内蒙古包头市数学高三理数第一次联考试卷
2023—2024学年内蒙古包头高三上学期第一次月考数学(理科)试题(含答案)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．已知集合 A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则 A∩B=（ ）
A．
B．{–3，–2，2，3）
C．{–2，0，2}
D．{–2，2}
2．下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
log 1
2
0.4 log2 0.4
log
2
5 2
log2
2 1，b
1，
0 0.40.3 0.40 1，0 c 1 ，
a c b .
故选：D.
8．D 【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 ( π , π) 上的符号，即可判断选择.
2
详解：令 f (x) 2|x| sin 2x ，
右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
9．B
【详解】分析：确定函数 y lnx 过定点（1，0）关于 x=1 对称点，代入选项验证即可．
详解：函数 y lnx 过定点（1，0），（1，0）关于 x=1 对称的点还是（1，0），只有 y ln 2 x 过
由余弦定理 a2 b2 c2 2abcosC
所以 sinC cosC
C0, π
C 4
故选 C.
点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．
7．D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出 a,b, c 的范围即可求解.
【详解】 log2 0.3 log2 1 0 ，a<0 ，
2019-2020学年内蒙古包头市高三第一次模拟考试数学(理)模拟试题有答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学（包头市第一次模拟考试）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足（1i）z i 1 ,则z（）A. 1B. 2C.3D.2.已知全集U {2，1，0，1,2} M {x|x2x,x U} 3 2N {x|x 3x 2x 0}则M I N （）A, {0,1, 2} {0，2} c1,1} D{0,1}3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升, 卜面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为6_11升13 21.22 升D. 40 升2y4.若x,y R,且，则z x 2y的最小值为（）A. 0B. 1 C. 2D.55.已知（2x1）5a°x 4a〔xa。
1A. 1B. 243c. 32D. 2116.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）8A.33231632837.若双曲线C：2x2a2yb21的离心率为e, 一条渐近线的倾斜角为ecos 的值（）A.大于1C.小于1.不能确定，与e , 的具体值有关8 .执行如图所示的程序框图，如果输入的50 ,则输出的n （）A. 5B . 6C . 7D . 89 .现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4）,每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。
现在规定：当牌的一面为字母 R 时，它的另一面必须写数字 2 .你的任务是：为检验下面的 4张牌是否有违反规定 的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（）HHH0 ⑶ P ）A.翻且只翻（1） （4） B .翻且只翻（2） （4） C.翻且只翻（1） （3）D.翻且只翻（2）（3）10 .如图，在正方形 ABCD 中，E, F 分别是AB, BC 的中点，G 是EF 的中点，沿DE , EF , FD 将 正方形折起，使A, B, C 重合于点P ,构成四面体，则在四面体 P DEF 中，给出下列结论：①PD 平面PEF ；②PD EF ；③DG 平面PEF ；④DF PE ；⑤平面PDE 平面PDF .其中正确结论 的序号是（）A.①②③⑤ B .②③④⑤C .①②④⑤D .②④⑤3x x2、11.已知函数f(x) 2x 4x 2(e e )，若f(5a 2) f(3a) 0,则实数a的取值范围是()1 2 2 1 [1,2] [ 1, 2][2,1] [ 2,-]A. 3B.3 C . 3 D. 3uuur uur11/ / -A 11（口q+♦ ： & ak 一*I/雉 （精N ）12.已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC 10, AB 8 ,则HB HC的最小值为()sin A(1)求sinC的值;cosB -(2)若4 , b 2,求ABC 的面积S .18.如图，四棱锥H ABCD 中，HA 底面ABCD , AD//BCE 为线段AD 上一点，AE 2ED,F 为HC 的中点.(1)证明：EF //平面HAB ；(2)求二面角E HF A 的正弦值.生长指标值 分组 [165,175) [175,185) [185,195) [195,205) [205, 215) [215, 225) [225, 235)频数10 45 110 165 120 40 10A. 42516二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分.13 .某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的 2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是.14 .设函数 f(x) 2sin( x )(0,5 x ——8为yf(x)图象的对称轴，x11—8"为f (x)的零点，且f(x)的最小正周期大于 2 ，则15 .设数列｛a n ｝的前n 项和为S n,若S 2 6a n 1 2S n 3 N * ,则 S 416 .在平面直角坐标系xoy中，双曲线0,b 0)的左支与焦点为 F 的抛物线x22py (p 0)交于 M , N 两点.若l MFNF 4OF,则该双曲线的离心率为.、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第17〜21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题，考生根据要求作答 (一)必考题：共 60分cos A 2cos C2c a17 .在ABC 中，内角A, B, C 的对边分别为a, bc,已知cosBAB AD AC 6 HA BC 819.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种 .从试验田中抽取500株小麦，测量这些小麦的生长指(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图;(2)求这500株小麦生长指标值的样本平均数表)；(3)由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值 -2 26近似为样本方差s .①利用该正态分布，求P(187.8Z 212.2);数，利用①的结果，求 EX . 附：150 12.2__2_________若Z : N( ,6 ),贝u P( 6 Z 6) 0.6826P( 26 Z 26) 0.9544.22F F E 4,E C ~ Z2 1(ab 0)20 .已知F 1 , F 2是椭圆C . a b的左右两个焦点,uur umu别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足 AF 1 2BF 2 .(1)求椭圆C 的方程; ⑵求四边形ABF 2F 1的面积.221 .已知函数 f (x) ax X lnx, (a R,ln x x 1)3 a (1)若 8时，求函数f(x)的最小值；(2)若1 a 0,证明：函数f(x)有且只有一个零点；(3)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答， 并用2B 铅笔将所选题号涂黑， 多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分 ^22 .［选彳4-4 :坐标系与参数方程］x a 2t口 口” 0.032 D.030 0036 2噂 。
内蒙古包头市2019-2020年度数学高三上学期理数第一次联考试卷(II)卷
内蒙古包头市2019-2020年度数学高三上学期理数第一次联考试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=Z，集合A={1,3,4,5}，集合B={2,3,6}，则集合的子集数为（）A . 2B . 4C . 8D . 162. （2分）(2012·辽宁理) 已知，则tanα=（）A . ﹣1B . -C .D . 13. （2分） (2018高一下·威远期中) 已知锐角α ，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于（）A .B .C . －D .4. （2分） (2017高一下·长春期末) 已知，则a10=（）B .C .D .5. （2分） (2019高三上·广东月考) 己知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .6. （2分）已知等比数列中，公比若则有（）A . 最小值-4B . 最大值-4C . 最小值12D . 最大值127. （2分）已知函数集合，则的面积是（）A .B .C .8. （2分）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体，使平面平面BCD，则下列结论正确的是A .B .C . 与平面所成的角为D . 四面体的体积为9. （2分）函数的图象为（）A . 单调递减B . 单调递增C . 关于y轴对称D . 关于x轴对称10. （2分）已知点是的重心，若，则的最小值是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·大连期末) 定义在上的偶函数的导函数，若对任意的正实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数，对任意存在使，则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高三上·如东期末) 已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率kMA与kMB之积为﹣1，则实数m的取值范围是________ ．14. （1分） (2016高一下·重庆期中) 对数列{an}前n项和为Sn ， an＞0（n=1，2，…），a1=a2=1，且对n≥2有（a1+a2+…+an）an=（a1+a2+…+an﹣1）an+1 ，则S1S2+S2S3+S3S4+…+Sn﹣1Sn=________．15. （1分）(2020·乌鲁木齐模拟) 如图，正方体的棱长为1，有下列四个命题：① 与平面所成角为；②三棱锥与三棱锥的体积比为；③过点作平面，使得棱，，在平面上的正投影的长度相等，则这样的平面有且仅有一个；④过作正方体的截面，设截面面积为，则的最小值为 .上述四个命题中，正确命題的序号为________.16. （1分） (2019高三上·汕头期末) 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共75分)17. （10分） (2016高三上·沙市模拟) 已知函数．（1）当x∈（0，1）时，求f（x）的单调性；（2）若h（x）=（x2﹣x）•f（x），且方程h（x）=m有两个不相等的实数根x1，x2．求证：x1+x2＞1．18. （10分） (2016高三上·绍兴期末) △AB C中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinAsinB=sinCtanC．（1）求的值：（2）若a= c，且△ABC的面积为4，求c的值．19. （15分） (2016高一下·湖北期中) 已知数列{an}为等差数列，a1=2，{an}的前n项和为Sn ，数列{bn}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）是否存在非零整数λ，使不等式sin ＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（3）各项均为正整数的无穷等差数列{cn}，满足c39=a1007，且存在正整数k，使c1，c39，ck成等比数列，若数列{cn}的公差为d，求d的所有可能取值之和．20. （10分）(2020·陕西模拟) 如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，为直角，平面，，且 .（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.21. （15分） (2017高一上·福州期末) 已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．（1）若，求点坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；（3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．22. （15分）(2017·大庆模拟) 已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。
高中数学 2023年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科)
2023年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{0，1}B ．{-1，2，3}C ．|-1，0，3}D ．{-1，2}1．（5分）设全集U ={-1，0，1，2，3}，集合N 满足∁U N ={0，1}，则N =（ ）A ．2B ．-2C ．23iD ．−23i2．（5分）已知z •i =−3+i ，则z −z =（ ）√√√A ．8B ．-8C ．-4D ．43．（5分）已知向量a ，b 满足a =(2，1)，|b |=3，|a +b |=4，则a •b =（ ）→→→→√→→→→A ．7里B ．8里C ．9里D ．10里4．（5分）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（ ）A ．9B ．20C ．25D ．305．（5分）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 212=1的两个焦点，点M 、N 在C 上，若|MF 2|+|NF 2|=6，则|MF 1||NF 1|的最大值为（ ）A ．-6B ．-5C ．-4D ．-36．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a =1，则输出的S =（ ）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．A ．18B ．16C ．11D ．67．（5分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=V Y W Y X a n +2，n 为偶数a n+3，n 为奇数，若b n =a 2n -1，则b 4=（ ）A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①④8．（5分）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别为所在棱的中点，P 为下底面的中心，则下列结论中正确的是（ ）①平面EFC 1⊥平面AA 1C 1②MP ⊥A 1D③MP ⊥C 1D④EF ∥平面AD 1B 1A ．273B ．163C ．103D ．939．（5分）已知正六棱锥P -ABCDEF 的各顶点都在球O 的球面上，球心O 在该正六棱锥的内部，若球O 的体积为36π，则该正六棱锥体积的最大值为（ ）√√√√A ．该校学生体育成绩的方差为10B ．该校学生体育成绩的期望为85C ．该校学生体育成绩的及格率小于85%D ．该校学生体育成绩的优秀率大于3%10．（5分）为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩X ～N （70，100），其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若X ～N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X <μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ≤X <μ+2σ）=0.9544．A ．−16B ．16C ．−32D ．3211．（5分）已知点P （2，1）在双曲线C ：x2a 2−y2a 2−1=1（a >1）上，斜率为k 的直线l 过点A （0，-2）且不过点P ．若直线l 交C于M ，N 两点，且以线段MN 为直径的圆过点P ，则k =（ ）A ．30B ．60C ．90D ．12012．（5分）定义在R 上的不恒为零的偶函数f （x ）满足xf （x +2）=（x +2）f （x ），且f （2）=4．则10k =1[f (k )+f (−k )]（ ）13．（5分）从A ，B 等5名自愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A 和B 至多有一个入选的概率为 ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．14．（5分）已知直线y =mx +2与圆x 2+y 2+2x +2y -2=0交于A ，B 两点，直线nx +y +2=0垂直平分弦AB ，则弦|AB |的长为 ．15．（5分）记函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0，−π2<φ<π2)的最小正周期为T ．