基于超球形模糊支配的高维多目标粒子群优化算法
基于模糊的多目标粒子群优化算法及应用
２ 吉林大学计算 机科学 与 ． 技术学院 ， 吉林 长春 １０ １ ） ３ ０ ２
摘要 ： 粒子群优 化算法 的思想来源于人工生命和进化计算理论 ， 由于其容易理解 、 易于实现。 在很多领域得到丁应用。 由于传
统的粒子群优化算 法无法对多 日标优化问题进行求解 ， 冈此文中利用模糊理论中的隶属度函数 和给定的最优解评估选取原
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则， 提出 ｒ 一种 适合求解约束型多 目标优化 问题 的模糊粒子群算 法（ ＰＯ 。 Ｆ Ｓ ）模糊粒子群算法很好地解决了汽车零部件可靠
多目标粒子群优化算法
多目标粒子群优化算法多目标粒子群优化算法（Multi-objective Particle Swarm Optimization, MPSO）是一种基于粒子群优化算法的多目标优化算法。
粒子群优化算法是一种基于群体智能的全局优化方法，通过模拟鸟群觅食行为来搜索最优解。
多目标优化问题是指在存在多个优化目标的情况下，寻找一组解使得所有的目标都能得到最优或接近最优。
相比于传统的单目标优化问题，多目标优化问题具有更大的挑战性和复杂性。
MPSO通过维护一个粒子群体，并将粒子的位置和速度看作是潜在解的搜索空间。
每个粒子通过根据自身的历史经验和群体经验来更新自己的位置和速度。
每个粒子的位置代表一个潜在解，粒子在搜索空间中根据目标函数进行迭代，并努力找到全局最优解。
在多目标情况下，MPSO需要同时考虑多个目标值。
MPSO通过引入帕累托前沿来表示多个目标的最优解。
帕累托前沿是指在一个多维优化问题中，由不可被改进的非支配解组成的集合。
MPSO通过迭代搜索来逼近帕累托前沿。
MPSO的核心思想是利用粒子之间的协作和竞争来进行搜索。
每个粒子通过更新自己的速度和位置来搜索解，同时借鉴历史经验以及其他粒子的状态。
粒子的速度更新依赖于自身的最优解以及全局最优解。
通过迭代搜索，粒子能够在搜索空间中不断调整自己的位置和速度，以逼近帕累托前沿。
MPSO算法的优点在于能够同时处理多个目标，并且能够在搜索空间中找到最优的帕累托前沿解。
通过引入协作和竞争的机制，MPSO能够在搜索空间中进行全局的搜索，并且能够通过迭代逼近最优解。
然而，MPSO也存在一些不足之处。
例如，在高维问题中，粒子群体的搜索空间会非常庞大，导致搜索效率较低。
另外，MPSO的参数设置对算法的性能有着较大的影响，需要经过一定的调试和优化才能达到最优效果。
总之，多目标粒子群优化算法是一种有效的多目标优化方法，能够在搜索空间中找到最优的帕累托前沿解。
通过合理设置参数和调整算法，能够提高MPSO的性能和搜索效率。
基于多目标粒子群优化算法的模糊控制系统研究
基于多目标粒子群优化算法的模糊控制系统研究随着科技的不断发展，模糊控制技术被广泛应用于各个领域中，如电力系统、机器人控制、车辆自动驾驶等。
然而，模糊控制系统中存在的一个问题是，如何选择合适的控制参数。
这一问题可以通过应用优化算法来解决，其中多目标粒子群优化算法（MOPSO）受到关注。
本文将以基于MOPSO优化算法的模糊控制系统为研究对象，探讨其设计流程、优化策略及其在控制系统中的应用。
1. 模糊控制系统设计及其优化模糊控制系统是一种基于模糊逻辑的控制系统，其主要由模糊控制器、模糊推理机、模糊化模块以及反模糊化模块组成。
它的控制过程是输入原始数据，将原始数据通过模糊化处理后送入模糊推理机进行控制计算，最后将结果反模糊化为具体的控制量。
为了提高模糊控制系统的性能，需要选择合适的控制参数，即模糊控制器的隶属函数和模糊规则库等。
针对这一问题，可以应用优化算法进行参数的寻优。
MOPSO是一种用于寻找多目标优化问题的优化算法，它基于粒子群优化算法（PSO）并通过理解粒子在目标空间中的分布来分析多个目标之间的权衡。
在寻优过程中，它通过使用拥挤距离算法来保证粒子群的均匀分布。
与其他优化算法相比，MOPSO具有更好的性能和更高的收敛速度，被广泛应用于各个领域，并取得了不错的效果。
在基于MOPSO优化算法的模糊控制系统设计中，首先需要选择适当的目标函数，以此来衡量模糊控制系统的性能，例如，可以选择响应时间和误差均方差作为目标函数。
接下来，设定粒子群大小、交叉概率和变异率等参数，然后进行迭代，直到达到预设的终止标准。
在优化过程中，需要对模糊控制器进行调整，包括隶属函数、模糊规则库等控制参数。
通过迭代更新，最终得出最优解，即具有最小化响应时间和误差均方差的控制器参数。
2. 基于MOPSO优化算法的模糊控制系统应用基于MOPSO优化算法的模糊控制系统被广泛应用于各个领域，例如电力系统控制、机器人控制、车辆自动驾驶等。
以电力系统控制为例，电力系统具有非线性、耦合、时变等特点，因此需要应用模糊控制技术进行调节。
多目标优化的粒子群算法及其应用研究
多目标优化的粒子群算法及其应用研究多目标优化问题是指在优化问题中存在多个冲突的目标函数，需要找到一组解，使得所有目标函数能够达到最优或近似最优的解。
粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟鸟群觅食行为来寻找最优解。
多目标优化的粒子群算法（Multi-Objective Particle Swarm Optimization, MOPSO）是对传统的PSO算法进行改进和扩展，以解决多目标优化问题。
MOPSO算法通过在空间中形成一组粒子，并根据自身的经验和全局信息进行位置的更新，逐步逼近Pareto最优解集，以找到多个最优解。
其基本步骤如下：1.初始化一组粒子，包括粒子的位置和速度，以及不同的目标函数权重。
2.对于每个粒子，计算其目标函数值和适应度值。
3.更新个体最优位置和全局最优位置，以及粒子的速度和位置。
更新方式可根据不同的算法变体而有所差异。
4.检查是否满足终止条件，如达到最大迭代次数或达到预设的精度要求。
5. 如果不满足终止条件，则返回第3步；否则，输出Pareto最优解集。
MOPSO算法在多目标优化中具有以下优点：-非依赖于目标函数的导数信息，适用于复杂、非线性、高维的优化问题。
-可以同时全局最优解和局部最优解，避免陷入局部最优点。
-通过自适应权重策略，得到一组不同的最优解，提供决策者进行选择。
MOPSO算法在许多领域都有广泛的应用-工程设计：多目标优化问题在工程设计中很常见，例如在汽车设计中优化油耗与性能的平衡。
-经济学：多目标优化可以用于投资组合优化问题，以平衡投资收益与风险。
-物流与运输：多目标优化问题可应用于货物分配与路线规划中，以实现最低成本与最短时间的平衡。
综上所述，多目标优化的粒子群算法（MOPSO）通过模拟鸟群觅食行为，以找到一组解，使得所有目标函数能够达到最优或近似最优的解。
MOPSO算法在工程设计、经济学、物流与运输等领域都有广泛的应用。
基于粒子群算法求解多目标优化问题
基于粒子群算法求解多目标优化问题一、本文概述随着科技的快速发展和问题的日益复杂化，多目标优化问题在多个领域，如工程设计、经济管理、环境保护等，都显得愈发重要。
传统的优化方法在处理这类问题时，往往难以兼顾多个目标之间的冲突和矛盾，难以求得全局最优解。
因此，寻找一种能够高效处理多目标优化问题的方法，已成为当前研究的热点和难点。
粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）作为一种群体智能优化算法，具有收敛速度快、全局搜索能力强等优点，已经在多个领域得到了广泛应用。
近年来，粒子群算法在多目标优化问题上的应用也取得了显著的成果。
本文旨在探讨基于粒子群算法求解多目标优化问题的原理、方法及其应用，为相关领域的研究提供参考和借鉴。
本文首先介绍多目标优化问题的基本概念和特性，分析传统优化方法在处理这类问题时的局限性。
然后，详细阐述粒子群算法的基本原理和流程，以及如何将粒子群算法应用于多目标优化问题。
接着，通过实例分析和实验验证，展示基于粒子群算法的多目标优化方法在实际问题中的应用效果，并分析其优缺点。
对基于粒子群算法的多目标优化方法的发展趋势和前景进行展望，为未来的研究提供方向和建议。
二、多目标优化问题概述多目标优化问题（Multi-Objective Optimization Problem, MOP）是一类广泛存在于工程实践、科学研究以及社会经济等各个领域中的复杂问题。
与单目标优化问题只寻求一个最优解不同，多目标优化问题涉及多个相互冲突的目标，这些目标通常难以同时达到最优。
因此，多目标优化问题的解不再是单一的最优解，而是一组在各个目标之间达到某种平衡的最优解的集合，称为Pareto最优解集。
多目标优化问题的数学模型通常可以描述为：在给定的决策空间内，寻找一组决策变量，使得多个目标函数同时达到最优。
这些目标函数可能是相互矛盾的，例如，在产品设计中，可能同时追求成本最低、性能最优和可靠性最高等多个目标，而这些目标往往难以同时达到最优。
