二次型的判定方法
二次型的正定性
05
二次型的正定性的扩展
向量空间中的二次型
01
二次型是向量空间中一种重要的数学工具，它通过二次方程式来定义和描述空 间中的形状和结构。
02
向量空间中的二次型可以用来描述和度量向量的长度、夹角和距离等几何属性 ，以及表达和计算向量的数量积、向量积和混合积等重要概念。
03
二次型的正定性是向量空间中二次型的一个重要属性，它与矩阵的正定性密切 相关。
02
二次型的正定性的判定
判定方法一：顺序主子式
总结词
顺序主子式是判断二次型是否为正定的一个重要方法，当二次型的顺序主子式均 为正时，二次型为正定。
详细描述
对于给定的二次型，可以通过将矩阵进行初等行变换和列变换，将其化为上三角 矩阵，然后查看其主子式是否均为正，若均为正，则该二次型为正定。
判定方法二：特征值法
应用三：二次型的数值稳定性分析
总结词
通过二次型的正定性可以分析数值稳定性。
详细描述
在数值分析中，数值稳定性是一个重要的问题。当进行 数值计算时，如果计算过程中产生的误差会随着计算的 进行而逐渐放大，那么就说这个计算过程是不稳定的。 通过分析二次型的正定性，可以判断数值计算过程是否 稳定。具体来说，如果二次型是正定的，那么该数值计 算过程就是稳定的；如果二次型是非正定的，那么该数 值计算过程就可能是不稳定的。
正定二次型是一种特殊的二次型，其对应的矩阵具有正定的特征值。这意味 着所有的特征值都是大于零的，因此正定二次型的特征值一定大于零。
性质三
总结词
对于任何一个正定二次型，其行列式值与矩阵范数之间存在一定的关系。
详细描述
矩阵的范数是一个衡量矩阵大小的量度，它与矩阵的行列式值之间存在一定的关系。对于正定二次型而言，其 行列式值与矩阵范数之间存在一种特定的关系，这种关系可以通过数学公式进行描述。
二次型论文
二次型正定性的判定及应用姓名：李梦媛 学号：1007010326摘要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用. 关键词：矩阵 实矩阵 正定性 应用一、正定性的普通判别方法1、判别正定二次型(正定矩阵)的常用思路 具体方法有： (1) 用定义；(2) 正惯性指数p=t (t 正整数)； (3) 与E 合同；(4) 顺序主子式全大于0； (5) 特征值全大于0.2、与判定思路相应的五个定理定理1、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= .定理2、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n .定理3、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵E 合同.定理4、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零.定理5、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的. 二、新的判定法对于二次型的正定性，一般都是对所对应的矩阵进行研究，并且，所研究的范围也只限定在实对称矩阵或Hermite 矩阵进行讨论，这大大限制了二次型在一般情况下的应用．本文在对一般实方阵正定性研究的基础上，提出了实方阵判定实二次型正定性的理论基础及几种新方法. 1、几个相关定义定义1 设A 是n 阶实方阵，如果对于任意的非零的n 阶实向量 ，都有x T Ax>0， 其中x T表示x 的转置，则把A 称做正定矩阵．定义2 含有n 变量 x 1， x 2，⋯，x n 的二次齐次函数f( x 1， x 2，⋯，x n )：b 11x 12 +b 22x 22 +⋯+b nn x n 2+2b l2x l x 2+2b l3x l x 3+ ⋯+2b n-1,n x n-1x n 称为二次型．取b ij =b ji ，则f=x T Bx ，我们把对称矩阵B 称为二次型f 的矩阵，也把 f 叫做对称矩阵B 的二次型．定义3 设有实二次型 f(x)=x T Cx ，如果对于任意的 x ≠0，都有f(x)>0，则称f 为正定二次型，并称对称矩阵C 是正定的．由此可见，研究二次型的正定问题，可以转化为研究二次型所对应的矩阵正定问题．接下来所讲的矩阵、向量如无特别声明，均指实矩阵、实向量．2、 理论基础及应用一般判定实二次型正定性的理论基础是利用了标准型、特征值和主子式的方法．对于给定的二次型对应的矩阵为实方阵，使得对二次型矩阵的判定可以拓展到实方阵中去．本文在此基础之上利用下面的几个定理和推论，采用一般方阵的正定性来判断对称矩阵的正定性．