若f (T 2)=22，x =π8为f （x ）的极小值点，则ω的最小值为 ．√16．（5分）已知x =x 1和x =x 2分别是函数f （x ）=2a x -ex 2（a >0且a ≠1）的极小值点和极大值点．若x 1>x 2，则g (x )=a x x (x >0)的最小值的取值范围是 ．17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,sinC =sinAcosB +22sin (A +C )．（1）求A ；（2）在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得△ABC 唯一确定，当唯一确定时，求边BC 上的高h .条件①：a =2，sinC =32；条件②：a =5，b =2．√√√√18．（12分）新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活．某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识．某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成频数分布表和频率分布直方图．规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”．30名女生成绩频数分布表：成绩[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数101064（1）根据以上数据，完成以下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；男生女生合计防疫标兵非防疫标兵合计（2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校女生中随机抽取4人，其中“防疫标兵”的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．附：K 2=n (ad −bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，n =a +b +c +dP （K 2≥k 0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k 0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲]19．（12分）如图，已知矩形ABCD 是圆柱的轴截面，P 是CD 的中点，直线BP 与下底面所成角的正切值为13，矩形ABCD 的面积为12，MN 为圆柱的一条母线（不与AB ，CD 重合）．（1）证明：BN ⊥MP ；（2）当三棱锥B -MNP 的体积最大时，求二面角N -BM -P 的正弦值．20．（12分）已知函数f （x ）=ae x -ln （x +1）-1（a ≥1）．（1）当a =e 时，求曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；（2）若f （x ）没有零点，求a 的取值范围．21．（12分）已知直线l 与抛物线C ：x 2=2py （p >0）交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB ，D 为垂足，点D 的坐标为（1，1）．（1）求C 的方程；（2）若点E 是直线y =x -4上的动点，过点E 作抛物线C 的两条切线EP ，EQ ，其中P ，Q 为切点，试证明直线PQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为V W X x =bcost y =2+bsint（t 为参数，b >0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρ=-4cosθ．（1）说明C 1是什么曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）直线C 3的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ+1=0，是否存在实数b ,使C 1与C 2的公共点都在C 3上，若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．23．设a ,b ,c ∈R ，a ,b ,c -1均不为零，且a +b +c =1．（1）证明：ab +b （c -1）+（c -1）a <0；（2）求（a -2）2+（b +2）2+（c +2）2的最小值．。
内蒙古包头高三第一学期期末联考数学
内蒙古包头高三第一学期期末联考数学————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：包头市 2015-2016学年高三第一学期期末考试联考试卷理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知集合M={x|53-≤<x }或N={x|x<-5或x>5},则=N Y M A{x|x<-5或x>-3} B{x|-5<x<5} C {x|-3<x<5} D {x|x<-3或x>5}解析：因为根据题意，x>-3或x<-5,所以选A 。
2.设a,b,c,d ∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A ad-bc=0 B ac-bd=0 C ac+bd=0 D ad+bc=0解析：因为(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i 是实数,所以有ad+bc=0。
3.已知随机变量ξ服从正态分布N （2，a ），且P(ξ<4)=0.8则p(0<ξ<2)=( )A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2 解：因为正态分布的规律，8.0)4(=<ξP ，2.0)0()4(=<=>ξξP P ，则3.0)20(=<<ξP4.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( )A.3B.4C.5D.8解：根据题意，当x=1经判断成立，则x=2,y=2；x=2经判断成立，则x=4,y=3；x=4经判断成立，则x=8,y=4;x=8经判断不成立，输出y=4.5.若变量x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+10103x y y x y ，则2x-y 的最大值为( )A.-1B.0C.3D.4解：根据题意，约束条件可围成一个三角形区域，有目标函数的特殊性，和特殊解可得，当目标函数过点（2,1）时，取到最大值，最大值为36.已知双曲线22a x -22by =1(a>0,b>0)的离心率e=3，则它的渐近线方程为( ) A.y=±22x B.x y 3±= C.x y 2±= D.x y ±= 解：根据题意，离心率3=e ，a c 3=，a b 2=，那么，焦点在x 轴上的双曲线，渐近线方程为x y 2±=。
最新最新题库内蒙古包头一中高考数学一模试卷及参考答案(理科)
一、选择题
1．（ 5 分）已知全集 U ＝{1 ，2，3，4} ，集合 A＝ {1 ，2} ，B＝ {2 ，3} ，则 A∩（ ?UB）＝（ ）
A ．{1}
B ．{1 ， 2}
C． {1 ， 2， 4}
D．?
2．（ 5 分）复数 z＝ 在复平面上对应的点位于（
检测出不合格产品的概率为（
）
2 听，
A．
B．
C．
D．
【解答】 解：设合格饮料为 1， 2， 3， 4，不合格饮料为 5， 6
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则 6 听中选 2 听共有（ 1，2）、（ 1， 3）、（ 1，4）（ 1，5）、（ 1，6）、（ 2，3）、（ 2， 4）、 （ 2， 5）、（ 2， 6）、（ 3， 4）、（ 3， 5）、（ 3， 6）、（ 4， 5）、（ 4， 6）、（ 5， 6）共 15 种， 有 1 听不合格的有（ 1， 5）、（ 1， 6）、（ 2， 5）、（ 2， 6）、（ 3， 5）、（ 3， 6）、（ 4，5）、（ 4，
0.025
0.010
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19．（ 12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的
倍，
P 为侧棱 SD 上的点． （ 1）求证： AC⊥ SD；
（ 2）若 PC 与平面 ACD 所成角的正弦值为
，求二面角 P﹣ AC﹣ D 的余弦值．
，b＝ 4， C＝ 30°，则 a 的值（
）
A．
或
B．
C． 4
【解答】 解：∵
， b＝ 4， C＝ 30°，
内蒙古自治区数学高三上学期理数第一次联考试卷A卷
内蒙古自治区数学高三上学期理数第一次联考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·青浦模拟) 设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件2. （2分）已知复数，则的最大值为（）A .B .C .D . 33. （2分）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A . 模型1的相关指数R2为0.96B . 模型2的相关指数R2为0.86C . 模型3的相关指数R2为0.73D . 模型4的相关指数R2为0.664. （2分）(2017·山东) 已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y= +m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A . （0，1]∪[2 ，+∞）B . （0，1]∪[3，+∞）C . （0，）∪[2 ，+∞）D . （0，]∪[3，+∞）5. （2分）(2020·乌鲁木齐模拟) 已知函数，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二下·大名期末) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线是函数的图象的一条对称轴。
则直线的倾斜角是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知函数的定义域为 ,为函数的导函数,当时,且，，则下列说法一定正确的是（）A .B .C .D .9. （2分）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：807 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 789据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A . 0.35B . 0.25C . 0.2010. （2分） (2019高二上·南宁月考) 定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（）A .B . 9C . 18D . 3612. （2分）(2020·重庆模拟) 关于函数有下述四个结论：① 的图象关于点对称② 的最大值为③ 在区间上单调递增④ 是周期函数且最小正周期为其中所有正确结论的编号是（）A . ①②C . ①④D . ②④二、填空题 (共4题；共8分)13. （1分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣1，则x∈[﹣4，0]时f（x）的表达式f（x）= ________．14. （1分）设Sn、Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，若，则 =________．15. （5分） (2016高二上·临川期中) 已知双曲线标准方程为： =1（a＞0，b＞0），一条渐近线方程y=3x，则双曲线的离心率是________．16. （1分） (2017高二下·南昌期末) 从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有种取法；另一类是取出的m个球有m﹣1个白球和1个黑球，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=________．三、解答题 (共7题；共62分)17. （10分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b．sin B+c•sin C=a•sinA十b•sin C（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数 =（ sin ，cos ）， =（cos ，cos ），f（x）= . ，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状．18. （10分）(2012·新课标卷理) 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19. （2分） (2017高二上·南宁月考) 如图，在四棱锥中，直线平面，.（1）求证：直线平面 .（2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值.20. （10分）(2017·赣州模拟) 如图，椭圆的离心率为，顶点为A1、A2、B1、B2 ，且．（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点Q，直线A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EQ的斜率为m，试问2m﹣k是否为定值？并说明理由．21. （15分） (2016高三上·新津期中) 已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+ x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥ ，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．22. （5分） (2018高二下·河池月考) 已知曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：(为参数)，点（1）求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.23. （10分） (2018高一下·广东期中) 已知定义在上的奇函数满足 ,且在上是增函数;定义行列式 ;函数(其中 )．（1）证明:函数在上也是增函数;（2）若函数的最大值为4，求的值;（3）若记集合M={m|恒有g（）<0}, ,求．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共62分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
内蒙古包头市高三数学上学期第一次模拟试卷 理(含解析)
内蒙古包头市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合M={x|x2≤4}，N={﹣1，0，4}，则M∩N=( )A．{﹣1，0，4} B．{﹣1，0} C．{0，4} D．{﹣2，﹣1，0}2．若复数z的共轭复数为，且满足（2﹣i）=10+5i（i为虚数单位），则|z|=( ) A．25 B．10 C．5 D．3．已知等差数列{a n}的公差为d=3，若a1，a2，a3，a4，a5的平均数为18，则a1的值为( ) A．12 B．﹣12 C．24 D．﹣244．曲线y=e x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成的三角形面积为( ) A．B．C．1 D．25．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是255，则判断框中的整数N的值为( )A．6 B．7 C．8 D．96．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A．B．C．D．27．（2x+1）（1﹣）5的展开式中的常数项是( )A．﹣11 B．﹣10 C．1 D．﹣98．设非负实数x，y满足，则z=3x+2y的最大值是( )A．7 B．6 C．9 D．129．已知AE是△ABC的中线，若∠A=120°，=﹣2，则||的最小值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．210．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于M，N两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△MON的面积为，则P的值为( )A．B．3 C．4 D．211．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥mx，则m的取值范围是( ) A．[0，2] B．[﹣2，0] C．（﹣∞，2] D．[﹣2，+∞）12．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为__________．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三所大学时，甲说：我去过的大学比乙多，但没去过A大学；乙说：我没去过B大学；丙说：我们三人去过同一所大学；由此可判断乙去过的大学为__________．15．设是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个零点，则函数f（x）在区间（0，2π）内所有极值点之和为__________．16．设数列{a n}为等差数列，其公差为d，数列{b n}为等比数列，若a1＜a2，b1＜b2，且b1=a i2（i=1，2，3），则__________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cos（B﹣C）=1+6cosBcosC．（1）求cosA；（2）若a=3，△ABC的面积为2，求b+c的值．18．如图，已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=A1A=AB=2，点E是棱AB上一点，且=λ．