湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学习题必修五1-2解三角形应用举例练习题

1.2 解三角形应用举例一、填空题1.海上有三个小岛,其中两个小岛A,B相距10海里,从A岛望B岛和C岛成60视角,从B岛望C岛和A岛成75视角,则B,C间距离是_______．解析 180-60-75=45, 根据正弦定理.答案海里2.从A处望B处的仰角为从B处望A处的俯角为则、的关系为______．解析根据仰角和俯角的定义可知.答案3．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析如图，OM＝AO tan 45°＝30 (m)，ON＝AO tan 30°＝33×30＝10 3 (m)，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×3 2＝300＝10 3 (m)．答案10 34．某人向正东方向走x k m后，他向右转150°，然后朝新方向走3 k m，结果他离出发点恰好 3 k m，那么x的值为________．解析如图，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝32＋x2－2×3x×cos 30°，即x2－33x＋6＝0，解得x1＝3，x2＝23，经检测均合题意．答案3或2 35．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB 的长为________．解析 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .① 在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .② 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°， 所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . 答案 22a6．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________. 解析 由A 作垂线AH ⊥BC 于H .因为S △ADC ＝12DA ·DC ·sin 60°＝12×2×DC ·32＝3－3，所以DC ＝2(3－1)，又因为AH ⊥BC ，∠ADH ＝60°， 所以DH ＝AD cos 60°＝1，∴HC ＝2(3－1)－DH ＝23－3.又BD ＝12CD ，∴BD ＝3－1，∴BH ＝BD ＋DH ＝ 3.又AH ＝AD sin 60°＝3，所以在Rt △ABH 中AH ＝BH ， ∴∠BAH ＝45°.又在Rt △AHC 中tan ∠HAC ＝HC AH ＝23－33＝2－3，所以∠HAC ＝15°.又∠BAC ＝∠BAH ＋∠CAH ＝60°， 故所求角为60°. 答案 60°7．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析 在△BCD 中，CD ＝10(米)，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，BCsin 45°＝CDsin 30°，BC＝CD sin 45°sin 30°＝102(米)．在Rt△ABC中，tan 60°＝ABBC，AB＝BC tan 60°＝106(米)．答案10 68．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米．解析如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，AOsin 45°＝20sin 60°，∴AO＝2063(米)．答案206 39．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 k m，速度为1 000 k m/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 k m)________．解析AB＝1 000×1 000×160＝50 0003(m)，∴BC＝ABsin 45°·sin 30°＝50 00032(m)．∴航线离山顶h＝50 00032×sin 75°≈11.4 (k m)．∴山高为18－11.4＝6.6 (k m)．答案 6.6 k m10．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m 到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，进行10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析 由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°， ∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴x sin 45°＝10sin 60°.∴x ＝1063(m)． 答案1063m 11．如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m 海里后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n 海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________________时，该船没有触礁危险．I解析 由题可知，在△ABM 中， 根据正弦定理得BM －α＝m α－β，解得BM ＝m cos αα－β，要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝m cos αcos βα－β＞n ，所以当α与β的关系满足m cos αcos β＞n sin(α－β)时，该船没有触礁危险． 答案 m cos αcos β＞n sin(α－β)12．某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看这宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 k m/h ，则宝塔到铁路线的垂直距离等于________k m. 解析 如图，∠BCA ＝45°－30°＝15°，AB ＝10060＝53(k m)，AC ＝ABsin ∠BCA· sin ∠ABC ＝53(3＋1)(k m)，所以宝塔到铁路线的垂直距离＝AC ·sin 30°＝56(3＋1)(k m)．答案56(3＋1)13．知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是________．解析如图，设AB＝AC＝2x，则在△ABD中，由余弦定理，得3＝x2＋4x2－4x2cos A，所以cos A＝5x2－3 4x2.所以sin A＝1－cos2A＝－9x4＋30x2－94x2，所以S△ABC＝12(2x)2sin A＝12－9x4＋30x2－9.故当x2＝53时，(S△ABC)max＝12－9⎝⎛⎭⎪⎫532＋3053－9＝1216＝2.答案 2二、解答题14.如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10千米,速度为180千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为30,经过2分钟后又看到山顶的俯角为75,求山顶的海拔高度.解析在△ABP中-根据正弦定理,.sin75sin(45+30.所以,山顶P的海拔高度为千米).15．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解析(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC ＝28(海里)． 所以渔船甲的速度为BC 2＝14海里/时．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12(海里)，∠BAC ＝120°，BC ＝28(海里)，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314. 16．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 思路分析 第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式；第(2)问建立速度与时间的函数关系式．解析 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t2＋400－2·30t －＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎪⎫t －132＋300.故当t ＝13时，S min ＝103(海里)，此时v ＝10313＝303(海里/时)．即，小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t＋400t 2，∵0＜v ≤30，∴900－600t＋400t 2≤900，即2t 2－3t≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30海里/时．故v ＝30海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 【点评】 解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式，利用函数的有关知识解决问题，充分体现了函数与方程思想的重要性.17．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，接到信号后乙船朝北偏东θ方向沿直线前往B 处救援，问θ的正弦值为多少？解析 如题干图，在△ABC 中，AB ＝20海里，AC ＝10海里，∠BAC ＝120°， 由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°＝202＋102－2×20×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝700.∴BC ＝107海里．由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，∴sin ∠ACB ＝ABBC·sin∠BAC ＝20107·sin 120°＝217.∴sin θ＝sin(30°＋∠ACB )＝sin 30°cos∠ACB ＋cos 30°·s in ∠ACB ＝5714∴乙船应沿北偏东sin θ＝5714的方向沿直线前往B 处救援．18．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？解析由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△ADB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，所以DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝＋3sin 105°＝＋3sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．所以救援船到达D点需要1小时．。