辽宁省大连理工大学附属高中数学：新人教B版必修三 3.3.1几何概型 学案

3．3．1几何概型

一．学习要点：几何概型的概念及其概率公式

二．学习过程：

● 几何概型概念：

事件A 理解为区域Ω的某一子区域A A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面

积、体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。

满足以上条件的试验称为几何概型。 ●几何概型的概率公式：

在几何概型中，事件A 的概率定义为：()P A Ω=其中μΩ表示区域Ω的几何度量，A μ表示子区域A 的几何度量。即

概念解读：

（1）几何概型的概率公式中的几何量，有些书上把它叫做“测度”，测度的意义依试验的

全部结果构成的区域而定，当区域分别是线段、角、平面图形、立体图形时，相应的“测度”分别表示长度、角度、面积、体积等；

（2）当试验的全部结果构成的区域一定时，A 的概率只与构成事件A 的区域的“测度”有

关，而与A 的位置和形状无关；

（3）对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式计算事件的概率，关键在于将问题几何

化，即可根据问题的情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个区域，且是可度量的．

●几何概型的特点：

✓ 无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；

✓ 等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。

●几何概型的概率求解过程：

适当选择观察角度,确定几何度量的种类：长度，面积，体积；

把基本事件空间转化为与之对应的区域；

把事件A 转化为与之对应的区域；

如果事件A 对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维； 利用概率公式计算。

●典型例题：

与“长度”有关的几何概型：

例1某汽车站每隔一小时往北京发一班汽车，某人要去北京，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

注意：（1）如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率计算公式为

；

（2）将每个基本事件理解为在某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可能用几何概型来求解；

（3）处理此类问题，判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择好观察角度。

与“角度”有关的几何概型：

例2如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60︒

任作一条射线OA，求射线落在xOT

∠内的概率。

注意：（1

；

（2）处理此类问题，应注意角度的范围。

与“面积”有关的几何概型：

例3某建筑工地要将一根长1米的钢筋条分成三段，再用分出的三段钢筋条做一个三角形支架，试求这三根钢筋条能做成三角形支架的概率。

注意：（1）这种涉及两个变量的类型题，可以在直角坐标系下讨论；

（2）如果试验的结果构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率计算公式为

。

与“体积”有关的几何概型：

例4在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出2 ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。

课堂练习：教材第114页习题

课后作业：见作业（11）