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）若二面角D1﹣EC﹣D的余弦值为，求CE与平面D1ED所成的角．19．从某大学中随机选取7名女大学生，其身高x（单位：cm）和体重y（单位：kg）数据如表：编号 1 2 3 4 5 6 7身高x 163 164 165 166 167 168 169体重y 52 52 53 55 54 56 56 （1）求根据女大学生的身高x预报体重y的回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析这7名女大学生的身高和体重的变化，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重；（3）试分析说明回归方程预报的效果．附：1．回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，=﹣．2．反映回归效果的公式为：R2=1﹣，其中R2越接近于1，表示回归的效果越好．3．参考数据：（y1﹣）2=2.25．20．在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆C的右焦点F作两条互相垂直的弦EF与MN，当直线EF斜率为0时，|EF|+|MN|=7．（1）求椭圆C的方程；（2）求|EF|+|MN|的取值范围．21．已知函数f（x）=x2lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对任意的t＞0，方程f（x）﹣t=0关于x在（1，+∞）上有唯一解s，使t=f （s）；（3）设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有＜＜．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，⊙O的半径OC垂直于直径DB，F为BO上一点，CF的延长线交⊙O于点E，过E 点的切线交DB的延长线于点A（1）求证：AF2=AB•AD；（2）若⊙O的半径为2，OB=OF，求FE的长．【选修4-2：极坐标与参数方程】23．已知直线n的极坐标是pcos（θ+）=4，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣1+a|+|x﹣a|（1）若a≥2，x∈R，证明：f（x）≥3；（2）若f（1）＜2，求a的取值范围．内蒙古包头市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合M={x|x2≤4}，N={﹣1，0，4}，则M∩N=( )A．{﹣1，0，4} B．{﹣1，0} C．{0，4} D．{﹣2，﹣1，0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出不等式x2≤4的解集M，再由交集的运算求出M∩N．解答：解：由x2≤4得﹣2≤x≤2，则集合M={x|﹣2≤x≤2}，又N={﹣1，0，4}，所以M∩N={﹣1，0}，故选：B．点评：本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．若复数z的共轭复数为，且满足（2﹣i）=10+5i（i为虚数单位），则|z|=( ) A．25 B．10 C．5 D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．解答：解：∵满足（2﹣i）=10+5i（i为虚数单位），∴=====3+4i，∴z=3﹣4i．则|z|==5．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，属于基础题．3．已知等差数列{a n}的公差为d=3，若a1，a2，a3，a4，a5的平均数为18，则a1的值为( ) A．12 B．﹣12 C．24 D．﹣24考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：先用等差数列的性质与平均数的概念，求出a3的值，再用等差数列的通项公式求出a1的值．解答：解：等差数列{a n}中，公差d=3，∵a1，a2，a3，a4，a5的平均数为18，∴=a3=18，∴a1=a3﹣2d=18﹣2×3=12；即a1的值为12．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式以及平均数的应用问题，是基础题目．4．曲线y=e x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成的三角形面积为( ) A．B．C．1 D．2考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：先对函数y=e﹣x+1求导，求出y在x=0处的斜率，根据点斜式求出切线方程，再利用面积公式进行求．解答：解：∵y=e﹣x+1，∴y′=﹣e﹣x，∴切线的斜率k=y′|x=0=﹣1，且过点（0，2），∴切线为：y﹣2=﹣x，∴y=﹣x+2，∴切线与x轴交点为：（2，0），与y轴的交点为（0，2），∴切线与直线y=0和y=0围成的三角形的面积为：s=×2×2=2，故选：D．点评：此题利用导数研究曲线上的点的切线，注意斜率与导数的关系，此题是一道基础题．5．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是255，则判断框中的整数N的值为( )A．6 B．7 C．8 D．9考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，A的值，当S=255时，由题意，此时不满足条件8≤N，退出循环，输出S的值为255，从而判断出判断框中整数N的值．解答：解：模拟执行程序，可得A=1，S=1满足条件A≤N，S=3，A=2满足条件A≤N，S=7，A=3满足条件A≤N，S=15，A=4满足条件A≤N，S=31，A=5满足条件A≤N，S=63，A=6满足条件A≤N，S=127，A=7满足条件A≤N，S=255，A=8由题意，此时不满足条件8≤N，退出循环，输出S的值为255，则判断框中的整数N的值应为7．故选：B．点评：本题主要考查了算法流程图，同时考查了分析问题的能力和读图的能力，属于基础题．6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A．B．C．D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正三棱柱．解答：解：该几何体为正三棱柱，其底面的边长为2，高为1；故其体积为V=×2××1=，故选A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．7．（2x+1）（1﹣）5的展开式中的常数项是( )A．﹣11 B．﹣10 C．1 D．﹣9考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：把（1﹣）5按照二项式定理展开，可得（2x+1）（1﹣）5的展开式中的常数项．解答：解：（2x+1）（1﹣）5=（2x+1）（1﹣5•+10•﹣10•+5•﹣），故展开式中的常数项是2×（﹣5）+1=﹣9，故选：D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．设非负实数x，y满足，则z=3x+2y的最大值是( ) A．7 B．6 C．9 D．12考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过点B （1，2）时，z最大值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域∵直线z=3x+2y过点B，z取得最大值，由，解得，可得B（1，2）时，z最大值是7，故选：A．点评：本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题．9．已知AE是△ABC的中线，若∠A=120°，=﹣2，则||的最小值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义和中点的向量表示形式，及向量的平方即为模的平方，结合重要不等式即可得到最小值．解答：解：设AC=b，AB=c，又∠A=120°，=﹣2，则bccos120°=﹣2，即有bc=4，由AE是△ABC的中线，则有=（+），即有=（++2•）=（b2+c2﹣4）≥（2bc﹣4）=×（8﹣4）=1．当且仅当b=c时，||的最小值为1．故选：C．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的中点表示形式及向量的平方即为模的平方，运用重要不等式是解题的关键．10．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于M，N两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△MON的面积为，则P的值为( )A．B．3 C．4 D．2考点：双曲线的简单性质．专题：解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的离心率公式及a，b，c的关系可得b=a，由双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程解得M，N，求出三角形MON的面积，进而解得p=2．解答：解：由e====2，可得=．由，求得M（﹣，），N（﹣，﹣），所以S△MON=••=．将=代入，得p2=4，解得p=2．故选D．点评：本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，属于中档题．11．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥mx，则m的取值范围是( ) A．[0，2] B．[﹣2，0] C．（﹣∞，2] D．[﹣2，+∞）考点：函数恒成立问题；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）的图象，结合不等式恒成立，对m进行分类讨论即可得到结论．解答：解：作出函数f（x）的图象如图：若m=0，则|f（x）|≥mx成立，若m＞0，由图象可知不等式|f（x）|≥mx不成立，若m＜0，当x＞0时，不等式|f（x）|≥mx成立，要使|f（x）|≥mx成立，则只需要当x≤0时|f（x）|≥mx成立，即|﹣x2+2x|≥mx，即x2﹣2x≥mx，则x2≥（m+2）x成立，∵x≤0，∴不等式x2≥（m+2）x等价为x≤m+2，即m≥x﹣2恒成立，∵x≤0，∴x﹣2≤﹣2，即此时﹣2≤m＜0，综上﹣2≤m≤0，故选：B点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用数形结合以及分段函数的应用是解决本题的关键．12．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，连接OE，OF，OM，由于△MEF为正三角形，可得∠OME=30°，OM=2b≤a，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．解答：解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6种结果，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=．故答案为：．点评：本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三所大学时，甲说：我去过的大学比乙多，但没去过A大学；乙说：我没去过B大学；丙说：我们三人去过同一所大学；由此可判断乙去过的大学为C．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：可先由乙推出，可能去过A大学或C大学，再由甲推出只能是B，C中的一个，再由丙即可推出结论．解答：解：由乙说：我没去过B大学，则乙可能去过A大学或C大学，但甲说：我去过的大学比乙多，但没去过A大学，则乙只能是去过B，C中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一大学，则由此可判断乙去过的大学为C．故答案为：C．点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．设是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个零点，则函数f（x）在区间（0，2π）内所有极值点之和为．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数零点的定义求出φ的值，然后求出所有的最值相加即可即可．解答：解：∵是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个零点，f（）=sin（2×+φ）=sin（+φ）=0，即+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=﹣，则f（x）=sin（2x﹣），由2x﹣=+kπ，得x=+，k∈Z，∵x∈（0，2π），∴当k=0时，x=，当k=1时，x=，当k=2时，x=，当k=3时，x=，∴+++=，故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出φ的值是解决本题的关键．16．设数列{a n}为等差数列，其公差为d，数列{b n}为等比数列，若a1＜a2，b1＜b2，且b1=a i2（i=1，2，3），则﹣1．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，可得d＞0，由数列{b n}为等比数列，可得b22=b1•b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得结论．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＜a2可得d＞0，∴b1=a12，b2=a22=（a1+d）2，b3=a32=（a1+2d）2，∵数列{b n}为等比数列，∴b22=b1•b3，即（a1+d）4=a12•（a1+2d）2，∴（a1+d）2=a1•（a1+2d）①或（a1+d）2=﹣a1•（a1+2d），②由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；由②可得a1=d，或a1=﹣1d，当a1=d时，可得b1=a12=b2=a22=（a1+d）2=，此时显然与b1＜b2矛盾，舍去；当a1=﹣1d时，可得b1=a12=，b2=（a1+d）2=，满足题意，∴=﹣1，故答案为：．点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cos（B﹣C）=1+6cosBcosC．（1）求cosA；（2）若a=3，△ABC的面积为2，求b+c的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式及诱导公式化简，求出cosA的值即可；（2）由cosA的值求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC面积，把sinA，已知面积代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把a与cosA的值代入求出b2+c2的值，利用完全平方公式求出（b+c）2的值，开方即可求出b+c的值．解答：解：（1）由3cos（B﹣C）=1+6cosBcosC，整理得：3cosBcosC﹣3sinBsinC=﹣1，即3cos（B+C）=﹣1，∴cosA=﹣cos（B+C）=；（2）∵A为三角形内角，∴sinA==，∵S△ABC=bcsinA=2，∴bc=6①，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2=13②，联立①②，得（b+c）2=b2+c2+2bc=13+12=25，则b+c=5．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．如图，已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=A1A=AB=2，点E是棱AB上一点，且=λ．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）若二面角D1﹣EC﹣D的余弦值为，求CE与平面D1ED所成的角．考点：直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明：D1E⊥A1D；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求出线面所成的角的大小．解答：（1）证明：建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），A1（2，0，2），B1（2，4，2），C1（0，4，2），D1（0，0，2）．因为=λ，所以E（2，，0），于是=（2，，﹣2）．=（﹣2，0，﹣2），则•=（2，，﹣2）•（﹣2，0，﹣2）=0，即⊥，则D1E⊥A1D．（2）解：因为D1D⊥平面ABCD，所以平面DEC的法向量为=（0，0，2）．又=（2，，﹣2），=（0，﹣4，2），设平面D1CE的法向量为=（x，y，z），则•=2x+y（﹣4）=0，•=﹣4y+2z=0，所以向量的一个解为（2﹣，1，2）．因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为．则=，较大λ=1，即E（2，2，0），故=（0，0，2），=（2，2，0），=（2，﹣2，0），则•=0，•=0，即CE⊥平面D1ED，即CE与平面D1ED所成的角为．点评：本题考查线线垂直，考查二面角的平面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，建立坐标系是解决本题的关键．19．从某大学中随机选取7名女大学生，其身高x（单位：cm）和体重y（单位：kg）数据如表：编号 1 2 3 4 5 6 7身高x 163 164 165 166 167 168 169体重y 52 52 53 55 54 56 56 （1）求根据女大学生的身高x预报体重y的回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析这7名女大学生的身高和体重的变化，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重；（3）试分析说明回归方程预报的效果．附：1．