. （参考数学试题精编P 54） 3、直线系法：直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程.例3. 求过02321=+-y x l ：与l x y 23420：--=交点且与直线440x y +-=平行的直线方程. 解：设l 1与l 2交点的直线方程为：(*)0)243()232(=--++-y x y x λ即022)43()32(=-+--++λλλy x 因为所求直线与044=-+y x 平行，所以143432λλ--=+，解得λ=-1419 将λ=-1419代入(*)，得:所求直线方程为4660x y +-= 4、相关点法:利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法.例4、求直线l x y '：--=20关于直线l x y ：330-+=的对称直线方程. 解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x ，y ）关于直线l 的对称点为()x y 00，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=++-+⋅13032230000x x yy y y x x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-=53545359535400y x y y x x ，因为()x y 00，在直线x y --=20上所以x y 0020--=，()()-+--++-=45359535453520x y x y ，即7220x y ++=5、参数法例5、直线l 经过M （0，1），且被直线1l ：x -3y +10=0和2l ：2x +y -8=0所截得的线段恰以M 为中点，求直线l 的方程．解法1.：过点M 且与x 轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y =kx +1,与已知直线1l ，2l 交于A ，B 两点，联立方程组：{{()11()3100280y kx y kx I II x y x y =+=+-+=+-=，由（I ）解得A x =731k -，由（II ）解得B x =72k +，点A 平分线段AB ， 2A B M x x x ∴+=即：731k -+72k +=0，解得14k =-，故所求直线的方程为：x +4y -4=0.解法2：设l 交1l 于A （3t -10，t ），l 交2l 于B （u ，8－2u ），利用中点坐标公式得： ∴31002822t u t t u -+=⎧⇒=⎨+-=⎩ , ∴A （-4，2）由直线方程的两点式可得，直线l 的方程为：102140y x --=---，即x +4y -4=0. 解法3：设l 与已知直线1l ，2l 交于A ，B 两点，点 A （3t -10，t ）在直线1l 上，则由中点坐标公式得A 关于M （0，1）的对称点B （10-3t ，2- t ），点B 在直线2l 上，∴2(103)(2)802t t t -+--=⇒=，以下同解法2，此处略. 解法4. 设所求直线方程为y =kx +1,代入方程（x -3y +10）·（ 2x +y -8）=0得：()()22253287490k k x k --++-=，同解法1设所求直线与已知直线1l ，2l交于A ，B 两点，由题意：2287253A B k x x k k++=---=2M x =0，可得：14k =-，故所求直线的方程为：x +4y -4=0. 注意：本题所求直线过点M （0，1），故只要设出直线方程的点斜式，由题中另一条件即可确定斜率，思路顺理成章.但是想在解题过程中不断地提高自己的逻辑思维能力以及分析问题，解决问题的能力，还应联系题中已知条件和相关知识，看能否找到新的解法，如解法2，解法3，而解法4在学习了后续知识后会有更深刻的体会. 6、结构分析法：例6、已知两直线l 1:a 1x +b 1y +1=0和l 2：a 2x +b 2y +1=0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1）、Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.解：∵P （2，3）在已知直线上，2a 1+3b 1+1=0，2a 2+3b 2+1=0.∴2（a 1－a 2）+3（b 1－b 2）=0，即2121a a b b --=－32.∴所求直线方程为y －b 1=－32（x －a 1），∴2x +3y －（2a 1+3b 1）=0，即2x +3y +1=0. 评述：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.解法2：将l 1与l 2的交点P （2，3）代入l 1与l 2的方程，得11222310,230a b a b ++=+=，根据以上两式的结构特点易知：点与Ba b ()22，的坐标都适合方程2x +3y +1=0故经过点A 、B 的直线l 的方程为x y +=23练习：若两条直线33222111=+=+y b x a l y b x a l ：，：相交于点P （1，2），试求经过点Aa b ()11，与)(22b a B ，的直线方程.