不定积分例题及问题详解

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不定积分的典型例题50题答案

例1．解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2dxx x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠2222242)1(1111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan 21lim 20π-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.解将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim ]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3.解令 ,2x u =再用部分分式，則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x c u u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+)1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5. 解令 ,2tant x =则=-++⎰dx xx xsin cos 1cos 1 .2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(212121111112222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6dx x x 122+⎰⎰+=22421dx x x.1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dx x x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dx x x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰ .arctan 2111ln 41c x x x ++-+= 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10．⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12x x d x dxx dx πππ.)24tan(c x +--=π 例 11c t t dt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x 例12．解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I例13． ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx x x J dx x x dx x x dx xx x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例14．)1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin )1(112arcsin1c x xxx dx xx x x ++++=+++=⎰）（分部积分例15．解令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++ .)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例16．解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='- 被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合，故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx x x x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰例17．解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c xx dt t t ++-=+--=⎰ 例18．⎰⎰+=+x xdxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos )(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例19．.)1ln(18189623266332366c x x x x x dx x x x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例20．.15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例21．.]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22．,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x xe e dx232换元后有理函数积分例24．.1arcsin arcsin 2c x x x xdx+-+=⎰分部积分例25．.)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例26．”）妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例27..)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式例28..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰例29.=++-=+⎰⎰xb x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-例30.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 1222x xx d xx x dxxx x xxdx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例31．.1212ln2211)1(22sin 22c xx xx xdxt x +---+-=-+⎰=例32．.111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例33．.313222sec 0422c x a x a dx x a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰例34dt tt t dt t t x dx tx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11 .arcsin 112c x x x x ++-+-=例35．.ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt tttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例36．.13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例37．.22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例38．.)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰ 例39．.1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例40．.)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例41．.)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x例51．求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解由配方得2,)2())((22a b R b a x R x b a x -=+--=--其中，令,2b a u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a bc t t R t R c t t R dt t R tdt R du u R t R u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例52．设)(x f 有一个原函数,sin xx 求.)(⎰'dx x f x 解用分部积分法有 (*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c x x dx x f -='+='=⇒+=⎰⎰ 代入（*）有 1sin sin cos )(c xx x x x dx x f x ---='⎰，即 .sin 2cos )(c x x x dx x f x +-='⎰。

不定积分例题与答案解析

第4章不定积分容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)⎰思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C--==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰ 思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x+-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