回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，=﹣．2．反映回归效果的公式为：R2=1﹣，其中R2越接近于1，表示回归的效果越好．3．参考数据：（y1﹣）2=2.25．考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）计算平均数，求出b，a，即可求出回归方程；（2）b＞0，可得这7名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系，代入公式，预报一名身高为172cm的女大学生的体重；（3）求出R2=1﹣=87.5%，即可说明回归方程预报的效果．解答：解：（1）∵==166，==54，∴b==，∴a=54﹣=﹣70.5，∴y=x﹣70.5；（2）∵b＞0，∴这7名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系，x=172时，y=×172﹣70.5=58.5（kg）；（3）R2=1﹣=87.5%，∴女大学生的体重差异有87.5%是由身高引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．点评：本题考查回归方程，考查学生的计算能力，正确求出回归方程是关键．20．在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆C的右焦点F作两条互相垂直的弦EF与MN，当直线EF斜率为0时，|EF|+|MN|=7．（1）求椭圆C的方程；（2）求|EF|+|MN|的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意知e==，MN=7﹣2a，再由点（c，）在椭圆上，能求出椭圆的方程．（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在时，|EF|+|MN|=7；当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线EF的方程为y=k（x﹣1），直线MN的方程为y=﹣（x﹣1）．由此能求出|EF|+|MN|，从而能求出其取值范围．解答：解：（1）由题意知，e==，|MN|=7﹣2a，所以a2=4c2，b2=3c2，…2分因为点（c，）在椭圆上，即+=1，解得：c=1．所以椭圆的方程为：+=1；（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知|EF|+|MN|=7，②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线EF的方程为y=k（x﹣1），则直线MN的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线EF的方程代入椭圆方程中，并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴x1=，x2=，∴|EF|=|x1﹣x2|=，同理，|MN|=，∴|EF|+|MN|=，令t=k2+1，则t＞1，3+4k2=4t﹣1，3k2+4=3t+1，设f（t）==﹣+，∵t＞1，∴∈（0，1），∴f（t）∈（12，），∴|EF|+|MN|=∈[，7]．综合①与②可知，AB+CD的取值范围是[，7]．点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查两条线段和的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．21．已知函数f（x）=x2lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对任意的t＞0，方程f（x）﹣t=0关于x在（1，+∞）上有唯一解s，使t=f （s）；（3）设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有＜＜．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x）=0，可解得x=，由导数在（0，），和（，+∞）的正负可得单调性；（2）当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h（x）的单调性，可得结论；（3）令u=lns，原命题转化为0＜lnu＜，一方面由f（s）的单调性，可得u＞1，从而lnu ＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，通过函数的单调性可得极值、最值，进而得证．解答：（1）解：由题意可知函数的定义域为（0，+∞），求导数可得f′（x）=2xlnx+x2•=2xlnx+x=x（2lnx+1），令f′（x）=0，可解得x=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，）（，+∞）f′（x）﹣ 0 +f（x）单调递减极小值单调递增所以函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；（2）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），由（1）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=﹣t＜0，h（e t）=e2t lne t﹣t=t（e2t﹣1）＞0，故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；（3）证明：因为s=g（t），由（2）知，t=f（s），且s＞1，从而====，其中u=lns，要使＜＜成立，只需＜＜，即2＜＜，即2＜2+＜，只需0＜＜，变形可得只需0＜lnu＜，当t＞e2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，F′（u）=﹣，令F′（u）=0，可解得u=2，当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0，故有F（u）=lnu﹣＜0，即lnu＜，综上可证：当t＞e2时，有＜＜成立．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及极值的求解和不等式的证明，属中档题．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，⊙O的半径OC垂直于直径DB，F为BO上一点，CF的延长线交⊙O于点E，过E 点的切线交DB的延长线于点A（1）求证：AF2=AB•AD；（2）若⊙O的半径为2，OB=OF，求FE的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（1）利用切线的性质、圆的性质、切割线定理即可得出；（2）求出CF，利用CF•FE=DF•FB，求FE．解答：（1）证明：连接OE，∵AE切⊙O于点E，∴∠OEA=90°，∴∠OEC+∠CEA=90°，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵OC⊥DB于点O，∴∠OCE+∠CFO=90°．故∠CEA=∠CFO=∠AFE，∴AF=AE，又∵AE切⊙O于点E，∴AE2=AB•AD，∴AF2=AB•AD；（2）解：∵OB=2，OB=OF，∴OF=2，∵OC=2，∴CF==4，∵CF•FE=DF•FB=（2+2）（2﹣2）=8，∴FE==2．点评：熟练掌握切线的性质、圆的性质、切割线定理是解题的关键．【选修4-2：极坐标与参数方程】23．已知直线n的极坐标是pcos（θ+）=4，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由ρcos（θ+）=4，展开为=4，利用即可得出；（2）圆A的（θ是参数）化为普通方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=2，圆心（1，﹣1），半径r=．利用点到直线的距离公式可得；圆心到直线n的距离d．即可得出圆A上的点到直线n上点距离的最小值=d﹣r．解答：解：（1）由ρcos（θ+）=4，展开为=4，化为x﹣y﹣8=0；（2）圆A的（θ是参数）化为普通方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=2，圆心（1，﹣1），半径r=．∴圆心到直线n的距离d==3．∴圆A上的点到直线n上点距离的最小值=d﹣r=2．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣1+a|+|x﹣a|（1）若a≥2，x∈R，证明：f（x）≥3；（2）若f（1）＜2，求a的取值范围．考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法．专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：（1）利用绝对值不等式，即可证明结论；（2）分类讨论，利用f（1）＜2，求a的取值范围．解答：（1）证明：f（x）=|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|（x﹣1+a）﹣（x﹣a）|=|2a﹣1|∵a≥2，∴|2a﹣1|≥3，∴f（x）≥3；（2）解：f（1）=|a|+|1﹣a|a≤0时，f（1）=|a|+|1﹣a|=1﹣2a∵f（1）＜2，∴1﹣2a＜2，∴a＞﹣，∴﹣＜a≤0；0＜a≤1时，f（1）=1＜2恒成立；a＞1时，f（1）=|a|+|1﹣a|=2a﹣1∵f（1）＜2，∴2a﹣1＜2，∴a＜，∴1＜a＜综上，a的取值范围是（﹣，）．点评：本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
内蒙古包头市高三数学第一次质量检测试卷
内蒙古包头市高三数学第一次质量检测试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 14 题；共 15 分)1. （1 分） (2020 高三上·黄浦期末) 设集合 A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合 B＝{x|1＜x＜3}，则 A∪B ＝________.2. （1 分） (2019·江苏) 已知复数的实部为 0，其中 为虚数单位，则实数 a 的值是________.3. （1 分） (2016 高一上·东海期中) 函数 y=的定义域为________4. （1 分） 已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的 b 值为 16，则循环体的判断框内①处应填 ________ ．5. （1 分） 某中学为了解学生的数学学习情况，在 1000 名学生中随机抽取 100 名，并统计这 100 名学生的某 次数学考试成绩，得到了如图所示的样本的频率分布直方图，根据频率分布直方图，推测这 1000 名学生在该次数 学考试中成绩低于 60 分的学生数是________．6. （1 分） (2016 高三上·虎林期中) 已知抛物线 y2=8x 的焦点与双曲线第 1 页 共 15 页﹣y2=1 的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为________． 7. （1 分） 集合 A={2，3}，B={1，2，3}，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是________ 8. （1 分） 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥平面 AB1C1 ， AA1=1，底面△ABC 是边长为 2 的正三角形，则此三棱柱的体积为________9. （1 分） 如图所示是函数 y=2sin（ωx+φ）（|φ|≤ ， ω＞0）的一段图象，则 f（ ） =________10. （1 分） 已知函数 f（x）=ax﹣1nx，若 f（x）＞1 在区间（1，+∞）内恒成立，则实数 a 的范围为________．11. （1 分） (2018 高三上·湖北月考) 已知数列 为等差数列， 为且满足，则的最大值为________．的边 上任意一点，12. （2 分） 已知点 A（0，1），直线 l1：x﹣y﹣1=0，直线 l2：x﹣2y+2=0，则点 A 关于直线 l1 的对称点 B 的坐标为________，直线 l2 关于直线 l1 的对称直线方程是________．13. （1 分） (2015 高三上·石家庄期中) 不等式的解集是________14. （1 分） (2020·化州模拟) 设△ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 若△ABC 的面积为，则 C＝________．二、 解答题 (共 12 题；共 110 分)15. （10 分） (2017 高一下·乾安期末) 在△ABC 中，已知＝3.第 2 页 共 15 页（1） 求证：tanB＝3tanA；（2） 若 cosC＝ ，求 A 的值．16. （15 分） (2018 高一下·衡阳期末) 如图，在三棱锥中，，为线段 的中点， 为线段 上一点.（1） 求证：；（2） 求证：平面平面；（3） 当平面时，求三棱锥的体积.17. （15 分） (2018 高三上·连云港期中) 对于函数与，若存在实数 满足，则称 为的一个 点.（1） 证明：函数与不存在的 点；（2） 若函数与存在的 点 ，求 的范围；（3） 已知函数 一个 皆是函数的 点.，证明：存在正实数 ，对于区间，且 内任意18. （5 分） (2018·枣庄模拟) 在平面直角坐标系中，椭圆 ：，且直线 ：被椭圆 截得的弦长为 ．（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；（Ⅱ）若直线 与圆 ：相切：第 3 页 共 15 页的离心率是（i）求圆 的标准方程；（ii）若直线 过定点求的取值范围．，与椭圆 交于不同的两点 、 ，与圆 交于不同的两点 、 ，19. （15 分） (2017·扬州模拟) 已知函数 f（x）= ，g（x）=lnx，其中 e 为自然对数的底数． （1） 求函数 y=f（x）g（x）在 x=1 处的切线方程； （2） 若存在 x1，x2（x1≠x2），使得 g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中 λ 为常数，求证： λ＞e； （3） 若对任意的 x∈（0，1]，不等式 f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数 a 的取值范围． 20. （10 分） (2017·枣庄模拟) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 且 a6=0，S4=14． （1） 求 an； （2） 将 a2，a3，a4，a5 去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{bn}的前三项，求数列{anbn} 的前 n 项和 Tn．21. （5 分） (2017·南海模拟) 已知 AB 是圆 O 的切线，圆的半径为 2， BC 与圆的另一个交点为 E．，延长 BO 到 C 使得 BC=6，（Ⅰ）证明：AC 是圆 O 的切线； （Ⅱ）设 AC 与圆 O 的切点为 F，求证：EF∥AO．22. （5 分） 已知直线 l：2x﹣y=3，若矩阵 A=a，b∈R 所对应的变换 σ 把直线 l 变换为它自身．第 4 页 共 15 页（Ⅰ）求矩阵 A； （Ⅱ）求矩阵 A 的逆矩阵． 23. （10 分） (2018 高三上·西安模拟) 以平面直角坐标系的坐标原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线 的参数方程为曲线 C 的极坐标方程为.（t 为参数），（1） 求曲线的直角坐标方程；（2） 设直线 与曲线 相交于两点，求 .24. （ 5 分 ） 已 知 a1 ， a2 ， … ， an 都 是 正 实 数 ， 且 a1 ＋ a2 ＋ … ＋ an ＝ 1. 求 证 ：. 25. （10 分） (2018·安徽模拟) 四棱锥， 是棱 的中点.中，，且平面，，（1） 证明： （2） 求二面角平面；的余弦值.26. （5 分） (2017·银川模拟) 已知椭圆 C： ，P 为 C 上动点，且满足的上下焦点分别为 F1 ， F2 ， 离心率为 |，△QF1F2 面积的最大值为 4．（Ⅰ）求 Q 点轨迹 E 的方程和椭圆 C 的方程；（Ⅱ）直线 y=kx+m（m＞0）与椭圆 C 相切且与曲线 E 交于 M，N 两点，求的取值范围．第 5 页 共 15 页一、 填空题 (共 14 题；共 15 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、参考答案12-1、 13-1、 14-1、二、 解答题 (共 12 题；共 110 分)第 6 页 共 15 页15-1、15-2、 16-1、 16-2、16-3、17-1、17-2、第 7 页 共 15 页17-3、第 8 页 共 15 页18-1、第 9 页 共 15 页19-1、19-2、第 10 页 共 15 页19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、答案：略23-1、23-2、24-1、25-1、25-2、26-1、。
内蒙古包头市高三理数第一次模拟考试试卷附解析
，
可得
，，
，，
由
，可得
，
由
，即有
故答案为：D．
，可得
，即有 。
，化简为
【分析】设右焦点
，将直线方程
代入椭圆方程，可得交点坐标，由
结
合两直线垂直斜率之积等于-1，再结合两点求斜率公式，可得
， 再利用椭圆中 a,b,c 三者的
关系式，从而求出 a,c 的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形，从而求出椭圆的离心率。
D. 假设
，那么 在
二、填空题
有且只有 3 个零点
的最小值为 ，那么
13.实数 ， 满足
那么
的最小值为________．
14.设函数
，假设
，那么 ________．
15.设直线 ：
与双曲线 ：
〔
〕的两条渐近线分别交于 ， 两点，假
设线段 的中点在直线
上，那么双曲线
16.做一个无盖的圆柱形水桶，假设要使其体积是
D. 是 的充要条件
4.地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级 与所释放的能量
的关系如
下：
〔焦耳〕〔取
〕，那么 8 级地震释放的能量是 7 级地震释放的能量的〔 〕
A. 30.6 倍
B. 31.6 倍
C. 3.16 倍
5.