解：将l 1与l 2的交点P （1，2）代入l 1与l 2的方程，得3211=+b a ，a b 2223+=根据以上两式的结构特点易知：点与Ba b ()22，的坐标都适合方程xy +=23 故经过点A 、B 的直线l 的方程为x y +=23巩固练习：1、过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l x y 1220：--=和l x y 230：++=之间的线段AB 恰被P 点平分，求此直线方程.解：设所求直线分别与l l 12、交于A 、B ，因为A 在l 1直线上，故可设A t t ()，22- 又P （3，0）为AB 的中点，由中点坐标公式，得B t t ()622--，由B 在l 2上，得03)22()6(=+-+-t t ，解得，即A ()113163，由两点式得所求直线方程为0248=--y x .2、一直线被两直线1l ：064=++y x ，2l ：0653=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.解：设所求直线与1l ，2l 的交点分别是A 、B ，设A (00,y x ），则B 点坐标为(00,y x --)因为A 、B 分别在1l ，2l 上，所以⎩⎨⎧=-+-=++06530640000y x y x ②①①＋②得：0600=+y x ，即点A 在直线06=+y x 上，又直线06=+y x 过原点，所以直线l 的方程为06=+y x .3、求过点P （2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3x －2y ＝0 若截距不为0，则设直线方程为ay a x +＝1 将点P （2，3）代入得aa 32+＝1，解得a ＝5 ∴直线方程为55yx +＝1，即x ＋y ＝5. 4、直线方程0=++C By Ax 的系数A 、B 、C 满足什么关系时，这条直线有以下性质? (1)与两条坐标轴都相交；(2)只与x 轴相交;(3)只与y 轴相交； (4)是x 轴所在直线；(5)是y 轴所在直线.答：(1)当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交. (2)当A ≠0，B =0时，直线只与x 轴相交. (3)当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.(4)当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线. (5)当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.5、求与直线l ：5x -12y +6=0平行且到l 的距离为2的直线的方程.解：设所求直线的方程为5x -12y +c =0.在直线5x -12y +6=0上取一点P 0（0，21），点P 0到直线5x -12y +c =0的距离为：d =136)12(5211222-=-++⨯-c c ，由题意得136-c =2.所以c =32或c =-20.所以所求直线的方程为5x -12y +32=0和5x -12y -20=0. ※求圆方程的若干方法一、知识要点总结： 1、圆的方程形式：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=>＋－， ⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤.⑷()()1122,,,A x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--= 2方法总结：求圆方程的主要方法是待定系数法，也经常数形结合来确定.例1、圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________ （答：22(1)1x y ++=）；例2、圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ）；例3（以下各题参考数学精编p 63）求过两圆22(3)13x y ++=和22(3)37x y ++=交点，且圆心在直线y =x -4上的圆的方程.例4、求圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点A （2，-1）的圆的方程.例5、圆心在直线y =2x -7上的圆C 与y 轴交于点A （0，-4），B （0，-2），求圆的方程.例6、半径为1的圆分别与y 轴正半轴和射线()30y x =≥相切，求圆的方程.例7、设圆方程满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1；③圆心到直线l：x-2y=0，求该圆的方程.。

