高中数学椭圆经典例题解析解析

椭圆标准方程典型例题
例1 椭圆的一个顶点为()02，
A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
例2 已知椭圆19
822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．
例3 已知方程
1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆，求k 的取值范围．
解：由⎪⎩
⎪
⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．
∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．
说明：本题易出现如下错解：由⎩
⎨⎧<-<-,03,
05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．
例4 已知椭圆
06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．
解：方程变形为
1262
2=+m
y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c
，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．
例5 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P
，b a 3=，求椭圆的标准方程．
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．
解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122
22>>=+b a b
y a x ．
由椭圆过点()03，P ，知
10
922=+b
a ．又
b a 3=，代入得12=b ，92=a ， 故椭圆的方程为19
22
=+y x ．
当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122
22>>=+b a b
x a y ．
由椭圆过点()03，
P ，知1092
2=+b
a ．又
b a 3=，联立解得812=a ，92
=b ， 故椭圆的方程为19
812
2=+x y ．
例6 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为
3
5
4和3
5
2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=
PF ，3
5
22=PF ． 从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴， 所以在12F PF Rt ∆中，2
1
sin 12
21==∠PF PF F PF ， 可求出6
21π
=
∠F PF ，3
5
26
cos 21=
⋅=π
PF c ，从而310222=-=c a b ．
∴所求椭圆方程为1103522=+
y x 或15
1032
2=+y x ．
例7已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点
为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．
求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，
从而利用C ab S sin 2
1
=∆求面积．
解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．
由余弦定理知： 2
21F F 2
22
1PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．① 由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，
则－①②2
得 αc o s
12221+=⋅b PF PF ．
故αsin 21212
1
PF PF S PF
F ⋅=∆ αα
sin cos 12212+=b 2tan 2αb =．
例8 已知动圆P 过定点()03，
-A ，且在定圆()64322
=+-y x B ：的内部与其相内切，
求动圆圆心P 的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为7342
2
=-=b 的椭圆的方程：17
162
2=+y x ．
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
例9 已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，
求线段中点M 的轨迹．
分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．
这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2
x x =
，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ． 将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ． 所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ．
说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：
首先设动点的坐标为),(y x ，
设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系， 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．
例18 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆
19
362
2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )，得到关于x (或y )
的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21x x +，21x x (或21y y +，21y y )的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．
解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理得
036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①
设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根，∴1
4)
24(8221+-=+k k k x x
∵)2,4(P 为AB 中点，∴1
4)24(424221+-=+=
k k k x x ，21-=k ．∴所求直线方程为082=-+y x ．
方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ． 又∵A ，B 在椭圆上，∴3642
12
1=+y x ，3642
22
2=+y x 两式相减得0)(4)(2
22
12
22
1=-+-y y x x ， 即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∴
2
1)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x ．
方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --．
∵A 、B 在椭圆上，∴3642
2
=+y x ①。

36)4(4)8(2
2
=-+-y x ②
从而A ，B 在方程①－②的图形082=-+y x 上，而过A 、B 的直线只有一条，∴直线方程为082=-+y x ． 说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是)0,33(、)0,33(-的椭圆截直线082=-+y x 所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？
例8 已知椭圆142
2=+y x 及直线m x y +=．
（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
5
10
2，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程142
2=+y x 得 ()142
2=++m x x ，
即01252
2
=-++m mx x ．()()
020*********
≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2
5
25≤≤-
m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，5
1
221-=m x x ．
根据弦长公式得 ：5102514521122
2
=-⨯-⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
例9 以椭圆
13
122
2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．
解：如图所示，椭圆13
122
2=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨
⎧=+-=-+0
90
32y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．
所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又
3=c ， ∴()
363532
2
2
2
2
=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为
136
452
2=+y x ．
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
可设其方程为12
2=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
解：设所求椭圆方程为12
2=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,
11)32(,1)2()3(222
2n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,
143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．
例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为
3
π
的直线交椭圆于A
，
B 两点，求弦AB 的长．
分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212
x x x x k x x k AB -++=
-+=求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，
所以椭圆方程为
19
362
2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以13
3
7221-
=+x x ，1383621⨯=
x x ，3=k ， 从而13
48]4))[(1(1212
212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
由题意可知椭圆方程为19
362
2=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3
cos
22112
21212
2π
F F AF F F AF AF -+=，即2
1
362336)12(2
2⋅
⋅⋅-⋅+=-m m m ； 所以346-=
m ．同理在2
1F BF ∆中，用余弦定理得3
46
+=n ，所以1348=+=n m AB ．
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程0836372132
=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标． 再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．
例15 椭圆
19
252
2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．
2
3
说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．
例16 已知椭圆13
42
2=+
y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．
分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．
利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=++-=,134,41
2
2y x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。

∴13821n x x =
+．于是1342210n x x x =+=，13
124100n
n x y =+-=，
即点M 的坐标为)1312,134(
n n ．∵点M 在直线m x y +=4上，∴m n n +⨯=1344．解得m n 4
13-=． ② 将式②代入式①得04816926132
2=-++m mx x ③
∵A ，B 是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(22>-⨯-=∆m m ．解得13
13
213132<
<-m ． (法2)同解法1得出m n 413-
=，∴m m x -=-=)4
13
(1340， m m m m x y 34
13
)(414134100-=--⨯-=--=，即M 点坐标为)3,(m m --．
∵A ，B 为椭圆上的两点，∴M 点在椭圆的内部，∴13)3(4)(22<-+-m m ．解得13
13
213132<<-m ． (法3)设),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ．
∵A ，B 在椭圆上，∴1342121=+y x ，13
42
222=+y
x ．两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，
即0)(24)(23210210=-⋅+-⋅y y y x x x ．∴
)(43210
0212
1x x y x x x y y ≠-=--．
又∵直线l AB ⊥，∴1-=⋅l AB k k ，∴14430
-=⋅-
y x ，即003x y = ①。

又M 点在直线l 上，∴m x y +=004 ②。

由①，②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点A ，B 关于直线l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式： (1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判
别式0>∆，建立参数方程．
(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部，满足12
020<+b
y
a x ，将0x ，0y 利用参数表示，建立参数不等式．。