复杂多目标问题的优化方法及应用
复杂多目标问题的优化方法及应用一、前言复杂多目标问题是指在优化过程中存在多个目标函数，这些目标函数之间可能存在冲突或矛盾，因此需要寻找一种合适的方法来解决这类问题。
本文将介绍复杂多目标问题的优化方法及应用。
二、复杂多目标问题的优化方法1. 多目标遗传算法（MOGA）多目标遗传算法是一种常用的优化方法，它基于遗传算法，并通过引入多个适应度函数来解决多目标问题。
MOGA 通过保留 Pareto 前沿（Pareto front）上的解来实现优化。
Pareto 前沿是指无法再找到更好的解决方案，同时保证了所有目标函数都得到了最佳优化。
2. 多目标粒子群算法（MOPSO）多目标粒子群算法也是一种常用的优化方法，它基于粒子群算法，并通过引入多个适应度函数来解决多目标问题。
MOPSO 通过维护一个Pareto 最优集合来实现优化。
Pareto 最优集合是指所有非支配解构成的集合。
3. 多目标差分进化算法（MODE）差分进化算法是一种全局搜索算法，它通过不断地更新种群的参数来寻找最优解。
MODE 是一种基于差分进化算法的多目标优化方法，它通过引入多个适应度函数来解决多目标问题。
MODE 通过维护一个Pareto 最优集合来实现优化。
4. 多目标蚁群算法（MOTA）蚁群算法是一种模拟自然界中蚂蚁寻找食物的行为的算法，它通过不断地更新信息素来寻找最优解。
MOTA 是一种基于蚁群算法的多目标优化方法，它通过引入多个适应度函数来解决多目标问题。
MOTA 通过维护一个 Pareto 最优集合来实现优化。
三、复杂多目标问题的应用1. 工程设计在工程设计中，往往需要考虑多个因素，如成本、效率、可靠性等。
使用复杂多目标问题的优化方法可以帮助工程师在保证各项指标达到要求的情况下，尽可能地减少成本或提高效率。
2. 市场营销在市场营销中，往往需要同时考虑销售额、市场份额和品牌知名度等指标。
使用复杂多目标问题的优化方法可以帮助企业在提高销售额的同时，尽可能地提高市场份额和品牌知名度。
多目标优化的粒子群算法及其应用研究共3篇
多目标优化的粒子群算法及其应用研究共3篇多目标优化的粒子群算法及其应用研究1多目标优化的粒子群算法及其应用研究随着科技的发展，人们对于优化问题的求解需求越来越高。
在工程实践中，很多问题都涉及到多个优化目标，比如说在物流方面，安全、效率、成本等指标都需要被考虑到。
传统的单目标优化算法已不能满足这些需求，因为单目标算法中只考虑单一的优化目标，在解决多目标问题时会失效。
因此，多目标优化算法应运而生。
其中，粒子群算法是一种被广泛应用的多目标优化算法，本文将对这种算法进行介绍，并展示其在实际应用中的成功案例。
1. 算法原理粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种仿生智能算法，源自对鸟群的群体行为的研究。
在算法中，将待优化的问题抽象成一个高维的空间，然后在空间中随机生成一定数量的粒子，每个粒子都代表了一个潜在解。
每个粒子在空间中移动，并根据适应度函数对自身位置进行优化，以期找到最好的解。
粒子的移动和优化过程可以通过以下公式表示：$$v_{i,j} = \omega v_{i,j} + c_1r_1(p_{i,j} - x_{i,j}) + c_2r_2(g_j - x_{i,j})$$$$x_{i,j} = x_{i,j} + v_{i,j}$$其中，$i$ 表示粒子的编号，$j$ 表示该粒子在搜索空间中的第 $j$ 个维度，$v_{i,j}$ 表示粒子在该维度上的速度，$x_{i,j}$ 表示粒子在该维度上的位置，$p_{i,j}$ 表示粒子当前的最佳位置，$g_j$ 表示整个种群中最好的位置，$\omega$ 表示惯性权重，$c_1$ 和 $c_2$ 分别为粒子向自己最优点和全局最优点移动的加速度系数，$r_1$ 和 $r_2$ 为两个 $[0,1]$ 之间的随机值。
通过粒子群的迭代过程，粒子逐渐找到最优解。
2. 多目标优化问题多目标优化问题的具体表述为：给出一个目标函数集 $f(x) = \{f_1(x), f_2(x),...,f_m(x)\}$，其中 $x$ 为决策向量，包含 $n$ 个变量，优化过程中需求出 $f(x)$ 的所有最佳解。
多目标粒子群算法
多目标粒子群算法多目标粒子群算法（Multi-Objective Particle Swarm Optimization，MOPSO）是一种基于群智能的优化算法，用于解决多目标优化问题。
它是对传统粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）的扩展和改进。
传统的粒子群算法是一种基于模拟鸟群行为的优化算法，其中每个粒子代表一个解向量，它通过不断地自我更新和与其他粒子之间的信息交换，来搜索解空间中的最优解。
然而，传统PSO算法仅能求解单目标优化问题，无法直接应用于多目标优化问题。
多目标优化问题是指在多个冲突的目标函数下，求取一组最优解，也称为“帕累托最优解集合”。
而MOPSO算法通过改变传统PSO算法的设计，使其能够有效地求解多目标优化问题。
下面就来详细介绍MOPSO算法的原理和步骤。
MOPSO算法包括两个重要部分：粒子的移动更新和全局最优解集合的维护。
首先，每个粒子都有自己的位置和速度，并为每个目标函数设定一个权重。
粒子的移动更新通过以下步骤实现：1. 根据当前位置和速度计算新的位置。
2. 通过适应度函数评估新位置的适应度。
3. 比较新位置与之前的最优位置，更新个体最优解。
4. 比较新位置与全局最优解集合，更新全局最优解。
其次，全局最优解集合是一个在多个目标函数下找到的最优解的集合。
维护全局最优解集合的步骤如下：1. 初始化全局最优解集合为空。
2. 对于每个粒子，找到其邻域中的最优解。
3. 如果该最优解不在全局最优解集合中，将其加入。
4. 如果全局最优解集合中的解超过一定数量，根据解的多样性进行剪枝，确保解的多样性。
MOPSO算法的关键之一是如何定义粒子的适应度函数。
适应度函数是一个评估粒子解的函数，它在多目标优化中被定义为各个目标函数的加权和。
权重用于平衡不同目标之间的重要性，可以事先确定或在算法中动态地调整。
MOPSO算法的优点是：1. 更好地处理多目标优化问题，能够生成一组近似帕累托最优解。
基于粒子群优化算法的多目标优化问题求解
基于粒子群优化算法的多目标优化问题求解摘要多目标优化问题是现代科学技术中经常遇到的问题之一。
传统的优化算法难以有效地解决这类问题，因此需要一种高效的优化算法来解决这种问题。
粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)作为一种新兴的优化算法，在多目标优化问题中表现出了良好的效果，本文将介绍基于粒子群优化算法的多目标优化问题求解的思路和方法。
1. 引言随着现代科学技术的不断发展，各行各业都涉及到了多目标优化问题。
例如，自动化工厂调度、工厂布局优化、电力系统调度等领域都需要解决多目标优化问题，传统的优化算法在解决这类问题上显得无能为力。
因此，研究高效的解决多目标优化问题的算法已成为当前的研究热点。
2. 多目标优化问题的定义与分类多目标优化问题(Multi-objective Optimization Problem, MOP)是指存在多个相互矛盾的目标函数需要最小化或最大化的优化问题。
多目标优化问题具有多样性、复杂性和不确定性等特点，它的解决涉及到数学、统计、计算机等多个领域。
根据问题的特征，多目标优化问题可分为以下几类：(1)在选择解时采用 Pareto 最优的非支配解集（Pareto Optimal Non-Dominated Solution Set, PONDS）作为解的选择标准，通常称为 Pareto 优化问题。
Pareto优化问题的主要研究方向是改进搜索算法和维护非支配解集。
(2)基于权衡的多目标优化问题。
在权衡的多目标优化问题中，目标函数的权值在不同的情况下有所不同，因此需要对不同权值下的优化结果进行比较，然后选择最优的结果。
该问题通常用加权平均法或效用函数法等方法来求解。
(3)约束多目标优化问题。
约束多目标优化问题是指在多目标优化问题的基础上，加入了约束条件。
该问题中要求解最优解，同时需要满足一定的约束条件。
3. 粒子群优化算法的概述粒子群优化算法(PSO)是一种优化算法，它是由Kennedy和Eberhart在1995年提出的。
MOPSO多目标粒子群优化算法
MOPSO多⽬标粒⼦群优化算法近年来，基于启发式的多⽬标优化技术得到了很⼤的发展，研究表明该技术⽐经典⽅法更实⽤和⾼效。
有代表性的多⽬标优化算法主要有NSGA、NSGA-II、SPEA、SPEA2、PAES和PESA等。
