证明两个平面垂直的条件
证明两个平面垂直的条件证明两个平面垂直的条件
在空间几何中，平面是一个基本的概念。平面由无数个点组成，可以用向量、点、法线等多种方式表示。平面可以相互平行、相互垂直，这些关系都有着重要的意义。本文将探讨一下如何证明两个平面垂直的条件。
一、两个平面垂直的定义
在空间几何中，两个平面垂直可以解释为：两个平面的法线互相垂直。即两个平面所包含的直线互相垂直，则可称之为两个平面垂直。这是飞利浦公理中的基本假设之一。
需要注意的是，两个不平行的平面可能会形成一条直线，这条直线称为二者的交线。如果两个平面的交线和两个平面的法线之一垂直，我们认为这两个平面垂直。
二、垂直平面的性质
1.相互平行的平面垂直于同一直线
如果两个平面相互平行，则垂直于其中一面的法线同时也会垂直于第二个平面，因此这两个平面垂直于同一条直线。
2.连接两个平面交线上任意一点的直线垂直于两个平面
当两个不平行的平面相交时，它们会在一条直线上相遇。我们可以通过连接这个交线上的任意一个点，然后确定一个垂直于两个平面的向量，这个向量同时也是这个点的法线。如果这个向量垂直于直线，则两个平面垂直。
三、证明两个平面垂直的条件
1.使用向量去证明
两个平面垂直，则它们的法线也垂直。我们可以通过向量的点积计算它们的法线是否垂直。设两个平面的法线分别为 a 和 b ，则两个平面垂直的条件为：
a·b=0
其中，·表示向量的点积。
例如，已知平面 P ：ax+by+cz=d 和平面 Q ：
lx+my+nz=p ，它们的法线向量分别为 a =(a,b,c) 和 b =(l,m,n)。这两个向量垂直当且仅当：
a·b=0
即
a·b=al+bm+cn=0
这是一个简单的线性方程组，可以运用高中代数的方法解出。如果解出的结果为 0 ，那么两个平面垂直。
2.使用距离公式去证明
另一种证明两个平面垂直的方法是采用距离公式。首先，我们可以定义两个平面分别为 P ：ax+by+cz=d 和
Q ：lx+my+nz=p ，这两个平面的法线向量分别为 a 和
b 。
假设这两个平面不垂直，我们可以找到它们的法线向量 a 和 b ，然后通过计算它们之间的夹角来证明这两个平面不垂直。
由于 a 和 b 是法线向量，因此点 a 到平面 Q 的距离等于平面 P 到点 b 的距离。即：
|d-(ax+by+cz)|=|p-(lx+my+nz)|
可以改写为：
|ax+by+cz-d|=|lx+my+nz-p|
注意到右侧的绝对值，我们可以将其拆解成两种情况：
ax+by+cz-d=lx+my+nz-p
或者
ax+by+cz-d=-(lx+my+nz-p)
这两个式子分别表示点 a 到平面 Q 的距离与点 b 到平面 P 的距离相等或相反，我们可以将其整理成一个式子：
a·(b-p)=b·(a-l)
如果a·(b-p) = 0 ，则证明平面 P 和平面 Q 垂直。
三、总结
在空间几何中，知道了两个平面垂直的定义后，可以使用向量和距离公式证明两个平面是否垂直。在实际应用中，这个关系非常重要，例如我们可以用它来计算机器人在三维空间中的运动，制作视频游戏场景等。
除了二者相交，我们还可以使用向量、点、法线等多种方式来描述平面，但无论如何，掌握两个平面垂直的判定方法对于学习空间几何和计算机图形学都非常重要。
两个平面垂直
两个平面垂直 1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面． 4．异面直线上两点间的距离公式：EF ＝θcos 2222mn n m d ±++，其中：d 是异面直线a 、b 的 ，θ为a 、b ，m 、n 分别是a 、b 上的点E 、F 到 AA'与a 、b 的交点A ，A'的距离． 例1 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°． 求证：平面ABC ⊥平面BSC ． 证明：略 变式训练1：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ； ⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°， SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小． 证明：(1) 作AH ⊥SB 于H ，则AH ⊥平面SBC ∴AH ⊥BC ， 又SA ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB ∴BC ⊥AB (2) ∠SBA 是二面角S －BC －A 的平面角，∠SBA ＝45°，作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，EH ⊥SC ，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH ＝60° 例2.在120°的二面角P －a －Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B ，已知点A 和点B 到棱a 的距离分别是2和4，且线段AB ＝10，求： (1) 直线AB 和棱a 所成的角； (2) 直线AB 和平面Q 所成的角． 答案：(1) arc sin 57 (2) arc sin 10 3 变式训练2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点． （1） 证明：平面PED ⊥平面PAB ； （2） 求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值． （1）证明：连BD ．∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°， ∴△ADB 为等边三角形，∴E 是AB 中点．∴AB ⊥DE ，∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ． ∵DE ⊂面PED ，PD ⊂面PED ，DE∩PD ＝D ， ∴AB ⊥面PED ，∵AB ⊂面PAB ．∴面PED ⊥面PAB ． C A S D B A S B C
