找规律的数学题

找规律的数学题

找规律是数学中非常重要的一环，数学中的规律无处不在。让我们来看一些常见的找规律的数学题目。

第一类：数列问题

Q1. 在1，2，4，7，11，16...中，第n个数是多少？

首先，我们要观察这个数列，发现从第二个数开始，每个数都比前一个数多1，然后再比前一个数多2，再比前一个数多3… 以此类推。

因此，这个数列可以被表示为：

1, 2, 4, 7, 11, 16...

2 = 1 + 1

4 = 2 + 2

7 = 4 + 3

11 = 7 + 4

16 = 11 + 5

我们发现，每个数都是前一个数加上它本身的位置。因此，第n个数可以用如下公式来表示：

an = a1 + (1+2+3+...+(n-1))

要计算1+2+3+...+(n-1)的和，可以使用如下的公式：

1+2+3+...+(n-1) = n*(n-1)/2

因此，我们可以得到第n个数的公式：

an = a1 + n(n-1)/2

Q2. 在2，5，10，17...中，第n个数是多少？

观察这个数列，我们可以发现，第二个数是第一个数加3，

第三个数是第二个数加5，第四个数是第三个数加7...

因此，这个数列可以表示为：

2, 5, 10, 17...

5 = 2 + 3

10 = 5 + 5

17 = 10 + 7

我们发现，每个数都是前一个数加上一个奇数。因此，第n个数可以用如下公式来表示：

an = a1 + 2*(1+3+5+...+2n-3)

要计算1+3+5+...+2n-3的和，可以使用如下的公式：

1+3+5+...+2n-3 = n^2

因此，我们可以得到第n个数的公式：

an = a1 + n^2

第二类：等差数列和等比数列问题

Q1. 在1，3，5，7，9...中，前10个数的和是多少？

观察这个数列，我们可以发现，每个数都比前一个数多2，因此这个数列是一个公差为2的等差数列。

要计算前10个数的和，我们可以使用如下公式：

Sn = n*(a1+an)/2

其中，n是数列中项数，a1是数列的第一项，an是数列的第n项。

因此，我们可以得到前10个数的和为：

S10 = 10*(1+19)/2 = 100

Q2. 在2，6，18，54，162...中，前5个数的和是多少？

观察这个数列，我们可以发现，每个数都是前一个数乘以3，因此这个数列是一个公比为3的等比数列。

要计算前5个数的和，我们可以使用如下公式：

Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)

其中，n是数列中项数，a1是数列的第一项，q是公比。

因此，我们可以得到前5个数的和为：

S5 = 2*(1-3^5)/(1-3) = 364

第三类：其他数学问题

Q1. 有一个正整数n，把它的每位数字都平方后相加，得到一个新的数m。重复这个过程，直到m变成1。如果n=19，说明这个过程的结果。

n=19，把它每位数字都平方后相加得到m=82。然后把82每位数字都平方后相加得到m=68。然后把68每位数字都平方后相加得到m=100。然后把100每位数字都平方后相加得到

m=1。

因此，这个过程最终的结果是1。

Q2. 在三角形ABC中，AB=BC=13，AC=10，D是AB边上的点，E是AC边上的点，且DE平行于BC。求DE的长度。

我们把三角形ABC的底边放在x轴上，AB边长为13，BC 边长为13，AC边长为10。设BD=x，AE=y，DE=z。

根据三角形相似的性质，我们可以得到：

x/(13-x) = y/10

因此，y = 10x/(13-x)

根据平行线的交角性质，我们可以得到：

y/x = (y+z)/(13-x-z)

将y的表达式代入上面的公式，得到：

10x/(13-x) / x = (10x/(13-x) + z)/(13-x-z)

解出z，得到：

z = 169x/(169-26x)

根据勾股定理，我们可以得到：

x^2 + y^2 = 169

将y的表达式代入上面的公式，得到：x^2 + (100x^2)/(169-x)^2 = 169

解出x，得到：

x = 5

将x的值代入上面的公式，得到：

z = 12/7

因此，DE的长度是12/7。