不等式的证明技巧[共五篇]
不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。
对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。
首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。
通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。
2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。
例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。
3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。
通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。
无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。
在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。
此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。
不等式的证明方法
不等式的证明方法不等式是数学中一类重要的数学不等关系，它在各个领域中都有广泛的应用。
证明不等式的方法有很多，下面介绍几种常见的方法。
1.数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。
当不等式对于一些特定的n成立时，我们可以证明当n+1时，不等式也成立。
具体步骤如下：（1）首先验证当n=1时不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即不等式表达式为Pk(k)，其中Pk(k)表示当n=k时不等式的表达式；（3）利用假设的条件，证明当n=k+1时不等式也成立，即证明Pk(k+1)；（4）由(1)(2)步骤可知，不等式对于n=1成立，又由(3)步骤可知，当n=k+1时不等式也成立，综上可得，不等式对于所有的n成立。
2.数学推理数学推理是一种常用的证明不等式的方法，它主要是通过运用已知的数学定理、性质和等式进行逻辑推理，从而得出结论。
例如，可以利用已知的三角函数性质、代数运算等进行推理，通过一系列推导和等价变形得出需要证明的不等式。
3.代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法，它主要是利用数值替换变量，通过对不等式成立条件的特殊取值进行代入，从而证明不等式成立。
例如，对于一个两个变量的不等式，可以分别取其中一个变量为0或1，然后对不等式进行推导和比较，得出结论。
4.反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法，它通过假设所要证明的不等式不成立，然后从假设出发推导出与已知矛盾的结论，从而证明原不等式成立。
具体步骤如下：（1）假设不等式不成立，即存在一些条件使得不等式不成立，这个条件可以是一个数、一个式子等；（2）利用假设条件进行推导，推导出与已知矛盾的结论；（3）由于假设条件导致与已知矛盾，所以假设不成立，即原不等式成立。
5.AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）AM-GM不等式是一种常用的证明不等式的方法。
它断言，若a1，a2，...，an是n个非负实数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥√(a1*a2*...*an)，等号成立的条件是a1=a2=...=an。
不等式证明中的几种新颖方法
不等式证明中的几种新颖方法
以下是 8 条关于不等式证明中的新颖方法：
1. 放缩法简直太神奇啦！比如说，要证明
1+1/2+1/3+……+1/n>ln(n+1)，咱就可以通过巧妙地放大或缩小一些项
来达到目的。
这就好像建房子，一点一点把合适的材料放上去就能建成稳固的大厦呀！
2. 构造函数法真的是绝了！像证明x²+5>2x+3 ，咱可以构造函数
f(x)=x²-2x+2 ，通过研究函数的性质来得出不等式的结论，这多像给不等
式穿上了一件量身定制的衣服！
3. 数学归纳法也很厉害的哟！比如要证明一个关于 n 的不等式，先证
明当 n=1 时成立，然后假设 n=k 时成立去推出 n=k+1 时也成立。
这就像爬楼梯，一步步稳稳地往上走！“嘿，这不就证明出来啦！”
4. 利用均值不等式来证明，哇哦，那可太好用啦！例如证明
(a+b)/2≥√(ab) ，这就像是给不等式找了个平衡的支点！
5. 换元法也有意思呀！把复杂的式子通过换元变得简单明了，再去证明。
就好像把一团乱麻理清楚，然后就能看清它的真面目啦！“哇，原来这么简单！”
6. 反证法也超棒的呢！先假设不等式不成立，然后推出矛盾，从而证明原来的不等式是对的。
这不是和找错一样嘛，找到错的就知道对的在哪啦！
7. 排序不等式更是一绝！在一堆乱序的数中找到规律证明不等式，就像在一堆杂物中找到宝贝一样让人惊喜！
8. 柯西不等式也是很牛的哦！通过它独特的形式来证明不等式，真的是让人眼前一亮呀！“哇塞，还有这种神奇的方法！”
我觉得这些新颖的方法就像是一个个神奇的工具，能让我们在不等式的证明中如鱼得水，轻松搞定各种难题！。
不等式的证明方法
不等式的证明方法第一篇：不等式的证明方法几个简单的证明方法一、比较法：a>b等价于a-b>0；而a>b>0等价于ab>1.即a与b的比较转化为与0或1的比较.使用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法与分析法：综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式出发，推导出所要证明的不等式；分析法是执果索因，即是要逐步找出使结论成立的充分条件或者充要条件，最后归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径.还要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式；第二，要善于利用题中的隐含条件；第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法：正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面出发，通过合理的逻辑推理导出矛盾，从而断定所要证的不等式成立.要注意对所有可能的反面结果都要逐一进行讨论.四、放缩法：要证a<b，又已知(或易证)a<c，则只要证c<b，这是利用不等式的传递性，将原不等式里的某些项适当的放大或缩小，或舍去若干项等以达证题目的.