三角函数图像2：周期性

周期函数

如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟．因为你很清楚，0点、1点、2点、3点……23点，每隔24小时就重复出现一次．如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔而重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”、“7天1星期”、“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替，等等．正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？

1．周期函数

(1)周期函数

条件①对于函数f(x)，存在一个__非零__常数T

②当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__

结论函数f(x)叫做__周期函数__，__非零常数T__叫做这个函数的__周期__

(2)最小正周期

条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的__正数__

结论这个最小__正数__叫做f(x)的最小正周期

2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数y＝sin x y＝cos x

周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)

最小正周期2π__2π__

奇偶性__奇函数____偶函数__

[知识点拨]1.对周期函数的两点说明

(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．

(2)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(x∈Z)．从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．

2．对函数最小正周期的两点说明

(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数，这个正数是对x 而言的，如y ＝sin2x 的最小正周期是π，因为y ＝sin(2x ＋2π)＝sin [2(x ＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x 加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x ．

(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f (x )＝c ，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．

3．正弦函数、余弦函数的奇偶性

(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．

(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． 预习自测

1．函数f (x )＝－2sin(πx ＋π

3)的最小正周期为( D )

A ．6

B ．2π

C ．π

D ．2

2．下列函数中，周期为π

2的是( D )

A ．y ＝sin x

2

B ．y ＝sin2x

C ．y ＝cos x

4

D ．y ＝cos(－4x ) 3．设函数f (x )＝sin(2x －π

2)，x ∈R ，则f (x )是( B )

A ．最小正周期为π的奇函数

B ．最小正周期为π的偶函数

C ．最小正周期为π

2

的奇函数

D ．最小正周期为π

2

的偶函数

4．若f (x )(x ∈R )为奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝__0__．

命题方向1 ⇨三角函数的周期 典例1 求下列函数的周期． (1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝2sin(x 3－π

6

)．

[思路分析] 可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式T ＝2π

|ω|直接求解．

[解析] 解法1：(1)令u ＝1

2x ，则y ＝sin u 是周期函数，且周期为2π．

∴sin(12x ＋2π)＝sin 12

x ，

即sin[12(x ＋4π)]＝sin 12x ．

∴y ＝sin 1

2x 的周期是4π．

(2)∵2sin(x 3－π6＋2π)＝2sin(x 3－π

6)，

∴2sin[13(x ＋6π)－π6]＝2sin(x 3－π

6)，

∴y ＝2sin(x 3－π

6)的周期是6π．

解法2：(1)∵ω＝12，∴T ＝2π

1

2＝4π．

(2)∵ω＝13，∴T ＝2π

1

3

＝6π．

『规律总结』 求三角函数周期的方法

(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内

的任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．

(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，可利用T ＝2π

|ω|

来求．

(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．

〔跟踪练习1〕求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin(3x ＋π

3)；

(2)y ＝|cos(2x ＋π

6)|；

(3)y ＝sin(2πx －π

4

)．

[解析] (1)∵ω＝3，T ＝2π

3

．

(2)∵函数y ＝cos(2x ＋π6)的最小正周期为π，而函数y ＝|cos(2x ＋π

6)|的图象是将函数y ＝

cos(2x ＋π

6)的图象在x 轴下方的部分对折到x 轴上方，并且保留在x 轴上方图象而得到的，

由此可知所求函数的最小正周期为T ＝π

2

．

(3)∵ω＝2π，∴T ＝2π

2

π

＝π2．