有理数的意义
有理数的意义
第一节有理数的意义月 日 姓 名【知识要点】1．有理数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0)1( （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，数轴上右边的数大于左边的数. 3．相反数（1）代数意义：像3与-3这样只有符号不同的两个数，把其中一个叫做另一个的相反数，0的相反数是0.(2)几何意义:在数轴上原点的两旁,并且到原点的距离相等.(3)求一个数的相反数就是在这个数前添一个负号,如a 的相反数是-a . (4)a 与b 互为相反数等价于0=+b a4.绝对值：数轴上,一个数a 所对应的点与原点的距离为该数的绝对值,记作a .任何一个数的绝对值都是非负数，即0≥a ．【典型例题】例1.把下列各数填入它所属的集合.-1、 -2、 0、 +3.4、 32-、 311、 5%、 。
．30-、 -（-4）自然数集：{ }负整数集：{ } 分数集： { } 正数集： { } 整数集： { } 有理数集：{ }例2．用数轴把下列各数表示出来，并用“〈”连接下列各数 -,43 1， 1.7， ,35- -0.04， ,54- 0.01, ,43 0例3．有一座三层楼房不幸起火，一位消防员搭梯子爬往三楼去抢救物品，当他爬到梯子正中间一级时，二楼的窗口喷出火来，他就往下退了三级，等到火过去了，他又爬上了七级；这时顶层有两块砖掉下来，他又退了二级；幸好没有打着他，他又爬上八级，这时他距离最高一层还有一级，问这个梯子有几级？例4．如图在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，求与点C 所表示的最接近的整数.例5．①已知()0342322=++-b b a ，则=a ,=b .②若1999-a 与2000+b 的互为相反数，则()3b a += ．例6. 已知2-ab 与1-b 互为相反数，设法求代数式.)1999)(1999(1)2)(2(1)1)(1(11的值++++++++++b a b a b a ab思考：三个互不相等的有理数，既可以表示为1,,a b a +的形式，也可以表示为0,,bb a的形式，试求20082008ab +的值。
有理数 基础知识详解
有理数目录一、有理数的意义二、数轴与相反数三、绝对值四、有理数的加减法五、有理数的乘除六、有理数的乘方及混合运算七、科学记数法与近似数八、《有理数》全章复习与巩固一、有理数的意义要点梳理【学习目标】1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3.掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．二、数轴与相反数要点梳理【学习目标】1．理解数轴的概念及三要素；2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；4.掌握多重符号的化简.【要点梳理】要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如 .要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4.要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3.作差法：设a、b 为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．4.求商法：设a、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立．若a、b 为任意负数，则与上述结论相反．5.倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.四、有理数的加减法要点梳理【学习目标】1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a 加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．要点诠释：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.五、有理数的乘除要点梳理【学习目标】1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3.巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4.培养观察、分析、归纳及运算能力.【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释：(1)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．要点二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0) a b a bb÷=≠.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．六、有理数的乘方及混合运算要点梳理【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅= 个.在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数.要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．七、科学记数法与近似数要点梳理【学习目标】1.理解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示一个较大的数；2.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；3.体会近似数在生活中的实际应用.【要点梳理】要点一、科学记数法把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，l≤|a |＜10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210⨯.要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3310-⨯；（2）把一个数写成10n a ⨯形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1.要点二、近似数及精确度1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.2.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米.八、《有理数》全章复习【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4.理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；5.体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态0C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 ．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a 的绝对值记作a ．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．要点二、有理数的运算1．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=，3(3)27-=-．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=5210 ．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.。