放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：a2+1>a；n(n+1)>n；②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：log3⋅lg5<（n(n+1)<lg3+lg522)2=lg<lg=lg4； n+(n+1)；④利用常用结论：k+1-k=1k+1+=11-k1k<12k1k；1k(k+1)1k+11k1k+11k<1k(k-1)1k；>=-（程度大）1k<-1=(k-1)(k+1)=2k-1（-)；（程度小）五、换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：已知x2+y2=a2，可设x=acosθ,y=asinθ；已知x2+y2≤1，可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1)；已知xaxa2+ybyb=1，可设x=acosθ,y=bsinθ；-=1，可设x=asecθ,y=btanθ；六、数学归纳法法：与自然数n有关的许多不等式，可考虑用数学归纳法证明，数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中有专门的研究.但运用数学归纳法时要注意：第一，数学归纳法有多种形式.李大元就证明了下述七种等价的形式：设P(n)是与n有关的命题，则(1)、设P(n0)成立，且对于任意的k>n0，从P(k)成立可推出P(k+1)成立，则P(n)对所有大于n0的n都成立.(2)、设m是任给的自然数，若P(1)成立，且从P(k)(1≤k<m)成立可推出P(k+1)成立，则P(n)对所有不超过m的n都成立.(3)、(反向归纳法)设有无穷多个自然数n(例如n=2m)，使得P(n)成立，且从P(k+1)成立可推出P(k)成立，则P(n)对所有n成立.(4)、若P(且P(n)对所有满足1≤n≤k的n成立可推出P(k+1)成立，1)成立，则P(n)对所有n成立.(5)、(最小数原理)自然数集的非空子集中必有一个最小数.(6)、若P)且若P(k),P(k+1)成立可推出P(k+2)成立，则P(n)1(,P(2)成立，对所有n成立.(7)、(无穷递降法)若P(n)对某个n成立可推出存在n1<n，使得P(n1)成立，则P(n)对所有n成立.此外，还有螺旋归纳法(又叫翘翘板归纳法)：设有两个命题P(n),Q(n)，若P(1)成立，又从P(k)成立可推出Q(k)成立，并且从Q(k)成立可推出P(k+1)成立，其中k为任给自然数，则P(n),Q(n)对所有n都成立，它可以推广到两个以上的命题.这些形式虽然等价，但在不同情形中使用各有方便之处.在使用它们时，若能注意运用变形和放缩等技巧，往往可收到化难为易的奇效.对于有些不等式与两个独立的自然数m,n有关，可考虑用二重数学归纳法，即若要证命题P(m,n)对所有m,n成立，可分两步：①先证P(1,n),P(m,1)对所有m,n成立；②设P(m+1,n),P(m,n+1)成立，证明P(m+1,n+1)也成立.第二，数学归纳法与其它方法的综合运用，例如，证明n∑k=11ksinkx>0,(0<x<π)就要综合运用数学归纳法，反证法与极值法；有时可将n换成连续量x，用微分法或积分法.第三，并不是所有含n的不等式都能用数学归纳法证明的.七、构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．笔者将在第三章中详细地介绍构造法.八、利用基本不等式：善于利用已知不等式，特别是基本不等式去发现和证明新的不等式，是广泛应用的基本技巧.这种方法往往要与其它方法结合一起运用.22例1 已知a，b∈R，且a+b=1.求证：(a+2)+(b+2)≥252.证法一：(比较法)Θa,b∈R,a+b=1∴b=1-a∴(a+2)+(b+2)-252=a+b+4(a+b)-12=2(a-12)≥0=a+(1-a)+4-=2a-2a+即(a+2)2+(b+2)2≥证法二：(分析法)252(当且仅当a=b=时，取等号).(a+2)2+(B+2)≥252⇐a+b+4(a+b)+8≥252⎧b=1-a⎪⇐⎨225122⇐(a-)≥0⎪a+(1-a)+4+8≥22⎩显然成立，所以原不等式成立.点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.证法三：(综合法)由上分析法逆推获证(略).证法四：(反证法)假设(a+2)2+(b+2)2<252，则 a2+b2+4(a+b)+8<252252.由a+b=1，得b=1-a，于是有a2+(1-a)2+12<1⎫⎛所以(a-)<0，这与 a-⎪≥0矛盾.22⎭⎝.所以(a+2)+(b+2)≥252.证法五：(放缩法)∵a+b=1∴左边＝(a+2)+(b+2)⎡(a+2)+(b+2)⎤2125≥2⎢=a+b+4=⎡⎤()⎥⎣⎦222⎣⎦＝右边.点评：根据不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式⎛a+b⎫a+b≥2 ⎪.⎝2⎭证法六：(均值换元法)∵a+b=1，所以可设a=12+t，b=-t，1∴左边＝(a+2)+(b+2)=(+t+2)2+(-t+2)25⎫5⎫2525⎛⎛2＝右边.=t+⎪+t-⎪=2t+≥2⎭2⎭22⎝⎝当且仅当t=0时，等号成立.点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元.证法七：(利用一元二次方程根的判别式法) 设y=(a+2)+(b+2)，由a+b=1，有y=(a+2)2+(3-a)2=2a2-2a+13，所以2a2-2a+13-y=0，因为a∈R，所以∆=4-4⋅2⋅(13-y)≥0，即y≥故(a+2)+(b+2)≥252.252.下面，笔者将运用数学归纳法证明第一章中的AG不等式.在证明之前，笔者先来证明一个引理.引理：设A≥0，B≥0，则(A+B)n≥An+nA(n-1)B，其中n∈N+.证明：由二项式定理可知n(A+B)=∑An-iBi≥An+nA(n-1)Bni=0∴(A+B)≥A+nAnn(n-1)B第二篇：证明不等式方法不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。
不等式证明常用技巧总结
不等式的证明一、常用方法：作差、作商法；分析、综合法；换元法；构造函数法；反证法；放缩法；归纳法； （分析综合法）.,2,0,022ab c c a ab c c b a c b a -+<<--+>>>求证：已知二、不等式证明中常用技巧：1.加减常数 求函数)1(11≠-+=x x x y 的值域。
2.巧变常数 已知210<<x ，求函数y ＝x （1－2x ）的最大值。
3.分离常数 已知25≥x ，求4233)(2-+-=x x x x f 的最值。
4.巧用常数 若+∈R y x ,且满足1164=+y x ，求x ＋y 的最小值。
5.统一形式 已知+∈R c b a ,,，求)11)((c b a c b a ++++的最小值。
6.轮换对称 .,,222ac bc ab c b a c b a ++>++证：是互不相等的实数，求若. 7.重要不等式 16)(16,02≥-+>>b a b a b a 求证： 8.逆向运用公式型.22121,1,,≤+++=+∈+b a b a R b a 求证：且已知 （提示：将2121++b a ，转换成211211+⋅+⋅b a ，然后运用公式2b a ab +≤） 如何巧用常数： 1..22311,12,0,0+≥+=+>>ba b a b a 则且若 2..9111,1,,,≥++=++∈+cb ac b a R c b a 求证：且已知 3..91111,1,,≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∈+b a b a R b a 求证：且已知 4..311,,222≥++=++z y x z y x z y x ，则均为正数，且已知5..23,,≥+++++b a c a c b c b a z y x 均为正数，求证：已知 ().29111)()((21111)(111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a a c c b a c c b b a b a a c c b c b a b a b a c a c a c b c b c b a b a c a c b c b a ）不等式证明中的放缩法 1..121111212*<++++<≥∈nn n n N n ，求证：，且已知 2..333221222*<++++∈n n N n ，求证：已知.2)111(2)1()1(2)1()1(21)1(2212）（≥--=---=-+-=-+-<+==k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k3. 设n ∈N ，求证：(2)引进辅助式，设比较两式的对应因式可知。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全
