上海名校数学周周爽：上海中学高一下学期数学周周练11

上海中学高一数学周练卷

一. 填空题

1. 设234212121212333333n n n S -=

-+-+⋅⋅⋅+-，则lim n n S →∞=

2. n →∞=

3. 用数学归纳法证明123(21)(1)(21)n n n +++⋅⋅⋅++=++时，从“n k =到1n k =+”时，左边需增加的代数式是

4. 数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅的前n 项和是

5.

计算：3lim(log n →∞= 6. 数列{}n a 按以下条件给出：111

22,2,n n n n a a a n a a n ++=⎧⎪=+⎨⎪=⎩当为奇数时当为偶数时，则2015a =

7. 若通项公式1(1)()32n n a n

λ=-+

+的数列{}n a 的各项都是正数，则λ的取值范围是

8. 设各项皆为非零实数实数的数列{}n a 的前n 项和是n S ，且11a =，对任意*n N ∈都有 112

n n n S a a +=，则n a = 9. 设数列{}n a 的前n 项和1lg n n S a b =+，则使得lim 1n n S →∞

=成立的实数b 的取值范围是

10. 如图，一个粒子的起始位置为原点，在第一象限内

于两正半轴上运动，第一秒运动到(0,1)，而后它接着

按图示在x 轴、y 轴的垂直方向来回运动，且每秒移动

一个单位长度，那么经过2015秒时，这个粒子所处位

置的坐标是

11. 若在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的正整数n ，都有1n n a a +≤，且对任意的 正整数k ，该数列中恰有21k -个k ，则2015a =

12. 有五只猴子摘了一些桃子，打算隔天早上起来分了吃，晚上的时候，第一只猴子偷偷起来把桃子分成五堆，还多了一个，就把多了的那个吃掉，并拿走了一堆，第二只猴子也偷偷起来将桃子分成了五堆，还是又多了一个，同样吃掉了这一颗桃子，并拿走了其中一堆，第三只、第四只、第五只猴子都做了同样的事情，则这堆桃子最少有 个

二. 选择题

13. 某个命题与自然数n 有关，如果n k =时命题成立，可以推得1n k =+时该命题也成立，现知道15n =时该命题不成立，则（ ）

A. 16n =时该命题不成立

B. 16n =时该命题成立

C. 14n =时该命题不成立

D. 14n =时该命题成立

14. 已知1lim 1n

n

n a b a →∞-=+（b 为常数），则a 的取值范围是（ ） A. a R ∈且1a ≠ B. ||1a > C. 11a -<≤ D. 0a =或1a =

15. 等差数列{}n a 中，n n S m =，m m S n

=（m n ≠，*,,m n N ∈），则m n S +的值（ ） A. 大于4 B. 等于4 C. 小于4 D. 大于2或小于4

16. 已知A 、B 为ABC ∆的内角，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，

tan B 是以13

为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则此三角形为（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 非等腰的直角三角形

三. 简答题

17. 求11sin cos lim sin cos n n n n n θθθθ++→∞-+，其中3(0,)4

πθ∈；

18. 已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，证明：数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-；

19. 用哪个数学归纳法证明：223521n n n +⋅++（*n N ∈）能被25整除；

20. 我们将分母为正整数，分子为1的分数叫做单位分数，如果两个单位分数的分母是两个连续正整数，就称这两个单位分数为连续单位分数，证明：对任意不小于2的正整数n ，

111111234212n n

-+-+⋅⋅⋅+--可以写成n 个连续单位分数的和；

参考答案

一. 填空题 1. 18

2. 1

3. (22)(23)k k +++

4. 122n n +--

5. 1

6. 1007624⋅-

7. 5[3,)2

- 8. n 9. b < 10. (9,44)

11. 45 12. 3121

二. 选择题

13. C

14. C 15. A 16. B