有理数知识点梳理
第一部分有理数知识点梳理一、有理数的意义1、正数和负数知识点1 负数的引入正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。
用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。
知识点2 正数和负数的概念（1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。
（2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。
负数比0小。
（3）零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。
注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。
（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。
因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。
知识点3 有理数的有关概念（1）有理数：整数和分数统称为有理数。
注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。
但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。
（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。
（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。
（2）整数包括正整数、零、负整数。
例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。
有理数的意义及运算
有理数的意义及运算有理数是数学中一个重要的概念，是在数轴上广泛应用的基本数类之一。
它们不只是简单的数字，还在我们生活的方方面面扮演着重要角色。
从日常的购物算账到工程设计，有理数都显得尤为重要。
有理数的定义是非常明确的。
一个数如果可以表示为两个整数之比（即在形式上为a/b，a和b是整数且b不为零），那么这个数就属于有理数的范畴。
比如，3（可以写成3/1）、-1/2、0都是有理数。
而平方根2、π等则不属于有理数，因为它们无法用整数字表示。
在我们的学习中，对有理数的理解不仅限于其定义。
还需掌握它们的性质和运算。
有理数的集合不仅包括正数和负数，还涵盖了零。
在数轴上，有理数通过分数和小数的方式表现出来，令其在实际问题中更易于使用。
有理数自身具备几个重要的性质。
有理数是稠密的，这意味着在任意两个有理数之间，总是可以找到另一个有理数。
例如，在1和2之间，有1.5、1.25等；在-1和0之间，有-0.5、-0.75等。
这一性质使得有理数能够精准地表示一些功能的变化，尤其在科学和工程中，需对数据进行细致分析时，这一优势极为显著。
在我们实际应用有理数时，运算是不可或缺的一环。
加法、减法、乘法和除法四种基本的数学运算是处理有理数的主要方式。
对于两个有理数进行加法运算，首先需要找到共同的分母，然后再合并分子。
而减法运算与加法类似，通常也是需要统一分母后再进行操作。
乘法和除法相对简单，直接将分子乘以分子，分母乘以分母。
值得注意的是，当进行除法运算时，除数不能为零，因为零在数学中是无法作为分母的。
运算过程中的简化同样重要。
比如，当我们有一项表达式，例如(3/4)+(1/2)，要想简化成一个更直接的形式，需要把1/2转换成相同的分母。
1/2可以写成2/4，如此一来，两者相加后的结果就是5/4。
类似地，在减法和乘法时，简化步骤能够提高计算速度并减少错误。
当面对负数时，计算的过程同样适用。
有理数的负数与正数在运算中同样可以灵活应用。
数学中各种数的意义
数学中各种数的意义数学是一门研究数量、结构、变化和空间的学科，涉及到各种数的概念和意义。
在数学中，不同种类的数具有不同的数学意义，本文将对整数、有理数、无理数、实数和复数这五种数的意义进行论述。
整数是最基本的数，它包括正整数、负整数和零。
整数的数学意义在于表示计数和排序。
正整数用于计算和表示物体的数量，例如1个苹果、2个橘子等；负整数用于表示欠债或亏损的数量，例如-3美元、-5公斤等；零则表示没有数量或不存在的数量。
整数在数学中广泛运用于代数运算、数论、组合数学等多个领域。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。
有理数的数学意义在于表示精确的比例关系，它用于测量、计算和表示分数数量。
有理数在分数运算、方程求解、概率统计等领域中发挥重要作用。
同时，有理数的运算规则和性质也是数学中的重要基础。
无理数是不能表示为两个整数之比的数，它们的十进制表示是无限不循环小数。
无理数的数学意义在于表示那些无法精确表示为有理数的量。
最著名的无理数是圆周率π和自然对数的底数e，它们在几何、分析和物理学中具有广泛的应用。
无理数的研究涉及到数学分析中的极限理论和数值计算方法。
实数是整数、有理数和无理数的总称，它包括所有可以在数轴上表示的数。
实数的数学意义在于表示连续和无缝的数量。
实数广泛运用于微积分、函数分析、数学物理等领域，它是现代数学的基础之一。
实数的特性包括有序性、完备性和稠密性，这些性质使得实数具有丰富的数学结构和性质。
复数是由实数和虚数部分组成的数，虚数部分以字母i表示。
复数的数学意义在于表示平面上的点或向量，它在代数、几何和电磁学等领域中广泛使用。
复数的运算规则和性质由复数代数定义，它们包括加法、减法、乘法和除法等运算。
复数具有特殊的性质，例如共轭、模长和辐角等，这些性质使得复数具有广泛的应用和研究价值。
综上所述，数学中的整数、有理数、无理数、实数和复数分别表示了数量、比例、近似、连续以及平面上的点或向量等概念。
第一讲 有理数的意义
有理数学案第一讲：有理数的意义一、 概念1、 思考:为什么引入负数？2、 的数叫正数？3、 正数前面加上负号的数叫 .4、 既不是正数也不是负数。