不定积分的例题讲解

三、典型例题解析例1 求下列不定积分．（1）．（2）1)dx ⎰．分析利用幂函数的积分公式111n n x dx x C n +=++⎰求积分时，应当先将被积函数中幂函数写成负指数幂或分数指数幂的形式．解（1）532251252121()3x dx x C x C --+-==+=-++-⎰．（2）35312222231221)(1)353dx x x x dx x x x x C =+--=+--+⎰⎰．例2求2(x dx ⎰．分析将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和．解12221((2)x dx x x dx x +=++⎰⎰12212x d x x d x d xx=++⎰⎰⎰ 32314ln 33x x x C =+++．例3 求下列不定积分．（1）2523x x x e dx ⋅-⋅⎰．（2）4223311x x dx x +++⎰．分析（1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；（2）分子分母都含有偶数次幂，将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式．解（1）22()5()2522332()5()3331ln 3ln 2ln 3x xxxx x xe e e dx dx dx C ⋅⋅⋅-⋅=-=-+--⎰⎰⎰．（2）42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰．例4 求下列不定积分．（1）24221(1)x x dx x x +++⎰．（2）421x dx x +⎰．（3）221(1)dx x x +⎰．分析根据被积函数分子、分母的特点，利用常用的恒等变形，例如：分解因式、直接拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解成几项之和即可求解．解（1）242222111(1)(1)1x x dx dx x x x x++=+-++⎰⎰ 22111dx dx dx x x =+-+⎰⎰⎰ 1a r c t a n x x Cx=--+．（2）4422(1)111x x dx dx x x -+=++⎰⎰222(1)(1)11x x dx x-++=+⎰ 221(1)1x dx dx x =-++⎰⎰C x x x ++-=arctan 313．（3）22222211(1)(1)x x dx dx x x x x +-=++⎰⎰ 22111dx dx x x =-+⎰⎰1a r c t a n x C x=--+．例5 求下列不定积分．（1）11cos2dx x +⎰．（2）cos2cos sin xdx x x-⎰．（3）2cot xdx ⎰．（4）22cos2sin cos xdx x x⎰．分析当被积函数是三角函数时，常利用一些三角恒等式，将其向基本积分公式表中有的形式转化，这就要求读者要牢记基本积分公式表．解（1）2111tan 1cos22cos 2dx dx x C x x ==++⎰⎰．（2）22cos2cos sin cos sin cos sin x x xdx dx x x x x-=--⎰⎰(cos sin )sin cos x x dx x x C =+=-+⎰．（3）22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰．（4）222222cos2cos sin sin cos sin cos x x xdx dx x x x x-=⎰⎰2211sin cos dx dx x x=-⎰⎰ 22csc sec xdx xdx =-⎰⎰cot tan x x C =--+．例6 求下列不定积分．（1）99(79)x dx -⎰．（2）12()nx ax b dx +⎰．（0a ≠）（3）232(cos )x dx x ⎰．（4）．（5）1sin(ln )x dx x ⎰．（6）211cos()dx x x⎰．（7）2cos sin 6sin 12xdxx x -+⎰．（8）．（9）．（10）2．（11）322(arctan )1x x dx x++⎰．分析这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法．解（1）999910011(79)(79)(79)(79)7700x dx x d x x C -=--=-+⎰⎰．（2）112221()()()2n n x ax b dx ax b d ax b a+=++⎰⎰12()2(1)n n n ax b C a n +=+++．（3）232(cos )x dx x ⎰333211tan 3(cos )3dx x C x ==+⎰．（4）2C ==．（5）1sin(ln )x dx x⎰sin(ln )(ln )cos(ln )x d x x C ==-+⎰．（6）211cos dx x x ⎰111cos ()sin d C x x x=-=-+⎰．（7）2cos sin 6sin 12xdxx x -+⎰2(sin 3)(sin 3)3d x C x -=-+⎰．（8）(tan )arcsin(tan )x x C ==+．（9）12[1(cot )](cot )x d x =-+⎰12cot (cot )cot d x x d x =--⎰⎰ 322cot (cot )3x x C =--+．（10）2231arcsin (arcsin )(arcsin )3xd x x C ==+⎰．（11）322(arctan )1x x dx x ++⎰3222(arctan )11x x dx dx x x =+++⎰⎰ 32221(1)(a r c t a n )(a r c t a n )21d x x d x x+=++⎰⎰ 52212ln(1)(arctan )25x x C =+++．注用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验的积累．而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径．因此需要牢记基本积分公式，这样凑微分才会有目标．下面给出常见的12种凑微分的积分类型．（1）11()()()(0)n n n n f ax b x dx f ax b d ax b a na-+=++≠⎰⎰；（2）1()()ln x x x x f a a dx f a da a=⎰⎰；（3）(sin )cos (sin )(sin )f x xdx f x d x =⎰⎰；适用于求形如21sin cos m n x xdx +⎰的积分，（,m n 是自然数）．（4）(cos )sin (cos )(cos )f x xdx f x d x =-⎰⎰；适用于求形如21sin cos m n x xdx -⎰的积分，（,m n 是自然数）．（5）2(tan )sec (tan )(tan )f x xdx f x d x =⎰⎰；适用于求形如2tan sec m n x xdx ⎰的积分，（,m n 是自然数）．（6）2(cot )csc (cot )(cot )f x xdx f x d x =-⎰⎰；适用于求形如是2cot csc m n x xdx ⎰的积分，（,m n 是自然数）．（7）1(ln )(ln )ln f x dx f x d x x=⎰⎰；（8）(arcsin (arcsin )(arcsin )f x f x d x =⎰⎰；（9）(arccos (arccos )(arccos )f x f x d x =-⎰⎰；（10）2(arctan )(arctan )(arctan )1f x dx f x d x x =+⎰⎰；（11）2(cot )(cot )(cot )1f arc x dx f arc x d arc x x =-+⎰⎰；（12）()1(())()()f x dx d f x f x f x '=⎰⎰；例７求下列函数的不定积分：（1）3cos xdx ⎰．（2）4sin xdx ⎰．（3）sin 7cos(3)4x x dx π-⎰．（4）6csc xdx ⎰．（5）34sin cos x xdx ⎰．（6）35sec tan x xdx ⎰．分析在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，主要思路就是利用三角恒等式把被积函数化为熟知的积分，通常会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化和差公式等．解（1）被积函数是奇次幂，从被积函数中分离出cos x ，并与dx 凑成微分(sin )d x ，再利用三角恒等式22sin cos 1x x +=，然后即可积分．322cos cos (sin )(1sin )(sin )xdx xd x x d x ==-⎰⎰⎰2sin sin sin d x xd x =-⎰⎰31sin sin 3x x C =-+．（2）被积函数是偶次幂，基本方法是利用三角恒等式21cos2sin 2xx -=，降低被积函数的幂次．421cos2sin ()2x xdx dx -=⎰⎰311(cos2cos4)828x x dx =-+⎰311sin 2sin 48432x x x C =-++．（3）利用积化和差公式将被积函数化为代数和的形式．1sin7cos(3)[sin(4)sin(10)]4244x x dx x x dx πππ-=++-⎰⎰ 11sin(4)(4)sin(10)(10)8442044x d x x d x ππππ=+++--⎰⎰ 11cos(4)cos(10)84204x x C ππ=-+--+．（4）利用三角恒等式22csc 1cot x x =+及2csc (cot )xdx d x =-．622222csc(csc )csc (1cot )(cot )xdx x xdx x d x ==-+⎰⎰⎰24(12cot cot )cot x x d x =-++⎰3521cot cot cot 35x x x C =---+．（5）因为322sin sin (sin )sin (cos )xdx x xdx xd x ==-，所以3424sincos sin cos (cos )x xdx x xd x =-⎰⎰24(1cos )cos (cos )x xd x =--⎰46cos (cos )cos (cos )xd x xd x =-+⎰⎰5711cos cos 57x x C =-++．（6）由于sec tan (sec )x xdx d x =，所以3524sectan sec tan (sec )x xdx x xd x =⎰⎰222sec (sec 1)(sec )x x d x =-⎰642(sec 2sec sec )(sec )x x x d x =-+⎰ 753121sec sec sec 753x x x C =-++．注利用上述方法类似可求下列积分3sinxdx ⎰、2cos xdx ⎰、cos3cos2x xdx ⎰、6sec xdx ⎰、25sin cos x xdx ⎰，请读者自行完成．例８求下列不定积分：（1）x x dx e e -+⎰．（2）x x dx e e --⎰．（3）11x dx e+⎰．分析可充分利用凑微分公式：x x e dx de =；或者换元，令x u e =．解（1）xx dx e e -+⎰221arctan ()1()1x x xx x e dx de e C e e ===+++⎰⎰．（2）解法1 xxdxe e--⎰221()1()1x x x x e dx de e e ==--⎰⎰, 然后用公式2211ln 2x adx C x a a x a-=+-+⎰，则 x x dxe e --⎰11ln 21x x e C e -=++．解法2 x xdx e e--⎰21111()()1211xx x x x de de e e e ==---+⎰⎰ 1(1)(1)()211x x x x d e d e e e -+=--+⎰⎰ 11ln 21x x e C e -=++．（3）解法1 11x dx e +⎰1(1)11x x x x xe e e dx dx e e +-==-++⎰⎰ 1(1)1x xdx d e e=-++⎰⎰ ln(1)x x e C =-++．解法2 11xdx e +⎰(1)ln(1)11x x x xx e d e dx e C e e -----+==-=-++++⎰⎰．解法３令x u e =，x du e dx =，则有11x dx e +⎰1111()ln()111udu du C u u u u u=⋅=-=++++⎰⎰ ln()ln(1)1x xxe C e C e -=+=-+++．注在计算不定积分时，用不同的方法计算的结果形式可能不一样，但本质相同．验证积分结果是否正确，只要对积分的结果求导数，若其导数等于被积函数则积分的结果是正确的．例9 求下列不定积分：（1）ln tan sin cos xdx x x ⎰．（2）．分析在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分．解（1）2ln tan ln tan sin cos tan cos x xdx dx x x x x=⎰⎰ ln tan (tan )ln tan (ln tan )tan xd x xd x x==⎰⎰ 21ln (tan )2x C =+．（2）2=22a r c (a n r c t a n )C ==+⎰．例10 求21arctan1x dx x +⎰．分析若将积分变形为1arctan (arctan )d x x ⎰，则无法积分，但如果考虑到凑出1x，将被积函数变形为221arctan 111()x x x⋅+，再将21x 与dx 结合凑成1()d x -，则问题即可解决．解2222111arctan arctan arctan11()1111()1()x x x dx dx d x x x x x =⋅=-+++⎰⎰⎰11arctan (arctan )d x x=-⎰211(arctan )2C x=-+．例11 求21ln (ln )xdx x x +⎰．分析仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知(ln )1ln x x x '=+．解 221ln 11(ln )(ln )(ln )ln x dx d x x C x x x x x x+==-+⎰⎰．例12（04研）已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()_________f x =．分析先求()f x '，再求()f x ．解令x e t =，即ln x t =，从而ln ()tf t t'=．故 2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x C x ===+⎰⎰，由(1)0f =，得0C =，所以21()ln 2f x x =．例13求sin 22sin dxx x+⎰．分析被积函数为三角函数，可考虑用三角恒等式，也可利用万能公式代换．解法１ sin 22sin dx x x+⎰3122sin (cos 1)4sin cos 22x d dx x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭==+⎰⎰ 22tan 1tan 1122tan 442tan cos tan222x x d x d x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎰⎰ 211tan ln tan 8242x xC =++．