，那么
〔〕
A.
B.
C.
D.
6.圆 ：
上的点到直线 ：
的最大距离为〔 〕
8.【解析】【解答】解： 在
中，
，
，
由余弦定理，得
，
即
，
由根本不等式有
，所以
，
〔当且仅当
2021年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科)
2021年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合2{|20}A x x x =-->，{|(2)0}B x x x =->，则()(R B A =⋂ ) A ．(1,2)-B ．(0,2)C ．[2，)+∞D ．[1-，0)2．（5分）已知角(0,)απ∈，且1tan()47πα+=，则sin (α= )A ．35B ．35-C ．45 D ．45-3．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，某学校积极推进教学改革，开发了10门校本课程，其中艺术类课程4门，劳动类课程6门．李杰同学从10门课程中任选3门，则含有劳动类课程的概率为( ) A ．13.15B ．2930 C ．1.2D ．4.54．（5分）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈10=尺，若这个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n a n b =，对于数列{}n a ，{}n b ，则5210(log a b = )A ．193209B ．209193C ．209289D ．2892095．（5分）若圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切的圆，被直线0x y -=截得的弦长为则圆心到直线y x =的距离为( ) A ．4B．CD ．26．（5分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232(*)n n S a n N =-∈，则1062(2S a =- ) A ．243B ．244C ．245D ．2467．（5分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为( )A ．FB ．EC ．HD ．G8．（5分）已知2F 是双曲线22:127x y C -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,3)A ，当2APF ∆周长最小时，该三角形的面积为( ) A ．125B ．165 C ．185D ．2459．（5分）设函数33()33f x ln x x =+-+，则()(f x )A ．是偶函数，且在(,3)-∞-单调递增B ．是奇函数，且在(3,3)-单调递减C ．是奇函数，且在(3,)+∞单调递减D ．是偶函数，且在(3,3)-单调递增10．（5分）已知946xy=，则222()(x y x y+= )A ．25B ．16C ．9D ．411．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，123AB AA ==，3AD =，点E 为11A B 的中点，若三棱锥11C EC D -的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( ) A ．22πB ．26πC ．24πD ．28π12．（5分）定义“规范01数列” {}n a 如下：{}n a 共有2k 项，其中k 项为0，k 项为1，且对任意2m k ，1a ，2a ，⋯，m a 中0的个数不少于1的个数．若5k =，则形如“0001⋯”的不同的“规范01数列”的个数为( ) A ．16B ．14C ．12D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b = ． 14．（5分）安排3名志愿扶贫干部完成4个贫困村的脱贫工作每人至少完成1个村的脱贫工作，每个村的脱贫工作由1人完成，则不同的安排方式共有 种．15．（5分）设复数1z ，2z 满足12||||2z z ==，12||z z -=12||z z += ． 16．（5分）设有下列四个命题：1p ：空间共点的三条直线不一定在同一平面内．2p ：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合． 3p ：若三个平面两两相交，则交线互相平行．4p ：若直线//n 平面α，直线n ⊥直线b ，则直线b ⊥平面α．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①14p p ∧；②12p p ∧；③23p p ⌝∨；④34p p ⌝∨三、解答题：共70分。
内蒙古包头市高三数学第一次模拟考试 理 北师大版
包头一中高三年级校一模考试（数学理科试卷）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．若集合{}1,12-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y P x y y M ，那么=P M I （ ） A.),0(+∞ B.[)),0+∞ C. ),1(+∞ D. [)),1+∞2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．123. 若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，369-=S ， 10413-=S ，则5a 与7a 的等比中项为（ ）A.24 B . 24± C . 22± D. 324.已知向量a ，b 满足1==+=a b a b ，则向量a ，b 夹角的余弦值为（ ）A.12B. 12-C.2D. 2-5．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和 直线2l 的距离之和的最小值是 （ ） A.2 B.3 C.115 D.37166.下列判断错误的是（ ）A. “22am bm <”是”a b <”的充分不必要条件B.命题“2,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是“ 2000,10x x x ∃∈-->R ”C.若,p q 均为假命题，则p q ∧为假命题D.若()~4,0.25B ξ，则1D ξ=7. 从点P 出发的三条射线,,PA PB PC 两两成60︒角，且分别与球O 相切于,,A B C 三点，若球的体积为43π，则OP 两点之间的距离为( )C.1.5D. 28、已知,x y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a 的范围为 （ ）A.1a ≥B.1a ≤-C. 11a -≤≤D. 1a ≥或1a ≤- 9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A.283π-B. 83π- C. 82π- D.23π10.设0>ϖ,函数23sin +⎪⎭⎫⎝⎛+=πϖx y 的图像向右平移34π个单位 (第9题图) 后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） A ．32 B. 34 C. 23D. 3 11.已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >.若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,315B ．C ．48(,)33D. ()7,212．若双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （m>b>0 ）的离心率之积大于1，则以mb a ,,为边长的三角形一定是（ ）A 等腰三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 钝角三角形 二、填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．若6622106)1(x a x a x a a mx ⋅⋅⋅+++=+,且63621=⋅⋅⋅++a a a ，则实数m 的值为 .14. 若复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位）15.执行右边的程序框图，输出的T= .(第16题图)(第15题图)16.如上图，在矩形ABDC 中，O AC AB ,2,1==为AC 中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线顶点，点D B ,在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为 .三、解答题（共6个小题，第22题10分，其余12分,共70分） 17．（本小题满分12分）已知向量：(sin cos ,3cos ),(cos sin ,2sin ),(0)m x x x n x x x ωωωωωωω=+=->u r r其中，函数()f x m n =⋅u r r，若()f x 相邻两对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求ω的值，并求)(x f 的最大值及相应x 的集合；（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 分别是A ，B ，C 所对的边，△ABC 的面积53,4,()1S b f A ===，求边a 的长.18．（本小题满分12分）盒子里装有6件包装完全相同的产品，已知其中有2件次品，其余4件是合格品.为了找到2件次品，只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查，直到两件次品被全部检查或推断出来为止.记ξ表示将两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数.（I ）求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为4次的概率； （II ）求ξ的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分） 在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==．(Ⅰ)求四棱锥P ABCD -的体积V ；(Ⅱ)若F 为PC 的中点，求证：平面PAC ⊥平面AEF ； (第19题图) (Ⅲ)求二面角E AC D --的大小．20.（本题满分12分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M ，且其右焦点与抛物线x y C 4:22=的焦点F 重合.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（II ）直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A 、B 两点，与抛物线2C 相交于C 、D 两点．求||||AB CD 的最大值． 21. （本题满分12分）设函数21()ln .2f x x ax bx =-- （Ⅰ）当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (Ⅱ)令21()()2aF x f x ax bx x=+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．22.（本题满分10分）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=ααsin 21cos 21y x (α为参数),点Q 的极坐标为)47,2(π.（Ⅰ）化圆C 的参数方程为极坐标方程； （Ⅱ）若点P 是圆C 上的任意一点, 求P ,Q 两点间距离的最小值．高三一模理科数学参考答案 一、ABBBA DBCAC BD二、1或-3； -i; 30; 1/3;三、解答题（共6个小题，第22题10分，其余12分,共70分）17、解：（Ⅰ）x x x x x x x f ωωωωωω2sin 32cos cos sin 32sin cos )(22+=+-=Θ )62sin(2πω+=x ………………3分又题意可得)62sin(2)(,1,πωπ+=∴=∴=x x f T ………………4分当)62sin(π+x =1时，)(x f 有最大值为2，},6|{Z k k x x x ∈+=∈∴ππ………………6分（Ⅱ）πππ<<=+∴=+=A A A A f 021)62sin(1)62sin(2)(ΘΘ ……7分3,6562πππ=∴=+∴A A …………………8分 5553sin 21===c bc S π…………………9分由余弦定理得：a 2=16+25－2×4×5cos3π=21 21=∴a …………12分 18、解：（1）检查次数为4次包含两类情况：①前3次检查中有一个次品，第4次检查出次品，其概率为12324314615C C A P A ==----2分 ②前4次检查全部是合格品，余下两件必是次品，其概率为15146442==A A P ，----2分所以所求概率为1541515121=+=+P P ,-------5分 (2)ξ的可能取值为2,3,4,5-----------6分22261(2),15C P C ξ===121422362(3),15C A C P A ξ===ξξ+======4123424346314424464(4),158(5).15A C C A P A C C AP A(一个1分)---------10分分布列如下表：所以12486423451515151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=--------12分 19. 解：（Ⅰ）在Rt ABC ∆中，1AB =，60BAC ∠=︒，∴BC =，2AC =……1分在Rt ACD ∆中，2AC =，60CAD ∠=︒，∴CD =4AD =…………2分∴1111122222ABCD S AB BC AC CD =⋅+⋅=⨯⨯⨯=…………3分则123V ==4分ξP（Ⅱ）∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥…………………………5分 又AC CD ⊥，PA AC A =I ，∴CD ⊥平面PAC ……………………6分 ∵E 、F 分别为PD 、PC 中点，∴//EF CD ∴EF ⊥平面PAC ……………………7分 ∵EF ⊂平面AEF ，∴平面PAC ⊥平面AEF …………8分 （Ⅲ）取AD 的中点M ，连结EM ，则//EM PA ， ∴EM ⊥平面ACD ，过M 作MQ AC ⊥于Q ，连接EQ ，则EQM ∠为二面角E AC D --的平面角。
内蒙古自治区包头市2024届高三一模数学(理)试题(含答案与解析)_4675
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项：1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}2,0,2A =-，{}2230,B x x x x =--≤∈Z，则()UA B =ð（ ） A. {}2,1,1,3--B. {}2,1,3-C. {}1,1,3-D. {}2,1--2. 设复数z 满足32i z z -=，z =，复数z 所对应的点位于第四象限；则z =（）A.B. 1i -C. 1i +D.3. 某几何体的三视图如图所示，设三视图中三个直角顶点在该几何体中对应的点为P ，则点P 到它所对的面的距离为（ ）A.B.C.D..4. 已知()()31031x x b f x b b ⋅-=>⋅+是奇函数，则b =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 15. 设甲盒中有4个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，4个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B 表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件B 与事件C 是互斥事件 B. 事件A 与事件C 是独立事件 C. ()37P C A =D. ()13P A =6. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A. B. 1-C. 2-D. 07. 已知81ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中第六项的系数为7-，则实数a 等于（ ）A. 1-B. 12-C.12D. 18. 如图，底面ABCD 是边长为2的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ，点P 为圆弧AD 上的动点．当三棱锥P BCD -的体积最大时，二面角P BC D --的余弦值为（ ）A.B.C.D.9 已知等差数列{}n a 中，19a =，43a =，设12||||||n n T a a a =++⋅⋅⋅+，则21T =（ ）A. 245B. 263C. 281D. 29010. 已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为1:3，它们的体积之和为4π，则该球的表面积为（ ）.A. 18πB. 16πC. 12πD. 9π11. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，若F 关于渐近线b y x a =的对称点R 恰好落在渐近线by x a=-上，则ORF 的面积为（ ）A.B. 2C. 3D.12. 