5、 正整数、0、负整数统称为6、 可以写成两个整数的比的数成为7、 都可以写成m n（m,n 是整数，0n ≠ 8、有理数按大小可分为： 0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数有理数 负有理数 9、 有理数按形式可分为：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数有理数正分数分数 10、把..0.23写成分数的形式 11、 把13写成小数形式二、概念的应用例1、 下面的大括号表示一些数的集合，把下面各数填入相应的大括号里：1，-0.1,325,0，-20，-3.14,10.1，-0.3，-5%，5122,,837-负有理数集：{} 非负整数集：{}例2、下面说法中正确的是（）A、非负数一定是正数。
B、有最小的正整数，有最小的正有理数。
C、-a一定是负数D例3、填空题（1）如果以每月生产180个零件为标准，超过的零件数记作正数，不足为零件数记作负数，那么1月生产160个零件记作2月份生产200个零件，记作个。
（2）一种零件的长度在图纸上是（10±0.05）毫米，表示这种零件的标准尺寸是10毫米，加工要求最大不超过毫米，最小不小于毫米。
（3）既不是正数也不是负数的有理数是（4）是正数而不是整数的有理数是（5）是整数而不是正数的有理数是例4、观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗？（1）1，-2, 3, -4, 5, -6, 7, -8，，，……..2011，…….（2），1111111,,,,,.234567----, ，，…….. ，…….拓展：因为任何一个有理数写成分数pq（p,q为整数,0p≠的形式），所以将正有理数进行如下排序（可能有重叠）：第一列第二列第三列第四列……第一行：（分子分母和为2的1 1第二行：（分子分母和为3的2112第三行：（分子分母和为4的312213第四行：（分子分母和为5的41322314。
01-有理数的意义—初中数学知识点解读与提高
有理数的意义要点一、正数与负数像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．类型一、正数与负数：中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元 B．收入20元C．支出80元 D．收入80元在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．C解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C．12+12-π1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”， 则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）A ．50.0千克B ．50.3千克C ．49.7千克D ．49.1千克D ．解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？(1) -500元；既没有收入也没有支出. (2) 不是一对具有相反意义的量，不能表示.【变式3】如果60m 表示“向北走60m ”，那么“向南走40m ”可以表示为（ ）．A ．－20mB ．－40mC ．20mD ．40mB: 体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0 （1） 这8名男生有百分之几达到标准？ （2） 他们共做了多少引体向上？（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；答：这8名男生有62.5%达到标准.（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个） 答：他们共做了引体向上56个.类型二、有理数的分类: 下面说法中正确的是( )． A ． 非负数一定是正数．B ． 有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数．D5100%62.5%8⨯=a -本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量一定要先弄清“基准”是什么.(A) 不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当为负数或0时，则为正数或0，而不是负数；(D)对【变式1】 判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）√， ，，【变式2】下列四种说法，正确的是( ). (A)所有的正数都是整数 (B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数D: 请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, ， . 正整数集合:{ …}，负整数集合:{ …}，整数集合: { …}，正分数集合:{ …}， 负分数集合:{ …}， 分数集合: { …}， 非负数集合:{ …}， 非正数集合:{ …}.正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；负分数： -3.88，；分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，；非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，；非正数：-700, -3.88, 0,a a -⨯⨯⨯723-723-723-723-一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.【变式】在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有个．2.类型三、探索规律: 某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是粒.()第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：，，，，，按此规律，第n组应该有种子数（）粒.【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：-3【变式2】观察下列有规律的数：根据其规律可知第9个数是：12+n1123+⨯=1225+⨯=1327+⨯=1429+⨯=12+n,,301,201,121,61,21901研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.【巩固练习】一、选择题1. 下列语句正确的（）个（1）带“﹣”号的数是负数；（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数；（3）不存在既不是正数又不是负数的数；（4）0℃表示没有温度．A. 0B. 1C. 2D. 32.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A．0是整数 B．0是偶数C．0是正整数 D．