平面垂直的判定及其性质
立体几何综合复习 一、直线与平面垂直 1．定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α. 2．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直⇒线面垂直 数学描述：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a b P =⇒l⊥α 3．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直⇒线线平行 数学描述：a b α α ⊥⎫ ⎬ ⊥⎭ ⇒a b ∥ 4．直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面 上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 ．．，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内， 我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角 ．．．．．．．．．α．的范围是 ．．．．π [0,] 2 .
5．常用结论（熟记） （1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． （3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 二、平面与平面垂直 1．定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作αβ ⊥. 2．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直⇒面面 垂直 图形语言 符号语言l⊥α，lβ ⊂⇒α⊥β 作用判断两平面垂直 3．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为：面面垂直⇒线线平行 图形语言 =l a a a l αβ αβ βα ⎫ ⎪ ⎪ ⇒ ⎬ ⊂⎪ ⎪ ⊥⎭ ⊥ ⊥
面面垂直的判定定理公式
面面垂直的判定定理公式 定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β 证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β ∵a⊂α，P∈a ∴P∈α 即α和β有公共点P，因此α与β相交。 设α∩β=b，∵P是α和β的公共点 ∴P∈b 过P在β内作c⊥b ∵b⊂β，a⊥β ∴a⊥b，垂足为P 又c⊥b，垂足为P ∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角 ∵c⊂β ∴a⊥c，即∠aPc=90° 根据面面垂直的定义，α⊥β 扩展资料：
性质定理： 定理1： 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α 求证：OP⊥β。 证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。 ∵α⊥β ∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ ∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β ∴OP⊥β 定理2： 如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。 已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：AB⊂α 证明：假设AB不在α内，则AB与α只有一个交点A。（因为不可能直线的一部分在平面内而另一部分在平面外，即直线的两点在面上则直线就在面上） 当A在α和β的交线外时，则B是垂足
∵AB⊥β于B ∴B∈β 设α∩β=MN，过B在β内作BC⊥MN，由定理1可知BC⊥α 连接AC ∵AC⊂α ∴AC⊥BC 但AB⊥β，BC⊂β ∴AB⊥BC 即在平面ABC上，过一点A有AB、AC同时垂直BC，与垂直定理矛盾。 当A在α和β的交线上时，A是垂足。 设α∩β=MN，在α内作AC⊥MN，由定理1可知AC⊥β 但AB⊥β，即过A有两条直线AB、AC与β垂直，这和线面垂直的 性质定理矛盾 ∴假设不成立，AB⊂α 定理3： 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三 个平面。 已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ 证明：设α∩γ=a，β∩γ=b
立体几何中平行、垂直的证明
三角形的中位线平行且相等于底边的一半。（三b β?=? 如果两个平行平面同 时和第三个平面相交，那? =???=? a b γγ垂直于同一个平面 的两条直线平行。（线面 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 线中的一条平行于这个平面，则另一条也与这个平一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 ////b P a b αα? ?=?? ? ??