解法2 令cos t x =，则 sin 22sin dxx x +⎰2sin 2sin (cos 1)2sin (1cos )dx xdx x x x x ==++⎰⎰212(1)(1)dt t t=--+⎰21112811(1)dt t t t ⎛⎫=-++ ⎪-++⎝⎭⎰ 12(ln |1|ln |1|)81t t C t =--++++ 111ln(1cos )ln(1cos )884(1cos )x x C x =--++++．解法３令tan 2x t =，则22sin 1t x t =+，221cos 1t x t -=+，221dx dt t =+，则sin 22sin dxx x +⎰21111ln ||484t dt t t C t ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⎰ 211tan ln |tan |8242x xC =++．例14求分析被积函数含有根式，一般先设法去掉根号，这是第二类换元法最常用的手段之一．解t ，即21x t =-，2dx tdt =，则212(1)11t dt dt t t==-++⎰⎰ 22ln 1t t C =-++2ln(1C =+例15求分析被积函数中有开不同次的根式，为了同时去掉根号，选取根指数的最小公倍数．解t ，34dx t dt =-，则2414(1)11tdt t dtt t-==--+++⎰⎰214(l n1)2t t t C=--+++ln(1)]C=-++．例16解t=，即3211xt=--，2326(1)tdx dtt=-，则233232164(1)(1)tdtt ttt==⋅-⋅-⎰132313131()2221xdt C Ct t x+==-⋅+=-+-⎰．例17求x⎰．分析2sinx t=消去根式．解2cos(0)2t tπ=<<，2cosdx tdt=，则224sin2cos2cos4sin2x t t tdt t dt=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰12(1cos4)2sin42t dt t t C=-=-+⎰222sin cos(12sin)t t t t C=--+212arcsin)22xx C=-+．注1 对于三角代换，在结果化为原积分变量的函数时，常常借助于直角三角形．注2在不定积分计算中，为了简便起见，一般遇到平方根时总取算术根，而省略负平方根情况的讨论．对三角代换，只要把角限制在0到2π，则不论什么三角函数都取正值，避免了正负号的讨论．例18求221(1)dxx+⎰．分析虽然被积函数中没有根式，但不能分解因式，而且分母中含有平方和，因此可以考虑利用三角代换，将原积分转换为三角函数的积分．解设tanx t=，2secdx tdt=，()2241secx t+=，则222241seccos(1)sectdx dt tdtx t==+⎰⎰⎰111(1c o s 2)s i n 2224t d t t t C =+=++⎰ 21a r c t an 22(1)xx C x =+++．例19求．分析故作代换sec x a t =，将被积函数化成三角有理式．解令sec x a t =，sec tan dx a t tdt =⋅，则22tan sec tan tan (sec 1)sec a ta t tdt a tdt a t dt a t=⋅⋅==-⎰⎰⎰ (tan )a t t C =-+arccos )aa C x=-+．例20求．解由于2248(2)4x x x ++=++，故可设22tan x t +=，22sec dx tdt =，2(2tan 2)2sec 2sec tan 2sec 2sec t t dt t tdt tdt t -⋅==-⎰⎰⎰12s e c 2l n s ec t a n t t t C =-++2ln(2x C ++．()12ln 2C C =+ 注由00a a ><可作适当的三角代换，使其有理化．例21求．解322[3(1)]dx x =+-⎰，令1x t -，则322321sec 11cos sin 3sec 33[3(1)]dxt dt tdt t C t x ===++-⎰⎰⎰C +．故C =+．例22 求421(1)dx x x +⎰．分析当有理函数的分母中的多项式的次数大于分子多项式的次数时，可尝试用倒代换．解令1x t=，21dx dt t =-，于是421(1)dx x x +⎰44221111t t dt dt t t --+==-++⎰⎰221(1)1t dt dt t =---+⎰⎰31arctan 3t t t C =--+3111arctan 3C x x x=--+．注有时无理函数的不定积分当分母次数较高时，也可尝试采用倒代换，请看下例．例23求．解设1x t=，2dtdx t =-，则4t =1222(1)a t t dt =--⎰．当0x >时，12222221(1)(1)2a t d a t a=---⎰ 32222(1)3a t C a -=-+322223()3a x C a x -=-+．当0x <时，有相同的结果．故322223()3a x C a x -=-+．注1 第二类换元法是通过恰当的变换，将原积分化为关于新变量的函数的积分，从而达到化难为易的效果，与第一类换元法的区别在于视新变量为自变量，而不是中间变量．使用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的变量代换．注2 用第二类换元积分法求不定积分，应注意三个问题：（1）用于代换的表达式在对应的区间内单调可导，且导数不为零．（2）换元后的被积函数的原函数存在．（3）求出原函数后一定要将变量回代．注3 常用的代换有：根式代换、三角代换与倒代换．根式代换和三角代换常用于消去被积函数中的根号，使其有理化，这种代换使用广泛．而倒代换的目的是消去或降低被积函数分母中的因子的幂．注4 常用第二类换元法积分的类型：（1）(,f x dx t ⎰令（2）(,f x dx t =⎰令．（3）(f x dx ⎰，可令sin ax t b=或cos a x t b =．（4）(f x dx ⎰，可令tan a x t b =或ax sht b =．（5）(f x dx ⎰，可令sec a x t b =或ax cht b=．（6240)q pr -<时，利用配方与代换可化为以上（3），（4），（5）三种情形之一．（7）当被积函数分母中含有x 的高次幂时，可用倒代换1x t=．例24 求下列不定积分：（1）3x xe dx -⎰．（2）2sin 4x xdx ⎰．（3）2ln x xdx ⎰．（4）arcsin xdx ⎰．（5）arctan x xdx ⎰．（6）sin ax e bxdx ⎰22(0)a b +≠．分析上述积分中的被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数中的某两类函数的乘积，适合用分部积分法．解（1）3x xe dx -⎰33333111()33339xx x x x x x xd e e e dx e e C -----=-=-+=--+⎰⎰．（2）2sin 4x xdx ⎰2211(cos4)cos4cos4442x x d x x x xdx =-=-+⎰⎰22111cos4(sin 4)cos4sin 4sin 448488x x x xd x x x x xdx =-+=-+-⎰⎰211cos4sin 4cos44832x x x x x C =-+++．（3）2ln x xdx ⎰3333211ln ()ln ln 33339x x x xd x x x dx x C ==-=-+⎰⎰．（4）解法1 arcsin xdx ⎰arcsin arcsin x x x x C =-=．解法2 令arcsin t x =，即sin x t =，则arcsin (sin )sin sin sin cos xdx td t t t tdt t t t C ==-=++⎰⎰⎰arcsin x x C =+（5）解法1 a r c t a n x x d x ⎰222211arctan arctan 2221x x xdx x dx x==-+⎰⎰ 2211arctan (1)221x x dx x =--+⎰ 21arctan arctan 222x x x x C =-++．解法221arctan arctan (1)2x xdx xd x =+⎰⎰ 22111arctan arctan 2222x x xx dx x C ++=-=-+⎰．（6）解法1 sin ax e bxdx ⎰11sin ()sin cos ax ax ax bbxd e e bx e bxdx a a a==-⎰⎰21s i n c o s ()a x a xbe b x b x d ea a=-⎰2221sin cos sin ax ax axb b e bx e xbx e bxdx a a a=--⎰ 从而21221(1)sin sin cos ax ax ax b be bxdx e bx e bx C a a a+=-+⎰，则221sin (sin cos )ax axe bxdx e a bx b bx C a b =-++⎰．解法21sin cos axaxebxdx e d bx b =-⎰⎰，然后用分部积分，余下的解答请读者自行完成．注在用分部积分法求()f x dx ⎰时关键是将被积表达式()f x dx 适当分成u 和dv 两部分．根据分部积分公式udv uv vdu =-⎰⎰，只有当等式右端的vdu 比左端的udv 更容易积出时才有意义，即选取u 和dv 要注意如下原则：（1）v 要容易求；（2）vdu ⎰要比udv ⎰容易积出．例25 求cos ln(cot )x x dx ⎰．分析被积函数为三角函数与对数函数的乘积，可采用分部积分法．解cos ln(cot )ln(cot )(sin )x x dx x d x =⎰⎰21sin ln(cot )sin (csc )cot x x x x dx x=⋅-⋅⋅-⎰ sin ln(cot )sec x x xdx =⋅+⎰sin ln(cot )ln sec tan x x x x C =+++例26 求ln(x dx +⎰．分析被积函数可以看成是多项式函数与对数函数的乘积，可采用分部积分法．解1ln(ln((12x dx x x x dx +=-+⎰⎰ln(x x =+-12221ln((1)(1)2x x x d x -=-++⎰ln(x x C =．例27 求x ．分析可利用凑微分公式x x e dx de =，然后用分部积分；另外考虑到被积函数中含有根式，也可用根式代换．解法1x 2x xd ==⎰2⎡⎤=⎣⎦，令t ，则2ln(1)x t =+，221tdtdx t =+，则 21222(arctan )1t dtt t C t ==-++⎰，故x (2Cz =+2C =．解法2tz =，则x22222ln(1)2ln(1)41t t dt t t dt t =+=+-+⎰⎰ 22ln(1)44arctan t t t t C =+-++2C =．注求不定积分时，有时往往需要几种方法结合使用，才能得到结果．例28（01研）求2arctan xxe dx e⎰．分析被积函数是指数函数和反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法．解法1 2arctan x xe dx e ⎰222211arctan ()arctan 22(1)x x x x xx x de e d e e e e e --⎡⎤=-=--⎢⎥+⎣⎦⎰⎰ 21arctan arctan 2x x x xe e e e C --⎡⎤=-+++⎣⎦．解法2 先换元，令x e t =，再用分部积分法，请读者自行完成余下的解答．例29 求3csc xdx ⎰．分析被积函数含有三角函数的奇次幂，往往可分解成奇次幂和偶次幂的乘积，然后凑微分，再用分部积分法．解32csc csc (csc )csc (cot )xdx x x dx xd x ==-⎰⎰⎰ 2csc cot cot csc x x x xdx =--⋅⎰ 3csc cot csc csc x x xdx xdx =--+⎰⎰ 3csc cot csc ln csc cot x x xdx x x =--+-⎰，从而31csc (csc cot ln csc cot )2xdx x x x x C =---+⎰．注用分部积分法求不定积分时，有时会出现与原来相同的积分，即出现循环的情况，这时只需要移项即可得到结果．例30 求下列不定积分：（1）22221(1)x x x e dx x ---⎰．（2）2ln 1(ln )x dx x -⎰．解（1）2222222112(1)1(1)xx xx x xdx e dx e dx e x x x --=----⎰⎰⎰ 221()11x x e dx e d x x =+--⎰⎰ 22221111x x x x e e e e dx dx C x x x x =+-=+----⎰⎰．（2）22ln 111(ln )ln (ln )x dx dx dx x x x -=-⎰⎰⎰ 221ln (ln )(ln )x x dx dx x x x x =+-⎰⎰ ln xC x=+．注将原积分拆项后，对其中一项分部积分以抵消另一项，或对拆开的两项各自分部积分后以抵消未积出的部分，这也是求不定积分常用的技巧之一．例31 求sin(ln )x dx ⎰．分析这是适合用分部积分法的积分类型，连续分部积分，直到出现循环为止．解法1 利用分部积分公式，则有1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰ s i n (l n )c o s (l n x x xd x =-⎰s i n (l n )c o s (l n )s i n (x x xx x d x =--⎰，所以1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x C =-+⎰．解法２令 ln x t =，t dx e dt =，则sin(ln )x dx ⎰=sin sin sin sin cos sin t t t t t t e tdt e t e tdt e t e t e tdt =-=--⎰⎰⎰，所以11sin(ln )(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t tx dx e t e t C x x x C =-+=-+⎰．例32 求ln n n I xdx =⎰，其中n 为自然数．分析这是适合用分部积分法的积分类型．解 11ln ln ln ln n n n n n n I xdx x x n xdx x x nI --==-=-⎰⎰，即1ln n n n I x x nI -=-为所求递推公式．而1ln ln ln I xdx x x dx x x x C ==-=-+⎰⎰．注1 在反复使用分部积分法的过程中，不要对调u 和v 两个函数的“地位”，否则不仅不会产生循环，反而会一来一往，恢复原状，毫无所得．注2 分部积分法常见的三种作用：（1）逐步化简积分形式；（2）产生循环；（3）建立递推公式．例33 求积分24411(21)(23)(25)x x dx x x x +--+-⎰．分析计算有理函数的积分可分为两步进行，第一步：用待定系数法或赋值法将有理分式化为部分分式之和；第二步：对各部分分式分别进行积分．解用待定系数法将24411(21)(23)(25)x x x x x +--+-化为部分分式之和．设24411(21)(23)(25)212325x x A B Cx x x x x x +-=++-+--+-，用(21)(23)(25)x x x -+-乘上式的两端得24411(23)(25)(21)(25)(21)(23)x x A x x B x x C x x +-=+-+--+-+，两端都是二次多项式，它们同次幂的系数相等，即131155311A B C A B C A B C ++=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=-⎩，这是关于A ，B ，C 的线性方程组，解之得12A =，14B =-，34C =．