在数学研究中，证明不等式是一项重要的内容。
目前，关于证明不等式的方法可以分
为几类，下面将详细展开讨论：
一、绝对值的技巧：将不等式中的变量都化为绝对值，这样可以有效地转换原不等式。
二、代数变换法：通过恰当的代数变换，将不等式中变量交换，从而转化为更简单的
不等式。
三、数量不等式法：将相同的不等式进行变形，将其变换为数量不等式，然后继续解决，从而获得结论。
四、角度不等式法：如果不等式涉及到测量角度的变量，我们可以将其转换为角度不
等式，然后判断两个角度的大小关系，从而获得结论。
五、条件不等式法：将不等式的左右两侧都加上某个条件，将其变换为条件不等式，
然后根据条件判断两个式子大小关系。
六、单值不等式变形法：将不等式变为单值不等式，然后将单值不等式中的变量通过
某种方式改变，从而继续解决不等式本身，用这种方法可以得出不等式的正确性。
七、多元不等式的考虑：由于某些不等式涉及多个变量，因此需要考虑这些变量的关系，包括不等式的变换形式，和多个变量的联系在内的其他因素，这样才能正确地证明不
等式的正确性。
以上就是证明不等式的各种方法，正确运用上述方法，可以帮助我们轻松地证明定理，有助于提高科学研究的水平。
不等式证明基本方法
不等式证明基本方法一、数学归纳法数学归纳法是证明自然数性质的一种基本方法，对于与整数有关的不等式，我们也可以利用数学归纳法进行证明。
其基本思路是先证明当n=1时不等式成立，再假设当n=k时不等式成立，然后通过数学推理证明当n=k+1时不等式也成立。
二、反证法当我们尝试利用数学归纳法证明不等式时，有时可能会遇到困难，这时我们可以尝试使用反证法。
反证法的证明过程是：先假设不等式不成立，然后推导出与已知条件或已证明的定理矛盾的结论，从而证明原不等式的正确性。
三、插值法插值法也是一种常见的不等式证明方法。
其基本思路是在待证不等式的两边加入适当的不等式，并利用不等式的传递性和可加减性进行推导，最终得到待证不等式的真假结论。
四、绝对值法对于涉及绝对值的不等式，我们可以利用绝对值的性质进行证明。
例如，对于，a-b，>c这样的绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其拆分为两个不等式，再分别进行证明。
另外，利用绝对值不等式的性质，我们还可以进行变量替换等操作，将原不等式化简为更简单的形式进行证明。
五、特殊化方法特殊化方法是指将不等式中的一些变量或参数取特殊值，从而达到简化不等式的目的。
例如，对于含有幂函数的不等式，我们可以通过取特殊值使得幂函数变为常数或者线性函数，从而将原不等式化简为更简单的形式。
综上所述，不等式证明的基本方法包括数学归纳法、反证法、插值法、绝对值法和特殊化方法等。
在具体的证明过程中，我们需要根据待证不等式的特点选择合适的方法，并灵活运用各种数学工具和技巧，从而得到准确的证明结论。
不等式证明方法
不等式证明方法不等式在数学中占有重要的地位，它是描述数之间大小关系的一种数学工具。
不等式证明方法是数学中的重要内容之一，本文将介绍不等式证明的几种常见方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握不等式的证明技巧。
一、数学归纳法。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，它通常用于证明某个命题对于一切自然数成立。
在不等式证明中，我们可以利用数学归纳法证明不等式的成立。
具体来说，我们首先证明不等式对于n=1时成立，然后假设不等式对于n=k时成立，再证明不等式对于n=k+1时也成立。
通过数学归纳法，我们可以比较简单地证明一些不等式的成立。
二、换元法。
换元法是不等式证明中常用的一种方法。
当我们遇到复杂的不等式时，可以通过适当的换元将不等式化简为更简单的形式，从而更容易进行证明。
换元法的关键在于选择合适的变量替换原不等式中的变量，使得不等式的结构更加清晰，证明过程更加简单明了。
三、分析法。
分析法是一种直接从不等式的定义出发，通过分析不等式的性质和特点来进行证明的方法。
在不等式证明中，我们可以通过分析不等式两边的大小关系，利用数学运算性质和数学规律，推导出不等式成立的条件，从而完成不等式的证明。
四、综合利用不等式性质。
不等式有许多性质，如传递性、对称性、反对称性等，我们可以通过综合利用这些性质来进行不等式的证明。
具体来说，我们可以利用不等式的传递性将复杂的不等式化简为简单的形式，再利用对称性和反对称性来推导不等式的成立条件，从而完成不等式的证明。
五、几何法。
在不等式证明中，几何法也是一种常用的证明方法。
通过几何图形的分析，我们可以直观地理解不等式的性质和特点，从而更容易进行证明。
在利用几何法进行不等式证明时，我们可以通过构造合适的几何图形，利用几何关系和几何性质来推导不等式的成立条件，完成不等式的证明。
六、数学推理法。
数学推理法是不等式证明中常用的一种方法，通过逻辑推理和数学推理来证明不等式的成立。
在利用数学推理法进行不等式证明时，我们可以通过分析不等式的性质和特点，运用数学推理规律和数学推理方法，推导出不等式成立的条件，完成不等式的证明。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全1.推导法：推导法是指通过逻辑推理从已知不等式得出要证明的不等式。
常用的推导法有数学归纳法、递推法、代入法等。
其中，数学归纳法是一种常见的证明不等式的方法，它基于以下两个基本原理：基准步和归纳假设。
（1）基准步：证明当一些特定的变量取一些特定的值时，不等式成立。
（2）归纳假设：假设当一些特定的变量取小于等于一些特定值时，不等式成立。
通过利用以上两个原则，可以通过递推关系不断推导得出要证明的不等式。
2.数学运算法：数学运算法是指通过对不等式进行各种数学运算来得到要证明的不等式。
常用的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。
在进行这些运算时，需要注意运算规则和要证明的不等式所满足的条件，避免运算过程中引入新的限制条件。
3.几何法：几何法是指通过将不等式转化为几何问题进行证明。
几何法常用于证明平面图形的不等式定理，如三角形的不等式定理、平行四边形的不等式定理等。
通过将要证明的不等式几何化，可以通过几何性质和定理进行证明。
4.广义的带参数的方法：广义的带参数的方法是指将要证明的不等式引入参数，通过参数的取值范围来证明不等式的成立。
这种方法常用于证明含有多个变量的复杂不等式，通过引入参数使得不等式简化或者更易处理。
5.分情况讨论法：分情况讨论法是指将要证明的不等式拆分为几个不同的情况进行讨论，分别证明每个情况下不等式的成立。
