切比雪夫多项式(下)
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十二、切比雪夫多项式（下）
我们用（126）具体算几个切比雪夫多项式：
••
•••••••••••t t t t •••••t t t t t T t ••t t t t t t t T ••t t t t t T t ••t T ,
8
1
)188(81]
)1()1(6[81
)(,
43
)34(41])1(3[41)(,
21)12(21)]1([21)(,
)(242422224433233222221+-=+-=-+--=-=-=--=-=-=--== 再往下算就越来越麻烦. 其实我们可以利用它的母函数，推导出)(t T n 之间的递推关系，使计算变得较为简单.
由于
)
127(,)()()(1)(14443
2211
2
2•••••x t T x t T x t T •••••••••••
x t T x tx x n n n n n
n ∑∑∞
=∞
=+++=+=+--
)
128(,)()()()(44)4(3
1212
11
12
2•••••x t tT x t tT tx •••••••••••
x t tT tx x
t tT tx x tx x tx n n n n n
n n n n ∑∑∑∞
=-∞
=-∞
=+++=+=+=+--
)129(,)(4
1
4)(414)
44(4)
4(32212
2222••••x t T x •••••••••••x t T x x tx x x n n n n n n
∑∑∞
=-∞=++=
+=+--
（127）-（128）+（129），得
)
130(,)](41
)()([41144)
4(4
1
)4(43
2122
2222••••••••
••x t T t tT t T x x tx x x x tx x •••n n n n n ∑∞=--+-+-=+--+---
上式左边的分子显然为
)44(411411)4(2222x tx x x tx x +-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+--
因而（130）可写为
∑∞=--⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+-=-32122)(41)()(41411n n n n n x t T t tT t T x x ，
即
∑∞
=--=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡+-3
210)(41)()(n n n n n x t T t tT t T . 因而n x 的系数都必须为0，于是得计算)(t T n 的递推分式：
),5,4,3(,)(4
1
)()(21 ••••••n •••t T t tT t T n n n =-=-- （131）
从这个公式计算)(t T n 就比较方便了. 例如从)(3t T ，)(4t T 很容易算出
,
16
5
45434181)(41)()(35324345t ••t t ••••t t t t t t T t tT t T +-=⎪
⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-=-= 从)(4t T ，)(5t T 又很容易算出)(6t T ：
.
32
1
16923814116545)
(41
)()(2462435456••t t t •••••t t t t t t •••••t T t tT t T -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-=-=
从递推公式（131）还很容易看出一个事实：所有切比雪夫多项式)(t T n 的最高次项的系数都是1. 但要从切比雪夫多项式的表达式（126）来作出这一结论并不太简单.
切比雪夫多项式有许多有趣的性质，这里只讨论其中较为重要的一个. 为了说清楚这一重要性质，要引进几个新概念.
我们把满足不等式b x a ≤≤的实数x 的全体称为一个闭区间，记为[a ，b ]. 例如
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,21•• 表示满足不等式221≤≤-x 的实数x 的全体，[-1，1]表示满足不等式11≤≤-x 的实数x 的全体.
把所有首项系数为1的n 次多项式的全体记为n H ，那么对于任意实数
110,,,-n •a ••••a •a ，
0111)(a x a x a x x P n n n ++++=--
都是n H 中的多项式. 我们用)(x P ∈n H 表示)(x P 是n H 中的多项式. 例如
53)(24+-+=x x x x Q ，则4)(H x Q ∈. 由于)(t T n 是首项系数为1的n 次多项式，所以)(t T n ∈n H .
设)(t f 是定义在[a ，b ]上的任一函数，当t 由a 变到b 时， |)(|t f 也跟着变化，设|)(|t f 的最大值是M ，我们把它记为
|)(|max t f M b
t a ≤≤=，
上式可改写为
|0)(|max -=≤≤t f M b
t a .
因此也称M 为函数)(t f 与0在区间[a ，b ]上的偏差.
现在设)(t P 是n H 中任一多项式，)(t P 与0在[-1，1]上的偏差设为P M ，即
|)(|max 1
1t P M t P ≤≤-=.
显然，P M 是随着多项式)(t P 的不同而变化的一个正数，即对于不同的)(t P ，它与0的偏差也是不同的. 我们问，n H 中哪一个多项式与0的偏差最小？下面将要证明，这个与0偏差最小的多项式就是用切比雪夫多项式.
定理15 在最高次项系数为1的所有n 次多项式中，在闭区间[-1，1]上与0有最小偏差的多项式是切比雪夫多项式
)arccos cos(2
1)(1
t n t T n n -=
.
证明 我们先研究一下，在[-1，1]上)(t T n 与0的偏差等于什么，令