0既不是正数也不是负数3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( )A．前进-18米的意义是后退18米B．收入-4万元的意义是减少4万元C．盈利的相反意义是亏损D．公元-300年的意义是公元后300年4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( ) A．甲站的东边70千米处B.甲站的西边20千米处C．甲站的东边30千米处C.甲站的西边30千米处5．在有理数中，下面说法正确的是（）A．身高增长和体重减轻是一对具有相反意义的量B．有最大的数C．没有最小的数，也没有最大的数D．以上答案都不对6.下列各数是正整数的是（）A．－1 B．2 C．0．5 D． 2二、填空题1．如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作．2．在数中，非负数是______________；非正数是__________.3.把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .4.既不是正数，也不是负数的有理数是 .5.如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作__________米．6.是整数而不是正数的有理数是 .7.既不是整数，也不是正数的有理数是 .8.一种零件的长度在图纸上是（）毫米，表示这种零件的标准尺寸是毫米，加工要求最大不超过毫米，最小不小于毫米.三、解答题1．说出下列语句的实际意义.（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元（4）上升-2m (5)向南走-7m2．下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.cm2.1kg2.103.002.0 10+-3.随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km 为标准，多于50km 的记为“+”，不足50km 的记为“﹣”，刚好50km 的记为“0”，记录数据如下表：（1）请你估计小明家的小轿车一月（按30天计）要行驶多少千米？（2）若每行驶100km 需用汽油8L ，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，... (2)-1,,-,,,,, , ,... ,...【答案与解析】一、选择题1.【答案】B 【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数，正确；（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；（4）0℃表示没有温度，错误． 综上，正确的有（2），共一个．2.【答案】C【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.3. 【答案】D【解析】D 错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.4. 【答案】 C【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.5.【答案】C【解析】A 错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B 错误，没有最大的数也没有最小数；C 对.6. 【答案】B二、填空题1.【答案】﹣5米2.【答案】0.5，100，0，；，0，-45【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.21314151-6171-112122-时间第一天第二天第四天第五天第六天第七天路程（km ） ﹣8 ﹣11 0 ﹣16 +41 +83.【答案】公元前2008年【解析】正负数表示具有相反意义的量.4.【答案】0【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.5.【答案】-20. 【解析】解：∵向东行驶10米，记作+10米，∴向西行驶20米，记作﹣20米， 故答案为：﹣20．6.【答案】负整数和0【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.7.【答案】负分数【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.8.【答案】10，，【解析】表示的数的范围为：大于，而小于，即大于而小于. 三、解答题 1. 【解析】（1）输出-12t 表示输入12t ； （2）运进-5t 表示运出5t ； （3）浪费-14元表示节约14元； （4）上升-2m 表示下降2m ；(5)向南走-7m 表示向北走7m. 提示：“-”表示相反意义的量.2．【解析】3.【解析】解：（1）=50，50×30=1500（km ）．答：小明家的小轿车一月要行驶1500千米； （2）×8×7.14×12=10281.6（元），答：小明家一年的汽油费用是10281.6元．4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…（2）10.039.9803.002.010+--（100.02）（10+0.03）9.9810.03111,,...,, (892011)--。
有理数的意义-知识讲解
有理数的意义-知识讲解有理数是数学中一类重要的数，它可以用整数作为分子和分母的比值表示。
有理数的意义体现在其在实际生活中的广泛应用，以下从有理数的定义、特点以及实际应用等方面进行讲解。
首先，有理数的定义是指可以写成两个整数的比值形式的数，其中分母不为零。
有理数包括整数、正整数、负整数、分数等。
例如，2，-3，1/4等都是有理数。
有理数的特点主要体现在以下几个方面：1.有理数包括整数和分数两个主要部分，整数由负整数、零和正整数组成，而分数可以写成两个整数的比值形式。
2.有理数可以进行加减乘除等基本运算，运算结果也仍然是有理数。
这一点在实际应用中十分重要，可以简化运算过程。
3.有理数可以用分数表示小数，并且保持有效位数，在实际应用中更加便于计算和表示。
4.有理数具有有限循环小数和无限循环小数两种形式。
循环小数是指在小数部分中有从一些位置开始重复的数字序列。
有理数在实际生活中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1.金融领域：有理数广泛应用于金融领域，如贷款利率、股票涨跌等计算中。
利率、股票涨跌等都可以用有理数来表示，便于计算和比较。
2.商业领域：商业中的销售额、成本、利润等也可以用有理数来表示。
商业决策涉及到大量的数值计算，有理数的应用可以方便快捷地进行计算和分析。
3.工程领域：在工程测量和设计中，有理数也有着重要的应用。
例如，建筑物的尺寸、管道的长度等都需要进行精确的测量和计算，有理数可以提供准确的数值。
4.科学领域：有理数常常出现在科学实验和数值模拟中。
例如，在物理实验中，测量得到的各种物理量可以用有理数表示，更方便进行分析和比较。
总结起来，有理数作为一类重要的数，具有重要的意义。