由于用待定系数法求A ，B ，C 的值计算量大，且易出错，下面用赋值法求A ，B ，C ．因为等式24411(23)(25)(21)(25)(21)(23)x x A x x B x x C x x +-=+-+--+-+是恒等式，故可赋予x 为任何值．令 12x =，可得12A =．同样，令32x =-得14B =-，令52x =，得34C =，于是 24411(21)(23)(25)x x dx x x x +--+-⎰111131221423425dx dx dx x x x =-+-+-⎰⎰⎰113ln 21ln 23ln 25488x x x C =--++-+ 231(21)(25)ln 823x x C x --=++．例34 求321452dx x x x +++⎰．解 32452x x x +++是三次多项式，分解因式32322452()3()2(1)x x x x x x x x +++=+++++ 22(1)(32)(1)(2)x x x x x =+++=++ 设221(1)(2)21(1)A B Cx x x x x =+++++++，即2()(23)(22)1A B x A B C x A B C +++++++=，从而0230221A B A B C A B C +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1A =，1B =-，1C =，因此3221111()45221(1)dx dx x x x x x x -=++++++++⎰⎰ 211121(1)dx dx dx x x x =-++++⎰⎰⎰ 1ln 2ln 11x x C x =+-+-++．例35 求22(1)(1)dxx x x +++⎰．解因为222211(1)(1)11x x x x x x x x -+=+++++++，所以22221()(1)(1)11dx x x dx x x x x x x -+=+++++++⎰⎰222221(1)1(1)1212121d x d x x dxx x x x x +++=-+++++++⎰⎰⎰ 2221()1112ln(1)ln(1)13222()24d x x x x x +=-+++++++⎰2211ln 21x C x x +=-++++．例36 求2425454x x dx x x ++++⎰．解设24222545414x x Ax B Cx Dx x x x ++++=+++++，则有 23254()()(4)4x x A C x B D x A C x B D ++=+++++++，比较两边同次幂的系数，解得53A =，1B =，53C =-，0D =，从而 24222541535543134x x x xdx dx dx x x x x +++=-++++⎰⎰⎰2222255151ln arctan 3134164x x x dx dx dx x C x x x x +=-+=++++++⎰⎰⎰．例37 求322456x x dx x x +++⎰．分析 322456x x x x +++是假分式，先化为多项式与真分式之和，再将真分式分解成部分分式之和．解由于32224615656x x x x x x x x +-=--++++ 98132x x x =--+++，则 322498(1)5632x x dx x dx x x x x +=--+++++⎰⎰ 219ln 38ln 22x x x x C =--++++．例38 求5632x dxx x --⎰．解令3u x =，23du x dx =，则533636321()123232x dx x d x udux x x x u u ==------⎰⎰⎰ 1112()3(1)(2)912u du du u u u u ==++-+-⎰⎰332121ln 1ln 2ln (1)(2)999u u C x x C =++-+=+-+．例39 求2100(1)x dx x -⎰．分析被积函数2100(1)x x -是有理真分式，若按有理函数的积分法来处理，那么要确定1A ，2A ，…，100A ，比较麻烦．根据被积函数的特点：分母是x 的一次因式，但幂次较高，而分子是x 的二次幂，可以考虑用下列几种方法求解．解法1 令1x t -=，dx dt =-，则222100100100(1)21(1)x t t t dx dt dt x t t --+=-=--⎰⎰⎰98991002t dt t dt t dt ---=-+-⎰⎰⎰9798991112979899t t t C ---=-⋅++ 979899111(1)(1)(1)974999x x x C ---=---+-+．解法2 22100100(1)1(1)(1)x x dx dx x x -+=--⎰⎰9910011(1)(1)x dx dx x x +=-+--⎰⎰ 99100(1)21(1)(1)x dx dx x x --=+--⎰⎰ 98991001112(1)(1)(1)dx dx dx x x x =-+---⎰⎰⎰ 979899111(1)(1)(1)974999x x x C ---=---+-+．解法3 用分部积分法．22991001[(1)](1)99x dx x d x x -=--⎰⎰29999299(1)99(1)x x dx x x =---⎰2989921[(1)]99(1)9998x xd x x -=---⎰ 299989821[]99(1)9998(1)98(1)x x dx x x x =-----⎰ 299989712199(1)9949(1)999897(1)x x C x x x =-⋅-⋅+--⋅-．注形如()()P x Q x 的（()P x 与()Q x 均为多项式）有理函数的积分关键是将有理真分式分解成部分分式之和，而部分分式都有具体的积分方法，对于假分式则要化为真分式与多项式之和．例40求．分析这是无理函数的积分，先要去掉根号化为有理函数的积分，分子分母有理化是常用去根号的方法之一．解121)=112211(32)(21)44x dx x dx =+--⎰⎰ 332211(32)(21)1212x x C =+--+．例41求．解法1a ==+1222221()()2a a x d a x -=---⎰arcsin xa C a=．解法2 令t =余下的请读者自行完成．例42 求154sin 2dx x+⎰．分析被积函数是三角有理函数，可用万能公式将它化为有理函数．解令tan t x =，211dx dt t=+，则 21154sin 2585dx dt x t t =+++⎰⎰54332543311()3()1d t t =+++⎰ 154arctan()333t C =++154arctan(tan )333x C =++．注虽然万能代换公式总能求出积分，但对于具体的三角有理函数的积分不一定是最简便的方法．通常要根据被积函数的特点，采用三角公式简化积分．例43 求1sin cos dxx x++⎰．解法1 令tan2xu =，则 2222211211sin cos 1111dx u du du u u x x u u u +==-+++++++⎰⎰⎰ln 1tan 2x C =++．解法21s i n c o s dxx x ++⎰22122sin cos 2cos cos (1tan )22222dx dxx x x x x ==++⎰⎰ 2()(tan )22cos (1tan )1tan222x x d d x x x==++⎰⎰ ln 1tan2xC =++．注可化为有理函数的积分主要要求熟练掌握如下两类：第一类是三角有理函数的积分，即可用万能代换tan 2xu =将其化为u 的有理函数的积分．第二类是被积函数的分子或分母中带有根式而不易积出的不定积分．对于这类不定积分，可采用适当的变量代换去掉根号，将被积函数化为有理函数的积分．常用的变量代换及适用题型可参考前面介绍过的第二类换元法．例44 求2max{,1}x dx ⎰．分析被积函数2max{,1}x 实际上是一个分段连续函数，它的原函数()F x 必定为连续函数，可先分别求出各区间段上的不定积分，再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系．解由于221,()max{,1}1,1x x f x x x >⎧==⎨≤⎩，设()F x 为()f x 的原函数，则312331,13(),11,13x C x F x x C x x x C ⎧+⎪<-⎪=+≤⎨⎪>⎪+⎩，其中1C ，2C ，3C 均为常数，由于()F x 连续，所以121(1)(1)13F C F C -+-=-+=-=-，231(1)1(1)3F C F C -+=+==+，于是1223C C =-+，3223C C =+，记 2C C =，则32312,133max{,1},112,133x C x x dx x C x x x C⎧-+⎪<-⎪=+≤⎨⎪>⎪++⎩⎰．注对于一些被积函数中含有绝对值符号的不定积分问题，也可以仿照上述方法处理．例45 求x e dx -⎰．解当0x ≥时，1xx xe dx e dx e C ---==-+⎰⎰．当0x <时，2xx x edx e dx e C -==+⎰⎰．因为函数x e -的原函数在(,)-∞+∞上每一点都连续，所以120lim()lim()x x x x e C e C +--→→-+=+，即1211C C -+=+，122C C =+，记 2C C =，则2,0,0xxxe C x e dx x e C --⎧-++≥⎪=⎨<+⎪⎩⎰．错误解答当0x ≥时，1xx xe dx e dx e C ---==-+⎰⎰．当0x <时，2xx x edx e dx e C -==+⎰⎰．故12,0,0x xxe C x e dx e C x --⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩⎰．错解分析函数的不定积分中只能含有一个任意常数，这里出现了两个，所以是错误的．事实上，被积函数x e -在(,)-∞+∞上连续，故在(,)-∞+∞上有原函数，且原函数在(,)-∞+∞上每一点可导，从而连续．可据此求出任意常数1C 与2C 的关系，使xe-的不定积分中只含有一个任意常数．注分段函数的原函数的求法：第一步，判断分段函数是否有原函数．如果分段函数的分界点是函数的第一类间断点，那么在包含该点的区间内，原函数不存在．如果分界点是函数的连续点，那么在包含该点的区间内原函数存在．第二步，若分段函数有原函数，先求出函数在各分段相应区间内的原函数，再根据原函数连续的要求，确定各段上的积分常数，以及各段上积分常数之间的关系．例46 求下列不定积分：（1）sin 1cos x x dx x ++⎰．（2）3sin 2cos sin cos x x x x e dx x -⎰．（3）cot 1sin x dx x +⎰．（4）3sin cos dxx x⎰．解（1）注意到sin (1cos )xdx d x =-+及2211(tan )1cos 2cos 2xxdx dx d x ==+，可将原来的积分拆为两项，然后积分，即sin sin 1cos 1cos 1cos x x x xdx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰1(tan )(1cos )21cos x xd d x x=-++⎰⎰t a n t a n l n (1c o s )22x xx dx x =--+⎰ 1tan2ln cos ln(1cos )22x xx x C =+-++ 21t a n 2l n c os l n (2c o s )222x xxx C =+-+1tan (ln 2)2x x CC C =+=-．（2）被积函数较为复杂，直接凑微分或分部积分都比较困难，不妨将其拆为两项后再观察．3sin sin sin 2cos sin cos tan sec cos xx x x x xedx e x xdx e x xdx x-=-⎰⎰⎰ sin sin ()(sec )x x xd e e d x =-⎰⎰sin sin sin sin sec x x x x xe e dx e x e dx =--+⎰⎰sin (sec )x e x x C =-+．（3）cot cos 1(sin )1sin sin (1sin )sin (1sin )x x dx dx d x x x x x x ==+++⎰⎰⎰11(sin )(sin )sin 1sin d x d x x x =-+⎰⎰ sin ln 1sin x C x=++．（4）当分母是sin cos m n x x 的形式时，常将分子的1改写成22sin cos x x +，然后拆项，使分母中sin x 和cos x 的幂次逐步降低直到可利用基本积分公式为止．33cos sin cos sin cos sin dx dx xdx x x x x x =+⎰⎰⎰3sin 2csc2sin d xxdx x =+⎰⎰21l n c s c 2c o t 22s i n x x Cx=--+．注将被积函数拆项，把积分变为几个较简单的积分，是求不定积分常用的技巧之一．例47 求223(1)x dx x -⎰．解考虑第二类换元积分法与分部积分法，令sin x t =，则222353235sin tan sec (sec sec )(1)cos x t dx dt t tdt t t dt x t ===--⎰⎰⎰⎰，而53323secsec (tan )sec tan 3tan sec tdt td t t t t tdt ==-⎰⎰⎰353sec tan 3(sec sec )t t t t dt =--⎰．故53313sec sec tan sec 44tdt t t tdt =+⎰⎰．又32secsec (tan )sec tan tan sec tdt td t t t t tdt ==-⎰⎰⎰ 3sec tan (sec sec )t t t t dt =--⎰，从而3111sec sec tan ln sec tan 22tdt t t t t C =+++⎰，所以223(1)x dx x -⎰3311sec tan sec 44t t tdt =-⎰3111sec tan sec tan ln sec tan 488t t t t t t C =--++ 32211ln 8(1)161x x xC x x ++=-+--．例48 求7cos 3sin 5cos 2sin x xdx x x-+⎰．解因为(5cos 2sin )2cos 5sin x x x x '+=-，所以可设7cos 3sin (5cos 2sin )(5cos 2sin )x x A x x B x x '-=+++，即7cos 3sin (5cos 2sin )(2cos 5sin )x x A x x B x x -=++-，比较系数得527253A B A B +=⎧⎨-=-⎩，解之得1A =，1B =，故7cos 3sin 5cos 2sin x x dx x x -+⎰(5cos 2sin )(5cos 2sin )5cos 2sin x x x x dx x x'+++=+⎰ (5cos 2sin )5cos 2sin d x x dx x x+=++⎰⎰l n 5c o s 2s i n x x x C=+++．例49 设()F x 是()f x 的原函数，且当0x ≥时有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．分析利用原函数的定义，结合已知条件先求出()F x ，然后求其导数即为所求．解因为()()F x f x '=，所以2()()sin 2F x F x x '=，两边积分得2()()sin2F x F x dx xdx '=⎰⎰，即211()sin 4228x F x x C =-+，由(0)1F =得12C =，所以()F x =从而()()f x F x '==2=．。