粒⼦群优化(PSO)算法是⼀种模拟社会⾏为的、基于群体智能的进化技术，以其独特的搜索机理、出⾊的收敛性能、⽅便的计算机实现，在⼯程优化领域得到了⼴泛的应⽤，多⽬标PSO(MOPSO)算法应⽤到了不同的优化领域[9~11]，但存在计算复杂度⾼、通⽤性低、收敛性不好等缺点。
多⽬标粒⼦群（MOPSO）算法是由CarlosA. Coello Coello等在2004年提出来的，详细参考1。
⽬的是将原来只能⽤在单⽬标上的粒⼦群算法（PSO）应⽤于多⽬标上。
我们知道原来的单⽬标PSO流程很简单：-->初始化粒⼦位置（⼀般都是随机⽣成均匀分布）-->计算适应度值（⼀般是⽬标函数值-优化的对象）-->初始化历史最优pbest为其本⾝和找出全局最优gbest-->根据位置和速度公式进⾏位置和速度的更新-->重新计算适应度-->根据适应度更新历史最优pbest和全局最优gbest-->收敛或者达到最⼤迭代次数则退出算法速度的更新公式如下：等式右边有三部分组成。
第⼀部分是惯性量，是延续粒⼦上⼀次运动的⽮量；第⼆部分是个体认知量，是向个体历史最优位置运动的量；第三部分是社会认知量，是粒⼦向全局最优位置运动的量。
有了速度，则位置更新⾃然出来了：以上是对于多⽬标PSO算法的介绍。
运⽤到多⽬标上去的话，出现的问题有以下⼏点：1. 如何选择pbest。
我们知道对于单⽬标优化来说选择pbest，只需要对⽐⼀下就可以选择出哪个较优。
但是对于多⽬标来说两个粒⼦的对⽐，并不能对⽐出哪个好⼀些。
如果粒⼦的每个⽬标都要好的话，则该粒⼦更优。
若有些更好，有些更差的话，就⽆法严格的说哪个好些，哪个差⼀些。
粒子群优化算法
粒子群优化算法的基本原理是利用群体中粒子的运动状态和个体最优解以及全局最优解之间的关系。通过不断更新粒子的速度和位置
每个粒子都有一个速度和位置，粒子在搜索空间中的运动状态由速度和位置决定
在每次迭代过程中，粒子通过比较自身的个体最优解和全局最优解，更新自己的速度和位置，以便更好地适应整个群体的运动。更新的公式如下
粒子群优化算法在函数优化中的应用
粒子群优化算法可以用于优化神经网络的参数，如学习率、动量等，以提高神经网络的训练效果和性能。
参数优化
粒子群优化算法也可以用于优化神经网络的拓扑结构，如层数、神经元数等，以进一步提高神经网络的性能。
网络结构优化
粒子群优化算法在神经网络训练中的应用
特征选择
粒子群优化算法可以应用于特征选择，通过优化特征组合以提高分类器的性能。
2023
粒子群优化算法
粒子群优化算法简介粒子群优化算法的基本框架粒子群优化算法的改进粒子群优化算法的应用结论
contents
目录
01
粒子群优化算法简介
粒子群优化算法是一种群体智能优化算法，通过模拟鸟群、鱼群等动物群体的社会行为，利用群体中个体之间的相互作用和信息共享，寻找问题的最优解。
粒子群优化算法的基本思想是将每个个体看作是在搜索空间中自由运动的粒子，粒子的运动状态由速度和位置决定，粒子通过不断更新自身的速度和位置来适应整个群体的运动，最终达到全局最优解。
选择最优解
03粒子群优化算法的改进来自对初始粒子群的敏感依赖
惯性权重的固定值问题
对速度更新公式的依赖
粒子群优化算法的局限性
VS
根据算法的迭代过程和性能，动态调整惯性权重的值，使算法更好地平衡探索和开发能力。
多种惯性权重的选择
多目标粒子群优化算法的研究
多目标粒子群优化算法的研究多目标粒子群优化算法的研究摘要：多目标优化问题在实际生活和工程中广泛存在，并且其解决具有挑战性。
粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）作为一种经典的群体智能优化算法，被广泛应用于解决多目标优化问题。
然而，传统的PSO算法在面对多目标问题时存在不足。
因此，针对多目标粒子群优化算法的研究具有重要的理论和应用价值。
本文通过对多目标粒子群优化算法的研究，探讨了其原理、特点以及改进方法，并通过实例验证了改进算法的有效性。
1. 引言多目标优化问题指的是在具有多个冲突目标的情况下，寻找一组最优解，也被称为帕累托最优解。
多目标优化问题存在于各个领域，例如工程设计、物流规划、资源分配等。
解决这类问题是非常困难的，因为优化目标之间通常存在相互制约和矛盾。
传统的单目标优化算法在解决多目标问题时效果不佳，因此需要研究并改进多目标优化算法。
2. 粒子群优化算法粒子群优化算法是一种基于群体智能的优化算法，模拟了鸟群或鱼群等生物的行为。
其基本原理是通过模拟粒子在解空间中的搜索行为来寻找最优解。
每个粒子都具有位置和速度两个属性，通过更新位置和速度的方式进行迭代搜索，直到达到停止条件为止。
3. 多目标粒子群优化算法的问题传统的粒子群优化算法在解决多目标问题时存在以下几个问题：（1）由于多目标问题存在着多个优化目标，传统算法很难维护多个粒子和帕累托最优解集之间的平衡。
（2）传统算法没有考虑目标权重以及个体之间的关联性，导致搜索结果偏向于某个目标，忽视了其他重要目标。
（3）在解空间中，存在大量的非支配解（Pareto Optimal Set），传统算法难以有效地探索和维护这些解。
4. 多目标粒子群优化算法的改进为了解决上述问题，研究者们提出了许多改进的多目标粒子群优化算法，主要包括以下几个方面的改进：（1）引入多目标优化方法，如NSGA-II算法，通过评价和选择非支配解集中的优秀个体，提高多目标优化的效果。
多目标粒子群优化算法的全局搜索策略研究
多目标粒子群优化算法的全局搜索策略研究一、本文概述多目标粒子群优化算法（Multi-Objective Particle Swarm Optimization, MOPSO）是一种广泛应用于解决多目标优化问题的群体智能算法。
它通过模拟鸟群、鱼群等自然界生物群体的社会行为，利用粒子间的信息交流和协作，实现对复杂多目标问题的求解。
然而，随着问题规模的扩大和复杂性的增加，MOPSO算法的全局搜索能力逐渐成为其性能提升的瓶颈。
因此，研究MOPSO的全局搜索策略对于提高算法的求解质量和效率具有重要意义。
本文旨在深入探讨多目标粒子群优化算法的全局搜索策略。
我们将对多目标优化问题进行概述，明确问题的特点和挑战。
然后，我们将详细介绍多目标粒子群优化算法的基本原理和流程，并分析其全局搜索能力的不足。
接着，我们将综述现有的全局搜索策略，包括改进的粒子更新策略、多样性保持策略、局部搜索策略等，并评估它们的优缺点。
在此基础上，我们将提出一种新型的全局搜索策略，旨在提高MOPSO算法的全局搜索能力和求解质量。
我们将通过实验验证所提策略的有效性，并与现有策略进行对比分析，为未来的研究提供参考和借鉴。
通过本文的研究，我们期望能够为多目标粒子群优化算法的全局搜索策略提供新的思路和方法，推动该算法在复杂多目标优化问题求解中的应用和发展。
我们也希望本文能够为相关领域的研究者提供有益的参考和启示，共同推动群体智能算法的研究进展。
二、多目标优化与粒子群优化算法多目标优化问题（Multi-Objective Optimization Problem, MOP）是实际工程和科学研究中广泛存在的一类问题。
这类问题涉及多个优化目标，这些目标之间往往存在冲突和矛盾，因此无法找到一个解使得所有目标同时达到最优。
多目标优化问题的解是一组解的集合，称为Pareto最优解集，其中的每个解都是非支配的，即不存在比它更优的解。
因此，多目标优化的目标是找到这个Pareto最优解集，为决策者提供多样化的选择。
一种基于自适应模糊支配的高维多目标粒子群算法
一种基于自适应模糊支配的高维多目标粒子群算法余伟伟;谢承旺;闭应洲;夏学文;李雄;任柯燕;赵怀瑞;王少锋【摘要】The huge objective space makes some representative multiobjective optimization algorithms face challenges.A many-objective particle swarm optimization based on adaptive fuzzy dominance (MAPSOAF) is proposed. An adaptive fuzzy dominance relation is defined to adjust the threshold of fuzzy dominance adaptively to improve the convergence of MAPSOAF. Second, a perturbation term is added to the particle s velocity formula by selecting an elite member from the external archive to conquer premature convergence and to enhance the diversity of population. In addition, a method of simplified Harmonic normalized distance is utilized to evaluate the density of individuals and reduce the computational cost when while improving the population diversity. MAPSOAF is compared with other five high-performance multiobjective evolutionary algorithms on the benchmark test set DTLZ {1, 2, 4, 5}, and the results show that the proposed MAPSOAF has more significant performance advantages in convergence and diversity over the peering algorithms.