通过逐个讨论每种情况，可以得出要证明的不等式的证明。
6.反证法：反证法是指假设要证明的不等式不成立，通过推理推出与已知条件矛盾的结论，从而证明不等式的成立。
反证法常用于证明不等式的唯一性和存在性。
7.递推法：递推法是指通过依次推导出不等式的前一项和后一项之间的关系，逐步逼近要证明的不等式。
通过不断进行递推，可以逐步证明不等式的成立。
以上是一些常见的不等式证明方法，它们可以单独使用，也可以结合使用。
在进行不等式证明时，需要注意逻辑严谨、计算准确和推导合理，同时还需要根据具体的题目和要求选择合适的证明方法。
拉格朗日中值定理证明不等式的技巧
拉格朗日中值定理证明不等式的技巧为了证明不等式，我们可以利用拉格朗日中值定理来转化函数的性质。
以下是一些常见的技巧：1. 构造函数：我们可以人为地构造一个满足定理条件的函数。
例如，我们可以定义一个新函数g(x) = f(b) - f(a) - kf'(x)(b - a) ，其中k为一些常数。
然后，我们可以使用拉格朗日中值定理来证明不等式，即证明g(x)满足一些条件。
通过巧妙地选择k的值，我们可以得到需要的结果。
2.使用导数的性质：通过研究函数的导数，我们可以从函数的变化率中获得有关不等式的信息。
例如，如果我们证明了函数f(x)在[a,b]上的导数满足一些条件，比如导数大于零或导数单调递增，那么可以推断出函数在这个区间上是递增的，从而可以得到不等式。
若证明f'(x)>0,则有f(a)<f(b),即f(x)在[a,b]上是单调递增的函数。
3.利用函数的凸性与凹性：如果函数f(x)在一些区间上是凸函数，那么可以使用拉格朗日中值定理来证明不等式。
如果函数f(x)满足f''(x)≥0，那么我们可以通过证明f(b)-f(a)≥f'(c)(b-a)，其中c∈(a,b)，来得到所需的不等式。
4.最大最小值：如果函数在一些区间上的最大值或最小值发生在区间的端点上，那么可以利用拉格朗日中值定理来证明不等式。
通过假设函数的最大值或最小值在(a,b)之间的特定点c处达到，我们可以使用函数的导数来推导出不等式的限制条件。
5.二分法与中值的选择：在证明不等式时，我们可以应用二分法来选择合适的区间，并使用拉格朗日中值定理来证明不等式。
通过逐步缩小区间的范围，并选择合适的中值点，我们可以得到不等式的证明过程。
这些技巧只是在使用拉格朗日中值定理证明不等式时的一些常见方法和思路。
在具体的证明过程中，我们还需要根据不等式的具体形式和所给的条件灵活选择合适的方法。
同时，还需要注意在使用拉格朗日中值定理时，对函数和导数的要求，以及定理条件的合理性。
[2019年整理]几何法证明不等式(精选多篇).doc
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几何法证明不等式(精选多篇)目录第一篇：几何法证明不等式第二篇：不等式的导数法证明第三篇：比较法证明不等式第四篇：g3.1038 不等式的证明—比较法第五篇：函数法证明不等式更多相关范文正文第一篇：几何法证明不等式几何法证明不等式用解析法证明不等式：(a,b∈r，且a≠b)设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(b>a)a=b,刚好构成,若a 不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a),经化简有(b+a)=4ab,所以有((a+b)/2)=ab,又因为(a+b)/2>=ab,所以有((a+b)/2)可以在直角三角形内解决该问题=-(a+b)/2=/4=-(a-b)/4能不能用几何方法证明不等式，举例一下。
比如证明sinx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)做出一个单位圆，以o为顶点，x轴为角的一条边任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x那个角另一就是代数法不是用向量等几何法证明.....有没有哪位狠人帮我解决下【柯西不等式的证明】二维形式的证明(a+b)(c+d)(a,b,c,d∈r)=a ·c +b ·d +a ·d +b ·c=a ·c +2abcd+b ·d +a ·d -2abcd+b ·c=(ac+bd)+(ad-bc)≥(ac+bd) ，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
一般形式的证明求证：(∑ai )(∑bi )≥(∑ai·bi)证明：当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立令a=∑ai b=∑ai·bic=∑bi当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知a>0构造二次函数f(x)=ax+2bx+c，展开得：f(x)=∑(ai ·x +2ai·bi·x+bi )=∑(ai·x+bi) ≥0故f(x)的判别式△=4b-4ac≤0，移项得ac≥b，欲证不等式已得证。
(完整版)不等式的证明方法大全,推荐文档
不等式的证明一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种：1．作差比较法（1）应用范围：当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，常用此法。
（2）方法：欲证A>B,只需要证A-B>0（3）步骤：“作差----变形----判断符号”。
（4）使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差符号。
○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。
○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。
2．作商比较法（1）应用范围：当要证的式子两端是乘积的形式或幂、指数时常用此法。
（2）方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1A B >；若B=0，只需证明A>0；若B<0，只需证明1AB<。
（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小”例1 已知a ，b ∈R ，且a+b=1. 求证：()()2252222≥+++b a . 解析：用作差比较法a b b a R b a -=∴=+∈1,1,,()()2222259224()22a b a b a b ∴+++-=+++-2222911(1)4222(0222a a a a a =+-+-=-+=-≥即()()2252222≥+++b a （当且仅当21==b a 时，取等号）例2：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b a > 0∴0)()(>+-m b b a b m即：bam b m a >++例3：已知a>b>0,求证：()2a b a ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba aabb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>练习：已知a ，b∈R +，求证a a b b ≥a b b a ．例4：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。