直线与圆的方程典型例题

解析几何中，直线与圆方程的应用可以帮助我们研究几何图形的性质和特征
解析几何中，直线与圆方程的应用可以用于解决实际生活中的问题，如测量、绘图和计算等
实际生活中的应用
交通路径规划：利用直线与圆的方程，可以计算出最短或最安全的行驶路径。
建筑设计：在建筑设计时，可以利用直线与圆的方程来计算出最佳的设计方案，以满足建筑的功能和美观要求。
范围。
直线的一般式方程：通过已知直线的一般式方程，推导出直线的斜截式方程，并说明其应用范围。
圆的方程的变形与拓展
圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆的标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆的一般方程的变形：通过移项、合并同类项等操作，将一般方程转化为标准方程或参数方程
圆的参数方程：通过引入参数t，将圆的方程转化为参数方程，方便进行参数化处理和求解相关问题
直线与圆相离的条件：圆心到直线的距离大于圆的半径
直线与圆交点求解的变形与拓展
变形：将直线方程代入圆方程，得到一元二次方程，解得交点坐标拓展：利用韦达定理，求出交点坐标之间的关系，进而得到弦长、面积等几何量Leabharlann 感谢观看汇报人：XX
直线与圆的交点求解
联立方程法：通过将直线方程与圆方程联立，消元求解交点坐标
几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，判断交点个数，并求解交点坐标
参数方程法：利用参数方程表示直线和圆的方程，通过消参法求解交点坐标
代数法：通过代入法求解交点坐标
03
直线与圆方程的应用
几何图形中的应用
点斜式方程：知道直线上的一点 (x1, y1)和直线的斜率k，则直线方程为y-y1=k(x-x1)

圆的两点式方程

圆的两点式方程1 圆的两点式方程已知一个圆直径的两端点分别是1122(,)(,)A x y B x y 、，则圆的方程是1212()()()()0x x x x y y y y --+--=.证明：设点(,)P x y 是圆上除,A B 外任意一点，则2APB π∠=,即0PA PB =,所以1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，易证,A B 两点也适合该方程.方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=给出了圆的方程的一种形式，因为只涉及到直径两端点，因此该方程可定义为圆的两点式方程；圆的两点式方程形式简洁对称，更好地反映了圆的一些特征，下面通过实例谈谈该方程的应用.2 圆的两点式方程的直接应用例1 已知两点12(49)(6,3)M M ，，,求以12M M ，为直径的圆的方程. 解由圆的两点式方程得(4)(6)(9)(3)0x x y y --+--=，化简得22+1012510x y x y ---=.3 圆的两点式方程的变式应用圆的两点式方程实质上也可以解决以直线与二次曲线相交的弦为直径的圆的问题. 将方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=变形可得：2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=，该形式含有12121212,,,x x y y x x y y ++，而1212,,,x x y y 是直线方程与二次曲线方程联立分别消去,y x 所得方程的两根，结合韦达定理可解决以直线与二次曲线相交的弦为直径的圆的问题.例 2 设椭圆22132x y +=的左焦点、右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 的直线l 交椭圆于B A 、两点，若以AB 为直径的圆经过左焦点1F ，求直线l 的方程.解当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程：1x =，易知不合题意.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，直线方程为(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则以AB 为直径的圆的方程为2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=，因为左焦点1F 在圆上，所以 12121210(1)x x x x y y ++++=联立方程22(1),23 6.y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(32)6360k x k x k +-+-=，利用韦达定理 222212121212122226364,,[()1]323232k k x x x x y y k x x x x k k k k --+===-++=+++，代入(1)式得，2222124403232k k k k --+=++，解得212k =，,22k k ==-，当2k =时，直线l 20,y -=当k =l 20.y +-= 4 圆的两点式方程的拓展应用设直线(,)0f x y =与二次曲线(,)0g x y =相交于1122(,)(,)A x y B x y 、两点.由(,)0,(,)0.f x yg x y =⎧⎨=⎩消去y 得，21212()0x x x x x x -++=，消去x 得，21212()0y y y x y y -++=.两式相加可得以AB 为直径的圆的方程2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=.例 3 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆交与P 和Q ，且OP OQ ⊥,||PQ =求椭圆方程. 解设椭圆方程为221(0,0)Ax By A B +=>>，1122(,),(,)P x y P x y ，由221, 1.y x Ax By =+⎧⎨+=⎩消去y 得2()210(1)A B x Bx B +++-=，消去x 得2()210(2)A B y Ay A +-+-=，两式相加可得以,P Q 为直径的圆的方程22()()2220A B x A B y Bx Ay A B ++++-++-=，由OP OQ ⊥可知原点(0,0)在圆上，即20(3)A B +-=，由1（）式得122,B x x B A B +=-=-+ 1211.2B B x x A B --==+，所以2222212121212||()()(1)[()4]PQ x x y y k x x x x =-+-=++-，代入数据化简得2102[2(1)]4B B =--，再结合(3）式解得,31,22A B ==或13,22A B ==，故所求椭圆方程为2232x y +=或2232x y +=.。