%高维多目标优化问题由于具有巨大的目标空间使得一些经典的多目标优化算法面临挑战.提出一种基于自适应模糊支配的高维多目标粒子群算法MAPSOAF, 该算法定义了一种自适应的模糊支配关系, 通过对模糊支配的阈值自适应变化若干步长, 在加强个体间支配能力的同时实现对种群选择压力的精细化控制, 以改善算法的收敛性;其次, 通过从外部档案集中选取扰动粒子, 并在粒子速度更新公式中新增一扰动项以克服粒子群早熟收敛并改善个体分布的均匀性;另外, 算法利用简化的Harmonic归一化距离评估个体的密度, 在改善种群分布性的同时降低算法的计算代价.该算法与另外五种高性能的多目标进化算法在标准测试函数集DTLZ{1, 2, 4, 5}上进行对比实验, 结果表明该算法在收敛性和多样性方面总体上具有较显著的性能优势.【期刊名称】《自动化学报》【年(卷),期】2018(044)012【总页数】12页(P2278-2289)【关键词】自适应模糊支配;精英个体扰动;粒子群算法;高维多目标优化问题;高维多目标粒子群优化算法【作者】余伟伟;谢承旺;闭应洲;夏学文;李雄;任柯燕;赵怀瑞;王少锋【作者单位】北京工业大学信息学部软件学院北京 100124;广西师范学院科学计算与智能信息处理广西高校重点实验室南宁 530023;广西师范学院科学计算与智能信息处理广西高校重点实验室南宁 530023;华东交通大学软件学院南昌330013;华东交通大学软件学院南昌 330013;北京工业大学信息学部软件学院北京 100124;华东交通大学机械与车辆工程学院南昌 330013;华东交通大学土建学院南昌 330013【正文语种】中文科学研究与工程实践中不断涌现出要求同时优化4个或4个以上目标的问题,研究者一般将这类优化问题称为高维多目标优化问题(Many-objective optimization problem,MAOP),与优化目标数为2至3个的多目标优化问题(Multi-objectiveoptimization problem,MOP)相比,MAOP问题的目标空间更大,搜索的难度也更大.其原因在于:随着目标空间维度的增加,种群中非被占优个体的数量将呈指数级增长,运用Pareto支配关系择优个体的方法面临失效的窘地,算法的搜索能力被极大地削弱;另外,由于Pareto支配关系在高维空间中效果变差,使得分布性保持机制成为算法选择个体的主导因素,但是由个体密度信息主导的选择机制不一定能有效地驱动近似Pareto前沿向真实Pareto前沿逼近,甚至可能对优化过程有负面影响[1−3].为解决高维多目标优化问题带来的挑战,各国学者从不同的视角提出了解决方法.陈振兴等[4]融合张角拥挤控制策略解决MAOP问题.巩敦卫等[5]基于目标分解的策略提出高维多目标并行优化方法.Drechsler等[6]提出了目标优胜关系的宽松Pareto支配关系:Favor关系,但该关系易受到目标函数量纲差别的影响.Di Pierro等[7]提出K-占优机制,但其只考虑了一个目标向量相对于另一个目标向量的改善目标数.Sato等[8]提出对解个体的支配区域进行缩放以改变解个体在目标空间中的位置,从而达到改变解个体支配关系的目的.需要指出,这种方法需要用户为每一个目标函数指定修正参数.Hernandez-diaz等[9]通过引入评判目标间优劣关系的阈值提出了ε-占优机制,但该策略依赖阈值的选取方法.Kang等[10]在总结新型占优机制优劣的基础上提出了E-占优,但E-占优方法在求解MAOP问题中的性能如何,文献中并未讨论.Zou等[11]提出了一种L-最优性,该占优方法不仅考虑了目标值得到改善的目标个数而且在所有目标具有同等重要性的情况下,改善的目标函数也考虑其中,但该方法随着目标个数的持续增加,仍面临着选择压力退化的问题.Farina 等[12]将模糊理论引入到多目标优化算法中,但该策略亦存在产生循环支配之缺陷.毕晓君等[13]将模糊理论引入高维多目标进化算法模型,并结合模糊理论α-截集提出了新的环境选择策略.粒子群优化(Particle swarm optimization,PSO)是Kennedy等[14]受到飞鸟集群活动的启发而提出的一种群体智能优化算法,其具有易于实现和收敛速度快等优势.近年来,PSO算法在多目标优化领域的研究取得了很大的进展,涌现出了不少的多目标粒子群算法(Multi-objective particle swarm optimizationalgorithm,MOPSO),但将其用于高维多目标优化问题求解的理论和方法还很少. 本文在已有多目标粒子群算法和宽松支配关系等研究的基础上,提出一种基于自适应模糊支配的高维多目标粒子群优化(Many-objective particle swarm optimization based on adaptive fuzzy dominance,MAPSOAF)算法,以求解复杂的MAOP问题.算法的创新点主要包括:1)以步长幅度自适应地调整模糊隶属度支配的阈值来改进模糊支配关系,在加强个体间支配能力的同时实现对种群选择压力的精细化调控,以改善算法的收敛性;2)增加扰动粒子改造基本PSO算法的速度更新公式,在克服种群早熟收敛的同时改善个体分布的均匀性;3)利用简化的Harmonic归一化距离评估个体的密度,在改善种群分布性的同时降低算法的计算代价.上述三种策略有机结合,形成了MAPSOAF算法的主要特点,这些策略在算法的不同阶段实施,以协同地提高MAPSOAF算法的总体性能.论文的第1节简要介绍高维多目标优化问题相关概念.第2节描述构成MAPSOAF 算法的若干重要组件和算法的流程,它是本文的重点章节.第3节是论文的仿真实验与结果分析.最后是本文的结论部分.1 高维多目标优化问题相关概念不失一般性,一个具有n个决策变量、m个目标函数的多目标优化问题,以最小化为例,可表述为式(1)的形式.式中,x称为决策向量,X是n维的决策空间;y称为目标函数,Y是m维的目标空间;目标函数F定义了映射函数和需要同时优化的m个目标.当m≥4时,称式(1)为高维多目标优化问题.对于决策空间任意的两点x1,x2∈X,当x1的目标函数都不大于并且至少存在一个小于x2的目标函数时,称x1Pareto支配x2,记为x1≺x2.若x∗∈X不受种群中其他个体支配,则称x∗为Pareto非支配解,种群中所有非支配解组成的集合成为Pareto解集,其对应的目标函数构成的集合为Pareto前沿.2 基于自适应模糊支配的高维多目标粒子群优化算法2.1 自适应模糊支配关系目前基于宽松支配关系的多目标/高维多目标进化算法大多采用变换目标函数值的方法,鉴于目标函数值是不可预测的,这就使得算法参数难以设定,而且目标函数值的改变,尤其在高维多目标优化中,会使寻优偏离真实的Pareto前沿.Farina等[12]将模糊理论引入高维多目标优化中,通过计算个体间目标优劣的数量来衡量个体的支配关系,提出(1−kF)支配策略.这种模糊支配关系的优点在于个体间的支配关系不再受到目标函数量纲和数值差异大小的影响,并使支配关系的复杂程度不受到目标数量的影响.但是该支配策略存在一个重要缺陷,即种群中的个体可能会陷入循环支配,从而使得种群中不存在非支配的解,导致算法各种择优策略无法实施,迫使算法停止.基于此,这里提出一种自适应的模糊支配关系,这种支配关系以步长幅度自适应地调整模糊隶属度支配阈值,在提高个体之间支配概率的同时,实现对高维多目标进化算法种群选择压力的精细化调控,以更好地促进算法收敛.假设F(xi)和F(xj)分别表示种群中任两个个体xi和xj的目标向量,Bt(xi,xj)、Ws(xi,xj)和Eq(xi,xj)分别表示F(xi)中优于、劣于和等于F(xj)的目标个数,据此,xi和xj的模糊支配隶属度C(xi,xj)则可用式(2)表示,而模糊集CS可用式(3)表示.此外,为避免种群个体发生循环支配,借鉴文献[13]的做法,这里为种群中的个体xi赋予目标质量属性Q(xi),以刻画xi目标值的总体表现,其计算方法如式(4)所示.其中,N表示种群的规模,zj为第j(j∈[1,m])个目标函数的最小值.