不等式证明技巧
不等式证明技巧
1. 比较法，这就像我们走路，要知道哪条路更近！比如证明 2x+3＞
x+5，我们就把左边减去右边，看看是不是大于 0 就知道啦！
2. 分析法，哎呀呀，就像侦探破案一样，一步步找到证据来证明不等式！比如证明根号(x+1)＞x，咱们就从结论往回推，找到能说明它成立的条件。
3. 综合法，这不就是把各种线索都放到一起嘛！比如说已知 a＞b，b＞c，
那咱就能直接得出 a＞c 啦。
4. 放缩法，哈哈，就像把东西变胖或变瘦一样！比如要证明一个式子小于
1/2，咱可以把一些项放大一点，让它更容易看出来。
就好比证明 1/(n+1)!＜1/2^n。
5. 反证法，哇哦，和别人争论的时候常用到呀，假设不对然后推出矛盾！例如证明不存在整数 x 让 x^2-2x-3=0 成立。
6. 数学归纳法，就像爬楼梯一样，先证明第一步能行，再假设第 n 步行然
后证明第n+1 步也没问题！像证明1+2+3+…+n=n(n+1)/2 就很适用呢。
7. 构造函数法，嘿，这就像给自己打造一个专属工具来解决问题！比如构造个函数来证明不等式 x^2+2x+2＞0。
8. 换元法，相当于给问题换个包装呀！像证明(1+2^x)(1+3^x)≥4 ，咱可
以换个元来让它更简单明了。
9. 利用基本不等式，这可是个宝贝啊！举例来说，已知 x＞0，y＞0，要证
明x+y≥2 根号(xy) 是不是很常用！
我觉得呀，这些不等式证明技巧都超级实用，就像我们手里的武器，能帮我们攻克一个又一个难题！大家可得好好掌握它们呀！。
不等式的证明方法
不等式的证明方法不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据，但是由于不等式的形式多样，因此不等式的证明方法也很多。
我总结了一些不等式的证明方法 ，下面举例说明。
一. 比较法例1 求证：223x +>x .证明：因为()222155232320222x x x x x ⎛⎫+-=-+=-+≥> ⎪⎝⎭所以 223x +>x .证明例1的方法称为作差比较法。
用差与“0”比较大小。
例2 已知a >b>c>0,求证：()3a b c ab cab c abc ++>。
证明：因为()2223333a b c b a c c a b a b ca b c a b c abcabc ------++=333333a b a cb a b cc a c babc------+++=333a b a c b c a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且a >b>0, 所以a -b>0,1a b >，故31a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭。
同理可证31a c a c -⎛⎫> ⎪⎝⎭，31b cb c -⎛⎫> ⎪⎝⎭。
所以3331a b a c b c a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而()3a b ca b ca b c a bc ++>。
证明例2的方法称为求商比较法。
用商与“1”比较大小。
二．反证法 例3是无理数。
=q p，p ≠0,且p,q 互素，则所以， 222p q = ①故2q 是偶数，q 也必是偶数。
不妨设q=2k,代入①式，则有2224pk =，即222p k =，所以，p 也是偶数.P 和q 都是偶数，它们有公约数2，这与p,q 互素相矛盾。
不是有理数，而是无理数。
证明例3的方法称为反证法。
当命题过于简单，或正面情况非常复杂时，一般用反证法。
不等式的性质与不等式的证明
不等式的性质与不等式的证明不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。
在不等式中，我们需要根据已知条件推导出新的不等式，这就需要借助不等式的性质进行证明。
本文将重点介绍不等式的性质以及不等式的证明方法。
1.不等式的性质(1)传递性：如果a<b，b<c，那么可以推出a<c。
这个性质可以简单地通过比较大小关系来理解，如果a比b小，b比c小，那么a当然比c 小。
(2)加法性：如果a<b，那么对于任意的c，有a+c<b+c。
这个性质也比较直观，如果a比b小，那么加上同一个正数c，a+c就会变得小于b+c。
同样地，如果a>b，那么对于任意的c，有a+c>b+c。
(3)乘法性：如果a<b，那么对于任意的正数c，有a×c<b×c。
这个性质也比较直观，正数的乘法会拉大不等式之间的差距。
同样地，如果a>b，那么对于任意的正数c，有a×c>b×c。
需要注意的是，如果c是负数，那么不等号的方向会发生翻转。
(4)反身性：任何数a都满足a=a。
这个性质是显然的，每个数都等于它自己。
2.不等式的证明方法(1)数学归纳法：对于一些给定的自然数n，如果我们可以证明当n=1时不等式成立，且对于任意的n=k时成立，那么我们就可以证明当n=k+1时不等式也成立。
这种方法通常用于证明关于自然数的不等式，其中k为任意自然数。
(2)反证法：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明不等式是正确的。
反证法通常用于证明数学问题中的一些结论。
(3)矛盾法：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的前提，从而证明不等式是正确的。
矛盾法通常用于证明的过程中需要排除一些条件才能得到结论的情况。
(4)代入法：将不等式中的符号用具体的数值代入，通过对具体的数值进行计算来验证不等式的正确性。
代入法相对于其他方法来说，更直观、容易理解。
不等式的证明
不等式的证明1．不等式证明的方法 (1)比较法 ①作差比较法：知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b 只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法：由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时，要证明a ＞b ，只要证明ab ＞1即可，这种方法称为作商比较法．(2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法．(3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．(4)反证法和放缩法①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．(5)数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n ＝n 0时命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．几个常用基本不等式 (1)二维形式的柯西不等式①定理1(二维形式的柯西不等式)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立． ②(二维变式)a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |，a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |．③定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．