对于实方阵来说，首先具备下面三个性质：性质1 设矩阵A 为n 阶实方阵，则下列命题等价： (1)A 是正定矩阵； (2)A T 是正定矩阵；(3)对任意n 阶可逆矩阵P ，P TAP 是正定矩阵； (4)A+A T 是正定矩阵； (5)A -1是正定矩阵； (6)存在n 阶可逆矩阵P ，使P TAP=diag ﹛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111αα，⋯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11t t αα，1，⋯1﹜其中，α1 ≥0, αt >0 (7)A 的各阶主子矩阵是正定矩阵；性质2正定矩阵的特征值实部为正．下面引入矩阵Hadamard乘积(又称Schur乘积，其定义为：AoB=[aij bij]，A，B∈R(m，n)．Schur乘积定理指出：两个对称正定矩阵的Hadamard乘积仍为对称正定矩阵，这个结果可以推广到一般正定矩阵．性质3 设A是正定矩阵，曰是对称正定矩阵，则AoB也是正定矩阵．证明：因为A是正定矩阵，故A+A T为对称正定矩阵，由Schur乘积定理(A+A T)oB为对称正定矩阵．注意到AoB +(AoB)T =AoB +A T oB=AoB +A T oB=(A+A T)oB，AoB+(AoB)T为对称正定矩阵，从而AoB为正定矩阵．推论1 设A、B是正定矩阵，则AoB +A T oB也是正定矩阵．对于二次型的实对称矩阵来说，要研究正定性，不妨先推广到正规矩阵，对正规矩阵成立的性质，当然对实对称矩阵也适用．所以，判断二次型A正定的方法，以定理的形式给出．定理1 设A为正规矩阵，其特征值实部为正，则A为正定矩阵．证明由文献得到当A为正定矩阵时，存在正交矩阵Q，使得Q T AQ=diag(Al ，A2，⋯，A s ，⋯，λ2s+l，⋯，λn)，其中A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛jjjjaβ-βα，它具有共轭复特征值(也是A的特征值)α+iβj ，j=1，2，⋯s．而λ2s+1，⋯，λn是A的实特征值由于A的特征值实部为正，故αj>0 j=1，2，⋯，sλj>0 j=2s+1，⋯，n由于Q T(A+A T)Q=diag(2αl ，2αl，⋯，2αs，2αs，2λ2s+1，⋯，2λn)，可见A为正定矩阵．定理2 设A为严格对角占优的正规矩阵，且主对角元全为正，则A是正定矩阵．由Gersgorin圆盘定理，当A的特征值实部为正，而A又是正规矩阵，由定理1知A 是正定矩阵．对于实对称矩阵来说，上述方法显得简单有效．定理3 设A为正规矩阵，是B对称正定矩阵，且AB可交换，则A是正定矩阵的充分必要条件是AB为正定矩阵．证明：首先，由于(AB)(AB)T =(BA)(BA)T=(BA)A T B T =B(AA T)B=B(A T A)B=(BA T)(AB)=(AB)T(AB)可知A 为正规矩阵时，AB 亦为正规矩阵，因B 是对称正定矩阵，故存在对称正定矩阵C ，使B=C 2，这时,C(AB)C -1=C(AC 2)C -1=CAC=C T AC 。
二次型的正定性
二次型的正定性是什么
二次型的正定性
对于一个给定的对称矩阵A，如果对于所有的非零向量x，都有`x^T*A*x>0`，则称A为正定矩阵；如果对于所 有的非零向量x，都有`x^T*A*x>=0`，则称A为半正定矩阵。
正定矩阵的性质
正定矩阵的行列式大于零；正定矩阵的特征值都是正数；正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
在弹性力学中，应力-应变关系可以表示为一个二次型。这个二次型的正定性 可以用来判断材料的弹性和稳定性。
05
二次型的正定性的扩展
高阶二次型
01
高阶张量
高阶张量是多个矩阵的张量积，可以 视为高阶矩阵。
02
高阶二次型的定义
高阶二次型是由高阶张量计算得到的 ，可以视为多个矩阵的张量积和。
03
高阶二次型的性质
高阶二次型具有与二阶二次型类似的 性质，包括正定性、负定性和不定性 等。
复二次型
复数矩阵
复数矩阵是矩阵的一种形式，每个元 素都可以表示为实部和虚部的形式。
复二次型的定义
复二次型是由复数矩阵计算得到的， 可以视为多个复数矩阵的乘积。
复二次型的性质
复二次型具有与二阶二次型类似的性 质，包括正定性、负定性和不定性等 。
二次型正定性的应用
在数学中，二次型的正定性主要用于 判定一些数学问题的有解性和解的唯 一性，如线性方程组求解、矩阵的特 征值计算等问题。
在物理学中，二次型的正定性主要用 于描述一些物理量的性质，如动能、 势能、转动惯量等。
在经济学中，二次型的正定性用于描 述一些经济变量的关系，如成本函数 、收益函数等。
用特征向量证明二次型的正定性
