李庆扬 数值分析第五版 习题答案

第2章 复习与思考题

01i

i i i

i k

x x x x 的基函数称为主要性质有 0,()

1,k i k

x i k

()1n l x

、什么是牛顿基函数？它与单项式基答：牛顿差值基函数为00101x ),(x x )(x x ),...,(x x )(x x )...(x x )}n 牛顿差值基函数中带有常数项01,,...n x x x ，这有单项式基不同。 阶均差？它有何重要性质 01n 2n 01n 2n -11

[,,...,,][,,...,,]

n n f x x x f x x x x x x

k j 0

j 0j-1j j+1j -k x x x x x x x （）...()()...()

和k 阶均差的性质

0101k-10

[,,...,]

[,,...,]k k

f x x x f x x x x x （分子前项多xk ）

[a,b]上存在阶导数，且节点2n ,[a,b]x ，则1()

!

f n

0()

n

n n i

k k k

k k i i k

i k

x x y l x y x x ，(j 1,2,....,n)个点的牛顿插值多项式

01[,,...,]k f x x x ,(k 1,2,....,n)

两者的主要差异是未知数不一致。

拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。牛顿插值多项式是函数知道，但系数不知道。与一般多项式基本相同。y ，其中系数矩阵用下列基底作多项式插值时，12

0001211112222

121...1...1 (1)

...

n n n n n n

n

x x x x x x x x x x x x ，无非零元素。 ）拉格朗日基底为01{(),(),...,()}n l x l x l x ，已知数为未知数为01{(),(),...,()}n l x l x l x ，则系数矩阵为00101x ),(x x )(x x ),...,(x x )(x x )...(x x )}

n ，已，未知数为012{,,,...,}n a a a a ，则系数矩阵为

102020211

010

100

...010...01()()...

0............

...1

()()...()

n n

n

n

n

j j x x x x x x x x x x x x x x x x ，为下三角矩阵，矩阵的上三角元

0。

、用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低至高给出排序

11

()()()

()(n 1)!

n n n f f x L x x ，进行误差估计时，对1()进行适当缩放即可。牛顿插值多项式余项

011

()()[,,...,]

()n n n f x P x f x x x x ，可以直接求出。、埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值

埃尔米特插值最显著的特征是：即要求节点上的函数值相等，同时也要求节点上的到数20000000()

()

()()()

()...()2!

!

n f x f x f x f x x x x x x x n

就是牛顿插值公式具有n 重根0()x

x 时的特殊形式，即0()x x 的极限形式。阶导数值相等的埃尔米特插值公式。

、为什么高次多项式插值不能令人满意？分段地刺插值与单个高次多项式插值相比有何优

()()()n

i i i l x P x P x 。 为连续函数，节点x i (i = 0, 1,…, n )为等距节点，构造拉格朗日插值多项式 (x ).

）同上题，若构造三次样条插值函数S n (x )，则）高次拉格朗日插值是很常用的。

0，此时错。典型的例子是龙格现象

1,1,2时，0,3,4，求）用单项式基底

）用拉格朗日插值基底）用牛顿插值基底 10

a x a y ，则范德蒙系数矩阵1

2

01

211122

2

1111111111

24

x x x x x x 行列式化简有

11101110111302031

2

4

4

1

3

4

111011100134013402030065

解得0

1

7/31.55/6

a a a

2

1.57/3x x y

）使用拉格朗日插值计算

020112012

01021012202122()()()()()()

()()()()()()

(1)(2)(1)(2)(1)(1)

0(3)4

(11)(1)(2)(3)(1)(3)(1)(2)4(1)(1)0

23

324(2x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 22221)

3

3968(1)

66537623571.563

x x x x x x x y 3）使用牛顿插值计算

2001001201()

()[,]()[,,]()()P x f x f x x x x f x x x x x x x

均差表

()k f x

一阶均差

二阶均差