当目标函数最小值已知时,zj取第j个目标函数真正的最小值;而当目标函数真正的最小值难以获得时,zj的值取当前种群对应的第j个目标函数的最小值.由于目标质量属性Q是一个标量,满足传递性,即当Q(xi)<Q(xj)且Q(xj)<Q(xk)时,有Q(xi)<Q(xk)成立.不仅如此,为保持个体模糊支配关系和目标质量属性的一致,这里将个体的目标质量属性Q结合到模糊隶属度中,式(5)给出了带约束的模糊支配隶属度的表达式.在高维多目标优化问题中,随着迭代次数的增加,种群中非支配解的数目急剧增多,导致种群的选择压力不断降低,严重地影响了算法的收敛性能,因而需要在进化过程中逐渐放宽个体的支配条件,减少群体中非支配解的数目,以增大种群的选择压力.基于此,这里尝试自适应地调整模糊隶属度的支配阈值来控制支配条件.本文的自适应模糊支配关系可表述如下:假设xi和xj是种群中任两个个体,当Eq(xi,xj)6=m(m为MAOP问题的目标数),若利用式(5)计算得到的模糊隶属度C(xi,xj)满足大于等于阈值λ(λ∈(0.5,1])且λ随迭代次数的增加而递减时,则称xi自适应模糊支配xj.因此,当λ=1时,模糊支配关系成立需满足Ws(xi,xj)=0,且Bt(xi,xj)>0,即个体xi的所有目标都不劣于xj,并且至少存在一个目标函数要优于xj,此时模糊支配关系等价于Pareto支配关系;而当λ=0.5时,模糊支配关系成立需要满足Bt(xi,xj)>Ws(xi,xj),即xi优于xj的目标个数要大于其劣于xj的目标个数,此时模糊支配关系等价于†-支配;而当λ∈(0.5,1)时,此时的模糊支配关系实际上是一种宽松的Pareto支配关系.阈值λ越小则支配关系越宽松,这有利于减少种群中非支配解的数目,以增强群体的选择压力,促进算法较快收敛.因此,随着迭代次数t的增加,阈值λ应从1逐渐降至0.5附近,这里规定λ值依式(6)进行非线性递减.其中,t为当前的进化代数,T为算法允许的最大迭代次数.需要注意的是,现有宽松支配关系一般需要设置合理的参数以达到放宽支配条件,增大支配概率之目的,但这些支配关系的参数值与种群中非支配解的数量之间仅仅是一种定性关系,而非定量关系,因而在进化过程中难以精细化调整参数值.鉴于式(5)中分子(Bt(xi,xj))的最小值为1/m,分母(Bt(xi,xj)+Ws(xi,xj))的最大值为m,因此,模糊隶属度C(xi,xj)的最小值为1/m,阈值λ最小的有效调整步长可置为1/m.不妨令Bt(xi,xj)+Ws(xi,xj)=Ds,且设阈值λ的调整步长为1/Ds,则当λ值减少一个步长1/Ds时,意味着模糊支配关系降低了对较优目标个数所占比重的要求,使得群体中的个体更易形成支配关系,从而可提高支配的概率和种群的选择压力,促进算法收敛.一般地,在高维多目标进化算法的后期,Eq(xi,xj)的值会逐渐增大,种群中更容易产生非支配解,通过对相邻世代种群的模糊支配,隶属度阈值变化一个步长的大小,使得紧邻的下一代种群非支配解的数目可量化地减少.因此,这种以步长为幅度自适应地调整支配阈值的方法适于处理一些高维多目标优化问题.此外,由于黄金分割比例近年来被广泛应用于复杂系统优化中并取得了良好的效果,受此启发,这里将黄金分割点引入算法以执行种群规模的划分.具体地,设种群规模为N,利用黄金分割点G将种群分割为规模不等的两个子群,则较小子群的规模为N−bG·Nc(b·c表示向下取整).当规模为N的种群中非支配解的数目不超过N−bG·Nc时,以1/Ds为步长降低支配阈值,以放宽支配条件;当种群中非支配解数目超过N−bG·Nc时,则增大支配阈值,以缩紧支配条件.算法1给出了按步长自适应调整支配阈值的流程.算法1. 按步长自适应调整支配阈值输入. 种群规模N,最大进化代数Tmax,黄金分割点G,初始支配阈值λ0.输出. 调整后的支配阈值.以上自适应模糊支配关系将MAOP问题中个体之间m个目标的比较转化成模糊隶属度和目标质量属性两个值的比较,使得在目标个数很多时,也能容易地评价个体的优劣,并促进算法收敛.此过程没有加入任何的偏好信息,没有引入额外的参数,没有改变目标函数的数值,更没有对目标进行删减,而是利用了个体目标函数的完整信息.以步长为幅度调整支配阈值的大小,实现精细化调控支配的松紧程度,可满足不同情况下的需求,因而自适应模糊支配关系较适合MAOP问题的求解.2.2 增加扰动项的粒子速度更新方式在粒子群优化算法中,一个无质量的粒子i可视为MAOP问题的一个潜在解,粒子i 在搜索空间内以一定的速度飞行,并根据其自身和集体的飞行经验来动态调整飞行速度.在基本PSO算法中粒子i的速度和位置的更新方程分别如式(7)和式(8)所示:从式(7)可知,粒子i在第t代的移动速度的变化受其自身历史最优位置和全局最优位置Gbestt的共同影响,图1以2-目标优化问题为例,示意在多目标粒子群算法中当前粒子i速度的变化趋势.图1 多目标粒子群算法中粒子的速度更新示意图Fig.1 Velocity updation of particles in MOPSO在多目标粒子群算法的前期,粒子以较快的速度飞行,且具有较强的全局搜索能力,但在算法后期,若粒子自身的历史最优位置和全局最优位置Gbestt比较接近,则容易导致大量粒子的聚集,使得种群中粒子的多样性变差,可能会引起算法早熟收敛.基于此,这里考虑对多目标粒子群算法中粒子的速度公式进行改造,通过增加一扰动项来增强种群的多样性,从而有效避免算法陷入局部最优.其中的扰动粒子从外部档案(精英解集)中选择离当前粒子i的欧氏距离最近的个体.改造后的粒子速度更新如式(9)所示.其中,在式(7)～(9)中,w为惯性权重,c1、c2和c3为学习系数,r1、r2和r3为区间[0,1]上服从均匀分布的随机数,和为第t次迭代时粒子i在n维搜索空间中的位置和速度,而分别表示第t代的粒子i在搜索空间第j维上的位置和速度.为第t次迭代时粒子i的自身最佳位置,为第t次迭代时整个种群的全局最佳位置,分别表示第t次迭代时粒子i在第j维上的自身最佳位置和全局最佳位置.表示第t次迭代时距离当前粒子i的欧氏距离最近的精英个体.在方程(9)的右边,第1部分为粒子当前速度乘以惯性权重进行加速,表示粒子对当前自身运动的信任,依据自身的速度进行惯性运动;第2部分为自我认知部分,表示粒子对自身历史的思考;第3部分为社会认知部分,表示粒子在群体中的信息共享和相互合作;第4部分为扰动部分,表示粒子受到档案精英粒子的影响.图2为增加一扰动项之后粒子i的速度更新示意图.图2 增加扰动项之后算法中粒子的速度更新示意图Fig.2 Velocity updation of particles after adding turbulence item in MOSPO从式(9)可知,增加扰动项后多目标粒子群算法中粒子i的速度变化将受其历史最优解、全局最优解Gbestt和离粒子i的欧氏距离最近的精英粒子的共同影响.而且从图2也可看出,加入扰动项之后的粒子可较好地逼近Pareto前沿.从外部档案中选择距离当前粒子的欧氏距离最近的精英个体作为扰动粒子,原因有二:1)外部档案中的个体是算法迄今发现的较优秀的粒子,它们一般更加靠近Pareto 前沿,新增精英个体引导粒子的移动将有利于粒子朝Pareto前沿靠近;2)选择离当前粒子的欧氏距离最近的精英个体作为扰动粒子相当于对搜索空间进行均匀划分,而且还能较好地引导粒子在多个子空间内进行深度搜索,种群中粒子的多样性和搜索能力都能得以改善,可有效防止算法早熟收敛.2.3 全局最优位置的选取在多目标粒子群算法中,全局最优位置在引导粒子群朝Pareto前沿逼近的过程中发挥着重要的作用.由于MAOP问题的结果是一个非劣解集,因此粒子i的全局最优位置有若干候选方案,而不像单目标优化问题那样可以直接确定.多目标粒子群算法中每个粒子的全局最优位置从外部档案(精英集)中产生,为防止档案中部分粒子被重复选取,致使粒子朝相同的方向进化而造成聚集,这里给档案集中的粒子赋予一定的选择概率,依概率选择粒子i的全局最优位置.如果外部档案中某个精英个体被选为粒子i的全局最优位置,则该精英个体再次被选中的概率将减少,其减少的概率将均匀分配给档案集中其他的个体.式(10)给出了档案个体被选为全局最优位置后其概率的变化方式.其中,Pk表示外部档案集中的个体k被选中的概率,size(pop)和size(archive)分别表示粒子群和外部档案的规模,初始时外部档案中所有的非劣解的选择概率取值为1/size(archive).2.4 改进的邻域拥挤密度估计方法高维多目标优化问题的求解目标之一是要求获得的近似Pareto解集中的解个体不仅能均匀分布在Pareto前沿面上,而且要求它们的分布尽量广泛.实现该目标需要体现出种群个体在目标空间的分布情况,而个体之间的结构和联系主要表现为个体在目标空间中的疏密远近.这里采用一种简化的Harmonic归一化距离方法计算个体的拥挤密度,一方面可克服Harmonic平均距离存在的缺陷[15],另一方面可高效地维持群体的分布性.