它不仅在数学学科中有着重要的地位，而且在实际生活中也有广泛应用。
通过有理数，我们可以方便地进行各种数值计算，解决实际问题，进一步提高数学能力和解决实际问题的能力。
因此，对有理数的学习和掌握对于每个学生来说都是十分重要的。
初一奥数 第一讲 有理数的意义
第一节 有理数的意义【知识要点】1．整数和分数统称为有理数； 2．有理数还可以这样定义：形如pm（其中m ，p 均为整数，且0m ≠）的数是有理数。
这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数。
3．有理数的数系表：{{{{⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩正整数整数零负整数有理数正有限小数正分数正无限循环小数分数负有限小数负分数负无限循环小数正整数正有理数正分数或 有理数零负整数负有理数负分数4．有理数可以用数轴上的点表示。
数轴的意义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。
5．零是正数和负数的分界点，也是具有相反意义的量的分界点；零既不是正数也不是负数。
6．如果两个数的和为0，则称这两个数互为相反数。
如果两个数的积为1，则称这两个数互为倒数。
姓名： 日期：【典型例题】一．有理数的基本概念例1、填空。
（1）如果把上升20m 记作+20m ，那么下降15m 记作 。
（2）海平面以上的高度一般用 数表示，比海平面高8848m 的山峰处，它的高度记作海拔 m ，比海平面低11034m 的海沟处，它的高度记作海拔 m 。
（3）粮食产量增产12%，记作+12%，则减产8%记作 。
例2、把下列各数填在相应的大括号里。
－1，0，+0.8，－37， 2.4-，8848，134-，227，80- 整数集合}{；负整数集合}{；正分数集合}{； 负分数集合}{；例3、如果b a ,均为有理数，且0<b ，那么b a b a a +-,,的大小关系是( ) A 、b a b a a -<+< B 、b a b a a +<-< C 、b a a b a -<<+ D 、a b a b a <+<-二．数轴与相反数A BCDEF－511例4 （1）数轴上点A 表示数－3。
在同一数轴上点B 表示数－8，则A 、B 之间的距离是_________；（2）在同一数轴上与点A 相距8个单位的点表示的数是_____； （3）点A 到原点的距离是________。
第二章有理数的意义与运算
第二章 有理数的意义与运算1、有理数的意义：（1）有理数：整数和分数统称为有理数（2）有理数的分类。
注意①0既不是正数，也不是负数，它是一个中性数，是正数和负数的分界点。
②自然数：自然数是指0和正整数，既0、1、2、3、4、…2、几个概念：（1）数轴:①原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，缺一不可。
②数轴的用途：用数轴表示数：所有的实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的任一点都表示一个实数，实数和数轴上的点是一一对应的。
用数轴可以表示两个数大小。
（2）相反数:①定义：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
②特点：相反数是两个数之间的一种相互关系，是成对出现的，缺一不可。
③性质：㈠ 任何一个数都有一个相反数，并且只有一个相反数。
㈡正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。
㈢互为相反数的两个数之和为0，和为0的两个数互为相反数。
④求法：求一个数的相反数只需在这个数前面加上一个负号就可以了。
（3）绝对值:①几可意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a 。
②代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
③数a 的绝对的表示：a = ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()(0)0(a a a a a （4）有效数字：①精确度：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
②定义：在近似数中，从左边第一个不是零的数字起，到由四舍五入到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字，一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数。
③用法：在对一个数取近似数时，近似程度经常用保留几个有效数字来表示。
（5）科学记数法：把一个数写成±a ×10n 形式（其中1≤a ＜10，n 是整数），这种记数法叫科学记数法，具体记数的方法为：①a 是只有一位整数的数。
②当原数≥1时，n是正整数，n 等于原数的整数位数减1，如31400=3.14×104；当原数＜1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位上的零），如0.000035=3.5×10－5。
华东师大版七年级数学上册知识要点归纳
1.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）互为相反数的两个数相加得零.（4）一个数与零相加，仍得这个数.（二）有理数的减法1.法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.（三）有理数的加减混合运算1.方法和步骤：（1）将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号.（2运用加法法则、加法运算律进行简便运算。
（四）有理数的乘法1.法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数与零相乘，都得零.（3）几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.【简记为“奇负偶正”】⑷几个数相乘，有一个因数为零，积为零．(五)有理数的除法１.法则：⑴除以一个数等于乘以这个数的倒数．⑵两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．⑶零除以任何一个不等于零的数，都得零．⑷乘积为1的两个数互为倒数．(六)有理数的乘方１.法则：⑴正数的任何次幂都是正数．⑵负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．(七)有理数的混合运算１.运算顺序：⑴先算乘方，再算乘除，最后算加减．⑵同级运算，按照从左到右的顺序进行．⑶如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的．（八）科学记数法、近似数1.科学记数法：把一个大于10的数记成ax10n的形式。
说明：[1]a是一个只有一位整数的数。