不定积分经典例题

不定积分经典例题1. 计算不定积分：$\int \frac{1}{x^2} dx$解：该不定积分可以通过直接计算得到。

由于$\frac{1}{x^2}$ 的原函数是 $-\frac{1}{x}$，因此$$\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C$$其中 $C$ 是常数。

2. 计算不定积分：$\int (2x+3)dx$解：使用不定积分的线性性质，可以将被积函数分解成两个分别可求积的部分。

所以$$\int (2x+3)dx = \int 2x dx + \int 3 dx = x^2 + 3x + C$$其中 $C$ 是常数。

3. 计算不定积分：$\int e^x \sin(x) dx$解：可以通过分部积分法来计算该不定积分。

设 $u = e^x$，$dv = \sin(x) dx$，则 $du = e^x dx$，$v = -\cos(x)$。

根据分部积分公式，$$\int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) - \int -e^x \cos(x) dx$$然后再次使用分部积分法，可得$$\int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - \int e^x \sin(x) dx$$将右侧的不定积分移到左侧，可以得到$$2 \int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) + e^x \sin(x)$$因此$$\int e^x \sin(x) dx = \frac{-e^x \cos(x) + e^x \sin(x)}{2} + C$$其中 $C$ 是常数。

这只是一些经典的不定积分例题，当然还有很多其他的例题。

希望这些例题能够帮助你理解不定积分的计算方法。

不定积分100道例题及解答

不定积分100道例题及解答不定积分100道例题及解答1. 问题：计算不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解答：根据不定积分的基本性质，我们可以逐个对各项进行积分。

对于x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) =x^3/3。

对于2x，应用常数倍法则得到的积分结果为 x^2。

对于常数项1，则积分结果是x。

将这三个结果相加，即得到最终的积分结果为x^3/3 + x^2 + x + C，其中C为常数项。

2. 问题：计算不定积分∫(2e^x + 3x^2) dx解答：对于2e^x，应用指数函数的基本积分法则得到 2e^x。

对于3x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) = x^3/3。

将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 2e^x + x^3/3 + C，其中C为常数项。

3. 问题：计算不定积分∫(sin(x) + cos(x)) dx解答：对于sin(x)，应用三角函数的基本积分法则得到 -cos(x)。

对于cos(x)，同样应用三角函数的基本积分法则得到 sin(x)。

将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 -cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数项。

4. 问题：计算不定积分∫(1/x^2) dx解答：对于1/x^2，可以应用倒数函数的基本积分法则得到 -1/x。

因此，最终的积分结果为 -1/x + C，其中C为常数项。

5. 问题：计算不定积分∫(ln(x) + 1/x) dx解答：对于ln(x)，应用对数函数的基本积分法则得到 xln(x) - x。

对于1/x，同样应用倒数函数的基本积分法则得到 ln(x)。

将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 xln(x) - x + ln(x) + C，其中C为常数项。

6. 问题：计算不定积分∫(e^2x + x^3) dx解答：对于e^2x，应用指数函数的基本积分法则得到(1/2)e^2x。

不定积分例题(含过程及解析)

例题1dx e x x ⎰+)12( ce e x dxe e x x d e e x de x x x xx x x x+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。

（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。

例题2dx xe x ⎰-ce xe dxe e xe dx e xe xde x x x x x x x++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)(x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e例题3⎰xdx arctanc x x x xd xx x dx x x x x xxd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。

其它的反三角导数是arcsinx ’=211x -、arccosx ’=211x --、arccotx ’=211x +-例题4dx x x ⎰2cos 2sin|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d xdx xx dx xx x -=-===⎰⎰⎰这里用到二倍角公式，如下：Sin2x=2sinxcosxCos2x=2cos 2x-1=1-sin 2x-1例题5dx x x ⎰++2cos 1sin 12c x x x xdx dx dx x dx xx +-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰21tan 21sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。

高数不定积分题目及答案

高数不定积分题目及答案
高数不定积分是高等数学中的重要概念，也是数学基础知识的重要组成部分。

无论学习过
程如何，有了不定积分的概念，我们就能够理解其他数学技术，更好地应用它们。

高数不
定积分题目需要考生理解高等数学中重要知识点，如不定积分的定义、它的概念、等变量
求积公式、有理函数和多项式积分等，同时，将这些知识和技术结合在一起，解决实际问题。

以下是高数不定积分的若干例题及答案：
（1）求解：∫1/（x+2)^2dx
答案：-1/(x+2)+c，其中c为任意常数。

（2）求解：∫1/（x^2-1)dx
答案：1/（2x）+1/2ln|x+1|-1/2ln|x-1|+c，其中c为任意常数。

（3）求解：∫x/(x^2+1)dx
答案：1/2ln|x^2+1|+c，其中c为任意常数。

高数不定积分的概念，对于学习高等数学相关知识，有着重要的意义，除了上述的例题外，不定积分的操作还包括了微积分中的定理，如黎曼和符号定积分、牛顿积分定理以及欧拉积分定理，并且还有许多技巧，这些不仅可以降低学习难度，而且也增强对数学概念的理解能力。

也就是说，想要学习高等数学，具备一定的不定积分基础知识是不可缺少的。

在数学学习中，除了学习高数不定积分的基本概念、方法和应用，考生还需要加强自己的
推导能力，从而能够在给出的积分问题上利用有效的方法来解决问题。

只有在精研和实践中，才能取得良好的效果，这样才能更好地掌握数学中重要的概念和技巧。

(完整版)不定积分例题及答案理工类吴赣昌(可编辑修改word版)

第 4 章不定积分知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！d ⎡⎰ ⎤ ⎡⎰ ⎤ 性质 1： f (x )dx = f (x ) 或 d f (x )dx = f (x )dx ；dx ⎣⎦⎣⎦性质 2： ⎰ F '(x )dx = F (x ) + C 或⎰ dF (x ) = F (x ) + C ；性质 3：⎰[f (x ) ± g (x )]dx =⎰ f (x )dx ± ⎰ g (x )dx ，,为非零常数。

设 f (u ) 的原函数为 F (u ) ， u =(x ) 可导，则有换元公式：⎰ f ((x ))'(x )dx = ⎰ f ((x ))d(x ) = F ((x )) + C设 x =(t ) 单调、可导且导数不为零， f [(t )]'(t ) 有原函数 F (t ) ，则⎰ f (x )dx = ⎰ f ((t ))'(t )dt = F (t ) + C = F (-1(x )) + Cx 2 xx 2x⎰ x1 ★(1)⎰思路: 被积函数1 = x- 5 2，由积分表中的公式（2）可解。

解：⎰dx= ⎰ x 1- 52 2dx = - 3 - 3 x 2+ C★(2) ⎰( -dx x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

11-11- 1 3 41解： ⎰ ( 3 x - )dx = ⎰ (x 3 - x 2 )dx = ⎰ x 3dx - ⎰ x 2dx = x 3 - 2x 2 + C 4★(3) ⎰（2x+ x 2）dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

x2x22x1 3解： ⎰（2 + x ）dx = ⎰ 2 dx + x dx = + x + Cln 2 3★(4)⎰x (x - 3)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

高数不定积分-讲解和例题.ppt

tan
x
cos2
d x
x
1 tan
x
dtan
x
ln
tan
x
C
例6：
sin2 x d x
1
cos 2x 2
d
x
1 2
dx
1 2
cos 2x d 2 x
1 x 1 sin2x C. 24
同理， cos2 x d x 1 x 1 sin2x C. 24
例7：
cos4
xd
x
1
cos 2 x 2
f (u)
du
[F (u) C]u( x) F ( x) C. 证明：{ F( x) C } F( x)( x)
f ( x)( x), 得证。
换元公式： f ( x)( x)d x
(x)d x d ( x) f ( x) d ( x)
φ (x) = u
f (u)du F(u) C
x
1 d x d ln x x
1 ln x
d
ln
x
1 u
d
u
ln u
C
ln
ln
x
C.
题目做得熟练后，中间变量 u 可以不写出来。
例2：
11 x2 sin x d x
1 x2
d
x
d(
1) x
sin
1 x
d
1 x
cos 1 C. x
例3： tanxcdo1sxxdcocsoisnsxxxdxln cos x C.
则 f (x)dx F(x) C
就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .
y
它们相互平行，即在横坐标相同的点处有相同的切线斜率。

不定积分——精选推荐

一、不定积分的解题技巧引例：不定积分∫(1-x)cos2xdx∫(1-x)cos2xdx=∫cos2xdx-∫xcos2xdx=(1/2)∫cos2xd2x-(1/4)∫2xcos2xd2x=(1/2)sin2x-(1/4)∫2xdsin2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x (1/4)∫sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x C∫(1-x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：∫(1-x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，∫a*bdx哪个放到d后面去（那个先反过来求导）？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。

越后的先放到d里去如∫x^2 cosxdx x^2是幂函数，cosx是三角函数。

所以，要这样化∫x^2dsinx而不是1/3∫cosxdx^3引例2：∫1/(1 x^4)dx 原式＝1/2((1 x^2 1-x^2)/1 x^4)=0.5(1 x^2/1 x^4) 0.5(1-x^2/1 x^4)=0.5(1 x^-2/x^-2 x^2)<就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分,两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积出来的,一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化为二元再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分。

对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些不易观察的,则不妨从被积函数中拿出一个表达式,求其微分,从而决定如何凑微分。

不定积分练习题

不定积分练习题不定积分练习题在高中数学学习中，不定积分是一个重要的概念。

它与定积分不同，不定积分可以看作是求导运算的逆运算。

通过不定积分，我们可以求出函数的原函数，从而求出函数的面积、变化率等重要信息。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来巩固和加深对不定积分的理解。