圆的切点弦方程的九种求法

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。

本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。

222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。

223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。

224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。

+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。

三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。

直线与圆的方程知识点总结

直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围：斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合：斜率都存在时：2121,b b k k ==；二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

2.2.2 圆的一般方程

2.2．2 圆的一般方程教学分析圆的一般方程是表示圆的方程的又一基本形式，本节内容研究圆的一般方程的方法与研究圆的标准方程不同，它是在学习了圆的标准方程的基础上将圆的方程展开，化成二元二次方程的形式：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，从而得出：任何一个圆的方程都可以写成这种形式，即任何一个圆的方程都可表示成关于x ，y 的二元二次方程的形式，但是，是不是任何一个关于x ，y 的形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程的曲线都表示圆呢？这就给学生留下了一个悬念．教材中讨论二元二次方程所表示的曲线运用了“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想，这种思想要求学生理解掌握．教材通过将二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋F 22＝D 2＋E 2－4F 4后，只需讨论D 2＋E 2－4F ＞0，D 2＋E 2－4F ＝0，D 2＋E 2－4F ＜0三种情况．与圆的标准方程比较可知D 2＋E 2－4F ＞0时，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．从而得出圆的一般方程的特点：(1)x 2和y 2的系数相同，不等于0；(2)没有xy 这样的二次项；(3)D 2＋E 2－4F ＞0.其中(1)和(2)是二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的必要条件，但不是充分条件，只有三条同时满足才是充要条件．同圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2含有三个待定系数a ，b ，r 一样，圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中也含有三个待定系数D ，E ，F ，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．同样可以用待定系数法求得圆的一般方程．在实际问题中，究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定．圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径，因此，对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程．如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系，通常采用圆的一般方程；当两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式，这是因为它可避免解三元二次方程组．圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长．我们知道，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，它有利于研究圆的有关性质和作图．而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中，哪些是圆的方程，哪些不是圆的方程，它们各有自己的优点，在教学过程中，应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化，尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径．要画出圆，就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程，然后才能画出曲线的形状．这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性．三维目标1．在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心、半径．2．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件，通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析、解决问题的能力．3．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法和轨迹法求圆的方程，同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力．重点难点教学重点：①圆的一般方程的代数特征．②一般方程与标准方程间的互化．③根据已知条件确定方程中的系数D ，E ，F .教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.写出圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.将圆的标准方程展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0.如果D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得到方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式．能不能说方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0所表示的曲线一定是圆呢？这就是我们本堂课的内容．提出问题①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法？②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢？③给出式子x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，请你利用配方法化成不含x 和y 的一次项的式子.④把式子(x －a )2＋(y －b )2＝r 2与x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方后的式子比较，得出x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件.⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较，看各自有什么特点？讨论结果：①以前学习过直线，我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，最后学习一般式．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的．②我们想求圆的一般方程，可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程，把标准形式展开，整理得到，也是从特殊到一般．③把式子x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. ④(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中，r ＞0时表示圆，r ＝0时表示点(a ，b )，r ＜0时不表示任何图形．