总结词
矩阵的特征向量是矩阵固有的性质，反映了矩阵对基础 向量的作用效果。
5_4二次型的正定性
2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 5 x3 不是正定二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 − 3 x2 + 5 x3 不是正定二次型
1 1 p p p +1 p +1 r r
其中d 的秩． 其中 i>0 (i=1, 2,…， r), r为f的秩．如果再作可逆线性变换 ， 为 的秩
1 y1 = d z1 1 ⋮ y = 1 z r r dr yr +1 = z r +1 ⋮ yn = z n
其中 ∆ r 叫做矩阵 A 的 r 阶顺序主子式 顺序主子式． 顺序主子式
《线性代数》
返回
Байду номын сангаас
下页
结束
判定下列二次型的正定性 二次型的正定性． 例2. 判定下列二次型的正定性．
2 2 2 (1) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
t 2 − 1 < 0 解联立不等式 t (5t + 4) < 0
4 得－ < t < 0, 5 4 即当－ < t < 0时，f 正定. 5
∆1 =| 1 |> 0
∆2 = 1 t t 1 = 1− t2 > 0
线性代数：第五章二次型
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
判定正定二次型的三种方法
判定正定二次型的三种方法
1.行列式法
对于给定的二次型f（x1,x2,...，xn）=xtax，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。
2.正惯性指数法
对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于
通过正交变换，将二次型化成标准形后，标准形为平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。
因此，可以先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数与否等同于
定义：设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)＞0,则称此二次型为正定二次型,并把其对称矩阵a称为正定矩阵.
方法一：利用二次型的等距矩阵的特征值去推论.
先写出二次型的矩阵:
由于:
可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0
故此二次型为正定二次型.
方法二：利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定.
由于此二次型的矩阵为:
因为它的个阶顺序主子式:＞0,＞0,＞0
故此二次型为正定二次型.
除了正定二次型外,还有其他类型的二次型.
定义：建有实二次型,如果对于任一一组不全为零的实数,都存有f(x)＜0,则表示此二次型为奇函数二次型,等距矩阵a称作奇函数矩阵；如果都存有f(x)≥0,则表示此二次型为半正定二次型,并说其矩阵为半正定矩阵；如果都存有f(x)≤0,则表示此二次型为半奇函数二次型,并说其矩阵为半奇函数矩阵。
第四章3二次型及其标准型4正定二次型
y 2
, ,
y n
)
d2
y 2
,
d n
y n
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
10
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得 C AC B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 合同，记为A B.
性质：①反身性
②对称性
等价
③传递性
因此，化二次型为标准型的问题就转化为如何使实对称 矩阵合同于一个对角阵的问题。
z
0
0 1 2 t Qt
0 1 6 0
则得
f 2z12 2z22 6z32 t12 t22 t32
24
而此标准形对应的可逆变换矩阵为
1 1 3 1 2 0
C2 C1Q 1
1
1
0
0
0 0 1 0 1 6
1 2 1 2
0
36 1 6 16
1 2 1 2
0
例：求二次型 f 的矩阵，并求二次型 f 的秩。
f ( x1, x2 , x3 ) x12 3 x32 4 x1 x2 x2 x3
解：
1 2 0
A 2 0
1
2
0
1
3
2
f 的秩=R(A)=3.
