2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)

2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解

答)

2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）

A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。(C) $-\frac{1}{3}$。(D) $-

\frac{3}{5}$.

答】B.

解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-

\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-

z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-

\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。

注：本题也可用特殊值法来判断。

2.当$x$分别取值

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）

A) $-1$。(B) $1$。(C) $0$。(D) $2007$.

答】C.

解：

$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当

$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。

3.设$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边长，二次函数$y=(a-

b)x^2-cx+b-a$在$x=1$时取最小值$-\frac{b}{8}$，则$\triangle ABC$是（）

A) 等腰三角形。(B) 锐角三角形。(C) 钝角三角形。(D) 直角三角形.

答】D.

解：由题意可得$\begin{cases} -c=-1 \\ b-a=-\frac{b}{4} \end{cases}$，解得$a=b+\frac{4}{5}c$，$c=\frac{5}{3}b$，

$a=\frac{8}{3}b$，因此$\triangle ABC$是直角三角形，故选（D）。

4.已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它

的外接圆的半径，则角A的度数是多少？

解：锐角三角形ABC的垂心在三角形内部，如图所示。

设△ABC的外心为O，O为BC的中点，BO的延长线交外接

圆于点E，连CE、AE，则CE//AH，AE//CH。由于

OB=AH=CE=2OD，所以∠OBD=30°，∠BOD=60°，所以

∠A=∠BOD=60°。因此答案为C。

5.设K是△ABC内任意一点，△KAB、△KBC、△XXX

的重心分别为D、E、F，则△DEF：△ABC的值为多少？

解：分别延长KD、KE、KF，与△ABC的三边AB、BC、CA交于点M、N、P。由于D、E、F分别为△KAB、△KBC、△KCA的重心，易知M、N、P分别为AB、BC、CA的中点，所以S△MNP=1/4S△ABC。易证△DEF∽△MNP，且相似比

为2:3，所以S△DEF=(2/3)^2S△MNP=(4/9)S△ABC。因此，

△DEF：△XXX的值为4/9，即答案为A。

6.袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出

15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是多少？

解：设摸出的15个球中有x个红球、y个黑球、z个白球，则x,y,z都是正整数，且x≤5,y≤6,z≤7，x+y+z=15.因为y+z≤13，所以x可取值2，3，4，5.当x=2时，只有一种可能，即

y=6,z=7；当x=3时，y+z=12，有2种可能，y=5,z=7或

y=6,z=6；当x=4时，y+z=11，有3种可能，y=4,z=7或

y=5,z=6或y=6,z=5；当x=5时，y+z=10，有4种可能，

y=3,z=7或y=4,z=6或y=5,z=5或y=6,z=4.因此，共有

1+2+3+4=10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个

红球的结果有2种。因此所求的概率为2/10=1/5，即答案为B。

二、填空题

1.设 $x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1}$，$a$ 是 $x$ 的小数部分，$b$ 是 $-x$ 的小数部分，则 $a+b+3ab=$ $\dfrac{1}{33}$。

解：因为 $x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1}=2-1$，而

$2<2+1<3$，所以 $a=x-2=2-1$。又因为 $-x=-2-1$，而 $-3<-2-

1<-2$，所以 $b=-x-(-3)=2-2$。因此，$a+b=1$，