因此式子⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4， (ⅰ)当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆； (ⅱ)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2； (ⅲ)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，由此得到圆的方程都能写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，它表示的曲线才是圆．因此x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F ＞0.我们把形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的方程称为圆的一般方程．⑤圆的一般方程形式上的特点：x 2和y 2的系数相同，不等于0.没有xy 这样的二次项．圆的一般方程中有三个待定的系数D ，E ，F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．应用示例例1 求过点M (－1,1)，并与已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y －3＝0同心的圆的方程．图1解：将已知圆的方程化为标准方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16，圆心C 的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r ＝|CM |＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5.所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25(如图1)．例2 求过三点O (0,0)，M 1(1,1)，M 2(4,2)的圆的方程，并求圆的半径长和圆心坐标．解：方法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由O ，M 1，M 2在圆上，则有⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0.解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，即(x －4)2＋(y ＋3)2＝52.所以圆心坐标为(4，－3)，半径为5.方法二：先求出OM 1的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，M 1M 2的中点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，再写出OM 1的垂直平分线PE 的直线方程y －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，① AB 的垂直平分线PF 的直线方程y －32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，3x ＋y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3.则点P 的坐标为(4，－3)，即为圆心．OP＝5为半径．方法三：设所求圆的圆心坐标为P (a ，b )，根据圆的性质可得|OP |＝|AP |＝|BP |，即x 2＋y 2＝(x －1)2＋(y －1)2＝(x －4)2＋(y －2)2，解之，得P (4，－3)，OP ＝5为半径．方法四：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解．把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于a ，b ，r的方程组，即⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a 2＋b 2＝r 2，(4－a )2＋(2－b )2＝r 2.解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－3，r ＝5. 所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝52，圆心坐标为(4，－3)，半径为5.点评：请同学们比较，关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程．一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．例3 已知点P (10,0)，Q 为圆x 2＋y 2＝16上一动点．当Q 在圆上运动时，求PQ 的中点M的轨迹方程．活动：学生回想求曲线方程的方法与步骤，思考讨论，教师适时点拨提示，本题可利用平面几何的知识，过中点作中线，利用中线定长可得方程，再就是利用求曲线方程的办法来求．解法一：如图2，作MN ∥OQ 交x 轴于N ，图2则N 为OP 的中点，即N (5,0)．因为|MN |＝12|OQ |＝2(定长)．所以所求点M 的轨迹方程为(x －5)2＋y 2＝4.点评：用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件，然后再将条件代数化．但在许多问题中，动点满足的几何条件较为隐蔽复杂，将它翻译成代数语言时也有困难，这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法．转移法就是一种很重要的方法．用转移法求轨迹方程时，首先分析轨迹上的动点M 的运动情况，探求它是由什么样的点控制的．解法二：设M (x ，y )为所求轨迹上任意一点Q (x 0，y 0)．因为M 是PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10＋x 02，y ＝0＋y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －10，y 0＝2y .(*) 又因为Q (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝16上，所以x 20＋y 20＝16.将(*)代入得(2x －10)2＋(2y )2＝16.故所求的轨迹方程为(x －5)2＋y 2＝4.点评：相关点法步骤：①设被动点M (x ，y )，主动点Q (x 0，y 0)．②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f 1(x 0，y 0)，y ＝f 2(x 0，y 0).(Ⅰ) ③从(Ⅰ)中解出⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝g 1(x ，y )，y 0＝g 2(x ，y ).(Ⅱ)④将(Ⅱ)代入主动点Q 的轨迹方程(已知曲线的方程)，化简得被动点的轨迹方程．这种求轨迹方程的方法也叫相关点法，以后要注意运用.变式训练已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB的中点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)．由于点B 的坐标是(4,3)且M 是线段AB 的中点，所以x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋32.于是有x 0＝2x －4，y 0＝2y －3.①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4.②把①代入②，得(2x －4＋1)2＋(2y －3)2＝4，整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1. 所以点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，半径长为1的圆. 课堂练习：P80课堂小结1．任何一个圆的方程都可以写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆．2．求圆的方程，应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关，则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标，则宜用一般方程．3．要画出圆的图像，必须要知道圆心坐标和半径，因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法．课后作业：P85习题2—2 A组第2,3题．。