一、证明线线垂直 说明：证明线线垂直的方法有很多，要善于抓住题意中的“垂直信息”. 常用的垂直信息有： ①若两条直线所成的角为90?，则这两条直线垂直。（线线垂直的定义，包括相交垂直和异面垂直） ②一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任一直线。（线面垂直的性质） 符号： ⊥? ?⊥ ? ?? l l a a α α ③若题意中出现线段的长度，则验证三角形的三边是否满足勾股定理，若满足，则两短边互相垂直。 ④若题意中出现类似“AB是圆O的直径，点C是圆周上不同于A、B的任意一点”的情况，则必有AC BC ⊥。 ⑤若题意中出现“直棱柱”、“正方体”、“长方体”，则其侧棱垂直于底面，再结合②。 ⑥若题意中出现“等腰三角形”、“等边三角形”、“正三角形”，则底边的中线垂直于底边。 ⑦若题意中出现“菱形”、“正方形”，则其对角线互相垂直。 二、证明线面垂直 ①一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（线面垂直的判定定理） 符号： m n a m n P a m a n α α α?? ? ?? ? ?⊥ =? ? ⊥ ? ⊥?? ②两条直线平行，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。 符号： // a b b a αα ? ?⊥ ? ⊥? ③两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（面面垂直的性质定理）符号： ⊥? ? =? ?⊥ ? ?? ? ⊥? l a a a l αβ αβ α β ④一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也与另一个平面垂直。 三、证明面面垂直 ①一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。（面面垂直的判定定理） 符号： a a α αβ β ⊥? ?⊥ ? ?? ②两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。（面面垂直的定义）
证明平面与平面垂直(空间向量)
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度． .用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 4．若平面α与β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( ) A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断 解析：∵a·b＝4×1＋0＋(－2)×2＝0. ∴a⊥b，∴α⊥β. 答案：B 面面垂直. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD.
【证明】 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E (0,1，12)，DB 1→＝(1,1,1)，DE → ＝(0,1，12 )，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则x ＋y ＋z ＝0且y ＋1 2z ＝0，令z ＝－2，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)， 由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD . 图3－2－12 4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，E ? ? ???0，1，12，DB 1→＝(1，1，1)，DE →＝ ? ? ???0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝ 1，x ＝1，∴n 1＝(1，1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1，0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD . 例3：如图3－2－12，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
空间中的垂直和平行的证明方法
2.平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 4.空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 5.异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 6.线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a β，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定 ①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直. ②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c ③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b?α，a⊥b. ④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. ⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b. ⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c ⊥a. (3)直线与平面平行的判定 ①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a?α,b?α，a∥b,则a∥α. ③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l?α，则l∥β. ④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，l?α，则l ∥α. ⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A?α，B?