1. 求函数f(x) = 2x的不定积分。

解答：根据不定积分的定义，我们可以直接对函数f(x)进行求解。

由于2x是x的一次函数，根据求导运算的逆运算，我们得到不定积分为x^2 + C，其中C为常数。

2. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的不定积分。

解答：对于多项式函数的不定积分，我们可以分别对每一项进行求解，然后将结果相加。

对于3x^2，根据不定积分的定义，我们可以得到x^3 + C1，其中C1为常数。

对于2x，我们可以得到x^2 + C2，其中C2为常数。

对于常数项-1，不定积分为-x + C3，其中C3为常数。

将这三个结果相加，我们得到不定积分为x^3 + x^2 - x + C，其中C为常数。

3. 求函数f(x) = e^x的不定积分。

解答：指数函数e^x的不定积分是它本身。

这是因为指数函数的导数是它本身，所以不定积分就是原函数。

因此，函数f(x) = e^x的不定积分为e^x + C，其中C为常数。

4. 求函数f(x) = sin(x)的不定积分。

解答：正弦函数sin(x)的不定积分是负余弦函数-cos(x)。

这是因为正弦函数的导数是余弦函数，所以不定积分就是负余弦函数。

因此，函数f(x) = sin(x)的不定积分为-cos(x) + C，其中C为常数。

5. 求函数f(x) = 1/x的不定积分。

解答：对于函数1/x，我们可以使用换元法进行求解。

令u = ln(x)，则du/dx = 1/x，从而dx = du/u。

将这个变换代入不定积分中，我们得到∫1/x dx =∫du/u。

这是一个常数函数的不定积分，所以结果为ln|u| + C。

第五章不定积分习题课参考答案

① f ( x, n ax b ) dx ，令 t n ax b ；② f ( x, a 2 x 2 )dx ，令 x a sin t ； ③ f ( x, a 2 x 2 )dx ，令 x a tan t ；④ f ( x, x 2 a 2 )dx ，令 x a sect ；
例6 求下列不定积分：
108896097.doc
-2-
①
xdx ； 1 x2
②
1 1 sin dx ； 2 x x
③
dx x 1 ln 2 x
；
凑微分求不定积分，必须牢记基本积分公式类型，这样就不会被复杂的式子所迷惑，同时为提高凑微分技巧，应熟悉常见的微分公式．常用的凑微分积分类型： 1 f (ax n b)d (ax n b) ； ① f (ax n b) x n 1 dx an ② f (sin x) cos xdx f (sin x)d sin x ； ③ f (tan x) sec 2 xdx f (tan x)d tan x ；
0 1
解: 由已知 x 2 x 为 f ( x) 的导函数，即 x2 x f ( x) 所以， xf ( x)dx x( x 2 x)dx ( x 3 x 2 )dx
0 0 0 1 1 1
1 4 1 3 x x C 4 3
例3 求下列不定积分： ①

x 2 x sin 2 x sin 2 x x 2 x sin 2 x cos 2 x dx C 4 4 4 4 4 8
例14 求下列不定积分：
xdx ① 3 ； x 3x 2 2x 3 dx ； ② 2 x x5
x4 1 dx ． ③ 6 x 1

理学不定积分典型例题

例9 求
x (1 x)2 dx.
解
x
(1 x)2 dx
x 11 (1 x)2 dx
[
(1
1
x)
1 (1 x)2
]d (1
x)
1 ln( x 1) C1 (1 x) C2
ln( x 1) 1 C (1 x)
第14页/共103页
例11 求 sin3 xdx
解 sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos2 x)d cos x (cos x 1 cos3 x) C
在被积函数中添加2个因子
因此
1 2
2x
e
x2
1
u' u
xex21dx 1ex21C 2
第7页/共103页
f
( ( x)) ' ( x)dx
u=(x) du dx
f
(u)du
例3. 求 x3 x4 5dx
解:
x4
5
x3dx
1 4
x4 5 4x3dx
u
u du
u x4 5 1
1
u 2du
(x2
1 1 )dx 1
1 x2
3
x3xarctgxC。
第5页/共103页
例9．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本 y 的变化率是日产量 x 的函数 y 7 25 ，已知固定
x 成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。
解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以
y (7 25 ) dx 7x 50 x C 。 x
x2 a2
ln
x a
x2 a
a2
C
ln(x
x2 a2 ) ln a C

经济数学(不定积分习题及答案)