圆锥曲线公式大全

圆锥曲线公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tan x x y y --==）α 2、直线方程：⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ：1x y a b+= ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0，斜率BAk -=，y 轴截距为BC -） (6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α3、直线之间的关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行：{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在，212121C C B B A A ≠=⑵垂直：{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程：过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实数R ，则直线一定过定点),(00y x ，即:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式：（1）两点间距离公式：两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=（3）两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D ) 其中圆心为(,)22D E --，半径为r =2、直线与圆的位置关系点),(00y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+ 圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+--（2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r 求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】④弦长公式：222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+-- 3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称2．双曲线焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 222122()F F c c a b ==-离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程 2a x c=±2a y c=±焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-焦点三角形面积12212tan()2MF F S b F MF θθ∆==∠021s 21y c in PF PF •=••=θ 通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ab 22焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ，即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(1)MFe e d => 范围或x a ≤-x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长实轴的长2a = 虚轴的长2b =对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：x a b y a x b y a x b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长；②弦长公式）（消　）（消x y y y y ky y k y x x x x k x x k l ]4))[(11(||11]4))[(1(1212212212212212212-++=-+=-++=-+=图形3.抛物线五、.直线与圆锥曲线的关系 1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相交?⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有2组实数解，即Δ>0.直线与椭圆相切?⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）{AB x AC x C By Ax x -=+=⇔=++2121x .x 210x 的两根方程和则有21221214)(||xx x x x x -+=-（2）{b kx y bkx y +=+=1122则有下列结论b x x k y y ++=+)(2121)(2121x x k y y -=-22121221)(bx x k x x k y y +++=③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin pAB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切；⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸112.||||FA FB P +=。

圆的一般方程

例1求过三点O(0,0), A(1,1), B(4,2)的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
y 0
A.
B .
待定系数法
x
1、用待定系数法求圆的方程的步骤： ① 根据题意，选择标准方程或一般方程； ② 根据条件列出关于a、b、r 或D、E、F 的方程组； ③ 解出a、b、r 或D、E、F 的值，代入标准方程或一般方程．
③ 圆的标准方程指出了圆心和半径，几何特征明显；一般 2 2 方程则是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显。
( D E 4 F 0)
练习1:下列方程各表示什么图形?
3 (1)2x 2 y 3x 2y 0; 8 (2)x 2 y 2 2ax b 2 0.
⑴ (x－1)2+ (y－1)2=9 ⑵ (x+3)2+(y－ 4)2=16 ⑶ (x+1)2+ (y+2)2=m2 这些圆的标准方程都能化成统一的形式： 2 2
⑴x 2 y 2 2x 2 y 7 0 x y2 Dx Ey F 0 2 ⑵x y 6x 8 y 9 0
2、方程表示圆的条件是：D2 E 2 4F 0。
3、一般方程与标准方程： ① 两种方程可以相互转化； 2
2 参数 D 、 E 、 F 。一般方程：x 2
② 标准方程中有三个参数a、b、r ；一般方程中也有三个
标准方程： x a y b r
2
2
y Dx Ey F 0
展开圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2 ，得：
x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0 不妨设：D＝－2a，E＝－2b，F＝a2+b2－r2 ，即： x2+y2+Dx+Ey+F=0

最全面的圆的方程

圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。

3、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。

圆与方程(学生版)

知识点梳理.圆的方程1、定义：平面内到一个固定点的距离等于一个固定长的点的集合叫做圆；固定点叫圆的圆心；2、圆的标准方程：()()222,0x a y b r a b r -+-=> 圆心坐标为（）,半径为3、圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>4、圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。