证明面面垂直的方法及定理
证明面面垂直的方法及定理 证明面面垂直的方法及定理 面面垂直可不好证明，这是要合适的证明方法的，不然证明就会出错。下面就是店铺给大家整理的证明面面垂直的方法内容，希望大家喜欢。 证明面面垂直的方法 #CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA. 对角线的点积：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD 两组对边平方和分别为： AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA 则AB2+CD2=AD2+BC2等价于#BD·#BC=#BD·#BA等价于#AC·#BD=0 所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等 证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的'垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 面面垂直学生如何证明 一、初中部分 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一
边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。 Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂
证平面与平面垂直的条件
证平面与平面垂直的条件 一、引言 证平面与平面垂直是几何学中的一个重要概念，它描述了两个平面之间的垂直关系。在几何学中，平面是一个无限的、没有厚度的二维图形，可以由无数条直线组成。证明两个平面垂直的条件有多种，下面将详细介绍其中的几种常见方法。 二、两个平面垂直的定义 两个平面垂直是指它们的法向量垂直。每个平面都有一个法向量，这个向量垂直于该平面内的任意一条直线。当两个平面的法向量垂直时，我们可以说这两个平面是垂直的。 三、两个平面垂直的条件 1. 两个平面的法向量相互垂直 两个平面的法向量相互垂直是最常见的判断两个平面垂直的方法。设平面P1的法 向量为n1，平面P2的法向量为n2，如果n1与n2垂直，即n1·n2=0，那么可以 得出结论：平面P1与平面P2垂直。 2. 平面上的两条相交直线垂直于另一个平面 如果两个平面上的两条相交直线分别垂直于另一个平面，那么可以得出结论：这两个平面垂直。这是因为两个平面上的直线与这两个平面的法向量垂直，根据向量的性质，可以推导出这两个平面的法向量也是垂直的。 3. 平面上的一条直线垂直于另一个平面的法向量 如果一个平面上的一条直线垂直于另一个平面的法向量，那么可以得出结论：这两个平面垂直。这是因为这条直线与一个平面的法向量垂直，根据向量的性质，可以推导出这两个平面的法向量也是垂直的。
4. 平面上的两条垂线互相垂直 如果一个平面上的两条垂线互相垂直，那么可以得出结论：这两个平面垂直。这是因为这两条垂线与一个平面的法向量垂直，根据向量的性质，可以推导出这两个平面的法向量也是垂直的。 四、证明两个平面垂直的例题 例题1 已知平面P1过点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)，平面P2过点D(3,2,1)， E(4,3,2)，F(5,4,3)，证明平面P1与平面P2垂直。 解：首先，我们可以通过点A、B、C构造平面P1的法向量n1。设向量 AB=a(1,1,1)，向量AC=b(2,2,2)，则n1=a×b=(2,-2,0)。 同样地，我们可以通过点D、E、F构造平面P2的法向量n2。设向量DE=c(1,1,1)，向量DF=d(2,2,2)，则n2=c×d=(2,-2,0)。 由于n1与n2垂直，即n1·n2=0，所以可以得出结论：平面P1与平面P2垂直。 例题2 已知平面P过点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)，直线L过点D(3,2,1)， E(4,3,2)，证明平面P与直线L垂直。 解：首先，我们可以通过点A、B、C构造平面P的法向量n。设向量AB=a(1,1,1)，向量AC=b(2,2,2)，则n=a×b=(2,-2,0)。 直线L的方向向量m=DE=(1,1,1)。 由于n与m垂直，即n·m=0，所以可以得出结论：平面P与直线L垂直。 五、总结 本文介绍了证平面与平面垂直的条件，并通过例题进行了详细的说明。通过两个平面的法向量相互垂直、平面上的两条相交直线垂直于另一个平面、平面上的一条直线垂直于另一个平面的法向量、平面上的两条垂线互相垂直等条件，可以证明两个平面垂直的关系。这些方法在几何学中具有重要的应用价值，能够帮助我们深入理解平面与平面之间的垂直关系。
证明线面垂直的几种方法