例：求二次型 f 的矩阵A：f ( x1, x2 , x3 ) x12 4x1x2 3x22.
1 1
16
1 2
P
1
2
0
1 1
6
3
1
1 6 2
1
,
3
1
P 1 AP
P AP
1
2
6 3
f y12 y22 2 y32
6.1二次型及其标准形
0 3 3
见书上例2、例3.
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
其中1,2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得CT AC 为对角矩阵。
定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
例１ 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
第三节 正定二次型
此时A为正定矩阵，f为正定二次型.
当 a b 1 时，有 1 0, 3 0
2 2
此时A为不定矩阵，f为不定二次型.
上页 下页 结束
例6.7 求 的值，使得二次型
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ( x1 x2 x3 ) 2 x1 x2 2 2 x2 x3 2 x3 x1 x4
第三节 正定二次型
1
惯性定理 正(负)定二次型的概念 正(负)定二次型的判别
2
3
上页
下页
结束
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形 中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也 不变），也就是有如下定理.
构成的k阶子式
a11 a1k ak 1 akk
称为矩阵A的k阶顺序主子式.
令k 1,2,, n 就得到矩阵A的一切顺序主子式．
n阶矩阵只有n个顺序主子式.
上页
下页
结束
定理6.4
对称矩阵 A为正定的充分必要条件是: A
的各阶顺序主子式为正，即
a11 a12 a11 0, 0, a21 a22
上页 下页 结束
1 a 0 ( 3) f 的矩阵为 A a 1 b 0 b 1 1 a 1 a 2 3 A 1 (a 2 b 2 ) 1 1 2 a 1
当 a b 1 时，有1 0, 2 0, 3 0 ，
假设有 ks 0, 则当y s (单位坐标向量) 时,
7-3正定二次型
z2 q2
zr2
则 p=q
3、规范形对应的矩阵
f y12 y22
y2p
y2 p1
y2 p2
yr2
1
p个
1
规范形的矩阵
-1
r p个.
(1) 秩为r
-1
0
n r个
0
(2) 对角阵，主对角线上的元素只能为1,0,-1
f = 2y12 - y22 - y32
f 2z12 2z22 2z32
令
w1 w2
2 y1 y2
y1
解得
y2
1 2
w1
w2
Y = CW 可逆，得标准形为f w12 w22 w32.
w3 y3
y3
w3
令
w1 w2
例2 问t满足什么条件时，二次型
f (x1, x2, x3) x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2x3正定.
解：二次型f 的矩阵
1 t 1
A
t
1
2
1 2 5
A1 1 0,
1 A2 t
t 1 t2 0， 1
2、正定矩阵的判定
1）实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同. 证：设A为n阶实对称阵
A正定 实二次型f X T AX 正定 f 的规范形为f y12 y22 yn2. f 的规范形对应的矩阵是单位阵E A与E合同
正定二次型判断方法
正定二次型判断方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，在实际应用中具有广泛的应用。
判断一个二次型是否正定的方法是线性代数中最基本的问题之一，也是非常重要的。
本文将介绍正定二次型的概念、性质和判定方法。
一、正定二次型的概念和性质1.1 正定二次型的定义设f(x1,x2,...,xn)是一个n元二次齐次函数，则称f(x1,x2,...,xn)是正定二次型，如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,...,xn)，都有f(x)>0。
（1）正定二次型的值域是正实数。
（3）正定二次型的解析式一定是一个关于字母的二次有理函数。
（4）正定二次型的非零二次型矩阵一定是可逆矩阵。
对于二元二次型f(x1,x2)=2x1^2+2x2^2-x1x2，我们可以验证该二次型是否正定。
根据定义，我们需要对于任意的非零向量(x1,x2)，都有f(x)>0。
即需要满足如下条件：2x1^2+2x2^2-x1x2>0化简得：由于x1^2和x2^2始终是非负数，并且当x1=x2=0时，x1^2+x2^2+\frac{1}{2}x1x2=0，因此只要证明\frac{1}{2}x1x2的系数大于等于0，就能证明f(x)是正定的。
根据矩阵乘法的定义可得到f(x)=x^T\begin{bmatrix}2 & -\frac{1}{2} \\-\frac{1}{2} & 2\end{bmatrix} x由于该矩阵是正定矩阵（两个特征值均为正数），因此该二次型是正定的。
2.1 特征值法设二次型为f(x)=x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵，λ1,λ2,...,λn为矩阵A的n 个特征值，则有如下结论：当A是正定矩阵时，有λ1>0,λ2>0,...,λn>0。
2.2 主元法当二次型f(x)对应的矩阵A是可逆矩阵时，有如下结论：当二次型的系数矩阵A的顺序主子式（行列式）都大于0时，二次型成为正定的。
第5.4节 正定二次型
A 2(11 6t 2 ) 0
2 2 t 0 解 得 2 11 6t 0
即当 t
11 时， f 是正定的. 6
负定、半正定、半负定二次型判定定理 定理4 (1) n元二次型f (x1,x2,…,xn) =xTAx负定的充分必要条件是 标准形中n个系数均为负数. (2) n元二次型f =xTAx负定的充分必要条件是负惯性指数等于n. (3) n元二次型f =xTAx负定的充分必要条件是A的特征值都小于零.