222cos ,sin x y r x r y r θθ+===时设5、二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：①、0≠=C A ；②、B =0；③、0422>-+AF E D .6、几种特殊位置的圆的方程7、圆的方程的求法：待定系数法：①设出圆的方程，②再根据已知条件列出关于a 、 b 、 r 或D 、E 、F 的方程组求解；③将求解出来的参数带回圆的方程4.直线与圆、圆与圆的位置关系条件方程形式圆心在原点 222r y x =+过原点 ()()2222b a b y a x +=-+- ()022≠+b a圆心在x 轴 ()()0222≠=+-r r y a x圆心在y 轴 ()()0222≠=-+r r b y x与x 轴相切 ()()222b b y a x =-+- 与y 轴相切 ()()222a b y a x =-+-与两坐标轴相切()()()0222≠==-+-b a a b y a x圆与方程复习1、直线和圆的位置关系直线方程：0=++C By Ax ，圆的标准方程：()()222r b y ax =-+-，点到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=相离相切相交图形方程观点 0<∆0=∆ 0>∆ 几何观点 r d >r d =r d <交点个数122、两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21（用两点间的距离公式求圆心距离）相离外切相交内切内含图形量的关系21r r d +>21r r d +=2121r r d r r +<<-21r r d -= 210r r d -<<公切线的条数 4 32 1 无3、圆的弦长问题设直线方程0:=++c by ax l ，圆的方程：()()22020r y y x x =-+-（1）几何法：过圆心作直线的垂线，则垂足为弦长的中点，则弦长222d r AB -=（2）代数法：解方程组()()⎩⎨⎧=-+-=++220200ry y x x c by ax 消元后可得到关于21x x +，21x x ，21y y +，21y y ，的关系式，则弦长公式()()[]21221241x x x x k AB -++=()[]212212411y y y y k -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4、切线方程的求解问题（1）过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的切线方程是200r yy xx =+（2）过圆()()222r b y a x =-+-上一点()00,y x P 的切线方程是()()()()200r b y b y a x a x =--+--（3）过圆()0402222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 上一点()00,y x P 的切线方程：220000=++∙++∙++F y y E x x D yy xx类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的典题精讲方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

两点式方程公式推导

两点式方程公式推导在咱们的数学世界里，两点式方程可是个相当重要的家伙！它就像一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多几何谜题。

今天，咱们就一起来瞅瞅这个两点式方程公式是咋推导出来的。

先来说说啥是两点式方程。

假设咱有两个点，比如说点 A(x1, y1) 和点 B(x2, y2) ，那通过这两个点的直线方程，就是咱们要说的两点式方程啦。

咱们先想想直线的斜率是咋算的。

这可得从最基础的地方说起，斜率 k 就等于（y2 - y1）/（x2 - x1）。

有了斜率，那咱们就可以试着来推导两点式方程了。

假设直线上有一个任意点 P(x, y) ，因为点 P 在这条直线上，所以从点 A 到点 P ，再从点 P 到点 B ，它们的斜率应该是一样的。

从点 A 到点 P 的斜率是（y - y1）/（x - x1），从点 P 到点 B 的斜率就是（y2 - y）/（x2 - x）。

因为这两个斜率相等，所以就有（y - y1）/（x - x1） = （y2 - y1）/（x2 - x1）。

然后把这个式子整理一下，就得到了两点式方程：（y - y1）（x2 - x1） = （x - x1）（y2 - y1）。

这就是两点式方程公式的推导过程啦，是不是感觉也没有那么难？我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一直皱着眉头，一脸苦大仇深的样子。

我就走到他旁边问他：“咋啦，这两点式方程把你难住啦？”他可怜巴巴地看着我点点头。

我就重新给他一步一步地讲，从最开始的斜率概念，到最后的公式推导。

看着他一点点明白过来，眼睛里重新有了光彩，那种成就感，真的没法形容。

其实学习数学就是这样，有时候一个小知识点可能会让人觉得头疼，但只要咱们耐下心来，一步一步地去琢磨，总能把它拿下。

这两点式方程公式也不例外，只要多做几道题，多运用运用，很快就能熟练掌握啦！所以啊，同学们，别害怕数学里的这些公式推导，勇敢地去探索，相信你们都能在数学的世界里找到属于自己的乐趣和成就！。