如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC ∠= ，,E F 分别为,AB BC 上的点，3BE EA =，3BF FC =．若线段EF 上存在一点M ，使得()12DM DC xDA x =+∈R ，则DM CA ⋅ 等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与C 交于P 、Q 两点，则PQ =______. 14. 执行如图的程序框图，如果输入的[]1,5t ∈-，则输出的s 的取值范围是__________．15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23a =，21n n n a a a ++=-，则21S =__________． 16. 已知函数()()2e exxf x x x-=-+，若()()()f a f b f a b <<+，现有下列4个结论：①0ab >；②0ab <；③()0a b b +>；④()0a b a +<．则其中正确的有__________．（填上你认为所有正确结论的序号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 为了比较两种治疗高血压的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，随机选取20位患者服用甲药，20位患者服用乙药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均降低的血压数值（单位：mmhg ）．根据记录的数据绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种药的疗效更好？并给出两种理由进行说明；（2）求40位患者在服用一段时间后，日平均降低血压数值中位数n ，并将日平均降低血压数值超过n 和不超过n 的患者数填入下面的列联表：超过n不超过n服用甲药 服用乙药（3）根据（2）中的列联表，能否有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异？附：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++， ()20P K k ≥0150.10 0.050k2.072 2.7063.84118.如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，D 是斜边AC 上的一点，AB =，=BC ．的.（1）若60DBC ∠=︒，求ADB ∠和ADB 的面积；（2）若BD =，求CDDA的值． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB CD ，点E 在棱PB 上，2PE EB =，点F ，H 是棱PA 上的三等分点，点G 是棱PD 的中点．223PC CB CD AB ====，AC =（1）证明：HD ∥平面CFG ，且C ，E ，F ，G 四点共面； （2）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（3）求直线PC 与平面CFG 所成角的正弦值．20. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>，(10,F 是C 的一个焦点，4,3D ⎛- ⎝是C 上一点，R 为C 的左顶点，直线()000y y y =≠与C 交于不同的两点P ，Q ． （1）求C 的方程；（2）直线RP ，RQ 分别交y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点；在x 轴上是否存在点H ，使得π2OHB OHA ∠+∠=，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，说明理由． 21. 设函数()()2e 2sin 212xf x a x ax a x =+--+． （1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性，并证明()1f x ≥； （2）证明：①当x ∈R 时，e 1x x ≥+；②当0x ≥时，sin x x ≥，当0x ≤时，sin x x ≤； ③当14a =时，函数()y f x =存在唯一的零点． （二）选考题：共10分．请考生在第22、33题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的普通方程为()222001,21x y y x y ++=≤≤-≤≤-，曲线2C 的普通方程为()22420,20x y x y +=-≤≤-≤≤．（1）写出2C 的一个参数方程；（2）若直线极坐标方程为cos sin m ρθρθ+=，且该直线与1C 或2C 有公共点，求m 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知()22f x x x =++． （1）求不等式()6f x x ≥+的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组(),60,f x y y x ⎧≤⎨--≤⎩所确定的平面区域的面积．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}2,0,2A =-，{}2230,B x x x x =--≤∈Z，则()UA B =ð（ ） A. {}2,1,1,3-- B. {}2,1,3-C. {}1,1,3-D. {}2,1--【答案】A 【解析】【分析】根据题意，将集合B 化简，再由交集以及补集的运算，即可得到结果.【详解】因为{}()(){}{}2230,310,1,0,1,2,3B x x x x x x x x =--≤∈=-+≤∈=-Z Z ，则{}0,2A B =I ，所以(){}2,1,1,3U A B =-- ð. 故选：A的2. 设复数z 满足32i z z -=，z =，复数z 所对应的点位于第四象限；则z =（）A.B. 1i -C. 1i +D.【答案】B 【解析】【分析】设出复数，由题意有2i 2i z y z ==--，且212,0x x +=>，求出,x y 即可得解.【详解】设i,,R z x y x y =+∈，则()()3i i 2i 2i 2i z z x y x y y ==+--=--=，所以1y =-，又z =，复数z 所对应的点位于第四象限，所以212,0x x +=>，解得1x =，从而1i z =-. 故选：B.3. 某几何体的三视图如图所示，设三视图中三个直角顶点在该几何体中对应的点为P ，则点P 到它所对的面的距离为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】首先将三视图还原得到三棱锥-P ABC ，,,PA PB PC 两两垂直，2PA PB PC ===，然后根据等体积法求高即可.【详解】考虑三棱锥-P ABC ，,,PA PB PC 两两垂直，2PA PB PC ===，从点P 朝平面ABC 看时，,,A B C 顺时针排列.分别将,,BP AP CP定为看向该几何体的主视图、左视图、俯视图视线方向，即得到所求三视图.考虑将该几何体放入正方体中，此时，该几何体的体积1463V PA PB PC =⋅⋅=， 同时设P 到平面ABC 的距离为h ，则又有3ABC hV S = .容易得到ABC是边长为(2ABCS ==从而3ABC V h S === . 故选：D.4. 已知()()31031x xb f x b b ⋅-=>⋅+是奇函数，则b =（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质，代入计算，即可得到结果.【详解】因为0b >，则函数()()31031x xb f x b b ⋅-=>⋅+的定义域为R ， 即()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =， 则()1001b f b -==+，所以1b =.经检验，当1b =时，()f x 为奇函数，满足题意. 故选：D.5. 设甲盒中有4个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，4个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B 表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件B 与事件C 是互斥事件 B. 事件A 与事件C 是独立事件 C. ()37P C A = D. ()13P A =【答案】C 【解析】【分析】直接用古典概型、条件概率公式求出()P A ，()P B ，()P C A ，()P C B ，()P C ，然后逐项判断即可.【详解】由于甲盒中有6个球，其中有4个红球，2个白球，故()23P A =，()13P B =. 如果从甲盒中取出了红球，则在乙盒中取球时，有3个红球，4个白球，故()37P C A =，如果从甲盒中取出了白球，则在乙盒中取球时，有2个红球，5个白球，故()27P C B =，同时，我们有()23128373721P C =⋅+⋅=.由于()207P C B =>，故A 错误；由于()821P C =，()()()()()3221673763P AC P C A P A P A P C ==⨯=≠=，故B 错误； 而()37P C A =，()23P A =，故C 正确，D 错误.故选：C.6. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A. B. 1-C. 2-D. 0【答案】B 【解析】【分析】利用题目条件求出()f x 的解析式，然后讨论()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性即可.【详解】由条件知2A =，ππ2ω=，πsin 012ωϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 从而2A ω==，πsin 06ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以ππ,Z 6k k ϕ-=∈，即ππ+,Z 6k k ϕ=∈，又因为π2ϕ<，故π0,6k ϕ==.这说明()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，该函数在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减. 又()π01,12f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-. 故选：B.7. 已知81ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中第六项的系数为7-，则实数a 等于（ ） A. 1- B. 12-C.12D. 1【答案】C 【解析】【分析】写出展开式的通项，即可求出二项展开式中第六项的系数，从而得到方程，解得即可.【详解】二项式81ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()88188821C C 1rr r r r r r rT x a x x a ---+⎛⎫⎭⋅⋅=-=-⋅ ⎪⎝ 其中08r ≤≤且N r ∈，所以二项展开式中第六项的系数为()35833C 156a a ⋅=--，依题意可得3567a -=-，解得12a =. 故选：C8. 如图，底面ABCD 是边长为2的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ，点P 为圆弧AD 上的动点．当三棱锥P BCD -的体积最大时，二面角P BC D --的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意当三棱锥P BCD -的体积最大时,此时点P 处于半圆弧的正中间位置.此时建立适当的空间直角坐标系，求出平面BCP ，平面BCD 的法向量，由法向量夹角余弦的坐标公式即可求解.【详解】三棱锥P BCD -的体积与P 到平面BCD 的距离成正比，故当三棱锥P BCD -的体积最大时,此时点P 处于半圆弧的正中间位置.点P 处于半圆弧的正中间位置时，记AD 的中点为O ，以其为原点，,,AB AD OP 分别作为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.平面BCD 显然有法向量()0,0,1m =， ()()()0,0,1,2,1,0,2,1,0P B C -，设(),,n x y z =为平面PBC 的法向量， 则该向量与()2,1,1PB =-- 和()2,1,1PC =- 均垂直，所以0n PB n PC ⋅=⋅=，从而220x y z x y z --=+-=.令1x =，解得0,2y z ==， 故()(),,1,0,2n x y z == 符合条件，显然二面角P BC D --为锐角，因此所求余弦值为cos,n mn mn m⋅===⋅.故选：D.9. 已知等差数列{}n a中，19a=，43a=，设12||||||n nT a a a=++⋅⋅⋅+，则21T=（）A. 245B. 263C. 281D. 290【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列{}n a的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出【详解】等差数列{}n a中，由19a=，43a=，得公差41241a ad-==--，则1(1)211na a n d n=+-=-+，显然当5n≤时，0na>，当6n>时，0na<，所以2112211256721||||||()()T a a a a a a a a a=++⋅⋅⋅+=+++-+++12512215(91)21(931)2()()228122a a a a a a+-=+++-+++=⨯-=.故选：C10. 已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为1:3，它们的体积之和为4π，则该球的表面积为（）A. 18πB. 16πC. 12πD. 9π【答案】B【解析】【分析】首先根据同底圆锥高的比得到r R=，两个圆锥的高分别是3,22R R，而由它们的体积之和为4π即可求出R，进而得解.【详解】记该截面和球的半径分别为,r R，由于两个圆锥的高之比为1:3，故球心到该截面的距离为2R 2R =，r R =. 而两个圆锥的高分别是3,22R R ，故体积之和22132ππ3223R R V r r R ⎛⎫=⋅⋅+= ⎪⎝⎭.从而23364r R R ==，故r =，2R =. 该球的表面积24π16πS R ==.故选：B.11. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，若F 关于渐近线b y x a =的对称点R 恰好落在渐近线b y x a =-上，则ORF 的面积为（ ）A. B. 2 C. 3 D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由点F 与点R 关于直线b y x a=对称可得60POF ∠=︒，PO PF ⊥，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】设RF 与渐近线b y x a=的交点为P ， 由题意可知2OF =，60POF ∠=︒，PO PF ⊥， 所以1PF PO ==，则12212ORF POF S S ==⨯= 故选：A 12. 如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC ∠= ，,E F 分别为,AB BC 上的点，3BE EA =，3BF FC = ．若线段EF 上存在一点M ，使得()12DM DC xDA x =+∈R ，则DM CA ⋅ 等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】 【分析】以,BE BF 为基底可表示出BM ，由三点共线可构造方程求得x ，将所求数量积化为()1324BA BC BA BC ⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭ ，根据数量积的定义和运算律可求得结果. 【详解】3BE EA = ，3BF FC = ，43BA BE ∴= ，43BC BF = ， 1112422233x DM DC xDA AB xCB BA xBC BE BF ∴=+=+=--=-- ， ()24133BM BD DM BA BC DM BE x BF ∴=+=++=+- ， ,,E M F 三点共线，()241133x ∴+-=，解得：34x =，1324DM BA BC ∴=-- ， ()221311324244DM CA BA BC BA BC BA BA BC BC ⎛⎫∴⋅=--⋅-=--⋅+ ⎪⎝⎭ 84cos 60122=--+= . 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与C 交于P 、Q 两点，则PQ =______.【答案】5【分析】由题意求出直线l 的方程，联立方程组，由抛物线的焦点弦公式求解即可.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，过F 且斜率为2的直线l 方程为：()21y x =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立()2421y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：2310x x -+=，则123x x +=， 所以12325PQ x x p =++=+=.