证明线面垂直的几种方法 介绍 在线面几何中，垂直是一个重要的概念。证明线面垂直的方法可以帮助我们判断两个几何对象之间是否存在垂直关系。本文将介绍几种常见的证明线面垂直的方法，并详细探讨它们的原理和应用。 垂直的定义 在几何学中，两条直线或两个平面被称为相互垂直，当且仅当它们的夹角为90度。垂直关系在几何学中具有重要的性质和应用，因此证明线面垂直是一个常见的几何问题。 方法一：垂直角的性质 原理 垂直角的性质是证明线面垂直的常用方法之一。根据垂直角的定义，如果两条直线的夹角为90度，则它们是相互垂直的。这个性质可以用来证明两条直线或两个平 面之间的垂直关系。 应用 1.通过角度判断线面垂直：如果两条直线的夹角为90度，则可以判断它们相 互垂直。 2.通过角度判断线面垂直：如果两个平面的夹角为90度，则可以判断它们相 互垂直。
方法二：垂直平分线的性质 原理 垂直平分线的性质是证明线面垂直的另一种常用方法。垂直平分线是指通过一个角的顶点，将该角分成两个相等的角，并且垂直于角的边。如果两条直线或两个平面的垂直平分线重合，则可以判断它们相互垂直。 应用 1.通过垂直平分线判断线面垂直：如果两条直线的垂直平分线重合，则可以判 断它们相互垂直。 2.通过垂直平分线判断线面垂直：如果两个平面的垂直平分线重合，则可以判 断它们相互垂直。 方法三：垂直距离的性质 原理 垂直距离的性质是证明线面垂直的另一种常用方法。垂直距离是指从一个点到一条直线或一个平面的最短距离。如果一个点到一条直线或一个平面的最短距离为0，则可以判断它们相互垂直。 应用 1.通过垂直距离判断线面垂直：如果一个点到一条直线的最短距离为0，则可 以判断它们相互垂直。 2.通过垂直距离判断线面垂直：如果一个点到一个平面的最短距离为0，则可 以判断它们相互垂直。 方法四：垂直投影的性质 原理 垂直投影的性质是证明线面垂直的另一种常用方法。垂直投影是指从一个点到一条直线或一个平面的垂直线段。如果一个点到一条直线或一个平面的垂直投影为0，则可以判断它们相互垂直。
面面垂直的证明方法
面面垂直的证明方法 在几何学中，面面垂直是一个非常基础且重要的概念。在解决几何题目时，我 们经常会用到面面垂直的性质来求解问题。那么，如何证明两个面是垂直的呢？下面我们将介绍几种证明方法。 首先，我们来看垂直的定义。两个面如果相交成直角，则它们是垂直的。也就 是说，它们的交线是垂直于它们的。那么，如何证明两个面相交成直角呢？下面是几种常见的证明方法。 1. 利用垂直的性质。 我们知道，两个向量的内积为0时，它们是垂直的。同样，两个面的法向量如 果满足内积为0的条件，那么这两个面就是垂直的。因此，我们可以通过计算两个面的法向量，然后判断它们的内积是否为0来证明它们是垂直的。 2. 利用平行四边形的性质。 如果我们能够构造出一个平行四边形，其中的一条对角线是两个面的交线，另 一条对角线是两个面的垂线，那么我们就可以利用平行四边形的性质来证明这两个面是垂直的。 3. 利用垂直的定义。 根据垂直的定义，两个面如果相交成直角，则它们是垂直的。因此，我们可以 通过构造出两个面的交线，并证明这个交线是垂直于这两个面来证明它们是垂直的。 4. 利用投影的性质。 我们知道，如果两个向量的投影为0，则它们是垂直的。同样，如果两个面的 投影相互垂直，则这两个面也是垂直的。因此，我们可以通过计算两个面在某个方向上的投影，然后判断它们是否相互垂直来证明它们是垂直的。
总结起来，证明两个面是垂直的方法有很多种，我们可以根据具体的题目要求来选择合适的方法进行证明。在实际问题中，我们经常会遇到需要证明两个面是垂直的情况，因此掌握这些证明方法对于我们解决几何问题非常重要。希望以上方法能够帮助大家更好地理解和运用面面垂直的概念。
怎样证明面面垂直
怎样证明面面垂直 第一篇：怎样证明面面垂直 怎样证明面面垂直如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。(面面垂直判定定理) 为方便，下面#后的代表向量。 #cd=#bd-#bc,#ac=#bc-#ba,#ad=#bd-#ba. 对角线的点积：#ac·#bd=(#bc-#ba)·#bd=#bc·#bd-#ba·#bd 两组对边平方和分别为： ab2+cd2=ab2+(#bd-#bc)2=ab2+bd2+bc2-2#bd·#bc ad2+bc2=(#bd-#ba)2+bc2=bd2+ba2+bc2-2#bd·#ba 则ab2+cd2=ad2+bc2等价于#bd·#bc=#bd·#ba等价于#ac·#bd=0 所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 2 一、初中部分 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。(面面垂直判定定理) 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：