a21 ai 1
例6 讨论二次型f 的正定性,其中
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x1 6 x2 4 x3 4 x1 x2 4 x1 x3
2 5 2 解 二次型f 的矩阵 A 2 6 0 2 0 4
A的各阶顺序主子式
负定二次型 半负定二次型
二、正定二次型（正定矩阵）的判别法
定理1 n元二次型f (x1, x2 ,· · · ,xn) =xTAx正定(或A>０)的 充分必要条件是标准形中n个系数均为正数. 证 若存在可逆线性变换x=Cy使
2 2 f x Ax yT (C T AC ) y yT y 1 y1 2 y2 T x Cy 2 n yn
思考练习
1.判定二次型 f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
2 2 2 2 的正定性.已知其标准形为 f 3 y1 y2 y3 y4 .
2.判定下列二次型的正定性
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 3 x1 x2 4 x3
2 5 2 解 二次型f 的矩阵 A 2 6 0 2 0 4
第七节正定二次型第八节正交
称为矩阵A的顺序主子式．
说明: n阶矩阵A的顺序主子式共有n个.
3
如：
A
1 2 3
2 1 4
3
4 0
，
(P204---例)
1
1，
2
1 2
2 1
3， 3
1 2 3
2 1 4
3 4 = 23， 0
为矩阵A的三个顺序主子式．
定理:实对称阵A为正定⇔ A的各阶顺序主子 式都大于零. (顺序主子式法)
4
推论1：实对称矩阵A正定⇔ A 的所有特征值全 大于零. (特征值法)
推论2 实对称矩阵A正定 A 0. 证：由A的行列式等于其特征值乘积得证。
1
注： A 0 ⇒ A正定.
如：A
1 0
0 1
,
有
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
0 1
1
0，
但以A 为矩阵的二次型 f ( x1, x2 ) x12 x22 不是正定二次型，所以A不是正定矩阵.
二次型f 的矩阵为
A
2 2
5 4
4 5
，
2 2 2 E A 2 5 4 ( 1)2( 10)
2 4 5
1 1(二重), 2 10，
∵A 的特征值都是正的， ∴ f 是正定二次型.
7
方法三：顺序主子式法
2 2 2
二次型f 的矩阵为
A
2 2
5 4
4 5
，
各阶顺序主子式为
2 2 2
4 设A、B为n阶正定矩阵，P>0,q>0, 证明： PA+qB 是正定矩阵(特别地,A+B是正定矩阵)。
证明：显然pA+qB是对称矩阵, 对任意X≠0，有
第七节 正定二次型(吕)
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x ) = x T Ax , 如果对任何 次型 , 并称对称矩阵 A是正定的 ;如果对任何 x ≠ 0 都有 f ( x ) < 0, 则称 f为负定二次型 , 并称对称矩阵 A是负定的 . x ≠ 0, 都有 f ( x ) > 0(显然 f (0 ) = 0 ), 则称 f为正定二
A 0 x z Cz = ( x , y ) 0 B y
T T T
= x T Ax + y By > 0,
T
且C是实对称阵 , 故C为正定矩阵 .