第五章不定积分习题 5－11. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221sin , cos 2, cos 2x x x-- 都是同一函数的原函数.解 221(sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x=-=-=因为221sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数.2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x xe e e e e e ---+-+都是的原函数.解 2222[()]'[()]'=2()x x x x xxe e e ee e ---+=-+因为2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数3.已知一个函数的导数是211x -，并且当x = 1时, 该函数值是32π，求这个函数.解设所求函数为f (x ), 则由题意知'()f x ='(arcsin )x 因为'()()d arcsin f x f x x x C===+⎰所以又当x = 1时，3(1)2f π=，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+.3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.解设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知''()2y f x x == 因为2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C===+⎰⎰又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1故所求曲线方程为 21y x =+.5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程.解设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x =因为'(sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C==+⎰又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为()sin 1f x x =+ 与 ()sin 1f x x =-.6. 已知 f (x ) = k tan2x 的一个原函数是2ln cos 23x ，求常数k .解因为2ln cos 23x是f (x )的一个原函数所以 '2214(ln cos 2)(2sin 2)tan 2()33cos 23x x x f x x =⋅⋅-=-=4tan 2tan 234.3x k xk -==-即故7. 已知 1(1)d x f x x xe C++=+⎰, 求函数f (x ).解因为由不定积分的性质, 有'111(1)d (1)(1)x x x f x x f x e xe x e +++⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰所以, 令t = x+1,有(),().t x f t te f x xe ==即8. 设f (x ) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, F (x )是它的一个原函数, 证明: F (x )是偶函数.证由已知F (x )是f (x )的一个原函数, 则'()()F x f x =又因为f (x ) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, 则[]''()()()()F x F x f x f x -=--=--=于是[]'()[()]'F x F x =- 即()()F x F x C =-+,故F (x )是偶函数.9.设1sin ()f x x 是的原函数, 求'()f x .解因为 1sin ()f x x 是的原函数, 则'2211111sin cos ()cos ()f x x x x x x ⎛⎫=⋅-=-⋅= ⎪⎝⎭'322321111()cos (sin )()1111(2cos sin ).f x x x x x xx x x x =⋅--⋅-=-所以习题 5－21. 求下列不定积分：2324222(1) (21)d (2)(2)(3) 1)d (4) d331(5) d (6) d11x x xxx xxx x xx x x x+---++++⎰⎰⎰⎰⎰23262(7) (13)d (8) d3cos2(9) cos d (10) d2sin cos1sin(11) d (12) cot(csinx xx xxe x xx xx xx xxx xx--+-⎰⎰⎰⎰⎰22sc sin)d1cos1(13) (1 (14)dcos21x x xxx xxx-+-+⎰⎰⎰解4233(1)(21)d.4x x x x x C+=+-+⎰3122111322222323222222422(2) d2.2(3) 1)d(11)d.3(2)14442(4) d d ln.111(5) d d(1)d arctan.111331(6)1x x x x Cx x x x x x Cxx x x Cx xx x x xx xx x x x x C x x xx xx---==-++-=+--=-+-⎛⎫=-+=+-+⎪⎝⎭+-==-=-+ ++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2321d(3)d arctan.1x x x x x Cx=+=+++⎰(7) (13)d(3)dx x x xe x e e x⎡⎤-=-⎣⎦⎰⎰211 (3)(3).ln 31ln 3622112(8) d 2()d 2()3ln 2ln 2ln 333212 ().ln 2ln 2ln 331cos 11(9)cos d d sin 2222x x x x x x x x x xx x x x e e C e e C e x x C C x x x x x x C =-+=--++-⎡⎤=-=⋅-⋅+⎢⎥-⎣⎦=-+⋅+==++⎰⎰⎰⎰()()()22322.cos 2cos sin (10)d d cos sin d sin cos sin cos sin cos .1sin (11)d =csc sin d cot cos .sin (12) cot (csc sin )d cot csc cot sin d x x xx x x x xx x x x x x C xx x x x x x C xx x x x x x x x x-==-++=++--=-++-=⋅-⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3571444422222csc sin .14(13) (1d 4.7cos 1cos 11(14) d d (1sec )d cos 2122cos 1122x x C x x x x x x C x x x x x x x x xx --=--+⎛⎫ ⎪-=-=++ ⎪⎝⎭++==++=+⎰⎰⎰⎰⎰tan .x C + 2. 21, 0() , ()d .21, 0x x f x f x x x x -≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩⎰已知求.解21, 0()2 1 , 0x x f x x x -≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩由已知当0x ≤时,21()d (1)d 2f x x x x x x C=-=-+⎰⎰当x >0时, 222()d (21)d 3f x x x x x x C=+=++⎰⎰故 221, 02()d 2, 03x x C x f x x x x C x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩⎰.3. 设某企业的边际收益是 '()1000.01R x x =- (其中x 为产品的产量)，且当产量 x = 0时，收益R = 0. 试求收益函数R (x ) 和平均收益函数. 解由已知边际收益是 '()1000.01R x x =- 所以在上式两端积分, 得2()(1000.01)d 1000.005R x x x x x C =-=-+⎰将0,0x R ==代入上式, 得C = 0故收益函数为 2()1000.005R x x x =-平均收益函数为 ()1000.005R x x =-.4. 某商品的需求量Q 为价格P 的函数. 已知需求量的变化率为'1()1000ln 3()3pQ p =-⋅且该商品的最大需量为1000.求该商品的需求函数.解由已知需求量的变化率为'1()1000ln 3()3pQ p =-⋅ 所以在上式两端积分, 得'1()()d 1000ln 3()d 31111000ln 3()1000()(ln 3)33p p p Q p Q p p pC C==-⋅=-⋅⋅+=+-⎰⎰又因为该商品的最大需求量为Q =1000（P = 0时），代入上式, 得C = 0故满足条件的需求函数1()1000()3pQ p =. 5. 一种流感病毒每天以 (240 t – 3 t 2 ) / 天的速率增加, 其中 t 是首次爆发后的天数. 如果第一天有50个病人，试问在第10天有多少个人被感染?解设()y t 为t 天被感染上的人数, 则由题意得 2d 2403d yt t t =- 所以在上式两端积分, 得223()(2403)d120y t t t t t t C=-=-+⎰又当1,50t y ==时，代入上式, 得C = －692323()12069(10)120(10)106910931()y t t t y =--=⨯--=故而人习题 5－3(1)1. 1. 填空：22(1) d ( )d(3) (2) d ( )d(17)(3) d ( )d (4) d ( )d(12)1(5)d ( )d(2ln ) (6) x x x x x x x x x x x x e x -==-==+=11331d ( )d()3x x xe -=-2(7) sin2d ( )d cos 2 (8) cos(13)d ( )d sin(13)1(9) d ( )d arctan 2 (10) 14x x x x x x x x x x =-=-==+解11111111(1);(2);(3);(4);(5);(6)3;(7);(8);(9);(10)2.37242232----2. 求下列不定积分：(1) (2) cos(51)d x x x+⎰22222tan(21)1(3) d (4)dcos (21)91(5) d (6) (19)d 9425(7) d (8) 52x xx x x x x x e x x x x x x +++----+⎰⎰⎰⎰⎰21(9)d (10) d 32(1ln )(11) (12) d 1(13) d (14) ln xxx xxe x x e e ex x xx x x x -+++⎰⎰⎰⎰3223211(15) cos d (16) darctan (17) tan sec d (18) d 111(19) d (20) sin cos x xx x e x x xxx x x xx x x x -+⎰⎰⎰⎰d 1cos xx +⎰⎰231(21) (22) d 251(23) sin d (24) d 1xx xx x x x x e -++⎰⎰⎰⎰12121(1)(25)d(25)51(25).10x x x x C -=---=--+⎰解 222221(2) cos(51)d cos(51)d(51)51sin(51).5tan(21)1(3) d =tan(21)d tan(21)2cos (21)1tan (21).41d 1(4) d a 393x x x x x C x x x x x x C x x x x +=++=++++++=++==++⎰⎰⎰⎰⎰222rctan .3d(2)11132(5) d ln 21232943(2)xC x xx C x x x ++==+---⎰⎰⎰22222222222(6) (19)d (3)d 111(3)22ln 3111(3).221ln 3d(52)25(7)d ln 52.5252(8) 2x x x x x x x x e x e e x e e Ce e e C x x x x x x C x x x x x ⎡⎤-=-⎣⎦=-⋅+=-⋅++-+-==-++-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰212222.d(32)11(9) d =ln 32.3332321d (10) d arctan .11(11)(12cos 2).2(1ln )1(12) d (1ln )d(1ln )(3x xxx xxx x x xC e e x e C e e e x e C e e ex x C x x x x x -=+=++++==+++=-=-+++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰31ln ).x C ++122211(13) d d ln ln ln .ln ln 11(14)(23).63x x x C x x xx x C ==+=-=--+⎰⎰333223322311111(15)cos d cos d sin .11(16)d d().33(17)tansec d tand sec (sec 1)d sec 1sec sec .3x x x x C x x x x x x e x e x e C x x x x x x xx x C ---=-=-+=--=-+⋅==-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222arctan 1(18)d arctan d arctan arctan .211sin cos (19)d d sin cos sin cos (tan cot )d ln cos ln sin ln tan .x x x x x C xx xx xx x x xx x x x x Cx C ==+++=⋅=+=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰2222221d 1(20)d sec d 1cos 222(1sin )2sec d tan .222(21)22arctan arctan .d(1(22)d 25xx x x x xx x xC x C x x x x ==+-==+==-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰21)11arctan .22(1)4x C x -=+-+⎰3223(23)sin d sin d cos (1cos )d cos 1cos cos .3d(1)1d (24)d ln(1).111x x xx x x x x x x x x x x C e e x x e C e e e -----=-=--=-+++==-=-+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题 5－3(2)1. 1. 求下列不定积分：2(1) (3) (4) (5) (6) xx x x2(7) (8)(9)(11) (12)x xx ⎰解2d 11(1)2d 11t t t x t t t +-=++⎰⎰22312(1)d22ln(1)12ln(1.(3)(2)(2)d12(3)d2(3)3t t t CtCtx t ttt t t t C=-=-+++=-++-⋅-=--=--+⎰⎰⎰⎰13221536323211136226(3)(3).36d(3)6d1(1)116d6(1)d112366lnx x Ct t tx t x ttt ttt t t tt tx x x=--+-+==+++-==-+-++=-+-⎰⎰⎰⎰令16(1).x C++221(4) d1d12ln11ttt tt tCtt⋅--==++-⎰.C=+22222222sin(5) sin cot dcot1cos2sin d d21(sin2)22(arcsin2a tx x a t a t ta tta t t a tat t Ca xa=-===-+=⎰⎰⎰令2arcsin.2Ca xCa-+=222(6)2sec 2tan d 2(sec 1)d 2tan 222arccos .11(7)()d x x t tt t t t t t C C xt txt ===-=-+=-+=-⎰⎰令令21 2 .C C =-=-=+=+211(8)()d x tt t =-令1arccos3313arccos .3t CC x =-=+=+221d 1(9) d 11111 ln .212t t tt t t t C C t ⋅=---=+=++⎰⎰222(2)(10)(2)d t t t t -⋅-2435135222 2(44)d 82835828(2)(2)(2).35t t t t t t Cx x x C =--+=-+-+=--+---+⎰2(11)1dln 2ln 2ln 1 ln 1).(12)x xxxx x Cx C =⎡⎤=+⎢⎣=+=++=+⎰⎰212212 (1).t C C -=-=-++=+2. 若己知()d ()f x x F x C =+⎰. 求：(1)()d f ax b x +⎰ (2)22()d xx e f e x--⎰(3)cos3(sin 3)d xf x x⎰(4)x解（1）因为()d ()f x x F x C =+⎰.11()d ()d()().f ax b x f ax b ax b F ax b C aa +=++=++⎰⎰所以（2）因为()d ()f x x F x C =+⎰2222211()d ()d ().22x x x x x e fe xf ee F e C -----=-=-+⎰⎰所以（3）因为()d ()f x x F x C =+⎰11cos3(sin3)d (sin3)dsin3(sin3).33xf x x f x x F x C ==+⎰⎰所以（4）因为 ()d ()f x x F x C =+⎰.x C ==+所以3. 