④定理3(二维形式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥⑤(三角变式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥(2)柯西不等式的一般形式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．(3)排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有：a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b ，则x 与y 的大小关系是( )A ．x ＞yB.x ＜y C ．x ≥y D ．x ≤y解析：选A .x －y ＝a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab .由a ＞b ＞1得ab ＞1，a －b ＞0，所以（a －b ）（ab －1）ab＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y .下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③|b a ＋ab |≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( )A ．1B.2 C ．3 D ．4解析：选C .log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2(x ＞1)；①正确．ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确； 因为ab ≠0，b a 与ab 同号，所以|b a ＋b a |＝|b a |＋|ab |≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知， |x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确， 综上①③④正确．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，所以m 2＋n 2≥ 5，所以m 2＋n 2的最小值为5.答案： 5若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求a ＋b ＋c 的最大值． 解：(a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2 ≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以(a ＋b ＋c )2≤3. 故a ＋b ＋c 的最大值为3.设x ＞0，y ＞0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值．解：因为x ＞0，y ＞0，所以原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )(x ＋y )＝2＋y x ＋x y .因为2＋y x ＋xy ≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y 时等号成立．所以⎣⎡⎦⎤（1x ＋1y ）（x ＋y ）min＝4， 即－λ≤4，λ≥－4. 所以λ的最小值为－4.用综合法、分析法证明不等式 [学生用书P224][典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.【证明】 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3（a ＋b ）24(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．[通关练习]1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求证：1a ＋1b ≥4.证明：由3是3a 与3b 的等比中项得 3a ·3b ＝3，即a ＋b ＝1，要证原不等式成立， 只需证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4成立，即证b a ＋ab ≥2成立，因为a ＞0，b ＞0，(当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立)，所以1a ＋1b≥4.2．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.放缩法证明不等式[学生用书P225][典例引领]若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b | ⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k ＞1.(2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋mb ＋m”．[注意] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．[通关练习]设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明： 由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，所以12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n＝1.所以原不等式成立．柯西不等式的应用[学生用书P225][典例引领]已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 【解】 (1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.(1)使用柯西不等式证明不等式的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n )≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．[通关练习]1．设x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值． 解： 根据柯西不等式，有(1·x －2·y ＋2·z )2≤[12＋(－2)2＋22](x 2＋y 2＋z 2)， 即(x －2y ＋2z )2≤9×25， 所以－15≤x －2y ＋2z ≤15，故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.2．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝33.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y证明： 由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183， 所以x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32，当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．