具体描述如下:对于种群中的第i个个体,假设在目标空间中与个体i的距离由近及远的个体距离依次为di,1,di,2,···,di,N−1,则个体i的 Harmonic 平均距离如式(11)所示.式(11)中的N为种群规模,即个体Harmonic平均距离的计算考虑了种群其他所有个体的距离,计算量很大.种群中相对距离较远的个体对所要计算邻域密度的个体的影响不应考虑在内,会引入不必要的偏差,造成资源浪费,这种情况在高维多目标优化问题中尤为明显.在不影响精度的情况下,这里提出减少参与计算平均距离的个体数量,即计算的数目由N−1降为k,并取k=blog2Nc,可得到式(12):鉴于种群个体之间的距离d可能为任意的正数,为方便计算,对di,j(j=1,2,···,k)用归一化方法进行规范,可得相对距离为((di,k−dmin)/(dmax−dmin)),dmin和dmax 分别为种群中个体之间的最小距离和最大距离,分布越好的个体其拥挤度应该越大.为了保持di和di,k的一致性,可得[1−(di,k−dmin)/(dmax−dmin)],而且一般距离越近的个体对该个体的拥挤度的影响越大,反之距离越远影响会越小.为了扩大这种差异,现对相对距离进行平方,即((di,k−dmin)/(dmax−dmin))2,由此可得个体拥挤距离的计算公式:分析式(13)可以发现,该拥挤密度的计算方法只考虑了个体在局部邻域内相邻的blog2Nc个个体之间的距离,这种简化的Harmonic归一化距离方法相比于Harmonic平均距离减少了计算量.具体分析如下:设种群规模为N,搜索空间的维度为n,目标数为m.由于简化后的拥挤密度计算方法仅考虑了bNc个相邻的个体,其数量要少于Harmonic平均距离方法,所以时间复杂度要小于Harmonic平均距离的复杂度O(mnlog2n),减少量为O(N(N−1−blog2Nc)),其总复杂度为O(mnlog2n)−O(N(N−1−blog2Nc)).相比于循环拥挤排序方法,这里使用简化的Harmonic归一化距离无需反复计算个体的拥挤密度,仅需计算一次,大大降低了算法的计算复杂度.种群中的个体由于具有共同的相邻个体而联系在一起,因此能在一定程度上反映出该个体在种群中的整体分布;同时,采取在该局部邻域内距离不同的个体对其拥挤度的影响不同的放大策略和归一化方法,保证了个体具有较好的邻域分布.由此可见,简化的拥挤密度估计方法能够从局部和全局两方面来维持种群的分布性.2.5 高维多目标优化的环境选择策略在高维多目标优化问题中,决策空间和目标空间的搜索范围极大扩张,自适应模糊支配关系虽然能在一定程度上增强选择压力,提高收敛性能,但如果环境选择策略设计不当,则可能导致种群陷入局部最优甚至收敛停滞.针对这一问题,本文利用文献[13]中改进的环境选择策略更新种群和外部档案,而且引入两个参数w1和w2分别表示支配度权重和拥挤距离权重,以协调收敛性和分布性.因此,粒子i的适应度计算方法变化如下:其中,ri和di分别表示粒子i的支配度和拥挤距离,详情参见文献[13].2.6 MAPSOAF算法流程在前面第2.1～第2.5节的基础上,算法2给出了自适应模糊支配的高维多目标粒子群算法的流程.算法2. MAPSOAF算法流程输入. 种群规模N,外部档案最大容量N0,黄金分割点G,初始支配阈值λ0,最大迭代次数Tmax,支配度权重w1,拥挤距离权重w2.输出. 外部档案集.1.初始化规模为N的粒子群,对每个粒子,确定其初始位置和初始速度,粒子的自身历史最好位置Pbest设置为粒子本身,置外部档案集为空,令迭代器t=1.2.WHILE(t≤Tmax)3.计算粒子群中各粒子的目标向量,根据第2.1节的自适应模糊支配关系,将较好的N0个个体拷贝至外部档案中.4.根据第2.2节和第2.3节为种群粒子选择扰动粒子和全局最优位置,并依式(9)更新粒子速度.5.利用第2.4节中改进的拥挤密度方法为种群中的粒子计算拥挤距离.6.利用第2.5节的方法更新粒子群和外部档案集.7.t=t+18.END WHILE9.输出外部档案集.3 实验与结果分析3.1 实验设置3.1.1 对等比较算法为检验MAPSOAF算法的性能,这里选取5个代表性的多目标进化算法作为对比算法,它们分别是:1)Deb等[16]提出的改进型非劣分类遗传算法NSGA-II;2)Nebro 等[17]提出的基于档案的混合分散搜索算法AbYSS;3)Zitzler等[18]提出的改进型强度Pareto进化算法SPEA2;4)Nebro等[19]提出的限制速度的多目标粒子群算法SMPSO;以及5)Wang等[20]提出的自适应调整约束子问题MOEA/D算法,即MOEA/D-ACD算法.3.1.2 高维多目标测试函数集为检验本文算法的有效性,这里将MAPSOAF算法与上述5种对比算法一同在4,10,30目标的DTLZ测试函数集[21]上进行实验比较.选用可扩展为任意目标维数和自变量维数的通用测试函数DTLZ{1,2,4,5}.所有实验在硬件配置AMDA10-8700P CPU 1.8GHz主频8.0GB内存,Windows 7 64位操作系统的ThinkPad E565计算机上运行.1)当目标个数为4时,DTLZ函数集参数设置为:目标个数为4,决策空间的维度为10,算法的迭代次数为2000;2)当目标个数为10时,DTLZ函数集参数设置为:目标个数为10,决策空间的维度为20,算法迭代次数为5000;3)当目标个数为30时,DTLZ函数集参数设置为:目标个数为30,决策空间维度为50,算法的迭代次数为10000.3.1.3 性能指标反转世代距离(Inverted generational distance,IGD)[22]度量了真实的Pareto前沿到算法获得的近似Pareto前沿之间的距离.由于DTLZ函数集的真实Pareto解集是已知的,通过对真实Pareto解集进行多样性采样,计算这些采样点到近似。
一种基于Pareto关联度支配的多目标粒子群优化算法
一种基于Pareto关联度支配的多目标粒子群优化算法汤可宗;李佐勇;詹棠森;李芳;姜云昊【摘要】为提高多目标优化算法的收敛性和多样性,提出一种基于Pareto关联度支配的多目标粒子群优化算法(MOPSO-PCD).该算法在严格遵守传统Pareto支配规则基础上,将灰色关联分析方法融入非劣支配解的进化过程,设计了一种新颖的Pareto关联度支配规则.该支配规则作用于全局最优粒子的选择过程,具有关联度最大的全局最优粒子将引领粒子群体向着真实Pareto前沿不断逼近.同时,将该支配规则应用于外部档案中非劣支配解的维护过程,可减少或避免最终解集多样性的损失,从而维护好外部档案中非劣解的分布过程.仿真实验表明,与被比较算法在ZDT 和DTLZ等系列测试函数相比,MOPSO-PCD能够获得更好的Pareto最优前沿分布特性和较快的收敛效率.【期刊名称】《南京理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(043)004【总页数】9页(P439-446,480)【关键词】多目标优化;粒子群优化;Pareto支配;关联度;多样性【作者】汤可宗;李佐勇;詹棠森;李芳;姜云昊【作者单位】景德镇陶瓷大学信息工程学院,江西景德镇333403;工业机器人应用福建省高校工程研究中心闽江学院,福建福州350108;景德镇陶瓷大学信息工程学院,江西景德镇333403;景德镇陶瓷大学信息工程学院,江西景德镇333403;景德镇陶瓷大学信息工程学院,江西景德镇333403【正文语种】中文【中图分类】TP391.41现实世界的许多工程及科学研究中,多目标优化问题(Multi-objective optimization problems,MOP)是必须要解决的关键问题。
由于MOP存在多个相互冲突的目标,一个目标性能的改善可能会引起另一个或多个目标性能的下降,要使所有目标都同时达到最优往往是不可能的。
随着维数的增加,各类MOP的动态、非线性及不可微等特性也会导致多目标优化计算的复杂度和搜索空间急剧递增,难以找到一种适合于不同MOP求解的通用方法,所有这些使得MOP的求解已成为目前国内外演化计算领域最难解决的热点问题之一。
改进的r支配高维多目标粒子群优化算法
改进的r支配高维多目标粒子群优化算法
章恩泽;陈庆伟
【期刊名称】《控制理论与应用》
【年(卷),期】2015(0)5
【摘要】高维多目标优化问题是广泛存在于实际应用中的复杂优化问题,目前的研究方法大都限于进化算法.本文利用粒子群优化算法求解高维多目标优化问题,提出了一种基于r支配的多目标粒子群优化算法.采用r支配关系进行粒子的比较与选择,并结合粒子群优化算法收敛速度快的优势,使得算法在目标个数增加时仍保持较强的搜索能力;为了弥补由此造成的群体多样性的丢失,优化非r支配阈值的取值策略;此外,引入决策空间的拥挤距离测度,并给出新的外部存储器更新方法,从而进一步防止算法陷入局部最优.对多个基准测试函数的仿真结果表明所得解集在收敛性、多样性以及围绕参考点的分布性上均优于其他两种算法.