例4 判定下列二次型的正定性． 判定下列二次型的正定性 二次型的正定性．
2 2 2 (1)f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
则把f 化成了系数为１或－１的更简单形式
2 f = y12 + L + y 2 − y 2 +1 − L − yｒ p p
称其为f 的规范型，它是唯一的．
惯性定理
( P196 定理 定理6.3.1 )
在二次型的标准形中，正项个数与负项个数 在二次型的标准形中， 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。 二次型的标准形中正项个数称为二次型的 正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数 负惯性指数. 正惯性指数 负项个数称为二次型的负惯性指数
例如 f = x 2 + 4 y 2 + 16 z 2 为正定二次型
2 2 f = − x1 − 3x2
为负定二次型
不定二次型的判定方法及其应用
一、不定二次型的定义在数学中，二次型是一个包含二次项的多项式函数，可以表示为$$q(x) = x^T A x$$其中，$x$ 是 n 维向量，$A$ 是一个对称矩阵。
如果 $A$ 是正定矩阵，则称二次型 $q(x)$ 是正定的；如果 $A$ 是负定矩阵，则称二次型 $q(x)$ 是负定的；如果 $A$ 既有正特征值又有负特征值，则称二次型 $q(x)$ 是不定的。
二、不定二次型的判定方法不定二次型的判定方法可以通过以下步骤进行：1. 计算矩阵 $A$ 的特征值对称矩阵 $A$ 的特征值都是实数。
通过计算特征值可以判断二次型的正定、负定还是不定。
2. 利用正惯性指数和负惯性指数正惯性指数和负惯性指数是对称矩阵特有的概念，可以通过它们的差异来判断二次型的类型。
3. 应用Sylvester定理Sylvester定理是判断二次型正定、负定或不定的重要定理，通过计算矩阵的顺序主子式来进行判断。
三、不定二次型的应用不定二次型在数学和物理领域有着广泛的应用，具体包括：1. 优化问题在优化问题中，不定二次型可以用来表示目标函数的二次项，通过对不定二次型进行求导和求解优化问题。
2. 物理领域不定二次型在物理领域中可以描述粒子的能量、动能等物理性质，通过对不定二次型的研究可以揭示系统的特性和规律。
3. 统计学在统计学中，不定二次型可以用来描述多元正态分布的概率密度函数，通过对不定二次型的分析可以进行统计推断和参数估计。
四、结论不定二次型是一个在数学和物理领域都有着重要意义的概念，通过合适的判定方法和应用可以帮助解决优化问题、物理系统建模和统计学问题。
不定二次型的研究具有重要的理论和应用价值，对其深入的理解和研究可以推动相关领域的发展和进步。
五、不定二次型的矩阵特征值计算方法关于不定二次型的判定方法，矩阵特征值的计算是至关重要的一步。
对于对称矩阵 $A$，我们可以通过以下方法来计算其特征值：1. 对称矩阵的特征值是实数对称矩阵的一个重要性质是它的特征值都是实数。
正定矩阵的几种经典证明方法
正定矩阵的几种经典证明方法正定矩阵作为线性代数中的重要概念，在数学与物理中都有着广泛的应用。
在线性代数中，我们常常会遇到正定矩阵，那么正定矩阵的证明方法有哪些呢？下面，我们将按照不同的方法分类，总结几种较为经典的证明方法。
一、特征值方法正定矩阵具有正定的特征值。
这一点是判断正定矩阵的重要依据。
如果判断一个方阵是否是正定矩阵，我们可以先求出其特征值，然后判断其特征值是否为正数。
如果所有的特征值都是正数，那么就可以确认该方阵是正定矩阵。
二、二次型方法正定矩阵的另一种较为常用的判断方法是利用其二次型的性质。
对于一个关于向量x的二次型Q(x)，如果当x≠0时，Q(x)>0，那么这个二次型就是正定的。
而对于正定矩阵，其二次型就一定是正定的。
三、行列式方法正定矩阵的另一个重要特征是其行列式的值始终大于0。
我们可以采用按照顺序进行行列式的一般化展开，然后观察每个项的符号，最终确定行列式的值是否大于0。
如果行列式的值大于0，那么该矩阵就是正定矩阵。