排序不等式的应用[学生用书P226][典例引领]设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．【证明】 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ，由排序不等式得，ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b ， 上述两式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时， ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 取最小值32.求最小(大)值时，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当的一个或两个乱序和，从而求出其最小(大)值．[通关练习]设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值．解： 令S ＝1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ），则S ＝（abc ）2a 3（b ＋c ）＋（abc ）2b 3（a ＋c ）＋（abc ）2c 3（a ＋b ）＝bca （b ＋c ）·bc ＋ac b （a ＋c ）·ac ＋abc （a ＋b ）·ab .由已知可得：1a （b ＋c ）≥1b （a ＋c ）≥1c （a ＋b ），ab ≤ac ≤bc .所以S ≥bc a （b ＋c ）·ac ＋ac b （a ＋c ）·ab ＋abc （a ＋b ）·bc＝ca （b ＋c ）＋a b （a ＋c ）＋bc （a ＋b ）.又S ≥bc a （b ＋c ）·ab ＋ac b （a ＋c ）·bc ＋abc （a ＋b ）·ac＝ba （b ＋c ）＋c b （a ＋c ）＋ac （a ＋b ），两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥331abc＝3.所以S ≥32，即1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值为32.证明不等式的常用方法与技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．证明不等式需要注意的2个问题(1)在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要分析每次使用时等号是否成立．(2)柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件．[学生用书P353(单独成册)]1．(2018·长春质量检测(二))(1)如果关于x 的不等式|x ＋1|＋|x －5|≤m 的解集不是空集，求实数m 的取值范围；(2)若a ，b 均为正数，求证：a a b b ≥a b b a .解：(1)令y ＝|x ＋1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x ≤－16，－1＜x ＜52x －4，x ≥5，可知|x ＋1|＋|x －5|≥6，故要使不等式|x ＋1|＋|x －5|≤m 的解集不是空集，只需m ≥6.(2)证明：因为a ，b 均为正数，所以要证a a b b ≥a b b a ，只需证a a －b b b －a ≥1，即证(a b )a －b ≥1，当a ≥b 时，a －b ≥0，a b ≥1，可得(ab )a －b ≥1；当a ＜b 时，a －b ＜0，0＜a b ＜1，可得(a b )a －b ＞1，故a ，b 均为正数时，(ab )a －b ≥1，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a a b b≥a b b a 成立．2．(2018·湘中名校联考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋3bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，可得－b －a ＜x ＜b －a ， 所以－b －a ＝2且b －a ＝4.解得a ＝－3，b ＝1. (2)利用柯西不等式，可得－3t ＋12＋3t ＝3(4－t ＋t )≤3（1＋1）（4－t ＋t ）＝6×4－t ＋t ＝26，当且仅当t ＝4－t ，即t ＝2时等号成立．当t ＝2时，at ＋12＋3bt 的最大值为26.3．已知实数a ，b ，c ，d 满足a >b >c >d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d.。
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不等式的证明技巧[共五篇]第一篇：不等式的证明技巧不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场[例1]．已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+1125)(b+)≥.ba4［例2］求使x+y≤ax+y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2xy≤a2(x+y)，即2xy≤(a2－1)(x+y)，∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，①②当且仅当x=y时，②中有等号成立.比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a的最小值是2.解法二：设u= x+y(x+y)2==x+yx+yx+y+2xy2xy.=1+x+yx+y∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2xy(当x=y时“=”成立)，∴2xy2xy≤1，的最大值是1.x+yx+y从而可知，u的最大值为+1=2，又由已知，得a≥u，∴a的最小值为2.解法三：∵y＞0，∴原不等式可化为x+1≤ayx+1，y设xπ=tanθ，θ∈(0，).y2∴tanθ+1≤atan2θ+1；即tanθ+1≤asecθ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+π4)，③又∵sin(θ+π4)的最大值为1(此时θ=π4).由③式可知a的最小值为2.●锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法、增量代换法，‘1’代换法等，换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.●歼灭难点训练一、填空题ab1.已知x、y是正变数，a、b是正常数，且+=1，x+y的最小值为__________.xy2.设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是__________.3.)若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，则m、n、p、q的大小顺序是__________.二、解答题4.已知a，b，c为正实数，a+b+c=1.求证：(1)a2+b2+c2≥13(2)3a+2+b+2+c+2< 612，证明：x，y，z∈［0，］23b+c2c+a2a+b26.若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，证明：z≥2(xy+yz+zx)x+y+abc5.已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=7.若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1.8.设a,b,c∈R+,求证:9.证明下列不等式：（1x≥4)；（2）证明：ab+cd 1+1+1≥1+1+1。