【总页数】8页(P623-630)
【作者】章恩泽;陈庆伟
【作者单位】南京理工大学自动化学院,江苏南京210094;南京理工大学自动化学院,江苏南京210094
【正文语种】中文
【中图分类】TP301
【相关文献】
1.一种基于Pareto关联度支配的多目标粒子群优化算法 [J], 汤可宗;李佐勇;詹棠森;李芳;姜云昊
2.基于超球形模糊支配的高维多目标粒子群优化算法 [J], 谭阳; 唐德权; 曹守富
3.一种适应度排序的高维多目标粒子群优化算法 [J], 杨五四;陈莉;王毅;张茂省
4.目标空间映射策略的高维多目标粒子群优化算法 [J], 陈强;王宇嘉;梁海娜;孙欣
5.DAV-MOEA:一种采用动态角度向量支配关系的高维多目标进化算法 [J], 谢承旺;余伟伟;郭华;张伟;张琼冰
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一种基于模糊学习子群的多目标粒子群算法
一种基于模糊学习子群的多目标粒子群算法江勋林;郭坚毅;唐建;凌海风【期刊名称】《计算机应用研究》【年(卷),期】2011(28)12【摘要】为提高多目标粒子群算法的局部搜索能力,提出了一种模糊学习子群多目标粒子群算法(FLSMOP-SO).在搜索过程中,每个粒子模糊自适应学习生成不确定的p个粒子形成一个子群而不是只产生一个新粒子,然后在其中选择模糊满意解作为其下一代新粒子.对四个典型测试函数的实验结果表明,新算法比NSGAⅡ和MOPSO两种经典多目标优化算法有显著的优越性.%To improve the local search ability of the MOPSO,this paper put forward a new fuzzy learning sub-swarm multi-ob-jective particle swarm optimization ( FLSMOPSO). In the searching process, each particle in the swarm could have linear re-gressive p particles by self-adaptive learning to form a sub-warm rather than a single particle. Then selected a fuzzy satisfied so-lution particle as the new position of the particle. Comparative analysis to the two typical algorithm shows that the new algorithm have prominent advantages.【总页数】3页(P4492-4494)【作者】江勋林;郭坚毅;唐建;凌海风【作者单位】解放军理工大学工程兵工程学院,南京210007;南京军区73602部队,南京210007;解放军理工大学工程兵工程学院,南京210007;解放军理工大学工程兵工程学院,南京210007【正文语种】中文【中图分类】TP301【相关文献】1.基于模糊多目标粒子群算法的热电联供型微网环境经济调度 [J], 翟俊义;任建文;周明;李整2.基于直觉模糊支配的混合多目标粒子群算法 [J], 梅海涛;华继学;王毅;文童3.一种模糊偏好排序的多目标粒子群算法 [J], 李世威;王建强;曾俊伟4.一种基于自适应模糊支配的高维多目标粒子群算法 [J], 余伟伟;谢承旺;闭应洲;夏学文;李雄;任柯燕;赵怀瑞;王少锋5.基于模糊偏好的多目标粒子群算法在库存控制中的应用 [J], 韩冬梅; 王丽萍; 吴秋花因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
介绍一种基于粒子群优化算法的高维函数优化方法
介绍一种基于粒子群优化算法的高维函数优化方法基于粒子群优化算法 (Particle Swarm Optimization, PSO) 的高维函数优化是一种经典的启发式优化方法，它最初由Eberhart和Kennedy在1995年提出。
该方法模拟了鸟群觅食时的聚集行为，通过不断更新粒子的位置和速度，来最优解。
PSO算法相对于其他优化算法具有收敛速度快、易于实现和适用于各种优化问题等优点，在高维函数优化问题中有广泛的应用。
该方法的核心思想是模拟粒子在空间中的活动，形成一个多粒子系统，每个粒子都有一个位置和速度，并通过与邻近粒子的信息交流来更新自己的位置。
每个粒子都会记住自己遇到的最好的解（局部最优解）和整个群体遇到的最好的解（全局最优解），并根据这些信息来调整自己的位置和速度。
具体步骤如下：1.初始化粒子群：设置粒子数目N，每个粒子的位置和速度范围，以及迭代次数等参数，并随机生成初始位置和速度。
2.计算适应度值：根据粒子的位置计算适应度值，即目标函数在该位置的值。
3.更新局部最优解：每个粒子根据自己的当前位置和速度，以及记忆中的局部最优解，计算出一个新的局部最优解。
4.更新全局最优解：将每个粒子的局部最优解与整个群体的全局最优解进行比较，根据一定的规则来更新全局最优解。
5.更新速度和位置：根据当前速度和位置，以及局部和全局最优解的信息，计算出新的速度和位置。
6.判断停止条件：判断是否达到停止条件，如果是则输出最优解，否则返回步骤3PSO算法的关键在于更新速度和位置的公式，常见的更新公式有以下两种：-公式一（全局最优解和局部最优解相加）：速度更新公式：V(t+1) = w * V(t) + c1 * rand( * (pbest(t) -X(t)) + c2 * rand( * (gbest(t) - X(t))位置更新公式：X(t+1)=X(t)+V(t+1)-公式二（全局最优解和局部最优解相减）：速度更新公式：V(t+1) = w * V(t) + c1 * rand( * (pbest(t) -X(t)) - c2 * rand( * (gbest(t) - X(t))位置更新公式：X(t+1)=X(t)+V(t+1)其中，V(t)是粒子在当前时刻的速度，X(t)是粒子在当前时刻的位置，pbest(t)是粒子的历史最优解，gbest(t)是整个粒子群的全局最优解，w是惯性权重，c1和c2是加速因子，rand(是随机数。
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基于超球形模糊支配的高维多目标粒子群优化算法谭阳; 唐德权; 曹守富【期刊名称】《《计算机应用》》【年(卷),期】2019(039)011【总页数】9页(P3233-3241)【关键词】高维多目标优化问题; Pareto支配; 粒子群; 多样性【作者】谭阳; 唐德权; 曹守富【作者单位】湖南师范大学数学与统计学院长沙410081; 湖南广播电视大学网络技术系长沙410004; 湖南警察学院信息技术系长沙410138【正文语种】中文【中图分类】TP301.60 引言最优化问题一直是工程实践和科学研究中主要的问题形式之一[1]。
其中，函数优化目标在2～3个并且需要同时处理的最优化问题被称为多目标优化问题(Multi-objective Optimization Problems, MOP)。
而函数优化目标等于或大于4个的优化问题则被称为高维多目标优化问题(Many-objective Optimization Problem, MAOP)。
多目标问题会随着目标维度的增加导致解空间急剧增大，寻优算法在解空间中几乎全部互为非支配个体；传统的Pareto支配关系无法使算法产生足够的选择压力，致使算法搜索困难[2]。
针对这一问题，国内外的学者们分别提出不同的解决思路。
Farina等[3]基于人工决策系统的模糊型最优性定义，提出以非偏好为基础来改进支配关系，从而在优化高维多目标问题时扩大了支配域，但该方法存在容易产生循环支配的缺陷。
Li等[4]提出基于移位的密度估计多样性策略，通过调整Pareto支配关系和偏好维护机制的方法来平衡算法的性能，由于该方法需要考虑对目标函数的缩放，因此在优化凹面函数时其分布性能受限。
Wang等[5]采用自适应的分解方法，以分治法对高维多目标问题进行降维分解，该方法可以提高算法的性能，但其困难之处在于需要对分解所得的子问题施加人工约束。
陈振兴等[6]在张角概念的基础上提出了一种新的拥挤控制策略，能够较好地维护种群的分布的均匀性，但该方法效能严重依赖于角度阈值参数的设定。