四、矩阵分解方法对于对称正定矩阵，其有很多可以用于判断其性质的矩阵分解方法，其中最常见的是Cholesky分解。
Cholesky分解方法的思想是将对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵和它的转置矩阵的乘积。
如果能够成功将对称正定矩阵分解为下三角矩阵的乘积，那么就可以证明该矩阵是正定矩阵。
五、极值法正定矩阵的一个特性是其可以使二次型的值最小。
因此，我们可以根据二次型的最小值来判断一个矩阵是否是正定矩阵。
具体的判断方法是，求出矩阵的特征向量，然后代入二次型，将其转化为关于特征向量的多项式。
我们可以根据多项式的二次项系数是否为正值，来判断矩阵是否是正定矩阵。
以上是几种常见的正定矩阵的判定方法。
不同的判定方法有不同的适用场景，可以根据实际情况进行选择，来进行正定矩阵的证明。
实二次型中半正定二次型的判定及应用_魏慧敏
实二次型中半正定二次型的判定及应用_魏慧敏实二次型是指系数矩阵为实数对称矩阵的二次型。
在实二次型中，半正定二次型是一类非常重要的特殊二次型。
本文将介绍半正定二次型的判定方法及其应用。
一、半正定二次型的定义设 $f(x)=x^T A x$ 是 $n$ 元实二次型，其中 $A$ 是 $n \times n$ 的实对称矩阵。
若对于所有的实向量 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$，都有 $f(x)\geq 0$，则称$f$ 是半正定二次型。
对于实二次型 $f(x)=x^T A x$，判断其是否为半正定二次型的常用方法有以下几种。
1. 特征值法若 $A$ 的所有特征值均非负，则 $f(x)$ 是半正定二次型。
2. 根据秩的特征此处，顺序主子式是指形如 $\Delta_i =\det(A_i)$ 的子式，其中 $A_i$ 是由$A$ 的前 $i$ 行和前 $i$ 列组成的矩阵。
3. 矩阵分块法假设实二次型 $f(x)=x^T A x$ 中 $A$ 可分解为以下形式：$$A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1k} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{k1} & A_{k2} & \cdots & A_{kk} \end{pmatrix}$$其中 $A_{ii}$ 均为 $p_i$ 阶矩阵，$p_1+p_2+\cdots+p_k=n$。
半正定二次型在数学、物理、经济等领域都有着广泛应用。
1. 半正定二次型在优化问题中的应用半正定二次型在优化理论中有着重要的应用。
例如，对于一般的线性规划问题，可以通过求解一个对称半正定矩阵的特征值问题，将其转化为二次规划问题，从而用现有的优化算法得到最优解。
n元二次型正定的充要条件(一)
n元二次型正定的充要条件(一)n元二次型正定的充要条件引言•二次型是高等数学中的重要概念，它在线性代数和微积分等领域有广泛的应用。
•在研究二次型时，我们常常关心其正定性质，即判定二次型是否为正定。
•本文将介绍n元二次型正定的充要条件，帮助读者理解并加深对该概念的认知。
什么是n元二次型？•n元二次型是指含有n个变量的二次型，可表示为： Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + … + annxn^2 + 2a12x1x2 + … + 2a(n-1)n-1xn-1xn 其中，x = [x1, x2, …, xn]是一个n维列向量，a11, a22, …, ann，aij代表实数。
正定的定义•令A = [aij]是一个n阶实对称矩阵，A的主对角线元素为a11, a22, …, ann，非主对角线元素为a(ij)。
•若对于任意非零列向量x = [x1, x2, …, xn]，都有x^T Ax > 0，则称A为正定矩阵。
其对应的二次型Q(x)也称为正定二次型。
正定的充要条件正定二次型的充要条件是：1.A的特征值均为正数。
•特征值λ 满足A x = λx，其中 x 为非零列向量。