2a2b2cb+cc+aa+b10.已知a、b、c∈（0，1），求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a，不能均大于4。
（反证法）52211.a，b∈R，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥2；（增量代换法）12.（‘1’代换法）1 1+ b + c = 1,++≥ 9.已知 a , b , c ∈ R + , 且 aa b cx-xx-x13.已知 1<a<2，x≥1，f(x)=a+a，g(x)=2+2； 22(1)比较f(x)与g(x)的大小；(2)设n∈N，n≥1，求证：f(1)+f(2)+Λ+f(2n)<4n-x-xx-x(ax-2x)(2xax-1)a-a2-2-=解：(1)f(x)-g(x)=222x+1ax1。
2∴ax<2x,2xax-1>0，且2xax>0，∴f(x)-g(x)<0，即f(x)<g(x)。
(2)由（1）f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2n)<g(1)+g(2)+g(3)+⋅⋅⋅+g(2n)=1(2+22+⋅⋅⋅+22n)+1(1+12+⋅⋅⋅+1)222222n)<4n-1=4n-1(1+12221∴f(1)+f(2)+Λ+f(2n)<4n-n，得证。
2不等式练习题一、选择题1、若a,b是任意实数,且a＞b,则()（A）a2＞b2（B）b11＜1（C）lg(a-b)＞0（D）()a＜()ba222、下列不等式中成立的是()1+a≥2(a≠0)at+111（C）＜(a＞b)（D）a≥a(t＞0,a＞0,a≠1)ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1)（B）3、已给下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R);(2)a5+b5> a3b2+a2b3(a ,b∈R);(3)a2+b2≥2(a－b－1), 其中正确的个数为()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个4、设x2+y2 = 1, 则x +y()(A)有最小值1(B)有最小值2(C)有最小值－1(D)有最小值－25、不等式|x＋5|＞3的解集是()(A){x|－8＜x＜8}(B){x|－2＜x＜2}(C){x|x＜－2或x＞2(D){x|x＜－8或x＞－26、若a，b，c为任意实数，且a＞b，则下列不等式恒成立的是()(A)ac＞bc(B)|a＋c|＞|b＋c|(C)a2＞b2(D)a＋c＞b＋cx+31x2+2x-327、设集合M={x|≤0},N={x|x+2x-3≤0},P={x|()≥1},则有()x-12（A）M⊂N=P（B）M⊂N⊂P（C）M=P⊂N（D）M=N=P8、设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是()（A）6（B）42（C）22（D）269、若关于x的不等式ax2＋bx －2＞0的解集是 -∞,-⎪Y,+∞⎪，则ab等于()(A)－24(B)24(C)14(D)－1410、如果关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a 的取值范围是()(A)(-∞,2](B)(-∞,-2)(C)(-2,2](D)(－2,2)二、填空题⎛⎝1⎫⎛12⎭⎝3⎫⎭b24、a≥0,b≥0,a＋=1,则a+b2的最大值是________.226、x＞1时，f(x)=x＋116x+2的最小值是________，此时x=________.xx+17、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________.8、不等式11〉的解集是________.xx4-12-3练习答案一、DAC DDDAB BC二、1、1+5322、8,2＋33、(0,log2)4、0 24第二篇：不等式证明常用技巧总结不等式的证明一、常用方法：作差、作商法；分析、综合法；换元法；构造函数法；反证法；放缩法；归纳法；（分析综合法）已知a>0,b>0,2c>a+b,求证：c-c2-ab<a<c+c2-ab.二、不等式证明中常用技巧：1(x≠1)的值域。
1.加减常数求函数y=x+x-112.巧变常数已知0<x<，求函数y＝x（1－2x）的最大值。
25x2-3x+33.分离常数已知x≥，求f(x)=的最值。
22x-44.巧用常数若x,y∈R+且满足+416+=1，求x＋y的最小值。
xy11+)的最小值。
a+bc5.统一形式已知a,b,c∈R，求(a+b+c)(证：a2+b2+c2>ab+bc+ac..6.轮换对称若a,b,c是互不相等的实数，求7.重要不等式a>b>0,求证：a+216≥16b(a-b)8.逆向运用公式型已知a,b∈R,且a+b=1,求证：a++11+b+≤2.22a+b1111（提示：将a+，b+转换成1⋅a+，）1⋅b+然后运用公式ab≤22222如何巧用常数：111.若a>0,b>0,且a+2b=1,则+≥3+22.ab1112.已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证：++≥9.abc⎛1⎫⎛1⎫3.已知a,b∈R+,且a+b=1,求证： 1+⎪1+⎪≥9.⎝a⎭⎝b⎭1已知x,y,z均为正数，且x+y+z=1，则x2+y2+z2≥.4.3 5.已知x,y,z均为正数，求证：a+b+c≥3.b+cc+aa+b2⎛a⎫⎛b⎫⎛c⎫⎛a+b+c⎫⎛b+c+a⎫⎛c+a+b⎫+1++1++1 ⎪⎪ ⎪=⎪+⎪+⎪⎝b+c⎭⎝c+a⎭⎝a+b⎭⎝b+c⎭⎝c+a⎭⎝a+b⎭11⎫111⎫9⎛1⎛1=(a+b+c) + ++(b+c)+(c+a))++⎪=((a+b）⎪≥.b+cc+aa+b2b+cc+aa+b⎝⎭⎝⎭2不等式证明中的放缩法1111+K+<1.1.已知n∈N*，且n≥2，求证：<+2nn+12n2.已知n∈N*，求证：1+222+332+K+nn2<3.kk2==1kk=222<=kk+kk(k-1)k+kk-1k(k-1)(k +k-1)2(k-k-1)11=2(-（）k≥2）.k(k-1)k-1k3.设n∈N，求证：(2)引进辅助式，设比较两式的对应因式可知第三篇：不等式证明的技巧欢迎光临《嘉兴市高中数学学科基地》不等式证明的技巧知识与方法证明不等式的方法很多，技巧性强；如较低要求的，在所证不等式两端同乘以一个常数；1的代换；利用函数的单调性，等等。
不等式证明的技巧，本人的理解有如下三个方面：一．基本技巧我认为不等式的证明的基本思想和技巧是通过“放大和缩小”的思想和方法，对两个数、两个量、两个式的值的大小关系的“确定”过程，这种大小关系的确定一般有比较法、分析法、综合法三种基本方法。
二．构造法1．构造重要不等式的结构，再利用相关的重要不等式来证明不等式。