Deb等[7]通过筛选部分非支配个体的方式来为整个种群选取一组参考点，并以该组参考点来评价个体的质量，从而辅助控制种群在目标空间中的分布，并提出了带精英策略的快速非支配排序遗传算法(Nondominated Sorting Genetic Algorithms Ⅲ, NSGA-Ⅲ)算法。
但值得注意的是，文献中并没有讨论该方法在有约束优化问题上的性能。
粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)是由Kennedy等[8]于1995年提出的一种智能优化算法。
PSO算法是一种源于对鸟群等群体运动行为的优化工具，与其他的优化算法相比较，PSO具有算法简单、收敛速度快、对目标函数要求少等特点，因而成为重要的优化工具。
近年来，国内外学者在研究PSO 优化多目标问题的领域取得了很大的进展，提出了不少基于PSO的多目标优化算法，但将PSO用于高维多目标优化问题求解的理论和方法较少。
其原因在高维多目标优化问题上最优解分布于Pareto最优前沿面之上，巨大的解空间将导致PSO 的选择压力迅速降低，算法早熟收敛而无法有效获取问题的最优前沿面。
针对PSO的缺陷，本文提出一种基于超球形模糊支配的高维多目标粒子群优化(Hyper-spherical Fuzzy dominance Particle Swarm Optimization, HFPSO)算法。
在可行解全部目标维度上增加一个半径以形成超球体，以超球体所张成的空间来扩展可行解的支配域。
同时，为增加算法的选择压力，以模糊支配策略来进一步降低非支配解在种群中的比例。
在分布性维护操作上，将个体全局最优值的选择策略调整为动态概率选择, 更好地平衡了算法的收敛性和多样性。
1 基本理论与概念1.1 高维多目标优化问题不失一般性，一个具有n个决策变量、m个目标变量的多目标优化问题通常被描述[9]为:min y=F(x)=(f1(x), f2(x),…, fm(x))T(1)s.t. x=(x1,x2,…,xn)∈X⊂Rn,y=(y1,y2,…,ym)∈Y⊂Rm其中，X为n维的决策空间，Y为m维的目标空间。
只有当优化目标为1时，最优解才是在给定约束条件下使目标函数最大的解，而当多个目标要求同时最优时，最优解就是Pareto最优集。
下面给出MAOP常用到几个相关定义[9]：定义1 可行解。
对于某个x∈X，如果x满足gi(x)≤0(i=1,2,…,q)和hj(x)≤0(j=1,2,…,p)，则称x为可行解。
定义2 Pareto最优。
若一个解x*∈Xf是Pareto最优(非支配解)，当且仅当∃x∈Xf:x≻x*。
定义3 Pareto最优解集。
所有Pareto最优解的集合：P*{x*|∃x∈Xf:x≻x*}定义4 Pareto最优前沿面。
所有Pareto最优解对应目标矢量所组成的曲面称为Pareto最优前沿面或均衡面PF*:PF*{F(x)*=(f1(x*), f2(x*),…, fm(x*))|x*∈P*}1.2 标准PSO算法在标准粒子群优化(PSO)算法中，初始粒子在搜索空间中以一定的速度飞行，并通过追踪两个极值来更新自己完成寻优。
两个极值分别为：粒子自身所找到的最优解，称为个体极值pbest；另一个是整个粒子种群目前找到的最优解，称为全局极值gbest。
在两个极值的作用下，粒子会依据式(2)来更新自己的速度和位置[8]:(2)其中:vk是粒子的速度向量； xk是粒子当前的位置； c0、c1、c2表示群体认知系数，标准PSO中c0一般取(0,1)的随机数，c1、c2取(0,2)的随机数。
在每一维上粒子的速度都会被限制在一个最大速度vmax(vmax>0)内，即vk>vmax或vk<-vmax时，vk=vmax或vk=-vmax。
1.3 标准PSO对MAOP优化的分析基于Pareto支配关系，标准PSO的种群能够逐渐收敛到一个不被任何其他解支配的Pareto最优解集上。
但基于Pareto支配方法的优化效果与种群中非支配解个体所占比例密切相关，Adra等[10]曾指出非支配个体在种群中所占比例会随着算法迭代次数增加而迅速上升，甚至大部分个体都成为非支配解。
这将导致算法各种择优策略无法实施，削弱基于Pareto支配比较与选择的效果，导致优化算法搜索能力的下降。
为了更具体地分析标准PSO对MAOP优化的性能，以可扩展目标维度的DTLZ1函数[11]为例，分别设置不同的目标维度数。
设置PSO的种群规模为N=200，并限定PSO的最大迭代次数Tmax=20，记录PSO在完成不同目标维度优化问题后非支配解的数量。
为了消除其他因素的影响，对每种不同目标维度的MAOP独立优化30次，取平均值，结果如图1所示。
图1 标准PSO在不同目标维度下非支配解所占比例Fig. 1 Proportion of non-dominated solutions for standard PSO in different target dimensions实验结果显示随着目标维度的增加，标准PSO中非支配解所占比例迅速提高，削弱了PSO种群在进化过程中基于Pareto支配的选择压力，导致算法性能下降。
2 基于超球形模糊支配的粒子群算法2.1 超球形支配关系随着优化问题目标维度的进一步增加，种群中非支配个体的数量将呈指数上升，将大大削弱PSO基于Pareto比较进行选择与搜索的能力。
因此，适当放宽Pareto 支配关系，则能对其他非支配个体进行比较与选择。
Sato等[12]提出了一种扩展支配域的方法，并应用于NSGA-Ⅱ上[13]，提高了NSGA-Ⅱ的性能；但这一方法的主要缺陷在于需要为每一待优化的目标函数设置修正参数。
考虑到MAOP中最优前沿面为一超平面，算法种群中的个体为了逼近这一超平面，在优化的过程会形成支配关系，而决定个体支配关系的主要因素在于解空间中个体支配域的范围。
个体支配域较小，容易提升种群出现非支配解的几率, 大量的非支配解的出现会导致Pareto支配关系在高维空间中面临失效的境地。
因此，要维护算法对MAOP的性能，需要扩展个体的支配域，降低非支配个体的数量，维持算法的选择压力以促进算法的收敛。
基于此，若以种群中任意可行解为基础，并在其所有维度上都增加一个值为r的半径，那么可得到一半径为r的超球形。
该超球形在解空间中所张成的支配域则由可行解现有的支配域扩展而来，以此扩展了个体支配域的范围。
由图2可以看出，按照Pareto支配关系A、B、C互为非支配个体；但在扩展支配域中个体A、C被B所支配。
宽松支配关系的核心是提升较优个体的支配概率，通过扩展支配域来放宽支配关系，则降低了对较优目标个数所占比重的要求。
此举使得种群中的个体更易形成支配关系，从而提高支配的概率和种群的选择压力，促进算法的收敛。
调整半径值r的大小，可控制超球体所张成的扩展支配域。
在优化高维多目标问题时可将r值设定为后期小一些，随着迭代次数的增加r值逐渐减小至0，种群中非支配解更容易产生，以加速收敛。
式(3)给出了半径值r的动态计算方法，随着迭代次数的增加而动态减小，实现算法在初始时利于全局搜索，后期则加速收敛。
r=rmax-(t×rmax/Tmax)；rmax=(vmax×m)/N(3)其中:rmax为最大半径值，Tmax为算法的最大迭代次数，t为当前迭代次数，vmax为粒子在目标空间中的最大速度，m为MAOP的维数，N为种群规模。
图2 Pareto支配域与扩展支配域的比较Fig. 2 Comparison of Pareto dominance and extended dominance2.2 模糊支配策略超球形支配关系会使得个体目标函数产生不可预测性，为避免种群个体发生循环支配，Farina等[3]将模糊理论应用于MAOP的优化，提出以个体间目标优劣的数量来衡量个体的支配关系。
受此启发，提出一种模糊支配的策略。
令F(xi)为个体xi的目标向量。
对种群中任意两个不相同个体xi和xj(i≠j)的目标向量F(xi)和F(xj)比较后，可得到xi优于xj、xi等于xj和xi劣于xj三种不同的目标维度比较值，且分别用Better(xi,xj)、Equal(xi,xj)和Worse(xi,xj)表示；则个体xi和xj的模糊支配度C(xi,xj)由式(4)计算；其模糊支配集CS由式(5)表示:C(xi,xj)=(4)CS={C(xi,xj)|xi,xj∈[1∶N]∧i≠j}(5)本文将xi等于xj目标维度数视作xi优于xj的维度数，目的是通过宽松模糊支配关系进一步降低种群中非支配解的比例，维持算法在高维空间中的选择压力。