下列不定积分：d d (1) (2)2cos 354sin 2x xx x ++⎰⎰解2222212(1)tan ,sin ,cos ,d 2111x u u duu x x x u u u -====+++令则2222d 12d2cos 3112312d 5tan.xu x u u u u C u x C =⋅+-+⋅++==++=+⎰⎰⎰于是22222222221 (2)tan ,sin ,cos ,d 111d 11d d 254sin 215855411d 5d 945459()1[()]25535u u duu x x x x u u u xu u uxu u u u u uu u -====+++=⋅=+++++⋅+==++++⎰⎰⎰⎰⎰令则于是154154arctan ()arctan (tan )335335u C x C=++=++.习题 5－3(3)1． 1．下列不定积分：(1)l n dx x x ⎰2(2)ln(1)d x x+⎰l n l n (3)dx x x ⎰2(4)ln d x x⎰(5)a r c s i n d x x ⎰(6)x⎰2(7)s i n d x x x ⎰ 32(8)cos d x x x⎰2(9)d xxe x-⎰(10)x⎰ (11)sin 2d xe x x⎰（12）cos d xe x x -⎰(13)x(14)ln(x x+⎰22(15)cos d 2x x x ⎰22(16)(1)d x x x ex +⎰解 222211111(1)ln ln ln 2224x xdx x x x dx x x x Cx =-⋅=-+⎰⎰.22222222(2)ln(1)d ln(1)d 111 ln(1)2d 1 ln(1)2(arctan ).xx x x x x xx x x x x xx x x x C +=+-⋅++-=+-+=+--+⎰⎰⎰ln ln (3)d ln ln d ln 11 ln ln ln ln d ln ln ln ln ln .xx x x xx x x x x xx x x C ==⋅-⋅⋅=⋅-+⎰⎰⎰2221(4)ln d ln 2ln d ln 2ln 2.x x x x x x xx x x x x x C =-⋅⋅=-++⎰⎰122(5)arcsin d arcsin arcsin (1).x x x x x x x C =-=+-+⎰⎰2222(6)arctan arctan 2d 1arctan d 1 arctan arctan .x t t t t t t ttt t t t C x C ⋅=⋅-+=-++=-+⎰⎰22223222222222(7)sin d cos 2cos d cos 2sin 2sin d cos 2sin 2cos .11(8)cos d cos d (sin sin d )221 si 2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x x x x x x x =-+=-+-=-+++==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222221n cos .211(9)d d 2211.24x x xx x x x C xe x xe e xxe e C -----++=-+=--+⎰⎰222(10)d 3(2d ) 3(22) 6).(11)sin 2d sin 22cos 2d sin 22(cos 22sin 2d t t t t t t x x x x x x x e t t t e te t t e te e C C e x x e x x e xe x e x e x x ⋅=-=-++=++=-⋅=-+⎰⎰⎰⎰⎰)⎰移项解方程, 得sin 2d (sin 22cos 2)5xx ee x x x x C =-+⎰.(12)cos d cos sin d cos sin cos d x x x x x x e x x e x e x xe x e x e x x------=--=-+-⎰⎰⎰移项解方程, 得1cos d (sin cos ).2x x e x x e x x C --=-+⎰(13)arcsin22.x x xxx C=-=-=++2222(14)ln(ln(1ln(2ln(.1(15)cos d(sin)(sin)d22x x x x x xx xx x Cxx x x x x x x x x+=+-⋅=+-=+-=+-+⎰⎰⎰⎰32332111sin sin d22311sin cos cos d62x x x x x x xx x x x x x x=+--=++-⎰⎰222222223223222211sin cos sin.62(16)(1)d d d11d d2211()22x x xx xx x xx x x x x x Cx x e x xe x x e xe x x e xe x e e C=++-++=+=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰221.2xx e C=+2. 2.已知()f x的一个原函数是sin x，求'()dxf x x⎰.解因为()f x的一个原函数是sin x, 则()d sinf x x x C=+⎰所以两边求导, 得()c o sf x x=于是'()d()()dxf x x xf x f x x=-⎰⎰故'()cos sinxf x dx x x x C=-+⎰.3.已知'()1xf e x=+，求()f x.解设,lnxt e x t==则由已知'()1xf e x=+，则'()1lnf t t=+所以'()()d(1ln)d ln lnf t f t t t t t t t t C t t C==+=+-+=+⎰⎰故()lnf x x x C=+.4. 已知()f x 的一个原函数是ln x x ，求''()xf x dx⎰.解因为()f x 的一个原函数是ln x x ,则()d ln f x x x x C =+⎰所以两边求导,得'1()ln 1,()f x x f x x =+=且于是 '''''()()()()()xf x dx xf x f x dx xf x f x C=-=-+⎰⎰故 ''()d ln xfx x x C=-+⎰.习题 5－4求下列不定积分：21.d32xx x x -+⎰解22(23)1d =d 23232x xx x xx x xx -+-+-+⎰⎰221311ln(2)(1)()d 22211133ln(2)ln(1)ln(2)ln(1)2222(2) 2ln(2)ln(1)ln .1212.d (1)x x xx x x x x x Cx x x C C x x xx =--+---=-+-+---+-=---+=+-+-⎰⎰ 解222111d 2d 3d 1(1)(1)x x x x x x x +=+---⎰⎰⎰212ln 13.113. d 25x C x x xx x =--+-+-+⎰解 22211222d d d 22525(1)4x x x x x x x x x x +-=+-+-+-+⎰⎰⎰211ln 25arctan .22x x x C -=-+++224. d (1)(4)xxx x ++⎰解222214(1)(4)(1)(4)x A B C Dx x x x x x =+++++++++因为 222 (1)(4)(4)(1)(4)A x x B x C x x x +++++++=则22, 5154 ,,,279279d (1)(4)A B C D xxx x ==-=-=-++⎰比较等式两边的系数解之得所以 22511d 5d 4d d 27192749(1)(4)x x x x x x x x =---++++⎰⎰⎰⎰43511541ln 1ln 4.2791279451114ln ().2749145.d 1x x C x x x C x x x x x x=++-++++++=+++++++⎰解4332113(1)113(1)xx x x x x x x x x +=-=+-+++-+因为4322222211d []d 3(1)13(1)1111ln 1d 23311112111ln 1d d 236211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx +=+-++-++=++--+-=++---+-+⎰⎰⎰⎰⎰所以222221111d ln 1ln 1112362()24111ln 1ln 1.236x x x x x x x x x x C =++--+--+=++--+-+⎰3216. d 1x xx +-⎰解321111x x x x +=+--因为 322111d ()d ln 1.121x x x x x x C x x +=+=+-+--⎰⎰所以2d 7.(1)xx x -⎰解 221111=+ 1(1)(1)x x x x x ----因为22d 111[+]d 1(1)(1)11ln ln 1ln .111x xx x x x x x x x C C x x x =----=---+=-+---⎰⎰所以2d 8.(1)(12)xx x ++⎰解221411215125(1)(12)1x x x x x -=-++++因为22222d 41121d d 5125(1)(12)1211ln 12ln 1arctan 555(12)11ln arctan .5519.xx x x x x x x x x x Cx xC x *-=-++++=+-++++=+++⎰⎰⎰所以解 321(2),d d 3t x t x t t=-=令 2322331d 1(2)3(33)3d 3d 3232t tt t t t tt t t t t =⋅---+==----⎰⎰⎰于是333231ln 323d 3211111119291332(1)11111d ln 2ln 1993132t ttt t t t t t t t t t Ct t t =--+--=---+--+=--++++--⎰⎰又因为所以2111ln 2(1)ln(2)ln 1331t t tt Ct =-++--++++故 451ln 2ln 133145 2ln 1.33t t Ct C =-+++++=-+++综合习题五1.选择填空：(1) 设3()d ln sin 44f x x x C=+⎰, 则f(x ) = ( ) .① cot4x② －cot4x ③ 3cos4 x ④ 3cot4 x(2) 设(1)sin 2d cos 2k x x k x C -=+⎰, 则k = ( ) .① -1 ② -2 ③ 1 ④ 2(3) 设11()d x xfx e x e C=+⎰ , 则f(x ) = ( ) .① 1x② 1x -③ 21x④ 21x -(4) 如果 xe -是函数f(x ) 的一个原函数, 则()d xf x x =⎰( ).① (1)xe x C --+ ② (1)xe x C --+③ (1) x e x C --++ 1 ④ (1)xe x C -++(5) 设 =⎰-+=⎰dx x xf C x dx x f )1(,)(22则 ( ) .① 222(1)x C -+② 222(1)x C --+③ 221(1) 2x C --+ ④ 221(1) 2x C -+解 (1) ④; (2) ①; (3) ④; (4) ④; (5) ③. 2.计算下列不定积分：1(1) (2) d 1x x x e +⎰3cos 2(3) (4) sin d (5) (6)(7) (8) (arcsin )d (9)x x e x xx x x x x ⎰⎰⎰⎰2102 (10) sin d2cos 2sin (11) d (12) d 1sin cos 1sin d (13) (14) (`1)x xe x x xx xx x xxx x x -+++⎰⎰⎰⎰解211(1) )d x x tt t =- 令-1arcsin arcsin.d(1)1(2)d d ln1.111(3)2.xxxx x xt t C Cxeex x e Ce e ex x x x xx C----=-=-+=-++==-=-+++++=-=-=-⎰⎰⎰⎰3cos3cos3cos1(4)sin d d cos.3(5)arcsin.x x xe x x e x e CC=-=-+==+⎰⎰⎰3222(6)ln)(1ln) .3(7)1ln2x x x Cx x xx C=+=++=+=+++222ln.(8)(arcsin)d(arcsin)2arcsin(arcsin)2arcsinx Cx x x x x xx x x =+++=-=+-⎰⎰⎰2241743333222 (arcsin )2arcsin 2.(9)34d d .73111(10)sin d sin cos d 222222x x x x x x C x xx xx xx x C x x x e x e e x---=+-+==-=-+=-+⎰⎰⎰⎰222222221111sin (cos sin d )2242222111 sin cos sin d 22821622sin d (cos 4sin ).21722cos 2cos 2d sin 2(11)d 2d 1sin cos 2sin 22x x x x x x x x x x xe e e x x x xe e e xx x xe x e C x x xx x x x x --------=-+--=---=-++==++⎰⎰⎰⎰⎰移项得2sin 2 ln 2sin 2.sin 1(12)d (1)d 1sin 1sin 1sin 1sin d d (1sin )(1sin )cos 1tan cos x x C x x xx xx xx x x xx x xx x C x+=++=-++--=-=-+-=-++⎰⎰⎰⎰⎰.21(13) 1 arcsin 21arcsin arcsin .x x tt t t C C x=-=--=-+=++=-++令101022221022d 1d (14) 10(`1)(1)11111(1)(1)d 1111()d 101(`1)(1)x t t xx x t t t t t t t x t t t x x t =++=--+++=--+++⎰⎰⎰⎰令因为所以 1010101010101111 ln ln 110101011111ln ln 1101010111[ln ].1011t t C t x x Cx x C x x =-++++=-++++=++++3. 已知x xsin 是f (x )的一个原函数, 求'()d xf x x⎰.解因为 x xsin 是f (x ) 的一个原函数, 则sin ()d xf x x Cx =+⎰'2sin cos sin ()()x x x xf x x x -==两边求导数,得于是'()d ()()d xf x x xf x f x x =-⎰⎰cos sin sin '()d cos 2sin .x x x xxf x x Cx x x x xC x -=-+-=+⎰所以4.试求函数 y = 2x + 1的一条积分曲线, 使此曲线在 x =1 处的切线刚好通过(2, 1)点.解设积分曲线为()y f x =, 则由已知得 '()21f x x =+于是 2()(21)d f x x x x x C=+=++⎰又曲线在x =1 处的切线刚好通过(2, 1)点,于是曲线的切线方程为13(2)35y x y x -=-=-即于是曲线在x =1的切线方程的纵坐标为 -2，代入方程, 得 C = －4故满足条件的积分曲线方程为 24y x x =+-.5. 设 ln(1)(ln ),()d x f x f x x x +=⎰计算. 解由已知ln(1)(ln )x f x x +=令ln t x =，得ln(1)ln(1)(),()t x txe ef t f x e e ++==即()ln(1) ln(1)1 ln(1)1 ln(1)ln 1 x x x xxxxxxxxx x x x f x dx e e dxe e e e dxe e ee dxee e e C e ---------=+=-+++=-+++=-+-++=-⎰⎰⎰⎰所以ln(1)ln 1 (1)ln 1x x x x e x e C x e e C-++-++=-+++6.设F (x ) 为f (x ) 的原函数, 且x ≥0,2()()2(1)xxe f x F x x =+ 已知F (0) = 1, F (x ) > 0, 试求f (x ) .解因为F (x ) 为f (x )的原函数，'()()F x f x ='222()()()()2(1)111()d d 2212(1)x x x xe f x F x F x F x x xe F x x xe x x ==+==-++⎰⎰11 [d ][]211211 21x x x xx xxe e xe xe x e Cx x x e Cx +=--=--++++=++⎰2()1x e F x Cx =++即又因为 F (0）=1，代入上式, 得C = 0232().2(1)x xe f x x =+所以7.设当x ≠0 时，)('x f 连续，求2'()(1)()d xxf x x f x xx e -+⎰.22'2222'()(1)()'()(1)()d d d ()(1)()1 ()()d d ()()(1)()()d d xx xx x xx x x x x xf x x f x f x x f x x x xx e xe x e f x x f x f x x x xe xe x e f x e xe x f x f x x xxe x e x e -++=-+=---++=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解22()(1)()(1)()d d ().x x xxf x x f x x f x x x xe x e x e f x C xe ++=+-=+⎰⎰2118.()(),()(),'()(),()()()1, ().4F x f xG x f x F x G x f x f x f f x π=-=+==设且求解 '2()()F x G x =因为''222'2()1()()2()()()11()f x f x f x f x f x f x f x +=++=+则化简得arctan ()()1,04()tan .f x x Cf C f x x π=+===两端边积分, 得将条件代入上式,得故9.一公司某产品的边际成本为3x +20, 它的边际收益为44-5x , 当生产与销售80单位产品时的成本为11400元，试求: (1)产量的最佳水平; (2)利润函数; (3)在产量的最佳水平是盈利还是亏损?解（1）因为产量最佳水平满足的条件是边际成本 = 边际收益所以由 320405,3x x x +=-=解得（2）成本函数为23 ()(320)d 20280,(80)11400,200C x x x x x C x C C =+=++===⎰将已知条件代入上式,解得即成本函数为 23()202002C x x x =++.收益函数为25()(445)d 4420,(0)0,0R x x x x x Cx R C =-=-+===⎰将已知条件代入上式,解得即收益函数为25()442R x x x =-. 故利润函数为 2()()()244200L x R x C x x x =-=--.（3）由（1）知道最佳产量水平是3x =代入利润函数得2(3)24343200164L =⨯-⨯-=-故在最佳水平时亏损164元.。