故答案为：5.14. 执行如图的程序框图，如果输入的[]1,5t ∈-，则输出的s 的取值范围是__________．【答案】[]5,9-【解析】【分析】根据题意，由程序框图代入计算，即可得到结果.【详解】由程序框图可知，当11t -≤<时，5s t =，则[)5,5s ∈-，当15t ≤≤时，()22639s t t t =-=--+，当3t =时，s 取得最大值9，当1t =或5t =时，s 取得最小值5，则[]5,9s ∈，综上所述，s 取值范围是[]5,9-.故答案为：[]5,9-15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23a =，21n n n a a a ++=-，则21S =__________．【答案】6 的【分析】根据题意，由递推公式可得数列{}n a 是周期为6的数列，再由60S =代入计算，即可得到结果.【详解】因为12a =，23a =，21n n n a a a ++=-，则3211a a a =-=，4322a a a =-=-，5433a a a =-=-，6541a a a =-=-，7652a a a =-=， 所以数列{}n a 是周期为6的数列，且61234562312310S a a a a a a =+++++=++---=， 所以2136331236S S S a a a ⨯+===++=.故答案为：616. 已知函数()()2e e x x f x x x -=-+，若()()()f a f b f a b <<+，现有下列4个结论：①0ab >；②0ab <；③()0a b b +>；④()0a b a +<．则其中正确的有__________．（填上你认为所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】【分析】先证明()f x 是偶函数，且在[)0,∞+上递增，然后利用()()f m f n <当且仅当m n <，为条件变形，从而进一步分析.【详解】显然()f x 定义域为全体实数，又()()()()()22e e e e x x x x f x x x x x f x ---=--+=-=+-，所以()f x 是偶函数， 当0x >时()()()e e 2e e e e 0x x x x x xf x x ---'=+++->->， 从而()f x 在[)0,∞+上递增，故()()f m f n <当且仅当m n <，因为()()()f a f b f a b <<+，所以a b a b <<+，显然,a b 同号，所以0ab >，()0a b b +>，()0a b a +>，从而①③正确，②④错误.故答案为：①③.【点睛】关键点点睛：关键是得到()()f m f n <当且仅当m n <，由此即可顺利得解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 为了比较两种治疗高血压的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，随机选取20位患者服用甲药，20位患者服用乙药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均降低的血压数值（单位：mmhg ）．根据记录的数据绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种药的疗效更好？并给出两种理由进行说明；（2）求40位患者在服用一段时间后，日平均降低血压数值的中位数n ，并将日平均降低血压数值超过n 和不超过n 的患者数填入下面的列联表：超过n 不超过n 服用甲药服用乙药（3）根据（2）中的列联表，能否有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异？ 附：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++， ()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.050k2.072 2.7063.841【答案】（1）乙药的疗效更好，理由见解析（2）18.5n =，列联表见解析 （3）没有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异【解析】【分析】（1）根据茎叶图数据分析即可；（2）根据茎叶图数据分析出中位数n ，即可得到列联表；（3）计算出卡方，即可判断.【小问1详解】乙药的疗效更好．参考理由如下：（ⅰ）用各自的平均数说明． 设甲药观测数据的平均数为x ，乙药观测数据的平均数为y ， 由茎叶图可知，()1986551112121314161718192124252627321620x =+++++++++++++++++++=， ()16121214151518202021212222232324252530322020y =+++++++++++++++++++=， 因为x y <，所以乙药的疗效更好．（ⅱ）用茎2和茎3上分布的数据说明．由茎叶图可知，用甲药有30%的患者日平均降低血压数值在20及以上，用乙药有65%的患者日平均降低血压数值在20及以上，所以乙药的疗效更好．（ⅲ）用各自的中位数说明．由茎叶图可知，用甲药的患者日平均降低血压数值的中位数为15，用乙药的患者日平均降低血压数值的中位数为21，所以乙药的疗效更好．（ⅳ）用各自的叶在茎上的整体分布说明．由茎叶图可知，用甲药的患者日平均降低血压数值分布集中在“单峰”茎1上，且关于茎1大致呈对称分布；用乙药的患者日平均降低血压数值分布集中在“单峰”茎2上，且关于茎2大致呈对称分布，又用两种降压药患者日平均降低血压数值都分布的区间[]5,32内，所以乙药的疗效更好．【小问2详解】由茎叶图可知[)0,10内有6个数据，[)30,40内有3个数据，[)20,30内有16个数据，3161920+=<，则中位数位于[)10,20之间，且[)10,20内的数据从小到大排列为11，12，12，12，12，13，14，14，15，15，16，17，18，18，19，所以中位数181918.52n +==． 列联表如下：超过n 不超过n 服用甲药713 服用乙药137 【小问3详解】由于()2240771313 3.6 3.84120202020K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异．18. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，D 是斜边AC 上的一点，AB =，=BC ．（1）若60DBC ∠=︒，求ADB ∠和ADB 的面积；（2）若BD =，求CD DA的值． 【答案】（1）120ADB ∠=︒ （2）2CD DA= 【解析】 【分析】（1）在ADB 中由正弦定理可求ADB ∠，从而确定DBC △是等边三角形，ADB 为等腰三角形，求出边角可得面积.（2）设出DC 长，在BDC 与BDA △中，用双余弦可得CD DA的值. 【小问1详解】由60DBC ∠=︒，90ABC ∠=︒，可得30ABD ∠=︒．在ADB 中，由正弦定理可得si n si n AD AB ABD ADB =∠∠，所以sin ADB ∠= 所以120ADB ∠=︒或60︒，又60DBC ∠=︒，故只能有120ADB ∠=︒． 因此，60BDC ∠=︒，又60DBC ∠=︒，所以DBC △是等边三角形，所以DB DC BC ===，又在ADB 中，30ABD ∠=︒，120ADB ∠=︒，故30BAD ∠=︒，所以DA DB ==AB ==，11sin 3024ADB S AD AB =⋅︒== . 【小问2详解】令BDC θ∠=，DC y =，DA x =，则=AB ，在BDC 与BDA △中，由余弦定理可得22262cos 32cos(180)y x x θθ⎧=+-⎪⎨=+-︒-⎪⎩， 消去cos θ，得22422y x y x--=， 整理得()()220y x xy -+=，所以得2y x =，所以2CD DA=． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB CD ，点E 在棱PB 上，2PE EB =，点F ，H 是棱PA 上的三等分点，点G 是棱PD 的中点．223PC CB CD AB ====，AC =（1）证明：HD ∥平面CFG ，且C ，E ，F ，G 四点共面；（2）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（3）求直线PC 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23【解析】 【分析】（1）由中位线得FG HD ∥，结合线面平行的判定定理即可证得HD ∥平面CFG ，要证C ，E ，F ，G 四点共面，只需CE FG ∥，只需CE HD ∥，连接HE ，结合条件证明四边形HECD 是平行四边形即可；（2）由勾股定理得BC AB ⊥，由线面垂直的性质得PC AB ⊥，进一步由线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证；（3）建立适当的空间直角坐标系，分别求出直线PC 与平面CFG 的方向向量、法向量，由向量夹角的坐标公式即可求解.【小问1详解】因为F ，G 分别为,PH PD 的中点，所以FG HD ∥，又FG ⊂平面CFG ，HD ⊄平面CFG ，所以//HD 平面CFG ．连接HE ，在PAB 中，2PE PH EB HA==， 所以HE AB ∥，且23HE AB =， 因为AB CD ，23CD AB =， 所以CD HE =，且CD HE ∥，所以四边形HECD 平行四边形．所以CE HD ∥，又FG HD ∥，所以CE FG ∥，故C ，E ，F ，G 四点共面．【小问2详解】 为由题意可知，3AB =，2BC =，AC =，所以222AB BC AC +=，故BC AB ⊥．又PC ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PC AB ⊥，又,,BC PC C BC PC =⊂ 平面PBC ，故AB ⊥平面PBC ，又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ．【小问3详解】因为PC ⊥平面,ABCD BC ，CD ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥，PC CD ⊥，在平面ABCD 内，AB CD ，AB BC ⊥，所以CD BC ⊥．所以,,CD CB CP 两两互相垂直，以C 为坐标原点，CD的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,0,2P ，()2,0,0D ，()1,0,1G ，()3,2,0A ，241,,33F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 向量()0,0,2CP = ，()1,0,1CG = ，241,,33CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面CFG 的法向量为(),,m x y z = ，则由00m CG m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得024033x z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 可取()2,1,2m =--，设直线PC 与平面CFG 所成角为θ，则42sin cos ,323m CP m CP m CP θ⋅====⨯⋅ ． 因此直线PC 与平面CFG 所成角的正弦值为23． 20. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>，(10,F 是C的一个焦点，4,3D ⎛- ⎝是C 上一点，R 为C 的左顶点，直线()000y y y =≠与C 交于不同的两点P ，Q ．（1）求C 的方程；（2）直线RP ，RQ 分别交y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点；在x 轴上是否存在点H ，使得π2OHB OHA ∠+∠=，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）22194y x += （2）存在，H 的坐标为()3,0和()3,0-．【解析】【分析】（1）将点D 坐标代入椭圆方程，再结合椭圆的几何性质，解方程组即可求解；（2）设点()00,P x y ，表示出直线RP 的方程，从而得到点A 的坐标，同理得到点B 的坐标，再由π2OHB OHA ∠+∠=得到2OH OA OB =，坐标代入后结合题中条件进一步计算求出点H 的坐标即可求解.【小问1详解】 由题意可知，椭圆C的半焦距c =， 由222a b c =+得225a b =+，把D 的坐标代入C 的方程得2251619a b +=， 由22225,5161,9a b a b⎧=+⎪⎨+=⎪⎩解得3,2,a b =⎧⎨=⎩ 所以C 方程为22194y x +=． 【小问2详解】的假设在x 轴上存在点H ，使得π2OHB OHA ∠+∠=． 设(),0H m ，由π2OHB OHA ∠+∠=，可知OHB OAH ∠=∠， 所以tan tan OHB OAH ∠=∠，即OB OHOH OA =，所以2OH OA OB =．因为直线()000y y y =≠交椭圆C 于P ，Q 两点，则P ，Q 两点关于y 轴对称．设()00,P x y ，()00,Q x y -，（022x -<<，且00x ≠）， 由题意得()2,0R -，则直线RP 的方程为()0022y y x x =++，令0x =，得0022A y y x =+， 直线RQ 的方程为()0022y y x x =+-+，令0x =，得0022B y y x =-+， 因为2OH OA OB =，所以2202044y m x =-， 又因为()00,P x y 在C 上，所以2200194y x +=，即22004369y x =-， 所以2220022004369944y x m x x -===--，得3m =±． 当3m =时，由22004369y x =-，得02y == 0022B y OB y x ==-+，0022A y OA y x ==+， 所以002tan 332OBOB y OHB OHx ∠====-，00323tan 2OHx OAH OA OA y +∠====， 所以tan tan OHB OAH ∠=∠，又OHB ∠，OAH ∠为锐角，所以OHB OAH ∠=∠，所以2OHB OHA OAH OHA π∠+∠=∠+∠=，满足题意，同理当3m =-时，也满足题意．所以，在x 轴上存在点H ，使得2OHB OHA π∠∠+=，且H 的坐标为()3,0和()3,0-．21. 设函数()()2e 2sin 212xf x a x ax a x =+--+． （1）当0a ≤时，讨论()f x 单调性，并证明()1f x ≥；（2）证明：①当x ∈R 时，e 1x x ≥+；②当0x ≥时，sin x x ≥，当0x ≤时，sin x x ≤； ③当14a =时，函数()y f x =存在唯一的零点． 【答案】（1）()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，证明见解析（2）①证明见解析；②证明见解析；③证明见解析【解析】【分析】（1）求导得()()e 2cos 412xf x a x ax a '=+--+，令()()g x f x '=，继续求导发现()y g x =即()y f x '=在R 上单调递增，结合()00f '=即可得()f x '的单调性，从而()1f x ≥也可得证； （2）①构造函数()()e 1xh x x =-+，求导得其单调性、最值即可得证； ②构造函数()sin r x x x =-，求导得其单调性即可得证； ③当14a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+--，()13e cos 22x f x x x =+--'，设()()t x f x '=，则()1e sin 12x x t x '=--，由①、②得()()t x f x '=在[)0,∞+单调递增，然后分类讨论得()f x '在(],0-∞单调递减，从而()()00f x f ''≥=，由此可得()f x 单调，由零点存在定理即可得解.【小问1详解】因为()()2e 2sin 212x f x a x ax a x =+--+，所以()()e 2cos 412xf x a x ax a '=+--+， 设()()g x f x '=，则()()e 2sin 4e 2sin 2x xg x a x a a x '=--=-+， 所以当0a ≤时，()0g x '>，函数()y g x =在R 上单调递增，的所以()y f x '=在R 上单调递增，又()00f '=，所以当0x <时()0f x '<；当0x >时()0f x ¢>，因此，当0a ≤时，()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，所以()()01f x f =≥．【小问2详解】①设()()e 1x h x x =-+，则()e 1xh x '=-， 当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，所以()()00h x h ≥=，即x ∈R 时，e 1x x ≥+．