高中数学新湘教版精品教案《7.2 复数的概念》

数系的扩充与复数的引入教学设计（共1学时）

重庆市江北中学杨丽

一、课标解读：

1让学生了解数系的扩充过程，让学生体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，体会虚数引入的必要性和合理性,让学生感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。

2注重对学生的方法引领，注重学生核心素养的培养和数学思想的提升。

3倡导学生勤于思考、勇于探索、敢于质疑、坚持真理的学习精神和生活态度，突出强调个人修养、社会关爱、社会责任。

二、教材分析：

复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充。本节课的学习，一方面让学生回忆数系的扩充过程，体会虚数引入的必要性和合理性，另一方面，让学生理解复数的有关概念，为今后的学习奠定基础。

三、教学目标：

1知识与技能：了解数系的扩充过程，了解引进复数的必要性；理解复数的基本概念、及复数相等的充要条件。

2过程与方法：通过微课展示，直观形象地展示数系的扩充过程，化抽象为具体，在数系的几次扩充过程中培养归纳思想与类比思想

3 情感、态度与价值观：通过多媒体，让学生体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，通过数学文化的介绍，适时进行德育渗透，以达到立德树人的根本目的。

四、教学重难点：

重点：复数的概念、复数的分类和复数相等的条件。

难点：虚数单位i的引进及复数的概念。

五、设计说明：

本节课作为章节起始课，在学习过程中，如果单纯介绍复数的概念显得较为空洞无味，加之由于学生对数系扩充的知识不成体系，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，所以本节课运用多媒体微课辅助教学，图文并茂地讲解数系的发展简史，增强生动性。另外，让学生体会数系的扩充，一方面是由于生产生活发展的需要；另一方面，对数学学科本身来说，数系的每一次扩充，也解决

了在原有数集中某种运算不可以实施的矛盾——负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾

法国数学家亨利庞加莱曾说：“如果我们想要预知数学的未来，最合适的途径是研究这门科学的历史和现状”。因此本节课教学中，把一些重要的数学史介绍给学生，使学生了解数学发展的基本规律和基本思想，感受数学发展的曲折，调动学生学习的积极性和创造性，使学生在获得新知的同时收获一些积极向上的人生感悟，以达到立德树人的根本任务。

六、教学过程

课题引入：

前段时间，《我是演说家》中游斯彬的演讲视频广为流传，多人下载。你们看了吗？--看了，那你一定有体会到：数学无处不在，数学文化深受青睐。其实，高中课标中也提出对“数学文化”的学习要求，要让学生了解数学产生与发展的过程。所以呢，这节课我们也来说说数的发展历程和复数产生的历史故事。（板书：数系的扩充与复数的概念）。故事要从1545年说起。

设计意图：由当下热门视频引入课标对数学文化的学习要求，为本节课接下来“对数的发展历程和复数产生的历史”研究提供理论依据。

（一）历史回顾，布疑激趣

【问题初现】

师：1545年，意大利数学家卡丹在《大术》中提出一个问题：“将10分成两个部分，使他们的乘积等于40。”如何求这两个数？

学生活动一：（独立思考，独立回答）

解：设其中一个数为,则另一个数为10-,得到方程040102=+-x x ，但这里的0<∆，方程无实数解。

师：对，卡丹也这么认为，但他运用二次方程求根公式却发现：4015--515-51015--515-5=•+=++）（），（）（）（。

为此，卡丹非常痛苦，他的行为不仅别人理解不了，他自己也接受不了，因为这里用了负数不可实施的开平方运算。

【哲人之惑】

师：几十年后，（也就是16世纪）意大利数学家邦贝利也遇到了一个奇怪的现象，他在解三次方程4

153+=x x 时，用三次方程求根公式（高中不要求）得到了方程的根为

331212121232--+-+=±-=x x 或。他

又换个角度，通过因式分解得到方程的根又为32±-=x 或4=x 。

同一个方程，根当然相同。但这两种解法中，出现了两个不同的根，一个是4，一个是由两个负数开平方组合而成的数，他们居然“站”在了一起。你想到了什么？想到这两个不同的根——相等？

【认知冲突】 邦贝利也做了这样的猜想：41212121233=--+-+，但当时社会，大家认为这是不可能的，因为负数不可能开平方。

【问题聚焦】

前边卡丹首次引入负数开平方没引起重视，但如果邦贝利这个问题不解决，三次方程的求根问题就太多太多，逃避解决不了问题，与其安静的躲开，还不如勇敢的留下来直面矛盾。矛盾在哪？矛盾就是负数开平方。可负数很多，无法逐个解决。不过，我们发现：所有的负数都可以写成-1乘以一个正数，

（）（），（1-121121-1-1515-⨯=⨯=0

1=+x 2aginar ”本意“想象之中”）一词的首字母i 来表示这个新数，（则这个新数的平方等于-1的数）。即i 2=-1,把i 叫做虚数单位，并规定：实数可以与i 进行四则运算，

运算时原有的关于加法与乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立。（板书：虚数引入（i 2

=-1）。） （二）问题导向，探究新知

【问题探究】

1复数概念

问题1：把新引入的数i 和-2,3像实数一样进行加法、乘法运算，你能得到哪些结果？

生：1i,-23i ，-2-3i ，-6i,3i,-6预案：如果学生够出了i 1,i 2,i 3,i 4

则指出以4为周期，i,-1,-i,1循环出现，并总结出i 4n =1,i 4n1=i,i 4n2=-1,i 4n3=-i 没有提出这个问题放在后边再讲

问题2：能否概括出他们共同的结构形式？

学生活动二：（问题1,2同桌交流完成，然后抽人回答）

师：怎么概括出一般形式呢？通常将自然语言符号化，数字字母化转化成数学语言。（板书：数学思想方法：符号化、字母化）。这些数都可以看成：实数实数×,b,可以表示成abia,b ∈R 这就是复数的一般表示形式，我们称形如abia,b ∈R 的数叫做复数,通常用字母 称为复数的实部，b 称为复数的虚部，i 称为虚数单位。（板书：复数实数实数×i，=abia,b ∈Ra 是实部，b 是虚部）全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母 C 表示由于虚数的加入，至此，R 扩充到C 。

（这个复数集与原有实数集有什么关系呢？）

2复数分类