[2]10的指数n比原数的整数数位少1.2. 近似数[1]近似数：指一个与实际数非常接近的数.[2]一般地，一个近似数四舍五入到某位，就说这个近似数精确到哪一位.第三章整式的加减[l]复习内容：主要复习列代数式，求代数式的值.（一）代数式的有关知识1.代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和表示数的字母连结而成的式子。
单独一个数或一个字母也是代数式.2.代数式的书写格式：①若是数字与数字相乘，仍然用“×”号；若是字母与字母相乘，通常省略乘号，且按字母的顺序排列.例如b×a应写成ab.②数字与字母相乘，或数字与小括号相乘时，乘号可省略不写，但数字要写在前面.例如4×a应写成4a；3×（m+n）应写成3（m+n）..③代数式中出现除法运算时，应写成分数的形式.例如2x÷y应写成2xya2b不能④代数式中出现带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如52 a2b.写成212⑤代数式的最后运算是加减运算时，如需注明单位的必须用括号把整个式子括起来．如(a-b)元不能写成a-b元．３.列代数式：一般是根据“先读先写”的原则来列代数式．(二)代数式的值１.方法与步骤：⑴用数值代替代数式中的字母，简称“代入”．⑵按照代数式指定的运算顺序计算出结果，简称“求值”．说明：代数式的值是由代数式中的字母所取的值决定的．因此，在代入前，必须先写“当……时”．第三章整式的加减⑵复习内容：整式、单项式、多项式、同类项的概念，合并同类项，去括号，添括号及整式的加减运算．(一)单项式１.定义：表示数字与字母的积的代数式叫做单项式．单独一个数或一个字母也是单项式．２.单项式中的数字因数叫做单项式的系数．３.一个单项式中所有字母的指数的和，叫做这个单项式的次数．(二)多项式１.定义：几个单项式的和叫做多项式．２.多项式的项：多项式中，每一个单项式叫做多项式的项．不含字母的项叫做常数项．３.多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，叫做多项式的次数．４.多项式的排列：⑴升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列．⑵降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列．(三)同类项、合并同类项１.定义：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项．所有的常数项也是同类项.２.判断标准：⑴所含字母相同；⑵相同字母的次数相同.３.合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的次数保持不变．(四)去括号与添括号１.去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变号．括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都要变号．２.添括号法则：所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号．所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都要变号．(五)整式的加减１.步骤：①若有括号，则先去括号；②如有同类项，再合并同类项.第四章图形的初步认识另外：*平行于同一条直线的两条直线也互相平行. *垂直于同一条直线的两条直线也互相平行.4.平行线的特征：（1）两直线平行，同位角相等.（2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.。
有理数的意义
3
像15，1.2，4 ，1.2%等大于0的数叫做正数，
像 面加-5上，“-1-5”5，（-读1.作2，负）23 号，的-数2%，等叫在做正负数数前。 有时为了强调符号，在正数前加上“+”号， 如+6，+2.5，+ 等。
从一个数的符号特征，能正确的区分 其是正数或是负数。
把下列数分别填入相应的圈内：
正数 负数 整数 分数 自然数 有理数
8
-3
71 2
1 6
0
-3.1
••
0.12
数学竞赛成绩80以上为优秀，以此分 数为准，老师将某小组五名同学的成绩简记为 +10，-3，0，+5，-4，这五名同学的实际成 绩应是
气象万千----一元整----谎报成绩----合法开支-----
(1)在 数 －2、25、0、3 、 0.35、 1中 ，
21，
2 7
，4.3，-6，25%，78
，-0.3，2 1
5
，
0 ，13 ， 9
45
正数
负数
零和正数又可以称为非负数。
整数和分数统称为有理数·
整数
有理数 分数
正整数
零
自然数
负整数 正分数 负分数
正有理数
有理数 零 负有理数
如果我们把整数看成是分母是１的分数，那 么在这个意义下，所有的有理数都是分数。
5.1 有理数的意义
第五章 有理数
数的概念是随着生产和生活的需要而 不断发展的。
在现实生活中，我们常遇到一些量， 它们具有相反意义。比如：盈利与亏 损，收入与支出，增加与减少等。
正数和负数可表示具有相反意义的量。
观察图形
零下5摄氏度记作 （ ）-℃5 零上15度记作 （ ）+℃15
初中数学速记笔记：1.有理数
一、有理数的意义
（一）正数和负数的意义 1.正数：大于 0 Байду номын сангаас数，如+3，1.8%，3.5； 2.负数：小于 0 的数，如−3，−2.7%，−4.5.
（二）有理数的分类 1.按定义分类
2.按正负（性质）分类
（三）数轴
（四）相反数 1.定义：
这里 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是 0. 2.性质： (1)数 的相反数是− ； (2)若 ， 互为相反数，则 + ＝0； (3)若 + ＝0，则 与 互为相反数.
（五）绝对值
>0 ， = 0 = 0 ，或
− <0 .
=
≥0 ，
− <0 .
（六）比较有理数大小的常用方法
（七）绝对值的非负性（拓展） 1.正数和零统称非负数. 绝对值的非负性：对于任何有理数 ， 都有 ≥0. 2.非负数的重要性质： (1)非负数有最小值，是 0； (2)若 + + ＝0，且 ， ， 为非负数， 则 ＝ ＝ ＝0； （3）有限个非负数之和仍是非负数.
反之，若 ＝1，则 ， 互为倒数. 2.有理数的除法法则 （1）除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数 的倒数. （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把 绝对值相除；0 除以任何一个不为 0 的数， 都得 0. （五）有理数的乘方 1.乘方的概念 求 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一个数可以看作这个数本身的 1 次方. 2.乘方的意义 表示 个 相乘，即 · · ·⋯· .
个 相乘
3.乘方的法则 （1）正数的任何次幂都是正数. （2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数. （3）0 的任何正整数次幂都是 0.