②设()sin r x x x =-，则()1cos 0r x x '=-≥，所以()1cos 0r x x '=-≥在R 上单调递增，且()00r =，所以当0x ≥时，()()00r x r ≥=，即sin x x ≥；当0x ≤时，()()00r x r ≤=，即sin x x ≤． ③当14a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+--，()13e cos 22x f x x x =+--'， 设()()t x f x '=，则()1e sin 12x x t x '=--， 当[)0,x ∈+∞时，由①、②，得()11e sin 11sin 122x t x x x x '=--≥+-- 111sin 0222x x x x x =-≥-=≥， 所以()()t x f x '=在[)0,∞+单调递增；当(],0x ∈-∞时，（ⅰ）若[]1,0x ∈-，由①知e 1x x ≥+，得e 1x x -≥-，故1e 1x x≤-， 又由②知当0x ≤时，sin x x ≤成立，则()()()1111e sin 11021221x x x t x x x x x +'=--≤--=≤--，此时()()t x f x '=单调递减，（ⅱ）若(],1x ∈-∞-，则()111e sin 1102e 2x t x x '=--≤+-<， 此时()()t x f x '=单调递减，由（ⅰ）（ⅱ）可知()t x 在(],0-∞单调递减，即()f x '在(],0-∞单调递减．综上，可知当x ∈R 时，()()00f x f ''≥=，所以()f x 在R 上单调递增，又()010f =>，()2π22π2π2πe 2π3πe 6π3πe 3π0f ----=-+<-+=-<，所以根据零点存在定理可知()y f x =在R 上存在唯一零点．【点睛】关键点点睛：第二问③的关键是结合①、②结论得()()t x f x '=在[)0,∞+单调递增，然后分类讨论得()f x '在(],0-∞单调递减，由此即可顺利得解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、33题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的普通方程为()222001,21x y y x y ++=≤≤-≤≤-，曲线2C 的普通方程为()22420,20x y x y +=-≤≤-≤≤．（1）写出2C 的一个参数方程；（2）若直线的极坐标方程为cos sin m ρθρθ+=，且该直线与1C 或2C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】22. 2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，3ππ2α≤≤）23. 0m -≤≤【解析】【分析】（1）由题意直接三角换元结合,x y 范围即可得α的范围，由此即可得解；（2）将直线的极坐标方程转换为普通方程，通过数形结合的方法分类讨论即可求解m 的范围.【小问1详解】2C ：224x y +=，设2cos x α=，2sin y α=，又20x -≤≤，20-≤≤y ，的所以2C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，3ππ2α≤≤）． 【小问2详解】把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入cos sin m ρθρθ+=中，得y x m +=，即y x m =-+，数形结合可知，若直线y x m =-+与1C 有公共点，则20m -≤≤，若直线y x m =-+与2C 有公共点，当直线y x m =-+与2C 2，结合图像可知得m =-所以当2m -≤≤-时，直线y x m =-+与2C 有公共点，综上，当0m -≤≤时，直线y x m =-+与1C 或2C 有公共点．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知()22f x x x =++．（1）求不等式()6f x x ≥+的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组(),60,f x y y x ⎧≤⎨--≤⎩所确定的平面区域的面积． 【答案】（1）5{|,2x x ≤-或1}x ≥；（2）112. 【解析】【分析】（1）将()f x 写成分段函数的形式，再分类讨论求解不等式即可；（2）画出不等式组表示的平面区域面积，结合点到直线的距离公式以及三角形面积公式，即可求得结果.【小问1详解】因为()34,24,2034,0x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩，故当<2x -时，346x x --≥+，得52x ≤-， 当20x -≤≤时，46x x +≥+，无解，当0x >时，346x x +≥+，得1x ≥；综上，不等式()6f x x ≥+的解集为5{|,2x x ≤-或1}x ≥. 【小问2详解】 如图所示，做出不等式组(),60,f x y y x ⎧≤⎨--≤⎩即34,24,2034,060x y x x y x x y x y x --≤<-⎧⎪+≤-≤≤⎪⎨+≤>⎪⎪--≤⎩所确定的平面区域（图中阴影部分），为四边形ABCD ， 其中57,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,2B -，()0,4C ，()1,7D ， 设直线6y x =+与y 轴的交点为E ，则()0,6E ，所以ABC ACE ECD ABCD S S S S =++四边形△△△，其中11||||21122ECD D S EC x ==⨯⨯=△，1155||||22222ACE A S EC x ==⨯⨯=△． 求ABC S 时，以线段BC 为底，点A 到BC 的距离为高h ，又BC ==，h则可求得122ABC S =⨯= ，所以5112122ABCD S =++=四边形．。
内蒙古包头一中2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理
包头一中高三年级校一模考试（数学理科试卷）命题人：马丽 审题人： 刘胤国一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的).1. 已知集合}0)3(|{<-=x x x P ，}2|||{<=x x Q ，那么=Q P （ ） A ．)0,2(- B ．)2,0(C ．)3,2(D ．)3,2(-2. i 是虚数单位,复数31ii--= （ ）A ． 2i +B ．12i -C ．i 21+D ．2i -3.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原先的2倍，那么所得的图象的解析式为（ ）A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈ 4.已知函数()f x 的概念域为(-3,0),那么函数()21f x -的概念域为( ) (A)()1,1- (B)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)()-1,0 (D)1,12⎛⎫⎪⎝⎭5.假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是( )（A ）2 （B ）1（C ）23（D ）136.已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，那么( )(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x7. 已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出以下命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂； ③若是ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确的命题是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8.设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，那么{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n + D ．2n n +9.已知抛物线2:8C y x =的核心为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且2AK AF =，那么AFK ∆的面积为( )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32 10.已知等比数列{}n a 知足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，那么当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=( )A. (21)n n -B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n -11．已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 别离是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,那么PM PN +的最小值为 （ ）A ．524-B ．171-C ．622-D ．1712.以下五个命题中正确命题的个数是( )（1）关于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，那么:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>；（2）3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 相互垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估量值为1.23，样本点的中心为(4,5)，那么回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08 (4)．假设实数[],1,1x y ∈-，那么知足221x y +≥的概率为4π. (5) 曲线2y x =与y x =所围成图形的面积是120()S x x dx =-⎰A.2B.3C.4D.5 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 13．执行如下图的程序框图，输出的S =14．261(1)()x x x x ++-的展开式中的常数项为_______.nn S S 2⋅+=15．假设不等式组50,5,02x y y kx x -+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形，那么实数k 的取值范是 . 16．设F 1，F 2别离是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右核心，假设双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0（O 为坐标原点）， 且|PF 1→|＝3|PF 2→|，那么双曲线的离心率为__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤． 17（本小题总分值12分） .设函数()22cos 2cos ,32xf x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭。
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内蒙古包头市数学高三理数第一次联考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·遵义模拟) 已知集合，，则等于（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）(2017·临汾模拟) 设复数z满足z+3i=3﹣i，则|z|=（）
A . 3﹣4i
B . 3+4i
C .
D . 5
3. （2分）函数的图象（）
A . 关于原点对称
B . 关于y轴对称
C . 关于x轴对称
D . 关于直线对称
4. （2分）等差数列， an=2n+1,则a3= （）
A . 5
D . 8
5. （2分）“”是“直线与垂直”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6. （2分） (2018高二上·马山期中) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A . 43
B . 55
C . 61
D . 81
7. （2分）已知平面向量的夹角为且，在中，，D为BC中点，则（）
C . 6
D . 8
8. （2分） (2020高一下·平谷月考) 函数的周期为，则其单调递增区间为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）四棱锥P-ABCD的三视图如右图所示,其中a=2，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，则该球表面积为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2017·泉州模拟) 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的一个焦点为F（2，0），一条渐近线的倾斜角为60°，则C的标准方程为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）
A . 30种
B . 24种
C . 12种
D . 6种
12. （2分）(2018·潍坊模拟) 已知函数，则（）
A . 有个零点
B . 在上为减函数
C . 的图象关于点对称
D . 有个极值点
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2018·南阳模拟) 的展开式中的系数是________.(用数字作答)
14. （1分） (2019高一下·上杭月考) 在三角形中，，，，则
________
15. （1分） (2017高二下·景德镇期末) 设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y
的最小值为________．
16. （1分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P﹣ABCD的外接球半径R的取值范围是________
三、解答题 (共7题；共35分)
17. （5分） (2018高一下·通辽期末) 若数列是公差大于零的等差数列，数列是等比数列，且
,
.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为 ,求的最大值.
18. （5分）(2017·渝中模拟) 如图（1），在五边形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE 是以AB为斜边的等腰直角三角形，现将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如图（2），记线段AB的中点为O．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面EOD；
（Ⅱ）求平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．
19. （5分）(2017·大理模拟) 某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳不喜欢游泳合计
男生10
女生20
合计
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．
下面的临界值表仅供参考：
P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
20. （5分）(2017·盐城模拟) 已知A、F分别是椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，AF=2PF．
（1）
求椭圆C的离心率；
（2）
若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积；
（3）
记圆O：x2+y2= 为椭圆C的“关联圆”．若b= ，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证： + 为定值．
21. （5分）(2018·鞍山模拟) 已知函数 .
（1）若对恒成立，求的取值范围；
（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.
22. （5分）(2020·内江模拟) 在平面直角坐标系中，圆的参数方程（为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴）
中，直线的方程为 .
（Ⅰ）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆心到直线的距离等于2，求的值.
23. （5分）已知函数f（x）=+（﹣1＜x＜1，且x≠0）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若|t+1|≤f（x）恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共35分) 17-1、
17-2、
19-1、19-2、20-1、
20-2、20-3、
21-1、21-2、
22-1、23-1、。