•若 A 的特征值均为正数，则 Q(x) = x^T Ax 的值大于零，故该二次型为正定的。
2.A的顺序主子式都大于零。
•顺序主子式是指矩阵 A 的各个阶数的主子式，即 A 的顺序主子式为D_k = det(Ak)，其中 A_k 为 A 的 k 阶主子矩阵。
•若 A 的所有顺序主子式都大于零，则该条件保证了 A 的特征值都为正数，从而保证了二次型为正定的。
3.A可被正交对角化。
•正交对角化意味着可以找到一个正交矩阵 P，使得 P^T AP = D，其中 D 是一个对角阵，对角线上的元素为 A 的特征值。
•若存在正交矩阵 P 将 A 对角化，则 A 的特征值均为正数，从而保证了二次型为正定的。
4.A满秩。
•满秩是指矩阵的秩等于其行列数的较小值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次型的判定方法
1. 二次型的判定方法之首先判断二次型是否为标准形式。
标准形式的二次型是指仅
含有平方项和常数项的形式。
如果二次型含有一次项，需要通过将含有一次项的部分移项
并进行合并，将二次型化简为标准形式。
2. 二次型的判定方法之判断二次型的秩。
二次型的秩是指二次型的矩阵形式的秩。
通过将二次型写成矩阵的形式，然后对矩阵进行行变换或列变换，将矩阵化简为行阶梯形
或列阶梯形，最后计算矩阵的秩。
如果秩等于变量的个数，则二次型是正定型；如果秩等
于0，则二次型是负定型；如果秩小于变量的个数且不等于0，则二次型是半定型。
3. 二次型的判定方法之判断二次型的非零项的符号。
对于标准形式的二次型，通过
观察非零项的符号来判定二次型的正负性质。
如果二次型所有的非零项的系数同号且为正，则二次型是正定型；如果非零项的系数同号且为负，则二次型是负定型；如果非零项的系
数有正有负，则二次型是不定型。
4. 二次型的判定方法之判断二次型的正负特征值。
将二次型的系数矩阵作为一个线
性变换的矩阵，求出其特征值，然后观察特征值的正负性质。
如果特征值全为正，则二次
型是正定型；如果特征值全为负，则二次型是负定型；如果特征值有正有负，则二次型是
不定型。
5. 二次型的判定方法之判断二次型的正负惯性指数。
通过矩阵的特征值来判定二次
型的正负惯性指数。
将二次型的系数矩阵作为一个线性变换的矩阵，求出其特征值，统计
特征值中正数的个数、负数的个数以及零的个数。
正数的个数称为正惯性指数，负数的个
数称为负惯性指数，零的个数称为零惯性指数。
根据正负零指数的数量关系，判断二次型
的正负情况。
6. 二次型的判定方法之判断二次型的Gram矩阵的正定性。
对于二次型的Gram矩阵（系数矩阵的转置乘以系数矩阵），判断其是否为正定矩阵。
如果Gram矩阵正定，则二次型是正定型；如果Gram矩阵负定，则二次型是负定型；如果Gram矩阵不定，则二次型是
不定型。
7. 二次型的判定方法之用最小二乘法判断二次型的正定性。
对于给定的二次型表达式，可以将其视为一个最小二乘问题，通过最小二乘法求出参数估计值，然后判断估计值
的正负性质，进而判定二次型的正定性。
8. 二次型的判定方法之判断二次型的偏导数符号。
对于二次型的表达式，可以计算
其一阶偏导数，并观察偏导数的符号。
如果所有的一阶偏导数都为零，则二次型是稳定型；如果所有的一阶偏导数都有同号，则二次型是正定型；如果所有的一阶偏导数都同号但有
正有负，则二次型是半正定型；如果所有的一阶偏导数都异号，则二次型是不定型。
9. 二次型的判定方法之判断二次型的迹和行列式。
对于二次型的系数矩阵，计算其
迹和行列式，观察迹和行列式的符号关系。
如果迹为正且行列式为正，则二次型是正定型；如果迹为负且行列式为正，则二次型是负定型；如果迹为0，则二次型是半定型；如果行
列式为0，则二次型是半定型或不定型。
10. 二次型的判定方法之判断二次型的正交性。
对于给定的二次型，可以通过判断其
正交性来判定其正定性。
如果对于任意的非零向量x，都有x的转置乘以系数矩阵再乘以x 大于0，则二次型是正定型；如果对于任意的非零向量x，都有x的转置乘以系数矩阵再乘以x小于0，则二次型是负定型；如果存在非零向量x，使得x的转置乘以系数矩阵再乘以x等于0，则二次型是半定型。