有理数的幽默含义
有理数的幽默含义“有理数”一词最早出自古希腊数学家艾萨克爱因斯坦，他在《论几何》中提出：把所有可以用有限多步骤构成的数字，称为“有理数”。
有理数从古至今，一直是数学研究的重要组成部分，被广泛地用来解决数学问题、表达数学关系以及阐明数学概念。
有理数的名字本身就揭示了一个有趣的现象它把数字和理性，理智和聪明做了有机的结合。
它不仅是数学里有用的概念，而且也是一种象征和缩影，暗示着理性思维、慎重思考、恰当做出决定这类行为的必要性。
有理数可以作为人们推理思维的一种工具，便捷地把复杂的观点构成有条理的演绎体系，让他们更好地逻辑思考和作决定。
因为数学本身带有方法论的性质，有理数也是一种把实际问题抽象化后进行求解的经典案例，重要地反映出它在实践中的价值。
无论在学习过程中还是在生活中，“有理数”都是一种常见的概念，它自身就是一种涵盖了若干常见理论的总括，在很大程度上引导了当代数学家对这一概念的发展和拓展。
随着有理数的发展，关于有理数的幽默含义也就出现了。
它以一种新鲜的方式帮助年轻一代理解有理数，激发兴趣，有效地促进了有理数的应用。
有理数的用途不只是几何和代数，它们也可以用作一种把生活思想表达出来的工具，这就是有理数的幽默含义。
比如，有人把有理数和爱情比做，他指出：“两个有理数通过某种形式相交，形成了一个新数字，就像男人和女人结合，组成了一个家庭一样。
”一想法可以说是相当有趣的。
另一个有理数的幽默含义是关于自我管理。
在一些新思想或行动之前，人们可以把有理数想象成一个模式，以有理数的标准和结构，对自身负责，把决定下来。
通过以上幽默的解释，当今的新一代可以更好地理解有理数，用有理数的思想去面对生活，做出正确的选择。
总之，“有理数”是数学中一种重要的概念，它不仅在数学当中扮演着巨大的角色，而且也可以用来帮助理性思考、做出正确决定。
它的幽默含义也和其它科学概念一样，以幽默的方式激发我们的思考，让我们更好地理解有理数的价值和意义。
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有理数的意义一：认识正负数知识点一：正负数的概念：比0大的数是正数，比0小的数是负数。
例1 下列各数哪些是正数？哪些是负数？ -10.1，-0.5，0，52-，36,15%，-60，31-，22.8,a知识点二：对“0”的理解0不在正、负数的范围内，它是正数和负数的分水岭。
它的意义非常特殊，它既可以表示无意义，也可以表示其他特殊的意义。
例2 下列说法错误的是（ ）①0是最小的自然数；②0是整数也是偶数；③0既非正数也非负数；④0的意义不仅可以表“没有”还可以表示一个确定的量；⑤负数也叫非正数；⑥一个数不是正数就是负数。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点三：用正数和负数表示相反意义的量Ⅰ. 相反意义的量必须包含两个因素：1、它们的意义相反；2、它们都具有数量，而且一定是同类量。
Ⅱ.相反意义的量可以人为的规定其正负。
在实际生活中，习惯把零以上的温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正数，而把它们相反意义的量规定为负的，用负数表示。
例3 下列问题中：(1)将水位上升3m 时水位记作+3m ，则水位下降3m 时水位变化记作-3m. (2)某人存进银行1800元，记作+1800元;取出600元，记作-600元. (3)向东走8m 记作+8m ，向西走6 m ，记作-6m.(4)在一个月内，小明的身高增加了3cm ，记作+3cm ；体重下降了4kg ，记作-4kg. 不是同类量的是（ ）知识点四：实际问题与正、负数例4 某公司股票上周五的收盘价是27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（上涨为正）：每股价格是 元，每股价格是 元。
二：有理数的意义知识点一：有理数的概念整数和分数统称为有理数；正数、负数、零都是有理数。
例1 下列说法正确的是（ ）A.一个有理数不是正数就是负数B.一个有理数不是正数就是分数C.有理数是指整数、分数（正有理数、0、负有理数）D.以上说法都正确 知识点二：数集的概念把一些数放在一起，就组成一个集合，简称数集。
在表示数集时要注意：（1）数集可以用打括号表示，也可以用圆圈表示。
（2）一个数集内不能有两个一样的数。
（3）一个数集内有无限多个数时，我们不能全部写出。
例2 在下列选项中，（ ）是数集。
①正数集：{1，2，3,2,4，…} ②有理数集:{-1,0,32,0.28,5}③负数集：-1，-2，-3，-4，-5… ④整数集：{-6，-5，0,1,2,3} 知识点三：有理数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整式有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0例 给下列有理数分类：-23,0.15，31-，-6.18，28，-16,8.1,0，+1，215-知识点四：数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向、长度单位。
三要素缺一不可。
（2）数轴的画法：画一条直线——确定原点——规定正方向——根据实际确定单位长度。
（3）在数轴上表示有理数：画出数轴——找出各数点——写出表示的数。
（4）数轴上的点与有理数的关系：1、任何一个有理数都可以用数轴上的点表示； 2、数轴上的点表示的数不全是有理数；3、原点右边的数表示正数，原点左边的数表示负数。
（5）数轴上的点的大小比较：1、数轴上表示的两个数左边的数总是比右边的数小2、正数大于0，负数都小于0，正数大于负数；3、两负数相比，距原点近的数比距原点远的数大。
例 下列四条直线是数轴的是（A. 例 在数轴上表示下列各数（ 2,-1,0,311 5.5,23-例 观察数轴上的点比较这些点表示的数的大小。
-4-1.5-1/21.82.5知识点五：相反数（1）相反数的概念：如果两个数m ，n 互为相反数，那么①m+n=0；②│m │=│n │。
（2）相反数的表示：在一个数的前添加“-”表示原来那个数的相反数。
（3）多重符号的化简：多重符号的化简由数 前的“-”号的个数决定。
当“-”的个数是偶数个时值为正；是奇数个时值为负。
（4）相反数的性质：①若a 与b 负为相反数，则a+b=0，即a=-b （或b=-a ） ②任何一个数a 都有唯一的一个相反数-a ，特别的0的相反数是0。
⑾当a ＞0时，-a ＜0（正数的相反数是负数）-1 0 1 2⑿当a ＜0时，-a ＞0（负数的相反数是正数）⒀当a=0时，-a=0（0的相反数是0）例 下列说法正确的是（ ）A.符号不同的两个数复位相反数B.0没有相反数C.-1.5的相反数是23 D.m+n 的相反数是-（m+n ）例 写出下列各数的相反数 （1）23-，（2）61-,(3)-(a+1)，(4)a-b例 计算-（-3）= ，+（61-）= 。
例 已知2x-3与-5互为相反数，求x 点的值知识点六：绝对值绝对值的几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作“a ”，读作a 的绝对值，从几何意义上看，数的绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能为负数。
（2）绝对值的代数定义：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
（3）用代数定义法求绝对值：先判断各数的正负性，再根据定义求它的绝对值。
（4）绝对值的相关性质：①对于任意有理数a ，都有0≥a ；②对于任何人有理数a 都有a a -=；③若)0(>=b b a ，则b a ±=；④若00===+b a b a ，则；⑤b a b a b a -===或则,,例 下列说法中正确的是（ ）A.有理数的一定是正数B.如果一个数的绝对值是1，那么这个数是1C.如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是他本身D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数 例 已知043=-+-n m ，求的值n m +知识点七：有理数大小的比较法则正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。
例 比较下列每对数的大小 (1)98-87与-(2)3.33-313-与典型例题例1 若字母a 表示一个有理数，则-a 是负数吗？方法技巧：对正负数判定应从定义实质考虑，而不能见到负号就认为是负数，+a 也不一定是正数。
例2 把下列各数填入相应的大括号内：-7，3.01,300%，-0.142,0.1,0,5/3,-355/113,12 （1）正整数集：{ }；（2）分数集：{ } （3）负数集：{ }； （4）非负整数集：{ }例3 下列判断正确的是( )A.所有的整数都是正数B.正整数，负整数统称为整数C.分数一定是有理数D.有理数包括小数和整数 例4 数轴上一动点A 向左移动两个单位长度到达B ，再向右移5个单位长度到达C 点，若点C 表示的数是1，则点A 表示的数是（ ） A.7 B.3 C.-3 D.-2 方法技巧：数形结合的思想解决问题。
例5 下列说法正确的是（ ）A.一个数的绝对值一定是正数B.任何正数一定大于它的倒数C.a 的相反数的绝对值等于a 的绝对值的相反数D.绝对值最小的有理数是0例6 已知02=--++b b a b a ,在数轴上，给出关于b a ,的四种位置关系如图所示，则 可能成立的有（ ）a 0 bb 0 a 0 a b0 b aA.1种B.2种C.3种D.4种 点拨：解这类题目应该注意观察点在数轴上的位置，根据位置决定数的大、小、正、负。
方法技巧：解绝对值之类的题目，记住：讨论绝对值里面的式子的正负性非常重要。
例7 已知02823=-+-+-c b a ，求代数式c b a -+3方法技巧：a 是一个非负数，非负数有一个很重要的性质：几个非负数的和为0，则每个非负数都为0.例8 若c b a ,,均为非零有理数，求cc b b a a ++的值方法技巧：分类讨论数的符号例9 计算：1471261058463422120021998200019971998199619991995-+-+-+-+-+-+--+-+-+-例10 有理数b a ,满足b a 1997=，则（ ）A.b a ≥B.b a ≤C.b a ≥D.b a ≥练习：一、基础练习1、某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的℉℉最高气温比最低气温高（ ） Ａ.-10℃ B.-6℃ C.6℃ D.10℃2、绝对值小于4的整数有（ ） A.3个 B.5个 C.7个 D.8个3、如图，数轴上A,B 两点分别对应实数b a ,则下列结论正确的是（ ） A.0>+b a B.0>ab C.0>-b a D.o b a >-4、绝对值大于2小于5的所有正整数的和为（ ） A.7 B.8 C.9 D.105、2-的相反数的倒数是（ ） A.2 B.-2 C.21 D.21-6、如果x 的相反数的绝对值是35，则x 的值是7、如果6=m ，且0<-m ，则4-m =8、当=≠xx x 时，09、已知0<a ，则32aa +-=10、如果啊a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，求d c ab ++2 11、计算5161415131412131-+-+-+-。